易错10 锐角三角函数（五大易错分析+举一反三+易错题通关）-备战2025年中考数学考试易错题（浙江专用）

易错10 锐角三角函数 易错陷阱一：特殊角的三角函数值记忆错误 特殊角的三角函数值表 α sinα cosα tanα 30° 45° 60° 例1．（2025·浙江衢州·一模）计算： 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、实数的混合运算、零指数幂、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，实数的混合运算，先利用零指数幂的法则，特殊角的三角函数值，二次根式的性质化简，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 【变式1-1】（2025·浙江·模拟预测）（1）计算： （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【知识点】实数的混合运算、计算多项式乘多项式、运用完全平方公式进行运算、特殊三角形的三角函数 【分析】此题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握运算法则和特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）先计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂、算术平方根、特殊角的三角函数值，再进行加减运算即可； （2）先计算单项式乘以多项式和利用完全平方公式进行计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2） ． 【变式1-2】（2025·浙江·模拟预测）计算：． 【答案】3 【知识点】负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算、求一个数的算术平方根、零指数幂 【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式分别计算算术平方根、特殊角三角函数值、负整数指数幂以及零指数幂，然后再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 【变式1-3】（2025·浙江·模拟预测）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、负整数指数幂、二次根式的乘法、特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，正确计算是解题的关键． 先代入特殊角的三角函数值，并进行二次根式乘法运算，再计算乘方和负整数指数幂，最后进行加减计算即可． 【详解】解： ． 易错陷阱二:对三角函数定义混淆计算错误 解直角三角形口诀“直乘斜除，对正临余”——求直角三角形的直角边，多用乘法；求斜边，多用除法。求已知角的对边，多用正弦或正切值；求已知角的临边，多用余弦值。 例2.（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，，，，，则线段的长 ．​ 【答案】/ 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、已知正切值求边长 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键；过点B作，垂足为E，交于点F，由题意易得，，然后可根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：过点B作，垂足为E，交于点F，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设，则， ∴，整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 故答案为：． 【变式2-1】（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，于点D，若，，则 ． 【答案】 【知识点】求角的正切值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了解直角三角形，根据勾股定理及三角形面积公式求解即可． 【详解】解：在中，由勾股定理得，， 同理， ∵，即， ∴， 即， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，，点是边上，将沿翻折得到，当时． （1）的值为 ． （2）的长为 ． 【答案】 / / 【知识点】求角的正切值、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题考查了解三角形，利用等腰三角形三线合一性质构造直角三角形，由折叠和平行、等边对等角证明角相等从而得到等腰三角形是解题关键． （1）过点A作，垂足为H，根据等腰三角形三线合一性质可得，再由勾股定理求出，由此即可求解；（2）由等腰三角形性质、折叠、平行线性质容易证明，，进而可得，即得，从而可得，，由勾股定理求出． 【详解】解：（1）如图，过点A作，垂足为H， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）由折叠可知：，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为（1），（2） 【变式2-3】（2024·浙江·模拟预测）如图，正方形中，点在边上，且 ，点在边 上，点 在边上，． ()若，则的长为 ； ()若与相似，则的长为 ． 【答案】 ； 或． 【知识点】根据正方形的性质求线段长、已知正切值求边长、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（）由可得，再证明，得到，由得到，即得，进而可得，，再利用勾股定理可得，即可求解； （）分和两种情况，画出图形解答即可求解； 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数，勾股定理，利用数形结合和分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （）有两种情况： ，即， ∴， 则四边形为矩形， ∴； ，则， 由（）得，，即， ∴， ∴， ∴， ∵由（）得，， ∴， ∴，即点和点重合， ∵， ∴； 综上，的长为或， 故答案为：或． 易错陷阱三：未正确构造直角三角形求解错误 利用锐角三角函数的定义，作辅助线：做垂线求解 例3．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角，点都在格点上，则的值是 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、求角的余弦值、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题． 如图，连接，，证明，、C、B共线，再根据解题即可． 【详解】解：如图，连接，， 设菱形的边长为，由题意得，，，， ∴， 则， ∵， ∴， ∴、、共线， 在中， ． 故答案为：． 【变式3-1】（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，点在菱形的边上，将菱形沿着翻折，使点的对应点恰好落在边上，若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求角的余弦值、利用菱形的性质求线段长、折叠问题 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，解直角三角形，掌握知识点的应用是解题的关键． 过点作，交延长线于点，过作于点，由菱形的性质可知，，，由折叠性质可知：，，然后证明，由性质得，即有，设，，然后代入即可求解． 【详解】解：过点作，交延长线于点，过作于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 由折叠性质可知：，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∴， ∴，负数舍去 ∴ ∴， 故答案为：． 【变式3-2】（2025·浙江宁波·一模）如图所示，在中，，点D为上一点，满足，，过点C作于P点， 连接交于点Q， 则 ．（结果用含n的代数式表达） 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、正切的定义等知识点，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键． 设，易得、，再证，根据相似三角形的性质列比例式可得；过A点作垂直的延长线与F，则，易得，根据相似三角形的性质列比例式可得、、，最后利用对顶角相等以及正切的定义即可解答． 【详解】解∶设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得∶， 如图：过A点作垂直的延长线与F，则， ∴， ∴，即，解得：，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式3-3】（2024·浙江·模拟预测）如图，将矩形沿折叠，点A与点重合，连接并延长分别交于点G，F，且． （1）若，则 ． （2）若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】矩形与折叠问题、求角的正切值、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】（1）根据折叠的性质可得，进而求出，则，根据等边对等角可得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （2）过点作于点，得到四边形、均为矩形，根据得到，由平行线的性质得，由对顶角相等得，则，进而得到，根据勾股定理求出，设，则，，，再根据勾股定理求得，根据折叠的性质可得，，，，于是，，在中，根据勾股定理列出方程求解即可． 本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，灵活运用所学知识解决问题是解题关键． 【详解】解：（1）四边形为矩形， ， ， 根据折叠的性质可得，， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）如图，过点作于点， 四边形为矩形，设，， ，，，， ， 四边形、均为矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， 设，则， ， ， ， 在中，， 根据折叠的性质可得，，，， ，， 在中，， ， 解得：， ∴ 故答案为： 易错陷阱四、解直角三角形应用中未抽象出直角三角形错误 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角. 俯角：视线在水平线下方的叫俯角 方向角遵循——上北下南，左西右东。 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α， 坡度越大，坡角越大，坡面越陡 从实际问题中抽象出几何图形，如三角形，四边形，平行四边形，矩形，菱形，正方形。利用相关知识点解决实际问题 例4．（2024·浙江台州·二模）如图，斜面上的小正方体木块的重力大小和方向可以用从点到点的有向线段的表示，由于斜边的支撑，重力会分解成平行于斜面的分力和垂直于斜面的分力（叫做木块对斜面的正压力），分别用从到的有向线段和从到的有向线段表示．线段的长表示正方体的重力大小，线段和的长分别表示两个分力的大小．根据科学原理，四边形是平行四边形．如果斜面的坡角，小正方体木块的重力为10牛．求：该正方体木块对斜面的正压力（垂直于斜面的分力）的大小． （温馨提示：，，，结果精确到0.1牛） 【答案】该正方体木块对斜面的正压力约为9.4牛． 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题．根据题意求出，再根据余弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：，， ， 在中，，牛， ， （牛）， 答：该正方体木块对斜面的正压力约为9.4牛． 【变式4-1】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，所示，在某海域，一艘指挥船在C处收到渔船在B处发出的求救信号，经确定，遇险抛锚的渔船所在的B处位于C处的南偏西方向上，且海里；指挥船搜索发现，在C处的南偏西方向上有一艘海监船A，恰好位于B处的正西方向．于是命令海监船A前往搜救，已知海监船A的航行速度为40海里/小时，问渔船在B处需要等待多长时间才能得到海监船A的救援？（已知，） 【答案】渔船在B处需要等待1.3小时 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据A在B的正西方，延长交南北轴于点D，则于点D，在和中，根据锐角三角函数即可求出和的长，进而可得，然后利用距离除以速度可得渔船在B处需要等待的时间． 【详解】解：因为A在B的正西方，延长交南北轴于点D，则于点D， ∵，， ∴， 在中，，海里， 即， 解得海里， ∴海里， 在中，， 即， 解得海里， ∵， ∴海里， ∵海监船A的航行速度为40海里/小时， 则渔船在B处需要等待的时间为（小时）， ∴渔船在B处需要等待1.3小时． 【变式4-2】（2025·浙江·一模）在学习三角函数知识后，李老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量建筑物的高度．如图，圆圆在自家楼顶处观测，测得对面一幢楼房顶部处的仰角为，测得这幢楼房底部处的俯角为．已知观测点处距地面的高度为24米（图中点均在同一平面内）． (1)求两幢楼房之间的水平距离（结果保留根号）． (2)求对面这幢楼房的高度（结果取整数）．（参考数据：） 【答案】(1)为米 (2)对面这幢楼房的高度约为米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作， 垂足为， 根据题意可得：米，， 然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：过点作， 垂足为， 由题意得： 米， ， 在中， ， (米) ， 米， ∴两幢楼房之间的水平距离为米； （2）在中， 米， （米) ， ∵米， (米)， ∴对面这幢楼房的高度约为米. 【变式4-3】（2025·浙江舟山·一模）如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． (1)若上臂与水平面平行，，计算点A到地面的距离（结果保留根号）； (2)在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，如图③，计算此时点A到地面的距离（精确到，，）． 【答案】(1) (2) 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、含角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识． （1）过点C作，垂足为M，由含角的直角三角形的性质得，，即可得出答案； （2）过点B作垂直于地面，垂足为G，分别过点A，C作的垂线，垂足分别为E，F，求出，，，则，，，求出点A到地面的距离的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，过点C作，垂足为M，则， ，， ， ，， ， 即点A到地面的距离为； （2）解：如图，过点B作垂直于地面，垂足为G，分别过点A，C作的垂线，垂足分别为E，F， 则四边形是矩形， ∴； ，， ，，， ，，， 点A到地面的距离为． 易错陷阱五、利用三角函数解几何综合问题错误 牢记三角函数的概念以及四边形的判定和性质，利用几何知识点解决问题 例5．（2024·浙江·中考真题）如图，在中，，是边上的中线，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1)14 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，分别解与，得出，是解题的关键． （1）先由三角形的高的定义得出，再利用得出；在，根据勾股定理求出，然后根据即可求解． （2）先由三角形的中线的定义求出的值，则，然后在中根据正弦函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式5-1】（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，已知，，，以为底在外作腰长为10的等腰． (1)如图①，若，求的长； (2)如图②，若．求的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】（1）证明，得到，求解即可； （2）分别作于，作于，设，证明，得到，勾股定理求出的值，再根据，进行求解即可． 【详解】（1）， ． ，是以为底的等腰三角形， ∴，， ， ． ， ， ． （2）如图，分别作于，作于，设， 则， ，，． ， ． ， ， ，即，则， 由勾股定理得：， ∴， 解得：或， ∴或， ∵，， 或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，证明三角形相似，是解题的关键． 【变式5-2】（2024·浙江·二模）如图，在中，E、F为对角线的三等分点，延长，分别交，于点G，H． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用平行四边形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）先证明，可得，再结合三等分点与平行四边形的性质可得结论； （2）过C作，证明，可得，，求解， 可得，证明，再利用相似三角形的性质可得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵F，E分别是的三等分点， ∴ ， ∴， ∴， ∴； （2）过C作， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟练的利用相似三角形的性质解决问题是关键． 【变式5-3】（2025·广东深圳·一模）如图，内接于，连结交于点D，交于点E，已知． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若，设的半径为r，求的面积（用含r的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)； (3) 【知识点】圆周角定理、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】（1）先根据圆周角定理可得，再由同角的余角可得，则，最后由三角函数定义即可得结论； （2）如图2，过点C作于M，根据勾股定理可得，由面积法得，由勾股定理得，由等腰三角形的三线合一的性质得：，最后由圆周角定理，对顶角相等，等角对等边即可解答； （3）如图3，连接并延长交于F，连接，先根据垂径定理得：，，根据三角形的内角和定理得：，则，是等腰直角三角形，设，则，由勾股定理和三角形的面积即可解答． 【详解】（1）证明：如图1， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图2，过点C作于M， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （3）解：如图3，连接并延长交于F，连接， ∵， ∴，， ∴， ∴，， 由（2）知：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，添加恰当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 一、单选题 1．（2025·浙江·一模）如图，已知钟摆的摆长为米，当钟摆由位置摆动至位置时，钟摆摆动的角度为，此时摆幅的长可以表示为（   ）米 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、三线合一 【分析】本题考查解直角三角形，根据题意可得为等腰三角形，因此作于C点，然后利用三角形函数表示，根据“三线合一”的性质即可得到的长度，从而得出结论． 【详解】解：由题意可得，为等腰三角形，此时摆幅即为线段的长度，如图所示，作于C点， 则由“三线合一”知，，， ∴在中，米， ∴米， 故选：D． 2．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，是三艘军舰，舰在舰正东方向海里处，舰在舰北偏西方向 海里处．某日，三艘军舰同时收到渔船发出的同一求救信号，信号的传播速度相同，则舰与渔船相距（    ）    A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】C 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明 【分析】本题考查了方位角解直角三角形，矩形的性质，勾股定理的运用，掌握方位角解直角三角形的计算，图形结合分析思想是解题的关键．根据题意，可确定点在线段垂直平分线的交点处，如图所示，可得，作，与交于点，可得四边形是矩形，根据，运用特殊角的三角函数可得的值，在直角中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意，点到三艘军舰的距离相等，即点在线段垂直平分线的交点处，作图如下，    ∴，，垂足分别为点，作，过点作于点，与交于点，连接， 由题意得海里，海里，四边形是矩形， ∴海里，海里，海里， ∵，， ∴， ∴海里，且， ∴在中，， ∴海里， ∴海里， 在中，海里， 故选：C ． 3．（2024·浙江·模拟预测）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点P．则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理与网格问题、求角的正弦值 【分析】本题考查解直角三角形，关键是通过作辅助线，应用转化思想求．连接，，由等腰直角三角形的性质推出，得到，求即可． 【详解】解：连接，，设小正方形的边长是1， ，是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：C 4．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，已知，，是的外心，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆周角定理、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了三角形的外接圆，解直角三角形，勾股定理，圆周角定理，连接，，以点为圆心，以为半径作的外接圆，根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点可得，，结合等腰三角形底边上的中线与顶角的角平分线重合可得，根据锐角三角函数可求得，最后由勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，，以点为圆心，以为半径作的外接圆，如图所示： ∵是的外心，是的中点，， ∴，，， ∵， ∴， 故， 在中，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 即， 解得：（负值舍去）； 故答案为：． 二、填空题 5．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，四边形中，，，对角线平分，则的值是 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形 【分析】过点作，角平分线的性质，得到，证明，得到，求出，根据含30度角的直角三角形的性质，求出，根据，求出，进而求出，再利用正切的定义，进行求解即可． 【详解】解：过点作，则：， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质，含30度的直角三角形，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是添加辅助线，构造特殊三角形和相似三角形． 6．（2024·浙江·模拟预测）毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金比．已知顶角为的等腰三角形的底边上的高线为，腰上的高线为，则 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、已知正弦值求边长、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】如图，是等腰三角形，，，，，，， 则，，，由，可得，设，则，，即，，即，可求，，由勾股定理得，，即；，即，可得，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：如图，是等腰三角形，，，，，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，即，，即， 解得，，， 由勾股定理得，，即； ，即， ∴， ∴或（舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，正弦，勾股定理，三角形内角和定理等知识．熟练掌握等腰三角形的性质，正弦，勾股定理，三角形内角和定理是解题的关键． 7．（2025·浙江嘉兴·一模）市为响应“加快产业迭代升级、促进绿色生态发展”的号召，三年前决定将该市的一家高能耗工厂进行迁建，并将其原址改建成“工业遗址文化乐园”．工程之初，施工方对厂区内的一座高炉进行了测绘，先将测角仪放置在水平地面的处，观测镜头距地面米，此时测得高炉顶端的仰角，再将测角仪移至地面的处，测得高炉顶端的仰角，已知相距米，高炉底部与在同一水平线上．则高炉的高度约为 米．（计算结果精确到米）．（参考数据：，．） 【答案】 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，设与的延长线相交于点，可得米，设米，分别解和得米，米，再根据米列出方程求出即可求解，掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：设与的延长线相交于点，则， 由题意可得米， 设米， 在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∵米， ∴， 解得， ∴米， 故答案为：． 8．（2024·浙江台州·二模）在矩形中， 别是边 上的点．把和分别沿对折，使分别落在对角线上的处，连结、．若点重合（如图①），则 °；若（如图②），则 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、求角的正切值 【分析】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．图①中，先证四边形是平行四边形，再结，得四边形是菱形，则，得即可；图②中，设，先证四边形是平行四边形，得，再证得，最后在中，由勾股定理得，即，化简可得即可． 【详解】解：图①中，点重合 点在同一直线上 四边形是矩形 由折叠的性质知， 即 又矩形中， 四边形是平行四边形 四边形是菱形 ； 图②中，设, 四边形是矩形 由折叠的性质知， 即 又矩形中， 四边形是平行四边形 由折叠的性质知， 在和中 是等腰的中线 在中，由勾股定理得 化简得 ． 故答案为：． 三、解答题 9．（2024·浙江金华·二模）计算：． 【答案】1 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、二次根式的乘法、特殊三角形的三角函数 【分析】本题主要考查了实数的运算，涉及特殊角三角函数值，零指数幂，绝对值，算术平方根，二次根式的运算，先计算特殊角三角函数值，零指数幂、算术平方根和绝对值，再根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 10．（2024·浙江·一模）如图是由36个边长为1的小正方形组成的的网格，的顶点即是网格的顶点． (1)求； (2)在图中找一个格点D，利用和说明“有两条边和一个角相等的两个三角形全等”是假命题． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、解直角三角形的相关计算、举例说明假（真）命题 【分析】本题主要考查了解直角三角形，全等三角形的判定： （1）过点A作交的延长线于点P，利用锐角三角函数，即可求解； （2）取格点D，使，即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作交的延长线于点P， 根据题意得：， ∴； （2）解：如图，点D即为所求； 根据题意得：， 此时和不全等． 11．（2024·浙江杭州·一模）如图，在中，，点D为边上一点，且满足． (1)求证：． (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、求角的正切值 【分析】此题考查了解直角三角形，相似三角形的性质和判定， （1）根据题意证明出，得到，进而得到； （2）作于H，首先求出，然后根据三角函数求出，，然后利用正切值的概念求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）作于H， ∵，，， ∴ ∴， ∴ ∴，即 ∴ ∴，即 ∴ ∴ ∴． 12．（2024·浙江绍兴·模拟预测）如图，在矩形中，为边上一点，连接．若，过点作于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用矩形的性质证明、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角函数，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键． （）利用即可证明； （）由，设，，则，由勾股定理得，进而得，再根据可得，求出即可求解 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：∵， ∴设，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴． 13．（2024·浙江绍兴·模拟预测）浙江旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图（1）景区内修建观光索道．设计示意图如图（2）所示，以山脚A为起点，沿途修建两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台，长为．索道与的夹角为，与水平线夹角为，A，B两处的水平距离为，，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上） (1)求索道的长（结果精确到）； (2)求水平距离的长（结果精确到）． （参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，理解题意，构造直角三角形是解答的关键． （1）过E作于F，在中解直角三角形即可； （2）延长交于H，证明四边形是矩形得到，在中，利用锐角三角函数求得，进而可求解． 【详解】（1）解：过B作于E， 在中，，，， ∴； （2）解：延长交于H， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴ ∴， 则． 14．（2024·浙江杭州·模拟预测）图1为科研小组研制的智能机器，水平操作台为l，底座AB固定，高为，始终与平台l垂直，连杆长度为，机械臂长度为，点B，C是转动点，与始终在同一平面内．    图1                       图2 (1)转动连杆，机械臂，当张角且时（如图2），求机械臂臂端D到操作台l的距离． (2)转动连杆，机械臂，要使机械臂端D能碰到操作台l上的物体M，则物体M离底座A的最远距离是多少？ 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点B作，垂足为F，根据题意可得，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后进行计算即可解答； （2）当B、C、D三点共线时，此时M点与底座距离最远，计算即可解答． 【详解】（1）解：过点B作，垂足为F，延长交l于点E，如图，    则， ∵， ∴， 在中，, ∴， ∴， ∴， ∴机械臂臂端D到操作台l的距离为； （2）解：当B、C、D三点共线时，此时M点与底座距离最远，如图：    ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴物体M离底座A的最远距离为 15．（2024·浙江杭州·一模）如图，在矩形中，点E在边上（不与点A，D重合），连接，． (1)若点E是边的中点．求证：． (2)设，，． ①求证：． ②若，，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【知识点】利用矩形的性质证明、解直角三角形的相关计算、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查矩形性质及应用，涉及全等三角形判定、锐角三角函数等知识，解题关键是用的代数式表示、、的长度． （1）根据矩形的性质，用证明即可证； （2）①根据三角函数定义，把、用线段比表示，化简即可得证； ②过作于，，则，用的代数式表示、、的长度，即可得到的值，即的值． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （2）解：①∵矩形中，点在边上，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴； ②过作于，如图， ∵， ∴， 设，则， 中，， ∵，， ∴，， 中，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 16．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，内接于，连接，记，． (1)证明：； (2)设与交于点D，半径为2， ①若，求由线段，弧围成的图形面积S； ②若，设，用含k的代数式表示线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题)、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）连接，利用圆周角定理可得，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得出结论； （2）①利用（1）的结论与已知条件可得，则为等腰直角三角形，利用直角三角形的边角关系定理可得，过点D作，利用等腰三角形的性质和直角三角形的边角关系定理可求线段的长，利用即可求解；②延长，交于点G，连接，利用圆周角定理可得，利于等腰三角形的性质可得，进而得到，过点O作，利用等腰三角形的性质和直角三角形的边角关系定理可求，，利用平行线的性质可得，由相似三角形对应边成比例得出比例式，设，则，代入比例式，解方程即可得出结论． 【详解】（1）连接 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （2）①∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 过点D作，如图 则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ②∵， ∴ 延长，交于点G，连接 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 过点O作，则， ∵ ∴ ∴ 设，则 ∵ ∴ ∴ ∴，解得： ∴ 【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，通过添加恰当的辅助线以充分利用圆周角定理是解题的关键． ( 19 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 易错10 锐角三角函数 易错陷阱一：特殊角的三角函数值记忆错误 特殊角的三角函数值表 α sinα cosα tanα 30° 45° 60° 例1．（2025·浙江衢州·一模）计算： 【变式1-1】（2025·浙江·模拟预测）（1）计算： （2）化简：． 【变式1-2】（2025·浙江·模拟预测）计算：． 【变式1-3】（2025·浙江·模拟预测）计算：． 易错陷阱二:对三角函数定义混淆计算错误 解直角三角形口诀“直乘斜除，对正临余”——求直角三角形的直角边，多用乘法；求斜边，多用除法。求已知角的对边，多用正弦或正切值；求已知角的临边，多用余弦值。 例2.（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，，，，，则线段的长 ．​ 【变式2-1】（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，于点D，若，，则 ． 【变式2-2】（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，，点是边上，将沿翻折得到，当时． （1）的值为 ． （2）的长为 ． 【变式2-3】（2024·浙江·模拟预测）如图，正方形中，点在边上，且 ，点在边 上，点 在边上，． ()若，则的长为 ； ()若与相似，则的长为 ． 易错陷阱三：未正确构造直角三角形求解错误 利用锐角三角函数的定义，作辅助线：做垂线求解 例3．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角，点都在格点上，则的值是 ． 【变式3-1】（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，点在菱形的边上，将菱形沿着翻折，使点的对应点恰好落在边上，若，则的值为 ． 【变式3-2】（2025·浙江宁波·一模）如图所示，在中，，点D为上一点，满足，，过点C作于P点， 连接交于点Q， 则 ．（结果用含n的代数式表达） 【变式3-3】（2024·浙江·模拟预测）如图，将矩形沿折叠，点A与点重合，连接并延长分别交于点G，F，且． （1）若，则 ． （2）若，则的值为 ． 易错陷阱四、解直角三角形应用中未抽象出直角三角形错误 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角. 俯角：视线在水平线下方的叫俯角 方向角遵循——上北下南，左西右东。 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α， 坡度越大，坡角越大，坡面越陡 从实际问题中抽象出几何图形，如三角形，四边形，平行四边形，矩形，菱形，正方形。利用相关知识点解决实际问题 例4．（2024·浙江台州·二模）如图，斜面上的小正方体木块的重力大小和方向可以用从点到点的有向线段的表示，由于斜边的支撑，重力会分解成平行于斜面的分力和垂直于斜面的分力（叫做木块对斜面的正压力），分别用从到的有向线段和从到的有向线段表示．线段的长表示正方体的重力大小，线段和的长分别表示两个分力的大小．根据科学原理，四边形是平行四边形．如果斜面的坡角，小正方体木块的重力为10牛．求：该正方体木块对斜面的正压力（垂直于斜面的分力）的大小． （温馨提示：，，，结果精确到0.1牛） 【变式4-1】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，所示，在某海域，一艘指挥船在C处收到渔船在B处发出的求救信号，经确定，遇险抛锚的渔船所在的B处位于C处的南偏西方向上，且海里；指挥船搜索发现，在C处的南偏西方向上有一艘海监船A，恰好位于B处的正西方向．于是命令海监船A前往搜救，已知海监船A的航行速度为40海里/小时，问渔船在B处需要等待多长时间才能得到海监船A的救援？（已知，） 【变式4-2】（2025·浙江·一模）在学习三角函数知识后，李老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量建筑物的高度．如图，圆圆在自家楼顶处观测，测得对面一幢楼房顶部处的仰角为，测得这幢楼房底部处的俯角为．已知观测点处距地面的高度为24米（图中点均在同一平面内）． (1)求两幢楼房之间的水平距离（结果保留根号）． (2)求对面这幢楼房的高度（结果取整数）．（参考数据：） 【变式4-3】（2025·浙江舟山·一模）如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． (1)若上臂与水平面平行，，计算点A到地面的距离（结果保留根号）； (2)在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，如图③，计算此时点A到地面的距离（精确到，，）． 易错陷阱五、利用三角函数解几何综合问题错误 牢记三角函数的概念以及四边形的判定和性质，利用几何知识点解决问题 例5．（2024·浙江·中考真题）如图，在中，，是边上的中线，． (1)求的长； (2)求的值． 【变式5-1】（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，已知，，，以为底在外作腰长为10的等腰． (1)如图①，若，求的长； (2)如图②，若．求的值． 【变式5-2】（2024·浙江·二模）如图，在中，E、F为对角线的三等分点，延长，分别交，于点G，H． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的面积． 【变式5-3】（2025·广东深圳·一模）如图，内接于，连结交于点D，交于点E，已知． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若，设的半径为r，求的面积（用含r的代数式表示）． 一、单选题 1．（2025·浙江·一模）如图，已知钟摆的摆长为米，当钟摆由位置摆动至位置时，钟摆摆动的角度为，此时摆幅的长可以表示为（   ）米 A． B． C． D． 2．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，是三艘军舰，舰在舰正东方向海里处，舰在舰北偏西方向 海里处．某日，三艘军舰同时收到渔船发出的同一求救信号，信号的传播速度相同，则舰与渔船相距（    ）    A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 3．（2024·浙江·模拟预测）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点P．则的值为（     ） A． B． C． D． 4．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，已知，，是的外心，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，四边形中，，，对角线平分，则的值是 ． 6．（2024·浙江·模拟预测）毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金比．已知顶角为的等腰三角形的底边上的高线为，腰上的高线为，则 ． 7．（2025·浙江嘉兴·一模）市为响应“加快产业迭代升级、促进绿色生态发展”的号召，三年前决定将该市的一家高能耗工厂进行迁建，并将其原址改建成“工业遗址文化乐园”．工程之初，施工方对厂区内的一座高炉进行了测绘，先将测角仪放置在水平地面的处，观测镜头距地面米，此时测得高炉顶端的仰角，再将测角仪移至地面的处，测得高炉顶端的仰角，已知相距米，高炉底部与在同一水平线上．则高炉的高度约为 米．（计算结果精确到米）．（参考数据：，．） 8．（2024·浙江台州·二模）在矩形中， 别是边 上的点．把和分别沿对折，使分别落在对角线上的处，连结、．若点重合（如图①），则 °；若（如图②），则 ． 三、解答题 9．（2024·浙江金华·二模）计算：． 10．（2024·浙江·一模）如图是由36个边长为1的小正方形组成的的网格，的顶点即是网格的顶点． (1)求； (2)在图中找一个格点D，利用和说明“有两条边和一个角相等的两个三角形全等”是假命题． 11．（2024·浙江杭州·一模）如图，在中，，点D为边上一点，且满足． (1)求证：． (2)若，，求的值． 12．（2024·浙江绍兴·模拟预测）如图，在矩形中，为边上一点，连接．若，过点作于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 13．（2024·浙江绍兴·模拟预测）浙江旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图（1）景区内修建观光索道．设计示意图如图（2）所示，以山脚A为起点，沿途修建两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台，长为．索道与的夹角为，与水平线夹角为，A，B两处的水平距离为，，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上） (1)求索道的长（结果精确到）； (2)求水平距离的长（结果精确到）． （参考数据：，，，） 14．（2024·浙江杭州·模拟预测）图1为科研小组研制的智能机器，水平操作台为l，底座AB固定，高为，始终与平台l垂直，连杆长度为，机械臂长度为，点B，C是转动点，与始终在同一平面内．    图1                       图2 (1)转动连杆，机械臂，当张角且时（如图2），求机械臂臂端D到操作台l的距离． (2)转动连杆，机械臂，要使机械臂端D能碰到操作台l上的物体M，则物体M离底座A的最远距离是多少？ 15．（2024·浙江杭州·一模）如图，在矩形中，点E在边上（不与点A，D重合），连接，． (1)若点E是边的中点．求证：． (2)设，，． ①求证：． ②若，，求k的值． 16．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，内接于，连接，记，． (1)证明：； (2)设与交于点D，半径为2， ①若，求由线段，弧围成的图形面积S； ②若，设，用含k的代数式表示线段的长． ( 19 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$