第十一章 11.4.1 第2课时 直线与平面垂直的性质及线面角-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第四册教师用书（人教B版2019）

第2课时　直线与平面垂直的性质及线面角 [学习目标]　1.理解直线与平面垂直的性质定理.2.掌握直线与平面所成的角，并会运用直线与平面垂直求点到平面的距离. 导语 日常生活中我们观察到地面上直立的电线杆和地面的位置关系，联想到立体几何中直线和平面的位置关系，猜想当两条直线都垂直于同一平面时，这两条直线有怎样的位置关系？ 一、直线与平面垂直的性质定理 问题1　我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，在空间中是否有类似的性质呢？ 提示　在空间中，垂直于同一直线的两直线不一定平行，但是垂直于同一平面的两直线一定平行. 知识梳理 直线与平面垂直的性质定理 文字语言 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 符号语言 ⇒l∥m 图形语言 例1　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD=AP，E是PD的中点，点M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. 证明　∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD， ∴AE⊥AB， 又AB∥CD，∴AE⊥CD. ∵AD=AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD. 又CD∩PD=D，CD，PD⊂平面PCD， ∴AE⊥平面PCD. ∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD. 又∵MN⊥PC，PC∩CD=C，PC，CD⊂平面PCD， ∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN. 反思感悟　证明线线平行的常用方法 (1)利用平行线的定义； (2)利用平行线的传递性； (3)利用线面平行的性质定理； (4)利用线面垂直的性质定理； (5)利用面面平行的性质定理. 跟踪训练1　如图，α∩β=l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为点由A，B，a⊂α，a⊥AB.求证：a∥l. 证明　∵PA⊥α，l⊂α， ∴PA⊥l.同理PB⊥l. ∵PA∩PB=P，PA，PB⊂平面PAB， ∴l⊥平面PAB. 又∵PA⊥α，a⊂α，∴PA⊥a. ∵a⊥AB，PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB， ∴a⊥平面PAB.∴a∥l. 二、直线和平面所成的角 问题2　当一支铅笔一端放在桌面上，另一端逐渐离开桌面，铅笔和桌面所成角逐渐增大，观察思考铅笔和桌面所成角怎样定义？ 提示　铅笔和它在桌面上的射影所成的角. 知识梳理 直线与平面所成的角 对应 图形 直线与平面 所成的角 ∠ACB称为直线AC与平面α所成的角 取值 范围 设直线与平面所成的角为θ，0°≤θ≤90° 例2　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， (1)求A1B与平面AA1D1D所成的角； (2)求A1B与平面BB1D1D所成的角. 解　(1)∵AB⊥平面AA1D1D， ∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角， 在Rt△AA1B中，∠BAA1=90°，AB=AA1， ∴∠AA1B=45°， ∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°. (2)连接A1C1交B1D1于点O，连接BO. ∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1=B1，BB1，B1D1⊂平面BB1D1D， ∴A1O⊥平面BB1D1D， ∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角. 设正方体的棱长为1，则A1B=，A1O=. 又∵∠A1OB=90°，∴sin∠A1BO==， 又0°≤∠A1BO≤90°，∴∠A1BO=30°， ∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°. 反思感悟　求斜线与平面所成的角的步骤 跟踪训练2　如图所示，在三棱锥A-SBC中，∠BSC=90°，∠ASB=∠ASC=60°，SA=SB=SC，则直线AS与平面SBC所成的角为(　　) A.120° B.60° C.45° D.30° 答案　C 解析　因为∠ASB=∠ASC=60°，SA=SB=SC， 所以△ASB与△SAC都是等边三角形，所以AB=AC. 如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，则AD⊥BC. 设SA=a，则在Rt△BSC中， BC=a，CD=SD=a. 在Rt△ADC中，AD==a， 则AD2+SD2=SA2，所以AD⊥SD. 又BC∩SD=D，BC，SD⊂平面SBC， 所以AD⊥平面SBC. 因此∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角. 在Rt△ASD中，SD=AD=a， 所以∠ASD=45°， 即直线AS与平面SBC所成的角为45°. 三、直线与平面垂直的综合问题 例3　如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD. (1)求证：CD⊥平面ABD； (2)若AB=BD=CD=1，M为AD的中点，求三棱锥A-MBC的体积. (1)证明　∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD， ∴AB⊥CD. 又∵CD⊥BD，AB∩BD=B， AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD， ∴CD⊥平面ABD. (2)解　由AB⊥平面BCD，BD⊂平面BCD， 得AB⊥BD. ∵AB=BD=1，∴S△ABD=. ∵M是AD的中点，∴S△ABM=S△ABD=. 由(1)知，CD⊥平面ABD， ∴三棱锥C-ABM的高h=CD=1， ∴三棱锥A-MBC的体积 VA-MBC=VC-ABM=S△ABM·h=. 反思感悟　求点到平面的距离的两种方法 (1)构造法：根据定义构造垂直于面的直线，确定垂足位置，将所求线段化归到三角形中求解. (2)等积变换法：将所求距离看作某个几何体(多为棱锥)的高，利用体积相等建立方程求解. 跟踪训练3　如图所示，已知P为△ABC外一点，PA，PB，PC两两垂直，PA=PB=PC=a，求点P到平面ABC的距离. 解　如图所示，过点P作PO⊥平面ABC于点O， 连接AO，BO，CO， ∴PO⊥OA，PO⊥OB， PO⊥OC. ∵PA=PB=PC=a， ∴△PAO≌△PBO≌△PCO， ∴OA=OB=OC，∴O为△ABC的外心. 又PA，PB，PC两两垂直， ∴AB=BC=CA=a，∴△ABC为正三角形， ∴OA=AB=a. ∴PO==a. ∴点P到平面ABC的距离为a. 1.知识清单： (1)直线与平面垂直的性质定理. (2)直线与平面所成的角. (3)直线与平面垂直的综合应用. 2.方法归纳：转化思想. 3.常见误区：直线与平面所成的角寻找不准确. 1.直线a⊥直线b，直线b⊥平面β，则a与β的关系是(　　) A.a⊥β B.a∥β C.a⊂β D.a⊂β或a∥β 答案　D 解析　若a⊂β，b⊥平面β，可证得a⊥b； 若a∥β，过a作平面α，α∩β=c，b⊥平面β，c⊂β， 则b⊥c，a∥c，于是b⊥a. 2.线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.120° 答案　C 解析　如图，AC⊥α，AB∩α=B，则BC是AB在平面α内的射影，则BC=AB，∠ABC为AB所在直线与平面α所成的角. 在Rt△ABC中，cos∠ABC==，∴∠ABC=60°， 即AB与平面α所成的角为60°. 3.如图，设平面α∩β=PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是(　　) A.EF⊥平面α B.EF⊥平面β C.PQ⊥GE D.PQ⊥FH 答案　B 解析　因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ. 若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ. 又EG∩EF=E，EG，EF⊂平面EFG，所以PQ⊥平面EFG. 因为EG⊥平面α，FH⊥平面α，所以EG∥FH， 所以E，F，H，G四点共面， 所以PQ⊥平面EFHG，因为GH⊂平面EFHG， 所以PQ⊥GH. 4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，E是CC1的中点，则E到A1B的距离为　　　　.  答案　a 解析　如图，取BB1的中点F，过点F作FH⊥A1B于点H，连接EF，EH.在正方形BCC1B1中，E，F分别是CC1，BB1的中点，∴EF∥BC，又BC⊥平面ABB1A1，∴EF⊥平面ABB1A1，∴EF⊥A1B，又FH⊥A1B，FH∩EF=F，∴A1B⊥平面EFH，∴A1B⊥EH，故EH为点E到直线A1B的垂线段.在Rt△FHB中，FB=，∠FBH=，故FH=FB·sin∠FBH=a，在Rt△FEH中，EF=a，EH===a， ∴E到A1B的距离等于a. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共12分 1.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是(　　) A.相交 B.平行 C.异面 D.相交或平行 答案　B 解析　因为圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质可得两直线的位置关系是平行. 2.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为(　　) A.2 B.1 C. D. 答案　D 解析　连接EB(图略)，由BB1⊥平面ABCD，知∠FEB即为直线EF与平面ABCD所成的角.在Rt△FBE中，BF=1，BE=，则tan∠FEB==. 3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则点C到平面BDD1B1的距离为(　　) A.1 B. C.2 D.2 答案　B 解析　如图，连接AC，交BD于点E，易知AC⊥平面BDD1B1，所以CE的长即为点C到平面BDD1B1的距离 .因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，可知AC=2.故CE=. 4.已知圆锥SO的底面半径为r，当圆锥的体积为πr3时，该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　如图， 根据圆锥的性质得SO⊥底面圆O， 所以∠OAS即为母线与底面所成角， 设圆锥的高为h，则由题意，有 VSO=πr2h=πr3，所以h=r， 所以母线的长为l===r. 则圆锥的母线与底面所成角的正弦值为sin∠OAS===. 5.(多选)已知平面α和两条不同的直线m，n，下面的条件中一定可以推出m⊥n的是(　　) A.m⊥α，n∥α B.m⊥α，n⊥α C.m⊂α，n⊥α D.m∥α，n∥α 答案　AC 解析　对选项A，若m⊥α，n∥α，则存在直线b⊂α，且n∥b，因为m⊥α，b⊂α，所以m⊥b，即m⊥n，故A正确； 对选项B，若m⊥α，n⊥α，则m∥n，故B错误； 对选项C，若m⊂α，n⊥α，则m⊥n，故C正确； 对选项D，若m∥α，n∥α，则m，n的位置关系为平行、相交或异面，故D错误. 6.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，且AP=2AB=4，M为PC上一动点.若PC⊥DM，则MB的长度为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　如图所示，连接AC，BD.由底面ABCD为正方形得BD⊥AC，由PA⊥底面ABCD得PA⊥BD.又PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC.因为PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC.又因为PC⊥DM，BD∩DM=D，BD，DM⊂平面BDM，所以PC⊥平面BDM，所以MB⊥PC.因为BC=2，BP==2，在△PAC中，PC==2，所以PC2=PB2+BC2，即PB⊥BC，所以MB===. 7.(5分)已知点A，B到平面α的距离分别为4 cm和6 cm，则线段AB的中点M到平面α的距离为　　　　　.  答案　1 cm或5 cm 解析　作AC⊥α，BD⊥α，垂足分别为点C，D. 若A，B两点在平面α的两侧(如图)，过点M作MN⊥α，垂足为N.由M为线段AB的中点，可得=1.又CA=4 cm，BD=6 cm，所以=，所以=，所以=. 在Rt△OMN中，MN=OM·sin∠MON=OB·=1(cm)； 若A，B两点在平面α的同侧，过点M作MN⊥α，垂足为点N(图略)，则易知MN=(AC+BD) =5 (cm). 综上，线段AB的中点M到平面α的距离为1 cm或5 cm. 8.(5分)若正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为1，D是A1C1的中点，则点A到平面B1CD的距离为　　　　；直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为　　　　.  答案　　 解析　∵正三棱柱的棱长为1，则有AD=，B1D=，DC=，又B1C=，∴B1D2+DC2=B1C2，∴=××=，S△ADC=×1×1=.设点A到平面B1DC的距离为h，则有=， ∴·h·=·B1D·S△ADC. ∴·h·=××， ∴h==. 设直线AD与平面B1DC所成的角为θ，则sin θ==. 9.(10分)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF与异面直线AC，A1D都垂直.求证：EF∥BD1. 证明　如图所示，连接AB1，B1D1，B1C，BD， ∵DD1⊥平面ABCD， AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC. 又AC⊥BD，DD1∩BD=D， DD1，BD⊂平面BDD1B1， ∴AC⊥平面BDD1B1， 又BD1⊂平面BDD1B1， ∴AC⊥BD1. 同理可证BD1⊥B1C， 又AC∩B1C=C，AC，B1C⊂平面AB1C， ∴BD1⊥平面AB1C. ∵EF⊥A1D，A1D∥B1C， ∴EF⊥B1C. 又∵EF⊥AC，AC∩B1C=C，AC， B1C⊂平面AB1C， ∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1. 10.(11分)如图， 在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2. (1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(3分) (2)求证：PD⊥平面PBC；(3分) (3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.(5分) (1)解　已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角. 因为AD⊥平面PDC，PD⊂平面PDC， 所以AD⊥PD. 在Rt△PDA中， 由已知得AP==， 故cos∠DAP==， 所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为. (2)证明　因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD. 因为BC∥AD，所以PD⊥BC， 又因为PD⊥PB，BC∩PB=B，BC， PB⊂平面PBC， 所以PD⊥平面PBC. (3)解　过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF， 则直线DF与平面PBC所成的角等于直线AB与平面PBC所成的角. 因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影， 所以∠DFP为直线DF与平面PBC所成的角. 因为AD∥BC，DF∥AB，所以四边形ABFD为平行四边形，所以BF=AD=1. 由已知得CF=BC-BF=2. 又因为AD⊥平面PDC，DC⊂平面PDC， 所以AD⊥DC，所以BC⊥DC， 故在Rt△DCF中，DF==2. 在Rt△DPF中，sin∠DFP==. 所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为. 11.(多选)如图所示，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的是(　　) A.AC⊥SB B.AB∥平面SCD C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 答案　ABC 解析　对于选项A，由题意得SD⊥AC，AC⊥BD，SD∩BD=D，SD，BD⊂平面SBD，∴AC⊥平面SBD，故AC⊥SB，故A正确；对于选项B，∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；对于选项C，由对称性知SA与平面SBD所成的角与SC与平面SBD所成的角相等，故C正确. 12.(2024·新课标全国Ⅱ)已知正三棱台ABC-A1B1C1的体积为，AB=6，A1B1=2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为(　　) A. B.1 C.2 D.3 答案　B 解析　方法一　分别取BC，B1C1的中点D，D1， 则AD=3，A1D1=， 可知S△ABC=×6×3=9， =×2×=， 设正三棱台ABC-A1B1C1的高为h， 则=×h=， 解得h=， 如图，分别过A1，D1作底面的垂线，垂足为M，N， 设AM=x， 则AA1==， DN=AD-AM-MN=2-x， 可得DD1= =， 结合等腰梯形BCC1B1可得 B=+D， 即x2+=(2-x)2++4， 解得x=， 所以A1A与平面ABC所成角的正切值为 tan∠A1AD==1. 方法二　将正三棱台ABC-A1B1C1补成正三棱锥P-ABC， 则A1A与平面ABC所成的角即为PA与平面ABC所成的角， 因为==， 则=， 可知=V三棱锥P-ABC=， 则V三棱锥P-ABC=18， 设正三棱锥P-ABC的高为d， 则V三棱锥P-ABC=d××6×6×=18， 解得d=2， 取△ABC的中心为O， 则PO⊥底面ABC， 且AO=2， 所以PA与平面ABC所成角的正切值 tan∠PAO==1. 13.在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠BAC=60°.已知PC⊥平面ABC，PC=4，M是AB边上一动点，则PM的最小值为(　　) A.2 B. C. D. 答案　A 解析　因为PC⊥平面ABC，故要使PM的值最小，只需PM在平面ABC内的射影CM最短.过点C作CM⊥AB，垂足为点M，此时CM最短(图略).在Rt△ACB中，AB=8，∠BAC=60°，所以AC=AB·cos 60°=4，所以CM=AC·sin 60°=2.又PC⊥CM，所以PM===2. 14.如图，在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，点P在△SCD内及其边界上运动，并且总有PE⊥AC，则动点P的轨迹与△SCD组成的图形是(　　) 答案　A 解析　取CD的中点F，SC的中点Q，连接BD，EQ，FQ，EF(图略)，则EQ綉SB，EF綉BD. ∵在正四棱锥S-ABCD中，SB在平面ABCD内的射影在BD上，且AC⊥BD，∴AC⊥SB，故AC⊥EQ.又AC⊥BD，∴AC⊥EF，又EQ∩EF=E， ∴AC⊥平面EQF，∴当点P在FQ上移动时，总有AC⊥PE. 15.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6，P是AA1的中点，Q是△BDC1内的动点，若PQ⊥BC1，则点Q到平面A1B1C1D1的距离的取值范围是(　　) A.[3，5] B. C.[4，5] D.[2，6] 答案　B 解析　如图，在正方体中分别取BB1，BD的中点P1，O，及BC1的四等分点M(靠近点B)，因为PP1⊥BC1，P1M⊥BC1，P1M∩PP1=P1，P1M，PP1⊂平面PP1M， 所以BC1⊥平面PP1M，则BC1⊥PM. 又OM⊥BC1，OM∩PM=M，故BC1⊥平面POM，所以当点Q在线段OM上时，PQ⊥BC1，则点Q到平面A1B1C1D1的距离最大为6，最小为6×=，所以点Q到平面A1B1C1D1的距离的取值范围为. 16.(12分)如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点. (1)求证：MN∥平面PAD；(5分) (2)若PD与平面ABCD所成的角为α，当α为多少度时，MN⊥平面PCD？(7分) (1)证明　取PD的中点E，连接NE，AE，如图. 又∵N是PC的中点， ∴NE∥DC且NE=DC， 又∵DC∥AB且DC=AB， AM=AB， ∴AM∥CD且AM=CD，∴NE∥AM，且NE=AM， ∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE. ∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD， ∴MN∥平面PAD. (2)解　当α=45°时，MN⊥平面PCD. 证明如下： ∵PA⊥平面ABCD， ∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角， ∴∠PDA=45°，∴AP=AD，∴AE⊥PD. 又∵MN∥AE，∴MN⊥PD. ∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD. 又∵CD⊥AD，PA∩AD=A， PA，AD⊂平面PAD， ∴CD⊥平面PAD. ∵AE⊂平面PAD， ∴CD⊥AE，∴CD⊥MN. 又CD∩PD=D，CD， PD⊂平面PCD， ∴MN⊥平面PCD. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章 <<< 直线与平面垂直的性质及线面角 第2课时 1.理解直线与平面垂直的性质定理. 2.掌握直线与平面所成的角，并会运用直线与平面垂直求点到平面的距离. 学习目标 日常生活中我们观察到地面上直立的电线杆和地面的位置关系，联想到立体几何中直线和平面的位置关系，猜想当两条直线都垂直于同一平面时，这两条直线有怎样的位置关系？ 导 语 一、直线与平面垂直的性质定理 二、直线和平面所成的角 课时对点练 三、直线与平面垂直的综合问题 内容索引 随堂演练 一 直线与平面垂直的性质定理 提示　在空间中，垂直于同一直线的两直线不一定平行，但是垂直于同一平面的两直线一定平行. 我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，在空间中是否有类似的性质呢？ 问题1 直线与平面垂直的性质定理 文字语言 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线_____ 符号语言 ⇒l∥m 图形语言   平行 知识梳理 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD=AP，E是PD的中点，点M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. 例 1 8 ∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD， ∴AE⊥AB， 又AB∥CD，∴AE⊥CD. ∵AD=AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD. 又CD∩PD=D，CD，PD⊂平面PCD， ∴AE⊥平面PCD. ∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD. 又∵MN⊥PC，PC∩CD=C，PC，CD⊂平面PCD， ∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN. 9 反 思 感 悟 证明线线平行的常用方法 (1)利用平行线的定义； (2)利用平行线的传递性； (3)利用线面平行的性质定理； (4)利用线面垂直的性质定理； (5)利用面面平行的性质定理. 如图，α∩β=l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为点由A，B，a⊂α，a⊥AB.求证：a∥l. 跟踪训练 1 ∵PA⊥α，l⊂α， ∴PA⊥l.同理PB⊥l. ∵PA∩PB=P，PA，PB⊂平面PAB， ∴l⊥平面PAB. 又∵PA⊥α，a⊂α，∴PA⊥a. ∵a⊥AB，PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB， ∴a⊥平面PAB.∴a∥l. 11 二 直线和平面所成的角 提示　铅笔和它在桌面上的射影所成的角. 当一支铅笔一端放在桌面上，另一端逐渐离开桌面，铅笔和桌面所成角逐渐增大，观察思考铅笔和桌面所成角怎样定义？ 问题2 直线与平面所成的角 对应图形   直线与平面所成的角 _______称为直线AC与平面α所成的角 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，__________ 0°≤θ≤90° ∠ACB 知识梳理 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， (1)求A1B与平面AA1D1D所成的角； 例 2 ∵AB⊥平面AA1D1D， ∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角， 在Rt△AA1B中，∠BAA1=90°，AB=AA1， ∴∠AA1B=45°， ∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°. 15 (2)求A1B与平面BB1D1D所成的角. 16 连接A1C1交B1D1于点O，连接BO. ∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1=B1，BB1，B1D1⊂平面BB1D1D， ∴A1O⊥平面BB1D1D， ∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角. 设正方体的棱长为1，则A1B=，A1O=. 又∵∠A1OB=90°，∴sin∠A1BO==， 又0°≤∠A1BO≤90°，∴∠A1BO=30°， ∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°. 17 反 思 感 悟 求斜线与平面所成的角的步骤 如图所示，在三棱锥A-SBC中，∠BSC=90°，∠ASB=∠ASC=60°，SA=SB=SC，则直线AS与平面SBC所成的角为 A.120° B.60° C.45° D.30° 跟踪训练 2 √ 19 因为∠ASB=∠ASC=60°，SA=SB=SC， 所以△ASB与△SAC都是等边三角形，所以AB=AC. 如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，则AD⊥BC. 设SA=a，则在Rt△BSC中， BC=a，CD=SD=a. 在Rt△ADC中，AD==a， 则AD2+SD2=SA2，所以AD⊥SD. 又BC∩SD=D，BC，SD⊂平面SBC， 所以AD⊥平面SBC. 20 因此∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角. 在Rt△ASD中，SD=AD=a， 所以∠ASD=45°， 即直线AS与平面SBC所成的角为45°. 21 三 直线与平面垂直的综合问题 如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD. (1)求证：CD⊥平面ABD； 例 3 ∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD， ∴AB⊥CD. 又∵CD⊥BD，AB∩BD=B， AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD， ∴CD⊥平面ABD. 23 (2)若AB=BD=CD=1，M为AD的中点，求三棱锥A-MBC的体积. 由AB⊥平面BCD，BD⊂平面BCD， 得AB⊥BD. ∵AB=BD=1，∴S△ABD=. ∵M是AD的中点，∴S△ABM=S△ABD=. 由(1)知，CD⊥平面ABD， ∴三棱锥C-ABM的高h=CD=1， ∴三棱锥A-MBC的体积 VA-MBC=VC-ABM=S△ABM·h=. 24 反 思 感 悟 求点到平面的距离的两种方法 (1)构造法：根据定义构造垂直于面的直线，确定垂足位置，将所求线段化归到三角形中求解. (2)等积变换法：将所求距离看作某个几何体(多为棱锥)的高，利用体积相等建立方程求解. 如图所示，已知P为△ABC外一点，PA，PB，PC两两垂直，PA=PB=PC=a，求点P到平面ABC的距离. 跟踪训练 3 26 如图所示，过点P作PO⊥平面ABC于点O， 连接AO，BO，CO， ∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC. ∵PA=PB=PC=a， ∴△PAO≌△PBO≌△PCO， ∴OA=OB=OC，∴O为△ABC的外心. 27 又PA，PB，PC两两垂直， ∴AB=BC=CA=a，∴△ABC为正三角形， ∴OA=AB=a. ∴PO==a. ∴点P到平面ABC的距离为a. 28 1.知识清单： (1)直线与平面垂直的性质定理. (2)直线与平面所成的角. (3)直线与平面垂直的综合应用. 2.方法归纳：转化思想. 3.常见误区：直线与平面所成的角寻找不准确. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.直线a⊥直线b，直线b⊥平面β，则a与β的关系是 A.a⊥β B.a∥β C.a⊂β D.a⊂β或a∥β √ 若a⊂β，b⊥平面β，可证得a⊥b； 若a∥β，过a作平面α，α∩β=c，b⊥平面β，c⊂β， 则b⊥c，a∥c，于是b⊥a. 1 2 3 4 2.线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为 A.30° B.45° C.60° D.120° 如图，AC⊥α，AB∩α=B，则BC是AB在平面α内的射影，则BC=AB，∠ABC为AB所在直线与平面α所成的角. 在Rt△ABC中，cos∠ABC==，∴∠ABC=60°， 即AB与平面α所成的角为60°. √ 3.如图，设平面α∩β=PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是 A.EF⊥平面α B.EF⊥平面β C.PQ⊥GE D.PQ⊥FH 1 2 3 4 √ 因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ. 若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ. 又EG∩EF=E，EG，EF⊂平面EFG，所以PQ⊥平面EFG. 因为EG⊥平面α，FH⊥平面α，所以EG∥FH， 所以E，F，H，G四点共面， 所以PQ⊥平面EFHG，因为GH⊂平面EFHG， 所以PQ⊥GH. 1 2 3 4 1 2 3 4 4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，E是CC1的中点，则E到A1B的 距离为　　　　.  如图，取BB1的中点F，过点F作FH⊥A1B于点H，连接EF，EH.在正方形BCC1B1中，E，F分别是CC1，BB1的中点，∴EF∥BC，又BC⊥平面ABB1A1，∴EF⊥平面ABB1A1，∴EF⊥A1B，又FH⊥A1B，FH∩EF=F， ∴A1B⊥平面EFH，∴A1B⊥EH，故EH为点E到直线A1B的垂线段.在 Rt△FHB中，FB=，∠FBH=，故FH=FB·sin∠FBH=a，在Rt△FEH中，EF=a，EH===a， ∴E到A1B的距离等于a. 1 2 3 4 课时对点练 五 2 答案 1 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B D B A AC B 题号 8 11 12 13 14 　15 答案 　 ABC B A A B 对一对 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 如图所示，连接AB1，B1D1，B1C，BD， ∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC. 又AC⊥BD，DD1∩BD=D，DD1，BD⊂平面BDD1B1， ∴AC⊥平面BDD1B1， 又BD1⊂平面BDD1B1， ∴AC⊥BD1. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 同理可证BD1⊥B1C， 又AC∩B1C=C，AC，B1C⊂平面AB1C， ∴BD1⊥平面AB1C. ∵EF⊥A1D，A1D∥B1C， ∴EF⊥B1C. 又∵EF⊥AC，AC∩B1C=C，AC，B1C⊂平面AB1C， ∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角. 因为AD⊥平面PDC，PD⊂平面PDC， 所以AD⊥PD. 在Rt△PDA中， 由已知得AP==， 故cos∠DAP==， 所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (2)因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD. 因为BC∥AD，所以PD⊥BC， 又因为PD⊥PB，BC∩PB=B，BC，PB⊂平面PBC， 所以PD⊥平面PBC. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (3)过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，  则直线DF与平面PBC所成的角等于直线AB与平面PBC所成的角. 因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影， 所以∠DFP为直线DF与平面PBC所成的角. 因为AD∥BC，DF∥AB，所以四边形ABFD为平行四边形，所以BF=AD=1. 由已知得CF=BC-BF=2. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 又因为AD⊥平面PDC，DC⊂平面PDC， 所以AD⊥DC，所以BC⊥DC， 故在Rt△DCF中，DF==2. 在Rt△DPF中，sin∠DFP==. 所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)取PD的中点E，连接NE，AE，如图. 又∵N是PC的中点， ∴NE∥DC且NE=DC， 又∵DC∥AB且DC=AB，AM=AB， ∴AM∥CD且AM=CD， ∴NE∥AM，且NE=AM， 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. ∴四边形AMNE是平行四边形， ∴MN∥AE. ∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD， ∴MN∥平面PAD. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (2)当α=45°时，MN⊥平面PCD. 证明如下： ∵PA⊥平面ABCD， ∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角， ∴∠PDA=45°，∴AP=AD，∴AE⊥PD. 又∵MN∥AE，∴MN⊥PD. ∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 又∵CD⊥AD，PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD， ∴CD⊥平面PAD. ∵AE⊂平面PAD， ∴CD⊥AE，∴CD⊥MN. 又CD∩PD=D，CD，PD⊂平面PCD， ∴MN⊥平面PCD. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是 A.相交 B.平行 C.异面 D.相交或平行 √ 因为圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质可得两直线的位置关系是平行. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为 A.2 B.1 C. D. √ 连接EB(图略)，由BB1⊥平面ABCD，知∠FEB即为直线EF与平面ABCD所成的角.在Rt△FBE中，BF=1，BE=，则tan∠FEB==. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则点C到平面BDD1B1的距离为 A.1 B. C.2 D.2 √ 如图，连接AC，交BD于点E，易知AC⊥平面BDD1B1，所以CE的长即为点C到平面BDD1B1的距离 .因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，可知AC=2.故CE=. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知圆锥SO的底面半径为r，当圆锥的体积为πr3时，该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为 A. B. C. D. √ 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图， 根据圆锥的性质得SO⊥底面圆O， 所以∠OAS即为母线与底面所成角， 设圆锥的高为h，则由题意，有 VSO=πr2h=πr3，所以h=r， 所以母线的长为l===r. 则圆锥的母线与底面所成角的正弦值为sin∠OAS===. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)已知平面α和两条不同的直线m，n，下面的条件中一定可以推出m⊥n的是 A.m⊥α，n∥α B.m⊥α，n⊥α C.m⊂α，n⊥α D.m∥α，n∥α √ √ 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对选项A，若m⊥α，n∥α，则存在直线b⊂α，且n∥b，因为m⊥α，b⊂α，所以m⊥b，即m⊥n，故A正确； 对选项B，若m⊥α，n⊥α，则m∥n，故B错误； 对选项C，若m⊂α，n⊥α，则m⊥n，故C正确； 对选项D，若m∥α，n∥α，则m，n的位置关系为平行、相交或异面，故D错误. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，且AP=2AB=4，M为PC上一动点.若PC⊥DM，则MB的长度为  A. B. C. D. √ 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，连接AC，BD.由底面ABCD为正方形得BD⊥AC，由PA⊥底面ABCD得PA⊥BD.又PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC.因为PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC.又因为PC⊥DM，BD∩DM=D，BD，DM⊂平面BDM，所以PC⊥平面BDM，所以MB⊥PC.因为BC=2，BP==2，在△PAC中，PC==2，所以PC2=PB2+BC2，即PB⊥BC，所以MB===. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知点A，B到平面α的距离分别为4 cm和6 cm，则线段AB的中点M到平面α的距离为　　 　　　.  1 cm或5 cm 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 作AC⊥α，BD⊥α，垂足分别为点C，D. 若A，B两点在平面α的两侧(如图)，过点M作MN⊥α，垂足为N.由M为线段AB的中点，可得=1.又CA=4 cm，BD=6 cm，所以===. 在Rt△OMN中，MN=OM·sin∠MON=OB·=1(cm)； 若A，B两点在平面α的同侧，过点M作MN⊥α，垂足为点N(图略)，则易知MN=(AC+BD)=5 (cm). 综上，线段AB的中点M到平面α的距离为1 cm或5 cm. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为1，D是A1C1的中点，则点 A到平面B1CD的距离为　　　　；直线AD与平面B1DC所成角的正弦值 为　　　　.  2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵正三棱柱的棱长为1，则有AD=，B1D=，DC=，又B1C=，∴B1D2+DC2=B1C2，∴=××=，S△ADC=×1×1=.设 点A到平面B1DC的距离为h，则有=， ∴·h·=·B1D·S△ADC. ∴·h·=××， ∴h==. 设直线AD与平面B1DC所成的角为θ，则sin θ==. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF与异面直线AC，A1D都垂直.求证：EF∥BD1. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，连接AB1，B1D1，B1C，BD， ∵DD1⊥平面ABCD， AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC. 又AC⊥BD，DD1∩BD=D， DD1，BD⊂平面BDD1B1， ∴AC⊥平面BDD1B1， 又BD1⊂平面BDD1B1， ∴AC⊥BD1. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 同理可证BD1⊥B1C， 又AC∩B1C=C，AC，B1C⊂平面AB1C， ∴BD1⊥平面AB1C. ∵EF⊥A1D，A1D∥B1C， ∴EF⊥B1C. 又∵EF⊥AC，AC∩B1C=C，AC， B1C⊂平面AB1C， ∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图， 在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2. (1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值； 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角. 因为AD⊥平面PDC，PD⊂平面PDC， 所以AD⊥PD. 在Rt△PDA中， 由已知得AP==， 故cos∠DAP==， 所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD. 因为BC∥AD，所以PD⊥BC， 又因为PD⊥PB，BC∩PB=B，BC， PB⊂平面PBC， 所以PD⊥平面PBC. (2)求证：PD⊥平面PBC； 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF， 则直线DF与平面PBC所成的角等于直线AB与平面PBC所成的角. 因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影， 所以∠DFP为直线DF与平面PBC所成的角. 因为AD∥BC，DF∥AB，所以四边形ABFD为平行四边形，所以BF=AD=1. 由已知得CF=BC-BF=2. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又因为AD⊥平面PDC，DC⊂平面PDC， 所以AD⊥DC，所以BC⊥DC， 故在Rt△DCF中，DF==2. 在Rt△DPF中，sin∠DFP==. 所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)如图所示，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的是 A.AC⊥SB B.AB∥平面SCD C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 综合运用 √ √ √ 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于选项A，由题意得SD⊥AC，AC⊥BD，SD∩BD=D，SD，BD⊂平面SBD，∴AC⊥平面SBD，故AC⊥SB，故A正确； 对于选项B，∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确； 对于选项C，由对称性知SA与平面SBD所成的角与SC与平面SBD所成的角相等，故C正确. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(2024·新课标全国Ⅱ)已知正三棱台ABC-A1B1C1的体积为，AB=6，A1B1=2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为 A. B.1 C.2 D.3 √ 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　分别取BC，B1C1的中点D，D1， 则AD=3，A1D1=， 可知S△ABC=×6×3=9， =×2×=， 设正三棱台ABC-A1B1C1的高为h， 则=×h=， 解得h=， 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，分别过A1，D1作底面的垂线，垂足为M，N， 设AM=x， 则AA1==，DN=AD-AM-MN=2-x， 可得DD1==， 结合等腰梯形BCC1B1可得B=+D， 即x2+=(2-x)2++4， 解得x=， 所以A1A与平面ABC所成角的正切值为tan∠A1AD==1. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　将正三棱台ABC-A1B1C1补成正三棱锥P-ABC， 则A1A与平面ABC所成的角即为PA与平面ABC所成的角， 因为==， 则=， 可知=V三棱锥P-ABC=， 则V三棱锥P-ABC=18， 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设正三棱锥P-ABC的高为d， 则V三棱锥P-ABC=d××6×6×=18， 解得d=2， 取△ABC的中心为O， 则PO⊥底面ABC， 且AO=2， 所以PA与平面ABC所成角的正切值 tan∠PAO==1. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠BAC=60°.已知PC⊥平面ABC，PC=4，M是AB边上一动点，则PM的最小值为 A.2 B. C. D. √ 因为PC⊥平面ABC，故要使PM的值最小，只需PM在平面ABC内的射影CM最短.过点C作CM⊥AB，垂足为点M，此时CM最短(图略).在Rt△ACB中，AB=8，∠BAC=60°，所以AC=AB·cos 60°=4，所以CM=AC·sin 60°=2.又PC⊥CM，所以PM== =2. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.如图，在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，点P在△SCD内及其边界上运动，并且总有PE⊥AC，则动点P的轨迹与△SCD组成的图形是 √ 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 取CD的中点F，SC的中点Q，连接BD，EQ，FQ，EF(图略)，则EQ綉SB，EF綉BD. ∵在正四棱锥S-ABCD中，SB在平面ABCD内的射影在BD上，且AC⊥BD，∴AC⊥SB，故AC⊥EQ.又AC⊥BD，∴AC⊥EF，又EQ∩EF=E， ∴AC⊥平面EQF，∴当点P在FQ上移动时，总有AC⊥PE. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6，P是AA1的中点，Q是△BDC1内的动点，若PQ⊥BC1，则点Q到平面A1B1C1D1的距离的取值范围是 A.[3，5] B. C.[4，5] D.[2，6] 拓广探究 √ 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，在正方体中分别取BB1，BD的中点P1，O，及BC1的四等分点M(靠近点B)，因为PP1⊥BC1，P1M⊥BC1，P1M∩PP1=P1，P1M，PP1⊂平面PP1M， 所以BC1⊥平面PP1M，则BC1⊥PM. 又OM⊥BC1，OM∩PM=M，故BC1⊥平面POM，所以当点Q在线段OM上时，PQ⊥BC1，则点Q到平面A1B1C1D1的距离最大为6，最小为6×=，所以点Q到平面A1B1C1D1的距离的取值范围为. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点. (1)求证：MN∥平面PAD； 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 取PD的中点E，连接NE，AE，如图.  又∵N是PC的中点， ∴NE∥DC且NE=DC， 又∵DC∥AB且DC=AB，AM=AB， ∴AM∥CD且AM=CD，∴NE∥AM，且NE=AM， ∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE. ∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD， ∴MN∥平面PAD. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若PD与平面ABCD所成的角为α，当α为多少度时，MN⊥平面PCD？ 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当α=45°时，MN⊥平面PCD. 证明如下： ∵PA⊥平面ABCD， ∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角， ∴∠PDA=45°，∴AP=AD，∴AE⊥PD. 又∵MN∥AE，∴MN⊥PD. ∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又∵CD⊥AD，PA∩AD=A， PA，AD⊂平面PAD， ∴CD⊥平面PAD. ∵AE⊂平面PAD， ∴CD⊥AE，∴CD⊥MN. 又CD∩PD=D，CD， PD⊂平面PCD， ∴MN⊥平面PCD. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第一章 <<< $$