第九章 9.1.1 第2课时 正弦定理(二)-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第四册教师用书（人教B版2019）

第2课时　正弦定理(二) [学习目标]　1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件判断三角形解的个数和形状.3.能利用正弦定理、三角恒等变换求解或证明有关问题. 一、三角形解的个数的判断 问题1　已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，三角形的解是否唯一确定？ 提示　三角形被唯一确定，有唯一解. 问题2　已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，三角形的解是否唯一确定？ 提示　三角形不能被唯一确定，可能出现两解的情况. 知识梳理 现以已知a，b和A解三角形为例，从两个角度予以说明. (1)代数角度： 由正弦定理得sin B=， ①若>1，则满足条件的三角形个数为0，即无解. ②若=1，则满足条件的三角形个数为1，即一解. ③若<1，则满足条件的三角形个数为1或2，即一解或两解. (2)几何角度： 图形 关系式 解的个数 A为 锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsin A<a<b 两解 a<bsin A 无解 A为 钝角 或直 角 a>b 一解 a≤b 无解 例1(课本例4)　判断满足条件A=30°，a=1，c=4的△ABC是否存在，并说明理由. 解　假设满足条件的三角形存在，则由=可知， sin C===2. 又因为sin C≤1，所以这是不可能的，因此不存在这样的三角形. 例1　已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，若有解，则解三角形. (1)a=10，b=20，A=80°； (2)a=2，b=6，A=30°. 解　(1)a=10，b=20，a<b，A=80°<90°， ∵bsin A=20sin 80°>20sin 60°=10>10， ∴a<bsin A，∴本题无解. (2)a=2，b=6，a<b，A=30°<90°， ∵bsin A=6sin 30°=3，∴a>bsin A， 即bsin A<a<b，∴本题有两解. 由正弦定理得sin B===， 又∵0°<B<150°， ∴B=60°或B=120°. 当B=60°时，C=90°，c===4； 当B=120°时，C=30°，c===2. ∴当B=60°时，C=90°，c=4； 当B=120°时，C=30°，c=2. 反思感悟　已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法 (1)代数法：应用三角形中“大边对大角”的性质以及正弦函数的值域判断另一边对角的可能情况，进而判断三角形解的个数. (2)几何法：在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数. 跟踪训练1　根据下列条件，判断三角形是否有解，若有解，有几个解： (1)a=，b=，A=120°； (2)a=60，b=48，B=60°； (3)a=7，b=5，A=80°； (4)a=14，b=16，A=45°. 解　方法一　(1)∵A>90°且a>b， ∴有一解，即这样的三角形是唯一的. (2)∵asin B=60×=30，b=48， ∴b<asin B，无解， 即不存在这样的三角形. (3)∵a=7，b=5，A=80°，∴a>b，有一解，即这样的三角形是唯一的. (4)∵bsin A=16×=8，a=14， ∴bsin A<a<b，有两解，即符合条件的三角形有两个. 方法二　(1)∵A=120°，由=， 得sin B===， ∵A>B，∴B=45°. ∴有一解，即这样的三角形是唯一的. (2)由=，得sin A===>1，与0<sin A≤1矛盾， ∴无解，即不存在这样的三角形. (3)由=， 得sin B==<1. 又∵b<a，∴B<80°， ∴有一解，即这样的三角形是唯一的. (4)由=，得sin B=<1.又b>a，∴B>A，∴B有一锐角值和一钝角值，即有两解，即符合条件的三角形有两个. 二、利用正弦定理判断三角形的形状 知识梳理 利用正弦定理判断三角形的形状求解证明有关问题，常用到如下变形式： (1)sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c. (2)a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C.  (3)===. (4)sin A=，sin B=，sin C=. 例2(课本例5)　在△ABC中，已知sin2A+sin2B=sin2C，求证：△ABC是直角三角形. 证明　设===k，则k≠0，且 sin A=，sin B=，sin C=. 又因为sin2A+sin2B=sin2C， 所以+=， 即a2+b2=c2，因此由勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形. 例2　在△ABC中，若sin A=2sin Bcos C，且sin2A=sin2B+sin2C，试判断△ABC的形状. 解　方法一　根据正弦定理，得==， 因为sin2A=sin2B+sin2C， 所以a2=b2+c2，所以A是直角. 因为A=180°-(B+C)，sin A=2sin Bcos C， 所以sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C =2sin Bcos C， 所以sin(B-C)=0. 又-90°<B-C<90°， 所以B-C=0，所以B=C， 所以△ABC是等腰直角三角形. 方法二　在△ABC中，根据正弦定理，===2R(R为△ABC外接圆的半径). 因为sin2A=sin2B+sin2C， 所以=+， 即a2=b2+c2， 所以A=90°，所以B+C=90°， 由sin A=2sin Bcos C， 得sin 90°=2sin Bcos(90°-B)， 所以sin2B=. 因为B是锐角，所以sin B=， 所以B=45°，C=45°， 所以△ABC是等腰直角三角形. 延伸探究　若将题设中的“sin A=2sin Bcos C”改为“bsin B=csin C”，其余不变，试解答本题. 解　由正弦定理，===2R(R为△ABC外接圆的半径)， 得sin A=，sin B=，sin C=. 因为bsin B=csin C，sin2A=sin2B+sin2C， 所以b·=c·， =+， 所以b2=c2，a2=b2+c2， 所以b=c，A=90°.所以△ABC为等腰直角三角形. 反思感悟　判断三角形形状的方法及注意事项 (1)利用正弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系，通过因式分解、配方等得出边(或角)的相应关系，从而判断三角形的形状. (2)统一成边(或角)的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解. 跟踪训练2　(1)在△ABC中，已知3b=2asin B，且cos B=cos C，角A是锐角，则△ABC的形状是(　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 答案　D 解析　由3b=2asin B，得=，根据正弦定理，得=，所以=，即sin A=.又角A是锐角，所以A=60°.又cos B=cos C，且B，C都为三角形的内角，所以B=C.故△ABC为等边三角形. (2)在△ABC中，已知2acos B=c，sin Asin B(2-cos C)=sin2+，则△ABC为(　　) A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.锐角非等边三角形 D.钝角三角形 答案　B 解析　由正弦定理，得2sin Acos B=sin C， 在△ABC中，A+B+C=π， ∴sin C=sin(A+B)， ∴2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B， 整理得sin Acos B=cos Asin B， ∴tan A=tan B，又A，B∈(0，π)，∴A=B. ∵sin Asin B(2-cos C)=sin2+， ∴sin Asin B=sin2+， ∴sin Asin B=·， ∴sin Asin B=， ∴sin A=sin B=，∴A=B=， 又A+B+C=π，∴C=， ∴△ABC为等腰直角三角形. 三、利用正弦定理证明有关问题 例3(课本例6)　如图所示，在△ABC中，已知∠BAC的角平分线AD与边BC相交于点D，求证：=. 证明　如图，设∠ADB=α，∠BAD=β，则由题意可知∠ADC=π-α，∠CAD=β. 在△ABD和△ADC中，分别应用正弦定理，可得=，==， 两式相除即可得=. 例3　在△ABC中，求证：=. 证明　∵左边= = = = = = ==右边， ∴原等式成立. 反思感悟　对于三角形中含有边角关系的证明问题，往往利用正弦定理实现边与角的转化，有时角化边，有时边化角，再利用三角恒等变换，使问题得以解决. 跟踪训练3　在△ABC中，求证：=(C≠90°). 证明　因为===2R(R为△ABC的外接圆半径)， 所以左边= = ===右边. 所以等式成立. 1.知识清单： (1)三角形解的个数的判断. (2)利用正弦定理判断三角形的形状. (3)正弦定理在有关证明中的应用. 2.方法归纳：化归转化、数形结合. 3.常见误区：利用正弦定理进行边和角的正弦相互转化时易出现非等价变形. 1.在△ABC中，若sin A=sin C，则△ABC是(　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 答案　B 解析　由sin A=sin C及正弦定理，知a=c， 故△ABC为等腰三角形. 2.在△ABC中，A=60°，a=，b=4，则满足条件的△ABC(　　) A.有一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定 答案　C 解析　由正弦定理得=. ∴sin B=>1， ∴角B不存在，即三角形无解. 3.在△ABC中，已知sin B=2sin C，BC=6，角A的内角平分线交BC于点D，则BD=　　　　.  答案　2 解析　因为AD为角平分线，所以由sin∠BAD=sin∠CAD，得=.又=，sin B=2sin C，所以==，从而BD=DC，即BD=BC=×6=2. 4.在△ABC中， a=5，b=5，A=30°，则B=　　　　.  答案　60°或120° 解析　由正弦定理=， 得sin B==. ∵b>a，∴B>A，且0°<B<180°， ∴B=60°或B=120°. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若bcos A=acos B，则三角形的形状为(　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 答案　A 解析　由正弦定理化简得sin Bcos A=sin Acos B，即sin Acos B-cos Asin B=sin(A-B)=0，因为A，B都为三角形内角，所以A-B=0， 即A=B，则该三角形为等腰三角形. 2.在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若B=30°，c=2，b=2，则A等于(　　) A.30° B.60° C.60°或90° D.30°或90° 答案　D 解析　∵B=30°，c=2，b=2， ∴由正弦定理可得sin C==. 由0°<C<150°，c>b，可得C=60°或C=120°. 又∵A=180°-B-C， ∴A=90°或A=30°. 3.(多选)下列条件中可以使△ABC有两个解的是(　　) A.b=3，c=4，B=30° B.a=5，b=8，A=30° C.c=6，b=3，B=60° D.c=9，b=12，C=60° 答案　AB 解析　对于A，∵csin 30°=2，∴2<b=3<4， 即csin B<b<c， ∴有两解，同理可得B有两解； C有一解；D无解. 4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C=1∶2∶3，则a∶b∶c等于(　　) A.3∶4∶5 B.5∶4∶3 C.2∶∶1 D.1∶∶2 答案　D 解析　在△ABC中，因为A∶B∶C=1∶2∶3，所以B=2A，C=3A，又A+B+C=180°，所以A=30°，B=60°，C=90°，所以a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=sin 30°∶sin 60°∶sin 90°=1∶∶2. 5.已知在△ABC中，A=45°，a=1.若△ABC仅有一解，则b的取值范围为(　　) A.{} B.(，+∞) C.{}∪(0，1] D.{}∪(0，1) 答案　C 解析　已知△ABC中，A=45°，a=1，则过点C作AB边的垂线(图略)，长度可表示为bsin 45°=b.因为△ABC仅有一解，所以a=b或a≥b>0，所以b=a=或0<b≤1. 6.(多选)下列说法正确的是(　　) A.在△ABC中，a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C B.在△ABC中，若sin 2A=sin 2B，则A=B C.在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B；若A>B，则sin A>sin B D.在△ABC中，= 答案　ACD 解析　对于A，由正弦定理===2R可得，a∶b∶c=2Rsin A∶2Rsin B∶2Rsin C=sin A∶sin B∶sin C，故A正确； 对于B，由sin 2A=sin 2B，可得2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=，故B错误； 对于C，在△ABC中，由正弦定理可得，sin A>sin B⇔a>b⇔A>B，因此A>B是sin A>sin B的充要条件，故C正确； 对于D，由正弦定理===2R， 可得右边==2R=左边， 故D正确. 7.(5分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=，b=4，a=5，则满足条件的三角形有　　　　个.  答案　1 解析　因为a>b，所以A>B，由正弦定理知sin B==，则角B只能是锐角，只能有一个解. 8.(5分)在△ABC中，lg(sin A+sin C)=2lg sin B-lg(sin C-sin A)，则此三角形的形状是　　　　.  答案　直角三角形 解析　∵lg(sin A+sin C)=lg， ∴sin2C-sin2A=sin2B，结合正弦定理得c2=a2+b2， ∴△ABC为直角三角形. 9.(10分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若-=-，试判断△ABC的形状. 解　由-=-及正弦定理， 得-=-， 则-=. 所以sin B-sin A=sin Ccos A-sin Ccos B， 所以sin(A+C)-sin(B+C) =sin Ccos A-sin Ccos B， 则sin Acos C-sin Bcos C=0. 当cos C=0时，等式成立，此时C=. 当cos C≠0时，有sin A=sin B. 因为0<A<π，0<B<π，所以A=B. 故△ABC为等腰三角形或直角三角形. 10.(10分)在△ABC中，求证：a2sin 2B+b2sin 2A=2absin C. 证明　设==k，且k≠0， 则a=ksin A，b=ksin B， ∴左边=k2sin2A·sin 2B+k2sin2B·sin 2A =2k2sin A·sin B·(sin A·cos B+sin B·cos A) =2k2sin A·sin B·sin(A+B). 又∵在△ABC中，A+B=π-C， ∴左边=2(ksin A)(ksin B)·sin C=2ab·sin C=右边， 即a2sin 2B+b2sin 2A=2absin C. 11.在△ABC中，若==，则△ABC是(　　) A.等边三角形 B.有一内角是30°的直角三角形 C.等腰直角三角形 D.有一内角是30°的等腰三角形 答案　C 解析　在△ABC中，由于==，且==， ∴sin B=cos B，sin C=cos C， ∴B=C=，∴A=， ∴△ABC是等腰直角三角形. 12.在△ABC中，B=60°，最大边与最小边之比为(+1)∶2，则最大角为(　　) A.45° B.60° C.75° D.90° 答案　C 解析　设C为最大角，则A为最小角，∴A+C=120°， ∴== = =×+=+， ∴=1，即tan A=1. 又∵A为锐角，∴A=45°，C=75°. 13.(5分)在△ABC中，若B=30°，AB=2，AC=2，则AB边上的高是　　　　，S△ABC=　　　　.  答案　1或2　或2 解析　由正弦定理得=，所以sin C===，所以C=60°或C=120°.当C=60°时，A=90°，AB边上的高为2，S△ABC=×2×2=2；当C=120°时，A=30°，AB边上的高为2sin 30°=1，S△ABC=×2×1=. 14.(5分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足B=60°，c=2的三角形有两解，则b的取值范围为　　　　.  答案　(，2) 解析　在△ABC中，B=60°，c=2，由正弦定理=，得c=.若此三角形有两解，则必须满足的条件为c>b>csin B，即<b<2. 15.(多选)在△ABC中，若cos∠BAC=，BC=6，BC边上的高为h，满足条件的△ABC的个数为n，则(　　) A.当0<h<4时，n=2 B.当h=4时，n=1 C.当h=2时，n=1 D.当h=2时，n=0 答案　ABD 解析　作出△ABC的外接圆如图所示，O为外接圆的圆心，连接OA，OB，OC，过O作OD⊥BC，垂足为D. 因为cos∠BAC=，所以sin∠BAC==， 又BC=6，所以△ABC的外接圆半径为 ==， 又OD===， 所以当AB=AC时，h取得最大值+=4. 对于A，当0<h<4时，由圆的对称性可知，此时n=2，故A正确； 对于B，当h=4时，△ABC是唯一的，故B正确； 对于C，当h=2>4时，n=0，故C错误； 对于D，当h=2>4时，n=0，故D正确. 16.(12分)在①b=a；②a=ccos B；③asin C=1这三个条件中任选一个补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求该三角形的面积；若问题中的三角形不存在，请说明理由. 问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin B-sin(A-C)=sin C，c=3，　　　　？  注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 解　因为A+B+C=π， 所以sin B=sin(A+C)， 所以sin B-sin(A-C)=(sin Acos C+cos Asin C)-(sin Acos C-cos Asin C)=2cos Asin C=sin C.因为C∈(0，π)， 所以sin C≠0，所以cos A=. 又A∈(0，π)，所以A=. 若选①，由正弦定理得，sin B=sin A=， 所以B=或， 若B=，则C=π-A-B=， 所以b==， S△ABC=bcsin A=××3×=. 若B=，则C=π-A-B=， 所以a=c=3， S△ABC=acsin B=×3×3×=. 若选②，由正弦定理， 得sin A=sin Ccos B， 因为A+B+C=π， 所以sin A=sin(C+B)=sin Ccos B+cos Csin B， 所以cos Csin B=0，又B∈(0，π)， 所以sin B≠0， 所以cos C=0，C=， 所以b=ccos A=， S△ABC=bcsin A=××3×=. 若选③，由正弦定理， 得csin A=asin C=1， 与c=3，sin A=矛盾， 所以这样的三角形不存在. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第九章 <<< 正弦定理(二) 第2课时 1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题. 2.能根据条件判断三角形解的个数和形状. 3.能利用正弦定理、三角恒等变换求解或证明有关问题. 学习目标 一、三角形解的个数的判断 二、利用正弦定理判断三角形的形状 课时对点练 三、利用正弦定理证明有关问题 内容索引 随堂演练 一 三角形解的个数的判断 提示　三角形被唯一确定，有唯一解. 已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，三角形的解是否唯一确定？ 问题1 提示　三角形不能被唯一确定，可能出现两解的情况. 已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，三角形的解是否唯一确定？ 问题2 现以已知a，b和A解三角形为例，从两个角度予以说明. (1)代数角度： 由正弦定理得sin B=， ①若>1，则满足条件的三角形个数为0，即无解. ②若=1，则满足条件的三角形个数为1，即一解. ③若<1，则满足条件的三角形个数为1或2，即一解或两解. 知识梳理   图形 关系式 解的个数 A为锐角   ①a=bsin A； ②a≥b 一解   bsin A<a<b 两解   a<bsin A 无解 (2)几何角度： 知识梳理   图形 关系式 解的个数 A为钝角或直角   a>b 一解   a≤b 无解 知识梳理 (课本例4)判断满足条件A=30°，a=1，c=4的△ABC是否存在，并说明理由. 例 1 假设满足条件的三角形存在，则由=可知， sin C===2. 又因为sin C≤1，所以这是不可能的，因此不存在这样的三角形. 10 已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，若有解，则解三角形. (1)a=10，b=20，A=80°； 例 1 a=10，b=20，a<b，A=80°<90°， ∵bsin A=20sin 80°>20sin 60°=10>10， ∴a<bsin A，∴本题无解. 11 (2)a=2，b=6，A=30°. 12 a=2，b=6，a<b，A=30°<90°， ∵bsin A=6sin 30°=3，∴a>bsin A， 即bsin A<a<b，∴本题有两解. 由正弦定理得sin B===， 又∵0°<B<150°， ∴B=60°或B=120°. 13 当B=60°时，C=90°，c===4； 当B=120°时，C=30°，c===2. ∴当B=60°时，C=90°，c=4； 当B=120°时，C=30°，c=2. 14 反 思 感 悟 已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法 (1)代数法：应用三角形中“大边对大角”的性质以及正弦函数的值域判断另一边对角的可能情况，进而判断三角形解的个数. (2)几何法：在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数. 根据下列条件，判断三角形是否有解，若有解，有几个解： (1)a=，b=，A=120°； 跟踪训练 1 方法一　∵A>90°且a>b， ∴有一解，即这样的三角形是唯一的. 方法二　∵A=120°，由=， 得sin B===， ∵A>B，∴B=45°. ∴有一解，即这样的三角形是唯一的. 16 (2)a=60，b=48，B=60°； 方法一　∵asin B=60×=30，b=48， ∴b<asin B，无解， 即不存在这样的三角形. 方法二　由=，得sin A===>1，与0<sin A≤1矛盾， ∴无解，即不存在这样的三角形. 17 (3)a=7，b=5，A=80°； 方法一　∵a=7，b=5，A=80°，∴a>b，有一解，即这样的三角形是唯一的. 方法二　由=， 得sin B==<1. 又∵b<a，∴B<80°， ∴有一解，即这样的三角形是唯一的. 18 (4)a=14，b=16，A=45°. 方法一　∵bsin A=16×=8，a=14， ∴bsin A<a<b，有两解，即符合条件的三角形有两个. 方法二　由=，得sin B=<1.又b>a，∴B>A，∴B有一锐角值和一钝角值，即有两解，即符合条件的三角形有两个. 19 二 利用正弦定理判断 三角形的形状 利用正弦定理判断三角形的形状求解证明有关问题，常用到如下变形式： (1)sin A∶sin B∶sin C=_________. (2)a=2Rsin A，b=_______，c=_______.  (3)===. (4)sin A=，sin B=___，sin C=___. a∶b∶c 2Rsin B 2Rsin C 知识梳理 (课本例5)在△ABC中，已知sin2A+sin2B=sin2C，求证：△ABC是直角三角形. 例 2 设===k，则k≠0，且 sin A=，sin B=，sin C=. 又因为sin2A+sin2B=sin2C， 所以+=， 即a2+b2=c2，因此由勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形. 22 在△ABC中，若sin A=2sin Bcos C，且sin2A=sin2B+sin2C，试判断△ABC的形状. 例 2 23 方法一　根据正弦定理，得==， 因为sin2A=sin2B+sin2C， 所以a2=b2+c2，所以A是直角. 因为A=180°-(B+C)，sin A=2sin Bcos C， 所以sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C， 所以sin(B-C)=0. 又-90°<B-C<90°， 所以B-C=0，所以B=C， 所以△ABC是等腰直角三角形. 24 方法二　在△ABC中，根据正弦定理，===2R(R为△ABC外接圆的半径). 因为sin2A=sin2B+sin2C， 所以=+， 即a2=b2+c2， 所以A=90°，所以B+C=90°， 25 由sin A=2sin Bcos C， 得sin 90°=2sin Bcos(90°-B)， 所以sin2B=. 因为B是锐角，所以sin B=， 所以B=45°，C=45°， 所以△ABC是等腰直角三角形. 26 若将题设中的“sin A=2sin Bcos C”改为“bsin B=csin C”，其余不变，试解答本题. 由正弦定理，===2R(R为△ABC外接圆的半径)， 得sin A=，sin B=，sin C=. 因为bsin B=csin C，sin2A=sin2B+sin2C， 所以b·=c·， =+， 所以b2=c2，a2=b2+c2， 所以b=c，A=90°.所以△ABC为等腰直角三角形. 延伸探究 27 反 思 感 悟 判断三角形形状的方法及注意事项 (1)利用正弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系，通过因式分解、配方等得出边(或角)的相应关系，从而判断三角形的形状. (2)统一成边(或角)的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解. (1)在△ABC中，已知3b=2asin B，且cos B=cos C，角A是锐角，则△ABC的形状是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 跟踪训练 2 由3b=2asin B，得===，即sin A=.又角A是锐角，所以A=60°.又cos B=cos C，且B，C都为三角形的内角，所以B=C.故△ABC为等边三角形. √ 29 (2)在△ABC中，已知2acos B=c，sin Asin B(2-cos C)=sin2+，则△ABC为 A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.锐角非等边三角形 D.钝角三角形 √ 30 由正弦定理，得2sin Acos B=sin C， 在△ABC中，A+B+C=π， ∴sin C=sin(A+B)， ∴2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B， 整理得sin Acos B=cos Asin B， ∴tan A=tan B，又A，B∈(0，π)，∴A=B. 31 ∵sin Asin B(2-cos C)=sin2+， ∴sin Asin B=sin2+， ∴sin Asin B=·， ∴sin Asin B=， ∴sin A=sin B=，∴A=B=， 又A+B+C=π，∴C=， ∴△ABC为等腰直角三角形. 32 三 利用正弦定理证明有关问题 (课本例6)如图所示，在△ABC中，已知∠BAC的角平分线AD与边BC相交于点D，求证：=. 例 3 如图，设∠ADB=α，∠BAD=β，则由题意可知∠ADC=π-α，∠CAD=β. 在△ABD和△ADC中，分别应用正弦定理， 可得=，==， 两式相除即可得=. 34 在△ABC中，求证：=. 例 3 ∵左边=== == ===右边， ∴原等式成立. 35 反 思 感 悟 对于三角形中含有边角关系的证明问题，往往利用正弦定理实现边与角的转化，有时角化边，有时边化角，再利用三角恒等变换，使问题得以解决. 在△ABC中，求证：=(C≠90°). 跟踪训练 3 因为===2R(R为△ABC的外接圆半径)， 所以左边= = ===右边. 所以等式成立. 37 1.知识清单： (1)三角形解的个数的判断. (2)利用正弦定理判断三角形的形状. (3)正弦定理在有关证明中的应用. 2.方法归纳：化归转化、数形结合. 3.常见误区：利用正弦定理进行边和角的正弦相互转化时易出现非等价变形. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.在△ABC中，若sin A=sin C，则△ABC是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 √ 由sin A=sin C及正弦定理，知a=c， 故△ABC为等腰三角形. 1 2 3 4 2.在△ABC中，A=60°，a=，b=4，则满足条件的△ABC A.有一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定 √ 由正弦定理得=. ∴sin B=>1， ∴角B不存在，即三角形无解. 3.在△ABC中，已知sin B=2sin C，BC=6，角A的内角平分线交BC于点D，则BD=　　　　.  1 2 3 4 因为AD为角平分线，所以由sin∠BAD=sin∠CAD，得=. 又=，sin B=2sin C，所以==，从而BD=DC， 即BD=BC=×6=2. 2 1 2 3 4 4.在△ABC中， a=5，b=5，A=30°，则B=　　　　　　.  由正弦定理=， 得sin B==. ∵b>a，∴B>A，且0°<B<180°， ∴B=60°或B=120°. 课时对点练 五 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A D AB D C ACD 1 题号 8 11 12 13 14 　15 答案 C C 　ABD 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 由-=-及正弦定理， 得-=-， 则-=. 所以sin B-sin A=sin Ccos A-sin Ccos B， 所以sin(A+C)-sin(B+C)=sin Ccos A-sin Ccos B， 则sin Acos C-sin Bcos C=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 9. 当cos C=0时，等式成立，此时C=. 当cos C≠0时，有sin A=sin B. 因为0<A<π，0<B<π，所以A=B. 故△ABC为等腰三角形或直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 10. 设==k，且k≠0， 则a=ksin A，b=ksin B， ∴左边=k2sin2A·sin 2B+k2sin2B·sin 2A =2k2sin A·sin B·(sin A·cos B+sin B·cos A)=2k2sin A·sin B·sin(A+B). 又∵在△ABC中，A+B=π-C， ∴左边=2(ksin A)(ksin B)·sin C=2ab·sin C=右边， 即a2sin 2B+b2sin 2A=2absin C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16. 因为A+B+C=π， 所以sin B=sin(A+C)， 所以sin B-sin(A-C)=(sin Acos C+cos Asin C)-(sin Acos C-cos Asin C) =2cos Asin C=sin C. 因为C∈(0，π)， 所以sin C≠0，所以cos A=. 又A∈(0，π)，所以A=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16. 若选①，由正弦定理得，sin B=sin A=， 所以B=， 若B=，则C=π-A-B=， 所以b==， S△ABC=bcsin A=××3×=. 若B=，则C=π-A-B=， 所以a=c=3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16. S△ABC=acsin B=×3×3×=. 若选②，由正弦定理， 得sin A=sin Ccos B， 因为A+B+C=π， 所以sin A=sin(C+B)=sin Ccos B+cos Csin B， 所以cos Csin B=0，又B∈(0，π)， 所以sin B≠0， 所以cos C=0，C=， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16. 所以b=ccos A=， S△ABC=bcsin A=××3×=. 若选③，由正弦定理， 得csin A=asin C=1， 与c=3，sin A=矛盾， 所以这样的三角形不存在. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 基础巩固 1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若bcos A=acos B，则三角形的形状为 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 √ 由正弦定理化简得sin Bcos A=sin Acos B，即sin Acos B-cos Asin B =sin(A-B)=0，因为A，B都为三角形内角，所以A-B=0， 即A=B，则该三角形为等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 2.在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若B=30°，c=2，b=2，则A等于 A.30° B.60° C.60°或90° D.30°或90° ∵B=30°，c=2，b=2， ∴由正弦定理可得sin C==. 由0°<C<150°，c>b，可得C=60°或C=120°. 又∵A=180°-B-C， ∴A=90°或A=30°. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 3.(多选)下列条件中可以使△ABC有两个解的是 A.b=3，c=4，B=30° B.a=5，b=8，A=30° C.c=6，b=3，B=60° D.c=9，b=12，C=60° √ 对于A，∵csin 30°=2，∴2<b=3<4， 即csin B<b<c， ∴有两解，同理可得B有两解； C有一解； D无解. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C=1∶2∶3，则a∶b∶c等于 A.3∶4∶5 B.5∶4∶3 C.2∶∶1 D.1∶∶2 √ 在△ABC中，因为A∶B∶C=1∶2∶3，所以B=2A，C=3A，又A+B+C=180°，所以A=30°，B=60°，C=90°，所以a∶b∶c= sin A∶sin B∶sin C=sin 30°∶sin 60°∶sin 90°=1∶∶2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 5.已知在△ABC中，A=45°，a=1.若△ABC仅有一解，则b的取值范围为 A.{} B.(，+∞) C.{}∪(0，1] D.{}∪(0，1) √ 已知△ABC中，A=45°，a=1，则过点C作AB边的垂线(图略)，长度可表示为bsin 45°=b.因为△ABC仅有一解，所以a=b或a≥b>0，所以b=a=或0<b≤1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 6.(多选)下列说法正确的是 A.在△ABC中，a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C B.在△ABC中，若sin 2A=sin 2B，则A=B C.在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B；若A>B，则sin A>sin B D.在△ABC中，= √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 对于A，由正弦定理===2R可得， a∶b∶c=2Rsin A∶2Rsin B∶2Rsin C=sin A∶sin B∶sin C，故A正确； 对于B，由sin 2A=sin 2B，可得2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=，故B错误； 对于C，在△ABC中，由正弦定理可得，sin A>sin B⇔a>b⇔A>B，因此A>B是sin A>sin B的充要条件，故C正确； 对于D，由正弦定理===2R， 可得右边==2R=左边，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为a>b，所以A>B，由正弦定理知sin B==，则角B只能是锐角，只能有一个解. 7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=，b=4，a=5，则满足条件的三角形有　　　　个.  1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 8.在△ABC中，lg(sin A+sin C)=2lg sin B-lg(sin C-sin A)，则此三角形的形状是　　　　　　.  ∵lg(sin A+sin C)=lg， ∴sin2C-sin2A=sin2B，结合正弦定理得c2=a2+b2， ∴△ABC为直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 9.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若- =-，试判断△ABC的形状. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由-=-及正弦定理， 得-=-， 则-=. 所以sin B-sin A=sin Ccos A-sin Ccos B， 所以sin(A+C)-sin(B+C) =sin Ccos A-sin Ccos B， 则sin Acos C-sin Bcos C=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 当cos C=0时，等式成立，此时C=. 当cos C≠0时，有sin A=sin B. 因为0<A<π，0<B<π，所以A=B. 故△ABC为等腰三角形或直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 10.在△ABC中，求证：a2sin 2B+b2sin 2A=2absin C. 设==k，且k≠0， 则a=ksin A，b=ksin B， ∴左边=k2sin2A·sin 2B+k2sin2B·sin 2A =2k2sin A·sin B·(sin A·cos B+sin B·cos A) =2k2sin A·sin B·sin(A+B). 又∵在△ABC中，A+B=π-C， ∴左边=2(ksin A)(ksin B)·sin C=2ab·sin C=右边， 即a2sin 2B+b2sin 2A=2absin C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 11.在△ABC中，若==，则△ABC是 A.等边三角形 B.有一内角是30°的直角三角形 C.等腰直角三角形 D.有一内角是30°的等腰三角形 √ 综合运用 在△ABC中，由于====， ∴sin B=cos B，sin C=cos C， ∴B=C=，∴A=， ∴△ABC是等腰直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 66 12.在△ABC中，B=60°，最大边与最小边之比为(+1)∶2，则最大角为 A.45° B.60° C.75° D.90° √ 设C为最大角，则A为最小角，∴A+C=120°， ∴== ==×+=+， ∴=1，即tan A=1. 又∵A为锐角，∴A=45°，C=75°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 13.在△ABC中，若B=30°，AB=2，AC=2，则AB边上的高是　　，S△ABC=　　　　　.  由正弦定理得=，所以sin C===，所以C=60°或C=120°.当C=60°时，A=90°，AB边上的高为2，S△ABC=×2×2=2；当C=120°时，A=30°，AB边上的高为 2sin 30°=1，S△ABC=×2×1=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 14.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足B=60°，c=2的三角形有两解，则b的取值范围为　　　　.  在△ABC中，B=60°，c=2，由正弦定理=，得c=.若此三角形有两解，则必须满足的条件为c>b>csin B，即<b<2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 15.(多选)在△ABC中，若cos∠BAC=，BC=6，BC边上的高为h，满足条件的△ABC的个数为n，则 A.当0<h<4时，n=2 B.当h=4时，n=1 C.当h=2时，n=1 D.当h=2时，n=0 √ 拓广探究 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 作出△ABC的外接圆如图所示，O为外接圆的圆心，连接OA，OB，OC，过O作OD⊥BC，垂足为D.  因为cos∠BAC=，所以sin∠BAC==， 又BC=6，所以△ABC的外接圆半径为 ==， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 又OD===， 所以当AB=AC时，h取得最大值+=4. 对于A，当0<h<4时，由圆的对称性可知，此时n=2，故A正确； 对于B，当h=4时，△ABC是唯一的，故B正确； 对于C，当h=2>4时，n=0，故C错误； 对于D，当h=2>4时，n=0，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16.在①b=a；②a=ccos B；③asin C=1这三个条件中任选一个补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求该三角形的面积；若问题中的三角形不存在，请说明理由. 问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 sin B-sin(A-C)=sin C，c=3，　　　　？  注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为A+B+C=π， 所以sin B=sin(A+C)， 所以sin B-sin(A-C)=(sin Acos C+cos Asin C)-(sin Acos C-cos Asin C) =2cos Asin C=sin C.因为C∈(0，π)， 所以sin C≠0，所以cos A=. 又A∈(0，π)，所以A=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 若选①，由正弦定理得，sin B=sin A=， 所以B=， 若B=，则C=π-A-B=， 所以b==， S△ABC=bcsin A=××3×=. 若B=，则C=π-A-B=， 所以a=c=3， S△ABC=acsin B=×3×3×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 若选②，由正弦定理， 得sin A=sin Ccos B， 因为A+B+C=π， 所以sin A=sin(C+B)=sin Ccos B+cos Csin B， 所以cos Csin B=0，又B∈(0，π)， 所以sin B≠0， 所以cos C=0，C=， 所以b=ccos A=， S△ABC=bcsin A=××3×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 若选③，由正弦定理， 得csin A=asin C=1， 与c=3，sin A=矛盾， 所以这样的三角形不存在. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 第一章 <<< $$