易错11 统计与概率（六大易错分析+举一反三+易错题通关）-备战2025年中考数学考试易错题（浙江专用）

易错点11 统计与概率 易错陷阱一：找中位数时忽略排序 众数：一组数据中出现次数最多的那个数据 中位数：将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，位于最中间的一个数据(当数据个数为奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数为偶数时) 易错提醒：要观察数据有没有按照顺序排列，没有的要先排列顺序再找，避免出错． 例1．（2024·浙江杭州·二模）如图是小阮同学本周在校体育活动时间统计表（），则小阮同学本周五天体育活动时间的中位数是 ． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 65 60 75 80 70 【变式1-1】（2024·浙江金华·二模）已知某班一合作学习小组6名同学一周在家劳动的时间（单位：h）分别为：，则这组数据的中位数是 ． 【变式1-2】（2025·浙江宁波·一模）已知如下的两组数据： 第一组：20，21，22，25，24，23； 第二组：20，21，23，25，，26． 若两组数据的中位数相等，实数 ． 易错陷阱二：混淆平均数和加权平均数 平均数：一般地，个数，我们把叫做这个数的算术平均数，记做 个数的加权平均数：如果在个数中，出现了次，出现了次，……出现了次，那么加权平均数为 易错提醒：加权平均数即将各数值乘以相应的权数，然后加总求和得到总体值，再除以总的单位数．在做题的时候，要注意题设中有没有出现“权”，不能将加权平均数和平均数混淆． 例2．（2025·浙江金华·模拟预测）某学校制作了甲、乙、丙三个简易机器人，为了从中推选一个参加市级比赛，教师评委从“运动、感知、协同”三种能力的表现进行打分，得到如下统计表（单位：分），200名学生逐委进行投票推荐， 每人选择其中一个，得到扇形统计图． 教师评委量化统计表 组别 运动 感知 协同 甲 85 88 90 乙 88 83 82 丙 83 80 80 (1)求学生评委投给甲和乙两个机器人的票数分别是多少？ (2)丙成绩明显最低，已求得甲总成绩为 80.9 分，现要从甲、乙两个机器人中选择参加去比赛，你认为推选哪个？为什么？ 【变式2-1】（2024·浙江杭州·一模）今年是农历龙年，假期里学校组织学生进行龙灯制作活动，每班精选一项进行年级评选，校学生会组织对同学的作品按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．对每个班的成绩进行整理，并绘制统计表，信息如表： 八年级10个班成绩统计表 成绩/分 6 7 8 9 10 班级个数 1 3 a b 1 已知八年级各班成绩只有一个众数为9分，且a、b均为正整数． 请根据以上信息，完成下列问题： (1)　　，　　； (2)八年级成绩的中位数为 　　分； (3)若年级均分高于8.5分，则认定该年级在活动中荣获“优秀组织奖”，请判断本次活动八年级能否获得“优秀组织奖”． 【变式2-2】（2024·浙江温州·二模）小海准备购买一辆新能源汽车，在预算范围内，他打算从甲、乙两款汽车中购买一辆，为此，小海收集了10名消费者对这两款汽车的相关评价，并整理、分析如下： 表一：甲、乙两款汽车的四项得分数据统计表 外观造型 舒适程度 操控性能 售后服务 甲款 7 6 7 8 乙款 7 8 6 7 表二：甲，乙两款汽车的满意度得分统计表（满分10分） 甲款 5 5 6 6 7 8 8 8 8 9 乙款 5 6 6 7 7 7 7 8 8 9 根据以上信息，解答下列问题： (1)若小海认为汽车四项的重要程度有所不同，而给予“外观造型”“舒适程度”“操控性能”“售后服务”四项得分的占比为2：3：3：2，请你帮小海计算甲、乙两款汽车的平均分． (2)结合（1）的结论和甲、乙两款汽车满意度得分的众数和中位数，你建议小海购买哪款汽车？请详细说明你的理由． 【变式2-3】（2024·浙江宁波·模拟预测）某校要组织八年级学生进行两天一晚的红色研学活动，向社会公开招标旅行社，前期收到5家旅行社的报价（如图），经过第一轮筛选后，留下金秋、万事达、太平洋三家旅行社． 第二轮要对这三家旅行社从宾馆服务、路线规划、安全措施三方面进行考量，打分如下表． 项目 旅行社 宾馆服务 路线规划 安全措施 金秋 85 90 90 万事达 95 85 80 太平洋 90 88 85 (1)求出图中费用的众数和中位数． (2)假如你是负责人，请你根据表中三个项目的重要程度，赋予不同的“权”，并通过计算，得出三家旅行社的排名顺序． 易错陷阱三：混淆极差和方差的概念 极差：最大值与最小值的差 方差：一般地，各数据与平均数的差的平方的平均数. 方差的算术平方根就是标准差．方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定． 易错提醒：须记住对应的定义，不能因为都有“差”就觉得一样 例3．（2025·浙江·模拟预测）在一次主题为“畅想未来”的比赛中，某班5名参赛成员的成绩（单位：分）分别为92，87，94，87，90．关于这组数据，下列说法错误的是（　　） A．平均数是89 B．中位数是90 C．众数是87 D．方差是 【变式3-1】（2024·浙江·二模）某班开展以“提倡勤俭节约，反对铺张浪费”为主题教育活动．为了解学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了10名同学，结果如下表： 每天使用零花钱（单位：元） 0 2 3 4 5 人数 1 2 4 1 2 关于这10名同学每天使用的零花钱，下列说法正确的是（　　） A．平均数是 B．中位数是3 C．众数是2 D．方差是4 【变式3-2】（2024·浙江·模拟预测）兰花是浙江省省花之一．小江同学在课余统计了小区内10位居民家里的兰花盆栽数量，结果如下：8，6，8，8，6，2，6，4，6，6（单位：盆），关于这组数据，下列说法正确的是（    ） A．众数是8 B．中位数是5 C．平均数是6 D．方差是32 【变式3-3】（2024·浙江杭州·模拟预测）老师在黑板上写出一个计算方差的算式： ，根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（ ） A． B．平均数为8 C．添加一个数8后方差不变 D．这组数据的众数是6 易错陷阱四：混淆各种统计图提取信息的方法 频数是指某事件出现的次数，频率=频数÷样本容量， 扇形统计图：频率乘以360°得出所对圆心角，圆心角百分比就是频数乘以100%． 易错提醒：可以结合题目中给出的扇形统计图或条形统计图中的已知信息找出某组对应的频数、频率，再根据得到的结果推出全部分组的频数、频率，进而得到各组对应的扇形统计图的圆心角度数 例4．（2025·浙江金华·模拟预测）近年来中国高铁发展迅速， 下图是中国高铁营运里 增长率折线统计图程增长率折线统计图． 依据图中信息，下列说法错误的是（    ） A．2020年中国高铁营运里程增长率最大 B．2023年中国高铁营运里程增长率比2022年高 C．2020年至2024年，中国高铁营运里程逐年增长 D．2021年到2022年中国高铁营运里程下降 【变式4-1】（2025·浙江杭州·一模）为丰富学生业余活动，某中学决定再增加四种选修课，分别是：．青春舌战辩论；．时政瞭望；．美食与地理；．动漫创作，为了解学生喜好，在全校七年级范围内展开抽样问卷调查每位被调查的同学必须选择且只能选择一种，将数据进行整理后绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据上述信息，解答下列问题： (1)这次一共调查了______名学生，并补全条形统计图； (2)求扇形统计图中所对应的扇形的圆心角度数； (3)若该地区七年级学生共有人，估计该地区七年级学生中喜欢“动漫创作”的学生有多少人？ 【变式4-2】（2025·浙江·模拟预测）某校组织全体学生参加一次大型知识竞赛，从中随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本．所有学生的竞赛成绩分为四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分．现根据抽取的学生的竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图．请你根据信息，解答下列问题： 抽取的学生的竞赛成绩条形统计图 抽取的学生的竞赛成绩扇形统计图 (1)在抽取的样本中，等级、等级的各有多少人？请把条形统计图补充完整． (2)在扇形统计图中，求等级所对应的圆心角的度数． (3)若知识竞赛成绩等级为优秀，请你估计该校参加竞赛的1500名学生中成绩优秀的人数． 【变式4-3】（2025·浙江舟山·一模）某学校“体育课外活动兴趣小组”，开设了以下体育课外活动项目：足球，篮球，羽毛球，乒乓球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题： (1)这次被调查的学生共有______人，在扇形统计图中 D部分对应的圆心角的度数为______； (2)请你将条形统计图补充完整； (3)学校共有1200名学生，根据统计信息，请你估算最喜欢篮球项目的学生人数． 易错陷阱五：放回和不放回问题的区分 易错提醒：放回问题的共同特征就是每一次都有同样多的选择；不放回问题的共同特征就是每抽取一次，下一次就少一种情况，特别注意同时抽取，也是表示抽出来不放回．做题时，一定要看清每次选择后的下一步选择是都有同样多的选择还是少了一种选择以正确判断是是“放回”还是“不放回”． 例5．（2025·浙江宁波·一模）在不透明的袋中有大小、形状和质地等完全相同的个小球，它们分别标有数字、、3．从袋中任意摸出一小球，然后放回，将袋中的小球搅匀后，再从袋中摸出另一小球． (1)请你用列表或画树状图的方法表示摸出小球上的数字可能出现的所有结果． (2)将第一次摸出的数字作为点的横坐标x，第二次摸出的数字作为点的纵坐标y，求点落在双曲线上的概率． 【变式5-1】（2025·浙江·一模）已知一个不透明的盒子中装有2个红球，1个白球，它们除颜色外其余均相同．甲乙同学进行摸球游戏，请分别求出下列两个游戏中甲同学获胜的概率． 项目 游戏一 游戏二 摸球规则 摸出1个球 先摸出1个球，记下颜色后放回，再摸出1个球 获胜规则 若摸出红球，则甲胜 若摸出两球颜色相同，则甲胜 若摸出白球，则乙胜 若摸出两球颜色不同，则乙胜 【变式5-2】（2024·浙江温州·模拟预测）有四张分别标有数字2，4，5，7的卡片，它们的背面都相同，从中任意抽出一张卡片，不放回再从卡片里任意抽出一张． (1)请用树状图或列表法表示出所有可能的结果； (2)求两张卡片的数字之和为奇数的概率． 【变式5-3】（2023·浙江绍兴·一模）为培养学生良好的学习习惯，某学校举行了一次整理错题集的展示活动，对部分学生整理错题集的情况进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了下面不完整的统计图表．请根据图表中提供的信息，解答下列问题： 整理情况 频数 频率 优秀 0.25 良好 35 合格 不合格 18 (1)本次抽样共调查了多少名学生？若该校有800名学生，估计该校学生整理错题集情况优秀和良好的学生一共约多少名？ (2)某学习小组4名学生的错题集中，有2本优秀（记为，），1本良好（记为B），1本合格（记为C），这些错题集形状，大小，颜色等外表特征完全相同，从中抽取一本，不放回，从余下的3本错题集中再抽取一本，请用“列表法”或“画树状图”的方法求出两次抽到的错题集都是优秀的概率． 易错陷阱六：混淆频率与概率的概念 易错提醒：求概率的方法：（1）简单事件；（2）两步以及两步以上的简单事件求概率的方法：利用树状或者列表表示各种等可能的情况与事件的可能性的比值；（3）复杂事件求概率的方法运用频率估算概率 例6．（2024·浙江宁波·二模）小明在纸上描绘了一幅熊猫图，他想知道这幅图案的面积，采取了以下方法：用一个长为，宽为的矩形将图案框起来并采取随机在矩形内投点的方式， 通过大量实验发现点落在图案内的频率稳定在0.85，由此可以估计熊猫图的面积大约为 ． 【变式6-1】（2024·浙江杭州·一模）对于“任意抛掷一枚均匀的硬币正面朝上的概率”这一问题，许多科学家曾做过成千上万次的实验，部分结果如表．由表可推得：当我们在相同条件下重复实验次时，硬币正面朝上的次数约为 ． 试验者 抛掷次数 “正面朝上”的次数 频率 棣莫弗 布丰 费勤 皮尔逊 皮尔逊 【变式6-2】（2024·浙江宁波·模拟预测）如表是小甬做“抛掷图钉试验”获得的数据，则可估计“钉尖着地”的概率为 ． 抛掷次数 100 300 500 600 800 900 1000 针尖着的频数 36 120 190 240 312 351 390 针尖着的频率 0.36 0.40 0.38 0.4 0.39 0.39 0.39 【变式6-3】（2024·浙江杭州·一模）公司在购买某种机器时，往往会给每台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000元．此类机器一般使用期为五年，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，则每次实际维修时还需支付工时费500元；如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修服务费为元（含工时费）．甲公司计划购买1台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了台这种机器五年使用期内的维修次数，整理得如表： 维修次数 8 9 10 11 12 频数（台数） 10 20 30 30 10 (1)以这100台机器为样本，估计“1台机器在五年使用期内维修次数不大于10”的概率． (2)试以这100台机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务更省钱？ 某台机器使用期内维修次数 8 9 10 11 12 该台机器维修费用 24000 24500 25000 30000 35000 某台机器使用期内维修台数 8 9 10 11 12 该台机器维修费用 26000 26500 27000 27500 32500 一、单选题 1．（2025·浙江·模拟预测）某校9年级期中考试中5名学生的语文作文成绩（满分40分）分别是33，36，27，36，38，这组数据的中位数和平均数分别为（　　） A．27，36 B．27，34 C．36，36 D．36，34 2．（2025·浙江·一模）如图是甲、乙两位女生次一分钟跳绳成绩的统计图，则（   ） A． B． C． D．无法确定 3．（2025·浙江·一模）现有5张卡片，分别写着数字1，2，3，4，5．若从中随机抽取1张卡片，则该卡片上的数字“恰好是奇数”的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江·模拟预测）某厂名工人一天包装某种商品的数量统计如下（单位：百件） 商品数量 人数 从该表格中我们可以得到工人包装某种商品的数量的众数是（   ） A．众数是 B．众数是 C．众数是 D．众数是 二、填空题 5．（2025·浙江金华·模拟预测）学校组织学生开展科技活动，安排了三个馆，小明与小慧都可以从这三个馆中任选一个参加活动， 则他们选择同一个馆的概率是 小明         小慧 A B C A B C 6．（2025·浙江温州·一模）一个布袋里只有红色、黄色、黑色三种球，它们除颜色外其余都相同，红球、黄球、黑球的个数之比为．从布袋里任意摸出1个球，该球为黑球的概率是 ． 7．（2025·浙江·模拟预测）一个袋子中有2个白球和若干个黑球，它们除了颜色外都相同，随机从中摸一个球，恰好摸到黑球的概率是，则袋子中有 个黑球． 8．（2025·浙江·模拟预测）小明和小华想一起报学校开设的兴趣班，他俩经过讨论发现共同喜爱的不同的兴趣班有4个，而他们只能选择其中一个兴趣班．如果随机报班，那么他俩分到同一个兴趣班的概率是 ． 三、解答题 9．（2025·浙江·一模）书院是中国古代教育机构，最早出现在唐玄宗时期，期中应天书院、岳麓书院、嵩阳书院、白鹿洞书院是我国的四大书院．某校开展“书院文化讲解员”风采展示活动，甲、乙两位同学分别从四大书院中随机选择一个进行讲解： (1)甲选择讲岳麓书院的概率是_____； (2)请用列表或画树状图的方法求甲、乙两同学选择讲解的是相同书院的概率． 10．（2025·浙江温州·一模）某校八年级全体同学参加“数学嘉年华”答题比赛，答对9道及以上为优秀．随机抽查其中20名同学的答题情况，绘制成如图所示统计图． (1)求这20名同学答对题数的平均数． (2)小温问小州：“你对了几道题？”小州说：“我答对题数是被抽查同学的众数．”请问小州答对了几道题？该成绩在所有同学中处于怎样的水平？ (3)若该校八年级学生共有200人，请估计其中答题优秀的人数． 11．（2025·浙江嘉兴·一模）经过两年多的建设和一年多的运营，市的“工业遗址文化乐园”已逐渐成为周边地区学生开展研学活动的基地之一．为进一步优化产品项目，提升服务水平，某天园区工作人员随机抽取了“向晖中学”部分到访的学生，开展对园区内四个品牌游乐项目（：工业之旅；：地质探险；：工程模拟；：极限挑战）受欢迎程度的调查，工作人员初步绘制了如下统计图表（不完整）： (1)参与本次调查的学生总人数_______，喜欢项目的学生人数_______； (2)求参与本次调查的学生中喜欢项目的学生人数，并将条形统计图补充完整； (3)若“向晖中学”共有名学生，试估计该校喜欢项目的学生人数． 12．（2025·浙江衢州·一模）某校在新学期之初举办了一场以“环保”为主题的综合实践知识竞赛，并把随机抽取的若干八年级学生的竞赛成绩进行整理，绘制成如下不完整的统计表和统计图． 组别 成绩（分） 频数 A 2 B a C 14 D b E 10 (1)写出a，b的值，并补全频数直方图． (2)求扇形统计图中，A组所对应的圆心角度数． (3)该校八年级共有480人，根据统计信息，估计该校八年级学生的竞赛成绩在D组的人数． 13．（2025·浙江湖州·一模）某校组织七、八年级学生参加了“中华传统文化知识”问答测试．已知七、八年级各有学生600人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 七年级：86  94  79  84  71  90  76  83  90  87 八年级：88  76  90  78  87  93  75  87  87  79 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 a 90 44.4 八年级 84 87 b 36.6 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：______，______；A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是______年级的学生； (2)学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数； (3)你认为哪个年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好？（请从平均数、中位数、众数、方差等角度分析，写出一条理由即可） 14．（2025·浙江·模拟预测）在2024年巴黎奥运会上，我国体育健儿顽强拼搏、奋勇争先、不负使命，勇夺40枚金牌．为了致敬奥运健儿，弘扬体育精神，某校举办了一分钟跳绳比赛．学校随机抽取了40名学生一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据调查统计结果绘制了统计表和统计图（如图）． 一分钟跳绳次数的频数表 等级 次数 频数 不合格 4 合格 10 良好 优秀 12 一分钟跳绳次数的频数直方图 请根据上述信息，解答下列问题： (1)求的值，并把一分钟跳绳次数的频数直方图补充完整． (2)若该校有800名学生，估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数为 (3)在本次比赛结果为“优秀”等级的学生中，有4位同学一分钟跳绳的次数达190次以上，其中男生和女生各占一半，现准备从这四位同学中选2位参加比赛．请用列表或画树状图的方法，求选出的2位同学恰好性别不同的概率． 男1 男2 女1 女2 男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） 男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2 女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 易错点11 统计与概率 易错陷阱一：找中位数时忽略排序 众数：一组数据中出现次数最多的那个数据 中位数：将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，位于最中间的一个数据(当数据个数为奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数为偶数时) 易错提醒：要观察数据有没有按照顺序排列，没有的要先排列顺序再找，避免出错． 例1．（2024·浙江杭州·二模）如图是小阮同学本周在校体育活动时间统计表（），则小阮同学本周五天体育活动时间的中位数是 ． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 65 60 75 80 70 【答案】 【知识点】求中位数 【分析】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：将数据从小到大排列为：、、、、， 故这组数据的中位数为， 故答案为：． 【变式1-1】（2024·浙江金华·二模）已知某班一合作学习小组6名同学一周在家劳动的时间（单位：h）分别为：，则这组数据的中位数是 ． 【答案】 【知识点】求中位数 【分析】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：将这组数据重新排列为3、4、4、5、5、6， ∴这组数据的中位数是， 故答案为： 【变式1-2】（2025·浙江宁波·一模）已知如下的两组数据： 第一组：20，21，22，25，24，23； 第二组：20，21，23，25，，26． 若两组数据的中位数相等，实数 ． 【答案】22 【知识点】求中位数、 利用中位数求未知数据的值 【分析】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 先求出第一组的中位数为22.5，然后再分类讨论即可求解． 【详解】解：第一组：20，21，22，25，24，23排列后为20，21，22，23，24，25， ∴中位数为， ①第二组：20，21，23，25，，26排列为：，20，21，23，25，26，中位数为，不符合题意； ②第二组：20，21，23，25，，26排列为：20，，21，23，25，26，中位数为，不符合题意； ③第二组：20，21，23，25，，26排列为：20，21，，23，25，26，中位数为，解得：； ④第二组：20，21，23，25，，26排列为：20，21，23，，25，26，中位数为，解得：，此时，不符合题意； ⑤第二组：20，21，23，25，，26排列为：20，21，23，25，，26，中位数为，不符合题意； ⑥第二组：20，21，23，25，，26排列为：20，21，23，25，26，，中位数为，不符合题意； 故， 故答案为：22． 易错陷阱二：混淆平均数和加权平均数 平均数：一般地，个数，我们把叫做这个数的算术平均数，记做 个数的加权平均数：如果在个数中，出现了次，出现了次，……出现了次，那么加权平均数为 易错提醒：加权平均数即将各数值乘以相应的权数，然后加总求和得到总体值，再除以总的单位数．在做题的时候，要注意题设中有没有出现“权”，不能将加权平均数和平均数混淆． 例2．（2025·浙江金华·模拟预测）某学校制作了甲、乙、丙三个简易机器人，为了从中推选一个参加市级比赛，教师评委从“运动、感知、协同”三种能力的表现进行打分，得到如下统计表（单位：分），200名学生逐委进行投票推荐， 每人选择其中一个，得到扇形统计图． 教师评委量化统计表 组别 运动 感知 协同 甲 85 88 90 乙 88 83 82 丙 83 80 80 (1)求学生评委投给甲和乙两个机器人的票数分别是多少？ (2)丙成绩明显最低，已求得甲总成绩为 80.9 分，现要从甲、乙两个机器人中选择参加去比赛，你认为推选哪个？为什么？ 【答案】(1)甲66票，乙74票 (2)乙，见解析 【知识点】求扇形统计图的某项数目、求加权平均数 【分析】本题主要考查了加权平均数的应用，扇形统计图， （1）根据扇形统计图用甲，乙所占的百分比乘以学生总人数，可得答案； （2）根据（1）学生评委的票数，再根据加权平均数求出乙总成绩，然后比较得出答案. 【详解】（1）解：甲得票数∶ (票)， 乙得票数∶ (票)； （2）解：乙总成绩∶ (分)， 甲组总成绩 乙组总成绩， 推荐乙组参加市级比赛． 【变式2-1】（2024·浙江杭州·一模）今年是农历龙年，假期里学校组织学生进行龙灯制作活动，每班精选一项进行年级评选，校学生会组织对同学的作品按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．对每个班的成绩进行整理，并绘制统计表，信息如表： 八年级10个班成绩统计表 成绩/分 6 7 8 9 10 班级个数 1 3 a b 1 已知八年级各班成绩只有一个众数为9分，且a、b均为正整数． 请根据以上信息，完成下列问题： (1)　　，　　； (2)八年级成绩的中位数为 　　分； (3)若年级均分高于8.5分，则认定该年级在活动中荣获“优秀组织奖”，请判断本次活动八年级能否获得“优秀组织奖”． 【答案】(1)1，4 (2)8.5 (3)本次活动八年级不能获得“优秀组织奖” 【知识点】求加权平均数、求中位数、 利用众数求未知数据的值 【分析】本题考查了众数、中位数、平均数，解题的关键是明确题意，求出相应的数据． （1）根据八年级各班成绩只有一个众数为9分，且、均为正整数和表格中的数据，可以得到、的值； （2）根据表格中的数据，可以得到八年级成绩的中位数； （3）先计算出八年级成绩的平均数，再与8.5比较大小即可． 【详解】（1）解：八年级各班成绩只有一个众数为9分，且、均为正整数， ，则， 故答案为：1，4； （2）解：由表格可得， 八年级的中位数为：（分， 故答案为：8.5； （3）解：由表格可得，八年级的平均分为：（分）， ， 本次活动八年级不能获得“优秀组织奖”． 【变式2-2】（2024·浙江温州·二模）小海准备购买一辆新能源汽车，在预算范围内，他打算从甲、乙两款汽车中购买一辆，为此，小海收集了10名消费者对这两款汽车的相关评价，并整理、分析如下： 表一：甲、乙两款汽车的四项得分数据统计表 外观造型 舒适程度 操控性能 售后服务 甲款 7 6 7 8 乙款 7 8 6 7 表二：甲，乙两款汽车的满意度得分统计表（满分10分） 甲款 5 5 6 6 7 8 8 8 8 9 乙款 5 6 6 7 7 7 7 8 8 9 根据以上信息，解答下列问题： (1)若小海认为汽车四项的重要程度有所不同，而给予“外观造型”“舒适程度”“操控性能”“售后服务”四项得分的占比为2：3：3：2，请你帮小海计算甲、乙两款汽车的平均分． (2)结合（1）的结论和甲、乙两款汽车满意度得分的众数和中位数，你建议小海购买哪款汽车？请详细说明你的理由． 【答案】(1)甲、乙两款汽车的平均分分别为6.9分，7分 (2)选择甲款车，理由见解析 【知识点】求加权平均数、利用合适的统计量做决策、求中位数、求众数 【分析】本题考查了加权平均数，中位数、众数的等知识，解题的关键是： （1）利用加权平均数的计算方法求解即可； （2）根据中位数和众数的定义求出甲、乙两款车的满意度得分的众数和中位数，然后结合（1）中所求平均数分析即可． 【详解】（1）解：甲款：， 乙款：， ∴甲、乙两款汽车的平均分分别为6.9分，7分． （2）解：甲款的中位数为，众数为8， 乙款的中位数为，众数为7， 甲乙两款车的满意度得分的平均数接近，但甲款车的满意度得分中位数和众数都高于乙款车， 故选择甲款车． 【变式2-3】（2024·浙江宁波·模拟预测）某校要组织八年级学生进行两天一晚的红色研学活动，向社会公开招标旅行社，前期收到5家旅行社的报价（如图），经过第一轮筛选后，留下金秋、万事达、太平洋三家旅行社． 第二轮要对这三家旅行社从宾馆服务、路线规划、安全措施三方面进行考量，打分如下表． 项目 旅行社 宾馆服务 路线规划 安全措施 金秋 85 90 90 万事达 95 85 80 太平洋 90 88 85 (1)求出图中费用的众数和中位数． (2)假如你是负责人，请你根据表中三个项目的重要程度，赋予不同的“权”，并通过计算，得出三家旅行社的排名顺序． 【答案】(1)众数：600元/人，中位数：600元/人 (2)由高到低排序为金秋，太平洋，万事达（答案不唯一） 【知识点】求加权平均数、求中位数、求众数 【分析】此题考查了众数，中位数和加权平均数， （1）根据众数和中位数的概念求解即可； （2）将宾馆服务、路线规划、安全措施按照的比例记入总分，然后计算加权平均数求解即可． 【详解】（1）∵600出现的次数最多， ∴众数是600； 将费用从小到大排列为：570，580，600，600，620 ∴中位数为600； （2）将宾馆服务、路线规划、安全措施按照的比例记入总分， 金秋旅行社的得分为（分）， 万事达旅行社的得分为（分）， 太平洋旅行社的得分为（分）， ∴由高到低排序为金秋，太平洋，万事达（答案不唯一合理即可）． 易错陷阱三：混淆极差和方差的概念 极差：最大值与最小值的差 方差：一般地，各数据与平均数的差的平方的平均数. 方差的算术平方根就是标准差．方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定． 易错提醒：须记住对应的定义，不能因为都有“差”就觉得一样 例3．（2025·浙江·模拟预测）在一次主题为“畅想未来”的比赛中，某班5名参赛成员的成绩（单位：分）分别为92，87，94，87，90．关于这组数据，下列说法错误的是（　　） A．平均数是89 B．中位数是90 C．众数是87 D．方差是 【答案】A 【知识点】求一组数据的平均数、求方差、求中位数、求众数 【分析】根据平均数，中位数，众数及方差的计算方法计算即可判断答案． 【详解】解：A、这组数据的平均数是（分），所以选项A错误，符合题意； B、将这组数据从小到大排列为87，87，90，92， 94．则中位数是90分，所以选项B正确，不符合题意； C、组数据的众数是87，选项C正确，不符合题意； D、这组数据的方差是（分），所以选项D正确，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了平均数，中位数，众数及方差的计算，熟练掌握平均数，中位数，众数及方差的计算是解题的关键． 【变式3-1】（2024·浙江·二模）某班开展以“提倡勤俭节约，反对铺张浪费”为主题教育活动．为了解学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了10名同学，结果如下表： 每天使用零花钱（单位：元） 0 2 3 4 5 人数 1 2 4 1 2 关于这10名同学每天使用的零花钱，下列说法正确的是（　　） A．平均数是 B．中位数是3 C．众数是2 D．方差是4 【答案】B 【知识点】求加权平均数、求方差、求中位数、求众数 【分析】本题考查了加权平均数、中位数、众数及方差，熟练掌握它们的计算公式是解题的关键；根据平均数、中位数、众数、方差的定义和计算公式，分别进行计算即可得出正确答案． 【详解】解：解：∵一共有10人， ∴平均数为，故A选项错误，不符合题意； 最中间的数是第5个和第6个数的平均数， ∴中位数是；， ∴中位数为3元，故B选项正确，符合题意； ∵每天使用3元零花钱的有4人，最多， ∴众数为3元，故C选项错误，不符合题意； 方差为： ，故D选项错误，不符合题意． 故选：B． 【变式3-2】（2024·浙江·模拟预测）兰花是浙江省省花之一．小江同学在课余统计了小区内10位居民家里的兰花盆栽数量，结果如下：8，6，8，8，6，2，6，4，6，6（单位：盆），关于这组数据，下列说法正确的是（    ） A．众数是8 B．中位数是5 C．平均数是6 D．方差是32 【答案】C 【知识点】求一组数据的平均数、求方差、求中位数、求众数 【分析】此题考查了平均数、众数、中位数及方差的知识，解题时分别计算出众数、中位数、平均数及方差后找到正确的选项即可．分别求出该组数据的众数、平均数、中位数及方差后，选择正确的答案即可． 【详解】解：将小区内10位居民家里的兰花盆栽数量，排序后为：， 在该组数据中，6出现的次数最多，故众数为6，故A错误； 中位数为：，故B错误； 平均数为：，故C正确； 方差为：，故D错误． 故选：C． 【变式3-3】（2024·浙江杭州·模拟预测）老师在黑板上写出一个计算方差的算式： ，根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（ ） A． B．平均数为8 C．添加一个数8后方差不变 D．这组数据的众数是6 【答案】C 【知识点】求中位数、求方差、求众数、 利用方差求未知数据的值 【分析】本题主要考查了方差，平均数，众数．根据方差的公式可得该组数据为10，9，8，6，6，共5个数，平均数为8，再根据方差，众数的定义，即可求解． 【详解】解：根据题意得：该组数据为10，9，8，6，6，共5个数，平均数为8，故A、B选项正确，不符合题意； 添加一个数8后方差为 ∴添加一个数8后方差改变，故C选项错误，符合题意； 这组数据，6出现的次数最多， ∴这组数据的众数是6，故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 易错陷阱四：混淆各种统计图提取信息的方法 频数是指某事件出现的次数，频率=频数÷样本容量， 扇形统计图：频率乘以360°得出所对圆心角，圆心角百分比就是频数乘以100%． 易错提醒：可以结合题目中给出的扇形统计图或条形统计图中的已知信息找出某组对应的频数、频率，再根据得到的结果推出全部分组的频数、频率，进而得到各组对应的扇形统计图的圆心角度数 例4．（2025·浙江金华·模拟预测）近年来中国高铁发展迅速， 下图是中国高铁营运里 增长率折线统计图程增长率折线统计图． 依据图中信息，下列说法错误的是（    ） A．2020年中国高铁营运里程增长率最大 B．2023年中国高铁营运里程增长率比2022年高 C．2020年至2024年，中国高铁营运里程逐年增长 D．2021年到2022年中国高铁营运里程下降 【答案】D 【知识点】折线统计图 【分析】本题考查折线统计图，根据折线统计图表示各年的增长率可判断，正确提炼出有效信息是解题的关键． 【详解】解：A、2020年中国高铁营运里程增长率最大，故A选项正确； B、2023年中国高铁营运里程增长率比2022年高，故B选项正确； C、2020年至2024年，中国高铁营运里程增长率都为正数，故营运里程逐年增长，故C选项正确； D、2021年到2022年中国高铁营运里程增长，故D错误， 故选：D． 【变式4-1】（2025·浙江杭州·一模）为丰富学生业余活动，某中学决定再增加四种选修课，分别是：．青春舌战辩论；．时政瞭望；．美食与地理；．动漫创作，为了解学生喜好，在全校七年级范围内展开抽样问卷调查每位被调查的同学必须选择且只能选择一种，将数据进行整理后绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据上述信息，解答下列问题： (1)这次一共调查了______名学生，并补全条形统计图； (2)求扇形统计图中所对应的扇形的圆心角度数； (3)若该地区七年级学生共有人，估计该地区七年级学生中喜欢“动漫创作”的学生有多少人？ 【答案】(1)，作图见解析 (2) (3)人 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联、画条形统计图、求扇形统计图的圆心角 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的关联、求扇形统计图中扇形的圆心角的度数、用样本估计总体，理解题意，能从统计图中获取有用信息是解答的关键． （1）用喜欢选修课A的学生人数除以其所占的百分比调查总人数，进而求得喜欢选修课C的学生人数，然后补全条形统计图即可； （2）用乘以所占的百分比即可求解； （3）用学生总人数乘以样本中喜欢“动漫创作”的学生所占比例即可求解． 【详解】（1）解：调查总数为名， 喜欢“美食与地理”的人数为（名）， 补全条形统计图如图所示： 故答案为：800； （2）解：， 答：所对应的扇形的圆心角度数为； （3）解：人， 答：估计该地区七年级学生中喜欢“动漫创作”的学生有人． 【变式4-2】（2025·浙江·模拟预测）某校组织全体学生参加一次大型知识竞赛，从中随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本．所有学生的竞赛成绩分为四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分．现根据抽取的学生的竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图．请你根据信息，解答下列问题： 抽取的学生的竞赛成绩条形统计图 抽取的学生的竞赛成绩扇形统计图 (1)在抽取的样本中，等级、等级的各有多少人？请把条形统计图补充完整． (2)在扇形统计图中，求等级所对应的圆心角的度数． (3)若知识竞赛成绩等级为优秀，请你估计该校参加竞赛的1500名学生中成绩优秀的人数． 【答案】(1)等级有50人，等级有40人，图见解析 (2) (3)375名 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联、画条形统计图、求扇形统计图的圆心角 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的关联，用样本估计总体，求扇形统计图中的圆心角的度数，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据B组人数除以B组所占的百分比即可求出抽取的学生总人数，进而求得等级、等级的人数即可； （2）先求出D级人数所占的百分比，再利用乘以这个百分比，即可求出D级对应扇形的圆心角的度数． （3）根据总人数乘以成绩优秀学生所占的百分比即可求出本次竞赛的学生中成绩为优秀的学生人数． 【详解】（1）解：共抽取总人数为（人）， 则等级人数为（人）， 等级人数为（人）， 补全条形统计图如图所示： （2）解：等级所对应的圆心角的度数为； （3）解：（名）， 答：估计该校参加竞赛的1500名学生中成绩优秀的人数为375名． 【变式4-3】（2025·浙江舟山·一模）某学校“体育课外活动兴趣小组”，开设了以下体育课外活动项目：足球，篮球，羽毛球，乒乓球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题： (1)这次被调查的学生共有______人，在扇形统计图中 D部分对应的圆心角的度数为______； (2)请你将条形统计图补充完整； (3)学校共有1200名学生，根据统计信息，请你估算最喜欢篮球项目的学生人数． 【答案】(1)200， (2)见解析 (3)480人 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联、画条形统计图、求扇形统计图的圆心角 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）利用扇形统计图得到A类的百分比为，则用A类的频数除以可得到样本容量；然后用D类的百分比乘以得到在扇形统计图中“D”对应的圆心角的度数； （2）先计算出C类的频数，然后补全统计图； （3）利用总人数乘以对应的比例即可求解． 【详解】（1）解：（人）， 所以这次被调查的学生共有200人， 在扇形统计图中“D”对应的圆心角的度数； 故答案为：200，； （2）解：类人数为（人）， 完整条形统计图为： （3）解：（人）， 答：估算最喜欢篮球项目的学生人数为480人． 易错陷阱五：放回和不放回问题的区分 易错提醒：放回问题的共同特征就是每一次都有同样多的选择；不放回问题的共同特征就是每抽取一次，下一次就少一种情况，特别注意同时抽取，也是表示抽出来不放回．做题时，一定要看清每次选择后的下一步选择是都有同样多的选择还是少了一种选择以正确判断是是“放回”还是“不放回”． 例5．（2025·浙江宁波·一模）在不透明的袋中有大小、形状和质地等完全相同的个小球，它们分别标有数字、、3．从袋中任意摸出一小球，然后放回，将袋中的小球搅匀后，再从袋中摸出另一小球． (1)请你用列表或画树状图的方法表示摸出小球上的数字可能出现的所有结果． (2)将第一次摸出的数字作为点的横坐标x，第二次摸出的数字作为点的纵坐标y，求点落在双曲线上的概率． 【答案】(1)画树状图见解析， (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率、求反比例函数解析式 【分析】此题考查了列表法与树状图法求概率，反比例函数的性质，列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）画出树状图，即可求解， （2）根据数状图，所有可能出现的结果有9种，符合条件的有2种，再根据概率公式即可求解， 【详解】（1）解：画树状图如下： （2）解：由（1）得：所有可能出现的结果为 ； 其中落在的有， ∴点落在双曲线上的概率为. 【变式5-1】（2025·浙江·一模）已知一个不透明的盒子中装有2个红球，1个白球，它们除颜色外其余均相同．甲乙同学进行摸球游戏，请分别求出下列两个游戏中甲同学获胜的概率． 项目 游戏一 游戏二 摸球规则 摸出1个球 先摸出1个球，记下颜色后放回，再摸出1个球 获胜规则 若摸出红球，则甲胜 若摸出两球颜色相同，则甲胜 若摸出白球，则乙胜 若摸出两球颜色不同，则乙胜 【答案】见详解 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】游戏一：根据概率公式用红球的个数除以总球的个数即可得出答案；游戏二：根据题意先画出树状图，求出总情况数，再根据概率公式即可得出答案．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：游戏一：∵已知一个不透明的盒子中装有2个红球，1个白球， ∴摸出1个球，且摸出一个球是红球的概率是：． 即甲同学获胜的概率为； 游戏二：根据题意画树状图如下： ∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球恰好颜色相同的有5种等可能的结果， ∴两次摸出的球恰好颜色相同的概率是：． 即甲同学获胜的概率为． 【变式5-2】（2024·浙江温州·模拟预测）有四张分别标有数字2，4，5，7的卡片，它们的背面都相同，从中任意抽出一张卡片，不放回再从卡片里任意抽出一张． (1)请用树状图或列表法表示出所有可能的结果； (2)求两张卡片的数字之和为奇数的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意此题属于不放回实验． （1）首先根据题意画出树状图，得出所有等可能的结果数； （2）根据（1）得出所有等可能的结果数和两张卡片的数字之和为奇数的情况数，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】（1）根据题意画图如下： 共有12种等情况数； （2）根据（1）可得：共有12种等情况数，摸出的两张卡片的数字之和为奇数的有8种， 则摸出的两张卡片的数字之和为奇数的概率是． 【变式5-3】（2023·浙江绍兴·一模）为培养学生良好的学习习惯，某学校举行了一次整理错题集的展示活动，对部分学生整理错题集的情况进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了下面不完整的统计图表．请根据图表中提供的信息，解答下列问题： 整理情况 频数 频率 优秀 0.25 良好 35 合格 不合格 18 (1)本次抽样共调查了多少名学生？若该校有800名学生，估计该校学生整理错题集情况优秀和良好的学生一共约多少名？ (2)某学习小组4名学生的错题集中，有2本优秀（记为，），1本良好（记为B），1本合格（记为C），这些错题集形状，大小，颜色等外表特征完全相同，从中抽取一本，不放回，从余下的3本错题集中再抽取一本，请用“列表法”或“画树状图”的方法求出两次抽到的错题集都是优秀的概率． 【答案】(1)本次抽样共调查了100名学生，该校学生整理错题集情况优秀和良好的学生一共约480名 (2) 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、列表法或树状图法求概率、由扇形统计图求总量、频数分布表 【分析】（1）根据良好的35人，在扇形统计图中的圆心角为，求出结果即可；利用成绩优秀和良好总的百分比乘以总人数即可求出结果； （2）先画出树状图，然后再用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：（名）； （名）．          答：本次抽样共调查了100名学生，该校学生整理错题集情况优秀和良好的学生一共约480名． （2） ．                                                         答：两次抽到的错题集都是优秀的概率为． 【点睛】本题注意考查了扇形统计图，频数与频率，概率的计算，解题的关键是掌握这些知识点． 易错陷阱六：混淆频率与概率的概念 易错提醒：求概率的方法：（1）简单事件；（2）两步以及两步以上的简单事件求概率的方法：利用树状或者列表表示各种等可能的情况与事件的可能性的比值；（3）复杂事件求概率的方法运用频率估算概率 例6．（2024·浙江宁波·二模）小明在纸上描绘了一幅熊猫图，他想知道这幅图案的面积，采取了以下方法：用一个长为，宽为的矩形将图案框起来并采取随机在矩形内投点的方式， 通过大量实验发现点落在图案内的频率稳定在0.85，由此可以估计熊猫图的面积大约为 ． 【答案】 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题主要考查了频率和概率之间的关系，根据频率和概率之间的关系解答该题即可． 【详解】解：∵点落在图案内的频率稳定在0.85， ∴估计点落在图案内的概率为0.85， ∴估计熊猫图的面积大约为． 故答案为：68． 【变式6-1】（2024·浙江杭州·一模）对于“任意抛掷一枚均匀的硬币正面朝上的概率”这一问题，许多科学家曾做过成千上万次的实验，部分结果如表．由表可推得：当我们在相同条件下重复实验次时，硬币正面朝上的次数约为 ． 试验者 抛掷次数 “正面朝上”的次数 频率 棣莫弗 布丰 费勤 皮尔逊 皮尔逊 【答案】 【知识点】已知概率求数量、由频率估计概率 【分析】本题考查了频率估计概率，根据表格可得估计抛硬币正面朝上的概率的估计值是，进而即可求解． 【详解】解：由题意得，估计抛硬币正面朝上的概率的估计值是， ∴当我们在相同条件下重复实验次时，硬币正面朝上的次数约为， 故答案为：． 【变式6-2】（2024·浙江宁波·模拟预测）如表是小甬做“抛掷图钉试验”获得的数据，则可估计“钉尖着地”的概率为 ． 抛掷次数 100 300 500 600 800 900 1000 针尖着的频数 36 120 190 240 312 351 390 针尖着的频率 0.36 0.40 0.38 0.4 0.39 0.39 0.39 【答案】 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，顶尖着地的频率逐渐稳定到附近， 所以可估计“钉尖着地”的概率为， 故答案为：． 【变式6-3】（2024·浙江杭州·一模）公司在购买某种机器时，往往会给每台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000元．此类机器一般使用期为五年，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，则每次实际维修时还需支付工时费500元；如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修服务费为元（含工时费）．甲公司计划购买1台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了台这种机器五年使用期内的维修次数，整理得如表： 维修次数 8 9 10 11 12 频数（台数） 10 20 30 30 10 (1)以这100台机器为样本，估计“1台机器在五年使用期内维修次数不大于10”的概率． (2)试以这100台机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务更省钱？ 【答案】(1)0.6 (2)选择购买10次维修服务 【知识点】求加权平均数、由频率估计概率 【分析】本题考查利用频率估计概率，加权平均数，列表法等知识，解题的关键是理解题意，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）利用概率公式计算即可． （2）分别求出购买10次，11次的费用即可判断． 【详解】（1）解：由题意得： “1台机器在五年使用期内维修次数不大于10”的概率． （2）解：购买10次时， 某台机器使用期内维修次数 8 9 10 11 12 该台机器维修费用 24000 24500 25000 30000 35000 此时这100台机器维修费用的平均数 ； 购买11次时， 某台机器使用期内维修台数 8 9 10 11 12 该台机器维修费用 26000 26500 27000 27500 32500 此时这100台机器维修费用的平均数 ， ， 所以，选择购买10次维修服务． 一、单选题 1．（2025·浙江·模拟预测）某校9年级期中考试中5名学生的语文作文成绩（满分40分）分别是33，36，27，36，38，这组数据的中位数和平均数分别为（　　） A．27，36 B．27，34 C．36，36 D．36，34 【答案】D 【知识点】求一组数据的平均数、求中位数 【分析】本题考查了求中位数“将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数”和平均数“一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数”，熟记中位数的定义和平均数的计算公式是解题关键．根据中位数的定义和平均数的计算公式求解即可得． 【详解】解：将这组数据按从小到大进行排序为， 则这组数据的中位数为36， 这组数据的平均数为， 故选：D． 2．（2025·浙江·一模）如图是甲、乙两位女生次一分钟跳绳成绩的统计图，则（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【知识点】折线统计图、根据方差判断稳定性 【分析】本题考查折线图及方差，根据折线图可知甲的成绩比较稳定，然后问题可求解．正确理解方差的意义是解题的关键． 【详解】解：由折线图可知：甲的波动比乙小，即甲的成绩比乙的更为稳定， ∴． 故选：B． 3．（2025·浙江·一模）现有5张卡片，分别写着数字1，2，3，4，5．若从中随机抽取1张卡片，则该卡片上的数字“恰好是奇数”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，由此计算即可得解． 【详解】解：数字1，2，3，4，5这5个数中“恰好是奇数”的数是1，3，5， ∴从中随机抽取1张卡片，则该卡片上的数字“恰好是奇数”的概率为， 故选：C． 4．（2025·浙江·模拟预测）某厂名工人一天包装某种商品的数量统计如下（单位：百件） 商品数量 人数 从该表格中我们可以得到工人包装某种商品的数量的众数是（   ） A．众数是 B．众数是 C．众数是 D．众数是 【答案】B 【知识点】求众数 【分析】本题考查了众数，根据众数的定义即可求解，掌握众数的定义是解题的关键 【详解】解：由表可得，商品数量百件的最多， ∴众数是， 故选：． 二、填空题 5．（2025·浙江金华·模拟预测）学校组织学生开展科技活动，安排了三个馆，小明与小慧都可以从这三个馆中任选一个参加活动， 则他们选择同一个馆的概率是 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了列表法求概率， 先列表可知所有可能出现的结果，再得出符合条件的结果，然后根据概率公式计算即可. 【详解】解：设三个馆为A，B，C，列表如下： 小明         小慧 A B C A B C 一共有9种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，符合题意的有3种，所以他们选择同一个馆的概率为. 故答案为：. 6．（2025·浙江温州·一模）一个布袋里只有红色、黄色、黑色三种球，它们除颜色外其余都相同，红球、黄球、黑球的个数之比为．从布袋里任意摸出1个球，该球为黑球的概率是 ． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，摸到黑球的概率等于黑球的个数除以球的总数，再根据红球、黄球、黑球的个数之比为列式求解即可． 【详解】解；∵红球、黄球、黑球的个数之比为， ∴可设红球、黄球、黑球的个数分别为个，个，个， ∴从布袋里任意摸出1个球，该球为黑球的概率是， 故答案为：． 7．（2025·浙江·模拟预测）一个袋子中有2个白球和若干个黑球，它们除了颜色外都相同，随机从中摸一个球，恰好摸到黑球的概率是，则袋子中有 个黑球． 【答案】3 【知识点】根据概率公式计算概率、分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查了分式方程的运用，概率的计算，掌握分式方程解概率的计算方法是解题的关键． 设袋子中有个黑球，由此列式求解即可． 【详解】解：设袋子中有个黑球， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴袋子中有个黑球， 故答案为：3 ． 8．（2025·浙江·模拟预测）小明和小华想一起报学校开设的兴趣班，他俩经过讨论发现共同喜爱的不同的兴趣班有4个，而他们只能选择其中一个兴趣班．如果随机报班，那么他俩分到同一个兴趣班的概率是 ． 【答案】/0.25 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查画树状图或列表法求概率，先画出树状图得到所有的等可能的结果数，再找出满足条件的结果数，进而利用概率公式求解即可． 【详解】解：设四个兴趣班分别为A、B、C、D， 画树状图为： ， 共有16种等可能的结果，其中他俩分到同一个兴趣班有4种， ∴他俩分到同一个兴趣班的概率为． 故答案为： 三、解答题 9．（2025·浙江·一模）书院是中国古代教育机构，最早出现在唐玄宗时期，期中应天书院、岳麓书院、嵩阳书院、白鹿洞书院是我国的四大书院．某校开展“书院文化讲解员”风采展示活动，甲、乙两位同学分别从四大书院中随机选择一个进行讲解： (1)甲选择讲岳麓书院的概率是_____； (2)请用列表或画树状图的方法求甲、乙两同学选择讲解的是相同书院的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查列表法、概率公式，熟练掌握列表法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中甲选择讲岳麓书院的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及甲乙两同学选择讲解的是相同书院的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：共有4个书院，甲选择讲解岳麓书院的概率是； 故答案为：． （2）解：设嵩阳书院、应天书院、岳麓书院、白鹿洞书院分别用、、、表示， 列表如下： 共有16种等可能结果，其中甲、乙两位同学选择讲解的是相同书院，有4种， ∴甲、乙两位同学选择讲解的是相同书院的概率为． 10．（2025·浙江温州·一模）某校八年级全体同学参加“数学嘉年华”答题比赛，答对9道及以上为优秀．随机抽查其中20名同学的答题情况，绘制成如图所示统计图． (1)求这20名同学答对题数的平均数． (2)小温问小州：“你对了几道题？”小州说：“我答对题数是被抽查同学的众数．”请问小州答对了几道题？该成绩在所有同学中处于怎样的水平？ (3)若该校八年级学生共有200人，请估计其中答题优秀的人数． 【答案】(1)8道 (2)小州答对的题目是众数7道，小州成绩略低于平均水平 (3)70人 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求一组数据的平均数、求中位数、求众数 【分析】本题主要考查了求平均数、中位数和众数，用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握中位数、众数和平均数定义． （1）根据平均数的计算方法进行求解即可； （2）求出中位数和众数，然后进行回答即可； （3）用样本估计总体即可． 【详解】（1）解：（道）． 答：这20名同学答对题数的平均数为8道． （2）解：这20名同学中答对题目数最多的7道题，因此众数是7， 将这20名同学答对题目数从小到大进行排序，排在中间位置的2个数分别为7，8，因此中位数是，因此中位数是， ∴小州答对的题目是众数7道， ∵平均数为8道，中位数为7.5道， ∴小州成绩略低于平均水平． （3）解：∵答对9道及以上为优秀， ∴这20名学生优秀率为， ∴（人）． 答：估计该校八年级学生答题优秀的人数为70人． 11．（2025·浙江嘉兴·一模）经过两年多的建设和一年多的运营，市的“工业遗址文化乐园”已逐渐成为周边地区学生开展研学活动的基地之一．为进一步优化产品项目，提升服务水平，某天园区工作人员随机抽取了“向晖中学”部分到访的学生，开展对园区内四个品牌游乐项目（：工业之旅；：地质探险；：工程模拟；：极限挑战）受欢迎程度的调查，工作人员初步绘制了如下统计图表（不完整）： (1)参与本次调查的学生总人数_______，喜欢项目的学生人数_______； (2)求参与本次调查的学生中喜欢项目的学生人数，并将条形统计图补充完整； (3)若“向晖中学”共有名学生，试估计该校喜欢项目的学生人数． 【答案】(1)， (2)补图见解析 (3)名 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、画条形统计图、由扇形统计图求总量、条形统计图和扇形统计图信息关联 【分析】（）用项目学生人数除以其百分比可求出本次调查的学生总人数，进而可求出喜欢项目的学生人数； （）求出参与本次调查的学生中喜欢项目的学生人数，进而补全条形统计图即可； （）用乘以喜欢项目的学生人数占比即可求解； 本题考查了扇形统计图和条形统计图，样本估计总体，看懂统计图是解题的关键． 【详解】（1）解：参与本次调查的学生总人数为， 喜欢项目的学生人数为， 故答案为：，； （2）解：参与本次调查的学生中喜欢项目的学生人数为， ∴将条形统计图补充完整如下： （3）解：， 答：估计该校喜欢项目的学生人数为名． 12．（2025·浙江衢州·一模）某校在新学期之初举办了一场以“环保”为主题的综合实践知识竞赛，并把随机抽取的若干八年级学生的竞赛成绩进行整理，绘制成如下不完整的统计表和统计图． 组别 成绩（分） 频数 A 2 B a C 14 D b E 10 (1)写出a，b的值，并补全频数直方图． (2)求扇形统计图中，A组所对应的圆心角度数． (3)该校八年级共有480人，根据统计信息，估计该校八年级学生的竞赛成绩在D组的人数． 【答案】(1)，见解析； (2) (3)192人 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联、求扇形统计图的圆心角 【分析】本题考查频数分布表、扇形统计图、条形统计图、样本估计总体，解题的关键是从频数分布表和扇形统计图中获取关键信息． （1）根据E组频数及所占百分数求出班级的总人数，进而可求出a、b；根据求出的a、b补全即可； （2）先求出本次调查中A组的占比，再与360°相乘，即可作答； （3）本次调查中八年级中分数在D组的占比与480相乘，即可作答． 【详解】（1）解：班级总人数为：， ∴ ， 补全条形统计图如下： （2）解：， ∴A组对应的圆心角的度数为； （3）解：（人）， ∴估计八年级中分数在D组的人数为192人． 13．（2025·浙江湖州·一模）某校组织七、八年级学生参加了“中华传统文化知识”问答测试．已知七、八年级各有学生600人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 七年级：86  94  79  84  71  90  76  83  90  87 八年级：88  76  90  78  87  93  75  87  87  79 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 a 90 44.4 八年级 84 87 b 36.6 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：______，______；A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是______年级的学生； (2)学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数； (3)你认为哪个年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好？（请从平均数、中位数、众数、方差等角度分析，写出一条理由即可） 【答案】(1)85，87，七 (2)估计两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为660人 (3)我认为八年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好，理由见解析 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求中位数、求众数、运用方差做决策 【分析】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义即可求出答案； （2）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可； （3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可． 【详解】（1）解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94， 故该组数据的中位数为， 八年级10名学生的成绩中87分的最多，有3人，所以众数． A同学得了86分，大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生． 故答案为：85，87，七． （2）解：（人）， 答：估计两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为660人． （3）解：我认为八年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好． 理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差， 所以八年级的学生掌握的总体水平较好．（答案不唯一） 14．（2025·浙江·模拟预测）在2024年巴黎奥运会上，我国体育健儿顽强拼搏、奋勇争先、不负使命，勇夺40枚金牌．为了致敬奥运健儿，弘扬体育精神，某校举办了一分钟跳绳比赛．学校随机抽取了40名学生一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据调查统计结果绘制了统计表和统计图（如图）． 一分钟跳绳次数的频数表 等级 次数 频数 不合格 4 合格 10 良好 优秀 12 一分钟跳绳次数的频数直方图 请根据上述信息，解答下列问题： (1)求的值，并把一分钟跳绳次数的频数直方图补充完整． (2)若该校有800名学生，估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数为 (3)在本次比赛结果为“优秀”等级的学生中，有4位同学一分钟跳绳的次数达190次以上，其中男生和女生各占一半，现准备从这四位同学中选2位参加比赛．请用列表或画树状图的方法，求选出的2位同学恰好性别不同的概率． 【答案】(1)14，作图见解析 (2)720人 (3) 【知识点】频数分布直方图、列表法或树状图法求概率、由样本所占百分比估计总体的数量、频数分布表 【分析】本题考查频数分布表和频数直方图、用样本估计总体、画树状图或列表法求概率，理解题意，找准有效信息是解答的关系． （1）用总人数减去其他等级人数即可求解a值，然后补充统计图即可； （2）用全校总人数乘以样本中一分钟跳绳次数达到合格所占的比例求解即可； （3）列表求得所有等可能的结果，找出满足条件的可能结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 补充图如下： （2）解：估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格的人数约（人）． （3）解：列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） 男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2 女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） 共有12种等可能的结果，其中选出的2位同学恰好性别不同的结果有84种， ∴选出的2位同学恰好性别相同的概率为． 19 学科网（北京）股份有限公司 $$