第十章 10.2 10.2.1 复数的加法与减法-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第四册教师用书（人教B版2019）

10.2.1　复数的加法与减法 [学习目标]　1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题. 导语 实数可以进行加减乘除四则运算，且运算的结果仍为一个实数，那么复数呢？多项式的加、减运算法则，合并同类项法则是什么？ 一、复数的加、减法运算 问题1　多项式的加减运算实质是合并同类项，类比想一想复数如何进行加减运算？ 提示　两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i. 问题2　复数的加法满足交换律和结合律吗？ 提示　满足. 知识梳理 1.运算法则 (1)复数的加法 一般地，设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，称z1+z2为z1与z2的和，并规定z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i， (2)复数的减法 ①一般地，复数z=a+bi(a，b∈R)的相反数记作-z，并规定-z=-(a+bi)=-a-bi. ②复数z1减去z2的差记作z1-z2，并规定z1-z2=z1+(-z2). ③一般地，如果z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，则z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 2.加法运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1+z2=z2+z1 结合律 (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 例1(1)(课本例1)　计算(2-5i)+(3+7i)-(5+4i). 解　根据定义有(2-5i)+(3+7i)-(5+4i)=(2+3-5)+(-5+7-4)i=-2i. 例1　(1)+(2-i)-=　　　　　　　.  答案　1+i 解析　+(2-i)-=+i=1+i. (2)设m∈R，复数z1=+(m-15)i，z2=-2+m(m-3)i，若z1+z2是虚数，求m的取值范围. 解　∵z1=+(m-15)i，z2=-2+m(m-3)i， ∴z1+z2=+[(m-15)+m(m-3)]i=+(m2-2m-15)i. ∵z1+z2为虚数， ∴m2-2m-15≠0且m≠-2， 解得m≠5且m≠-3且m≠-2(m∈R). ∴m的取值范围为(-∞，-3)∪(-3，-2)∪(-2，5)∪(5，+∞). 反思感悟　复数加、减运算的解题思路 两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算.当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减). 跟踪训练1　复数(1+2i)+(3-4i)-(-5-3i)对应的点在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　A 解析　复数(1+2i)+(3-4i)-(-5-3i)=(1+3+5)+(2-4+3)i=9+i，其对应的点为(9，1)，在第一象限. 二、复数加、减法的几何意义 问题3　我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，平面向量的坐标运算法则是什么？向量加法的几何意义是什么？ 提示　设=(a，b)，=(c，d)，则+=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d). 几何意义是以，为邻边作平行四边形OZ1ZZ2的对角线. 知识梳理 复数 加法 的几 何意 义 如果复数z1，z2所对应的向量分别为与，则当与不共线时，以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则z1+z2所对应的向量就是 推论：||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2| 复数 减法 的几 何意 义 如果复数z1，z2所对应的向量分别为与，设点Z满足=，则z1-z2所对应的向量就是 推论：||z1|-|z2||≤|z1-z2|≤|z1|+|z2| 例2　(1)如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应的复数为0，3+2i，-2+4i.求： ①表示的复数； ②表示的复数； ③表示的复数. 解　∵A，C对应的复数分别为3+2i，-2+4i， 由复数的几何意义知，与表示的复数分别为3+2i，-2+4i. ①因为=-， 所以表示的复数为-3-2i. ②因为=-， 所以表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. ③因为=+， 所以表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i. (2)已知z1，z2∈C，|z1|=|z2|=1，|z1+z2|=，求|z1-z2|. 解　如图，对应的复数为z1，对应的复数为z2， 根据复数加减法的几何意义，由|z1|=|z2|知，以，为邻边的平行四边形OACB是菱形. ∴||=||，对应的复数为z1+z2， ∴||=. 在△AOC中，||=||=1，||=， 由余弦定理得∠AOC=30°. 同理得∠BOC=30°， ∴△OAB为等边三角形，则||=1，又对应的复数为z1-z2，∴|z1-z2|=1. 延伸探究　若将本例(2)中的条件“|z1+z2|=”改为“|z1-z2|=1”，求|z1+z2|. 解　如例2(2)图，向量表示的复数为z1-z2， ∴||=1， 则△AOB为等边三角形，∴∠AOC=30°， 则||=，∴||=， 又表示的复数为z1+z2， ∴|z1+z2|=. 反思感悟　(1)复数运算的常用技巧 ①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理. ②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中. (2)常见结论：在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1+z2对应的点为C，O为坐标原点. ①四边形OACB为平行四边形. ②若|z1+z2|=|z1-z2|，则四边形OACB为矩形. ③若|z1|=|z2|，则四边形OACB为菱形. ④若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|，则四边形OACB为正方形. (3)利用图形描述、分析数学问题，建立形与数的联系，提升直观想象的数学核心素养. 跟踪训练2　(1)已知复平面内的向量，对应的复数分别是-2+i，3+2i，则||=　　　　.  答案　 解析　∵=+， ∴对应的复数为(-2+i)+(3+2i)=1+3i， ∴||==. (2)若z1=1+2i，z2=2+ai，复数z2-z1所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　(-∞，2) 解析　z2-z1=1+(a-2)i，由题意知a-2<0，即a<2. 三、复数模的综合问题 例3　如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2，那么|z+i+1|的最小值是(　　) A.1 B. C.2 D. 答案　A 解析　设复数z，-i，i，-1-i在复平面内对应的点分别为Z，Z1，Z2，Z3， 因为|z+i|+|z-i|=2， |Z1Z2|=2，所以点Z的集合为线段Z1Z2. 所以点Z在线段Z1Z2上移动，|ZZ3|min=1， 所以|z+i+1|min=1. 反思感悟　(1)两个复数差的模的几何意义 ①|z-z0|表示复数z，z0对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式. ②|z-z0|=r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆. (2)涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解.求最值也可直接用≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|求解. 跟踪训练3　已知i为虚数单位，复数z满足1≤|z+1+i|≤，则|z-1-i|的最大值为(　　) A.2-1 B.2+1 C.2 D.3 答案　D 解析　设z=x+yi(x，y∈R)，则|z+1+i|=|(x+1)+(y+1)i|，因为1≤|z+1+i|≤，所以1≤(x+1)2+(y+1)2≤2，所以(x，y)在如图所示的阴影上.因为|z-1-i|=|z-(1+i)|表示z在复平面内对应的点Z到点(1，1)的距离，而点(1，1)到点(-1，-1)的距离为2，大圆的半径为，所以|z-1-i|的最大值为3. 1.知识清单： (1)复数代数形式的加、减运算法则. (2)复数加、减法的几何意义. (3)复平面上两点间的距离公式. 2.方法归纳：类比、数形结合. 3.常见误区：复数三角形不等式中等号成立的条件的理解. 1.设z1=x2-i，z2=-1+xi，x∈R，若z1+z2为纯虚数，则实数x的值为(　　) A.-1 B.0 C.1 D.1或-1 答案　A 解析　z1=x2-i，z2=-1+xi，则z1+z2=x2-i+(-1+xi)=x2-1+(x-1)i，若z1+z2为纯虚数，则解得x=-1. 2.已知z1=2+i，z2=1-2i，则复数z=z2-z1对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　C 解析　z=z2-z1=(1-2i)-(2+i)=-1-3i. 故z对应的点的坐标为(-1，-3)，位于第三象限. 3.若在复平面上的▱ABCD中，对应的复数为6+8i，对应的复数为-4+6i，则对应的复数是　　　　.  答案　-1-7i 解析　由题意可得=-)，其对应的复数为(-6-8i+4-6i)=-1-7i. 4.复数z满足|z-2+i|=1，则|z|的最大值是　　　　.  答案　+1 解析　由|z-2+i|=1得|z-(2-i)|=1， 则z对应的点构成以C(2，-1)为圆心， 1为半径的圆， |z|的几何意义是圆上的点到原点的距离， 则最大值为|OC|+1=+1=+1. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1-z2等于(　　) A.-1+2i B.-2-2i C.1+2i D.1-2i 答案　B 解析　由题意知z1=-2-i，z2=i，所以z1-z2=-2-2i. 2.设f(z)=|z|，z1=3+4i，z2=-2-i，则f(z1-z2)等于(　　) A. B.5 C. D.5 答案　D 解析　∵z1-z2=(3+4i)-(-2-i)=5+5i， ∴f(z1-z2)=f(5+5i)=|5+5i|= =5. 3.已知i为虚数单位，复数z1=a+4i，z2=-3+bi，若复数z1+z2为实数，复数z1-z2为纯虚数，则实数a，b的值分别为(　　) A.-3，-4 B.-3，4 C.3，-4 D.3，4 答案　A 解析　∵复数z1=a+4i，z2=-3+bi， 复数z1+z2=(a-3)+(4+b)i为实数， ∴4+b=0， 解得b=-4. ∵复数z1-z2=(a+3)+(4-b)i为纯虚数， ∴a+3=0，且4-b≠0， 解得a=-3且b≠4. 故a=-3，b=-4. 4.在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为1+3i，-i，2+i，若=，则点D对应的复数是(　　) A.1-3i B.-3-i C.3+5i D.5+3i 答案　C 解析　∵点A，B，C对应的复数分别为 1+3i，-i，2+i， ∴对应的复数为2+i-(-i)=2+2i. 设点D对应的复数为x+yi(x，y∈R)， ∴对应的复数为x-1+(y-3)i， 又=， ∴x-1+(y-3)i=2+2i， 则解得 ∴点D对应的复数为3+5i. 5.已知复数z满足|z|=2，则|z+3-4i|的最小值是(　　) A.5 B.2 C.7 D.3 答案　D 解析　方法一　由题意知，复数z在复平面内对应的点Z在以原点为圆心，2为半径的圆上，因为|z+3-4i|表示点Z与点(-3，4)间的距离，所以|z+3-4i|的最小值是-2=3. 方法二　由复数的三角形不等式可得 |z+3-4i|≥. 因为|z|=2，|3-4i|=5， 所以|z+3-4i|≥|2-5|=3， 所以|z+3-4i|的最小值是3. 6.(多选)已知i为虚数单位，下列说法正确的是(　　) A.若复数z满足|z-i|=，则复数z对应的点在以(1，0)为圆心，为半径的圆上 B.若复数z满足|z+i|+|z-i|=2，则|z+i+1|的最小值是1 C.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 D.复数z1对应的向量为，复数z2对应的向量为，若|z1+z2|=|z1-z2|，则⊥ 答案　BCD 解析　满足|z-i|=的复数z对应的点在以(0，1)为圆心，为半径的圆上，A错误；设复数-i，i，-1-i在复数平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z+i|+|z-i|=2，|Z1Z2|=2，所以点Z的集合为线段Z1Z2. 问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|=1，所以|z+i+1|min=1，B正确；由复数的模的定义知C正确；由|z1+z2|=|z1-z2|的几何意义知，以，所在线段为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D正确. 7.(5分)设复数z1=m+5i，z2=3+ni，m，n均为实数.若z1+z2=4+3i，z=m+ni，则=　　　　.  答案　1+2i 解析　∵z1=m+5i，z2=3+ni， ∴z1+z2=m+5i+3+ni=(m+3)+(5+n)i. 又z1+z2=4+3i， ∴(m+3)+(5+n)i=4+3i. ∴解得 ∴z=m+ni=1-2i， ∴=1+2i. 8.(5分)复数z1=cos θ+i，z2=sin θ-i，则|z1-z2|的最大值为　　　　，最小值为　　　　.  答案　　2 解析　|z1-z2|=|(cos θ-sin θ)+2i| == =，当sin 2θ=-1时，取得最大值， 当sin 2θ=1时，取得最小值2. 9.(10分)计算： (1)+；(2分) (2)(3+2i)+(-2)i；(2分) (3)(1+2i)+(i+i2)+|3+4i|；(3分) (4)(6-3i)+(3+2i)-(3-4i)-(-2+i).(3分) 解　(1)原式=-i=-i. (2)(3+2i)+(-2)i=3+(2+-2)i=3+i. (3)(1+2i)+(i+i2)+|3+4i|=1+2i+i-1+5=5+3i. (4)(6-3i)+(3+2i)-(3-4i)-(-2+i)=[6+3-3-(-2)]+[-3+2-(-4)-1]i=8+2i. 10.(11分)已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3+2i与1+4i，两对角线AC与BD相交于点O.求： (1)对应的复数；(3分) (2)对应的复数；(3分) (3)△AOB的面积.(5分) 解　(1)因为四边形ABCD是平行四边形， 所以=+， 于是=-， 而(1+4i)-(3+2i)=-2+2i， 即对应的复数是-2+2i. (2)因为=-， 而(3+2i)-(-2+2i)=5， 即对应的复数是5. (3)因为==-=-(1，4) =， ==(5，0)=， 于是·=-， 而||=，||=， 所以··cos ∠AOB=-， 因此cos ∠AOB=-， 故sin∠AOB=， 故S△AOB=||||sin∠AOB =×××=， 即△AOB的面积为. 11.复平面上三点A，B，C分别对应复数1，2i，5+2i，则由A，B，C所构成的三角形是(　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 答案　A 解析　依题意，复平面上三点A，B，C分别对应复数1，2i，5+2i， 则A(1，0)，B(0，2)，C(5，2)， 故|AB|==， |AC|==， |BC|==5， 所以|BC|2=|AB|2+|AC|2， 即AB⊥AC，△ABC是直角三角形. 12.复数z1=1+icos θ，z2=sin θ-i，则|z1-z2|的最大值为(　　) A.3-2 B.-1 C.3+2 D.+1 答案　D 解析　|z1-z2|=|(1-sin θ)+(cos θ+1)i| = = =. ∵-1≤cos≤1， ∴|z1-z2|max==+1. 13.(5分)已知复数z1=4-3i，z2=4+3i(其中i为虚数单位)所对应的向量分别为与，则△OZ1Z2的周长为　　　　.  答案　16 解析　因为=(4，-3)，=(4，3)，=-=(0，6)， 所以||==5，||==5，||==6.所以△OZ1Z2的周长为5+5+6=16. 14.(5分)复数z=x+yi(x，y∈R，i是虚数单位)满足|z-4i|=|z+2|，则2x+4y的最小值为　　　　.  答案　4 解析　因为|z-4i|=|z+2|，所以|x+(y-4)i|=|(x+2)+yi|，所以x2+(y-4)2=(x+2)2+y2，即x+2y=3，所以2x+4y=2x+22y≥2=2=2=4，当且仅当x=2y，即x=，y=时等号成立，故2x+4y的最小值为4. 15.(多选)已知复数z1=2-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P1，复数z2满足|z2-i|=1，则下列结论正确的是(　　) A.P1点在复平面上的坐标为(2，-2) B.=2+2i C.|z1-z2|的最大值为+1 D.|z1-z2|的最小值为-1 答案　ABC 解析　由题得，复数z1=2-2i在复平面内对应的点为P1(2，-2)，故A正确； 因为复数z1=2-2i，所以复数=2+2i，故B正确； 设z2=x+yi(x，y∈R)，且其在复平面内对应的点为P2，则|z2-i|=|x+(y-1)i|==1，即x2+(y-1)2=1，所以复数z2在复平面内对应的点P2在圆x2+(y-1)2=1上，其圆心为C(0，1)，半径r=1，|z1-z2|表示的是复数z1和z2在复平面内对应的两点之间的距离，即|P1P2|. 而|P1P2|的最大值是|P1C|+r=+1=+1，|P1P2|的最小值是|P1C|-r=-1，即|z2-z1|的最大值为+1，最小值为-1，故C正确，D错误. 16.(12分)已知在复平面内有一平行四边形ABCD，点A对应的复数为2+i，向量对应的复数为1+2i，向量对应的复数为3-i. (1)求点C，D对应的复数；(6分) (2)求平行四边形ABCD的面积.(6分) 解　(1)∵向量对应的复数为1+2i，向量对应的复数为3-i，=-， ∴向量对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i. 又=+， ∴点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i. ∵=，∴向量对应的复数为3-i， 即=(3，-1). 设D(x，y)，则=(x-2，y-1)=(3，-1)， ∴解得 ∴点D对应的复数为5. (2)由题意得=(1，2)，=(3，-1)， ∵·=||||cos B， ∴cos B====， ∴sin B=. ∵S▱ABCD=2×||||sin B=××=7， 故平行四边形ABCD的面积为7. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 <<< 复数的加法与减法 10.2.1 1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则. 2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题. 学习目标 实数可以进行加减乘除四则运算，且运算的结果仍为一个实数，那么复数呢？多项式的加、减运算法则，合并同类项法则是什么？ 导 语 一、复数的加、减法运算 二、复数加、减法的几何意义 课时对点练 三、复数模的综合问题 内容索引 随堂演练 一 复数的加、减法运算 提示　两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i. 多项式的加减运算实质是合并同类项，类比想一想复数如何进行加减运算？ 问题1 提示　满足. 复数的加法满足交换律和结合律吗？ 问题2 1.运算法则 (1)复数的加法 一般地，设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，称z1+z2为z1与z2的和，并规定z1+z2=(a+bi)+(c+di)= ， (2)复数的减法 ①一般地，复数z=a+bi(a，b∈R)的 记作-z，并规定-z=-(a+bi)=-a-bi. ②复数z1减去z2的差记作z1-z2，并规定z1-z2=z1+(-z2). ③一般地，如果z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，则z1-z2=(a+bi)-(c+di)=___________. (a+c)+(b+d)i 相反数 (a-c)+(b-d)i 知识梳理 2.加法运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1+z2=z2+z1 结合律 (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 知识梳理 (1)(课本例1)计算(2-5i)+(3+7i)-(5+4i). 例 1 根据定义有(2-5i)+(3+7i)-(5+4i)=(2+3-5)+(-5+7-4)i=-2i. 10 (1)+(2-i)-=　　　　.  1+i +(2-i)-=+i=1+i. 例 1 11 (2)设m∈R，复数z1=+(m-15)i，z2=-2+m(m-3)i，若z1+z2是虚数，求m的取值范围. ∵z1=+(m-15)i，z2=-2+m(m-3)i， ∴z1+z2=+[(m-15)+m(m-3)]i=+(m2-2m-15)i. ∵z1+z2为虚数， ∴m2-2m-15≠0且m≠-2， 解得m≠5且m≠-3且m≠-2(m∈R). ∴m的取值范围为(-∞，-3)∪(-3，-2)∪(-2，5)∪(5，+∞). 12 反 思 感 悟 复数加、减运算的解题思路 两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算.当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减). 复数(1+2i)+(3-4i)-(-5-3i)对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 跟踪训练 1 √ 复数(1+2i)+(3-4i)-(-5-3i)=(1+3+5)+(2-4+3)i=9+i，其对应的点为(9，1)，在第一象限. 14 二 复数加、减法的几何意义 提示　设=(a，b)，=(c，d)，则+=(a，b)+(c，d) =(a+c，b+d). 几何意义是以，为邻边作平行四边形OZ1ZZ2的对角线. 我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，平面向量的坐标运算法则是什么？向量加法的几何意义是什么？ 问题3 复数加法的几何意义 如果复数z1，z2所对应的向量分别为与，则当与不共线时，以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则z1+z2所对应的向量就是_____ 推论：||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|   复数减法的几何意义 如果复数z1，z2所对应的向量分别为与，设点Z满足=，则z1-z2所对应的向量就是_____ 推论：||z1|-|z2||≤|z1-z2|≤|z1|+|z2|   知识梳理 (1)如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应的复数为0，3+2i，-2+4i.求：  ①表示的复数； ②表示的复数； ③表示的复数. 例 2 18 ∵A，C对应的复数分别为3+2i，-2+4i， 由复数的几何意义知，表示的复数分别为3+2i，-2+4i. ①因为=-， 所以表示的复数为-3-2i. ②因为=-， 所以表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. ③因为=+， 所以表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i. 19 (2)已知z1，z2∈C，|z1|=|z2|=1，|z1+z2|=，求|z1-z2|. 如图，对应的复数为z1，对应的复数为z2， 根据复数加减法的几何意义，由|z1|=|z2|知，以为邻边的平行四边形OACB是菱形. ∴||=||，对应的复数为z1+z2， ∴||=. 在△AOC中，||=||=1，||=， 由余弦定理得∠AOC=30°. 同理得∠BOC=30°， ∴△OAB为等边三角形，则||=1，又对应的复数为z1-z2， ∴|z1-z2|=1. 20 若将本例(2)中的条件“|z1+z2|=”改为“|z1-z2|=1”，求|z1+z2|. 如例2(2)图，向量表示的复数为z1-z2， ∴||=1， 则△AOB为等边三角形，∴∠AOC=30°， 则||=，∴||=， 又表示的复数为z1+z2， ∴|z1+z2|=. 延伸探究 21 反 思 感 悟 (1)复数运算的常用技巧 ①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理. ②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中. 反 思 感 悟 (2)常见结论：在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1+z2对应的点为C，O为坐标原点. ①四边形OACB为平行四边形. ②若|z1+z2|=|z1-z2|，则四边形OACB为矩形. ③若|z1|=|z2|，则四边形OACB为菱形. ④若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|，则四边形OACB为正方形. (3)利用图形描述、分析数学问题，建立形与数的联系，提升直观想象的数学核心素养. (1)已知复平面内的向量，对应的复数分别是-2+i，3+2i，则||=　　　　.  跟踪训练 2 ∵=+， ∴对应的复数为(-2+i)+(3+2i)=1+3i， ∴||==. 24 (2)若z1=1+2i，z2=2+ai，复数z2-z1所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是　　　　.  z2-z1=1+(a-2)i，由题意知a-2<0，即a<2. 25 三 复数模的综合问题 如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2，那么|z+i+1|的最小值是 A.1 B. C.2 D. 例 3 √ 设复数z，-i，i，-1-i在复平面内对应的点分别为Z，Z1，Z2，Z3， 因为|z+i|+|z-i|=2， |Z1Z2|=2，所以点Z的集合为线段Z1Z2. 所以点Z在线段Z1Z2上移动，|ZZ3|min=1， 所以|z+i+1|min=1. 27 反 思 感 悟 (1)两个复数差的模的几何意义 ①|z-z0|表示复数z，z0对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式. ②|z-z0|=r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆. (2)涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解.求最值也可直接用 ≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|求解. 已知i为虚数单位，复数z满足1≤|z+1+i|≤，则|z-1-i|的最大值为 A.2-1 B.2+1 C.2 D.3 跟踪训练 3 √ 设z=x+yi(x，y∈R)，则|z+1+i|=|(x+1)+(y+1)i|，因为1≤|z+1+i|≤，所以1≤(x+1)2+(y+1)2≤2，所以 (x，y)在如图所示的阴影上.因为|z-1-i|=|z-(1+i)|表示 z在复平面内对应的点Z到点(1，1)的距离，而点(1，1)到点(-1，-1)的距离为2，所以|z-1-i|的最大值为3. 29 1.知识清单： (1)复数代数形式的加、减运算法则. (2)复数加、减法的几何意义. (3)复平面上两点间的距离公式. 2.方法归纳：类比、数形结合. 3.常见误区：复数三角形不等式中等号成立的条件的理解. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.设z1=x2-i，z2=-1+xi，x∈R，若z1+z2为纯虚数，则实数x的值为 A.-1 B.0 C.1 D.1或-1 √ z1=x2-i，z2=-1+xi，则z1+z2=x2-i+(-1+xi)=x2-1+(x-1)i，若z1+z2为纯虚数，则解得x=-1. 1 2 3 4 2.已知z1=2+i，z2=1-2i，则复数z=z2-z1对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ z=z2-z1=(1-2i)-(2+i)=-1-3i. 故z对应的点的坐标为(-1，-3)，位于第三象限. 3.若在复平面上的▱ABCD中，对应的复数为6+8i，对应的复数为 -4+6i，则对应的复数是　　　　.  1 2 3 4 由题意可得=-(-6-8i+4-6i)=-1-7i. -1-7i 1 2 3 4 4.复数z满足|z-2+i|=1，则|z|的最大值是　　　　.  由|z-2+i|=1得|z-(2-i)|=1， 则z对应的点构成以C(2，-1)为圆心， 1为半径的圆， |z|的几何意义是圆上的点到原点的距离， 则最大值为|OC|+1=+1=+1. +1 课时对点练 五 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B D A C D BCD 1+2i 题号 8 11 12 13 14 　15 答案 　2 A D 16 4 ABC 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (1)原式=-i=-i. (2)(3+2i)+(-2)i=3+(2+-2)i=3+i. (3)(1+2i)+(i+i2)+|3+4i|=1+2i+i-1+5=5+3i. (4)(6-3i)+(3+2i)-(3-4i)-(-2+i)=［6+3-3-(-2)］+［-3+2-(-4)-1］i=8+2i. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)因为四边形ABCD是平行四边形， 所以=+， 于是=-， 而(1+4i)-(3+2i)=-2+2i， 即对应的复数是-2+2i. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (2)因为=-， 而(3+2i)-(-2+2i)=5， 即对应的复数是5. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (3)因为==-=-(1，4)=， ==(5，0)=， 于是·=-， 而||=，||=， 所以··cos ∠AOB=-， 因此cos ∠AOB=-， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 故sin∠AOB=， 故S△AOB=||||sin∠AOB=×××=， 即△AOB的面积为. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)∵向量对应的复数为1+2i，向量对应的复数为3-i，=-， ∴向量对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i. 又=+， ∴点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i. ∵=，∴向量对应的复数为3-i， 即=(3，-1). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 设D(x，y)，则=(x-2，y-1)=(3，-1)， ∴ ∴点D对应的复数为5. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (2)由题意得=(1，2)，=(3，-1)， ∵·=||||cos B， ∴cos B====， ∴sin B=. ∵S▱ABCD=2×||||sin B=××=7， 故平行四边形ABCD的面积为7. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数 z1-z2等于  A.-1+2i B.-2-2i C.1+2i D.1-2i √ 由题意知z1=-2-i，z2=i，所以z1-z2=-2-2i. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.设f(z)=|z|，z1=3+4i，z2=-2-i，则f(z1-z2)等于 A. B.5 C. D.5 √ ∵z1-z2=(3+4i)-(-2-i)=5+5i， ∴f(z1-z2)=f(5+5i)=|5+5i|= =5. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知i为虚数单位，复数z1=a+4i，z2=-3+bi，若复数z1+z2为实数，复数z1-z2为纯虚数，则实数a，b的值分别为 A.-3，-4 B.-3，4 C.3，-4 D.3，4 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵复数z1=a+4i，z2=-3+bi， 复数z1+z2=(a-3)+(4+b)i为实数， ∴4+b=0， 解得b=-4. ∵复数z1-z2=(a+3)+(4-b)i为纯虚数， ∴a+3=0，且4-b≠0， 解得a=-3且b≠4. 故a=-3，b=-4. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为1+3i，-i，2+i，若=，则点D对应的复数是 A.1-3i B.-3-i C.3+5i D.5+3i √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵点A，B，C对应的复数分别为1+3i，-i，2+i， ∴对应的复数为2+i-(-i)=2+2i. 设点D对应的复数为x+yi(x，y∈R)， ∴对应的复数为x-1+(y-3)i， 又=， ∴x-1+(y-3)i=2+2i， 则 ∴点D对应的复数为3+5i. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知复数z满足|z|=2，则|z+3-4i|的最小值是 A.5 B.2 C.7 D.3 √ 方法一　由题意知，复数z在复平面内对应的点Z在以原点为圆心，2为半径的圆上，因为|z+3-4i|表示点Z与点(-3，4)间的距离， 所以|z+3-4i|的最小值是-2=3. 方法二　由复数的三角形不等式可得|z+3-4i|≥. 因为|z|=2，|3-4i|=5， 所以|z+3-4i|≥|2-5|=3， 所以|z+3-4i|的最小值是3. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知i为虚数单位，下列说法正确的是 A.若复数z满足|z-i|=，则复数z对应的点在以(1，0)为圆心，为半径 的圆上 B.若复数z满足|z+i|+|z-i|=2，则|z+i+1|的最小值是1 C.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复 数对应的向量的模 D.复数z1对应的向量为，复数z2对应的向量为，若|z1+z2|=|z1-z2|， 则⊥ √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Z1Z2. 问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|=1，所以|z+i+1|min=1，B正确； 由复数的模的定义知C正确； 由|z1+z2|=|z1-z2|的几何意义知，以所在线段为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D正确. 满足|z-i|=的复数z对应的点在以(0，1)为圆心，为半径的圆上，A错误； 设复数-i，i，-1-i在复数平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z+i|+|z-i|=2，|Z1Z2|=2，所以点Z的集合为线段 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.设复数z1=m+5i，z2=3+ni，m，n均为实数.若z1+z2=4+3i，z=m+ni，则=　　　　.  ∵z1=m+5i，z2=3+ni， ∴z1+z2=m+5i+3+ni=(m+3)+(5+n)i. 又z1+z2=4+3i， ∴(m+3)+(5+n)i=4+3i. ∴ ∴z=m+ni=1-2i， ∴=1+2i. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.复数z1=cos θ+i，z2=sin θ-i，则|z1-z2|的最大值为 ，最小值为 .  |z1-z2|=|(cos θ-sin θ)+2i| == =，当sin 2θ=-1时，取得最大值， 当sin 2θ=1时，取得最小值2. 2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.计算： (1)+； 原式=-i=-i. (2)(3+2i)+(-2)i； (3+2i)+(-2)i=3+(2+-2)i=3+i. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)(1+2i)+(i+i2)+|3+4i|； (1+2i)+(i+i2)+|3+4i|=1+2i+i-1+5=5+3i. (4)(6-3i)+(3+2i)-(3-4i)-(-2+i). (6-3i)+(3+2i)-(3-4i)-(-2+i)=[6+3-3-(-2)]+[-3+2-(-4)-1]i=8+2i. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3+2i与1+4i，两对角线AC与BD相交于点O.求： (1)对应的复数； 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以=+， 于是=-， 而(1+4i)-(3+2i)=-2+2i， 即对应的复数是-2+2i. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)对应的复数； 因为=-， 而(3+2i)-(-2+2i)=5， 即对应的复数是5. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)△AOB的面积. 因为==-=-(1，4)=，==(5，0)=， 于是·=-， 而||=，||=，所以··cos ∠AOB=-， 因此cos ∠AOB=-，故sin∠AOB=， 故S△AOB=||||sin∠AOB=×××=， 即△AOB的面积为. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.复平面上三点A，B，C分别对应复数1，2i，5+2i，则由A，B，C所构成的三角形是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，复平面上三点A，B，C分别对应复数1，2i，5+2i， 则A(1，0)，B(0，2)，C(5，2)， 故|AB|==， |AC|==， |BC|==5， 所以|BC|2=|AB|2+|AC|2， 即AB⊥AC，△ABC是直角三角形. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.复数z1=1+icos θ，z2=sin θ-i，则|z1-z2|的最大值为 A.3-2 B.-1 C.3+2 D.+1 √ |z1-z2|=|(1-sin θ)+(cos θ+1)i|= ==. ∵-1≤cos≤1， ∴|z1-z2|max==+1. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知复数z1=4-3i，z2=4+3i(其中i为虚数单位)所对应的向量分别为与，则△OZ1Z2的周长为　　　　.  因为=(4，-3)，=(4，3)，=-=(0，6)， 所以||==5，||==5，||==6.所以△OZ1Z2的周长为5+5+6=16. 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.复数z=x+yi(x，y∈R，i是虚数单位)满足|z-4i|=|z+2|，则2x+4y的最小值为　　　　.  因为|z-4i|=|z+2|，所以|x+(y-4)i|=|(x+2)+yi|，所以x2+(y-4)2=(x+2)2+y2，即x+2y=3，所以2x+4y=2x+22y≥2=2=2=4，当且仅当x=2y，即x=，y=时等号成立，故2x+4y的最小值为4. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(多选)已知复数z1=2-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P1，复数z2满足|z2-i|=1，则下列结论正确的是 A.P1点在复平面上的坐标为(2，-2) B.=2+2i C.|z1-z2|的最大值为+1 D.|z1-z2|的最小值为-1 拓广探究 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题得，复数z1=2-2i在复平面内对应的点为P1(2，-2)，故A正确； 因为复数z1=2-2i，所以复数=2+2i，故B正确； 设z2=x+yi(x，y∈R)，且其在复平面内对应的点为P2，则|z2-i|=|x+(y-1)i|==1，即x2+(y-1)2=1，所以复数z2在复平面内对应的点P2在圆x2+(y-1)2=1上，其圆心为 C(0，1)，半径r=1，|z1-z2|表示的是复数z1和z2在复平面内对应的两点之间的距离，即|P1P2|. 而|P1P2|的最大值是|P1C|+r=+1=+1，|P1P2|的最小值是|P1C|-r=-1，即|z2-z1|的最大值为+1，最小值为-1，故C正确，D错误. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知在复平面内有一平行四边形ABCD，点A对应的复数为2+i，向量对应的复数为1+2i，向量对应的复数为3-i. (1)求点C，D对应的复数； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵向量对应的复数为1+2i，向量对应的复数为3-i，=-， ∴向量对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i. 又=+， ∴点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i. ∵=，∴向量对应的复数为3-i， 即=(3，-1). 设D(x，y)，则=(x-2，y-1)=(3，-1)， ∴ ∴点D对应的复数为5. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求平行四边形ABCD的面积. 由题意得=(1，2)，=(3，-1)， ∵·=||||cos B， ∴cos B====， ∴sin B=. ∵S▱ABCD=2×||||sin B=××=7， 故平行四边形ABCD的面积为7. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第一章 <<< $$