第十一章 11.3 11.3.3 平面与平面平行-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第四册教师用书（人教B版2019）

11.3.3　平面与平面平行 [学习目标]　掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用上述定理解决空间中的平行问题. 导语 上节课我们学习了线面平行的判定定理和性质定理，那么我们又该如何判定两平面平行呢？两平面平行又具有怎样的性质呢？ 一、平面与平面平行的判定定理 问题1　如图(1)，a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗？如图(2)，c和d分别是三角尺相邻两边所在的直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗？ 提示　硬纸片不一定平行，三角尺和桌面一定平行. 知识梳理 平面与平面平行的判定定理 判定定理 推论 文字 语言 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行 符号 语言 l⊂α，m⊂α，l∩m≠∅，l∥β，m∥β⇒α∥β a∥c，b∥d，a∩b=A，a⊂α，b⊂α，c⊂β，d⊂β⇒α∥β 图形 语言 注意点： (1)定理中，要紧紧抓住“两条”“相交”“平行”这六个字，否则条件不充分，结论不成立. (2)判定定理：由线面平行⇒面面平行. 例1(课本例1)　如图所示，已知三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点.求证：平面DEF∥平面ABC. 证明　在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB. 又知DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，因此DE∥平面ABC. 同理，EF∥平面ABC. 又因为DE∩EF=E，所以由面面平行的判定定理可得平面DEF∥平面ABC. 例1　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点. 求证：(1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG. 证明　(1)∵GH是△A1B1C1的中位线， ∴GH∥B1C1. 又B1C1∥BC，∴GH∥BC， ∴B，C，H，G四点共面. (2)∵E，F分别为AB，AC的中点， ∴EF∥BC. ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. ∵A1G∥EB且A1G=EB， ∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF=E，A1E，EF⊂平面EFA1， ∴平面EFA1∥平面BCHG. 反思感悟　两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法.解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行. 跟踪训练1　如图，在四棱锥P-ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，AB∥CD，求证：平面EFG∥平面PAB. 证明　∵E，G分别是PC，BC的中点， ∴EG∥PB， 又∵EG⊄平面PAB，PB⊂平面PAB， ∴EG∥平面PAB， ∵E，F分别是PC，PD的中点， ∴EF∥CD，又∵AB∥CD， ∴EF∥AB，∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB， ∴EF∥平面PAB，又EF∩EG=E，EF，EG⊂平面EFG， ∴平面EFG∥平面PAB. 二、平面与平面平行的性质定理的应用 问题2　若两平面α与β平行，那么平面α内的直线a与平面β有何位置关系？平面α内的直线a与平面β内的任一直线b有何位置关系？何时a与b平行？ 提示　直线a与平面β平行.直线a与平面β内的任一直线b平行或异面.当a与b不异面，即在同一个平面内时，a与b平行. 知识梳理 平面与平面平行的性质定理 性质定理 推论 文字 语言 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行 两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例 符号 语言 α∥β，α∩γ=l，β∩γ=m⇒l∥m α∥β∥γ，m∩α=A，m∩β=B，m∩γ=C，n∩α=E，n∩β=F，n∩γ=G⇒= 图形 语言 注意点： (1)定理成立的条件：两平面平行，第三个平面与这两个平面都相交. (2)定理的实质：面面平行⇒线线平行. (3)面面平行还有如下性质：两个平面平行，一个平面内的直线平行于另一个平面，可作为证明直线和平面平行的依据. 例2(课本例2)　如图所示，已知α，β，γ都是平面，且α∥β∥γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F. 求证：=. 证明　连接DC，如图所示，设DC与平面β相交于点G，则平面ACD与平面α，β分别相交于直线AD，BG，平面DCF与平面β，γ分别相交于直线GE，CF.因为α∥β，所以BG∥AD，因此=. 同理可得=.因此=. 例2　如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM. 证明　因为D，E分别是PA，PB的中点， 所以DE∥AB. 又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC， 所以DE∥平面ABC， 同理DF∥平面ABC，且DE∩DF=D，DE，DF⊂平面DEF， 所以平面DEF∥平面ABC. 又平面PCM∩平面DEF=NF， 平面PCM∩平面ABC=CM，所以NF∥CM. 反思感悟　利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤 跟踪训练2　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，过点B，E，D1的平面与棱CC1交于点F. (1)求证：四边形BFD1E为平行四边形； (2)试确定点F的位置. (1)证明　在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 平面ABB1A1∥平面DCC1D1， 且平面BFD1E∩平面ABB1A1=BE， 平面BFD1E∩平面DCC1D1=FD1， 由面面平行的性质定理知BE∥FD1， 同理BF∥D1E， ∴四边形BFD1E为平行四边形. (2)解　取BB1的中点M， 连接MC1，ME，如图， ∵M，E分别为棱BB1，AA1的中点， ∴ME綉A1B1， 又A1B1綉C1D1，∴ME綉C1D1， ∴四边形D1EMC1为平行四边形， ∴D1E∥MC1，又D1E∥BF， ∴MC1∥BF，又C1F∥BM， ∴四边形MBFC1为平行四边形， ∴BM綉C1F，∴F为棱CC1的中点. 三、平行问题的综合应用 例3　如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是矩形. (1)设M为OA上靠近点A的三等分点，N为BC上靠近点B的三等分点.求证：MN∥平面OCD； (2)设E是OD上靠近点D的一个三等分点，试问：在OD上是否存在一点F，使BF∥平面ACE成立？若存在，请予以证明；若不存在，说明理由. (1)证明　如图， 取AD上靠近点A的三等分点G，连接MG，NG， 在△AOD中，AM∶MO=1∶2，AG∶GD=1∶2， 则MG∥OD，又MG⊄平面OCD，OD⊂平面OCD， ∴MG∥平面OCD， 同理，NG∥平面OCD， 又MG∩NG=G，MG， NG⊂平面MNG， ∴平面MNG∥平面OCD， 又MN⊂平面MNG， ∴MN∥平面OCD. (2)解　存在OE的中点F，使BF∥平面ACE成立.证明如下： 取OE的中点F，连接BF，BD，设BD∩AC=P， 连接PE. ∵四边形ABCD是矩形， ∴P是BD的中点， 又∵E是OD上靠近点D的一个三等分点， 且F是OE的中点， ∴E是FD的中点， ∴在△BDF中，PE∥BF， 又PE⊂平面ACE， BF⊄平面ACE， ∴BF∥平面ACE， 故在OD上存在OE的中点F， 使BF∥平面ACE成立. 反思感悟　线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示： 跟踪训练3　如图①所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP，D为AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起得到四棱锥P-ABCD，如图②所示.求证：在四棱锥P-ABCD中，AP∥平面EFG. 证明　在四棱锥P-ABCD中， E，F分别为PC，PD的中点， ∴EF∥CD. ∵AB∥CD，∴EF∥AB，∵EF⊄平面PAB， AB⊂平面PAB， ∴EF∥平面PAB，同理，EG∥平面PAB. 又EF∩EG=E，EF，EG⊂平面EFG， ∴平面EFG∥平面PAB. ∵AP⊂平面PAB，AP⊄平面EFG， ∴AP∥平面EFG. 1.知识清单： (1)平面与平面平行的判定定理及推论. (2)平面与平面平行的性质定理及推论. 2.方法归纳：转化思想. 3.常见误区：平面与平面平行的条件不全面. 1.已知直线m，n，平面α，β，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n的关系是(　　) A.平行 B.异面 C.相交 D.平行或异面 答案　D 解析　∵α∥β，∴α与β无公共点，又m⊂α，n⊂β， ∴m与n无公共点，∴m与n平行或异面. 2.下列命题中正确的是(　　) A.一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行 B.如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 C.平行于同一直线的两个平面一定互相平行 D.如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行 答案　B 解析　如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行，所以B正确. 3.(多选)在正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对平面彼此平行的一对是(　　) A.平面E1FG1与平面EGH1 B.平面FHG1与平面EF1H1 C.平面F1H1H与平面FHE1 D.平面E1HG1与平面EH1G 答案　AB 解析　如图，∵EG∥E1G1，EG⊄平面E1FG1，E1G1⊂平面E1FG1， ∴EG∥平面E1FG1. 同理可证H1E∥平面E1FG1， 又H1E∩EG=E，H1E， EG⊂平面EGH1， ∴平面E1FG1∥EGH1，故A正确， 同理可得B正确，故选AB. 4.如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A'，B'，C'，若PA'∶AA'=2∶3，则S△A'B'C'∶S△ABC=　　　　.  答案　 解析　∵平面α∥平面ABC， 平面PAB与它们的交线分别为A'B'，AB， ∴AB∥A'B'，同理B'C'∥BC， 易得△ABC∽△A'B'C'， S△A'B'C'∶S△ABC===. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共24分 1.(多选)下列说法正确的是(　　) A.一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，必与另外一个平面平行 B.一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行 C.平行于同一个平面的两平面平行 D.夹在两个平行平面间的平行线段相等 答案　BCD 解析　A中，直线还可以在另一个平面内，A错误；B中，一个平面内两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直线，可得两条相交直线与另一个平面平行，即两个平面平行，B正确；C，D显然正确. 2.若平面α∥平面β，直线a⊂α，点M∈β，过点M的所有直线中(　　) A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.有且只有一条与a平行的直线 答案　D 3.设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则“α∥β”的一个充分不必要条件是(　　) A.m∥l1且n∥l2 B.m∥β且n∥l2 C.m∥β且n∥β D.m∥β且l1∥α 答案　A 解析　若m∥l1且n∥l2，根据两平面平行的判定定理可得α∥β；若α∥β，则不一定有m∥l1且n∥l2，所以m∥l1且n∥l2是α∥β的充分不必要条件，故A项符合题意. 4.平面α截一个三棱锥，如果截面是梯形，那么平面α必定和这个三棱锥的(　　) A.一个侧面平行 B.底面平行 C.仅一条棱平行 D.某两条相对的棱都平行 答案　C 解析　当平面α平行于某一平面时，截面为三角形，故A，B错误.如图，当平面α∥SA时，截面是四边形DEFG. 又∵SA⊂平面SAB，平面SAB∩α=DG， ∴SA∥DG. 同理SA∥EF，∴DG∥EF. 同理，若α∥BC，则GF∥DE. ∵截面是梯形， ∴四边形DEFG中仅有一组对边平行，故α仅与一条棱平行. 5.(多选)设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，则下列四个命题正确的是(　　) A.若α∥β，γ∥β，则α∥γ B.若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β C.若α∥β，l⊂α，则l∥β D.若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，则m∥n 答案　ACD 解析　对于A，由面面平行的传递性可知A正确；对于B，若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β或α与β相交，所以B错误；对于C，若两个平面平行，则其中一个平面内的任一直线都与另一个平面平行，所以C正确；对于D，因为α∩β=l，β∩γ=m，l∥γ，所以l∥m，又γ∩α=n，则l∥n，由平行线的传递性可得m∥n，所以D正确. 6.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点P在棱AD上，过点P作该正方体的截面，当截面平行于平面B1D1C且面积为时，线段AP的长为(　　) A. B.1 C. D. 答案　A 解析　如图，连接A1D，A1B，BD，由正方体的结构特征，可得平面BDA1∥平面B1D1C. 过点P作该正方体的截面，分别交AB于点E，交AA1于点F， ∵截面PEF∥平面B1D1C， ∴截面PEF∥平面BDA1， 可得PE∥DB，EF∥A1B，PF∥A1D， 再由平行线截线段成比例， 可得AP=AE=AF，△PEF为正三角形. 设△PEF的边长为a， 则a2·=， 解得a=2，则AP=. 7.(5分)如图，已知S是平行四边形ABCD平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且=，则MN_________平面SBC.  答案　∥ 解析　如图，过点N作NG∥AD交AB于点G，连接MG，可得=， 由已知条件=，得=，所以MG∥SB， 因为MG⊄平面SBC，SB⊂平面SBC， 所以MG∥平面SBC.又AD∥BC，所以NG∥BC. 因为NG⊄平面SBC，BC⊂平面SBC，所以NG∥平面SBC. 因为MG∩NG=G，MG，NG⊂平面MNG， 所以平面SBC∥平面MNG， 因为MN⊂平面MNG，所以MN∥平面SBC. 8.(5分)如图所示的正方体的棱长为4，E，F分别为A1D1，AA1的中点，过C1，E，F的截面的周长为　　　　.  答案　4+6 解析　由EF∥平面BCC1B1可知平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1，平面EFC1与平面ABB1A1的交线为FB，所以截面周长为EF+FB+BC1+C1E=4+6. 9.(10分)如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC. 证明　∵PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD， ∴MQ∥AD，NQ∥BP， 而BP⊂平面PBC， NQ⊄平面PBC， ∴NQ∥平面PBC. 又四边形ABCD为平行四边形， ∴BC∥AD， ∴MQ∥BC， 而BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC， ∴MQ∥平面PBC. 又MQ∩NQ=Q，MQ，NQ⊂平面MNQ， ∴平面MNQ∥平面PBC. 10.(10分)如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证： (1)BE∥平面DMF；(4分) (2)平面BDE∥平面MNG.(6分) 证明　(1)如图， 连接AE， 则AE必过DF与GN的交点O， 连接MO，则MO为△ABE的中位线， 所以BE∥MO. 又BE⊄平面DMF， MO⊂平面DMF， 所以BE∥平面DMF. (2)因为N，G分别为边AD，EF的中点， 所以DE∥GN， 又DE⊄平面MNG， GN⊂平面MNG， 所以DE∥平面MNG， 又M为AB的中点， 所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN， 又MN⊂平面MNG， BD⊄平面MNG， 所以BD∥平面MNG， 又DE，BD⊂平面BDE， DE∩BD=D， 所以平面BDE∥平面MNG. 11.下列能作为判定“平面α∥平面β”成立的条件为(　　) A.存在一条直线a，a∥α，a∥β B.存在一条直线a，a⊂α，a∥β C.存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α D.存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α 答案　D 解析　A，B显然错误；C中，若a，b与平面α，β的交线平行，也满足条件，但α，β可以平行或相交，即C错误，由排除法可知D正确. 12.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上，且BP=BD1，则以下说法正确的有(　　) A.MN∥平面APC B.C1Q∥平面APC C.A，P，M三点共线 D.平面MNQ∥平面APC 答案　BC 解析　由题意知，MN∥AC，AB=2MD1且AB∥MD1，连接AM，∴AM交BD1于点P，同理，连接CN，则CN交BD1于点P，易得AM，CN交于点P，即MN⊂平面APC，∴A错误；由A知M，N在平面APC上，连接AN，易知AN∥C1Q， ∵C1Q⊄平面APC，AN⊂平面APC，∴C1Q∥平面APC，∴B正确；由A知A，P，M三点共线，∴C正确；由A知MN⊂平面APC，又MN⊂平面MNQ，∴平面MNQ与平面APC相交，∴D错误. 13.已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA=6，AC=9，PD=8，则BD的长为(　　) A. B. C.或24 D.或12 答案　C 解析　连接AB，CD. (1)当点P在CA的延长线上， 即点P在平面α与平面β的同侧时，如图①. ∵α∥β，平面PCD∩α=AB，平面PCD∩β=CD， ∴AB∥CD，∴=. ∵PA=6，AC=9，PD=8， ∴=，解得BD=. (2)当点P在线段CA上， 即点P在平面α与平面β之间时，如图②. 类似(1)的方法，可得=. ∵PA=6，PC=AC-PA=9-6=3，PD=8， ∴=，解得PB=16， ∴BD=PB+PD=24. 综上，BD的长为或24. 14.(5分)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，若点M在四边形EFGH及其内部运动，则当M满足　　　　时，有MN∥平面B1BDD1. 答案　M∈线段FH 解析　因为HN∥BD，HF∥DD1，HN∩HF=H，BD∩DD1=D，所以平面NHF∥平面B1BDD1，故M为线段FH上任意一点时，有MN∥平面B1BDD1. 15.(多选)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，设P，Q分别为A1B1，DD1的中点，则过点P，Q的平面α截正方体所得截面的形状可能为(　　) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 答案　BCD 解析　对选项A，假设过点P，Q的平面α截正方体所得截面的形状为三角形，则PQ必为三角形的一条边，但线段PQ不在正方体的任一表面上，不可能为截面图形的边，故A项错误； 对选项B，如图1，取AB的中点为M，连接PM，过点P，Q，M的平面α截正方体，则平面B1BAA1∩α=PM，设平面C1CDD1∩α=l，且点Q∈l， 由平面B1BAA1∥平面C1CDD1，则PM∥l， 又Q∈DD1，且PM∥BB1，又BB1∥DD1， 则PM∥DD1，故DD1所在直线与l重合， 又PM=BB1=DD1， 连接MD，PD1，则四边形PMDD1为平行四边形，且MD∥PD1， 故此时过点P，Q，M的平面α截正方体所得的截面为四边形PMDD1，故B项正确； 对选项C，如图2，连接PB，过点P，B，Q的平面α截正方体， 则平面B1BAA1∩α=PB，设平面C1CDD1∩α=l， 且点Q∈l， 由平面B1BAA1∥平面C1CDD1，则PB∥l， 取DC上靠近D的四等分点为N，连接QN，再分别取DC，D1C1的中点R，T，连接D1R，CT，PT， 由PT∥B1C1∥BC，PT=B1C1=BC，可得四边形PBCT为平行四边形， 则PB∥CT，同理可证CT∥D1R，又由Q，N分别为D1D，DR的中点，则D1R∥QN， 所以PB∥QN， 即QN所在直线与l重合，即平面C1CDD1∩α=QN； 同理，如图3，取A1D1上靠近D1的三等分点为M，连接PM，BN， 由平面ABCD∥平面A1B1C1D1，可得PM∥BN，平面A1B1C1D1∩α=PM； 连接MQ，此时过点P，B，Q的平面α截正方体所得的截面为五边形PBNQM，故C项正确； 对选项D，如图4，取M，N，E，F分别为对应棱的中点，连接PF，FQ，QE，EN，MN，PM， 可由平面B1BAA1∥平面C1CDD1，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面B1BCC1∥平面A1ADD1，得PM∥QE，PF∥NE，MN∥FQ， 即此时过点P，M，Q的平面α截正方体所得的截面为六边形PMNEQF，故D项正确. 16.(11分)在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=a，点E在PD上，且PE=2ED.在棱PC，PD上是否存在一点F，M，使平面FBM与平面AEC平行？证明你的结论. 解　存在，当F，M分别是PC，PE的中点时， 平面FBM与平面AEC平行.证明如下： 如图，取PC，PE的中点F，M，连接FM. 因为F是PC的中点， 所以FM∥CE. 因为FM⊄平面AEC， CE⊂平面AEC， 所以FM∥平面AEC. 由EM=PE=ED， 得E是MD的中点. 连接BD交AC于点O，连接OE， 所以OE∥BM. 因为BM⊄平面AEC， OE⊂平面AEC， 所以BM∥平面AEC. 由FM∩BM=M， FM∥平面AEC，BM∥平面AEC， FM，BM⊂平面FBM， 得平面FBM∥平面AEC. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章 <<< 平面与平面平行 11.3.3 掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用上述定理解决空间中的平行问题. 学习目标 上节课我们学习了线面平行的判定定理和性质定理，那么我们又该如何判定两平面平行呢？两平面平行又具有怎样的性质呢？ 导 语 一、平面与平面平行的判定定理 二、平面与平面平行的性质定理的应用 课时对点练 三、平行问题的综合应用 内容索引 随堂演练 一 平面与平面平行的判定定理 提示　硬纸片不一定平行，三角尺和桌面一定平行. 如图(1)，a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗？如图(2)，c和d分别是三角尺相邻两边所在的直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗？ 问题1 判定定理 推论 文字语言 如果一个平面内有________ ____分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行 如果一个平面内有____________分别平行于另一个平面内的____ ____，则这两个平面平行 符号语言 l⊂α，m⊂α，l∩m≠∅，l∥β，m∥β⇒α∥β a∥c，b∥d，a∩b=A，a⊂α，b⊂α，c⊂β，d⊂β⇒α∥β 图形语言     平面与平面平行的判定定理 两条相交 直线 两条相交直线 两条 直线 知识梳理 (1)定理中，要紧紧抓住“两条”“相交”“平行”这六个字，否则条件不充分，结论不成立. (2)判定定理：由线面平行⇒面面平行. 注 意 点 <<< 8 (课本例1)如图所示，已知三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点.求证：平面DEF∥平面ABC. 例 1 在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB. 又知DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，因此DE∥平面ABC. 同理，EF∥平面ABC. 又因为DE∩EF=E，所以由面面平行的判定定理可得平面DEF∥平面ABC. 9 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点. 求证：(1)B，C，H，G四点共面； 例 1 ∵GH是△A1B1C1的中位线， ∴GH∥B1C1. 又B1C1∥BC，∴GH∥BC， ∴B，C，H，G四点共面. 10 (2)平面EFA1∥平面BCHG. ∵E，F分别为AB，AC的中点， ∴EF∥BC. ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. ∵A1G∥EB且A1G=EB， ∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF=E，A1E，EF⊂平面EFA1， ∴平面EFA1∥平面BCHG. 11 反 思 感 悟 两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法.解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行. 如图，在四棱锥P-ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，AB∥CD，求证：平面EFG∥平面PAB. 跟踪训练 1 13 ∵E，G分别是PC，BC的中点， ∴EG∥PB， 又∵EG⊄平面PAB，PB⊂平面PAB， ∴EG∥平面PAB， ∵E，F分别是PC，PD的中点， ∴EF∥CD，又∵AB∥CD， ∴EF∥AB，∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB， ∴EF∥平面PAB，又EF∩EG=E，EF，EG⊂平面EFG， ∴平面EFG∥平面PAB. 14 二 平面与平面平行的 性质定理的应用 提示　直线a与平面β平行.直线a与平面β内的任一直线b平行或异面.当a与b不异面，即在同一个平面内时，a与b平行. 若两平面α与β平行，那么平面α内的直线a与平面β有何位置关系？平面α内的直线a与平面β内的任一直线b有何位置关系？何时a与b平行？ 问题2 平面与平面平行的性质定理 性质定理 推论 文字语言 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线____ 两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段_______ 符号语言 α∥β，α∩γ=l，β∩γ=m⇒______ α∥β∥γ，m∩α=A，m∩β=B，m∩γ=C，n∩α=E，n∩β=F，n∩γ=G⇒= 平行 成比例 l∥m 知识梳理 性质定理 推论 图形语言     知识梳理 (1)定理成立的条件：两平面平行，第三个平面与这两个平面都相交. (2)定理的实质：面面平行⇒线线平行. (3)面面平行还有如下性质：两个平面平行，一个平面内的直线平行于另一个平面，可作为证明直线和平面平行的依据. 注 意 点 <<< 19 (课本例2)如图所示，已知α，β，γ都是平面，且α∥β∥γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F. 求证：=. 例 2 20 连接DC，如图所示，设DC与平面β相交于点G，则平面ACD与平面α，β分别相交于直线AD，BG，平面DCF与平面β，γ分别相交于直线GE，CF.因为α∥β，所以BG∥AD，因此=. 同理可得=.因此=. 21 如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM. 例 2 22 因为D，E分别是PA，PB的中点， 所以DE∥AB. 又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC， 所以DE∥平面ABC， 同理DF∥平面ABC，且DE∩DF=D，DE，DF⊂平面DEF， 所以平面DEF∥平面ABC. 又平面PCM∩平面DEF=NF， 平面PCM∩平面ABC=CM，所以NF∥CM. 23 反 思 感 悟 利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，过点B，E，D1的平面与棱CC1交于点F. (1)求证：四边形BFD1E为平行四边形； 跟踪训练 2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 平面ABB1A1∥平面DCC1D1， 且平面BFD1E∩平面ABB1A1=BE， 平面BFD1E∩平面DCC1D1=FD1， 由面面平行的性质定理知BE∥FD1， 同理BF∥D1E， ∴四边形BFD1E为平行四边形. 25 (2)试确定点F的位置. 取BB1的中点M，连接MC1，ME，如图， ∵M，E分别为棱BB1，AA1的中点， ∴ME綉A1B1， 又A1B1綉C1D1，∴ME綉C1D1， ∴四边形D1EMC1为平行四边形， ∴D1E∥MC1，又D1E∥BF， ∴MC1∥BF，又C1F∥BM， ∴四边形MBFC1为平行四边形， ∴BM綉C1F，∴F为棱CC1的中点. 26 三 平行问题的综合应用 如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是矩形. (1)设M为OA上靠近点A的三等分点，N为BC上靠近点B的三等分点.求证：MN∥平面OCD； 例 3 28 如图，取AD上靠近点A的三等分点G，连接MG，NG， 在△AOD中，AM∶MO=1∶2，AG∶GD=1∶2， 则MG∥OD，又MG⊄平面OCD，OD⊂平面OCD， ∴MG∥平面OCD， 同理，NG∥平面OCD， 又MG∩NG=G，MG， NG⊂平面MNG， ∴平面MNG∥平面OCD， 又MN⊂平面MNG， ∴MN∥平面OCD. 29 (2)设E是OD上靠近点D的一个三等分点，试问：在OD上是否存在一点F，使BF∥平面ACE成立？若存在，请予以证明；若不存在，说明理由. 30 存在OE的中点F，使BF∥平面ACE成立.证明如下： 取OE的中点F，连接BF，BD，设BD∩AC=P， 连接PE. ∵四边形ABCD是矩形， ∴P是BD的中点， 又∵E是OD上靠近点D的一个三等分点， 且F是OE的中点， ∴E是FD的中点， ∴在△BDF中，PE∥BF， 31 又PE⊂平面ACE， BF⊄平面ACE， ∴BF∥平面ACE， 故在OD上存在OE的中点F， 使BF∥平面ACE成立. 32 反 思 感 悟 线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示： 如图①所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP，D为AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起得到四棱锥P-ABCD，如图②所示.求证：在四棱锥P-ABCD中，AP∥平面EFG. 跟踪训练 3 34 在四棱锥P-ABCD中，E，F分别为PC，PD的中点， ∴EF∥CD. ∵AB∥CD，∴EF∥AB，∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB， ∴EF∥平面PAB，同理，EG∥平面PAB. 又EF∩EG=E，EF，EG⊂平面EFG， ∴平面EFG∥平面PAB. ∵AP⊂平面PAB，AP⊄平面EFG， ∴AP∥平面EFG. 35 1.知识清单： (1)平面与平面平行的判定定理及推论. (2)平面与平面平行的性质定理及推论. 2.方法归纳：转化思想. 3.常见误区：平面与平面平行的条件不全面. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知直线m，n，平面α，β，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n的关系是 A.平行 B.异面 C.相交 D.平行或异面 √ ∵α∥β，∴α与β无公共点，又m⊂α，n⊂β， ∴m与n无公共点，∴m与n平行或异面. 1 2 3 4 2.下列命题中正确的是 A.一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行 B.如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面 平行 C.平行于同一直线的两个平面一定互相平行 D.如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个平面 平行 √ 如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行，所以B正确. 3.(多选)在正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对平面彼此平行的一对是 A.平面E1FG1与平面EGH1 B.平面FHG1与平面EF1H1 C.平面F1H1H与平面FHE1 D.平面E1HG1与平面EH1G 1 2 3 4 √ √ 1 2 3 4 如图，∵EG∥E1G1，EG⊄平面E1FG1，E1G1⊂平面E1FG1， ∴EG∥平面E1FG1. 同理可证H1E∥平面E1FG1， 又H1E∩EG=E，H1E， EG⊂平面EGH1， ∴平面E1FG1∥EGH1，故A正确， 同理可得B正确，故选AB. 1 2 3 4 4.如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A'，B'，C'，若PA'∶AA'=2∶3，则 S△A'B'C'∶S△ABC=　　　　.  ∵平面α∥平面ABC， 平面PAB与它们的交线分别为A'B'，AB， ∴AB∥A'B'，同理B'C'∥BC， 易得△ABC∽△A'B'C'， S△A'B'C'∶S△ABC===. 课时对点练 五 2 答案 1 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 BCD D A C ACD A 题号 8 11 12 13 14 　15 答案 D BC C M∈线段FH BCD 对一对 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. ∵PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD， ∴MQ∥AD，NQ∥BP， 而BP⊂平面PBC， NQ⊄平面PBC， ∴NQ∥平面PBC. 又四边形ABCD为平行四边形， ∴BC∥AD， ∴MQ∥BC， 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 而BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC， ∴MQ∥平面PBC. 又MQ∩NQ=Q，MQ，NQ⊂平面MNQ， ∴平面MNQ∥平面PBC. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)如图，连接AE， 则AE必过DF与GN的交点O， 连接MO，则MO为△ABE的中位线， 所以BE∥MO. 又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF， 所以BE∥平面DMF. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (2)因为N，G分别为边AD，EF的中点，所以DE∥GN， 又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG， 所以DE∥平面MNG， 又M为AB的中点， 所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN， 又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG， 所以BD∥平面MNG， 又DE，BD⊂平面BDE，DE∩BD=D， 所以平面BDE∥平面MNG. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 存在，当F，M分别是PC，PE的中点时， 平面FBM与平面AEC平行.证明如下： 如图，取PC，PE的中点F，M，连接FM. 因为F是PC的中点， 所以FM∥CE. 因为FM⊄平面AEC，CE⊂平面AEC， 所以FM∥平面AEC. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 由EM=PE=ED， 得E是MD的中点. 连接BD交AC于点O，连接OE， 所以OE∥BM. 因为BM⊄平面AEC，OE⊂平面AEC， 所以BM∥平面AEC. 由FM∩BM=M，FM∥平面AEC，BM∥平面AEC，FM，BM⊂平面FBM， 得平面FBM∥平面AEC. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.(多选)下列说法正确的是 A.一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，必与另外一个平面平行 B.一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行，则这 两个平面平行 C.平行于同一个平面的两平面平行 D.夹在两个平行平面间的平行线段相等 √ √ √ 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 A中，直线还可以在另一个平面内，A错误； B中，一个平面内两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直线，可得两条相交直线与另一个平面平行，即两个平面平行，B正确； C，D显然正确. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若平面α∥平面β，直线a⊂α，点M∈β，过点M的所有直线中 A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.有且只有一条与a平行的直线 √ 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则“α∥β”的一个充分不必要条件是 A.m∥l1且n∥l2 B.m∥β且n∥l2 C.m∥β且n∥β D.m∥β且l1∥α √ 若m∥l1且n∥l2，根据两平面平行的判定定理可得α∥β；若α∥β，则不一定有m∥l1且n∥l2，所以m∥l1且n∥l2是α∥β的充分不必要条件，故A项符合题意. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.平面α截一个三棱锥，如果截面是梯形，那么平面α必定和这个三棱锥的 A.一个侧面平行 B.底面平行 C.仅一条棱平行 D.某两条相对的棱都平行 √ 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当平面α平行于某一平面时，截面为三角形，故A，B错误. 如图，当平面α∥SA时，截面是四边形DEFG.  又∵SA⊂平面SAB，平面SAB∩α=DG， ∴SA∥DG. 同理SA∥EF，∴DG∥EF. 同理，若α∥BC，则GF∥DE. ∵截面是梯形， ∴四边形DEFG中仅有一组对边平行，故α仅与一条棱平行. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，则下列四个命题正确的是 A.若α∥β，γ∥β，则α∥γ B.若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β C.若α∥β，l⊂α，则l∥β D.若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，则m∥n √ √ √ 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，由面面平行的传递性可知A正确； 对于B，若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β或α与β相交，所以B错误； 对于C，若两个平面平行，则其中一个平面内的任一直线都与另一个平面平行，所以C正确； 对于D，因为α∩β=l，β∩γ=m，l∥γ，所以l∥m，又γ∩α=n，则l∥n，由平行线的传递性可得m∥n，所以D正确. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点P在棱AD上，过点P作该正方体的截面，当截面平行于平面B1D1C且面积为时，线段AP的长为 A. B.1 C. D. √ 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，连接A1D，A1B，BD，由正方体的结构特征，可得平面BDA1∥平面B1D1C. 过点P作该正方体的截面，分别交AB于点E，交AA1于点F， ∵截面PEF∥平面B1D1C， ∴截面PEF∥平面BDA1， 可得PE∥DB，EF∥A1B，PF∥A1D， 再由平行线截线段成比例， 可得AP=AE=AF，△PEF为正三角形. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设△PEF的边长为a， 则a2·=， 解得a=2，则AP=. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.如图，已知S是平行四边形ABCD平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且=，则MN_________平面SBC.  ∥ 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，过点N作NG∥AD交AB于点G，连接MG，可得=， 由已知条件==，所以MG∥SB， 因为MG⊄平面SBC，SB⊂平面SBC， 所以MG∥平面SBC.又AD∥BC，所以NG∥BC. 因为NG⊄平面SBC，BC⊂平面SBC，所以NG∥平面SBC. 因为MG∩NG=G，MG，NG⊂平面MNG， 所以平面SBC∥平面MNG， 因为MN⊂平面MNG，所以MN∥平面SBC. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.如图所示的正方体的棱长为4，E，F分别为A1D1，AA1的中点，过C1，E，F的截面的周长为　　 　　.  由EF∥平面BCC1B1可知平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1，平面EFC1与平面ABB1A1的交线为FB，所以截面周长为EF+FB+BC1+C1E=4+6. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD， ∴MQ∥AD，NQ∥BP， 而BP⊂平面PBC， NQ⊄平面PBC， ∴NQ∥平面PBC. 又四边形ABCD为平行四边形， ∴BC∥AD， ∴MQ∥BC， 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 而BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC， ∴MQ∥平面PBC. 又MQ∩NQ=Q，MQ，NQ⊂平面MNQ， ∴平面MNQ∥平面PBC. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证： (1)BE∥平面DMF； 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图， 连接AE， 则AE必过DF与GN的交点O， 连接MO，则MO为△ABE的中位线， 所以BE∥MO. 又BE⊄平面DMF， MO⊂平面DMF， 所以BE∥平面DMF. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)平面BDE∥平面MNG. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为N，G分别为边AD，EF的中点， 所以DE∥GN， 又DE⊄平面MNG， GN⊂平面MNG， 所以DE∥平面MNG， 又M为AB的中点， 所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN， 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又MN⊂平面MNG， BD⊄平面MNG， 所以BD∥平面MNG， 又DE，BD⊂平面BDE， DE∩BD=D， 所以平面BDE∥平面MNG. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.下列能作为判定“平面α∥平面β”成立的条件为 A.存在一条直线a，a∥α，a∥β B.存在一条直线a，a⊂α，a∥β C.存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α D.存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α 综合运用 √ A，B显然错误； C中，若a，b与平面α，β的交线平行，也满足条件，但α，β可以平行或相交，即C错误，由排除法可知D正确. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上，且BP=BD1，则以下说法正确的有 A.MN∥平面APC B.C1Q∥平面APC C.A，P，M三点共线 D.平面MNQ∥平面APC √ √ 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，MN∥AC，AB=2MD1且AB∥MD1，连接AM，∴AM交BD1于点P，同理，连接CN，则CN交BD1于点P，易得AM，CN交于点P，即MN⊂平面APC，∴A错误； 由A知M，N在平面APC上，连接AN，易知AN∥C1Q， ∵C1Q⊄平面APC，AN⊂平面APC，∴C1Q∥平面APC，∴B正确； 由A知A，P，M三点共线，∴C正确； 由A知MN⊂平面APC，又MN⊂平面MNQ，∴平面MNQ与平面APC相交，∴D错误. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA=6，AC=9，PD=8，则BD的长为 A. B. C.或24 D.或12 √ 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 连接AB，CD. (1)当点P在CA的延长线上， 即点P在平面α与平面β的同侧时，如图①. ∵α∥β，平面PCD∩α=AB，平面PCD∩β=CD， ∴AB∥CD，∴=. ∵PA=6，AC=9，PD=8， ∴=，解得BD=. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当点P在线段CA上， 即点P在平面α与平面β之间时，如图②. 类似(1)的方法，可得=. ∵PA=6，PC=AC-PA=9-6=3，PD=8， ∴=，解得PB=16， ∴BD=PB+PD=24. 综上，BD的长为或24. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，若点M在四边形EFGH及其内部运动，则当M满足 　　　 　时，有MN∥平面B1BDD1. M∈线段FH 因为HN∥BD，HF∥DD1，HN∩HF=H，BD∩DD1=D，所以平面NHF∥平面B1BDD1，故M为线段FH上任意一点时，有MN∥平面B1BDD1. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(多选)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，设P，Q分别为A1B1，DD1的中点，则过点P，Q的平面α截正方体所得截面的形状可能为 A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 拓广探究 √ √ √ 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对选项A，假设过点P，Q的平面α截正方体所得截面的形状为三角形，则PQ必为三角形的一条边，但线段PQ不在正方体的任一表面上，不可能为截面图形的边，故A项错误； 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对选项B，如图1，取AB的中点为M，连接PM，过点P，Q，M的平面α截正方体，则平面B1BAA1∩α=PM，设平面C1CDD1∩α=l，且点Q∈l， 由平面B1BAA1∥平面C1CDD1，则PM∥l， 又Q∈DD1，且PM∥BB1，又BB1∥DD1， 则PM∥DD1，故DD1所在直线与l重合， 又PM=BB1=DD1， 连接MD，PD1，则四边形PMDD1为平行四边形，且MD∥PD1， 故此时过点P，Q，M的平面α截正方体所得的截面为四边形PMDD1，故B项正确； 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对选项C，如图2，连接PB，过点P，B，Q的平面α截正方体，  则平面B1BAA1∩α=PB，设平面C1CDD1∩α=l， 且点Q∈l， 由平面B1BAA1∥平面C1CDD1，则PB∥l， 取DC上靠近D的四等分点为N，连接QN，再分别取DC，D1C1的中点R，T，连接D1R，CT，PT， 由PT∥B1C1∥BC，PT=B1C1=BC，可得四边形PBCT为平行四边形， 则PB∥CT，同理可证CT∥D1R，又由Q，N分别为D1D，DR的中点， 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则D1R∥QN， 所以PB∥QN， 即QN所在直线与l重合，即平面C1CDD1∩α=QN； 同理，如图3，取A1D1上靠近D1的三等分点为M，连接PM，BN，  由平面ABCD∥平面A1B1C1D1，可得PM∥BN，平面A1B1C1D1∩α=PM； 连接MQ，此时过点P，B，Q的平面α截正方体所得的截面为五边形PBNQM，故C项正确； 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对选项D，如图4，取M，N，E，F分别为对应棱的中点，连接PF，FQ，QE，EN，MN，PM，  可由平面B1BAA1∥平面C1CDD1，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面B1BCC1∥平面A1ADD1，得PM∥QE，PF∥NE，MN∥FQ， 即此时过点P，M，Q的平面α截正方体所得的截面为六边形PMNEQF，故D项正确. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=a，点E在PD上，且PE=2ED.在棱PC，PD上是否存在一点F，M，使平面FBM与平面AEC平行？证明你的结论. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 存在，当F，M分别是PC，PE的中点时， 平面FBM与平面AEC平行.证明如下： 如图，取PC，PE的中点F，M，连接FM. 因为F是PC的中点， 所以FM∥CE. 因为FM⊄平面AEC， CE⊂平面AEC， 所以FM∥平面AEC. 由EM=PE=ED， 得E是MD的中点. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 连接BD交AC于点O，连接OE， 所以OE∥BM. 因为BM⊄平面AEC， OE⊂平面AEC， 所以BM∥平面AEC. 由FM∩BM=M， FM∥平面AEC，BM∥平面AEC， FM，BM⊂平面FBM， 得平面FBM∥平面AEC. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第一章 <<< $$