第九章 9.1.2 余弦定理-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第四册教师用书（人教B版2019）

第九章 <<< 余弦定理 9.1.2 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题. 3.能利用余弦定理解决有关三角形的恒等化简，证明及形状判断等问题. 学习目标 千岛湖位于我国浙江省淳安县境内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名，现有三个岛屿A，B，C，岛屿A与B之间的距离因A，B之间有另一小岛而无法直接测量，但可测得AC，BC的距离分别为 6 km和4 km，且AC，BC的夹角为120°，那么岛屿A，B间的距离如何计算呢？本节课我们就来学习一下！ 导 语 一、余弦定理的推导 二、已知两边及一角解三角形 课时对点练 三、已知三边解三角形 内容索引 随堂演练 四、利用余弦定理判断三角形形状 一 余弦定理的推导 在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c？ 问题1 提示　如图，设=a，=b，=c， 那么c=a-b， ① 我们的研究目标是用|a|，|b|和C表示|c|，联想到数量积的性质c·c=|c|2， 可以考虑用向量c(即a-b)与其自身作数量积运算. 由①得|c|2=c·c=(a-b)·(a-b)=a·a+b·b-2a·b=a2+b2-2|a||b|cos C. 所以c2=a2+b2-2abcos C， 同理可得a2=b2+c2-2bccos A，b2=c2+a2-2cacos B. 提示　a2=b2+c2，即勾股定理，勾股定理是余弦定理的一个特例. 在问题1的探究成果中，若A=90°，公式会变成什么？你认为勾股定理和余弦定理有什么关系？ 问题2 1.余弦定理的公式表达形式：在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 a2= ，  b2= ，  c2= .  2.余弦定理的文字语言叙述：三角形任何一边的平方，等于其他两边的 _______减去这两边与它们夹角余弦的 . b2+c2-2bccos A c2+a2-2cacos B a2+b2-2abcos C 平方和 积的2倍 知识梳理 (1)运用余弦定理时注意边角关系的对应. (2)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，都可以知三求一. (3)利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理涉及的是边长的平方，求得的结果常有两个，因此，解题时需特别注意三角形的三边长所满足的条件. 注 意 点 <<< 9 二 已知两边及一角解三角形 (课本例1)在△ABC中，已知a=3，b=6，C=60°，求c. 例 1 由余弦定理可知c2=a2+b2-2abcos C=32+62-2×3×6×cos 60°=27， 因此c==3. 11 (1)在△ABC中，已知b=3，c=2，A=30°，求a； 例 1 由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccos A=32+(2)2-2×3×2cos 30°=3，所以a=. 12 (2)在△ABC中，已知b=3，c=3，B=30°，求角A，角C和边a. 13 方法一　由余弦定理b2=a2+c2-2accos B， 得32=a2+(3)2-2a×3×cos 30°， 即a2-9a+18=0，解得a=3或a=6. 当a=3时，A=30°，C=120°； 当a=6时，由正弦定理，得sin A===1， ∴A=90°，∴C=60°. 14 方法二　由b<c，B=30°，b>csin 30°=3×=知本题有两解.由正弦定理，得sin C===，∴C=60°或120°. 当C=60°时，A=90°，由勾股定理，得a===6； 当C=120°时，A=30°，△ABC为等腰三角形，∴a=3. 15 反 思 感 悟 已知三角形的两边及一角解三角形 (1)已知三角形的两边及其夹角，先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理或余弦定理求解. (2)已知三角形的两边及一边的对角，可利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边. 在△ABC中，已知a=2，b=2，C=15°，求A. 跟踪训练 1 由余弦定理， 得c2=a2+b2-2abcos C=8-4， 所以c=-. 由正弦定理，得sin A==， 因为b>a，所以B>A， 所以A为锐角，所以A=30°. 17 三 已知三边解三角形 提示　cos A=， cos B=， cos C=. 在△ABC中，已知三边分别是a，b，c，如何解三角形？ 问题3 余弦定理可以改写为如下形式： cos A=____________， cos B=____________， cos C=____________. 知识梳理 (课本例2)在△ABC中，已知a=6，b=4，c=2，求C. 例 2 由c2=a2+b2-2abcos C可得(2)2=62+42-2×6×4cos C， 可解得cos C=. 又因为0°<C<180°，所以C=60°. 21 (1)在△ABC中，若a2+b2+ab=c2，则角C=　　　.  例 2 由a2+b2+ab=c2，得a2+b2-c2=-ab.由余弦定理， 得cos C===-，故C=120°. 120° 22 (2)在△ABC中，已知a∶b∶c=2∶∶(+1)，求各内角的度数. 由a∶b∶c=2∶∶(+1)，令a=2k，b=k，c=(+1)k(k>0)，由余弦定理，得cos A===，∴A=45°. cos B===， ∴B=60°. ∴C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°. 23 本例(2)中，将条件变为“三角形的三条边长分别为2，，+1”，求其最大角与最小角之和. 因为+1>>2，所以最大角与最小角所对的边分别为+1，2，设长为的边所对的角为θ，由余弦定理，得cos θ= =，所以θ=60°，故最大角与最小角之和为180°-60°=120°. 延伸探究 24 反 思 感 悟 已知三角形的三边解三角形的方法 (1)先利用余弦定理求出一个角的余弦值，从而求出第一个角，再利用余弦定理或由求得的第一个角利用正弦定理求出第二个角，最后利用三角形的内角和定理求出第三个角. (2)利用余弦定理求出三个角的余弦值，进而求出三个角. (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b+c=3，bc=，则cos A等于 A. B. C. D. 跟踪训练 2 √ cos A====. 26 (2)在△ABC中，已知a=7，b=3，c=5，求最大角的大小. ∵a>c>b，∴A为最大角. 由余弦定理，得 cos A===-. 又∵0°<A<180°，∴A=120°， ∴最大角A为120°. 27 四 利用余弦定理判断三角形形状 提示　A为直角⇔b2+c2=a2； A为锐角⇔b2+c2>a2； A为钝角⇔b2+c2<a2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A为直角，则a，b，c有什么大小关系？若角A为锐角呢？若角A为钝角呢？ 问题4 (课本例3)在△ABC中，已知acos A=bcos B，试判断这个三角形的形状. 例 3 30 利用余弦定理可知a×=b×， 因此a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)， 即a2c2-b2c2-a4+b4=0， 从而(a2-b2)c2-(a2-b2)(a2+b2)=0， 所以(a2-b2)(c2-a2-b2)=0， 因此a2-b2=0或c2-a2-b2=0. 当a2-b2=0时，a=b，此时△ABC是等腰三角形； 当c2-a2-b2=0时，a2+b2=c2，此时△ABC是直角三角形. 故△ABC是等腰三角形或直角三角形. 31 在△ABC中，已知cos2=(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，判断△ABC的形状. 例 3 32 方法一　在△ABC中，由cos2=， 得=，∴cos A=. 根据余弦定理，得=. ∴b2+c2-a2=2b2，即a2+b2=c2. ∴△ABC是直角三角形. 33 方法二　在△ABC中，设其外接圆半径为R， 由正弦定理， 得b=2Rsin B，c=2Rsin C. 由cos2=知，cos A=. ∴cos A=，即sin B=sin Ccos A. 34 ∵B=π-(A+C)， ∴sin(A+C)=sin Ccos A， ∴sin Acos C=0. ∵A，C都是△ABC的内角， ∴sin A≠0. ∴cos C=0，∴C=. ∴△ABC是直角三角形. 35 反 思 感 悟 (1)利用余弦定理判断三角形形状的两种途径 ①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系； ②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系. (2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论 ①△ABC为直角三角形⇔b2+c2=a2或a2+b2=c2或a2+c2=b2； ②△ABC为锐角三角形⇔a2+b2>c2，且b2+c2>a2，且c2+a2>b2； ③△ABC为钝角三角形⇔a2+b2<c2或b2+c2<a2或c2+a2<b2； ④若sin 2A=sin 2B，则A=B或A+B=. (1)在△ABC中，A=60°，a2=bc，则△ABC一定是 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 跟踪训练 3 在△ABC中，因为A=60°，a2=bc， 所以由余弦定理，可得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc， 所以bc=b2+c2-bc，即(b-c)2=0， 所以b=c，结合A=60°可得△ABC一定是等边三角形. √ 37 (2)在△ABC中，若·+=0，则△ABC的形状一定是 A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 √ 38 方法一　设△ABC中角A，B，C的对应边分别为a，b，c. 因为·+=0， 所以accos(π-B)+c2=0， 所以accos B=c2， 由余弦定理可得ac×=c2， 所以b2+c2=a2， 所以△ABC是直角三角形. 方法二　因为·+=0， 则·(-)+=0， 即·=0，所以AB⊥AC，则△ABC是直角三角形. 39 1.知识清单： (1)余弦定理. (2)余弦定理解决的两类问题. (3)利用余弦定理判断三角形形状. 2.方法归纳：化归转化、数形结合. 3.常见误区：易忽略三角形中的隐含条件. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 1.在△ABC中，a∶b∶c=2∶4∶5，则△ABC是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 √ 因为a∶b∶c=2∶4∶5， 所以可令a=2k，b=4k，c=5k(k>0). 因为c最大，cos C=<0， 所以C为钝角，从而△ABC为钝角三角形. 1 2 3 4 2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2-b2+c2=ac，则角B为 A. B. C.或 D.或 √ ∵a2-b2+c2=ac， ∴cos B===， 又B为△ABC的内角，∴B=. 3.设2a+1，a，2a-1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是　　　　.  1 2 3 4 因为2a-1>0，所以a>，最大边为2a+1.因为三角形为钝角三角形，所以a2+(2a-1)2<(2a+1)2，解得0<a<8，又因为a+2a-1>2a+1，所以a>2，所以2<a<8. (2，8) 1 2 3 4 4.如图所示，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为　　　　.  ∵sin∠BAC=sin(90°+∠BAD)=cos∠BAD=， ∴在△ABD中， 有BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD， ∴BD2=18+9-2×3×3×=3， ∴BD=. 课时对点练 六 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B B C B C D 5　 题号 8 11 12 13 14 　15 答案 C AC D 　ACD 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 由acos B+acos C=b+c并结合余弦定理， 得a·+a·=b+c， 即+=b+c， 整理，得(b+c)(a2-b2-c2)=0. 因为b+c≠0，所以a2=b2+c2， 故△ABC是直角三角形. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 由ccos B=bcos C，结合正弦定理得sin Ccos B=sin Bcos C， 故sin(B-C)=0，又B，C∈(0，π). 易知B=C，故b=c，因为cos A=， 所以cos A===， 得3a2=2b2，所以a=b. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 所以cos B===， 又B∈(0，π)，故sin B=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 方案一　选条件①. 由C==. 由sin A=sin B及正弦定理得a=b. 于是=， 由此可得b=c. 由①ac=，解得a=，b=c=1. 因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c=1. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 方案二　选条件②. 由C==. 由sin A=sin B及正弦定理得a=b. 于是=， 由此可得b=c，B=C=，A=. 由②csin A=3，所以c=b=2，a=6. 因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c=2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 方案三　选条件③. 由C==. 由sin A=sin B及正弦定理得a=b. 于是=， 由此可得b=c. 由③c=b，与b=c矛盾. 因此，选条件③时问题中的三角形不存在. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.在△ABC中，a=7，b=4，c=，则最小角为 A. B. C. D. √ ∵在△ABC中，a=7，b=4，c=，∴c为最小边，可得C为最小角，由余弦定理，得cos C===，∵C为三角形的内角，∴可得C∈(0，π)，∴C=，即△ABC的最小角为. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.在△ABC中，已知b2=ac且c=2a，则cos B等于 A. B. C. D. ∵b2=ac，c=2a， ∴b2=2a2， ∴cos B===. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，c=2， cos A=，且b<c，则b等于 A.3 B.2 C.2 D. √ 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A，所以22=b2+(2)2-2×b×2×，即b2-6b+8=0，解得b=2或b=4.因为b<c，所以b=2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.在△ABC中，已知AB=3，BC=，AC=4，则边AC上的高为 A. B. C. D.3 √ 如图，在△ABC中，BD为AC边上的高，且AB=3，BC=，AC=4.  因为cos A==， 所以sin A=.故BD=AB·sin A=3×=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13，则△ABC A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别是a，b，c. 由sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13，可得a∶b∶c=5∶11∶13. 设a=5t(t>0)，则b=11t，c=13t，则C为最大角. 由余弦定理得cos C===-<0， 则C为钝角，所以△ABC为钝角三角形. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.某地需要建设临时医院，该医院占地是由一个正方形和四个以正方形的边为底边、腰长为400 m的等腰三角形组成的图形(如图所示)，为使占地面积最大，则等腰三角形的底角为  A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等腰三角形的顶角为α，由三角形的面积公式，得四个等腰三角形的面积和为4××400×400sin α=320 000sin α，由余弦定理可得正方形边长为=400，故正方形面积为160 000(2-2cos α)=320 000(1-cos α)，所以所求占地面积为320 000(1-cos α+sin α)=320 000，所以当α-=，即α==. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得a+b=5，ab=2.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab =(a+b)2-3ab=52-3×2=19， 所以c=. 7.在△ABC中，边a，b的长是方程x2-5x+2=0的两个根，则a+b=　　　　，若C=60°，则边c=　　　　.  5 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.在锐角三角形ABC中，AB=3，AC=4，若△ABC的面积为3，则BC的长是　　　　.  由题可知S△ABC=AB·AC·sin A=3， 所以sin A=. 因为△ABC为锐角三角形， 所以A=60°， 又BC2=AB2+AC2-2·AB·ACcos A， 所以BC=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.在△ABC中，若acos B+acos C=b+c，试判断该三角形的形状. 由acos B+acos C=b+c并结合余弦定理， 得a·+a·=b+c， 即+=b+c， 整理，得(b+c)(a2-b2-c2)=0. 因为b+c≠0，所以a2=b2+c2， 故△ABC是直角三角形. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.在△ABC中，若ccos B=bcos C，且cos A=，求sin B的值. 由ccos B=bcos C，结合正弦定理得sin Ccos B=sin Bcos C，故sin(B-C)=0，又B，C∈(0，π). 易知B=C，故b=c，因为cos A=， 所以cos A===， 得3a2=2b2，所以a=b. 所以cos B===， 又B∈(0，π)，故sin B=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(2024·全国甲卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=，b2=ac，则sin A+sin C等于 A. B. C. D. √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为B=，b2=ac， 则由正弦定理得sin Asin C=sin2B=. 由余弦定理可得，b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=ac， 即a2+c2=ac， 根据正弦定理得，sin2A+sin2C=sin Asin C=， 所以(sin A+sin C)2=sin2A+sin2C+2sin Asin C=， 因为A，C为三角形内角，则sin A+sin C>0， 则sin A+sin C=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足B=，a+c=b，则等于 A.2 B.3 C. D. √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵B=，a+c=b， ∴(a+c)2=a2+c2+2ac=3b2， ① 由余弦定理可得a2+c2-2accos=b2， ② 联立①②，可得2a2-5ac+2c2=0， 即2-5+2=0， 解得=2或=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为S，且a=1，4S=b2+c2-1，则△ABC外接圆的面积为 A.4π B.2π C.π D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由余弦定理b2+c2-a2=2bccos A及a=1， 得b2+c2-1=2bccos A. 因为S=bcsin A，且4S=b2+c2-1， 所以4×bcsin A=2bccos A， 即sin A=cos A. 因为A∈(0，π)，所以A=. 由正弦定理得==2R， 解得R=.所以△ABC外接圆的面积为. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，若m=(bsin B- asin A，c-b)，n=(1，sin C)且m⊥n，则角A的大小为　　　　；若a=7，b+c=8，则△ABC的面积是　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由m⊥n， 得(bsin B-asin A)·1+(c-b)·sin C=0， 化简得b2+c2-a2=bc， 所以cos A==， 因为A∈(0，π)，所以A=. 当a=7，b+c=8时， 由cos A==⇒==， 得bc=5， 所以S△ABC=bcsin A=×5×=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11，则下列结论正确的是 A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6 B.△ABC是钝角三角形 C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍 D.若c=6，则△ABC外接圆的半径为 √ 拓广探究 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11，所以可设x>0，解得a=4x，b=5x，c=6x，所以sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=4∶5∶6，所以A正确； 由上可知c边最大，所以三角形的内角中C最大. 又cos C===>0，所以C为锐角，所以B错误； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由上可知a边最小，所以三角形的内角中A最小， 又cos A===，所以cos 2A=2cos2A-1=， 所以cos 2A=cos C，由三角形中C最大且C为锐角可得2A∈， C∈，所以2A=C，所以C正确； 由正弦定理得2R=，又sin C==，所以2R=， 解得R=，所以D正确. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.在①ac=，②csin A=3，③c=b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A=sin B，C=，　　　　？  注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方案一　选条件①. 由C==. 由sin A=sin B及正弦定理得a=b. 于是=， 由此可得b=c. 由①ac=，解得a=，b=c=1. 因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c=1. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方案二　选条件②. 由C==. 由sin A=sin B及正弦定理得a=b. 于是=， 由此可得b=c，B=C=，A=. 由②csin A=3，所以c=b=2，a=6. 因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c=2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方案三　选条件③. 由C==. 由sin A=sin B及正弦定理得a=b. 于是=， 由此可得b=c. 由③c=b，与b=c矛盾. 因此，选条件③时问题中的三角形不存在. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第一章 <<< $$ 9.1.2　余弦定理 [学习目标]　1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.3.能利用余弦定理解决有关三角形的恒等化简，证明及形状判断等问题. 导语 千岛湖位于我国浙江省淳安县境内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名，现有三个岛屿A，B，C，岛屿A与B之间的距离因A，B之间有另一小岛而无法直接测量，但可测得AC，BC的距离分别为6 km和4 km，且AC，BC的夹角为120°，那么岛屿A，B间的距离如何计算呢？本节课我们就来学习一下！ 一、余弦定理的推导 问题1　在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c？ 提示　如图，设=a，=b，=c， 那么c=a-b，① 我们的研究目标是用|a|，|b|和C表示|c|， 联想到数量积的性质c·c=|c|2， 可以考虑用向量c(即a-b)与其自身作数量积运算. 由①得|c|2=c·c=(a-b)·(a-b) =a·a+b·b-2a·b =a2+b2-2|a||b|cos C. 所以c2=a2+b2-2abcos C， 同理可得a2=b2+c2-2bccos A， b2=c2+a2-2cacos B. 问题2　在问题1的探究成果中，若A=90°，公式会变成什么？你认为勾股定理和余弦定理有什么关系？ 提示　a2=b2+c2，即勾股定理，勾股定理是余弦定理的一个特例. 知识梳理 1.余弦定理的公式表达形式：在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 a2=b2+c2-2bccos A，  b2=c2+a2-2cacos B，  c2=a2+b2-2abcos C.  2.余弦定理的文字语言叙述：三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍. 注意点： (1)运用余弦定理时注意边角关系的对应. (2)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，都可以知三求一. (3)利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理涉及的是边长的平方，求得的结果常有两个，因此，解题时需特别注意三角形的三边长所满足的条件. 二、已知两边及一角解三角形 例1(课本例1)　在△ABC中，已知a=3，b=6，C=60°，求c. 解　由余弦定理可知 c2=a2+b2-2abcos C=32+62-2×3×6×cos 60°=27， 因此c==3. 例1　(1)在△ABC中，已知b=3，c=2，A=30°，求a； (2)在△ABC中，已知b=3，c=3，B=30°，求角A，角C和边a. 解　(1)由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccos A=32+(2)2-2×3×2cos 30°=3，所以a=. (2)方法一　由余弦定理b2=a2+c2-2accos B， 得32=a2+(3)2-2a×3×cos 30°， 即a2-9a+18=0，解得a=3或a=6. 当a=3时，A=30°，C=120°； 当a=6时，由正弦定理，得sin A===1， ∴A=90°，∴C=60°. 方法二　由b<c，B=30°，b>csin 30°=3×=知本题有两解.由正弦定理，得sin C===，∴C=60°或120°. 当C=60°时，A=90°，由勾股定理，得a===6；当C=120°时，A=30°，△ABC为等腰三角形，∴a=3. 反思感悟　已知三角形的两边及一角解三角形 (1)已知三角形的两边及其夹角，先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理或余弦定理求解. (2)已知三角形的两边及一边的对角，可利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边. 跟踪训练1　在△ABC中，已知a=2，b=2，C=15°，求A. 解　由余弦定理， 得c2=a2+b2-2abcos C=8-4， 所以c=-. 由正弦定理，得sin A==， 因为b>a，所以B>A， 所以A为锐角，所以A=30°. 三、已知三边解三角形 问题3　在△ABC中，已知三边分别是a，b，c，如何解三角形？ 提示　cos A=， cos B=， cos C=. 知识梳理 余弦定理可以改写为如下形式： cos A=， cos B=， cos C=. 例2(课本例2)　在△ABC中，已知a=6，b=4，c=2，求C. 解　由c2=a2+b2-2abcos C可得(2)2=62+42-2×6×4cos C， 可解得cos C=. 又因为0°<C<180°，所以C=60°. 例2　(1)在△ABC中，若a2+b2+ab=c2，则角C=　　　.  答案　120° 解析　由a2+b2+ab=c2，得a2+b2-c2=-ab.由余弦定理，得cos C===-，故C=120°. (2)在△ABC中，已知a∶b∶c=2∶∶(+1)，求各内角的度数. 解　由a∶b∶c=2∶∶(+1)，令a=2k，b=k，c=(+1)k(k>0)，由余弦定理，得cos A===，∴A=45°. cos B===， ∴B=60°. ∴C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°. 延伸探究　本例(2)中，将条件变为“三角形的三条边长分别为2，，+1”，求其最大角与最小角之和. 解　因为+1>>2，所以最大角与最小角所对的边分别为+1，2，设长为的边所对的角为θ，由余弦定理，得cos θ==，所以θ=60°，故最大角与最小角之和为180°-60°=120°. 反思感悟　已知三角形的三边解三角形的方法 (1)先利用余弦定理求出一个角的余弦值，从而求出第一个角，再利用余弦定理或由求得的第一个角利用正弦定理求出第二个角，最后利用三角形的内角和定理求出第三个角. (2)利用余弦定理求出三个角的余弦值，进而求出三个角. 跟踪训练2　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b+c=3，bc=，则cos A等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　cos A====. (2)在△ABC中，已知a=7，b=3，c=5，求最大角的大小. 解　∵a>c>b，∴A为最大角. 由余弦定理，得 cos A===-. 又∵0°<A<180°，∴A=120°， ∴最大角A为120°. 四、利用余弦定理判断三角形形状 问题4　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A为直角，则a，b，c有什么大小关系？若角A为锐角呢？若角A为钝角呢？ 提示　A为直角⇔b2+c2=a2； A为锐角⇔b2+c2>a2； A为钝角⇔b2+c2<a2. 例3(课本例3)　在△ABC中，已知acos A=bcos B，试判断这个三角形的形状. 解　利用余弦定理可知a×=b×， 因此a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)， 即a2c2-b2c2-a4+b4=0， 从而(a2-b2)c2-(a2-b2)(a2+b2)=0， 所以(a2-b2)(c2-a2-b2)=0， 因此a2-b2=0或c2-a2-b2=0. 当a2-b2=0时，a=b，此时△ABC是等腰三角形； 当c2-a2-b2=0时，a2+b2=c2，此时△ABC是直角三角形. 故△ABC是等腰三角形或直角三角形. 例3　在△ABC中，已知cos2=(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，判断△ABC的形状. 解　方法一　在△ABC中，由cos2=， 得=，∴cos A=. 根据余弦定理，得=. ∴b2+c2-a2=2b2，即a2+b2=c2. ∴△ABC是直角三角形. 方法二　在△ABC中，设其外接圆半径为R， 由正弦定理， 得b=2Rsin B，c=2Rsin C. 由cos2=知，cos A=. ∴cos A=，即sin B=sin Ccos A. ∵B=π-(A+C)， ∴sin(A+C)=sin Ccos A， ∴sin Acos C=0. ∵A，C都是△ABC的内角， ∴sin A≠0. ∴cos C=0，∴C=. ∴△ABC是直角三角形. 反思感悟　(1)利用余弦定理判断三角形形状的两种途径 ①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系； ②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系. (2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论 ①△ABC为直角三角形⇔b2+c2=a2或a2+b2=c2或a2+c2=b2； ②△ABC为锐角三角形⇔a2+b2>c2，且b2+c2>a2，且c2+a2>b2； ③△ABC为钝角三角形⇔a2+b2<c2或b2+c2<a2或c2+a2<b2； ④若sin 2A=sin 2B，则A=B或A+B=. 跟踪训练3　(1)在△ABC中，A=60°，a2=bc，则△ABC一定是(　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 答案　D 解析　在△ABC中，因为A=60°，a2=bc， 所以由余弦定理，可得a2=b2+c2-2bccos A= b2+c2-bc， 所以bc=b2+c2-bc，即(b-c)2=0， 所以b=c，结合A=60°可得△ABC一定是等边三角形. (2)在△ABC中，若·+=0，则△ABC的形状一定是(　　) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 答案　B 解析　方法一　设△ABC中角A，B，C的对应边分别为a，b，c. 因为·+=0， 所以accos(π-B)+c2=0， 所以accos B=c2， 由余弦定理可得ac×=c2， 所以b2+c2=a2， 所以△ABC是直角三角形. 方法二　因为·+=0， 则·(-)+=0， 即·=0，所以AB⊥AC，则△ABC是直角三角形. 1.知识清单： (1)余弦定理. (2)余弦定理解决的两类问题. (3)利用余弦定理判断三角形形状. 2.方法归纳：化归转化、数形结合. 3.常见误区：易忽略三角形中的隐含条件. 1.在△ABC中，a∶b∶c=2∶4∶5，则△ABC是(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 答案　C 解析　因为a∶b∶c=2∶4∶5， 所以可令a=2k，b=4k，c=5k(k>0). 因为c最大，cos C=<0， 所以C为钝角，从而△ABC为钝角三角形. 2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2-b2+c2=ac，则角B为(　　) A. B. C.或 D.或 答案　A 解析　∵a2-b2+c2=ac， ∴cos B===， 又B为△ABC的内角，∴B=. 3.设2a+1，a，2a-1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是　　　　.  答案　(2，8) 解析　因为2a-1>0，所以a>，最大边为2a+1.因为三角形为钝角三角形，所以a2+(2a-1)2<(2a+1)2，解得0<a<8，又因为a+2a-1>2a+1，所以a>2，所以2<a<8. 4.如图所示，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为　　　　.  答案　 解析　∵sin∠BAC=sin(90°+∠BAD) =cos∠BAD=， ∴在△ABD中， 有BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD， ∴BD2=18+9-2×3×3×=3， ∴BD=. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.在△ABC中，a=7，b=4，c=，则最小角为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵在△ABC中，a=7，b=4，c=，∴c为最小边，可得C为最小角，由余弦定理，得cos C===，∵C为三角形的内角，∴可得C∈(0，π)，∴C=，即△ABC的最小角为. 2.在△ABC中，已知b2=ac且c=2a，则cos B等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵b2=ac，c=2a， ∴b2=2a2， ∴cos B===. 3.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，c=2，cos A=，且b<c，则b等于(　　) A.3 B.2 C.2 D. 答案　C 解析　由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A，所以22=b2+(2)2-2×b×2×，即b2-6b+8=0，解得b=2或b=4.因为b<c，所以b=2. 4.在△ABC中，已知AB=3，BC=，AC=4，则边AC上的高为(　　) A. B. C. D.3 答案　B 解析　如图，在△ABC中，BD为AC边上的高，且AB=3，BC=，AC=4. 因为cos A==， 所以sin A=.故BD=AB·sin A=3×=. 5.若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13，则△ABC(　　) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 答案　C 解析　在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别是a，b，c. 由sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13，可得a∶b∶c=5∶11∶13. 设a=5t(t>0)，则b=11t，c=13t，则C为最大角. 由余弦定理得cos C= ==-<0， 则C为钝角，所以△ABC为钝角三角形. 6.某地需要建设临时医院，该医院占地是由一个正方形和四个以正方形的边为底边、腰长为400 m的等腰三角形组成的图形(如图所示)，为使占地面积最大，则等腰三角形的底角为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设等腰三角形的顶角为α，由三角形的面积公式，得四个等腰三角形的面积和为4××400×400sin α=320 000sin α，由余弦定理可得正方形边长为=400，故正方形面积为160 000(2-2cos α)=320 000(1-cos α)，所以所求占地面积为320 000(1-cos α+sin α)=320 000，所以当α-=，即α=时，占地面积最大，此时底角为=. 7.(5分)在△ABC中，边a，b的长是方程x2-5x+2=0的两个根，则a+b=　　　　，若C=60°，则边c=　　　　.  答案　5　 解析　由题意得a+b=5，ab=2.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=52-3×2=19， 所以c=. 8.(5分)在锐角三角形ABC中，AB=3，AC=4，若△ABC的面积为3，则BC的长是　　　　.  答案　 解析　由题可知S△ABC=AB·AC·sin A =3， 所以sin A=. 因为△ABC为锐角三角形， 所以A=60°， 又BC2=AB2+AC2-2·AB·ACcos A， 所以BC=. 9.(10分)在△ABC中，若acos B+acos C=b+c，试判断该三角形的形状. 解　由acos B+acos C=b+c并结合余弦定理， 得a·+a·=b+c， 即+=b+c， 整理，得(b+c)(a2-b2-c2)=0. 因为b+c≠0，所以a2=b2+c2， 故△ABC是直角三角形. 10.(11分)在△ABC中，若ccos B=bcos C，且cos A=，求sin B的值. 解　由ccos B=bcos C，结合正弦定理得sin Ccos B=sin Bcos C，故sin(B-C)=0，又B，C∈(0，π). 易知B=C，故b=c，因为cos A=， 所以cos A===， 得3a2=2b2，所以a=b. 所以cos B===， 又B∈(0，π)，故sin B=. 11.(2024·全国甲卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=，b2=ac，则sin A+sin C等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为B=，b2=ac， 则由正弦定理得sin Asin C=sin2B=. 由余弦定理可得， b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=ac， 即a2+c2=ac， 根据正弦定理得， sin2A+sin2C=sin Asin C=， 所以(sin A+sin C)2=sin2A+sin2C+2sin Asin C=， 因为A，C为三角形内角，则sin A+sin C>0， 则sin A+sin C=. 12.(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足B=，a+c=b，则等于(　　) A.2 B.3 C. D. 答案　AC 解析　∵B=，a+c=b， ∴(a+c)2=a2+c2+2ac=3b2，① 由余弦定理可得a2+c2-2accos=b2，② 联立①②，可得2a2-5ac+2c2=0， 即2-5+2=0， 解得=2或=. 13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为S，且a=1，4S=b2+c2-1，则△ABC外接圆的面积为(　　) A.4π B.2π C.π D. 答案　D 解析　由余弦定理b2+c2-a2=2bccos A及a=1， 得b2+c2-1=2bccos A. 因为S=bcsin A，且4S=b2+c2-1， 所以4×bcsin A=2bccos A， 即sin A=cos A. 因为A∈(0，π)，所以A=. 由正弦定理得==2R， 解得R=.所以△ABC外接圆的面积为. 14.(5分)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，若m=(bsin B-asin A，c-b)，n=(1，sin C)且m⊥n，则角A的大小为　　　　；若a=7，b+c=8，则△ABC的面积是　　　　.  答案　　 解析　由m⊥n， 得(bsin B-asin A)·1+(c-b)·sin C=0， 化简得b2+c2-a2=bc， 所以cos A==， 因为A∈(0，π)，所以A=. 当a=7，b+c=8时， 由cos A==⇒==， 得bc=5， 所以S△ABC=bcsin A=×5×=. 15.(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11，则下列结论正确的是(　　) A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6 B.△ABC是钝角三角形 C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍 D.若c=6，则△ABC外接圆的半径为 答案　ACD 解析　因为(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11，所以可设x>0，解得a=4x，b=5x，c=6x，所以sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=4∶5∶6，所以A正确； 由上可知c边最大，所以三角形的内角中C最大. 又cos C===>0，所以C为锐角，所以B错误； 由上可知a边最小，所以三角形的内角中A最小，又cos A===，所以cos 2A=2cos2A-1=，所以cos 2A=cos C，由三角形中C最大且C为锐角可得2A∈，C∈，所以2A=C，所以C正确； 由正弦定理得2R=，又sin C==，所以2R=，解得R=，所以D正确. 16.(12分)在①ac=，②csin A=3，③c=b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A=sin B，C=，　　　　？  注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 解　方案一　选条件①. 由C=和余弦定理得=. 由sin A=sin B及正弦定理得a=b. 于是=， 由此可得b=c. 由①ac=，解得a=，b=c=1. 因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c=1. 方案二　选条件②. 由C=和余弦定理得=. 由sin A=sin B及正弦定理得a=b. 于是=， 由此可得b=c，B=C=，A=. 由②csin A=3，所以c=b=2，a=6. 因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c=2. 方案三　选条件③. 由C=和余弦定理得=. 由sin A=sin B及正弦定理得a=b. 于是=， 由此可得b=c. 由③c=b，与b=c矛盾. 因此，选条件③时问题中的三角形不存在. 学科网（北京）股份有限公司 $$