第十一章 11.4.1 第1课时 直线与平面垂直的判定及应用-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第四册教师用书（人教B版2019）

11.4.1　直线与平面垂直 第1课时　直线与平面垂直的判定及应用 [学习目标]　1.理解并掌握异面直线所成的角，会求任意两条直线所成的角.2.理解直线与平面垂直的定义及性质.3.掌握直线与平面垂直的判定定理及推论，并会利用定理及推论解决相关的问题. 导语 在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识.比如，旗杆与地面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象. 一、异面直线所成的角 问题1　平面内两条直线所成的角的范围是多少？ 提示　. 知识梳理 1.定义：一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与a，b平行或重合的直线a'，b'，则a'与b'所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小. 2.范围：0°<θ≤90°.特别地，当θ=90°时，l与m互相垂直，记作l⊥m. 注意点： (1)两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关. (2)找出两条异面直线所成的角，要作平移(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角. 例1　如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求： (1)BE与CG所成的角； (2)FO与BD所成的角. 解　(1)∵CG∥FB， ∴∠EBF或其补角是异面直线BE与CG所成的角.在Rt△EFB中，EF=FB，∴∠EBF=45°， ∴BE与CG所成的角为45°. (2)如图，连接FH， ∵FB∥AE，FB=AE， AE∥HD，AE=HD， ∴FB=HD，FB∥HD， ∴四边形FBDH是平行四边形， ∴BD∥FH， ∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角，连接HA，AF，则△AFH是等边三角形， 又O是AH的中点，∴∠HFO=30°， ∴FO与BD所成的角为30°. 反思感悟　求两异面直线所成角的三个步骤 (1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角. (2)证：证明作出的角就是要求的角. (3)计算：求角的值，常利用解三角形得出. 可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°. 跟踪训练1　在空间四边形ABCD中，AB=CD，且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小. 解　如图所示，取AC的中点G， 连接EG，FG， 则EG∥AB且EG=AB， GF∥CD且GF=CD. 从而可知∠GEF为EF与AB所成的角，∠EGF或其补角为AB与CD所成的角. ∵AB与CD所成的角为30°， ∴∠EGF=30°或150°， 由AB=CD知EG=FG，则△EFG为等腰三角形， 当∠EGF=30°时，∠GEF=75°； 当∠EGF=150°时，∠GEF=15°， 故EF与AB所成角的大小为15°或75°. 二、直线与平面垂直的定义 问题2　如图，假设旗杆与地面的交点为点B，在阳光下观察，直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC，随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，它们的位置关系如何？ 提示　始终保持垂直. 问题3　在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？ 提示　可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 知识梳理 1.定义：直线l与平面α垂直，指的是直线l与平面α内过它们公共点的所有直线都垂直. 2.充要条件：由空间中两条直线相互垂直的定义可知，直线l与平面α垂直的充要条件是直线l与平面α内的任意直线都垂直.这可以用符号表示为l⊥α⇔∀m⊂α，l⊥m. 3.画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示. 例2　(多选)下列命题中，不正确的是(　　) A.若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α B.若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线 C.若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直 D.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α 答案　ABD 解析　当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以A不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以B不正确，C正确；若l在α内，l也可以和α内的无数条直线垂直，所以D错误. 反思感悟　(1)线面垂直的定义中“任意直线”不可以换为“无数条直线”. (2)直线和平面垂直的定义具有双重作用：判定和性质.判定是指，如果一条直线和平面内的任意一条直线都垂直，那么直线就与平面垂直；性质是指，如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于平面内的任意一条直线，即a⊥α，b⊂α⇒a⊥b. 跟踪训练2　(多选)下列说法，正确的是(　　) A.若直线l垂直于α，则直线l垂直于α内任一直线 B.若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行 C.若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥b D.若a⊥b，b⊥α，则a∥α 答案　AC 解析　由线面垂直的定义知，A正确；当l⊥α时，l与α内的直线相交或异面，但不会平行，B错误；C显然是正确的；a可能在α内，D错误. 三、直线与平面垂直的判定定理及推论 问题4　如图，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触).观察并思考：折痕AD与桌面垂直吗？若不垂直，如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？ 提示　不一定.折痕AD是BC边上的高时，AD与桌面垂直. 知识梳理 文字 语言 定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直 符号 语言 l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，m∩n≠∅⇒l⊥α 图形 语言 文字 语言 推论：如果两条平行直线，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面 符号 语言 l⊥α，m∥l⇒m⊥α 图形 语言 例3(课本例2)　在如图所示的四棱锥S-ABCD中，已知底面ABCD是一个平行四边形，AC∩BD=O，且SA=SC，SB=SD.求证：SO⊥平面ABCD. 证明　由已知可得O为AC的中点. 在△SAC中，因为SA=SC，且AO=OC，所以由等腰三角形三线合一可知SO⊥AC. 同理，SO⊥BD. 又因为AC∩BD=O，所以SO⊥平面ABCD. 例3　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC与BD交于点O，求证：A1O⊥平面MBD. 证明　∵四边形ABCD为正方形， ∴BD⊥AC， 又AA1⊥平面ABCD， ∴AA1⊥BD且AA1∩AC=A， ∴BD⊥平面AA1O，∴BD⊥A1O， 令正方体的棱长为2，连接OM，A1M(图略)， 则A1O=，OM=，A1M=3， ∴A1O2+OM2=A1M2，∴A1O⊥OM， 又OM∩BD=O，OM，BD⊂平面MBD， ∴A1O⊥平面MBD. 反思感悟　证明线面垂直的方法 (1)由线线垂直证明线面垂直 ①定义法(不常用)；②判定定理(最常用)，要着力寻找平面内的两条相交直线(有时需要作辅助线)，使它们与所给直线垂直. (2)平行转化法(利用推论) ①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β. 跟踪训练3　如图，在四面体ABCD中，AC=BD，E，F分别为AD，BC的中点，且EF=AC，∠BDC=90°，求证：BD⊥平面ACD. 证明　如图，取CD的中点G， 连接EG，FG. ∵E，F分别为AD，BC的中点， ∴EG∥AC，EG=AC，FG∥BD，FG=BD，又∵AC=BD， ∴FG=EG=AC. 在△EFG中，∵EG2+FG2=AC2=EF2， ∴EG⊥FG，∴BD⊥AC. ∵∠BDC=90°，∴BD⊥CD. 又∵AC∩CD=C，AC，CD⊂平面ACD， ∴BD⊥平面ACD. 1.知识清单： (1)异面直线所成的角. (2)直线与平面垂直的定义. (3)直线与平面垂直的判定定理. 2.方法归纳：转化思想. 3.常见误区：易忽略直线与平面垂直的判定定理中“两条直线相交”这一关键条件. 1.空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是(　　) A.平行 B.垂直 C.相交 D.不确定 答案　B 解析　由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于点C，所以直线l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三边AB在这个平面内，所以l⊥AB. 2.下列条件中，能使直线m⊥平面α的是(　　) A.m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α B.m⊥b，b∥α C.m∩b=A，b⊥α D.m∥b，b⊥α 答案　D 解析　由直线与平面垂直的判定定理的推论知，选项D正确. 3.在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为　　　　.  答案　60° 解析　如图，连接BC1，AD1， ∵MN∥BC1∥AD1， ∴∠D1AC或其补角是异面直线AC和MN所成的角，连接CD1. ∵△ACD1是等边三角形， ∴∠D1AC=60°. 4.如图，设平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B，D，BD⊥EF，则AC与EF的位置关系是　　　　.  答案　垂直 解析　∵AB⊥α，CD⊥α，∴AB∥CD， 故直线AB与CD确定一个平面ABDC. ∵AB⊥α，EF⊂α，∴AB⊥EF， 又BD⊥EF，AB∩BD=B，AB，BD⊂平面ABDC， ∴EF⊥平面ABDC. ∵AC⊂平面ABDC，∴AC⊥EF. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能(　　) A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直 答案　A 解析　若l∥m，又l⊄α，m⊂α，∴l∥α， 这与已知l⊥α矛盾. 所以直线l与m不可能平行. 2.已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面(　　) A.有且只有一个 B.至多一个 C.有一个或无数个 D.不存在 答案　B 解析　若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在. 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如图，连接BE， ∵AB∥CD， ∴异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，即∠EAB或其补角. 不妨设正方体的棱长为2，则CE=1，BC=2，由勾股定理得BE=. 又由AB⊥平面BCC1B1可得AB⊥BE， ∴tan∠EAB==. 4.如图所示，如果MC⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，那么MA与BD的位置关系是(　　) A.平行 B.垂直相交 C.垂直但不相交 D.相交但不垂直 答案　C 解析　连接AC(图略).因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，所以BD⊥MC.因为AC∩MC=C，AC，MC⊂平面AMC，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交. 5.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，沿AE，EF，FA将正方形折起，使B，C，D重合于点O，则在四面体A-OEF中，下列说法中正确的是(　　) A.AH⊥平面OEF B.AO⊥平面OEF C.AE⊥平面OEF D.AF⊥平面OEF 答案　B 解析　∵在原正方形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，BC⊥CD， ∴折叠后AO⊥OE，AO⊥OF. 又OE∩OF=O，OE，OF⊂平面OEF，∴AO⊥平面OEF，故B正确；如图，连接AH，因为过一点与一平面垂直的直线有且只有一条，且AE，AF，AH均不与AO重合，∴AE，AF，AH均不与平面OEF垂直. 6.(多选)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是(　　) 答案　BD 解析　对于A，易证AB与CE所成角为45°，所以直线AB与平面CDE不垂直； 对于B，易证AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED=E，CE，ED⊂平面CDE，所以AB⊥平面CDE； 对于C，易证AB与CE所成的角为60°，所以直线AB与平面CDE不垂直； 对于D，易证ED⊥平面ABC，所以ED⊥AB，易知EC⊥AB，又ED∩EC=E，ED，EC⊂平面CDE，可得AB⊥平面CDE. 7.(5分)如图，空间四边形ABCD的对角线AC=8，BD=6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN=　　　　. 答案　5 解析　如图，取AD的中点P，连接PM，PN， 则BD∥PM，AC∥PN， ∴∠MPN或其补角即为异面直线AC与BD所成的角， ∴∠MPN=90°， PN=AC=4， PM=BD=3， ∴MN=5. 8.(5分)如图所示，已知矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，若在边BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则实数a的值为　　　　.  答案　2 解析　连接AQ(图略)，因为PA⊥平面ABCD， 所以PA⊥QD， 又因为PQ⊥QD，PA∩PQ=P， 所以QD⊥平面PAQ，所以AQ⊥QD，即∠AQD最大为90°时，此时Q为BC的中点，只有一个，故BC=2AB=2. 9.(10分)如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，BC=，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA=1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值. 解　如图，取AC的中点F，连接EF，BF. 在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF∥CD， ∴∠BEF(或其补角)即为异面直线BE与CD所成的角. 在Rt△ABC中，BC=，AB=AC，∴AB=AC=1. 在Rt△EAB中，AB=1， AE=AD=，∴BE=. 在Rt△AEF中，AF=AC=， AE=，∴EF=. 在Rt△ABF中，AB=1，AF=，∴BF=. 在等腰三角形EBF中， cos∠FEB===， ∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为. 10.(12分)如图，AB为☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足. (1)求证：AN⊥平面PBM；(6分) (2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.(6分) 证明　(1)∵AB为☉O的直径， ∴AM⊥BM. 又PA⊥平面ABM， BM⊂平面ABM， ∴PA⊥BM. 又∵PA∩AM=A， PA，AM⊂平面PAM， ∴BM⊥平面PAM. 又AN⊂平面PAM， ∴BM⊥AN. 又AN⊥PM， 且BM∩PM=M，BM，PM⊂平面PBM， ∴AN⊥平面PBM. (2)由(1)知AN⊥平面PBM， PB⊂平面PBM， ∴AN⊥PB. 又∵AQ⊥PB， AN∩AQ=A，AN，AQ⊂平面ANQ， ∴PB⊥平面ANQ. 又NQ⊂平面ANQ， ∴PB⊥NQ. 11.已知空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC，BD的关系是(　　) A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直 C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交 答案　C 解析　如图，取BD的中点O， 连接AO，CO， 则BD⊥AO，BD⊥CO，又AO∩CO=O，AO，CO⊂平面AOC， ∴BD⊥平面AOC，∴BD⊥AC， 又BD与AC异面，故选C. 12.已知P为△ABC所在平面外一点，O为点P在平面ABC上的射影，若PA⊥BC，PB⊥AC，则点O为△ABC的(　　) A.垂心 B.重心 C.外心 D.内心 答案　A 解析　如图，因为P为△ABC所在平面外一点， O为点P在平面ABC上的射影， 所以PO⊥平面ABC， 又因为BC⊂平面ABC， 所以BC⊥PO， 因为PA⊥BC，PA∩PO=P，PA，PO⊂平面PAO， 所以BC⊥平面PAO， 因为AO⊂平面PAO，所以AO⊥BC， 同理可得BO⊥AC， 从而点O是△ABC的垂心. 13.(5分)如图所示，圆锥的底面直径AB=4，高OC=2，D为底面圆周上的一点，且∠AOD=120°，则异面直线AD与BC所成的角为　　　　.  答案　60° 解析　如图，延长DO交底面圆于点E，连接BE，CE，由AB，DE均为圆的直径知AD∥BE， 且AD=BE， 所以∠CBE即为异面直线AD与BC所成的角或其补角. 在△AOD中，AD=2OAsin 60°=2， 在△CBE中，CB=CE=BE=2， 所以△CBE为正三角形， 所以∠CBE=60°. 14.(5分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A1B1的中点，F是棱BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F=　　　　. 答案　 解析　设B1F=x， ∵AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF， ∴AB1⊥DF.由已知可得A1B1=， ∵∠A1AB1=90°-∠AB1A1=∠FDB1， ∴tan∠A1AB1=tan∠FDB1，∴=， ∴=，得x=，即线段B1F的长为. 15.当动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DC上运动时，异面直线D1P与BC1所成角的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设正方体棱长为1，DP=x， 则x∈，连接AD1，AP(图略)， 由AD1∥BC1可知，∠AD1P(或其补角)即为异面直线D1P与BC1所成角， 在△AD1P中，AD1=， AP=D1P=， 故cos∠AD1P=， 又∵x∈， ∴ cos∠AD1P=∈， 又∠AD1P∈(0，π)，∴∠AD1P∈. 16.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC=2，AD=CD=1，M是PB的中点. (1)求证：AM∥平面PCD；(6分) (2)求证：AC⊥平面PAB.(6分) 证明　(1)如图， 取PC的中点N，连接MN，ND，因为M，N为PB，PC的中点，所以MN綉BC，又AD綉BC， 所以MN綉AD，故四边形AMND为平行四边形，所以AM∥ND. 因为AM⊄平面PCD，ND⊂平面PCD， 所以AM∥平面PCD. (2)因为PA⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD， 所以AC⊥PA， 由题意知底面ABCD为直角梯形， AD=CD=1，AC=， 又AB=，BC=2， 则BC2=AC2+AB2， 所以AC⊥AB， 又PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB， 所以AC⊥平面PAB. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章 <<< 直线与平面垂直的判定及应用 第1课时 1.理解并掌握异面直线所成的角，会求任意两条直线所成的角. 2.理解直线与平面垂直的定义及性质. 3.掌握直线与平面垂直的判定定理及推论，并会利用定理及推论解决相关的问题. 学习目标 在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识.比如，旗杆与地面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象. 导 语 一、异面直线所成的角 二、直线与平面垂直的定义 课时对点练 三、直线与平面垂直的判定定理及推论 内容索引 随堂演练 一 异面直线所成的角 提示　 平面内两条直线所成的角的范围是多少？ 问题1 1.定义：一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与a，b 的直线a'，b'，则a'与b'所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小. 2.范围： 特别地，当θ=____时，l与m互相垂直，记作_____. 平行或重合 0°<θ≤90° 90° l⊥m 知识梳理 (1)两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关. (2)找出两条异面直线所成的角，要作平移(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角. 注 意 点 <<< 8 如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求： (1)BE与CG所成的角； 例 1 ∵CG∥FB， ∴∠EBF或其补角是异面直线BE与CG所成的角.在Rt△EFB中，EF=FB，∴∠EBF=45°， ∴BE与CG所成的角为45°. 9 (2)FO与BD所成的角. 如图，连接FH， ∵FB∥AE，FB=AE， AE∥HD，AE=HD， ∴FB=HD，FB∥HD， ∴四边形FBDH是平行四边形， ∴BD∥FH， ∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角， 连接HA，AF，则△AFH是等边三角形， 又O是AH的中点，∴∠HFO=30°， ∴FO与BD所成的角为30°. 10 反 思 感 悟 求两异面直线所成角的三个步骤 (1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角. (2)证：证明作出的角就是要求的角. (3)计算：求角的值，常利用解三角形得出. 可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°. 在空间四边形ABCD中，AB=CD，且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小. 跟踪训练 1 12 如图所示，取AC的中点G， 连接EG，FG， 则EG∥AB且EG=AB， GF∥CD且GF=CD. 从而可知∠GEF为EF与AB所成的角，∠EGF或其补角为AB与CD所成的角. 13 ∵AB与CD所成的角为30°， ∴∠EGF=30°或150°， 由AB=CD知EG=FG，则△EFG为等腰三角形， 当∠EGF=30°时，∠GEF=75°； 当∠EGF=150°时，∠GEF=15°， 故EF与AB所成角的大小为15°或75°. 14 二 直线与平面垂直的定义 提示　始终保持垂直. 如图，假设旗杆与地面的交点为点B，在阳光下观察，直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC，随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，它们的位置关系如何？ 问题2 提示　可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？ 问题3 1.定义：直线l与平面α垂直，指的是直线l与平面α内____ __________________都垂直. 2.充要条件：由空间中两条直线相互垂直的定义可知， 直线l与平面α垂直的充要条件是_______________________________.这可以用符号表示为l⊥α⇔∀m⊂α，l⊥m. 3.画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示. 们公共点的所有直线 过它 直线l与平面α内的任意直线都垂直 知识梳理 (多选)下列命题中，不正确的是 A.若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α B.若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线 C.若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直 D.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α 例 2 √ √ √ 当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以A不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以B不正确，C正确；若l在α内，l也可以和α内的无数条直线垂直，所以D错误. 19 反 思 感 悟 (1)线面垂直的定义中“任意直线”不可以换为“无数条直线”. (2)直线和平面垂直的定义具有双重作用：判定和性质.判定是指，如果一条直线和平面内的任意一条直线都垂直，那么直线就与平面垂直；性质是指，如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于平面内的任意一条直线，即a⊥α，b⊂α⇒a⊥b. (多选)下列说法，正确的是 A.若直线l垂直于α，则直线l垂直于α内任一直线 B.若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可 能平行 C.若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥b D.若a⊥b，b⊥α，则a∥α 跟踪训练 2 √ √ 21 由线面垂直的定义知，A正确； 当l⊥α时，l与α内的直线相交或异面，但不会平行，B错误； C显然是正确的； a可能在α内，D错误. 22 三 直线与平面垂直的 判定定理及推论 提示　不一定.折痕AD是BC边上的高时，AD与桌面垂直. 如图，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触).观察并思考：折痕AD与桌面 问题4 垂直吗？若不垂直，如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？ 文字语言 定理：如果一条直线与一个平面内的____________垂直，则这条直线与这个平面垂直 符号语言 l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，_____≠∅⇒l⊥α 图形语言   两条相交直线 m∩n 知识梳理 文字语言 推论：如果两条平行直线，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面 符号语言 l⊥α，m∥l⇒m⊥α 图形语言   知识梳理 (课本例2)在如图所示的四棱锥S-ABCD中，已知底面ABCD是一个平行四边形，AC∩BD=O，且SA=SC，SB=SD.求证：SO⊥平面ABCD. 例 3 由已知可得O为AC的中点. 在△SAC中，因为SA=SC，且AO=OC， 所以由等腰三角形三线合一可知SO⊥AC. 同理，SO⊥BD. 又因为AC∩BD=O，所以SO⊥平面ABCD. 27 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC与BD交于点O，求证：A1O⊥平面MBD. 例 3 28 ∵四边形ABCD为正方形， ∴BD⊥AC， 又AA1⊥平面ABCD， ∴AA1⊥BD且AA1∩AC=A， ∴BD⊥平面AA1O，∴BD⊥A1O， 令正方体的棱长为2，连接OM，A1M(图略)， 则A1O=，OM=，A1M=3， ∴A1O2+OM2=A1M2，∴A1O⊥OM， 又OM∩BD=O，OM，BD⊂平面MBD， ∴A1O⊥平面MBD. 29 反 思 感 悟 证明线面垂直的方法 (1)由线线垂直证明线面垂直 ①定义法(不常用)；②判定定理(最常用)，要着力寻找平面内的两条相交直线(有时需要作辅助线)，使它们与所给直线垂直. (2)平行转化法(利用推论) ①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β. 如图，在四面体ABCD中，AC=BD，E，F分别为AD，BC的中点，且EF=AC，∠BDC=90°，求证：BD⊥平面ACD. 跟踪训练 3 31 如图，取CD的中点G， 连接EG，FG. ∵E，F分别为AD，BC的中点， ∴EG∥AC，EG=AC，FG∥BD，FG=BD，又∵AC=BD， ∴FG=EG=AC. 32 在△EFG中，∵EG2+FG2=AC2=EF2， ∴EG⊥FG，∴BD⊥AC. ∵∠BDC=90°，∴BD⊥CD. 又∵AC∩CD=C，AC，CD⊂平面ACD， ∴BD⊥平面ACD. 33 1.知识清单： (1)异面直线所成的角. (2)直线与平面垂直的定义. (3)直线与平面垂直的判定定理. 2.方法归纳：转化思想. 3.常见误区：易忽略直线与平面垂直的判定定理中“两条直线相交”这一关键条件. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是 A.平行 B.垂直 C.相交 D.不确定 √ 由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于点C，所以直线l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三边AB在这个平面内，所以l⊥AB. 1 2 3 4 2.下列条件中，能使直线m⊥平面α的是 A.m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α B.m⊥b，b∥α C.m∩b=A，b⊥α D.m∥b，b⊥α √ 由直线与平面垂直的判定定理的推论知，选项D正确. 3.在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为　　　　.  1 2 3 4 60° 如图，连接BC1，AD1， ∵MN∥BC1∥AD1， ∴∠D1AC或其补角是异面直线AC和MN所成的角，连接CD1. ∵△ACD1是等边三角形， ∴∠D1AC=60°. 1 2 3 4 4.如图，设平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B，D，BD⊥EF，则AC与EF的位置关系是　　　　.  ∵AB⊥α，CD⊥α，∴AB∥CD， 故直线AB与CD确定一个平面ABDC. ∵AB⊥α，EF⊂α，∴AB⊥EF， 又BD⊥EF，AB∩BD=B，AB，BD⊂平面ABDC， ∴EF⊥平面ABDC. ∵AC⊂平面ABDC，∴AC⊥EF. 课时对点练 五 2 答案 1 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A B C C B BD 题号 8 11 12 13 14 　15 答案 2 C A 60° C 对一对 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 如图，取AC的中点F，连接EF，BF. 在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF∥CD， ∴∠BEF(或其补角)即为异面直线BE与CD所成的角. 在Rt△ABC中，BC=，AB=AC，∴AB=AC=1. 在Rt△EAB中，AB=1，AE=AD=， ∴BE=. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 在Rt△AEF中，AF=AC=，AE=， ∴EF=. 在Rt△ABF中，AB=1，AF=， ∴BF=. 在等腰三角形EBF中，cos∠FEB===， ∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)∵AB为☉O的直径， ∴AM⊥BM. 又PA⊥平面ABM，BM⊂平面ABM， ∴PA⊥BM. 又∵PA∩AM=A，PA，AM⊂平面PAM， ∴BM⊥平面PAM. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 又AN⊂平面PAM， ∴BM⊥AN. 又AN⊥PM， 且BM∩PM=M，BM，PM⊂平面PBM， ∴AN⊥平面PBM. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM， ∴AN⊥PB. 又∵AQ⊥PB，AN∩AQ=A，AN，AQ⊂平面ANQ， ∴PB⊥平面ANQ. 又NQ⊂平面ANQ， ∴PB⊥NQ. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)如图，取PC的中点N，连接MN，ND，因为M，N为PB，PC的中点，所以MN綉BC，又AD綉BC， 所以MN綉AD，故四边形AMND为平行四边形， 所以AM∥ND. 因为AM⊄平面PCD，ND⊂平面PCD， 所以AM∥平面PCD. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (2)因为PA⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，所以AC⊥PA， 由题意知底面ABCD为直角梯形，AD=CD=1，AC=， 又AB=，BC=2， 则BC2=AC2+AB2， 所以AC⊥AB， 又PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB， 所以AC⊥平面PAB. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能 A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直 √ 若l∥m，又l⊄α，m⊂α，∴l∥α， 这与已知l⊥α矛盾. 所以直线l与m不可能平行. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面 A.有且只有一个 B.至多一个 C.有一个或无数个 D.不存在 √ 若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为 A. B. C. D. √ 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，连接BE， ∵AB∥CD， ∴异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，即∠EAB或其补角. 不妨设正方体的棱长为2，则CE=1，BC=2， 由勾股定理得BE=. 又由AB⊥平面BCC1B1可得AB⊥BE， ∴tan∠EAB==. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.如图所示，如果MC⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，那么MA与BD的位置关系是 A.平行 B.垂直相交 C.垂直但不相交 D.相交但不垂直 √ 连接AC(图略).因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，所以BD⊥MC.因为AC∩MC=C，AC，MC⊂平面AMC，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，沿AE，EF，FA将正方形折起，使B，C，D重合于点O，则在四面体A-OEF中，下列说法中正确的是 A.AH⊥平面OEF B.AO⊥平面OEF C.AE⊥平面OEF D.AF⊥平面OEF √ 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵在原正方形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，BC⊥CD， ∴折叠后AO⊥OE，AO⊥OF. 又OE∩OF=O，OE，OF⊂平面OEF，∴AO⊥平面OEF，故B正确； 如图，连接AH，因为过一点与一平面垂直的直线有且只有一条，且AE，AF，AH均不与AO重合，∴AE，AF，AH均不与平面OEF垂直. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是 √ √ 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，易证AB与CE所成角为45°，所以直线AB与平面CDE不垂直； 对于B，易证AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED=E，CE，ED⊂平面CDE，所以AB⊥平面CDE； 对于C，易证AB与CE所成的角为60°，所以直线AB与平面CDE不垂直； 对于D，易证ED⊥平面ABC，所以ED⊥AB，易知EC⊥AB，又ED∩EC=E，ED，EC⊂平面CDE，可得AB⊥平面CDE. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.如图，空间四边形ABCD的对角线AC=8，BD=6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN=　　　　. 5 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，取AD的中点P，连接PM，PN， 则BD∥PM，AC∥PN， ∴∠MPN或其补角即为异面直线AC与BD所成的角， ∴∠MPN=90°， PN=AC=4， PM=BD=3， ∴MN=5. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.如图所示，已知矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，若在边BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则实数a的值为　　　　.  连接AQ(图略)，因为PA⊥平面ABCD， 所以PA⊥QD， 又因为PQ⊥QD，PA∩PQ=P， 所以QD⊥平面PAQ，所以AQ⊥QD，即∠AQD最大为90°时，此时Q为BC的中点，只有一个，故BC=2AB=2. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，BC=，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA=1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，取AC的中点F，连接EF，BF. 在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF∥CD， ∴∠BEF(或其补角)即为异面直线BE与CD所成的角. 在Rt△ABC中，BC=，AB=AC，∴AB=AC=1. 在Rt△EAB中，AB=1， AE=AD=，∴BE=. 在Rt△AEF中，AF=AC=， AE=，∴EF=. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在Rt△ABF中，AB=1，AF=，∴BF=. 在等腰三角形EBF中， cos∠FEB===， ∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图，AB为☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足. (1)求证：AN⊥平面PBM； 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵AB为☉O的直径， ∴AM⊥BM. 又PA⊥平面ABM， BM⊂平面ABM， ∴PA⊥BM. 又∵PA∩AM=A， PA，AM⊂平面PAM， ∴BM⊥平面PAM. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又AN⊂平面PAM， ∴BM⊥AN. 又AN⊥PM， 且BM∩PM=M，BM，PM⊂平面PBM， ∴AN⊥平面PBM. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB. 由(1)知AN⊥平面PBM， PB⊂平面PBM， ∴AN⊥PB. 又∵AQ⊥PB， AN∩AQ=A，AN，AQ⊂平面ANQ， ∴PB⊥平面ANQ. 又NQ⊂平面ANQ， ∴PB⊥NQ. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC，BD的关系是 A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直 C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交 综合运用 √ 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，取BD的中点O， 连接AO，CO， 则BD⊥AO，BD⊥CO，又AO∩CO=O，AO，CO⊂平面AOC， ∴BD⊥平面AOC，∴BD⊥AC， 又BD与AC异面，故选C. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知P为△ABC所在平面外一点，O为点P在平面ABC上的射影，若PA⊥BC，PB⊥AC，则点O为△ABC的 A.垂心 B.重心 C.外心 D.内心 √ 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，因为P为△ABC所在平面外一点， O为点P在平面ABC上的射影， 所以PO⊥平面ABC， 又因为BC⊂平面ABC， 所以BC⊥PO， 因为PA⊥BC，PA∩PO=P，PA，PO⊂平面PAO， 所以BC⊥平面PAO， 因为AO⊂平面PAO，所以AO⊥BC， 同理可得BO⊥AC， 从而点O是△ABC的垂心. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.如图所示，圆锥的底面直径AB=4，高OC=2，D为底面圆周上的一点，且∠AOD=120°，则异面直线AD与BC所成的角为　　　　.  60° 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，延长DO交底面圆于点E，连接BE，CE，由AB，DE均为圆的直径知AD∥BE， 且AD=BE， 所以∠CBE即为异面直线AD与BC所成的角或其补角. 在△AOD中，AD=2OAsin 60°=2， 在△CBE中，CB=CE=BE=2， 所以△CBE为正三角形， 所以∠CBE=60°. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A1B1的中点，F是棱BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则 线段B1F=　　　　. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设B1F=x， ∵AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF， ∴AB1⊥DF.由已知可得A1B1=， ∵∠A1AB1=90°-∠AB1A1=∠FDB1， ∴tan∠A1AB1=tan∠FDB1，∴=， ∴=，得x=，即线段B1F的长为. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.当动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DC上运动时，异面直线D1P与BC1所成角的取值范围是 A. B. C. D. 拓广探究 √ 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设正方体棱长为1，DP=x， 则x∈，连接AD1，AP(图略)， 由AD1∥BC1可知，∠AD1P(或其补角)即为异面直线D1P与BC1所成角， 在△AD1P中，AD1=， AP=D1P=， 故cos∠AD1P=， 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又∵x∈， ∴ cos∠AD1P=∈， 又∠AD1P∈(0，π)，∴∠AD1P∈. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC=2，AD=CD=1，M是PB的中点. (1)求证：AM∥平面PCD； 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图， 取PC的中点N，连接MN，ND，因为M，N为PB，PC的中点，所以MN綉BC，又AD綉BC， 所以MN綉AD，故四边形AMND为平行四边形，所以AM∥ND. 因为AM⊄平面PCD，ND⊂平面PCD， 所以AM∥平面PCD. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求证：AC⊥平面PAB. 因为PA⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD， 所以AC⊥PA， 由题意知底面ABCD为直角梯形， AD=CD=1，AC=， 又AB=，BC=2， 则BC2=AC2+AB2， 所以AC⊥AB， 又PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB， 所以AC⊥平面PAB. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第一章 <<< $$