第十章 10.1.1 复数的概念-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第四册教师用书（人教B版2019）

10.1.1　复数的概念 [学习目标]　1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件. 导语 1545年，意大利数学家、物理学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程x(10-x)=40的根，他求出的根为5+和5-，两根之积为25-(-15)=40.这只是单纯从形式上推广而来，并且人们原先就已断言负数开平方是没有意义的，但负数真的不能开平方吗？本节课我们就来探究一下！ 一、复数的有关概念 问题　我们知道，方程x2+1=0在实数范围内无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？ 提示　为了解决x2+1=0这样的方程在实数范围内无解的问题，我们设想引入一个新数i，使得x=i是方程x2+1=0的解，即使i2=-1. 知识梳理 1.复数 (1)定义：一般地，当a与b都是实数时，称a+bi为复数.其中i称为虚数单位，满足i2=-1. (2)表示：一般用小写字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，其中a称为z的实部，b称为z的虚部，分别记作Re(z)=a，Im(z)=b. 2.复数集 (1)定义：所有复数组成的集合称为复数集. (2)表示：通常用大写字母C表示.因此C={z|z=a+bi，a，b∈R}. 注意点： (1)i2=-1. (2)i和实数之间能进行加法、乘法运算. (3)a，b∈R. 例1　已知复数z1=1+3i的实部与复数z2=-1-ai的虚部相等，则实数a等于(　　) A.-3 B.3 C.-1 D.1 答案　C 解析　复数z1=1+3i的实部为1，复数z2=-1-ai的虚部为-a，则-a=1，解得a=-1. 反思感悟　在复数a+bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部. 跟踪训练1　若复数2-bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为(　　) A.2 B. C.- D.-2 答案　A 解析　复数2-bi的实部为2，虚部为-b，由题意知2=-(-b)，所以b=2. 二、复数的分类 知识梳理 1.复数z=a+bi(a，b∈R)为 2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 例2(课本例1)　分别求实数x的取值，使得复数z=(x-2)+(x+3)i (1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数. 解　(1)当x+3=0，即x=-3时，复数z是实数. (2)当x+3≠0，即x≠-3时，复数z是虚数. (3)当x-2=0且x+3≠0，即x=2时，复数z是纯虚数. 例2　当实数m为何值时，复数z=+(m2-2m-15)i是下列数？ (1)虚数；(2)纯虚数；(3)实数. 解　(1)当 即m≠5且m≠-3时，z是虚数. (2)当 即m=3或m=-2时，z是纯虚数. (3)当即m=5时，z是实数. 延伸探究　若本例中条件不变，当m为何值时，z>0. 解　因为z>0，所以z为实数，需满足 解得m=5. 反思感悟　复数分类问题的求解方法与步骤 (1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a+bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部. (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可. (3)下结论：设所给复数为z=a+bi(a，b∈R)，则： ①z为实数⇔b=0； ②z为虚数⇔b≠0； ③z为纯虚数⇔a=0且b≠0. 跟踪训练2　(1)(多选)下列说法正确的是(　　) A.对于复数a+bi(a，b∈R)，若b≠0，则a+bi为纯虚数 B.对于复数a+bi(a，b∈R)，若b=0，则a+bi为实数 C.若a∈R，则(a2+1)i是纯虚数 D.实数集是复数集的真子集 答案　BCD 解析　对于复数a+bi(a，b∈R)，若b≠0，则a+bi为虚数，不一定为纯虚数，故A错误；若b=0，则a+bi=a为实数，故B正确； 若a∈R，则a2+1≠0，所以(a2+1)i是纯虚数，故C正确；显然D正确. (2)已知m∈R，复数z=lg m+(m2-1)i，当m为何值时， ①z为实数；②z为虚数；③z为纯虚数. 解　①当z为实数时，m需满足 解得m=1. ②当z为虚数时，m需满足 解得m>0且m≠1. ③当z为纯虚数时，m需满足无解， 即不存在m使z为纯虚数. 三、复数相等的充要条件 知识梳理 设a，b，c，d都是实数，则a+bi=c+di⇔a=c且b=d.特别地，a+bi=0⇔a=b=0. 例3(课本例2)　分别求满足下列关系的实数x与y的值. (1)(x+2y)-i=6x+(x-y)i； (2)(x+y+1)-(x-y+2)i=0. 解　(1)根据复数相等的定义，得 解这个方程组，得x=，y=. (2)由复数等于0的充要条件，得 解这个方程组，得x=-，y=. 例3　(1)若(x+y)+yi=(x+1)i，求实数x，y的值； (2)已知a2+(m+2i)a+2+mi=0(m∈R)成立，求实数a的值. 解　(1)由题意得解得 (2)因为a，m∈R， 所以由a2+am+2+(2a+m)i=0， 可得 解得 或 所以a=±. 反思感悟　复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解. (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现. (3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的. 跟踪训练3　复数z1=(2m+7)+(m2-2)i，z2=(m2-8)+(4m+3)i，m∈R，若z1=z2，则m=　　　　.  答案　5 解析　因为m∈R，z1=z2， 所以(2m+7)+(m2-2)i=(m2-8)+(4m+3)i. 则 解得m=5. 1.知识清单： (1)数系的扩充. (2)复数的概念. (3)复数的分类. (4)复数相等的充要条件. 2.方法归纳：方程思想. 3.常见误区：未化成z=a+bi(a，b∈R)的形式. 1.在2+，i，8+5i，(1-)i，0.618这几个数中，纯虚数的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　C 解析　i，(1-)i是纯虚数，2+，0.618是实数，8+5i是虚数.故纯虚数的个数为2. 2.(1+)i的实部与虚部分别是(　　) A.1， B.1+，0 C.0，1+ D.0，(1+)i 答案　C 3.若复数z=m2-1+(m2-m-2)i为纯虚数，则实数m的值为(　　) A.-1 B.±1 C.1 D.-2 答案　C 解析　因为复数z=m2-1+(m2-m-2)i为纯虚数， 所以解得m=1. 4.已知x2-y2+2xyi=2i(其中x>0)，则实数x，y的值分别为　　　　.  答案　1，1 解析　∵x2-y2+2xyi=2i， ∴解得(舍)或 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.设a，b∈R，则“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　因为a，b∈R，当“a=0”时，“复数a+bi是纯虚数”不一定成立，也可能b=0，即a+bi=0∈R.而当“复数a+bi是纯虚数”时，“a=0”一定成立.所以a，b∈R，“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的必要不充分条件. 2.以-3+i的虚部为实部，以3i+i2的实部为虚部的复数是(　　) A.1-i B.1+i C.-3+3i D.3+3i 答案　A 解析　-3+i的虚部为1，3i+i2=-1+3i的实部为-1，故所求复数为1-i. 3.若a，b∈R，i是虚数单位，a+2 024i=2-bi，则a2+bi等于(　　) A.2 024+2i B.2 024+4i C.2+2 024i D.4-2 024i 答案　D 解析　因为a+2 024i=2-bi， 所以a=2，-b=2 024，即a=2，b=-2 024， 所以a2+bi=4-2 024i. 4.若复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i(a∈R)是纯虚数，则(　　) A.a=0或a=2 B.a=0 C.a≠1且a≠2 D.a≠1或a≠2 答案　B 解析　因为复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i是纯虚数， 所以解得a=0. 5.如果C，R，I分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C为全集，则(　　) A.C=R∪I B.R∪I={0} C.R=C∩I D.R∩I=∅ 答案　D 解析　复数包括实数与虚数，所以实数集与纯虚数集无交集，所以R∩I=∅. 6.(多选)下列命题中错误的有(　　) A.若x，y∈R，则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1 B.若复数z∈R，则其虚部不存在 C.若(z1-z2)2+(z2-z3)2=0，则z1=z2=z3 D.若实数a与ai对应，则实数集与复数集一一对应 答案　BCD 解析　由复数相等的定义知A正确；实数的虚部为0，故B错误；只有当z1，z2，z3∈R时，才有z1=z2=z3，否则不成立，故C错误；D显然错误. 7.(5分)若实数x，y满足x+y+(x-y)i=2，则xy=　　　　.  答案　1 解析　由题意得解得 所以xy=1. 8.(5分)若x2-3x-2+(x2+2x)i>2，则实数x的集合是　　　　.  答案　{-2} 解析　由题意得解得x=-2. 9.(10分)实数m分别为何值时，复数z=+(m2-3m-18)i是： (1)实数；(3分)(2)虚数；(3分)(3)纯虚数.(4分) 解　(1)由题意得 解得m=6. (2)由题意得 解得m≠6且m≠-3. (3)由题意得 解得m=-或m=1. 10.(11分)已知z1=m2-(m2-3m)i，z2=(m2-4m+3)i+10(m∈R).若z1<z2，求实数m的取值范围. 解　∵z1<z2，∴z1，z2均为实数，且z1的实部小于z2的实部， ∴解得 ∴m=3，故实数m的取值范围是{3}. 11.若复数z=a2-a-2+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数，则(　　) A.a=-1 B.a≠-1且a≠2 C.a≠-1 D.a≠2 答案　C 解析　复数z=a2-a-2+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数，则有a2-a-2≠0或|a-1|-1=0，解得a≠-1. 12.已知关于x的方程x2+(m+2i)x+2+2i=0(m∈R)有实根n，且z=m+ni，则复数z等于(　　) A.3+i B.3-i C.-3-i D.-3+i 答案　B 解析　由题意，知n2+(m+2i)n+2+2i=0， 即n2+mn+2+(2n+2)i=0， 所以解得 所以z=3-i. 13.(多选)下列命题，其中不正确的是(　　) A.若z=a+bi，a，b∈R，则当a=0且b≠0时，z为纯虚数 B.若+=0，则z1=z2=0 C.若a∈R，则ai为纯虚数 D.复数z=a2-b2+(a+|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是a≤0 答案　BC 解析　A中，当a=0且b≠0时，z为纯虚数，A正确； B中，当z1=1，z2=i时，+=0，但z1≠z2，B错误； C中，当a≠0时，ai为纯虚数，C错误； D中，若z∈R，则a+|a|=0，∴a≤0，D正确. 14.(5分)如果lo(m+n)-(m2-3m)i>-1，m，n∈N，则m=　　　　，n=　　　　.  答案　0　1 解析　因为lo(m+n)-(m2-3m)i>-1， 所以lo(m+n)-(m2-3m)i是实数， 从而有 由①得m=0或m=3， 当m=0时，代入②得0<n<2， 又n∈N，所以n=1； 当m=3时，代入②得n<-1，与n是自然数矛盾， 综上可得m=0，n=1. 15.若复数z=+i是纯虚数(θ∈R，i为虚数单位)，则tan的值为(　　) A.-7 B.- C.7 D.-7或- 答案　A 解析　∵复数z是纯虚数， ∴ ∴sin θ=且cos θ≠，又cos2θ+sin2θ=1， ∴cos θ=-，∴tan θ==-. ∴tan===-7. 16.(12分)已知复数z1=4-m2+(m-2)i，z2=λ+2sin θ+(cos θ-2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R). (1)若z1为纯虚数，求实数m的值；(5分) (2)若z1=z2，求实数λ的取值范围.(7分) 解　(1)∵z1为纯虚数， 则解得m=-2. (2)由z1=z2，得 ∴λ=4-cos2θ-2sin θ=sin2θ-2sin θ+3 =(sin θ-1)2+2. ∵-1≤sin θ≤1， ∴当sin θ=1时，λmin=2， 当sin θ=-1时，λmax=6， ∴实数λ的取值范围是[2，6]. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 <<< 复数的概念 10.1.1 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程. 2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念. 3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件. 学习目标 1545年，意大利数学家、物理学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程x(10-x) =40的根，他求出的根为5+和5-，两根之积为25-(-15)=40.这只是单纯从形式上推广而来，并且人们原先就已断言负数开平方是没有意义的，但负数真的不能开平方吗？本节课我们就来探究一下！ 导 语 一、复数的有关概念 二、复数的分类 课时对点练 三、复数相等的充要条件 内容索引 随堂演练 一 复数的有关概念 提示　为了解决x2+1=0这样的方程在实数范围内无解的问题，我们设想引入一个新数i，使得x=i是方程x2+1=0的解，即使i2=-1. 我们知道，方程x2+1=0在实数范围内无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？ 问题 1.复数 (1)定义：一般地，当a与b都是实数时，称a+bi为复数.其中i称为 ，满足i2=__. (2)表示：一般用小写字母z表示，即 ，其中a称为z的_____，b称为z的 ，分别记作Re(z)= ，Im(z)=__. 2.复数集 (1)定义： 组成的集合称为复数集. (2)表示：通常用大写字母 表示.因此C={z|z=a+bi，a，b∈R}. 虚数单位 -1 z=a+bi(a，b∈R) 实部 虚部 a b 所有复数 C 知识梳理 (1)i2=-1. (2)i和实数之间能进行加法、乘法运算. (3)a，b∈R. 注 意 点 <<< 8 已知复数z1=1+3i的实部与复数z2=-1-ai的虚部相等，则实数a等于 A.-3 B.3 C.-1 D.1 例 1 复数z1=1+3i的实部为1，复数z2=-1-ai的虚部为-a，则-a=1，解得a=-1. √ 9 反 思 感 悟 在复数a+bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部. 若复数2-bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为 A.2 B. C.- D.-2 跟踪训练 1 复数2-bi的实部为2，虚部为-b，由题意知2=-(-b)，所以b=2. √ 11 二 复数的分类 1.复数z=a+bi(a，b∈R)为 2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 知识梳理 (课本例1)分别求实数x的取值，使得复数z=(x-2)+(x+3)i (1)是实数； 例 2 (2)是虚数； 当x+3=0，即x=-3时，复数z是实数. 当x+3≠0，即x≠-3时，复数z是虚数. (3)是纯虚数. 当x-2=0且x+3≠0，即x=2时，复数z是纯虚数. 14 当实数m为何值时，复数z=+(m2-2m-15)i是下列数？ (1)虚数； 例 2 (2)纯虚数； 当即m≠5且m≠-3时，z是虚数. 当即m=3或m=-2时，z是纯虚数. 15 (3)实数. 当即m=5时，z是实数. 16 若本例中条件不变，当m为何值时，z>0. 因为z>0，所以z为实数，需满足 解得m=5. 延伸探究 17 反 思 感 悟 复数分类问题的求解方法与步骤 (1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a+bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部. (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可. (3)下结论：设所给复数为z=a+bi(a，b∈R)，则： ①z为实数⇔b=0； ②z为虚数⇔b≠0； ③z为纯虚数⇔a=0且b≠0. (1)(多选)下列说法正确的是 A.对于复数a+bi(a，b∈R)，若b≠0，则a+bi为纯虚数 B.对于复数a+bi(a，b∈R)，若b=0，则a+bi为实数 C.若a∈R，则(a2+1)i是纯虚数 D.实数集是复数集的真子集 跟踪训练 2 √ √ √ 19 对于复数a+bi(a，b∈R)，若b≠0，则a+bi为虚数，不一定为纯虚数，故A错误； 若b=0，则a+bi=a为实数，故B正确； 若a∈R，则a2+1≠0，所以(a2+1)i是纯虚数，故C正确； 显然D正确. 20 (2)已知m∈R，复数z=lg m+(m2-1)i，当m为何值时， ①z为实数； 当z为实数时，m需满足 解得m=1. 21 ②z为虚数； 当z为虚数时，m需满足 解得m>0且m≠1. ③z为纯虚数. 当z为纯虚数时，m需满足无解， 即不存在m使z为纯虚数. 22 三 复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，则a+bi=c+di⇔ .特别地，a+bi=0⇔ . a=c且b=d a=b=0 知识梳理 (课本例2)分别求满足下列关系的实数x与y的值. (1)(x+2y)-i=6x+(x-y)i； 例 3 根据复数相等的定义，得 解这个方程组，得x=，y=. 25 (2)(x+y+1)-(x-y+2)i=0. 由复数等于0的充要条件，得 解这个方程组，得x=-，y=. 26 (1)若(x+y)+yi=(x+1)i，求实数x，y的值； 例 3 由题意得 27 (2)已知a2+(m+2i)a+2+mi=0(m∈R)成立，求实数a的值. 因为a，m∈R， 所以由a2+am+2+(2a+m)i=0， 可得 解得 所以a=±. 28 反 思 感 悟 复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解. (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现. (3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的. 复数z1=(2m+7)+(m2-2)i，z2=(m2-8)+(4m+3)i，m∈R，若z1=z2，则m=　　　　.  跟踪训练 3 5 因为m∈R，z1=z2， 所以(2m+7)+(m2-2)i=(m2-8)+(4m+3)i. 则 解得m=5. 30 1.知识清单： (1)数系的扩充. (2)复数的概念. (3)复数的分类. (4)复数相等的充要条件. 2.方法归纳：方程思想. 3.常见误区：未化成z=a+bi(a，b∈R)的形式. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.在2+，i，8+5i，(1-)i，0.618这几个数中，纯虚数的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 √ i，(1-)i是纯虚数，2+，0.618是实数，8+5i是虚数.故纯虚数的个数为2. 1 2 3 4 2.(1+)i的实部与虚部分别是 A.1， B.1+，0 C.0，1+ D.0，(1+)i √ 3.若复数z=m2-1+(m2-m-2)i为纯虚数，则实数m的值为 A.-1 B.±1 C.1 D.-2 1 2 3 4 √ 因为复数z=m2-1+(m2-m-2)i为纯虚数， 所以解得m=1. 1 2 3 4 4.已知x2-y2+2xyi=2i(其中x>0)，则实数x，y的值分别为　　　　.  ∵x2-y2+2xyi=2i， ∴ 1，1 课时对点练 五 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B A D B D BCD 1 题号 8 11 12 13 14 　15 答案 C B C 0　1 A 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (1)由题意得 解得m=6. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (2)由题意得 解得m≠6且m≠-3. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (3)由题意得 解得m=-或m=1. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. ∵z1<z2，∴z1，z2均为实数，且z1的实部小于z2的实部， ∴ 解得 ∴m=3，故实数m的取值范围是{3}. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)∵z1为纯虚数， 则解得m=-2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (2)由z1=z2，得 ∴λ=4-cos2θ-2sin θ=sin2θ-2sin θ+3=(sin θ-1)2+2. ∵-1≤sin θ≤1， ∴当sin θ=1时，λmin=2， 当sin θ=-1时，λmax=6， ∴实数λ的取值范围是［2，6］. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.设a，b∈R，则“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 因为a，b∈R，当“a=0”时，“复数a+bi是纯虚数”不一定成立，也可能b=0，即a+bi=0∈R.而当“复数a+bi是纯虚数”时，“a=0”一定成立.所以a，b∈R，“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的必要不充分条件. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.以-3+i的虚部为实部，以3i+i2的实部为虚部的复数是 A.1-i B.1+i C.-3+3i D.3+3i √ -3+i的虚部为1，3i+i2=-1+3i的实部为-1，故所求复数为1-i. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.若a，b∈R，i是虚数单位，a+2 024i=2-bi，则a2+bi等于 A.2 024+2i B.2 024+4i C.2+2 024i D.4-2 024i √ 因为a+2 024i=2-bi， 所以a=2，-b=2 024，即a=2，b=-2 024， 所以a2+bi=4-2 024i. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i(a∈R)是纯虚数，则 A.a=0或a=2 B.a=0 C.a≠1且a≠2 D.a≠1或a≠2 √ 因为复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i是纯虚数， 所以解得a=0. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.如果C，R，I分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C为全集，则 A.C=R∪I B.R∪I={0} C.R=C∩I D.R∩I=∅ √ 复数包括实数与虚数，所以实数集与纯虚数集无交集，所以R∩I=∅. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)下列命题中错误的有 A.若x，y∈R，则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1 B.若复数z∈R，则其虚部不存在 C.若(z1-z2)2+(z2-z3)2=0，则z1=z2=z3 D.若实数a与ai对应，则实数集与复数集一一对应 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由复数相等的定义知A正确； 实数的虚部为0，故B错误； 只有当z1，z2，z3∈R时，才有z1=z2=z3，否则不成立，故C错误； D显然错误. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.若实数x，y满足x+y+(x-y)i=2，则xy=　　　　.  由题意得 所以xy=1. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若x2-3x-2+(x2+2x)i>2，则实数x的集合是　　　　.  由题意得解得x=-2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.实数m分别为何值时，复数z=+(m2-3m-18)i是： (1)实数； 由题意得解得m=6. (2)虚数； 由题意得解得m≠6且m≠-3. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)纯虚数. 由题意得解得m=-或m=1. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知z1=m2-(m2-3m)i，z2=(m2-4m+3)i+10(m∈R).若z1<z2，求实数m的取值范围. ∵z1<z2，∴z1，z2均为实数，且z1的实部小于z2的实部， ∴ ∴m=3，故实数m的取值范围是{3}. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.若复数z=a2-a-2+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数，则 A.a=-1 B.a≠-1且a≠2 C.a≠-1 D.a≠2 √ 综合运用 复数z=a2-a-2+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数，则有a2-a-2≠0或|a-1|-1=0，解得a≠-1. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知关于x的方程x2+(m+2i)x+2+2i=0(m∈R)有实根n，且z=m+ni，则复数z等于 A.3+i B.3-i C.-3-i D.-3+i √ 由题意，知n2+(m+2i)n+2+2i=0， 即n2+mn+2+(2n+2)i=0， 所以 所以z=3-i. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(多选)下列命题，其中不正确的是 A.若z=a+bi，a，b∈R，则当a=0且b≠0时，z为纯虚数 B.若+=0，则z1=z2=0 C.若a∈R，则ai为纯虚数 D.复数z=a2-b2+(a+|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是a≤0 √ √ A中，当a=0且b≠0时，z为纯虚数，A正确； B中，当z1=1，z2=i时，+=0，但z1≠z2，B错误； C中，当a≠0时，ai为纯虚数，C错误； D中，若z∈R，则a+|a|=0，∴a≤0，D正确. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.如果lo(m+n)-(m2-3m)i>-1，m，n∈N，则m=　　，n=　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为lo(m+n)-(m2-3m)i>-1， 所以lo(m+n)-(m2-3m)i是实数， 从而有 由①得m=0或m=3， 当m=0时，代入②得0<n<2， 又n∈N，所以n=1； 当m=3时，代入②得n<-1，与n是自然数矛盾， 综上可得m=0，n=1. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.若复数z=+i是纯虚数(θ∈R，i为虚数单位)，则tan的值为 A.-7 B.- C.7 D.-7或- 拓广探究 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵复数z是纯虚数， ∴ ∴sin θ=且cos θ≠，又cos2θ+sin2θ=1， ∴cos θ=-，∴tan θ==-. ∴tan===-7. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知复数z1=4-m2+(m-2)i，z2=λ+2sin θ+(cos θ-2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R). (1)若z1为纯虚数，求实数m的值； ∵z1为纯虚数， 则解得m=-2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若z1=z2，求实数λ的取值范围. 由z1=z2，得 ∴λ=4-cos2θ-2sin θ=sin2θ-2sin θ+3=(sin θ-1)2+2. ∵-1≤sin θ≤1， ∴当sin θ=1时，λmin=2， 当sin θ=-1时，λmax=6， ∴实数λ的取值范围是[2，6]. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第一章 <<< $$