第九章 解三角形 章末复习课-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第四册教师用书（人教B版2019）

一、应用正弦、余弦定理解三角形 1.在解三角形时，常常将正弦定理与余弦定理结合使用，要注意恰当地选择定理，简化运算过程，提高解题速度，同时，要注意与平面几何中的有关性质、定理结合起来，挖掘题目中的隐含条件. 2.应用正弦、余弦定理解三角形，提升直观想象与逻辑推理的核心素养. 例1　在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2=(b2+c2-a2)(1-tan A). (1)求角C； (2)若c=2，D为BC的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度. 条件①：△ABC的面积S=4且B>A； 条件②：cos B=. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分. 解　(1)由题意及余弦定理， 得2b2=2bccos A(1-tan A). ∴b=c(cos A-sin A)， 由正弦定理可得sin B=sin C(cos A-sin A)， ∴sin(A+C)=sin Ccos A-sin Csin A， ∴sin Acos C=-sin Csin A， 又sin A≠0， ∴tan C=-1，又0<C<π，解得C=. (2)若选择条件①，S=4且B>A， ∵S=4=absin C=absin， ∴ab=8. 由余弦定理， 得c2=(2)2=40=a2+b2-2abcos， ∴a2+b2+ab=40. 由解得或 ∵B>A，∴b>a，∴ ∴CD=. 在△ACD中，AD2=CA2+CD2-2CA·CDcos C=16+2-2×4×cos=26， ∴AD=. 若选择条件②，cos B=， ∴sin B=. ∴sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=， 由正弦定理可得a==2. 在△ABD中，由余弦定理可得AD2=AB2+BD2-2AB•BDcos B， 解得AD=. 反思感悟　(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a=2Rsin A，a2+b2-c2=2abcos C等)，利用三角形变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如在△ABC中，sin A=sin B⇔A=B；sin(A-B)=0⇔A=B；sin 2A=sin 2B⇔A=B或A+B=等. (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A=，cos A=等，通过代数变换，从而达到求解的目的. 跟踪训练1　如图，在平面四边形ABCD中，AB=2，BD=，AB⊥BC，∠BCD=2∠ABD，△ABD的面积为2. (1)求AD的长； (2)求△CBD的面积. 解　(1)由S△ABD=AB·BD·sin∠ABD=×2××sin∠ABD=2， 可得sin∠ABD=， 又∠ABD∈， 所以cos∠ABD=. 在△ABD中，由余弦定理知，AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos∠ABD， 可得AD2=5，所以AD=. (2)由AB⊥BC，得∠ABD+∠CBD=， 所以sin∠CBD=cos∠ABD=. 又∠BCD=2∠ABD，所以sin∠BCD=2sin∠ABD·cos∠ABD=， ∠BDC=π-∠CBD-∠BCD=π--2∠ABD =-∠ABD=∠CBD， 所以△CBD为等腰三角形，即CB=CD. 在△CBD中，由正弦定理知，=， 得CD===， 所以S△CBD=CB·CD·sin∠BCD =×××=. 二、判断三角形的形状 1.判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形，如锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形等，是正弦、余弦定理应用的常见考查类型. 2.利用边、角之间的转化与化归的方法是解决这类问题的基本思路，同时培养直观想象与逻辑推理的核心素养. 例2　已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，=c2，且acos B=bcos A，试判断△ABC的形状. 解　由=c2， 得a3+b3-c3=c2(a+b)-c3， 所以a2+b2-ab=c2， 所以cos C===， 又因为0°<C<180°，所以C=60°. 由acos B=bcos A，得2Rsin Acos B=2Rsin Bcos A(R为△ABC外接圆的半径)， 所以sin(A-B)=0， 又因为-120°<A-B<120°， 所以A-B=0°， 所以A=B=C=60°， 所以△ABC为等边三角形. 反思感悟　利用正弦、余弦定理判断三角形形状的方法 (1)通过边之间的关系判断形状. (2)通过角之间的关系判断形状. 合理利用正弦、余弦定理将已知条件中的边、角互化，把条件统一为边的关系或角的关系. 跟踪训练2　设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C+ccos B=asin A，则△ABC的形状为(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 答案　B 解析　依据题设条件特点，由正弦定理， 得sin Bcos C+cos Bsin C=sin2A， 即sin(B+C)=sin2A， 从而sin(B+C)=sin A=sin2A， ∵sin A≠0， 解得sin A=1， ∴A=，即△ABC为直角三角形. 三、正弦、余弦定理在实际问题中的应用 1.余弦定理和正弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面.解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解.注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验. 2.将生活中的实际问题转化为三角形模型，提升逻辑推理和数学建模素养. 例3　如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在海岛北偏东30°，俯角为30°的B处，轮船直线航行，到11时10分又测得该船在海岛北偏西60°，俯角为60°的C处. (1)求船的航行速度是每小时多少千米？ (2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？ 解　(1)在Rt△PAB中，∠APB=60°， PA=1千米，∴AB=千米. 在Rt△PAC中，∠APC=30°， ∴AC=千米. 在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°， ∴BC== =(千米). 则船的航行速度为÷=2(千米/时). (2)在△ACD中，∠DAC=90°-60°=30°. sin∠DCA=sin(180°-∠ACB)=sin∠ACB ===， sin∠CDA=sin(∠ACB-30°) =sin∠ACB·cos 30°-cos∠ACB·sin 30° =×-× =. 由正弦定理得=， 则AD===. 故此时船距岛A有 千米. 反思感悟　解题时需注意的几个问题 (1)要注意仰角、俯角、方位角、方向角等概念，并能准确地找出(或作出)这些角. (2)要注意将平面几何中的性质、定理与正弦、余弦定理结合起来，发现题目中的隐含条件，才能顺利解题. 跟踪训练3　如图所示，A，B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD=120°，又在B点测得∠ABD=45°，其中D点是C点到水平面的垂足，求山高CD. 解　由于D点为C点到水平面的垂足，∠CAD=45°，所以CD=AD. 因此只需在△ABD中求出AD即可， 在△ABD中，∠BDA=180°-45°-120°=15°， 由=， 得AD===800(+1). 即山高CD为800(+1)m. 四、与三角形有关的综合问题 1.利用正弦、余弦定理解三角形是高考热点，一般以解答题形式考查，常有两问：第(1)问一般求角或边，难度不大；第(2)问常常与三角形面积有关，难度稍高一些.题目常与三角函数、三角恒等变换、不等式等知识结合，但综合性不大，难度一般. 2.解决与三角形有关的综合问题，主要培养逻辑推理与数学运算的核心素养. 例4　已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos2A+cos2C-cos2B=1-sin Asin C. (1)求角B的大小； (2)若b=，求2a+c的最大值. 解　(1)∵cos2A+cos2C-cos2B=1-sin Asin C， ∴(1-sin2A)+(1-sin2C)-(1-sin2B)=1-sin Asin C. ∴sin2B=sin2A+sin2C-sin Asin C， ∴由正弦定理可得b2=a2+c2-ac. ∴由余弦定理可得cos B==. ∵B∈(0，π)，∴B=. (2)设R为△ABC的外接圆半径. ∵b=，B=， 由正弦定理可得=2R=2. ∴2a+c=4Rsin A+2Rsin C =4sin A+2sin =4sin A+2sincos A-2cossin A =5sin A+cos A =2sin(A+φ). ∴2a+c的最大值为2. 反思感悟　解三角形综合问题的方法 (1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起，要注意选择合适的方法、知识进行求解. (2)解三角形常与向量、三角函数及三角恒等变换知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解. 跟踪训练4　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知△ABC的外接圆半径R=，且tan B+tan C=. (1)求B和b的值； (2)求△ABC面积的最大值. 解　(1)因为tan B+tan C=， 所以+=， sin Bcos C+sin Ccos B=sin Acos B， 即sin(B+C)=sin Acos B， 因为A+B+C=π， 所以sin A=sin Acos B， 因为A∈(0，π)， 所以sin A≠0，所以cos B=，所以B=. 又△ABC的外接圆半径R=， 所以由正弦定理=2R， 得b=2××=2. (2)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B， 得4=a2+c2-ac， 由均值不等式得4=a2+c2-ac≥(2-)ac(当且仅当a=c时等号成立)， 所以ac≤=2(2+)(当且仅当a=c时等号成立)， 所以S△ABC=acsin B=ac≤×2(2+)=1+(当且仅当a=c时等号成立)， 故△ABC面积的最大值为1+. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第九章 <<< 章末复习课 知识网络 一、应用正弦、余弦定理解三角形 二、判断三角形的形状 三、正弦、余弦定理在实际问题中的应用 内容索引 四、与三角形有关的综合问题 一 应用正弦、余弦定理解三角形 1.在解三角形时，常常将正弦定理与余弦定理结合使用，要注意恰当地选择定理，简化运算过程，提高解题速度，同时，要注意与平面几何中的有关性质、定理结合起来，挖掘题目中的隐含条件. 2.应用正弦、余弦定理解三角形，提升直观想象与逻辑推理的核心素养. 5 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2=(b2+c2-a2)(1-tan A). (1)求角C； 例 1 6 由题意及余弦定理， 得2b2=2bccos A(1-tan A). ∴b=c(cos A-sin A)， 由正弦定理可得sin B=sin C(cos A-sin A)， ∴sin(A+C)=sin Ccos A-sin Csin A， ∴sin Acos C=-sin Csin A， 又sin A≠0， ∴tan C=-1，又0<C<π，解得C=. 7 (2)若c=2，D为BC的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度. 条件①：△ABC的面积S=4且B>A； 条件②：cos B=. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分. 8 若选择条件①，S=4且B>A， ∵S=4=absin C=absin， ∴ab=8. 由余弦定理， 得c2=(2)2=40=a2+b2-2abcos， ∴a2+b2+ab=40. 由 ∵B>A，∴b>a，∴ 9 ∴CD=. 在△ACD中，AD2=CA2+CD2-2CA·CDcos C=16+2-2×4×cos=26， ∴AD=. 若选择条件②，cos B=， ∴sin B=. ∴sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=， 由正弦定理可得a==2. 在△ABD中，由余弦定理可得AD2=AB2+BD2-2AB•BDcos B， 解得AD=. 10 反 思 感 悟 (1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a=2Rsin A，a2+b2-c2=2abcos C等)，利用三角形变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如在△ABC中，sin A=sin B⇔A=B；sin(A-B)=0⇔A=B； sin 2A=sin 2B⇔A=B或A+B=等. (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A=， cos A=等，通过代数变换，从而达到求解的目的. 如图，在平面四边形ABCD中，AB=2，BD=，AB⊥BC，∠BCD=2∠ABD，△ABD的面积为2. (1)求AD的长； 跟踪训练 1 12 由S△ABD=AB·BD·sin∠ABD=×2××sin∠ABD=2， 可得sin∠ABD=， 又∠ABD∈， 所以cos∠ABD=. 在△ABD中，由余弦定理知，AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos∠ABD， 可得AD2=5，所以AD=. 13 (2)求△CBD的面积. 由AB⊥BC，得∠ABD+∠CBD=， 所以sin∠CBD=cos∠ABD=. 又∠BCD=2∠ABD，所以sin∠BCD=2sin∠ABD·cos∠ABD=， ∠BDC=π-∠CBD-∠BCD=π--2∠ABD=-∠ABD=∠CBD， 所以△CBD为等腰三角形，即CB=CD. 在△CBD中，由正弦定理知，=， 得CD===， 所以S△CBD=CB·CD·sin∠BCD=×××=. 14 二 判断三角形的形状 1.判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形，如锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形等，是正弦、余弦定理应用的常见考查类型. 2.利用边、角之间的转化与化归的方法是解决这类问题的基本思路，同时培养直观想象与逻辑推理的核心素养. 16 已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，=c2，且acos B=bcos A，试判断△ABC的形状. 例 2 17 由=c2， 得a3+b3-c3=c2(a+b)-c3， 所以a2+b2-ab=c2， 所以cos C===， 又因为0°<C<180°，所以C=60°. 由acos B=bcos A，得2Rsin Acos B=2Rsin Bcos A(R为△ABC外接圆的半径)， 18 所以sin(A-B)=0， 又因为-120°<A-B<120°， 所以A-B=0°， 所以A=B=C=60°， 所以△ABC为等边三角形. 19 反 思 感 悟 利用正弦、余弦定理判断三角形形状的方法 (1)通过边之间的关系判断形状. (2)通过角之间的关系判断形状. 合理利用正弦、余弦定理将已知条件中的边、角互化，把条件统一为边的关系或角的关系. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C +ccos B=asin A，则△ABC的形状为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 跟踪训练 2 √ 21 依据题设条件特点，由正弦定理， 得sin Bcos C+cos Bsin C=sin2A， 即sin(B+C)=sin2A， 从而sin(B+C)=sin A=sin2A， ∵sin A≠0， 解得sin A=1， ∴A=，即△ABC为直角三角形. 22 三 正弦、余弦定理在 实际问题中的应用 1.余弦定理和正弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面.解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解.注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验. 2.将生活中的实际问题转化为三角形模型，提升逻辑推理和数学建模素养. 24 如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在海岛北偏东30°，俯角为30°的B处，轮船直线航行，到11时10分又测得该船在海岛北偏西60°，俯角为60°的C处. (1)求船的航行速度是每小时多少千米？ 例 3 25 在Rt△PAB中，∠APB=60°， PA=1千米，∴AB=千米. 在Rt△PAC中，∠APC=30°， ∴AC=千米. 在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°， ∴BC===(千米). 则船的航行速度为÷=2(千米/时). 26 (2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？ 27 在△ACD中，∠DAC=90°-60°=30°. sin∠DCA=sin(180°-∠ACB)=sin∠ACB ===， sin∠CDA=sin(∠ACB-30°) =sin∠ACB·cos 30°-cos∠ACB·sin 30° =×-× =. 28 由正弦定理得=， 则AD===. 故此时船距岛A有 千米. 29 反 思 感 悟 解题时需注意的几个问题 (1)要注意仰角、俯角、方位角、方向角等概念，并能准确地找出(或作出)这些角. (2)要注意将平面几何中的性质、定理与正弦、余弦定理结合起来，发现题目中的隐含条件，才能顺利解题. 如图所示，A，B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD=120°，又在B点测得∠ABD=45°，其中D点是C点到水平面的垂足，求山高CD. 跟踪训练 3 31 由于D点为C点到水平面的垂足，∠CAD=45°，所以CD=AD. 因此只需在△ABD中求出AD即可， 在△ABD中，∠BDA=180°-45°-120°=15°， 由=， 得AD===800(+1). 即山高CD为800(+1)m. 32 与三角形有关的综合问题 四 1.利用正弦、余弦定理解三角形是高考热点，一般以解答题形式考查，常有两问：第(1)问一般求角或边，难度不大；第(2)问常常与三角形面积有关，难度稍高一些.题目常与三角函数、三角恒等变换、不等式等知识结合，但综合性不大，难度一般. 2.解决与三角形有关的综合问题，主要培养逻辑推理与数学运算的核心素养. 34 已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos2A +cos2C-cos2B=1-sin Asin C. (1)求角B的大小； 例 4 ∵cos2A+cos2C-cos2B=1-sin Asin C， ∴(1-sin2A)+(1-sin2C)-(1-sin2B)=1-sin Asin C. ∴sin2B=sin2A+sin2C-sin Asin C， ∴由正弦定理可得b2=a2+c2-ac. ∴由余弦定理可得cos B==. ∵B∈(0，π)，∴B=. 35 (2)若b=，求2a+c的最大值. 设R为△ABC的外接圆半径. ∵b=，B=， 由正弦定理可得=2R=2. ∴2a+c=4Rsin A+2Rsin C =4sin A+2sin=4sin A+2sincos A-2cossin A =5sin A+cos A=2sin(A+φ). ∴2a+c的最大值为2. 36 反 思 感 悟 解三角形综合问题的方法 (1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起，要注意选择合适的方法、知识进行求解. (2)解三角形常与向量、三角函数及三角恒等变换知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知△ABC的外接圆半径R=，且tan B+tan C=. (1)求B和b的值； 跟踪训练 4 38 因为tan B+tan C=， 所以+=， sin Bcos C+sin Ccos B=sin Acos B， 即sin(B+C)=sin Acos B， 因为A+B+C=π， 所以sin A=sin Acos B， 39 因为A∈(0，π)， 所以sin A≠0，所以cos B=，所以B=. 又△ABC的外接圆半径R=， 所以由正弦定理=2R， 得b=2××=2. 40 由余弦定理b2=a2+c2-2accos B， 得4=a2+c2-ac， 由均值不等式得4=a2+c2-ac≥(2-)ac(当且仅当a=c时等号成立)， 所以ac≤=2(2+)(当且仅当a=c时等号成立)， 所以S△ABC=acsin B=ac≤×2(2+)=1+(当且仅当a=c时等号成立)， 故△ABC面积的最大值为1+. (2)求△ABC面积的最大值. 41 第一章 <<< $$