易错09 图形的变化（六大易错分析+举一反三+易错题通关）-备战2025年中考数学考试易错题（浙江专用）

易错点09 图形的变化 易错陷阱一：弄错平移的方向和距离 平移： 易错提醒：平移题目中，把握平移的方向和距离 例1．（2025·浙江温州·一模）如图，将沿斜边向右平移得到，与交于点H，延长交于点G，连结．若，，则的长为 ． 【变式1-1】（2024·浙江嘉兴·三模）已知扇形纸片，，，将该扇形纸片沿方向平移得扇形，若恰好为中点，则阴影部分的面积为 ． 【变式1-2】（2024·浙江温州·三模）如图，在中，，，，垂足为，现将沿着方向平移得到，且此时，则的长度为 厘米． 【变式1-3】（2024·浙江温州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移到位置，点A，O分别与点C，D对应，函数的图象经过点C和的中点F，则k的值为 ． 易错陷阱二：对称中区分不了各种对称 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形，那么这个图形叫做轴对称图形； 中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形； 轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称 中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称， 易错提醒：轴对称和中心对称是两个图形之间的位置关系，轴对称图形和中心对称图形是一个图形的特征 例2．（2025·浙江金华·模拟预测）下列图标中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A．腾讯云 B．微云人工智能 C．天元人工智能 D．阿里云 【变式2-1】（2025·浙江宁波·一模）透过城市文旅LOGO可以窥见城市独有的文旅魅力．下列城市文旅LOGO是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·浙江宁波·二模）如图，已知在矩形 中， ，点是的中点，点为边 上的动点，将矩形 绕点 逆时针旋转，得到矩形，在矩形 绕点 逆时针旋转的过程中，记 的对应点是点，则线段长度的最大值与最小值的差为 ． 【变式2-3】（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，，是上一点，连结，将绕点逆时针旋转至，连结，交于，交于点． （1）若，则 ； （2）若，则 ． 易错陷阱三：对位似的定义和性质易识别错误 位似：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点,所在的直线都经过同一点，且有=，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心 易错提醒：注意位似多边形对应顶点都会经过同一个点，切不可通过主观感觉进行判断 例4．（2025·浙江·一模）如图，四边形与四边形是位似图形，位似比为，则（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·浙江温州·一模）如图，在的方格纸中，A，B，C，D是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式4-2】（2025·浙江衢州·一模）如图，在平面直角坐标系中，线段与线段是位似图形，位似中心为点O．已知点，的坐标分别为，．若，则点的对应点A的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·浙江杭州·一模）如图．在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 易错陷阱四：把握不准图形变换前后的性质 旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。 轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等对应角相等 易错提醒：在用图形变换性质的时候，记得看准对应点、对应线段及对应角，否则易出错 例3．（2025·浙江湖州·一模）如图，在平行四边形中，是点B关于对角线的对称点，连结交于点E，连结交于点F，交于点G．，，则的面积是 ． 【变式3-1】（2024·浙江宁波·二模）如图，在中，，，是上一点，，交于点，是直线上一动点，连结，将线段绕点逆时针旋转至线段，连结．当点，，共线时， ． 【变式3-2】（2025·浙江温州·一模）如图，点E，F分别在平行四边形的边，上，连结，，点D关于的对称点G恰好在的延长线上，连结交于点H．若，，则 ， ． 【变式3-3】（2024·浙江台州·一模）如图，将平行四边形绕点A逆时针旋转得到平行四边形，其中点恰好在上，与交于点E，若，，，则 （1）的长为 ； （2）的值为 ． 易错陷阱五：识别或画视图易出错 几何体的三视图：画三视图时注意“长对正，宽相等，高平齐”，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线化成虚线． 易错提醒：画物体的三视图时，一是要正对物体，而不能斜看向物体;二是看得见部分的轮廓线要画成 实线，看不到部分的轮廓线要画成虚线;三是要把看得见的边缘、棱、顶点等等都要画出来， 否则会产生错误视图，从而导致解题出错 例5．（2025·浙江嘉兴·一模）下图是由三个小正方体叠成的一个几何体，则它的左视图是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·浙江·一模）如图，该几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024·浙江宁波·模拟预测）在一次数学综合实践活动中，需要制作如图所示的零件（长方体和圆锥的组合体），为此方方同学画出了该零件的三视图． (1)请问方方所画的三个视图是否有错？如有错，请将错的视图改正． (2)根据图中尺寸，求出其体积．（注：长方体的底面为正方形，单位：，结果保留一位小数） 【变式5-3】（2024·浙江·模拟预测）用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状如下图所示，从上面看到形状图中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，请解答下列问题：    (1) __________，__________，__________； (2)这个几何体最少由__________个小立方块搭成； (3)请在网格图中画出小立方块最多时几何体的左视图． 易错陷阱六：相似三角形的性质和判定理解错误 相似多边形的性质与判定 （1）相似多边形对应角相等，对应边的比相等。 （2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比。 （3）判断两个多边形相似，必须同时具备：（1）边数相同；（2）对应角相等；（3）对应边的比相等。 相似三角形的相关概念 1）、相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。 三角形相似具有传递性。 2）、相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。 3、相似三角形与全等三角形的关系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。 若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的一种特例。 相似三角形的判定 判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证明）。 相似三角形的性质 1、对应角相等，对应边的比相等； 2、拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。 3、相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方。） 例6．（2025·浙江·一模）如图，已知四边形对角线，交于点，点是上一点，连结，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【变式6-1】（2025·浙江嘉兴·一模）如图，在中，以为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，连结，将沿直线对折使点落在处，交边于点． (1)求证：； (2)若，求的值． 【变式6-2】（2025·浙江·模拟预测）在平行四边形中，，，，是边上的一个动点（不与点，重合），过点作，交于点，连结，设． (1)用含的代数式表示的面积． (2)当与相似时，求的值． 【变式6-3】（2025·浙江宁波·一模）已知内接于圆，平分交圆于点，交于点，是上一点． (1)若，_______，求的度数． ①；②． （作答第（1）题时，先选择①或②填写在横线处，使题目完整，然后求解的度数．） (2)若，求的长． (3)若，求证：． 一、单选题 1．（2025·浙江·一模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江温州·一模）如图是由个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）． A． B． C． D． 3．（2025·浙江嘉兴·一模）我国2000多年前的《墨经》中记载了有关“小孔成像”的论述．物体经“小孔成像”成倒立的实像，像可能放大，也可能缩小．如图，小嘉同学制作了一个简易小孔成像仪用来开展蜡烛成像实验，测得蜡烛火焰的像的高度是厘米，则蜡烛火焰的实际高度为（   ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 4．（2025·浙江金华·模拟预测）凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点 到物体 的距离与到凸透镜的中心 的距离之比为 ，若物体 ，则其像 的长为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·浙江衢州·一模）如图，在中，，连接对角线，点为中点，且，点是射线上一点，连接，作，交延长线于点．令，，则关于的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2025·浙江·一模）如图，已知的一边在轴上，另一边经过点，顶点的坐标为，则的值是 ． 7．（2025·浙江宁波·一模）已知是镜子，球在两镜子之间的地面上．球在镜子中的像为，在中的像为．若镜子，之间的距离为66，则 ． 8．（2025·浙江·模拟预测）如图，在四边形中，，，点在的延长线上，分别交，于点，．若，，，则 ． 9．（2025·浙江宁波·一模）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点B的对称点F在边上，G为中点，连结分别与交于M，N两点，若，，则的长为 ，的长为 ． 10．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在矩形中，点E在边上，连结，将沿翻折至，连结，．若，，则的长为 ，的值为 ． 三、解答题 11．（2024·浙江宁波·二模）已知在等腰 中， ，是的三等分点且靠近点， 是的中点，过点作交延长线于点 ． (1)求 的值； (2)连接 ，若 ，，求的值． 12．（2024·浙江·一模）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，，，与交于点G．已知四边形是平行四边形，且． (1)若，求线段，的长． (2)若四边形的面积为48，求的面积． 13．（2025·浙江宁波·一模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上． (1)在的边上找到一点D， 连接， 使得的面积与的面积之比为，请仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并保留作图迹． (2)在网格中找到一个格点E（E点不同于A、B、C） ， 连接、， 使得 ，请仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并保留作图痕迹． 14．（2025·浙江宁波·一模）已知平行四边形中，点是对角线上的等分点．连结， 分别交线段于点，连结． (1)若，则应该满足什么条件？ (2)若，四边形的面积为，的面积为，求的值． 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 易错点09 图形的变化 易错陷阱一：弄错平移的方向和距离 平移： 易错提醒：平移题目中，把握平移的方向和距离 例1．（2025·浙江温州·一模）如图，将沿斜边向右平移得到，与交于点H，延长交于点G，连结．若，，则的长为 ． 【答案】8 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、利用平移的性质求解 【分析】题目主要考查矩形的判定和性质，平移的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 连接，根据题意及矩形的判定和性质得出四边形为矩形，，再由平移的性质确定即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵将沿斜边向右平移得到， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：8． 【变式1-1】（2024·浙江嘉兴·三模）已知扇形纸片，，，将该扇形纸片沿方向平移得扇形，若恰好为中点，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、求其他不规则图形的面积、利用平移的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了复杂图形面积计算，正确作出辅助线，并证明为等边三角形是解题关键．连接，证明为等边三角形，易得，，利用三角函数解得，再求得，的值，然后由求解即可． 【详解】解：连接，如下图， ∵， 由平移可知，，即， ∵为中点， ∴垂直平分， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ， ∴． 故答案为：． 【变式1-2】（2024·浙江温州·三模）如图，在中，，，，垂足为，现将沿着方向平移得到，且此时，则的长度为 厘米． 【答案】/ 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、利用平移的性质求解 【分析】本题考查平移的性质及矩形的性质，熟知图形平移的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．连接，根据平移的性质可得出，再结合的长可得出，最后根据、等腰直角三角形的判定和性质以及直角三角形斜边上中线的性质即可解决问题． 【详解】解：连接， 由平移可知， ， ， ， ， ， 即． 又， ． 又， 是等腰直角三角形， ． ，， ， ． 故答案为：． 【变式1-3】（2024·浙江温州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移到位置，点A，O分别与点C，D对应，函数的图象经过点C和的中点F，则k的值为 ． 【答案】6 【知识点】等式的性质、解一元一次方程（二）——去括号、求反比例函数解析式、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，坐标与图形变化—平移，正确表示出点C和点F是解题的关键． 根据题意可知，，，设，即可表示出点C和点F的坐标，利用函数的图象经过点C和点F，代入列出关于a的方程，进行求解即可． 【详解】解：由平移可得，， 设 ∵点， ∴则中点坐标为： ∴， ∵函数的图象经过点C和点F， ∴ 解得： ∴ 故答案为：6． 易错陷阱二：对称中区分不了各种对称 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形，那么这个图形叫做轴对称图形； 中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形； 轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称 中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称， 易错提醒：轴对称和中心对称是两个图形之间的位置关系，轴对称图形和中心对称图形是一个图形的特征 例2．（2025·浙江金华·模拟预测）下列图标中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A．腾讯云 B．微云人工智能 C．天元人工智能 D．阿里云 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的定义是解答本题的关键． 根据轴对称图形与中心对称图形的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项不符合题意； D、是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意； 故选：D． 【变式2-1】（2025·浙江宁波·一模）透过城市文旅LOGO可以窥见城市独有的文旅魅力．下列城市文旅LOGO是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，常见的轴对称图形有：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆、线段、相交直线等． 根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可得出答案． 【详解】 解：A. 是轴对称图形，故选项符合题意； B. 不是轴对称图形，故选项不符合题意； C. 不是轴对称图形，故选项不符合题意； D. 不是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：． 【变式2-2】（2024·浙江宁波·二模）如图，已知在矩形 中， ，点是的中点，点为边 上的动点，将矩形 绕点 逆时针旋转，得到矩形，在矩形 绕点 逆时针旋转的过程中，记 的对应点是点，则线段长度的最大值与最小值的差为 ． 【答案】10 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了旋转的性质、矩形的性质等内容，把当作一个定点，易得，而是定值，所以主要看的是的最值情况，很明显当与重合时最小，当与重合时最大，进而求解即可． 【详解】解：∵矩形中，， ∴， 先固定点，我们发现随着矩形绕点逆时针旋转的过程中， 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆上， ∴， ∵是中点， ∴， ∴当有最大值和最小值时，对应得会有最大值和最小值， 再把看成一个动点， 当点与点重合时，，此时最小， ∴， 当点与点重合时，，此时最大， ∴， ∴， 即线段长度的最大值与最小值的差为10． 故答案为：10． 【变式2-3】（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，，是上一点，连结，将绕点逆时针旋转至，连结，交于，交于点． （1）若，则 ； （2）若，则 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）过点作于点，证明，可得结论； （2）过点作于点，证明，，设，求出，，可得结论． 【详解】解：（1）如图，过点作于点． ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）当时，过点作于点． 同法可证，， ，，设，则， ，， ， ， ， ． 故答案为：； 【点睛】本题考查了作图－旋转变换，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 易错陷阱三：对位似的定义和性质易识别错误 位似：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点,所在的直线都经过同一点，且有=，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心 易错提醒：注意位似多边形对应顶点都会经过同一个点，切不可通过主观感觉进行判断 例4．（2025·浙江·一模）如图，四边形与四边形是位似图形，位似比为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】位似图形相关概念辨析 【分析】本题考查了位似的知识；结合题意，根据位似图形的性质，得，再结合，通过计算即可得到答案． 【详解】∵四边形与四边形是位似图形，位似比为， ∴ ∵, ∴， ∴ ∴ ∴， 故选：B． 【变式4-1】（2025·浙江温州·一模）如图，在的方格纸中，A，B，C，D是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【知识点】判断位似中心 【分析】本题考查了找位似中心，连接、并延长，则交点即为它们的位似中心，结合图形即可得解． 【详解】解：如图：连接、并延长，则交点即为它们的位似中心， ， ∴它们的位似中心为， 故选：A． 【变式4-2】（2025·浙江衢州·一模）如图，在平面直角坐标系中，线段与线段是位似图形，位似中心为点O．已知点，的坐标分别为，．若，则点的对应点A的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查了位似变换，根据位似关系得到，得到相似比再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵线段与线段是位似图形，位似中心为点O．点，的坐标分别为，． ∴，，与x轴平行， ∵， ∴， ∴相似比为， ∵点， ∴点的对应点A的坐标是，即 故选：A． 【变式4-3】（2025·浙江杭州·一模）如图．在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查位似图形的概念和性质，相似三角形的性质，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方式是解题关键．先根据位似图形的概念求出相似比，再根据相似的性质，面积比等于相似比的平方，即可解题． 【详解】解：∵点，， ∴，， ∵与位似，位似中心为点O， ∴， ∴， ∴的面积与积之比． 故选：C． 易错陷阱四：把握不准图形变换前后的性质 旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。 轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等对应角相等 易错提醒：在用图形变换性质的时候，记得看准对应点、对应线段及对应角，否则易出错 例3．（2025·浙江湖州·一模）如图，在平行四边形中，是点B关于对角线的对称点，连结交于点E，连结交于点F，交于点G．，，则的面积是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、根据成轴对称图形的特征进行求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识点． 由翻折得：，，由勾股定理得，可证明，则求出，则，由于，，则，可得，则，即可求解面积． 【详解】解： 由翻折得：， ∵平行四边形 ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-1】（2024·浙江宁波·二模）如图，在中，，，是上一点，，交于点，是直线上一动点，连结，将线段绕点逆时针旋转至线段，连结．当点，，共线时， ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】点在线段上，过点作于点，过点作，，易得四边形为矩形，，证明，得到，设，则：，设，得到，证明，列出比例式，求出，进而求出，即可得出结果，当点在线段上，同法求出结果即可． 【详解】解：①当点在线段上时： 过点作于点，过点作，，则：四边形为矩形，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设，则：， ∴， ∵，， ∴， 设， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转至线段， ∴， ∴， ∵点，，共线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； ∴， ∴； ②当点在线段上时，如图： 设，则：，，设，则：， 同法可得：，， ∴； 综上：或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，综合性强，难度大，属于填空题中的压轴题，掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形和相似三角形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【变式3-2】（2025·浙江温州·一模）如图，点E，F分别在平行四边形的边，上，连结，，点D关于的对称点G恰好在的延长线上，连结交于点H．若，，则 ， ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解、根据成轴对称图形的特征进行求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了轴对称的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、等角对等边，由对称的性质可得，，由平行四边形的性质可得，，推出，由等角对等边得出，设，则，，即可得出，证明，得出，设，则，求出，再由计算即可得解． 【详解】解：∵点D关于的对称点G恰好在的延长线上， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 【变式3-3】（2024·浙江台州·一模）如图，将平行四边形绕点A逆时针旋转得到平行四边形，其中点恰好在上，与交于点E，若，，，则 （1）的长为 ； （2）的值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质等知识． （1）过A过于M，过作于N，利用旋转的性质得出，，，利用等腰三角形的性质得出，，利用勾股定理求出； （2）利用平行线的性质以及等角对等边可证明，证明四边形是矩形，可得出，，在中，利用勾股定理得出，解方程求出，利用求解即可． 【详解】解：（1）过A过于M，过作于N， ∵旋转， ∴，，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 解得； （2）∴ ， 故答案为：，． 易错陷阱五：识别或画视图易出错 几何体的三视图：画三视图时注意“长对正，宽相等，高平齐”，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线化成虚线． 易错提醒：画物体的三视图时，一是要正对物体，而不能斜看向物体;二是看得见部分的轮廓线要画成 实线，看不到部分的轮廓线要画成虚线;三是要把看得见的边缘、棱、顶点等等都要画出来， 否则会产生错误视图，从而导致解题出错 例5．（2025·浙江嘉兴·一模）下图是由三个小正方体叠成的一个几何体，则它的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断简单组合体的三视图 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据从左边看到的图形即可求解，掌握三视图的画法是解题的关键． 【详解】 解：它的左视图是 故选：． 【变式5-1】（2025·浙江·一模）如图，该几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断简单几何体的三视图 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，左视图是从物体的左面看得到的视图．找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．看不到的用虚线表示. 【详解】解：从左面看，可得选项A的图形． 故选：A． 【变式5-2】（2024·浙江宁波·模拟预测）在一次数学综合实践活动中，需要制作如图所示的零件（长方体和圆锥的组合体），为此方方同学画出了该零件的三视图． (1)请问方方所画的三个视图是否有错？如有错，请将错的视图改正． (2)根据图中尺寸，求出其体积．（注：长方体的底面为正方形，单位：，结果保留一位小数） 【答案】(1)有错，见解析 (2) 【知识点】画简单组合体的三视图、已知三视图求体积 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据三视图求几何体的体积，解题的关键是熟练掌握几何体的三视图的定义． （1）根据几何体的三视图的定义及其画法进行判断即可； （2）根据三视图结合长方体的体积公式和圆锥的体积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：方方所画的三个视图中左视图错了， 正确的为： （2）解： ， 答：其体积为． 【变式5-3】（2024·浙江·模拟预测）用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状如下图所示，从上面看到形状图中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，请解答下列问题：    (1) __________，__________，__________； (2)这个几何体最少由__________个小立方块搭成； (3)请在网格图中画出小立方块最多时几何体的左视图． 【答案】(1)3，1，1 (2)9 (3)见解析 【知识点】画小立方块堆砌图形的三视图、由三视图，判断小立方体的个数、已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 【分析】本题考查简单组合体的三视图 （1）根据主视图，俯视图可直接得出a、b、c的值； （2）在各个位置上摆放相应的小正方体，直至最少即可； （3）在俯视图上的相应位置标注相应位置所摆放的小立方体的个数，即可画出数量最多时的左视图． 【详解】（1）解：由主视图和俯视图可知，， 故答案为：3，1，1； （2）解：最少时，即，而e所在的“列”最少有一处为2即可， 因此，最少需要（个）， 故答案为：9； （3）解：在俯视图上的相应位置标注相应位置所摆放的小立方体的个数，数量最多时的左视图如下：   ． 易错陷阱六：相似三角形的性质和判定理解错误 相似多边形的性质与判定 （1）相似多边形对应角相等，对应边的比相等。 （2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比。 （3）判断两个多边形相似，必须同时具备：（1）边数相同；（2）对应角相等；（3）对应边的比相等。 相似三角形的相关概念 1）、相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。 三角形相似具有传递性。 2）、相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。 3、相似三角形与全等三角形的关系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。 若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的一种特例。 相似三角形的判定 判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证明）。 相似三角形的性质 1、对应角相等，对应边的比相等； 2、拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。 3、相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方。） 例6．（2025·浙江·一模）如图，已知四边形对角线，交于点，点是上一点，连结，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由得出，再运用夹角相等，两边成比例进行证明，即可作答． （2）结合，则，然后把分别代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 【变式6-1】（2025·浙江嘉兴·一模）如图，在中，以为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，连结，将沿直线对折使点落在处，交边于点． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、等边对等角 【分析】本题考查翻折的性质，等边对等角，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据等边对等角得到，然后根据翻折得到，，然后利用三角形的外角和角的和差解题即可； （2）先证明两个对应角相等得到，即可得到，然后代入计算解题． 【详解】（1）证明：由作图可得， ∴， 由折叠可得：，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴，即， 又∵,， ∴， ∴． 【变式6-2】（2025·浙江·模拟预测）在平行四边形中，，，，是边上的一个动点（不与点，重合），过点作，交于点，连结，设． (1)用含的代数式表示的面积． (2)当与相似时，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识点，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）过点C作于点M，先求出，继而求出，由可得面积比等于相似比的平方，即可求解； （2）先解，求出，将问题转化为与相似求解即可． 【详解】（1）解：过点C作于点M， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点C作于点M， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴当与相似时，与相似， ∵，， ∴只有，此时， ∴， ∴， ∴，即． 【变式6-3】（2025·浙江宁波·一模）已知内接于圆，平分交圆于点，交于点，是上一点． (1)若，_______，求的度数． ①；②． （作答第（1）题时，先选择①或②填写在横线处，使题目完整，然后求解的度数．） (2)若，求的长． (3)若，求证：． 【答案】(1)若选择①，；若选择②， (2) (3)见详解 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、相似三角形的判定与性质综合、垂径定理的推论、已知圆内接四边形求角度 【分析】（1）当选择①时，由题意易得，，然后可得是直径，则有点M是圆心，且四边形是平行四边形，进而问题可求解；若选择②，由题意易得，，设，则有，然后可得方程，进而问题可求解； （2）由题意易得，则可证，则有，进而问题可求解； （3）先证明，，则有，，然后根据可得，进而问题可求证． 【详解】（1）解：当选择①时， ∵，平分， ∴，， ∴， ∴是直径， ∵， ∴， ∴点M是圆心，且四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴都为等边三角形， ∴， ∴； 若选择②， ∵，平分， ∴，， 由可设，则有， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵四边形内接于圆， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查垂径定理、菱形的性质与判定、圆周角的性质、圆内接四边形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理、菱形的性质与判定、圆周角的性质、圆内接四边形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 一、单选题 1．（2025·浙江·一模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项图形分析判断后利用排除法求解． 本题考查了中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 【详解】A．是轴对称图形，不是中心对称图形； B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； C．是轴对称图形，也是中心对称图形； D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形． 故选C． 2．（2025·浙江温州·一模）如图是由个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断简单组合体的三视图 【分析】此题主要考查了简单组合体三视图，关键是把握好三视图所看的方向．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看，底层是两个小正方形，第二层左边是一个小正方形， 故它的主视图是． 故选 ． 3．（2025·浙江嘉兴·一模）我国2000多年前的《墨经》中记载了有关“小孔成像”的论述．物体经“小孔成像”成倒立的实像，像可能放大，也可能缩小．如图，小嘉同学制作了一个简易小孔成像仪用来开展蜡烛成像实验，测得蜡烛火焰的像的高度是厘米，则蜡烛火焰的实际高度为（   ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】B 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过作于点，过作于点，证明，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，过作于点， 由题意得，厘米，厘米，厘米，， ∴， ∴， ∴， ∴厘米， 即蜡烛火焰的实际高度为厘米， 故选：． 4．（2025·浙江金华·模拟预测）凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点 到物体 的距离与到凸透镜的中心 的距离之比为 ，若物体 ，则其像 的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，连接，先证出四边形为矩形，得到，再根据，求出，代入数据计算即可． 【详解】解：连接，如图， ∵ ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．（2025·浙江衢州·一模）如图，在中，，连接对角线，点为中点，且，点是射线上一点，连接，作，交延长线于点．令，，则关于的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，设交于点，过点作，得到，勾股定理，求出的长，相似比求出的长，证明，求出的长，证明，列出比例式即可得出结果． 【详解】解：设交于点，过点作， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即：， ∴； 故选B． 二、填空题 6．（2025·浙江·一模）如图，已知的一边在轴上，另一边经过点，顶点的坐标为，则的值是 ． 【答案】 【知识点】求角的正弦值、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义、直角坐标系中点的坐标，熟练掌握是解题的关键． 作轴于点，根据点的坐标特征求出点、的坐标，得到、的长，根据勾股定理求出，根据正弦的定义解答即可． 【详解】解：如图，作轴于点， 由题意得，，， 由勾股定理得，， 则， 故答案为：． 7．（2025·浙江宁波·一模）已知是镜子，球在两镜子之间的地面上．球在镜子中的像为，在中的像为．若镜子，之间的距离为66，则 ． 【答案】132 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查的是镜面反射的性质即轴对称的性质；经过反射后，，，则，即可求解． 【详解】解：如图所示， 经过反射后，，， ∴ ． 故答案为：132． 8．（2025·浙江·模拟预测）如图，在四边形中，，，点在的延长线上，分别交，于点，．若，，，则 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了平行线．熟练掌握等腰直角三角形判定和性质，勾股定理，相似三角形判定和性质，是解题的关键． 求出，根据等腰直角三角形性质得，，∴，根据，得，得，即得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（2025·浙江宁波·一模）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点B的对称点F在边上，G为中点，连结分别与交于M，N两点，若，，则的长为 ，的长为 ． 【答案】 4 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、全等三角形综合问题、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】根据矩形的性质及，可得，从而得到，然后连接，可得四边形是菱形，从而得出平分，再证明，可得，最后证明，即可得解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴ ∵点G是的中点， ∴． 如图，连接， 根据题意，得． ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得（舍去）或， ∴， ∴． 故答案为：4，． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，菱形的性质和判定，作出辅助线构造全等（相似）三角形是解题的关键． 10．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在矩形中，点E在边上，连结，将沿翻折至，连结，．若，，则的长为 ，的值为 ． 【答案】 【知识点】矩形与折叠问题、求角的正切值 【分析】本题考查了轴对称的性质，矩形的性质和求角的正切值，通过对称得出，即可求出的长，过点作平行线，通过角度计算得出，，设和，解方程，求出三角形边长，得出的值 【详解】解：由翻折得，， ∵, ∴, ∵, ∴, 过点作，交于点，交于点， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴，， ∴，， 设，，则，，，， ∴，， 解得， ∴，， ∴， 故答案为：； 三、解答题 11．（2024·浙江宁波·二模）已知在等腰 中， ，是的三等分点且靠近点， 是的中点，过点作交延长线于点 ． (1)求 的值； (2)连接 ，若 ，，求的值． 【答案】(1)； (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、平行公理推论的应用、等边对等角 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （）作交于点，则，所以，而，求得，再证明，得，所以的值为； （）连接，由，，得，，由，得，而，所以，可证明，得 ，则，，再证明，得 ，所以，则，所以，，求得 ； 【详解】（1）解：作交于点， ∵是的三等分点且靠近点， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的值为； （2）解：连接， ，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵都是正数， ∴， ∴，， ∴， ∴的值为． 12．（2024·浙江·一模）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，，，与交于点G．已知四边形是平行四边形，且． (1)若，求线段，的长． (2)若四边形的面积为48，求的面积． 【答案】(1)， (2)125 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质． （1）根据平行四边形的性质得出，，，即可得，，再根据相似三角形的性质及比例的性质即可； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的性质即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ∴，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， 四边形的面积为48， ， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 13．（2025·浙江宁波·一模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上． (1)在的边上找到一点D， 连接， 使得的面积与的面积之比为，请仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并保留作图迹． (2)在网格中找到一个格点E（E点不同于A、B、C） ， 连接、， 使得 ，请仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并保留作图痕迹． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【知识点】无刻度直尺作图、等腰三角形的性质和判定、勾股定理与网格问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）如图，取格点，连接交于，则即为所求； （2）取格点，满足，则即为所求， 【详解】（1）解：如图，取格点，连接交于，则即为所求； 理由：∵， ∴， ∴， ∴的面积与的面积之比为． （2）解：如图，格点即为所求， 理由：连接并延长，为上点， ∵， ∴，， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查的是无刻度的直尺作图，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，相似三角形的性质，熟练的作图是解本题的关键． 14．（2025·浙江宁波·一模）已知平行四边形中，点是对角线上的等分点．连结， 分别交线段于点，连结． (1)若，则应该满足什么条件？ (2)若，四边形的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1)应该满足 (2)6 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，难度较大，解题的关键是理清字母表示的线段． （1）由平行四边形得到，则，，那么得到比例式，继而得到，化简即可求解满足的关系； （2）当，则，而，则，那么，而，由于点是对角线上的等分点，则，即可得到，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 化简得：， ∴或（舍） ∴当，则应该满足； （2）解：当， 由（1）得： 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，为中心对称图形， ∴， ∵点是对角线上的等分点， ∴， ∴， 整理得：， 解得：或（舍）． 19 学科网（北京）股份有限公司 $$