第十章 10.2 10.2.2 复数的乘法与除法-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第四册教师用书（人教B版2019）

10.2.2　复数的乘法与除法 [学习目标]　1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 导语 我们知道，两个一次式相乘，有(ax+b)(cx+d)=acx2+(bc+ad)x+bd，复数的加减法也可以看作多项式相加减，那么复数的乘除法可以看作多项式乘除吗？本节课我们就来学习一下. 一、复数乘法的运算法则和运算律 问题1　类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？ 提示　复数的乘法法则如下： 设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)·(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i. 问题2　类比实数的运算律，你认为复数满足哪些运算律？请证明你的猜想. 提示　猜想： 对于任意z1，z2，z3∈C，有： 交换律：z1·z2=z2·z1； 结合律：(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3)； 分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 证明： 设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i. (1)∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i) =(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i， z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i) =(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i， 又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1， b1a2+a1b2=b2a1+a2b1， ∴z1z2=z2z1. (2)(3)略. 知识梳理 1.复数的乘法法则 一般地，设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积，并规定z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i. 2.复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2=z2z1 结合律 (z1z2)z3=z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 例1(课本例2)　计算(1+i)2与(1-i)2的值. 解　(1+i)2=12+2i+i2=2i. (1-i)2=12-2i+i2=-2i. 例1　计算下列各题. (1)(1-i)(1+i)+(2+i)2； (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i. 解　(1)(1-i)(1+i)+(2+i)2 =1-i2+4+4i+i2=5+4i. (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i =(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i =(3+11i)(3-4i)+2i =(9-12i+33i-44i2)+2i =53+21i+2i=53+23i. 反思感悟　(1)两个复数代数形式的乘法运算的一般步骤 ①首先按多项式的乘法展开； ②再将i2换成-1； ③然后再进行复数的加、减运算. (2)常用公式及结论 ①(a+bi)2=a2-b2+2abi(a，b∈R)； ②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a，b∈R)； ③(1±i)2=±2i. ④z=|z|2. 跟踪训练1　(1)计算：(1-i)2-(2-3i)(2+3i)等于(　　) A.2i-13 B.13+2i C.13-2i D.-13-2i 答案　D 解析　(1-i)2-(2-3i)(2+3i)=1-2i+i2-(4-9i2)=-13-2i. (2)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞，1) B.(-∞，-1) C.(1，+∞) D.(-1，+∞) 答案　B 解析　因为z=(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i， 所以它在复平面内对应的点为(a+1，1-a)， 又此点在第二象限，所以解得a<-1. 二、复数除法的运算法则 问题3　类比实数的除法运算是乘法运算的逆运算，你认为该如何定义复数的除法运算？ 提示　复数除法的法则： (a+bi)÷(c+di)=+i(a，b，c，d∈R，且c+di≠0). 求解过程： (1)设复数a+bi(a，b∈R)除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，即(a+bi)÷(c+di)=x+yi. ∵(x+yi)(c+di)=(cx-dy)+(dx+cy)i， ∴(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi. 由复数相等，可知 解这个方程组，得 于是有(a+bi)÷(c+di)=+i. 实际过程中一般采用下面的过程： (2)利用(c+di)(c-di)=c2+d2.于是将的分母实数化得： 原式== = = =+i. ∴(a+bi)÷(c+di)=+i. 知识梳理 1.如果复数z2≠0，则满足zz2=z1的复数z称为z1除以z2的商，并记作z=(或z=z1÷z2)，z1称为被除数，z2称为除数. 2.一般地，给定复数z≠0，称为z的倒数. 3.设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R，且c+di≠0)是任意两个复数， 则===+i. 注意点： 复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a+bi型，则分子、分母同乘a-bi；若分母为a-bi型，则分子、分母同乘a+bi，即分子、分母同乘分母的共轭复数. 例2　(1)若复数z满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位)，则z为(　　) A.3+5i B.3-5i C.-3+5i D.-3-5i 答案　A 解析　∵z(2-i)=11+7i， ∴z====3+5i. 例2(2)(课本例3)　求(1+2i)÷(3-4i)的值. 解　(1+2i)÷(3-4i)====-+i. (2)计算：=　　　　.  答案　-2+i 解析　方法一　====-2+i. 方法二　= == ==-2+i. 反思感悟　复数的除法运算法则的应用 复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用“分母实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算. 跟踪训练2　(1)满足=i(i为虚数单位)的复数z等于(　　) A.+i B.-i C.-+i D.--i 答案　B 解析　因为=i，所以z+i=zi， 所以i=z(i-1). 所以z====-i. (2)已知复数z=，是z的共轭复数，则的模等于(　　) A.4 B.2 C.1 D. 答案　C 解析　复数z====-i，则=i，故的模等于1. 三、实系数一元二次方程在复数范围内的解集 知识梳理 1.实系数一元二次方程根的判定 当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2+bx+c=0称为实系数一元二次方程，这个方程在复数范围内总是有解的. (1)当Δ=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ=b2-4ac<0时，方程有两个互为共轭的虚数根. 2.实系数一元二次方程根与系数的关系 实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，c是实数，且a≠0)的两根为x1，x2，那么x1+x2=-，x1x2=. 例3(课本例4)　在复数范围内求方程x2+2x+3=0的解集. 解　因为x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2， 所以原方程可以化为(x+1)2=-2，从而可知x+1=i或x+1=-i， 因此x=-1+i或x=-1-i，所求解集为{-1+i，-1-i}. 例3　在复数范围内求解下列方程： (1)3x2+x+2=0； (2)x2+ax+4=0(a∈R). 解　(1)因为Δ=1-4×3×2=-23<0， ∴方程3x2+x+2=0的解为x1=-+i， x2=--i. (2)∵Δ=a2-16， 当Δ=a2-16>0，即a<-4或a>4时， 原方程的解为x1=，x2=； 当Δ=0，即a=±4时， 若a=4，则原方程的解为x1=x2=-2， 若a=-4，则原方程的解为x1=x2=2； 当Δ<0，即-4<a<4时，原方程的解为x1=-+i，x2=--i. 反思感悟　在复数范围内，实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法 (1)求根公式法 ①当Δ≥0时，x=； ②当Δ<0时，x=. (2)利用复数相等的定义求解 设方程的根为x=m+ni(m，n∈R)，将此根代入方程ax2+bx+c=0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解. 跟踪训练3　已知1+i是方程x2+bx+c=0(b，c为实数)的一个根. (1)求b，c的值； (2)试判断1-i是不是方程的根. 解　(1)∵1+i是方程x2+bx+c=0的根， 且b，c为实数， ∴(1+i)2+b(1+i)+c=0，即b+c+(b+2)i=0， ∴解得 (2)由(1)知方程为x2-2x+2=0， 把1-i代入方程左边得(1-i)2-2(1-i)+2=0=右边，即方程成立.∴1-i是方程的根. 四、in的周期性及其应用 例4　已知i是虚数单位，复数z=+i2 027在复平面内所对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　C 解析　因为z=+i2 027=+(i4)506·i3=-2-i，所以复数z在复平面内所对应的点的坐标为(-2，-1)，位于第三象限. 反思感悟　in的周期性中常用结论 (1)i4n=1(n∈N)，i4n+1=i(n∈N)，i4n+2=-1(n∈N)，i4n+3=-i(n∈N). (2)(1±i)2=±2i. 跟踪训练4　已知复数z满足z(1+i)=i2 025，则复数z的共轭复数等于(　　) A.-+i B.i C.-i D.-i 答案　D 解析　因为i2 025=i4×506+1=(i4)506·i=i， 所以z====+i， 故=-i. 1.知识清单： (1)复数的乘法及运算律. (2)复数的除法运算. (3)在复数范围内解方程. (4)in的周期性及其应用. 2.方法归纳：分母实数化、配方法、求根公式法. 3.常见误区：解实系数一元二次方程时的判别式Δ的讨论. 1.设复数z1=1+i，z2=m-i，若z1z2为纯虚数，则实数m可以是(　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 答案　B 解析　z1z2=(1+i)(m-i)=m+1+(m-1)i. ∵z1z2为纯虚数， ∴即得m=-1. 2.在复平面内，复数+(1+i)2对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　B 解析　+(1+i)2=+i+(-2+2i)=-+i，故复数的对应点在第二象限. 3.方程x2+3=0在复数范围内的解集为　　　　.  答案　{i，-i} 解析　由题意，得x2=-3=(±i)2，所以方程在复数范围内的解集为{i，-i}. 4.计算：(1)+(1+2i)2=　　　　；  (2)+++=　　　　.  答案　(1)-2+4i　(2)0 解析　(1)原式=+(-3+4i) =-3+4i=(-i)8-3+4i=-2+4i. (2)∵=-i，=i，=-i，=i， ∴原式=-i+i-i+i=0. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共24分 1.在复平面内，复数z=i(-2+i)对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　C 解析　z=i(-2+i)=-2i+i2=-1-2i， 故复平面内复数z=i(-2+i)对应的点为(-1，-2)，位于第三象限. 2.设a是实数，且+是实数，则a等于(　　) A. B.1 C. D.2 答案　B 解析　∵+=+=+i， 又∵∈R，∴=0，解得a=1. 3.(多选)下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　) A.i3(1+i)2 B.i2(1-i)2 C. D. 答案　BC 解析　A项，i3(1+i)2=-i·2i=2，故错误； B项，i2(1-i)2=-1·(-2i)=2i，故正确； C项，===i，故正确； D项，===-1，故错误. 4.(1+i)20-(1-i)20的值是(　　) A.-1 024 B.1 024 C.0 D.512 答案　C 解析　∵(1+i)2=2i，∴(1+i)4=-4， 又(1-i)2=-2i，∴(1-i)4=-4， ∴(1+i)20-(1-i)20=(-4)5-(-4)5=0. 5.若z+=6，z=10，则z等于(　　) A.1±3i B.3±i C.3+i D.3-i 答案　B 解析　设z=a+bi(a，b∈R)，则=a-bi， 由题意得解得或 ∴z=3±i. 6.(多选)复数z满足(z-2)·i=z(i为虚数单位)，为复数z的共轭复数，则下列说法错误的是(　　) A.z2=2i B.z=2 C.|z|=2 D.z+=0 答案　ACD 解析　由(z-2)·i=z，得zi-2i=z，∴z===1-i，∴z2=(1-i)2=-2i，z=|z|2=2，|z|=，z+=2，故B正确，ACD错误. 7.(5分)在复数范围内，方程2x2+3x+4=0的解为　　　　.  答案　 解析　因为Δ=32-4×2×4=9-32=-23<0， 所以方程2x2+3x+4=0的根为 x==. 8.(5分)设复数z1=2-i，z2=1-3i，则复数+的虚部为　　　　.  答案　1 解析　∵+=+=++i=-+i++i=i，∴虚部为1. 9.(10分)计算： (1)；(3分) (2)；(4分) (3)+.(3分) 解　(1)==-1-3i. (2)= ===+i. (3)+ =+ =i6+i=-1+i. 10.(10分)已知复数z=. (1)求复数z；(4分) (2)若z2+az+b=1-i，求实数a，b的值.(6分) 解　(1)z=====1+i. (2)把z=1+i代入z2+az+b=1-i， 得(1+i)2+a(1+i)+b=1-i， 整理得a+b+(2+a)i=1-i， 所以解得 11.(多选)已知复数z1，z2是方程x2+x+1=0的两根，则(　　) A.z1+z2=1 B.|z1|=|z2|=1 C.= D.z1+∈R 答案　BD 解析　由x2+x+1=0，得z1=-+i， z2=--i，所以z1+z2=-1，故A错误； |z1|==1， |z2|==1，故B正确； ==-i-=--i=z2，故C错误； +z1=-+i=-1∈R， 故D正确. 12.已知复数3-2i是关于x的方程2x2-mx+n=0的一个根，则实数m，n的值分别为(　　) A.6，5 B.12，10 C.12，26 D.24，26 答案　C 解析　复数3-2i是关于x的方程2x2-mx+n=0的一个根，则复数3+2i也是关于x的方程2x2-mx+n=0的一个根，∴3-2i+3+2i=， (3-2i)(3+2i)=，∴m=12，n=26. 13.(多选)设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是(　　) A.若|z1-z2|=0，则有= B.若z1=，则=z2 C.若|z1|=|z2|，则z1·=z2· D.若|z1|=|z2|，则= 答案　ABC 解析　若|z1-z2|=0，则z1=z2， ∴=，A正确； 若z1=，即z2与z1互为共轭复数， ∴=z2，B正确； z1·=|z1|2，z2·=|z2|2， 又|z1|=|z2|， ∴z1·=z2·，故C正确； 若|z1|=|z2|，如z1=1+i，z2=1-i， 则≠，故D错误. 14.(5分)在复平面内，一个正方形的三个顶点对应的复数分别为，-2+i，0，则第四个顶点对应的复数为　　　　　　.  答案　-1+3i 解析　===1+2i. 设复数z1=1+2i，z2=-2+i，z3=0，它们在复平面内的对应点分别是A，B，C. 所以A(1，2)，B(-2，1)，C(0，0). 又·=(1，2)·(-2，1)=0，所以∠BCA=90°. 设正方形ADBC的第四个顶点对应的坐标是D(x，y)，所以=，所以(x-1，y-2)=(-2，1)， 所以x-1=-2，y-2=1，所以x=-1，y=3.所以第四个顶点对应的复数为-1+3i. 15.据记载，欧拉公式eix=cos x+isin x(x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”.特别是当x=π时，得到一个令人着迷的优美恒等式，这个恒等式将数学中五个重要的数(自然对数的底数e，圆周率π，虚数单位i，自然数的单位1和零元0)联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”.根据欧拉公式，若复数z=的共轭复数为，则等于(　　) A.i B.-+i C.1+i D.-i 答案　A 解析　欧拉公式eix=cos x+isin x(x∈R)， 则z==cos+isin=-+i， 根据共轭复数定义可知=--i. ==i. 16.(11分)设z是虚数，ω=z+是实数，且-1<ω<2. (1)求|z|的值及z的实部的取值范围；(6分) (2)设μ=，求证：μ为纯虚数.(5分) (1)解　因为z是虚数， 所以可设z=x+yi(x，y∈R，且y≠0)， 则ω=z+=(x+yi)+=x+yi+=+i. 因为ω是实数，且y≠0， 所以y-=0，即x2+y2=1. 所以|z|==1，此时ω=2x. 又-1<ω<2，所以-1<2x<2. 所以-<x<1， 即z的实部的取值范围是. (2)证明　μ== ==. 又x2+y2=1，所以μ=-i. 因为y≠0，所以μ为纯虚数. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 <<< 复数的乘法与除法 10.2.2 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算. 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 学习目标 我们知道，两个一次式相乘，有(ax+b)(cx+d)=acx2+(bc+ad)x+bd，复数的加减法也可以看作多项式相加减，那么复数的乘除法可以看作多项式乘除吗？本节课我们就来学习一下. 导 语 一、复数乘法的运算法则和运算律 二、复数除法的运算法则 课时对点练 三、实系数一元二次方程在复数范围内的解集 内容索引 随堂演练 四、in的周期性及其应用 一 复数乘法的运算法则和运算律 提示　复数的乘法法则如下： 设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)·(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i. 类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？ 问题1 类比实数的运算律，你认为复数满足哪些运算律？请证明你的猜想. 问题2 提示　猜想： 对于任意z1，z2，z3∈C，有： 交换律：z1·z2=z2·z1； 结合律：(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3)； 分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 证明： 设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i. (1)∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i) =(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i， z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i) =(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i， 又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1， b1a2+a1b2=b2a1+a2b1， ∴z1z2=z2z1. (2)(3)略. 1.复数的乘法法则 一般地，设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积，并规定z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=________________. 2.复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2=____ 结合律 (z1z2)z3=_______ 乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)=________ z2z1 z1(z2z3) z1z2+z1z3 (ac-bd)+(ad+bc)i 知识梳理 (课本例2)计算(1+i)2与(1-i)2的值 例 1 (1+i)2=12+2i+i2=2i. (1-i)2=12-2i+i2=-2i. 11 计算下列各题. (1)(1-i)(1+i)+(2+i)2； 例 1 (1-i)(1+i)+(2+i)2=1-i2+4+4i+i2=5+4i. (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i. (2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i=(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i =(3+11i)(3-4i)+2i=(9-12i+33i-44i2)+2i=53+21i+2i=53+23i. 12 反 思 感 悟 (1)两个复数代数形式的乘法运算的一般步骤 ①首先按多项式的乘法展开； ②再将i2换成-1； ③然后再进行复数的加、减运算. (2)常用公式及结论 ①(a+bi)2=a2-b2+2abi(a，b∈R)； ②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a，b∈R)； ③(1±i)2=±2i. ④z=|z|2. (1)计算：(1-i)2-(2-3i)(2+3i)等于 A.2i-13 B.13+2i C.13-2i D.-13-2i 跟踪训练 1 √ (1-i)2-(2-3i)(2+3i)=1-2i+i2-(4-9i2)=-13-2i. 14 因为z=(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i， 所以它在复平面内对应的点为(a+1，1-a)， 又此点在第二象限，所以解得a<-1. (2)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 A.(-∞，1) B.(-∞，-1) C.(1，+∞) D.(-1，+∞) √ 15 二 复数除法的运算法则 类比实数的除法运算是乘法运算的逆运算，你认为该如何定义复数的除法运算？ 问题3 提示　复数除法的法则： (a+bi)÷(c+di)=+i(a，b，c，d∈R，且c+di≠0). 求解过程： (1)设复数a+bi(a，b∈R)除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，即(a+bi)÷(c+di)=x+yi. ∵(x+yi)(c+di)=(cx-dy)+(dx+cy)i， ∴(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi. 由复数相等，可知 解这个方程组，得 于是有(a+bi)÷(c+di)=+i. 实际过程中一般采用下面的过程： (2)利用(c+di)(c-di)=c2+d2.于是将的分母实数化得： 原式== = = =+i. ∴(a+bi)÷(c+di)=+i. 1.如果复数z2≠0，则满足zz2=z1的复数z称为z1除以z2的商，并记作z=(或z=z1÷z2)，z1称为被除数，z2称为除数. 2.一般地，给定复数z≠0，称为z的倒数. 3.设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R，且c+di≠0)是任意两个复数， 则===+i. 知识梳理 复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a+bi型，则分子、分母同乘a-bi；若分母为a-bi型，则分子、分母同乘a+bi，即分子、分母同乘分母的共轭复数. 注 意 点 <<< 22 (1)若复数z满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位)，则z为 A.3+5i B.3-5i C.-3+5i D.-3-5i 例 2 √ ∵z(2-i)=11+7i， ∴z====3+5i. 23 (2)(课本例3)求(1+2i)÷(3-4i)的值. 例 2 (1+2i)÷(3-4i)====-+i. 24 (2)计算：=　　　　.  -2+i 方法一　====-2+i. 方法二　= == ==-2+i. 25 反 思 感 悟 复数的除法运算法则的应用 复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用“分母实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算. (1)满足=i(i为虚数单位)的复数z等于 A.+i B.-i C.-+i D.--i 跟踪训练 2 因为=i，所以z+i=zi， 所以i=z(i-1). 所以z====-i. √ 27 (2)已知复数z=，是z的共轭复数，则的模等于 A.4 B.2 C.1 D. 复数z====-i，则=i，故的模等于1. √ 28 三 实系数一元二次方程 在复数范围内的解集 1.实系数一元二次方程根的判定 当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2+bx+c=0称为 一元二次方程，这个方程在复数范围内总是有解的. (1)当Δ=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的 ； (2)当Δ=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ=b2-4ac<0时，方程有两个互为 的虚数根. 2.实系数一元二次方程根与系数的关系 实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，c是实数，且a≠0)的两根为x1，x2， 那么x1+x2=-，x1x2=. 实系数 实数根 共轭 知识梳理 (课本例4)在复数范围内求方程x2+2x+3=0的解集. 例 3 因为x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2， 所以原方程可以化为(x+1)2=-2，从而可知x+1=i或x+1=-i， 因此x=-1+i或x=-1-i，所求解集为{-1+i，-1-i}. 31 在复数范围内求解下列方程： (1)3x2+x+2=0； 例 3 因为Δ=1-4×3×2=-23<0， ∴方程3x2+x+2=0的解为x1=-+i， x2=--i. 32 (2)x2+ax+4=0(a∈R). ∵Δ=a2-16， 当Δ=a2-16>0，即a<-4或a>4时， 原方程的解为x1=，x2=； 当Δ=0，即a=±4时， 若a=4，则原方程的解为x1=x2=-2， 若a=-4，则原方程的解为x1=x2=2； 当Δ<0，即-4<a<4时，原方程的解为x1=-+i，x2=--i. 33 反 思 感 悟 在复数范围内，实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法 (1)求根公式法 ①当Δ≥0时，x=； ②当Δ<0时，x=. (2)利用复数相等的定义求解 设方程的根为x=m+ni(m，n∈R)，将此根代入方程ax2+bx+c=0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解. 已知1+i是方程x2+bx+c=0(b，c为实数)的一个根. (1)求b，c的值； 跟踪训练 3 ∵1+i是方程x2+bx+c=0的根， 且b，c为实数， ∴(1+i)2+b(1+i)+c=0，即b+c+(b+2)i=0， ∴ 35 (2)试判断1-i是不是方程的根. 由(1)知方程为x2-2x+2=0， 把1-i代入方程左边得(1-i)2-2(1-i)+2=0=右边，即方程成立.∴1-i是方程的根 36 in的周期性及其应用 四 已知i是虚数单位，复数z=+i2 027在复平面内所对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 例 4 √ 因为z=+i2 027=+(i4)506·i3=-2-i，所以复数z在复平面内所对应的点的坐标为(-2，-1)，位于第三象限. 38 反 思 感 悟 in的周期性中常用结论 (1)i4n=1(n∈N)，i4n+1=i(n∈N)，i4n+2=-1(n∈N)，i4n+3=-i(n∈N). (2)(1±i)2=±2i. 已知复数z满足z(1+i)=i2 025，则复数z的共轭复数等于 A.-+i B.i C.-i D.-i 跟踪训练 4 √ 因为i2 025=i4×506+1=(i4)506·i=i， 所以z====+i， 故=-i. 40 1.知识清单： (1)复数的乘法及运算律. (2)复数的除法运算. (3)在复数范围内解方程. (4)in的周期性及其应用. 2.方法归纳：分母实数化、配方法、求根公式法. 3.常见误区：解实系数一元二次方程时的判别式Δ的讨论. 课堂小结 五 随堂演练 1 2 3 4 1.设复数z1=1+i，z2=m-i，若z1z2为纯虚数，则实数m可以是 A.1 B.-1 C.2 D.-2 √ z1z2=(1+i)(m-i)=m+1+(m-1)i. ∵z1z2为纯虚数， ∴得m=-1. 1 2 3 4 2.在复平面内，复数+(1+i)2对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ +(1+i)2=+i+(-2+2i)=-+i，故复数的对应点在第二象限. 3.方程x2+3=0在复数范围内的解集为　　　　　　.  1 2 3 4 由题意，得x2=-3=(±i)2，所以方程在复数范围内的解集为 {i，-i}. {i，-i} 1 2 3 4 4.计算：(1)+(1+2i)2=　　　　；  原式=+(-3+4i)=-3+4i=(-i)8-3+4i=-2+4i. -2+4i (2)+++=　　　　.  0 ∵=-i，=i，=-i，=i， ∴原式=-i+i-i+i=0. 课时对点练 六 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C B BC C B ACD 题号 8 11 12 13 14 　15 答案 1 BD C ABC -1+3i A 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (1)==-1-3i. (2)====+i. (3)+=+=i6+i=-1+i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 10. (1)z=====1+i. (2)把z=1+i代入z2+az+b=1-i， 得(1+i)2+a(1+i)+b=1-i， 整理得a+b+(2+a)i=1-i， 所以 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16. (1)因为z是虚数， 所以可设z=x+yi(x，y∈R，且y≠0)， 则ω=z+=(x+yi)+=x+yi+=+i. 因为ω是实数，且y≠0， 所以y-=0，即x2+y2=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16. 所以|z|==1，此时ω=2x. 又-1<ω<2，所以-1<2x<2. 所以-<x<1， 即z的实部的取值范围是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16. (2)μ====. 又x2+y2=1，所以μ=-i. 因为y≠0，所以μ为纯虚数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 基础巩固 1.在复平面内，复数z=i(-2+i)对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ z=i(-2+i)=-2i+i2=-1-2i， 故复平面内复数z=i(-2+i)对应的点为(-1，-2)，位于第三象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 2.设a是实数，且+是实数，则a等于 A. B.1 C. D.2 √ ∵+=+=+i， 又∵∈R，∴=0，解得a=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 3.(多选)下列各式的运算结果为纯虚数的是 A.i3(1+i)2 B.i2(1-i)2 C. D. √ √ A项，i3(1+i)2=-i·2i=2，故错误； B项，i2(1-i)2=-1·(-2i)=2i，故正确； C项，===i，故正确； D项，===-1，故错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 4.(1+i)20-(1-i)20的值是 A.-1 024 B.1 024 C.0 D.512 √ ∵(1+i)2=2i，∴(1+i)4=-4， 又(1-i)2=-2i，∴(1-i)4=-4， ∴(1+i)20-(1-i)20=(-4)5-(-4)5=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 5.若z+=6，z=10，则z等于 A.1±3i B.3±i C.3+I D.3-i √ 设z=a+bi(a，b∈R)，则=a-bi， 由题意得 ∴z=3±i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 6.(多选)复数z满足(z-2)·i=z(i为虚数单位)，为复数z的共轭复数，则下列说法错误的是 A.z2=2i B.z=2 C.|z|=2 D.z+=0 √ √ √ 由(z-2)·i=z，得zi-2i=z，∴z===1-i，∴z2=(1-i)2=-2i，z=|z|2=2，|z|=，z+=2，故B正确，ACD错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 7.在复数范围内，方程2x2+3x+4=0的解为　　　　　.  因为Δ=32-4×2×4=9-32=-23<0， 所以方程2x2+3x+4=0的根为 x==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 8.设复数z1=2-i，z2=1-3i，则复数+的虚部为　　　　.  ∵+=+=++i=-+i++i=i，∴虚部为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 9.计算： (1)； ==-1-3i. (2)； ====+i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 (3)+. + =+ =i6+i=-1+i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 10.已知复数z=. (1)求复数z； z=====1+i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 (2)若z2+az+b=1-i，求实数a，b的值. 把z=1+i代入z2+az+b=1-i， 得(1+i)2+a(1+i)+b=1-i， 整理得a+b+(2+a)i=1-i， 所以 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 11.(多选)已知复数z1，z2是方程x2+x+1=0的两根，则 A.z1+z2=1 B.|z1|=|z2|=1 C.= D.z1+∈R √ 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由x2+x+1=0，得z1=-+i， z2=--i，所以z1+z2=-1，故A错误； |z1|==1， |z2|==1，故B正确； ==-i-=--i=z2，故C错误； +z1=-+i=-1∈R，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 12.已知复数3-2i是关于x的方程2x2-mx+n=0的一个根，则实数m，n的值分别为 A.6，5 B.12，10 C.12，26 D.24，26 √ 复数3-2i是关于x的方程2x2-mx+n=0的一个根，则复数3+2i也是关于x的方程2x2-mx+n=0的一个根，∴3-2i+3+2i=， (3-2i)(3+2i)=，∴m=12，n=26. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 13.(多选)设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是 A.若|z1-z2|=0，则有= B.若z1=，则=z2 C.若|z1|=|z2|，则z1·=z2· D.若|z1|=|z2|，则= √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 若|z1-z2|=0，则z1=z2， ∴=，A正确； 若z1=，即z2与z1互为共轭复数， ∴=z2，B正确； z1·=|z1|2，z2·=|z2|2， 又|z1|=|z2|， ∴z1·=z2·，故C正确； 若|z1|=|z2|，如z1=1+i，z2=1-i， 则≠，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 14.在复平面内，一个正方形的三个顶点对应的复数分别为，-2+i，0，则第四个顶点对应的复数为　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ===1+2i. 设复数z1=1+2i，z2=-2+i，z3=0，它们在复平面内的对应点分别是A，B，C. 所以A(1，2)，B(-2，1)，C(0，0). 又·=(1，2)·(-2，1)=0，所以∠BCA=90°. 设正方形ADBC的第四个顶点对应的坐标是D(x，y)，所以=，所以(x-1，y-2)=(-2，1)， 所以x-1=-2，y-2=1，所以x=-1，y=3.所以第四个顶点对应的复数为 -1+3i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 15.据记载，欧拉公式eix=cos x+isin x(x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”.特别是当x=π时，得到一个令人着迷的优美恒等式，这个恒等式将数学中五个重要的数(自然对数的底数e，圆周率π，虚数单位i，自然数的单位1和零元0)联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”.根据欧拉公式，若复数z=的共轭复数为，则等于 A. i B.-+i C.1+i D.-i 拓广探究 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 欧拉公式eix=cos x+isin x(x∈R)， 则z==cos+isin=-+i， 根据共轭复数定义可知=--i. ==i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16.设z是虚数，ω=z+是实数，且-1<ω<2. (1)求|z|的值及z的实部的取值范围； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为z是虚数， 所以可设z=x+yi(x，y∈R，且y≠0)， 则ω=z+=(x+yi)+=x+yi+=+i. 因为ω是实数，且y≠0， 所以y-=0，即x2+y2=1. 所以|z|==1，此时ω=2x. 又-1<ω<2，所以-1<2x<2. 所以-<x<1， 即z的实部的取值范围是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 (2)设μ=，求证：μ为纯虚数. μ====. 又x2+y2=1，所以μ=-i. 因为y≠0，所以μ为纯虚数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 第一章 <<< $$