第十一章 11.1.1 空间几何体与斜二测画法-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第四册教师用书（人教B版2019）

11.1.1　空间几何体与斜二测画法 [学习目标]　1.了解常见的空间几何体，能将物体抽象出的几何体画出来.2.会用斜二测画法画出简单平面图形和立体图形的直观图. 导语 从古至今，各个国家的建筑物都有各自的特色，如埃及金字塔、各城市的大厦等，它们都是独具匠心的建筑物，是建筑师们集体智慧的结晶.今天我们如何从数学的角度来看待这些建筑物呢？ 一、空间几何体 问题1　举例说出常见的几何体有哪些？ 提示　长方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等. 知识梳理 空间几何体的定义 如果只考虑一个物体占有的空间形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体. 二、平面图形的直观图 知识梳理 用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的步骤 (1)在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴，作出与之对应的x'轴和y'轴，使得它们正方向的夹角为45°(或135°). (2)平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画成与x'轴平行(或重合)的线段，且长度不变. 平面图形中与y轴平行(或重合)的线段画成与y'轴平行(或重合)的线段，且长度为原来长度的一半. (3)连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线. 例1　已知水平放置的正五边形ABCDE，如图，试作出其直观图. 解　画法： (1)在图①中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H. (2)在图②中作出相应的x'轴与y'轴，两轴相交于点O'，使∠x'O'y'=45°. (3)在图②中的x'轴上取O'B'=OB， O'G'=OG，O'C'=OC，O'H'=OH， y'轴上取O'E'=OE， 分别过G'和H'作y'轴的平行线， 并在相应的平行线上取 G'A'=GA，H'D'=HD. (4)连接A'B'，A'E'，E'D'，D'C'，并擦去辅助线G'A'，H'D'，x'轴与y'轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A'B'C'D'E'(如图③). 反思感悟　作水平放置的平面图形的直观图的技巧 (1)关键是选取适当的坐标系，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点. (2)如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作与坐标轴平行的线段，将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定. (3)同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同. 跟踪训练1　作出如图水平放置的直角梯形的直观图. 解　(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.画出相应的x'轴和y'轴，使∠x'O'y'=45°，如图①②所示. (2)在x'轴上截取O'B'=OB，在y'轴上截取O'D'=OD，过点D'作x'轴的平行线l，在l上沿x'轴正方向取点C'使得D'C'=DC.连接B'C'，如图②所示. (3)擦去作图过程中的辅助线，所得四边形O'B'C'D'就是水平放置的直角梯形OBCD的直观图，如图③所示. 三、立体图形直观图的画法 问题2　画立体图形直观图与平面图形的直观图有什么区别？ 提示　画立体图形的直观图，比画平面图形的直观图增加了一个z'轴，表示竖直方向. 知识梳理 用斜二测画法作立体图形直观图的步骤 (1)在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出水平平面上图形的直观图(保留x'轴与y'轴). (2)在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y轴，过x'轴与y'轴的交点作z轴对应的z'轴，且z'轴垂直于x'轴. 图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z'轴平行(或重合)的线段，且长度不变. 连接有关线段. (3)擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线(或擦除). 例2　用斜二测画法画出正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图. 解　画法：(1)画轴.画x'轴、y'轴、z'轴，使∠x'O'y'=45°(或135°)，∠x'O'z'=90°. (2)画底面.按x'轴、y'轴，画正六边形的直观图ABCDEF. (3)画侧棱.过A，B，C，D，E，F各点分别作z'轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA'，BB'，CC'，DD'，EE'，FF'都等于侧棱长. (4)成图.顺次连接A'，B'，C'，D'，E'，F'，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)就得到正六棱柱的直观图，如图所示. 反思感悟　立体图形的直观图的画法 (1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出. (2)画立体图形的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z'轴，表示竖直方向. (3)z'轴方向上的线段，长度与原来保持一致. 跟踪训练2　用斜二测画法画出六棱锥P-ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面上的投影是正六边形的中心O.(尺寸自定) 解　画法： (1)画出六棱锥P-ABCDEF的底面. ①在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在的直线为y轴，两轴相交于点O，如图①，画出相应的x'轴、y'轴、z'轴，三轴相交于点O'，使∠x'O'y'=45°，∠x'O'z'=90°，如图②； ②在图②中，以O'为中点，在x'轴上取A'D'=AD，在y'轴上取M'N'=MN，以点N'为中点，画出B'C'平行于x'轴，并且等于BC，再以M'为中点，画出E'F'平行于x'轴，并且等于EF； ③连接A'B'，C'D'，D'E'，F'A'，得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图A'B'C'D'E'F'. (2)画出正六棱锥P-ABCDEF的顶点，在z'轴正半轴上截取点P'，点P'异于点O'. (3)成图.连接P'A'，P'B'，P'C'，P'D'，P'E'，P'F'，并擦去x'轴、y'轴和z'轴，将被遮挡的部分改为虚线，便可得到六棱锥P-ABCDEF的直观图P'-A'B'C'D'E'F'，如图③. 四、直观图的还原与计算 例3　如图，矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'=6 cm，O'C'=2 cm，C'D'=2 cm，则原图形是　　　，其面积为　　　　.  答案　菱形　24 cm2 解析　如图，在原图形OABC中， 应有OD=2O'D'=2×2 =4(cm)， CD=C'D'=2 cm， 所以OC===6(cm)， 所以OA=OC=BC=AB， 故四边形OABC是菱形. S四边形OABC=OA×OD=6×4=24(cm2). 反思感悟　由直观图还原为平面图形的关键是找与x'轴，y'轴平行的直线或线段，且平行于x'轴的线段还原时长度不变，平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.由此可得，直观图面积是原图形面积的 倍. 跟踪训练3　一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形O'A'B'C'的面积为，则原梯形的面积为(　　) A.2 B. C.2 D.4 答案　D 解析　方法一　如图，由斜二测画法原理知， 原梯形与直观图中的梯形上、下底边的长度一样，不一样的是两个梯形的高. 原梯形的高OC是直观图中O'C'长度的2倍，O'C'的长度是直观图中梯形的高的 倍. 由此知原梯形的高OC的长度是直观图中梯形高的2倍，故其面积是梯形O'A'B'C'面积的2倍，因为梯形O'A'B'C'的面积为，所以原梯形的面积是4. 方法二　设直观图中梯形O'A'B'C'的面积为S'，原平面梯形OABC的面积为S. 由S'=S， 得S=2S'=2×=4. 1.知识清单： (1)水平放置的平面图形的直观图的画法. (2)立体图形直观图的画法. (3)直观图的还原与计算. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：同一图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同. 1.关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是(　　) A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形 B.正方形的直观图为平行四边形 C.梯形的直观图不是梯形 D.正三角形的直观图一定为等腰三角形 答案　B 解析　平行的线段在直观图中仍平行，但直角在直观图中不是直角.因此答案为B. 2.如图所示为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是(　　) 答案　C 解析　根据该平面图形的直观图，可知该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于y'轴的边与底边垂直. 3.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A'C'=3，B'C'=2，则AB边上的高线的实际长度为　　　　.  答案　 解析　由直观图知，原平面图形为直角三角形， 且AC=A'C'=3，BC=2B'C'=4， 计算得AB=5，所求高线长为. 4.如图是用斜二测画法画出的△AOB的直观图，则△AOB的面积是　　　　.  答案　16 解析　由题图可知O'B'=4， 则对应△AOB中，OB=4. 又和y'轴平行的线段的长度为4， 则对应△AOB边OB上的高为8. 所以△AOB的面积为×4×8=16. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共18分 1.根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O'x'，O'y'，O'z'，则∠x'O'y'与∠x'O'z'的度数分别为(　　) A.90°，90° B.45°，90° C.135°，90° D.45°或135°，90° 答案　D 解析　根据斜二测画法的规则，∠x'O'y'的度数应为45°或135°，∠x'O'z'指的是画立体图形时的横轴与竖轴的夹角，所以度数为90°. 2.在如图所示的直观图中，四边形O'A'B'C'为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系中原四边形OABC为(　　) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四边形 答案　A 解析　由斜二测画法规则可知，在四边形OABC中，OA⊥OC，OA=O'A'=2 cm，OC=2O'C'=4 cm，所以四边形OABC是矩形. 3.(多选)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的是(　　) A.原来相交的仍相交 B.原来垂直的仍垂直 C.原来平行的仍平行 D.原来共点的仍共点 答案　ACD 解析　根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直，B选项错误，其余选项均正确. 4.已知两个底面重合在一起的圆锥，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，若该几何体以圆锥的底面水平放置，则其直观图中这两个顶点之间的距离为(　　) A.2 cm B.3 cm C.2.5 cm D.5 cm 答案　D 解析　两顶点间的距离为2+3=5(cm)，与z轴平行(或在z轴上)的线段在直观图中长度不变，仍为5 cm. 5.如图所示，Rt△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直观图，∠A'O'B'=90°，点B'在x'轴上，且A'O'=1，则△AOB的边OA的长为(　　) A.2 B.3 C.3 D.4 答案　B 解析　根据题意，如图1，在直观图中，作A'D'∥B'O'，交y'轴于点D'，易得∠A'O'D'=45°，A'O'=1，∠O'A'D'=90°，则O'D'=，A'D'=1，如图2，在原图中，OD=2O'D'=2，AD=A'D'=1，∠ADO=90°，则OA==3. 6.(多选)如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图，D'为B'C'的中点，且A'D'∥y'轴，B'C'∥x'轴，那么在原平面图形△ABC中(　　) A.AB与AC相等 B.AD的长度大于AC的长度 C.AB的长度大于AD的长度 D.BC的长度大于AD的长度 答案　AC 解析　由题意可知，AD=2A'D'，BC=B'C'，AD⊥BC，BD=CD，则△ABC为等腰三角形，故AB=AC.△ABD与△ADC均为直角三角形，AD<AC，AB>AD，BC与AD的长度大小不确定. 7.(5分)如图，平行四边形O'P'Q'R'是四边形OPQR的直观图，若O'P'=3，O'R'=1，则原四边形OPQR的周长为　　　　. 答案　10 解析　由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP=3，OR=2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3+2)=10. 8.(5分)如图所示，已知用斜二测画法画出的△ABC的直观图△A'B'C'是边长为a的正三角形，则原△ABC的面积为　　　　.  答案　a2 解析　方法一　过点C'作C'M'∥y'轴，且交x'轴于点M'. 过C'作C'D'⊥x'轴，且交x'轴于点D'， 则C'D'=a，∵∠C'M'D'=45°，∴C'M'=a， ∴原三角形的高CM=a，底边长为a，其面积为S=×a×a=a2. 方法二　S直观=S原，∴S原=·a2=a2. 9.(10分)如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4 cm，CD=2 cm，∠DAB=30°，AD=3 cm，试画出它的直观图. 解　第一步：如图1所示，在梯形ABCD中，以边AB所在直线为x轴，A为原点，建立平面直角坐标系xOy；如图2所示，画出对应的x'轴、y'轴， 使∠x'O'y'=45°； 第二步：在图1中，过点D作DE⊥x轴，垂足为点E；在图2中，在x'轴上取A'B'=AB=4 cm，A'E'=AE=≈2.598(cm)，过点E'作E'D'∥y'轴，使E'D'=ED=×=0.75(cm)，再过点D'作D'C'∥x'轴，且使D'C'=DC=2 cm； 第三步：连接A'D'，B'C'，并擦去x'轴与y'轴多余的部分及其他一些辅助线，如图3所示，则四边形A'B'C'D'就是所求作的直观图. 10.(10分)用斜二测画法作出底面半径为1 cm，高为3 cm的圆锥的直观图. 解　画法如下： (1)画x'轴和y'轴，两轴交于点O'，使∠x'O'y'=45°； (2)分别在x'轴，y'轴上以O'为中点，作A'B'=2 cm，C'D'=1 cm，用曲线将A'，C'，B'，D'连起来得到圆锥底面(圆)的直观图； (3)画z'轴，在z'轴方向上取O'S=3 cm，S为圆锥的顶点，连接SA'，SB'； (4)擦去有关辅助线，把被面遮挡住的部分改成虚线，得到圆锥的直观图. 11.(多选)以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的是(　　) A.水平放置的角的直观图一定是角 B.相等的角在直观图中仍然相等 C.相等的线段在直观图中仍然相等 D.线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 答案　AD 解析　水平放置的角的直观图一定是角，故A正确；角的大小在直观图中都会发生改变，一些线段在直观图中也会改变，故B，C错误；由斜二测画法规则可知，线段的中点在直观图中仍然是线段的中点，故D正确. 12.已知边长为4的菱形，其中一个内角为120°.将菱形水平放置，使较短的对角线成纵向，则此菱形的直观图面积为(　　) A.2 B. C.8 D.4 答案　A 解析　方法一　菱形ABCD的边长为4，一个内角为120°，如图(1)，画出它的直观图A'B'C'D'，如图(2). 在菱形ABCD中，AB=AD=4，∠ABC=120°， 所以BO=BAsin 30°=2， AO=BAcos 30°=2， 所以BD=4，AC=4. 在四边形A'B'C'D'中， B'D'=BD=2，A'C'=AC=4， 所以四边形A'B'C'D'的面积为 A'C'·B'D'·sin 45°=×4×2×=2. 方法二　如图(1)，菱形ABCD的边长为4，一个内角为120°，所以对角线AC=4，BD=4.菱形ABCD的面积S=×4×4=8，该菱形的直观图的面积S'===2. 13.(5分)水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B'C'=4，A'C'=3，B'C'∥y'轴，则△ABC中AB边上的中线的长度为　　　　　，S△ABC=　　　　.  答案　　12 解析　由斜二测画法规则知AC⊥BC，即△ABC为直角三角形，其中AC=3，BC=8，所以AB=，AB边上的中线长度为，△ABC的面积为AC·BC=12. 14.(5分)如图所示，四边形ABCD是一水平放置的平面图形的斜二测直观图，四边形ABCD是一直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，且BC与y'轴平行，若AB=6，DC=4，AD=2，则这个平面图形的实际面积是　　　　.  答案　20 解析　由题意知，直观图中S梯形ABCD=(AB+CD)·AD=10， 故这个平面图形的实际面积S=S梯形ABCD=20. 15.(5分)如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图O'A'B'C'，则直观图中梯形的高为　　　　.  答案　 解析　如图，作CD⊥OA于点D，BE⊥OA于点E， 则OD=EA==2， ∴CD=OD=2， ∴在直观图中梯形的高为×2×=. 16.(12分)一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高(两底面圆心连线的长度)为4 cm，圆锥的高(顶点与底面圆心连线的长度)为3 cm，画出此几何体的直观图. 解　(1)画轴.如图①所示，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy=45°，∠xOz=90°. (2)画圆柱的下底面.在x轴上取A，B两点，使AB=3 cm，且OA=OB，在y轴上取C，D两点，使CD=1.5 cm，且OC=OD，用曲线将A，C，B，D连起来得到圆柱的下底面. (3)在Oz上截取OO'=4 cm，过点O'分别作平行于Ox轴的O'x'轴和平行于Oy轴的O'y'轴，类似圆柱下底面的画法画出圆柱的上底面. (4)画圆锥的顶点.在Oz上截取点P，使PO'=3 cm. (5)成图.连接A'A，B'B，PA'，PB'，整理(去掉辅助线，将被遮挡部分改成虚线)得到此几何体的直观图，如图②所示. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章 <<< 空间几何体与斜二测画法 11.1.1 1.了解常见的空间几何体，能将物体抽象出的几何体画出来. 2.会用斜二测画法画出简单平面图形和立体图形的直观图. 学习目标 从古至今，各个国家的建筑物都有各自的特色，如埃及金字塔、各城市的大厦等，它们都是独具匠心的建筑物，是建筑师们集体智慧的结晶.今天我们如何从数学的角度来看待这些建筑物呢？ 导 语 一、空间几何体 二、平面图形的直观图 课时对点练 三、立体图形直观图的画法 内容索引 随堂演练 四、直观图的还原与计算 一 空间几何体 提示　长方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等. 举例说出常见的几何体有哪些？ 问题1 空间几何体的定义 如果只考虑一个物体占有的空间 和 ，而不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体. 形状 大小 知识梳理 二 平面图形的直观图 用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的步骤 (1)在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴，作出与之对应的x'轴和y'轴，使得它们正方向的夹角为 (或135°). (2)平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画成与x'轴平行(或重合)的线段，且长度 . 平面图形中与y轴平行(或重合)的线段画成与y'轴平行(或重合)的线段，且长度为原来长度的 . (3)连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线. 45° 不变 一半 知识梳理 已知水平放置的正五边形ABCDE，如图，试作出其直观图. 例 1 10 画法： (1)在图①中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H. (2)在图②中作出相应的x'轴与y'轴，两轴相交于点O'，使∠x'O'y'=45°. (3)在图②中的x'轴上取O'B'=OB， O'G'=OG，O'C'=OC，O'H'=OH， y'轴上取O'E'=OE， 分别过G'和H'作y'轴的平行线， 并在相应的平行线上取 G'A'=GA，H'D'=HD. 11 (4)连接A'B'，A'E'，E'D'，D'C'，并擦去辅助线G'A'，H'D'，x'轴与y'轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A'B'C'D'E'(如图③). 12 反 思 感 悟 作水平放置的平面图形的直观图的技巧 (1)关键是选取适当的坐标系，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点. (2)如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作与坐标轴平行的线段，将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定. (3)同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同. 作出如图水平放置的直角梯形的直观图. 跟踪训练 1 14 (1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.画出相应的x'轴和y'轴，使∠x'O'y'=45°，如图①②所示. (2)在x'轴上截取O'B'=OB，在y'轴上截取O'D'=OD，过点D'作x'轴的平行线l，在l上沿x'轴正方向取点C'使得D'C'=DC.连接B'C'，如图②所示. (3)擦去作图过程中的辅助线，所得四边形O'B'C'D'就是水平放置的直角梯形OBCD的直观图，如图③所示. 15 三 立体图形直观图的画法 提示　画立体图形的直观图，比画平面图形的直观图增加了一个z'轴，表示竖直方向. 画立体图形直观图与平面图形的直观图有什么区别？ 问题2 用斜二测画法作立体图形直观图的步骤 (1)在立体图形中取水平平面，在其中取互相 的x轴与y轴，作出水平平面上图形的直观图(保留x'轴与y'轴). (2)在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴 于x轴与y轴，过x'轴与y'轴的交点作z轴对应的z'轴，且z'轴 于x'轴. 图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z'轴 (或 )的线段，且长度不变. 连接有关线段. (3)擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成 (或擦除). 垂直 垂直 垂直 平行 重合 虚线 知识梳理 用斜二测画法画出正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图. 例 2 19 画法：(1)画轴.画x'轴、y'轴、z'轴，使∠x'O'y'=45°(或135°)，∠x'O'z'=90°. (2)画底面.按x'轴、y'轴，画正六边形的直观图ABCDEF. (3)画侧棱.过A，B，C，D，E，F各点分别作z'轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA'，BB'，CC'，DD'，EE'，FF'都等于侧棱长. (4)成图.顺次连接A'，B'，C'，D'，E'，F'，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)就得到正六棱柱的直观图，如图所示. 20 反 思 感 悟 立体图形的直观图的画法 (1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出. (2)画立体图形的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z'轴，表示竖直方向. (3)z'轴方向上的线段，长度与原来保持一致. 用斜二测画法画出六棱锥P-ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面上的投影是正六边形的中心O.(尺寸自定) 跟踪训练 2 22 画法： (1)画出六棱锥P-ABCDEF的底面. ①在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在的直线为y轴，两轴相交于点O，如图①，画出相应的x'轴、y'轴、z'轴，三轴相交于点O'，使∠x'O'y'=45°，∠x'O'z'=90°，如图②； ②在图②中，以O'为中点，在x'轴上取A'D'=AD，在y'轴上取M'N'=MN，以点N'为中点，画出B'C'平行于x'轴，并且等于BC，再以M'为中点，画出E'F'平行于x'轴，并且等于EF； 23 ③连接A'B'，C'D'，D'E'，F'A'，得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图A'B'C'D'E'F'. (2)画出正六棱锥P-ABCDEF的顶点，在z'轴正半轴上截取点P'，点P'异于点O'. (3)成图.连接P'A'，P'B'，P'C'，P'D'，P'E'，P'F'，并擦去x'轴、y'轴和z'轴，将被遮挡的部分改为虚线，便可得到六棱锥P-ABCDEF的直观图P'-A'B'C'D'E'F'，如图③. 24 四 直观图的还原与计算 如图，矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'=6 cm，O'C'=2 cm，C'D'=2 cm，则原图形是　　　，其面积为　　　　　.  例 3 菱形 24 cm2 26 如图，在原图形OABC中， 应有OD=2O'D'=2×2=4(cm)， CD=C'D'=2 cm， 所以OC===6(cm)， 所以OA=OC=BC=AB， 故四边形OABC是菱形. S四边形OABC=OA×OD=6×4=24(cm2). 27 反 思 感 悟 由直观图还原为平面图形的关键是找与x'轴，y'轴平行的直线或线段，且平行于x'轴的线段还原时长度不变，平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.由此可得，直观图面积是原图形面积的 倍. 一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形O'A'B'C'的面积为，则原梯形的面积为 A.2 B. C.2 D.4 跟踪训练 3 √ 29 方法一　如图，由斜二测画法原理知， 原梯形与直观图中的梯形上、下底边的长度一样，不一样的是两个梯形的高.  原梯形的高OC是直观图中O'C'长度的2倍，O'C'的长度是直观图中梯形的高的 倍. 由此知原梯形的高OC的长度是直观图中梯形高的2倍，故其面积是梯形O'A'B'C'面积的2倍，因为梯形O'A'B'C'的面积为，所以原梯形的面积是4. 30 方法二　设直观图中梯形O'A'B'C'的面积为S'，原平面梯形OABC的面积为S. 由S'=S， 得S=2S'=2×=4. 31 1.知识清单： (1)水平放置的平面图形的直观图的画法. (2)立体图形直观图的画法. (3)直观图的还原与计算. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：同一图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 1.关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是 A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形 B.正方形的直观图为平行四边形 C.梯形的直观图不是梯形 D.正三角形的直观图一定为等腰三角形 √ 平行的线段在直观图中仍平行，但直角在直观图中不是直角.因此答案为B. 1 2 3 4 2.如图所示为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是 √ 1 2 3 4 根据该平面图形的直观图，可知该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于y'轴的边与底边垂直. 3.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A'C'=3， B'C'=2，则AB边上的高线的实际长度为　　　　.  1 2 3 4 由直观图知，原平面图形为直角三角形， 且AC=A'C'=3，BC=2B'C'=4， 计算得AB=5，所求高线长为. 1 2 3 4 4.如图是用斜二测画法画出的△AOB的直观图，则△AOB的面积是 　　.  由题图可知O'B'=4， 则对应△AOB中，OB=4. 又和y'轴平行的线段的长度为4， 则对应△AOB边OB上的高为8. 所以△AOB的面积为×4×8=16. 16 课时对点练 六 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D A ABC D B AC 10 题号 8 11 12 13 14 　15 答案 AD A 　12 20 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 第一步：如图1所示，在梯形ABCD中，以边AB所在直线为x轴，A为原点，建立平面直角坐标系xOy；如图2所示，画出对应的x'轴、y'轴， 使∠x'O'y'=45°； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 第二步：在图1中，过点D作DE⊥x轴，垂足为点E；在图2中，在x'轴上取A'B'=AB=4 cm，A'E'=AE=≈2.598(cm)，过点E'作E'D'∥y'轴，使E'D'=ED=×=0.75(cm)，再过点D'作D'C'∥x'轴，且使D'C'=DC=2 cm； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 第三步：连接A'D'，B'C'，并擦去x'轴与y'轴多余的部分及其他一些辅助线，如图3所示，则四边形A'B'C'D'就是所求作的直观图. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 画法如下： (1)画x'轴和y'轴，两轴交于点O'，使∠x'O'y'=45°； (2)分别在x'轴，y'轴上以O'为中点，作A'B'=2 cm，C'D'=1 cm，用曲线将A'，C'，B'，D'连起来得到圆锥底面(圆)的直观图； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (3)画z'轴，在z'轴方向上取O'S=3 cm，S为圆锥的顶点，连接SA'，SB'； (4)擦去有关辅助线，把被面遮挡住的部分改成虚线，得到圆锥的直观图. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)画轴.如图①所示，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy=45°，∠xOz=90°. (2)画圆柱的下底面.在x轴上取A，B两点，使AB=3 cm，且OA=OB， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在y轴上取C，D两点，使CD=1.5 cm，且OC=OD，用曲线将A，C，B，D连起来得到圆柱的下底面. 16. (3)在Oz上截取OO'=4 cm，过点O'分别作平行于Ox轴的O'x'轴和平行于Oy轴的O'y'轴，类似圆柱下底面的画法画出圆柱的上底面. (4)画圆锥的顶点.在Oz上截取点P，使PO'=3 cm. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (5)成图.连接A'A，B'B，PA'，PB'，整理(去掉辅助线，将被遮挡部分改成虚线)得到此几何体的直观图，如图②所示. 基础巩固 1.根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O'x'，O'y'，O'z'，则∠x'O'y'与∠x'O'z'的度数分别为 A.90°，90° B.45°，90° C.135°，90° D.45°或135°，90° √ 根据斜二测画法的规则，∠x'O'y'的度数应为45°或135°，∠x'O'z'指的是画立体图形时的横轴与竖轴的夹角，所以度数为90°. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.在如图所示的直观图中，四边形O'A'B'C'为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系中原四边形OABC为  A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四边形 √ 由斜二测画法规则可知，在四边形OABC中，OA⊥OC，OA=O'A'= 2 cm，OC=2O'C'=4 cm，所以四边形OABC是矩形. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.(多选)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的是 A.原来相交的仍相交 B.原来垂直的仍垂直 C.原来平行的仍平行 D.原来共点的仍共点 √ 根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直，B选项错误，其余选项均正确. √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知两个底面重合在一起的圆锥，其中一个圆锥顶点到底面的距离为 2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，若该几何体以圆锥的底面水平放置，则其直观图中这两个顶点之间的距离为 A.2 cm B.3 cm C.2.5 cm D.5 cm √ 两顶点间的距离为2+3=5(cm)，与z轴平行(或在z轴上)的线段在直观图中长度不变，仍为5 cm. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.如图所示，Rt△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直观图，∠A'O'B'=90°，点B'在x'轴上，且A'O'=1，则△AOB的边OA的长为  A.2 B. 3 C. 3 D.4 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据题意，如图1，在直观图中，作A'D'∥B'O'，交y'轴于点D'，易得∠A'O'D'=45°，A'O'=1，∠O'A'D'=90°，则O'D'=，A'D'=1，如图2，在原图中，OD=2O'D'=2，AD=A'D'=1，∠ADO=90°，则OA==3. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图，D'为B'C'的中点，且A'D'∥y'轴，B'C'∥x'轴，那么在原平面图形△ABC中  A.AB与AC相等 B.AD的长度大于AC的长度 C.AB的长度大于AD的长度 D.BC的长度大于AD的长度 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知，AD=2A'D'，BC=B'C'，AD⊥BC，BD=CD，则△ABC为等腰三角形，故AB=AC.△ABD与△ADC均为直角三角形，AD<AC，AB>AD，BC与AD的长度大小不确定. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.如图，平行四边形O'P'Q'R'是四边形OPQR的直观图，若O'P'=3，O'R'=1，则原四边形OPQR的周长为　　. 由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP=3，OR=2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3+2)=10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.如图所示，已知用斜二测画法画出的△ABC的直观图△A'B'C'是边长为a的正三角形，则原△ABC的 面积为　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　过点C'作C'M'∥y'轴，且交x'轴于点M'. 过C'作C'D'⊥x'轴，且交x'轴于点D'， 则C'D'=a，∵∠C'M'D'=45°，∴C'M'=a， ∴原三角形的高CM=a，底边长为a，其面积为S=×a×a=a2. 方法二　S直观=S原，∴S原=·a2=a2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4 cm，CD=2 cm，∠DAB=30°，AD=3 cm，试画出它的直观图. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第一步：如图1所示，在梯形ABCD中，以边AB所在直线为x轴，A为原点，建立平面直角坐标系xOy；如图2所示，画出对应的x'轴、y'轴， 使∠x'O'y'=45°； 第二步：在图1中，过点D作DE⊥x轴，垂足为点E；在图2中，在x'轴 上取A'B'=AB=4 cm，A'E'=AE=≈2.598(cm)，过点E'作E'D'∥y'轴，使E'D'=ED=×=0.75(cm)，再过点D'作D'C'∥x'轴，且使D'C'=DC=2 cm； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第三步：连接A'D'，B'C'，并擦去x'轴与y'轴多余的部分及其他一些辅助线，如图3所示，则四边形A'B'C'D'就是所求作的直观图. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.用斜二测画法作出底面半径为1 cm，高为3 cm的圆锥的直观图. 画法如下： (1)画x'轴和y'轴，两轴交于点O'，使∠x'O'y'=45°； (2)分别在x'轴，y'轴上以O'为中点，作A'B'=2 cm，C'D'= 1 cm，用曲线将A'，C'，B'，D'连起来得到圆锥底面(圆)的直观图； (3)画z'轴，在z'轴方向上取O'S=3 cm，S为圆锥的顶点，连接SA'，SB'； (4)擦去有关辅助线，把被面遮挡住的部分改成虚线，得到圆锥的直观图. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的是 A.水平放置的角的直观图一定是角 B.相等的角在直观图中仍然相等 C.相等的线段在直观图中仍然相等 D.线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 √ 综合运用 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 水平放置的角的直观图一定是角，故A正确； 角的大小在直观图中都会发生改变，一些线段在直观图中也会改变，故B，C错误； 由斜二测画法规则可知，线段的中点在直观图中仍然是线段的中点，故D正确. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知边长为4的菱形，其中一个内角为120°.将菱形水平放置，使较短的对角线成纵向，则此菱形的直观图面积为 A.2 B. C.8 D.4 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　菱形ABCD的边长为4，一个内角为120°，如图(1)，画出它的直观图A'B'C'D'，如图(2).  在菱形ABCD中，AB=AD=4，∠ABC=120°， 所以BO=BAsin 30°=2， AO=BAcos 30°=2， 所以BD=4，AC=4. 在四边形A'B'C'D'中，B'D'=BD=2，A'C'=AC=4， 所以四边形A'B'C'D'的面积为A'C'·B'D'·sin 45°=×4×2×=2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　如图(1)，菱形ABCD的边长为4，一个内角为120°，所以对角线AC=4，BD=4.菱形ABCD的面积S=×4×4=8，该菱形的直观图的面积S'===2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B'C'=4，A'C'=3，B'C'∥y'轴，则△ABC中AB边上 的中线的长度为　　　　　，S△ABC=　　　　.  由斜二测画法规则知AC⊥BC，即△ABC为直角三角形，其中AC=3，BC=8，所以AB=，AB边上的中线长度为，△ABC的面积为AC·BC=12. 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.如图所示，四边形ABCD是一水平放置的平面图形的斜二测直观图，四边形ABCD是一直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，且BC与y'轴平行，若AB=6，DC=4，AD=2，则这个平面图形的实际面积是　　　.  由题意知，直观图中S梯形ABCD=(AB+CD)·AD=10， 故这个平面图形的实际面积S=S梯形ABCD=20. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图O'A'B'C'，则直观图中梯形 的高为　　　　.  拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，作CD⊥OA于点D，BE⊥OA于点E， 则OD=EA==2， ∴CD=OD=2， ∴在直观图中梯形的高为×2×=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高(两底面圆心连线的长度)为4 cm，圆锥的高(顶点与底面圆心连线的长度)为3 cm，画出此几何体的直观图. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)画轴.如图①所示，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy=45°，∠xOz=90°. (2)画圆柱的下底面.在x轴上取A，B两点，使AB=3 cm，且OA=OB，在y轴上取C，D两点，使CD=1.5 cm，且OC=OD，用曲线将A，C，B，D连起来得到圆柱的下底面. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)在Oz上截取OO'=4 cm，过点O'分别作平行于Ox轴的O'x'轴和平行于Oy轴的O'y'轴，类似圆柱下底面的画法画出圆柱的上底面. (4)画圆锥的顶点.在Oz上截取点P，使PO'=3 cm. (5)成图.连接A'A，B'B，PA'，PB'，整理(去掉辅助线，将被遮挡部分改成虚线)得到此几何体的直观图，如图②所示. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第一章 <<< $$