2025年中考数学压轴题专项训练—二次函数之正方形存在性问题

二次函数之正方形存在性问题 一．解答题（共30小题） 1．（2025•扬州模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（3，0），D两点，与y轴交于点B，抛物线的对称轴与x轴交于点C（1，0），点E，P为抛物线的对称轴上的动点． （1）求该抛物线的解析式； （2）当BE+DE最小时，求此时点E的坐标； （3）若点M为对称轴右侧抛物线上一点，且M在x轴上方，N为平面内一动点，是否存在点P，M，N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024秋•澄海区期末）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．连接BC．点P是抛物线第一象限内的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作直线PD⊥x轴于点D，交BC于点E．过点P作BC的平行线，交y轴于点M． （1）求A，B，C三点的坐标，并求出直线BC的函数表达式； （2）在点P的运动过程中，求使四边形CEPM为菱形时，m的值； （3）点N为平面内任意一点，在（2）的条件下，直线PM上是否存在点Q使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2024•无锡）已知二次函数y＝ax2+x+c的图象经过点和点B（2，1）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点C（m+1，y1），D（m+2，y2）都在该二次函数的图象上，试比较y1和y2的大小，并说明理由； （3）点P，Q在直线AB上，点M在该二次函数图象上．问：在y轴上是否存在点N，使得以P，Q，M，N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2024•无锡）已知二次函数y＝a（x﹣1）2+k的图象经过点A（0，﹣3）和点B（3，0）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点C（x1，m）、D（x2，m）都在这个二次函数的图象上，且1≤x1﹣x2≤3，求m的取值范围； （3）若点P、Q在直线AB上，问：在该二次函数图象上是否存在点M、N，使得四边形PQMN是正方形？若存在，请直接写出PQ的长；若不存在，请说明理由． 5．（2024秋•开福区月考）如图，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a≠0）交x轴于点A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3），其顶点为点D． （1）求a的值和顶点D的坐标； （2）在x轴上有一动点M（m，0），若点C、D以M为中心对称的对称点分别是C′、D′，请判断以C、D、C′、D′为顶点的四边形可能是正方形吗？若存在，求出对应的点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若N是直线x＝1上的一动点，把ON绕点N旋转90°，原点O的对应点为O′，若点O′恰好落在抛物线上，请求出所有符合条件的点N的坐标． 6．（2024•绥化三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B两点，顶点坐标为（1，﹣4）． （1）求二次函数的解析式； （2）直线BC与OD相交于点E，当D为抛物线上第四象限内一点且时，求点D的坐标； （3）G为平面内一点，试判断坐标轴上是否存在一点M，使以B，C，M，G为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2024•大同三模）综合与探究 如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，﹣1）和点B（3，3），点P是线段AB上一动点（不与A，B重合），直线l是抛物线的对称轴，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的函数表达式及直线AB的函数表达式． （2）当点P在直线l右侧的线段部分上运动时，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，分别过点P，Q作直线l的垂线，垂足分别为C，D，求四边形PCDQ周长的最大值． （3）若点E是抛物线上一点，平面内是否存在点F，使得以点A，E，F，P为顶点的四边形是正方形时，若存在，请直接写出所有满足条件的点F的坐标．若不存在，请说明理由． 8．（2024•汉台区二模）如图，抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（2，0）两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点N在坐标平面内，请问在抛物线上是否存在点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点H，使得四边形AHMN是正方形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2024•榆林二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a＜0）与y轴交于点C，与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点D是第二象限抛物线上的动点，DE∥x轴，交直线BC于点E，点G在x轴上，点F在坐标平面内．是否存在点D，使以D，E，F，G为顶点的四边形是正方形？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2024•新余模拟）已知抛物线C1：y＝ax2﹣4ax﹣3（a≠0） （1）当a＝1时，求抛物线C1的顶点坐标． （2）无论a为何值，直线y＝m与抛物线C1相交所得的线段EF（点E在点F左侧）的长度都不变，求m的值和EF的长； （3）在（2）的条件下，将抛物线C1沿直线y＝m翻折，得到抛物线C2，抛物线C1，C2的顶点分别记为P，Q．是否存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 11．（2024•碑林区校级一模）如图，抛物线的对称轴l与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求点A、B的坐标； （2）C为该抛物线上的一个动点，点D为点C关于直线l的对称点（点D在点C的左侧），点M在坐标平面内，请问是否存在这样的点C，使得四边形ACMD是正方形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（2023秋•抚州期末）已知抛物线． （1）当a＝1时， ①抛物线C1的顶点坐标为 　 　 ； ②抛物线C1沿x轴翻折得到抛物线C2，则抛物线C2的解析式为 　 　 ； ③抛物线C1沿y轴翻折得到抛物线C3，则抛物线C3的解析式为 　 　 ； （2）无论a为何值，直线y＝m与抛物线C1相交所得的线段AB（点A在点B的左侧）的长度始终不变，求m的值和线段AB的长； （3）在（2）的条件下，将抛物线C1沿直线y＝m翻折得到抛物线C4，抛物线C1，C4的顶点分别记为G，H．是否存在实数a使得以点A，B，G，H为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 13．（2023秋•斗门区期末）【实践探究】 数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程： （1）实践：他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶高离水面6m时，水面宽10m，并画出了拱桥截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式； （2）应用：按规定，船通过拱桥时，顶部与拱桥顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m．一场大雨，让水面上升了0.2m，为了确保安全，问该拱桥能否让宽度为6m、高度为3.2m的货船通过？请通过计算进行说明（货船看作长方体）； （3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条y＝x的直线OF，交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E，提出了以下两个问题，请予解答： ①如图2，B为直线OF上方抛物线上一动点，过B作BA垂直于x轴，交x轴于A，交直线OF于C，过点B作BD垂直于直线OF，交直线OF于D，求BD+CD的最大值． ②如图3，G为直线OF上一动点，过G点作x轴的垂线交抛物线于点H，点P在坐标平面内．问：是否存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出G点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（2023秋•碑林区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，2），连接OA，将线段OA绕着点O逆时针旋转90°，点A的对应点为点B． （1）求经过B，O，A三点的抛物线L的表达式； （2）将抛物线L沿着x轴平移到抛物线L'，在抛物线L'上是否存在点D，使得以B，O，A，D为顶点的四边形为正方形，若存在，求平移的方式；若不存在，说明理由． 15．（2023•石城县模拟）已知二次函数C1：y＝mx2﹣2mx+3（m≠0）． （1）有关二次函数C1的图象与性质，下列结论中正确的有 　 　 .（填序号） ①二次函数C1的图象开口向上； ②二次函数C1的图象的对称轴是直线x＝1； ③二次函数C1的图象经过定点（0，3）和（2，3）； ④函数值y随着x的增大而减小． （2）当m＝1时，①抛物线C1的顶点坐标为 　 　 ； ②将抛物线C1沿x轴翻折得到抛物线C2，则抛物线C2的表达式为 　 　 ； （3）设抛物线C1与y轴相交于点E，过点E作直线l∥x轴，与抛物线C1的另一交点为F，将抛物线C1沿直线l翻折，得到抛物线C3，抛物线C1，C3的顶点分别记为P，Q．是否存在实数m，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 16．（2023•岳阳）已知抛物线Q1：y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B两点，交y轴于点C（0，3）． （1）请求出抛物线Q1的表达式． （2）如图1，在y轴上有一点D（0，﹣1），点E在抛物线Q1上，点F为坐标平面内一点，是否存在点E，F使得四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q2，抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H，抛物线Q1上是否存在点P，使得∠CPK＝∠CHK？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（2023秋•建湖县期末）如图，已知抛物线y＝x2+2x﹣3的图象与坐标轴分别交于A、B、C三点，连接AC，点M是AC的中点，抛物线的对称轴交x轴于点F，作直线FM． （1）直接写出下列各点的坐标：F 　 　 ，M 　 　 ； （2）若点P为直线FM下方抛物线上一动点，过点P作PQ∥y轴，交直线FM于点Q，当△PQM为直角三角形时，求点P的坐标； （3）若点N是x轴上一动点，则在坐标平面内是否存在点E，使以点F、M、N、E为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（2023秋•讷河市期末）综合与探究 如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（1，0），C（0，﹣3），B（n，0），连接AC，点M是AC的中点，抛物线的对称轴交x轴于点F，连接FM． （1）求抛物线的解析式及n的值； （2）点D在抛物线的对称轴上，若△ACD的周长最小，则点D的坐标为 　 　 ； （3）求线段FM的长及∠AFM的度数； （4）若点N是x轴上一动点，则在坐标平面内是否存在点E，使以点F、M、N、E为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（2023•新民市校级模拟）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C，且OA＝2OC，点F是直线AB下方抛物线上的动点，连接FA，FB． （1）求抛物线解析式； （2）当点F与抛物线的顶点重合时，△ABF的面积为 　 　 ； （3）求四边形FAOB面积的最大值及此时点F的坐标． （4）在（3）的条件下，点Q为平面内y轴右侧的一点，是否存在点Q及平面内另一点M，使得以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 20．（2023秋•沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）直线与直线BC交于点E．点M（m，0）是线段AB上的动点，过点M作x轴的垂线，交直线AE于点G，交抛物线于点F，交直线BC于点H． ①若点F在第二象限，且，求m的值； ②在平面内是否存在点P，使得以点E、F、H、P为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（2023•西安校级三模）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及点D的坐标； （2）点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以线段MN为对角线的四边形MPNQ为正方形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 22．（2023•海州区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点P为抛物线上的动点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点D为直线y＝x上的动点，当点P在第四象限时，求四边形PBDC面积的最大值及此时点P的坐标； （3）已知点E为x轴上一动点，点Q为平面内任意一点，是否存在以点P，C，E，Q为顶点的四边形是以PC为对角线的正方形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 23．（2023•顺城区三模）如图，抛物线的对称轴与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，3），C为该抛物线图象上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，当点C在第一象限，且∠BAC＝90°，求tan∠ABC的值； （3）点D在抛物线上（点D在点C的左侧，不与点B重合），点P在坐标平面内，问是否存在正方形ACPD？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（2023•大同模拟）综合与探究： 如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线与x轴交于点D，与y轴交于点E．若M为第一象限内抛物线上一点，过点M且垂直于x轴的直线交DE于点N，连接MC，MD． （1）求抛物线的函数表达式及D，E两点的坐标． （2）当CM＝EN时，求点M的横坐标． （3）G为平面直角坐标系内一点，是否存在点M使四边形MDEG是正方形．若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（2023•碑林区校级模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴交于点A（3，0），B，与y轴交于点C． （1）求c的值及该抛物线的对称轴； （2）若点D在直线AC上，点E是平面内一点．是否存在点E，使得以点A，B，D，E为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 26．（2023•余江区一模）已知抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0） （1）当a＝1时， ①抛物线C1的顶点坐标为 　 　 ． ②将抛物线C1沿x轴翻折得到抛物线C2，则抛物线C2的解析式为 　 　 ． （2）无论a为何值，直线y＝m与抛物线C1相交所得的线段EF（点E在点F左侧）的长度都不变，求m的值和EF的长； （3）在（2）的条件下，将抛物线C1沿直线y＝m翻折，得到抛物线C3，抛物线C1，C3的顶点分别记为P，Q，是否存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出a的值：若不存在，请说明理由． 27．（2023•增城区一模）综合与探究 已知抛物线C1：y＝ax2+bx﹣5（a≠0）． （1）当抛物线经过（﹣1，﹣8）和（1，0）两点时，求抛物线的函数表达式． （2）当b＝4a时，无论a为何值，直线y＝m与抛物线C1相交所得的线段AB（点A在点B的左侧）的长度始终不变，求m的值和线段AB的长． （3）在（2）的条件下，将抛物线C1沿直线y＝m翻折得到抛物线C2，抛物线C1，C2的顶点分别记为G，H．是否存在实数a使得以A，B，G，H为顶点的四边形为正方形？若存在，直接写出a的值；若不存在，请说明理由． 28．（2022秋•高安市期中）综合与探究： 如图，已知一次函数与二次函数y＝x2+mx+n的图象交点为A（﹣1，0），B（4，5）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点C为抛物线对称轴上的一个动点，当AC与BC的和最小时，求C点的坐标； （3）若点D为抛物线位于线段AB下方图象上的一个动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值； （4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 29．（2022秋•斗门区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x+1和抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+1． （1）当抛物线对称轴为直线x＝2时，求其解析式． （2）设（1）中的抛物线与直线y＝x+1交于A、B两点，问该抛物线的对称轴上是否存在点P，使得A、B、P与平面上一点Q构成正方形？若存在求出P点坐标；若不存在，请说明理由． （3）已知点M（m﹣1，m﹣2）、N（2，3）．若抛物线与线段MN有公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围． 30．（2022•东胜区二模）如图，已知抛物线yx2+bx+c与x轴相交于A（﹣6，0），B（1，0），与y轴相交于点C． （1）求该抛物线的表达式； （2）若在x轴上方的抛物线上有一动点P，且△ACP的面积为24，求点P的坐标； （3）直线l⊥AC，垂足为C，直线l上有一点N，在坐标平面内一点M，是否存在以点M、N、A、C为顶点的四边形是正方形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二次函数之正方形存在性问题 参考答案与试题解析 一．解答题（共30小题） 1．（2025•扬州模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（3，0），D两点，与y轴交于点B，抛物线的对称轴与x轴交于点C（1，0），点E，P为抛物线的对称轴上的动点． （1）求该抛物线的解析式； （2）当BE+DE最小时，求此时点E的坐标； （3）若点M为对称轴右侧抛物线上一点，且M在x轴上方，N为平面内一动点，是否存在点P，M，N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3； （2）E（1，2）； （3）存在，M点坐标为（2，3）或（1，2）或（，）． 【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴与x轴交于点C（1，0）， ∴1， ∴b＝﹣2a， ∴y＝ax2﹣2ax+3， 将A（3，0）代入y＝ax2﹣2ax+3， ∴9a﹣6a+3＝0， 解得a＝﹣1， ∴y＝﹣x2+2x+3； （2）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0， 解得x＝﹣1或x＝3， ∴D（﹣1，0）， 令x＝0，则y＝3， ∴B（0，3）， ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， 连接BA交对称轴于点E，连接DE， ∵A、D关于直线x＝1对称， ∴DE＝AE， ∴BE+DE＝AE+BE≥AB， 当A、B、E三点共线时，BE+DE的值最小， ∵OA＝OB＝3， ∴∠OAB＝45°， ∴AC＝CE， ∵AC＝2， ∴CE＝2， ∴E（1，2）； （3）存在点P，M，N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形，理由如下： 设P（1，t）， 当AM为正方形的对角线时，如图2，PM＝PA， 过M点作MG⊥PC交于G， ∵∠MPA＝90°， ∴∠GPM+∠CPA＝90°， ∵∠GPM+∠GMP＝90°， ∴∠CPA＝∠GMP， ∵PM＝AP， ∴△PGM≌△ACP（AAS）， ∴GM＝CP＝t，PG＝AC＝2， ∴M（1+t，t+2）， ∴t+2＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3， 解得t＝﹣2或t＝1， ∵M点在x轴上方， ∴t＝1， ∴M（2，3）； 当∠PAM＝90°时，AM＝AP，如图3， 过A点作AH⊥x轴，过M点作MH⊥AH交于点H， 同理可证△MAH≌△PAC（AAS）， ∴AH＝AC＝2，CP＝MH＝﹣t， ∴M（3+t，2）， ∴2＝﹣（t+3）2+2（t+3）+3， 解得t＝﹣2或t＝﹣2， ∴M（1，2）或（1，2）（舍去）； 当∠PMA＝90°时，PM＝AM，如图4， 过点M作TS∥x轴交对称轴于点T，过点A作AS⊥ST交于点S， 同理可得△MPT≌△AMS（AAS）， ∴TP＝SM，SA＝MT， ∴M（2t，1t）， ∴1t＝﹣（2t）2+2（2t）+3， 解得t＝﹣3或t＝﹣3（舍去）， ∴M（，）； 综上所述：M点坐标为（2，3）或（1，2）或（，）． 2．（2024秋•澄海区期末）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．连接BC．点P是抛物线第一象限内的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作直线PD⊥x轴于点D，交BC于点E．过点P作BC的平行线，交y轴于点M． （1）求A，B，C三点的坐标，并求出直线BC的函数表达式； （2）在点P的运动过程中，求使四边形CEPM为菱形时，m的值； （3）点N为平面内任意一点，在（2）的条件下，直线PM上是否存在点Q使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）；y＝﹣x+3； （2）； （3），． 【解答】解：（1）在y＝﹣x2+2x+3中， 令y＝0，可得﹣x2+3x+3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3． 令x＝0，得：y＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）． 设直线BC的函数表达式为y＝kx+b， 把B（3，0），C（0，3）代入得： ， 解得：， 直线BC的函数表达式为y＝﹣x+3； （2）如图1，作CH⊥PE于点H， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴OB＝OC＝3， ∴△BOC是等腰直角三角形， ∴∠DBE＝45°， ∵PD⊥x轴， ∴∠CEH＝∠BED＝45°， ∴△CEH是等腰直角三角形， ∴， ∵点P（m，﹣m2+2m+3）， ∴点E（m，﹣m+3）， ∴PE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m． ∴CH＝m， ∴． ∵四边形CEPM为菱形， ∴CE＝PE． ∴， 解得或0（舍去）； （3）直线PM上存在点Q使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形；理由如下： 由（2）得：点，， ∴， 设直线PM的解析式为y＝﹣x+a，把点的坐标代入得： ， 解得：， ∴直线PM的解析式为， 当时，， 解得：， 如图2，过点E作EQ⊥PE交直线PM于点Q， ∴点， ∴， ∴PE＝EQ， ∴点； 如图3，过点E作EQ⊥PM于点Q，过点Q作SQ⊥y轴于点S， 由（2）得：∠BED＝45°， ∵PM∥BC， ∴∠BED＝∠DPQ＝45°， ∴△PEQ，△PSQ是等腰直角三角形， ∴此时点Q使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形； ∴， ∴点， 对于， 当时，， ∴点， 综上所述，存在点或，使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形． 3．（2024•无锡）已知二次函数y＝ax2+x+c的图象经过点和点B（2，1）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点C（m+1，y1），D（m+2，y2）都在该二次函数的图象上，试比较y1和y2的大小，并说明理由； （3）点P，Q在直线AB上，点M在该二次函数图象上．问：在y轴上是否存在点N，使得以P，Q，M，N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）时，y1＞y2；时，y1＝y2；时，y1＜y2； （3）存在，或或N（0，﹣5）或N（0，5）或或． 【解答】解：（1）把，B（2，1）代入y＝ax2+x+c得： ， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为； （2）∵C（m+1，y1），D（m+2，y2）都在该二次函数的图象上， ∴y1，y2， ∴y1﹣y2m， 当时，即时，y1＞y2； 当时，即时，y1＝y2； 当时，即时，y1＜y2； （3）设直线AB的函数解析式为y＝kx+e， 把，B（2，1）代入得：， 解得：， ∴直线AB的函数解析式为， 当PQ为正方形的边时， ①∵B（2，1）， ∴， 过点M作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作MG的垂线，垂足为点H，如图1， ∵PQ∥MN，MG∥x轴， ∴∠BOC＝∠NMG， ∴，则MG＝2NG， 设NG＝t，则MG＝2t， ∴M（﹣2t，﹣2t2﹣2t+1）， ∴点N的纵坐标为﹣2t2﹣2t+1+t＝﹣2t2﹣t+1， 即N（0，﹣2t2﹣t+1）， ∵以P，Q，M，N为顶点的四边形是正方形， ∴∠PMN＝90°，PM＝MN， ∴∠PMH+∠NMG＝90°， ∵∠PMH+∠MPH＝90°， ∴∠NMG＝∠MPH， ∵∠NMG＝∠MPH，∠H＝∠MGN，PM＝MN， ∴△PHM≌△MGN， ∴PH＝MG＝2t，HM＝NG＝t， ∴P（﹣3t，﹣2t2+1）， 把P（﹣3t，﹣2t2+1）代入得：， 解得：，（舍去）， ∴； ②如图2：构造Rt△MQG，Rt△NMH， 和①同理可得：△MQG≌△NMH，， 设NH＝GM＝2t，则QG＝MH＝t， ∴M（2t，﹣2t2+2t+1），N（0，﹣2t2+t+1），Q（t，﹣2t2+4t+1）， 把Q（t，﹣2t2+4t+1）代入得：， 解得：（舍去）， ∴N（0，﹣5）； ③如图3：构造Rt△GMN，Rt△HPM， 和①同理可得：△GMN≌△HPM，， 设GN＝HM＝2t，则GM＝HP＝t， ∴M（﹣2t，﹣2t2﹣2t+1），N（0，﹣2t2﹣t+1），P（﹣t，﹣2t2﹣4t+1）， 把P（﹣t，﹣2t2﹣4t+1）代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ④如图4：构造Rt△GMN，Rt△HNP， 和①同理可得：△GMN≌△HNP，， 设GM＝HN＝2t，则GN＝HP＝t， ∴M（2t，﹣2t2+2t+1），N（0，﹣2t2+t+1），P（t，﹣2t2﹣t+1）， 把P（t，﹣2t2﹣t+1）代入得：， 解得：，（舍去）， ∴； 当PQ为正方形对角线时， ⑤如图5：构造矩形HGJI，过点P作PK⊥IJ于点K， ∴PK∥x轴， ∴∠QPK＝∠BOC， ∴， 设QK＝x，则PK＝2x， 和①同理可得：△PNH≌△MPG≌△QMJ≌△NQI， ∴HN＝PG＝MJ＝IQ，PH＝GM＝QJ＝NI， ∴四边形HGJI为正方形， ∴PK＝IJ＝2x， ∴，则， ∴， 设PG＝HN＝t，则PH＝GM＝3t， ∴M（2t，﹣2t2+2t+1），N（0，﹣2t2+6t+1），P（﹣t，﹣2t2+3t+1）， 把P（﹣t，﹣2t2+3t+1）代入得：， 解得：（舍去）， ∴N（0，5）； ⑥如图6：构造Rt△PMH，Rt△NPG， 同理可得：， 设PG＝HM＝t，则PH＝GN＝3t， ∴M（﹣2t，﹣2t2﹣2t+1），N（0，﹣2t2﹣6t+1），P（﹣3t，﹣2t2﹣5t+1）， 把P（﹣3t，﹣2t2﹣5t+1）代入得：， 解得：（舍去）， ∴； 综上：或或N（0，﹣5）或N（0，5）或或． 4．（2024•无锡）已知二次函数y＝a（x﹣1）2+k的图象经过点A（0，﹣3）和点B（3，0）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点C（x1，m）、D（x2，m）都在这个二次函数的图象上，且1≤x1﹣x2≤3，求m的取值范围； （3）若点P、Q在直线AB上，问：在该二次函数图象上是否存在点M、N，使得四边形PQMN是正方形？若存在，请直接写出PQ的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3； （2）； （3）或9． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3； （2）由题意得：， ∵点C（x1，m）、D（x2，m）都在这个二次函数的图象上， 则（x1+x2）＝1， ∴x1+x2＝2， 设x1﹣x2＝b，则1≤b≤3， 由得， 则， ∵1≤b≤3， ∴； （3）∵PQMN是正方形，设正方形的边长为m， 当MN在AB下方时， 由点A、B的坐标知，直线AB和x轴的夹角为45°，设直线MN交y轴于点T，作AG⊥MN于点G， 则ATAGm， 故设直线MN的表达式为：y＝x﹣3﹣m（m＞0）， 联立上式和抛物线的表达式得：x2﹣2x﹣3＝x﹣3﹣m， 则x1+x2＝3，x1x2＝m， 则（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝9﹣4m， ∵直线MN和x轴的夹角为45°，则MN|x1﹣x2|m， 即2（9﹣4m）m2， 解得：m＝﹣18（舍去）或2， 则PQm； 当MN在AB上方时， 同理可得：2（9+4m）m2， 解得：m＝18或﹣2（舍去）， 则PQ＝9； 故PQ的长度为：或9． 5．（2024秋•开福区月考）如图，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a≠0）交x轴于点A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3），其顶点为点D． （1）求a的值和顶点D的坐标； （2）在x轴上有一动点M（m，0），若点C、D以M为中心对称的对称点分别是C′、D′，请判断以C、D、C′、D′为顶点的四边形可能是正方形吗？若存在，求出对应的点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若N是直线x＝1上的一动点，把ON绕点N旋转90°，原点O的对应点为O′，若点O′恰好落在抛物线上，请求出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】（1）a＝﹣1，D（2，1） （2）以C、D、C′、D′为顶点的四边形可能是正方形；M（﹣1，0） （3）点N的坐标为或或或． 【解答】解：（1）将点C（0，﹣3）代入解析式得，3a＝﹣3， 解得a＝﹣1， ∴y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1， ∴点D（2，1）； （2）以C、D、C′、D′为顶点的四边形可能是正方形；理由如下， ∵点M（m，0）在x轴上， ∴点C′只能在x轴上方，点D′只能在x轴下方， 则四边形只能为CDC′D′，即对角线CC′和DD′相等，且关于点M对称， ∴CM＝C′M，DM＝D′M， ∵四边形CDC′D′为正方形， ∴CM＝C′M＝DM＝D′M， ∴CM2＝DM2， 即m2+32＝（m﹣2）2+1， 解得m＝﹣1， 故存在点M使得以C、D、C′、D′为顶点的四边形是正方形，点M（﹣1，0）； （3）点N的坐标为或或或；理由如下： 令y＝0，则﹣x2+4x﹣3＝0， 解得x＝1或x＝3， ∴点A（1，0），B（3，0）， ①当把ON绕点N逆时针旋转 90°，原点O的对应点为O′， ∴ON＝O′N，∠ONO′＝90°， 连接OO′，过点O′作O′E⊥AN，如图1， 则△ONO′为等腰直角三角形，∠NEO′＝90°， ∵∠O′NE+∠NO′E＝∠O′NE+∠ONA＝90°， ∴∠NO′E＝∠ONA， ∴△NO′E≌△ONA（AAS）， 则NE＝OA，O′E＝NA， 设N（1，n），则点O′（n+1，n﹣1）， ∵点 O′恰好落在抛物线上， ∴﹣（n+1）2+4（n+1）﹣3＝n﹣1，化简得n2﹣n﹣1＝0， 解得， 那么，，； ②当把ON绕点N顺时针旋转 90°，原点O的对应点为O′， ∴ON＝O′N，∠ONO′＝90°， 过点O′作O′F⊥AN，如图2， 同理可证△NO′F≌△ONA， 则NF＝OA，O′F＝NA， 设N（1，n），则点O′（1﹣n，n+1）， ∵点 O′恰好落在抛物线上， ∴﹣（1﹣n）2+4（1﹣n）﹣3＝n+1，化简得n2+3n+1＝0， 解得， 那么，，； 综上，所有符合条件的点N的坐标为或或或． 6．（2024•绥化三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B两点，顶点坐标为（1，﹣4）． （1）求二次函数的解析式； （2）直线BC与OD相交于点E，当D为抛物线上第四象限内一点且时，求点D的坐标； （3）G为平面内一点，试判断坐标轴上是否存在一点M，使以B，C，M，G为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3； （2）D（1，﹣4）或（2，﹣3）； （3）存在，（﹣3，0）或（0，3）或（3，﹣3）． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0），（1，﹣4）代入y＝ax2+bx﹣3， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）如图，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，交CB于点P， 当y＝x2﹣2x﹣3＝0时， 解得x1＝3，x2＝﹣1， ∴B（3，0）， 当x＝0时，得y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， 设直线BC解析式为y＝mx+n， 代入B（3，0），C（0，﹣3）， 得， 解得， ∴直线BC解析式为y＝x﹣3， 设D（t，t2﹣2t﹣3），则P（t，t﹣3）， ∴DP＝t﹣3﹣t2+2t+3＝﹣t2+3t， ∵DF∥OC， ∴△DEP∽△OEC， ∴， ∴， 解得t＝1或t＝2， ∴D（1，﹣4）或（2，﹣3）； （3）∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴OB＝OC， ∵∠BOC＝90°， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， 根据题意分三种情况： ①如图，过点B作BM⊥CB交y轴于点M，过点M作MG⊥BM交x轴于点G， 此时四边形BMGC是矩形， ∵∠OCB＝45°，∠CBM＝90°， ∴∠OCB＝∠BMO＝45°， ∴BC＝BM， ∴四边形BMGC是正方形， ∴OG＝OB＝3， ∴G（﹣3，0）； ②如图，过点C作CM⊥CB交x轴于点M，过点M作MG⊥CM交y轴于点G， 同①可得四边形CMGB是正方形，OG＝OC＝3， ∴G（0，3）； ③如图，∵△BOC是等腰直角三角形， ∴点M与点O重合， ∴作点O关于直线BC的对称点G， ∴四边形OBGC是正方形， ∴OB＝BG＝3， ∴G（3，﹣3）， 综上，存在，（﹣3，0）或（0，3）或（3，﹣3）． 7．（2024•大同三模）综合与探究 如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，﹣1）和点B（3，3），点P是线段AB上一动点（不与A，B重合），直线l是抛物线的对称轴，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的函数表达式及直线AB的函数表达式． （2）当点P在直线l右侧的线段部分上运动时，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，分别过点P，Q作直线l的垂线，垂足分别为C，D，求四边形PCDQ周长的最大值． （3）若点E是抛物线上一点，平面内是否存在点F，使得以点A，E，F，P为顶点的四边形是正方形时，若存在，请直接写出所有满足条件的点F的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣3，直线AB的函数表达式为y＝x； （2）最大值为； （3）点F的坐标为或（3，﹣1）或（﹣1，2）． 【解答】解：（1）将点A（﹣1，﹣1）和点B（3，3）代入y＝x2+bx+c得 ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣3， 设直线AB的函数表达式为y＝kx+n， ∴， 解得， ∴直线AB的函数表达式为y＝x； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点P的横坐标为m， ∴点P的坐标为（m，m），点Q的坐标为（m，m2﹣m﹣3）， ∴CD＝PQ＝m﹣m2+m+3＝﹣m2+2m+3，， ∴四边形PCDQ周长为， ∵﹣2＜0， ∴当时，四边形PCDQ周长有最大值， 最大值为； （3）解：当AEPF为正方形时，如图， ∵点A（﹣1，﹣1）和点B（3，3）， ∴∠BAE＝45°， ∴点E与点A（﹣1，﹣1）关于对称轴对称， ∴点E（2，﹣1）， ∴点P（2，2）， ∴点F的坐标为（﹣1，2）； 当APFE为正方形时，如图，设正方形的中心为点G， ∵∠PAG＝45°，∠PAE＝90°， ∴PE∥y， ∴点P的坐标为（m，m），点E的坐标为（m，m2﹣m﹣3）， ∴PG＝m+1，GE＝﹣1﹣m2+m+3＝﹣m2+m+2， ∵PG＝GE， ∴﹣m2+m+2＝m+1，即m2＝1，解得m＝±1， ∴点P的坐标为（1，1），点G的坐标为（1，﹣1）， ∴点F的坐标为（3，﹣1）； 当APEF为正方形时，如图，设正方形的中心为点G， 显然点E与点A（﹣1，﹣1）关于对称轴对称， ∴点F的坐标为； 综上，点F的坐标为或（3，﹣1）或（﹣1，2）． 8．（2024•汉台区二模）如图，抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（2，0）两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点N在坐标平面内，请问在抛物线上是否存在点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点H，使得四边形AHMN是正方形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣2x2+2x+4； （2）存在，点M（，）或（，）． 【解答】解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：y＝﹣2（x+1）（x﹣2）＝﹣2x2+2x+4； （2）存在，理由： 设点M（m，﹣2m2+2m+4）， 当四边形AHMN是正方形，则AH＝MH， 而AH＝|﹣1﹣m|， MH＝|﹣2m2+2m+4|＝AH＝|﹣1﹣m|， 解得：m＝﹣1（舍去）或或， 则点M（，）或（，）． 9．（2024•榆林二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a＜0）与y轴交于点C，与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点D是第二象限抛物线上的动点，DE∥x轴，交直线BC于点E，点G在x轴上，点F在坐标平面内．是否存在点D，使以D，E，F，G为顶点的四边形是正方形？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2+x+2； （2）点D的坐标为（，）或（，）． 【解答】解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2）＝a（x2﹣x﹣2）＝ax2+bx+2， 则﹣2a＝2， 解得：a＝﹣1， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2； （2）∵B（2，0），C（0，2）， 设直线BC的解析式为：y＝kx+2， 将B（2，0）代入得：2k+2＝0， ∴k＝﹣1， ∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+2， 设D（t，﹣t2+t+2）， 分两种情况： ①当DE为边时，设E（n，﹣n+2）， 如图2，四边形GDFE是正方形， ∴DE＝GD＝EF， ∴， 解得：t1＝2（舍），t2， ∴D（，）； ②当DE为对角线时，如图3，过点D作DH⊥x轴于H，则DE＝2DH， ∴DE＝﹣2t2+2t+4， ∴E（﹣2t2+2t+4+t，﹣t2+t+2）， ∵点E在直线y＝﹣x+2上， ∴﹣t2+t+2＝2t2﹣3t﹣4+2， 解得：t或2（舍去）， ∴D（，）， 综上，点D的坐标为（，）或（，）． 10．（2024•新余模拟）已知抛物线C1：y＝ax2﹣4ax﹣3（a≠0） （1）当a＝1时，求抛物线C1的顶点坐标． （2）无论a为何值，直线y＝m与抛物线C1相交所得的线段EF（点E在点F左侧）的长度都不变，求m的值和EF的长； （3）在（2）的条件下，将抛物线C1沿直线y＝m翻折，得到抛物线C2，抛物线C1，C2的顶点分别记为P，Q．是否存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线C1的顶点坐标为（2，﹣7）； （2）m＝﹣3，EF＝4； （3）存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形，a＝±． 【解答】解：（1）当a＝1时，抛物线C1：y＝x2﹣4x﹣3＝（x﹣2）2﹣7， ∴抛物线C1的顶点坐标为（2，﹣7）； （2）∵y＝ax2﹣4ax﹣3＝ax（x﹣4）﹣3， ∴抛物线C1过定点（0，﹣3）及（4，﹣3）， ∴当m＝﹣3时，直线y＝﹣3与抛物线C1相交所得的线段EF的长度都不变， 此时E（0，﹣3），F（4，﹣3）， ∴EF＝4； （3）存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形，理由如下： 设抛物线抛物线C2上任意一点（x，y）， ∵点（x，y）关于y＝﹣3的对称点为（x，﹣6﹣y）， 把（x，﹣6﹣y）代入y＝ax2﹣4ax﹣3得：﹣6﹣y＝ax2﹣4ax﹣3， ∴抛物线C2的解析式为y＝﹣ax2+4ax﹣3＝﹣a（x﹣2）2+4a﹣3， ∴Q（2，4a﹣3）， ∵y＝ax2﹣4ax﹣3＝a（x﹣2）2﹣4a﹣3， ∴P（2，﹣4a﹣3）， ∴PQ∥y轴， 而EF⊥y轴， ∴EF⊥PQ， 根据题意可得EF与PQ为正方形的对角线， ∴EF＝4＝PQ， ∴4＝|（4a﹣3）﹣（﹣4a﹣3）|， ∴a＝±． 11．（2024•碑林区校级一模）如图，抛物线的对称轴l与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求点A、B的坐标； （2）C为该抛物线上的一个动点，点D为点C关于直线l的对称点（点D在点C的左侧），点M在坐标平面内，请问是否存在这样的点C，使得四边形ACMD是正方形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）A（1，0），B（0，﹣3）； （2）存在这样的点C，使得四边形ACMD是正方形，点C的坐标为或． 【解答】解：（1）∵， ∴A（1，0）， 当x＝0时，y＝﹣3， ∴B（0，﹣3）． （2）存在，理由如下： 由题意四边形ACMD是正方形，则△ACD是以点A为直角顶点的等腰直角三角形． 设， ①当M在x轴下方时，如图1，过点C作CE⊥x轴于E，此时△ACE是等腰直角三角形， ∴AE＝CE， ∴， ∴（舍去），， 此时． ②当M在x轴上方时，如图2，过点C作CF⊥x轴于F， 同理可得：CF＝AF， ∴， ∴，（舍去）， ∴此时． 综上所述，存在这样的点C，使得四边形ACMD是正方形，此时点C的坐标为或． 12．（2023秋•抚州期末）已知抛物线． （1）当a＝1时， ①抛物线C1的顶点坐标为 　（﹣2，﹣9）　 ； ②抛物线C1沿x轴翻折得到抛物线C2，则抛物线C2的解析式为 　y＝﹣x2﹣4x+5　 ； ③抛物线C1沿y轴翻折得到抛物线C3，则抛物线C3的解析式为 　y＝x2﹣4x﹣5　 ； （2）无论a为何值，直线y＝m与抛物线C1相交所得的线段AB（点A在点B的左侧）的长度始终不变，求m的值和线段AB的长； （3）在（2）的条件下，将抛物线C1沿直线y＝m翻折得到抛物线C4，抛物线C1，C4的顶点分别记为G，H．是否存在实数a使得以点A，B，G，H为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①（﹣2，﹣9）； ②y＝﹣x2﹣4x+5； ③y＝x2﹣4x﹣5； （2）AB＝4； （3）存在，a＝±． 【解答】解：（1）①当a＝1时，y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9， ∴顶点为（﹣2，﹣9）， 故答案为：（﹣2，﹣9）； ②设抛物线C2上任意一点（x，y），则点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，﹣y）， ∴﹣y＝x2+4x﹣5， ∴y＝﹣x2﹣4x+5， 故答案为：y＝﹣x2﹣4x+5； ③设抛物线C3上任意一点（x，y），则点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（﹣x，y）， ∴y＝（﹣x）2+4（﹣x）﹣5， ∴y＝x2﹣4x﹣5， 故答案为：y＝x2﹣4x﹣5； （2）由ax2+4ax﹣5＝m， ∴xA+xB＝﹣4，xA•xB， ∴AB＝|xA﹣xB|， ∵线段AB的长度不变， ∴20+4m＝0， 解得m＝﹣5， ∴AB＝4； （3）存在实数a使得以点A，B，G，H为顶点的四边形为正方形，理由如下： ∵y＝ax2+4ax﹣5＝a（x+2）2﹣4a﹣5， ∴G（﹣2，﹣4a﹣5）， 设抛物线C4上任意一点（x，y），则点（x，y）关于y＝﹣5对称的点的坐标为（x，﹣10﹣y）， ∴﹣10﹣y＝ax2+4ax﹣5， ∴抛物线C4的解析式为y＝﹣ax2﹣4ax﹣5＝﹣a（x+2）2+4a﹣5， ∴H（﹣2，4a﹣5）， ∵AB∥x轴，GH⊥x轴， ∴AB、GH为正方形的对角线， ∴AB＝GH， ∴|4a﹣5+4a+5|＝4， 解得a＝±． 13．（2023秋•斗门区期末）【实践探究】 数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程： （1）实践：他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶高离水面6m时，水面宽10m，并画出了拱桥截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式； （2）应用：按规定，船通过拱桥时，顶部与拱桥顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m．一场大雨，让水面上升了0.2m，为了确保安全，问该拱桥能否让宽度为6m、高度为3.2m的货船通过？请通过计算进行说明（货船看作长方体）； （3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条y＝x的直线OF，交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E，提出了以下两个问题，请予解答： ①如图2，B为直线OF上方抛物线上一动点，过B作BA垂直于x轴，交x轴于A，交直线OF于C，过点B作BD垂直于直线OF，交直线OF于D，求BD+CD的最大值． ②如图3，G为直线OF上一动点，过G点作x轴的垂线交抛物线于点H，点P在坐标平面内．问：是否存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出G点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为y（x﹣5）2+6； （2）船不能通过； （3）①BD+CD的最大值为； ②存在，G（5，5）或（5，5）或（10，10）或（，）． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣5）2+6， 当x＝0时，25a+6＝0， 解得a， ∴抛物线的解析式为y（x﹣5）2+6； （2）∵船的宽为6m， ∴10﹣6＝4（m）， 当x＝2时，y9+6＝3.84， ∵3.2+0.2+0.5＝3.9＞3.84， ∴船不能通过； （3）①∵y（x﹣5）2+6， ∴抛物线的对称轴为直线x＝5， ∴E（5，5）， ∴∠EOA＝45°， ∵BD⊥OE，AB⊥OA， ∴∠BCD＝45°，∠BDC＝90°， ∴BD＝CDBC， 设B（t，（t﹣5）2+6），则C（t，t）， ∴BCt2t（t）2， 当t时，BC的最大值为， ∴BD+CD的最大值为； ②存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形，理由如下： 由①可得∠EGH＝45°， ∴△EGH是等腰直角三角形， 当∠EHG＝90°时，HG＝HE， ∵E（5，5）， ∴H点的纵坐标为5， ∴5（x﹣5）2+6， 解得x5或x5， ∵G点在直线OF上， ∴G（5，5）或（5，5）； 当∠HEG＝90°时， ∵∠AGE＝45°， ∴EMHG， 设H（m，m2m），G（m，m）， ∴2（5﹣m）m2m﹣m， 解得m＝10或m， ∴G（10，10）或（，）； 综上所述：G点坐标为（5，5）或（5，5）或（10，10）或（，）． 14．（2023秋•碑林区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，2），连接OA，将线段OA绕着点O逆时针旋转90°，点A的对应点为点B． （1）求经过B，O，A三点的抛物线L的表达式； （2）将抛物线L沿着x轴平移到抛物线L'，在抛物线L'上是否存在点D，使得以B，O，A，D为顶点的四边形为正方形，若存在，求平移的方式；若不存在，说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为； （2）抛物线L可向右平移个单位长度得到抛物线L′，在抛物线L'上存在点D，使得以B，O，A，D为顶点的四边形为正方形， 或抛物线L可向左平移个单位长度得到抛物线L′，在抛物线L'上存在点D，使得以B，O，A，D为顶点的四边形为正方形． 【解答】解：（1）将线段OA绕着点O逆时针旋转90，得到线段OB，分别过A、B作AN⊥x轴，BM⊥x轴，垂足分别为N、M， ∵∠BOM+∠AON＝90°，∠OAN+∠AON＝90°， ∴∠BOM＝∠OAN， ∵OB＝OA，∠BMO＝∠ONA＝90°， ∴△BOM≌△OAN（AAS）， ∴OM＝AN＝2，BM＝ON＝4， ∴点B的坐标为（﹣2，4）， 设抛物线L的表达式为y＝ax2+bx+c，代入A（4，2），B（﹣2，4），O（0，0）， 得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）存在点D，使得以B，O，A，D为顶点的四边形为正方形， 过点D作直线平行于x轴，分别过点A、B作AM、BN垂直于该直线，垂足为M、N， 设点D的坐标为（m，n）， AM＝n﹣2，DM＝4﹣m，BN＝n﹣4，DN＝m+2， 同理证明△BDN≌△DAM（AAS）， ∴AM＝DN，BN＝DM， ∴，解得， ∴点D的坐标为（2，6）， 抛物线L整理得， 由抛物线L沿着x轴平移到抛物线L'，设L′的解析式为， 把D（2，6）代入，得， 解得，， 得抛物线L可向右平移个单位长度得到抛物线L′，在抛物线L'上存在点D，使得以B，O，A，D为顶点的四边形为正方形， 或抛物线L可向左平移个单位长度得到抛物线L′，在抛物线L'上存在点D，使得以B，O，A，D为顶点的四边形为正方形． 15．（2023•石城县模拟）已知二次函数C1：y＝mx2﹣2mx+3（m≠0）． （1）有关二次函数C1的图象与性质，下列结论中正确的有 　②③　 .（填序号） ①二次函数C1的图象开口向上； ②二次函数C1的图象的对称轴是直线x＝1； ③二次函数C1的图象经过定点（0，3）和（2，3）； ④函数值y随着x的增大而减小． （2）当m＝1时，①抛物线C1的顶点坐标为 　（1，2）　 ； ②将抛物线C1沿x轴翻折得到抛物线C2，则抛物线C2的表达式为 　y＝﹣x2+2x﹣3　 ； （3）设抛物线C1与y轴相交于点E，过点E作直线l∥x轴，与抛物线C1的另一交点为F，将抛物线C1沿直线l翻折，得到抛物线C3，抛物线C1，C3的顶点分别记为P，Q．是否存在实数m，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当m＞0时，抛物线y＝mx2﹣2mx+3的开口向上，故①不一定正确； 抛物线y＝mx2﹣2mx+3的对称轴为直线x1，故②正确； 在y＝mx2﹣2mx+3中，x＝0时y＝3，x＝2时y＝3，即抛物线y＝mx2﹣2mx+3经过定点（0，3）和（2，3），故③正确； 二次函数y＝mx2﹣2mx+3的值在对称轴x＝1两侧的增减性恰好相反，故④不正确； 故答案为：②③； （2）当m＝1时，y＝x2﹣2x+3， ①∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， ∴抛物线C1的顶点坐标为（1，2）， 故答案为：（1，2）； ②∵将抛物线C1沿x轴翻折得到抛物线C2， ∴抛物线C2的顶点为（1，﹣2）， ∴抛物线C2的表达式为y＝﹣（x﹣1）2﹣2＝﹣x2+2x﹣3， 故答案为：y＝﹣x2+2x﹣3； （3）存在实数m，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形，理由如下： 如图： 在y＝mx2﹣2mx+3中，令x＝0得y＝3， ∴E（0，3）， ∵抛物线y＝mx2﹣2mx+3的对称轴为直线x＝1， ∴F（2，3）， 在y＝mx2﹣2mx+3中，令x＝1得y＝3﹣m， ∴P（1，3﹣m）， ∵P，Q关于直线y＝3对称， ∴Q（1，3+m）， 由对称性知EF，PQ互相平分，且EF⊥PQ， ∴以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形，只需PQ＝EF， ∴|（3+m）﹣（3﹣m）|＝2， 解得m＝1或m＝﹣1， ∴m的值为1或﹣1． 16．（2023•岳阳）已知抛物线Q1：y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B两点，交y轴于点C（0，3）． （1）请求出抛物线Q1的表达式． （2）如图1，在y轴上有一点D（0，﹣1），点E在抛物线Q1上，点F为坐标平面内一点，是否存在点E，F使得四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q2，抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H，抛物线Q1上是否存在点P，使得∠CPK＝∠CHK？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3． （2）存在，E（﹣2，3），F（1，2）． （3）点P的坐标为（1，0）或（﹣2，3）． 【解答】解：（1）∵抛物线Q1：y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣3，0），C（0，3）两点， ∴， 解得：， ∴抛物线Q1的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3． （2）存在点E，F使得四边形DAEF为正方形． 理由： 如图1，过点E作EG⊥x轴于点G，则∠AGE＝90°＝∠AOD， ∵A（﹣3，0），D（0，﹣1）， ∴OA＝3，OD＝1， ∵四边形DAEF是正方形， ∴AE＝AD＝DF，∠DAE＝∠ADF＝90°， ∵∠EAG+∠DAO＝90°，∠DAO+∠ADO＝90°， ∴∠EAG＝∠ADO， ∴△EAG≌△ADO（AAS）， ∴AG＝OD＝1，EG＝OA＝3， ∴E（﹣2，3）， 当x＝﹣2时，y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3， ∴点E在抛物线上， 过点F作FL⊥y轴于点L， 同理，△DFL≌△ADO（AAS）， ∴FL＝OD＝1，DL＝OA＝3， ∴OL＝DL﹣OD＝3﹣1＝2， F（1，2）． （3）抛物线Q1上存在点P，使得∠CPK＝∠CHK． ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线Q1的顶点坐标为（﹣1，4）， ∵将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q2， ∴抛物线Q2的解析式为y＝﹣（x+1﹣2）2+4＝﹣（x﹣1）2+4， ∵抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H， ∴K（1，4），H（3，0）， 过点K作KT⊥y轴于点T，连接BC，如图2，过点C作PS⊥y轴交BK于点S，交抛物线Q1于点P，连接PK， 则T（0，4）， ∴KT＝TC＝1，∠KTC＝90°， ∴△CKT是等腰直角三角形， ∴∠KCT＝45°，CKKT， ∵OH＝OC＝3，∠COH＝90°， ∴△COH是等腰直角三角形， ∴∠HCO＝45°，CHOC＝3， ∴∠KCH＝180°﹣∠KCT﹣∠HCO＝90°， ∴tan∠CHK， ∵∠CPK＝∠CHK， ∴tan∠CPK＝tan∠CHK， ∵tan∠BCO， ∴∠BCO＝∠CHK， ∵BK∥OC， ∴∠CBK＝∠BCO， ∴∠CBK＝∠CHK， 即点P与点B重合时，∠CPK＝∠CHK， ∴P1（1，0）； ∵SK＝1，PS＝3， ∴tan∠CPK， ∴∠CPK＝∠CHK， ∵点P与点C关于直线x＝﹣1对称， ∴P（﹣2，3）； 综上所述，抛物线Q1上存在点P，使得∠CPK＝∠CHK，点P的坐标为（1，0）或（﹣2，3）． 17．（2023秋•建湖县期末）如图，已知抛物线y＝x2+2x﹣3的图象与坐标轴分别交于A、B、C三点，连接AC，点M是AC的中点，抛物线的对称轴交x轴于点F，作直线FM． （1）直接写出下列各点的坐标：F 　（﹣1，0）　 ，M 　（，）　 ； （2）若点P为直线FM下方抛物线上一动点，过点P作PQ∥y轴，交直线FM于点Q，当△PQM为直角三角形时，求点P的坐标； （3）若点N是x轴上一动点，则在坐标平面内是否存在点E，使以点F、M、N、E为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（﹣1，0），（，）； （2）P点坐标为（，）或（，）； （3）存在，E点坐标为（，）或（﹣1，）． 【解答】 解：（1）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴F（﹣1，0）， 当x＝0时，y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， 当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或x＝1， ∴A（1，0），B（﹣3，0）， ∵点M是AC的中点， ∴M（，）， 故答案为：（﹣1，0），（，）； （2）设直线FM的解析式为y＝kx+b， ，解得， ∴直线FM的解析式为y＝﹣x﹣1， 设P（t，t2+2t﹣3），则Q（t，﹣t﹣1），﹣3＜t， ∴PQ2＝（﹣t2﹣3t+2）2，QM2＝（t）2+（﹣t）2，PM2＝（t）2+（t2+2t）2， 当∠PMQ＝90°时，PQ2＝PM2+QM2，即（t）2+（﹣t）2+（t）2+（t2+2t）2＝（﹣t2﹣3t+2）2，解得t（舍）或t（舍）或t， ∴P（，）； 当∠QPM＝90°时，P点纵坐标为， ∴t2+2t﹣3， 解得t或t（舍）， ∴P（，）； 方法2：过点M作MG⊥x轴交于G点，过点M作MF⊥FM交x轴于点H， ∵∠AFM＝45°， ∴∠GMH＝45°， ∴GH， ∴H（2，0）， ∴直线MH的解析式为y＝x﹣2， 当x﹣2＝x2+2x﹣3时，解得x， ∴P点坐标为（，）； 当∠QPM＝90°时，P点纵坐标为， ∴t2+2t﹣3， 解得t或t（舍）， ∴P（，）； 综上所述：P点坐标为（，）或（，）； （3）存在点E，使以点F、M、N、E为顶点的四边形是正方形，理由如下： 当FN为正方形的对角线时，M点与E点关于x轴对称， ∴E（，）； 当FM为正方形的对角线时，FN⊥MN，此时E（﹣1，）； 综上所述：E点坐标为（，）或（﹣1，）． 18．（2023秋•讷河市期末）综合与探究 如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（1，0），C（0，﹣3），B（n，0），连接AC，点M是AC的中点，抛物线的对称轴交x轴于点F，连接FM． （1）求抛物线的解析式及n的值； （2）点D在抛物线的对称轴上，若△ACD的周长最小，则点D的坐标为 　（﹣1，﹣2）　 ； （3）求线段FM的长及∠AFM的度数； （4）若点N是x轴上一动点，则在坐标平面内是否存在点E，使以点F、M、N、E为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝x2+2x﹣3，n的值为﹣3； （2）（﹣1，﹣2）； （3）FM的长为，∠AFM的度数为45°； （4）在坐标平面内存在点E，使以点F、M、N、E为顶点的四边形是正方形；或． 【解答】解：（1）将A（1，0），C（0，﹣3），代入y＝x2+bx+c得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3， ∴对称轴为直线， ∴B（﹣3，0）， ∴n＝﹣3； （2）如图1，连接BC，交对称轴于D，连接AD， 由轴对称的性质可知，AD＝BD， ∴△ACD的周长为AC+AD+CD＝AC+BD+CD， ∴当B、D、C三点共线时，△ACD的周长最小， 设直线BC的解析式为y＝kx+b1， 将B（﹣3，0），C（0，﹣3）代入得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣3， 当x＝﹣1是，y＝1﹣3＝﹣2， ∴D（﹣1，﹣2）； 故答案为：（﹣1，﹣2）； （3）连接BC，如图2， 由题意知，OB＝OC＝3， ∴， 由勾股定理得，， 由题意知，点F是AB的中点， ∵点M是AC的中点， ∴FM是△ABC的中位线， ∴， ∴∠AFM＝∠ABC＝45°， ∴FM的长为，∠AFM的度数为45°； （4）在坐标平面内存在点E，使以点F、M、N、E为顶点的四边形是正方形，理由如下： 由题意知，F（﹣1，0），， ∵点N是x轴上一动点，以点F、M、N、E为顶点的四边形是正方形， ∴分当FM为边长，FM为对角线两种情况求解： ①当FM为边长时，则FN为对角线，如图3，四边形FMN1E1为正方形， ∵∠AFM＝45°，四边形FMN1E1为正方形， ∴M、E1关于x轴对称， ∴； ②当FM为对角线时，FN为边长，如图3，四边形FN2ME2为正方形， ∵∠AFM＝45°，四边形FN2ME2为正方形， ∴FE2⊥FN2，ME2∥FN2， ∴． 综上，在坐标平面内存在点E，使以点F、M、N、E为顶点的四边形是正方形；点E的坐标为或． 19．（2023•新民市校级模拟）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C，且OA＝2OC，点F是直线AB下方抛物线上的动点，连接FA，FB． （1）求抛物线解析式； （2）当点F与抛物线的顶点重合时，△ABF的面积为 　3　 ； （3）求四边形FAOB面积的最大值及此时点F的坐标． （4）在（3）的条件下，点Q为平面内y轴右侧的一点，是否存在点Q及平面内另一点M，使得以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）yx﹣4； （2）3； （3）（2，﹣4）． （4）存在，当以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形时，点Q的坐标Q1（8，﹣2），Q2（6，﹣6），Q3（5，﹣3），Q4（1，﹣1）． 【解答】解：（1）把（4，0）代入y＝x+b，得， 4+b＝0，解得：b＝4， ∴y＝x﹣4， 当x＝0时，y＝0﹣4＝﹣4， ∴B（0，﹣4）， ∴A（4，0）， ∴OA＝4， ∵OA＝2OC， ∴OC＝2， ∴C（﹣2，0）， 设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣4）， 把B（0，﹣4）代入得：﹣4＝a（0+2）（0﹣4）， 解得：a， ∴抛物线解析式为y（x+2）（x﹣4）x﹣4； （2）yx﹣4， ∵点F与抛物线的顶点重合， ∴F（1，）， 设抛物线对称轴与直线AB相交于E，如图， ∵A （4，0），B（0，﹣4）， ∴直线AB解析式为：y＝x﹣4， 则当x＝1时，y＝1﹣4＝﹣3， ∴E（1，﹣3）， ∴， 故答案为：3； （3）如图，过点F作FE∥y轴，交AB于点E， 设点F的横坐标为t，则F（t，）， ∵直线AB的解析式为y＝x﹣4， ∴E（t，t﹣4）， ∴S△BFAOA•EF（4﹣0）×（t﹣4t2+t+4）＝﹣t2+4t， ∵， ∴S四边形FAOB＝S△BFA+S△BOA＝﹣t2+4t+8＝﹣（t﹣2）2+12（0＜t＜4）， ∴当t＝2时，S四边形FAOB有最大值12，， ∴此时点F的坐标为（2，﹣4）． （4）过作FE⊥x轴于E， ∵A（4，0），F（2，﹣4）， ∴AE＝2，EF＝4，AF＝2， 如图，①当AF为正方形AFMQ的边时， 1）有正方形 AFM1Q1， 过Q1作Q1N1⊥x轴于N1， ∵∠AEF＝∠AN1Q1＝90°，∠FAQ1＝90°， ∴∠EAF＝∠AQ1N1， ∵AF＝AQ1， ∴△AEF≌△Q1N1A（AAS）， ∴AN1＝EF＝4，Q1N1＝AE＝2， ∴Q（8，﹣2）； 2）有正方形AFQ2M2时， 过Q2作Q2N2⊥EF于N2， 同理可得△AEF≌△FN2Q2（AAS）， ∴FN2＝AE＝2，Q2N2＝EF＝4， ∴Q2（6，﹣6）； ②当AF为正方形AFMQ的对角线时，设AF与QM相交于P， ∵A（4，0），F（2，﹣4）， ∴P（3，﹣2）， 1）有正方形AQ3FM3时，过Q3作Q3G⊥x轴于G，过M3作M3H⊥x轴于H， 易证△AHM3≌△Q3GA， ∴AH＝Q3G，M3H＝AG， 设Q3（4+a，b），则M3（4+b，﹣a）， ∴， 解得：， Q3（5，﹣3），M3（1，﹣1）， 2）有正方形AQ4FM4时，过Q4作Q4H⊥x轴于H， 则Q3与M3重合， ∴Q4 （1，﹣1）， 综上，存在，当以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形时，点Q的坐标Q1（8，﹣2），Q2（6，﹣6），Q3（5，﹣3），Q4（1，﹣1）． 20．（2023秋•沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）直线与直线BC交于点E．点M（m，0）是线段AB上的动点，过点M作x轴的垂线，交直线AE于点G，交抛物线于点F，交直线BC于点H． ①若点F在第二象限，且，求m的值； ②在平面内是否存在点P，使得以点E、F、H、P为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y； （2）①m1＝﹣1，m2； ②存在；点P的坐标为：或． 【解答】解：（1）∵抛物线yx2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点， ∴y（x+3）（x﹣4）； （2）①如图1， ∵B（4，0），C（0，4）， ∴设BC的解析式为：y＝kx+n， 则， 解得， ∴BC的解析式为：y＝﹣x+4， ∴﹣x+4， 解得：x＝1， ∴E（1，3）， ∵M（m，0），且MH⊥x轴， ∴G（m，），F（m，）， ∵S△EFGS△OEG， ∴ON（xE﹣xG）， [（）﹣（）]（1﹣m）（1﹣m）， 解得：m1＝﹣1，m2； ②存在，由①知：E（1，3）， ∵四边形EFHP是正方形， ∴FH＝EF，∠EFH＝∠FHP＝∠HPE＝∠90°， ∵M（m，0），且MH⊥x轴， ∴H（m，﹣m+4），F（m，）， 分两种情况： i）当﹣3≤m＜1时，如图2，点F在EP的左侧， ∴FH＝（﹣m+4）﹣（）， ∵EF＝FH， ∴， 解得：m1（舍），m2， ∴H（，）， ∴P（1，）， ii）当1＜m＜4时，点F在PE的右边，如图3， 同理得m﹣1， 解得：m1，m2（舍）， 同理得P（1，）； 综上，点P的坐标为：或． 21．（2023•西安校级三模）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及点D的坐标； （2）点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以线段MN为对角线的四边形MPNQ为正方形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线解析式为yx2+2x+6，D（2，8）； （2）存在，Q（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣2）． 【解答】解：（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得， 解得， ∴抛物线解析式为yx2+2x+6， ∵yx2+2x+6（x﹣2）2+8， ∴D（2，8）； （2）存在， 如图，设对角线MN、PQ交于点O′， ∵点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形， ∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上， 设Q（2，2n），则M坐标为（2﹣n，n）， ∵点M在抛物线yx2+2x+6的图象上， ∴n（2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得n＝﹣1或n＝﹣1， ∴Q（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣2）． 22．（2023•海州区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点P为抛物线上的动点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点D为直线y＝x上的动点，当点P在第四象限时，求四边形PBDC面积的最大值及此时点P的坐标； （3）已知点E为x轴上一动点，点Q为平面内任意一点，是否存在以点P，C，E，Q为顶点的四边形是以PC为对角线的正方形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3； （2）四边形PBDC面积的最大值为，此时P（，）； （3）存在，（﹣3，）；（﹣3，）；（3，﹣3）；（3，2）． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3中， 得，， 解得，， ∴该抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）设直线BC的表达式为：y＝kx+b′， 将B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b′中， 得， 解得，， ∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3． 设P（m，m2﹣2m﹣3），则H（m，m﹣3）， ∴PH＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3） ＝﹣m2+3m， ∴S△BPC＝S△PCH+S△BPH， PH•OGPH•BG PH（OG+BG） PH×OB （﹣m2+3m） m2m （m）2， ∴当m时，△BPC面积的最大值为． ∵BC与直线y＝x平行， ∴S△DBC＝S△OBCOB•OC3×3， ∴四边形PBDC面积的最大值为． ∵当m时，y＝（）2﹣23， ∴P（，）； （3）存在，理由如下： 设P（m，m2﹣2m﹣3），E（n，0）， I．如图3﹣1，当点E在原点时，即点E（0，0），CE＝PE＝3，∠CEP＝90°， ∵四边形PECQ为正方形， ∴点Q（3，﹣3）， II．如图3﹣2，当四边形PECQ为正方形时，CE＝PE，∠CEP＝∠PEO+∠CEO＝90°， 作PI⊥x轴，垂足为I，作QH⊥y轴，垂足为H， 又∵∠CEO+∠OCE＝90°， ∴∠OCE＝∠PEO， ∴△OCE≌△PEI（ASA） ∴CO＝IE＝3，EO＝IP＝m2﹣2m﹣3， 同理：QH＝CO＝IE＝3，CH＝EO＝IP， ∴OE＝OI+IE＝m+3，HO＝IO， ∴m+3＝m2﹣2m﹣3， 解得：m，（m0，不合题意舍去）， ∴HO＝IO， ∴点Q（﹣3，）， III．如图3﹣3，当四边形PECQ为正方形时， 由上可知：PI＝OE＝CH，IE＝QH＝OC＝3， ∴OE＝IE﹣IO＝3+m， ∴m＝m2﹣2m﹣3﹣3， 解得：m，（m0，不合题意舍去） ∴HO＝IO， ∴点Q（﹣3，）； IV．如图3﹣4，当四边形PECQ为正方形时， 由上可知，PI＝OE＝CH，EI＝HQ＝OC＝3， ∴OE＝IE+IO＝3+|m|＝3﹣m， ∴3﹣m＝m2﹣2m﹣3，解得：m＝﹣2，（m＝3＞0，不合题意舍去） ∴HO＝IO＝2， ∴点Q（3，2）， 综上所述：点Q坐标为（﹣3，）；（﹣3，）；（3，﹣3）；（3，2）． 23．（2023•顺城区三模）如图，抛物线的对称轴与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，3），C为该抛物线图象上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，当点C在第一象限，且∠BAC＝90°，求tan∠ABC的值； （3）点D在抛物线上（点D在点C的左侧，不与点B重合），点P在坐标平面内，问是否存在正方形ACPD？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y； （2）1； （3）P（﹣1，4）或（1，3）或（1，﹣24）． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y（x﹣1）2+k， ∴3k， ∴k， ∴y； （2）如图1， 作CD⊥x轴于D， ∴∠ADC＝∠AOB＝90°， ∴∠ACD+∠DAC＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAO+∠DAC＝90°， ∴∠BAO＝∠ACD， ∴△AOB∽△CDA， ∴， 设C（m，m23）， ∴AD＝m﹣1，CDm23， ∴m﹣1＝3（， ∴m1（舍去），m2＝4， ∴AD＝3， ∴OB＝AD， ∴△AOB≌△CDA， ∴AB＝AC， ∴∠ABC＝45°， ∴tan∠ABC＝tan45°＝1； （3）存在正方形ACPD，理由如下： 如图2， 由（2）知：△ABC是等腰直角三角形， ∴当点D在B处时，四边形ACPD是正方形， 根据对称性可得： 作△ABC关于直线x＝1的对称△AC′D′，则四边形AC′PD′是正方形， ∵B（0，3），C（4，1）， ∴C′（2，3），D′（﹣2，1）， ∵A（1，0）， ∴P（﹣1，4）， 如图3， 作CE⊥x轴于E， 当点C和D关于直线x＝1对称，且∠DAC＝90°时，四边形ACPD是正方形， 此时△ACE是等腰直角三角形， ∴AE＝CE， 设C（t，3）， ∴t﹣13， ∴t1＝﹣1（舍去），t2＝﹣1， 此时C（﹣1，2）， ∴P（1，2）， 如图4， 当点C和D关于直线x＝1对称，且∠DAC＝90°时，四边形ACPD是正方形， 同上可得：CF＝AF， ∴t﹣1＝﹣（3）， ∴t3＝3，t4＝3（舍去）， ∴C（3，）， ∴P（1，﹣24）， 综上所述：P（﹣1，4）或（1，3）或（1，﹣24）． 24．（2023•大同模拟）综合与探究： 如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线与x轴交于点D，与y轴交于点E．若M为第一象限内抛物线上一点，过点M且垂直于x轴的直线交DE于点N，连接MC，MD． （1）求抛物线的函数表达式及D，E两点的坐标． （2）当CM＝EN时，求点M的横坐标． （3）G为平面直角坐标系内一点，是否存在点M使四边形MDEG是正方形．若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为，E（0，﹣4），D（6，0）； （2）或 （3）存在，点G的坐标为（﹣4，2）． 【解答】（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+6中，得， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． 把x＝0代入中，得y＝﹣4， ∴E（0，﹣4）， 把y＝0代入中，得x＝6， ∴D（6，0）； （2）设点M的横坐标为m， ∴点M的坐标为，点N的坐标为． 如图，过点M作MP⊥y轴于点P，过点N作NQ⊥y轴于点Q． ∵MN⊥x轴， ∴MN∥y轴， ∴PM＝NQ， 又∵CM＝EN， ∴Rt△MCP≌Rt△NEQ， ∴CP＝EQ，∠MCP＝∠NEQ． 如图1，当点M在点C的上方时， ∵∠MCP＝∠NEQ， ∴MC∥EN， ∴四边形CENM为平行四边形， ∴MN＝CE＝10， ∴， 解得m1＝0（舍去），． 如图2，当点M在点C的下方时，CP＝EQ， ∴， 解得m1＝0（舍去），． 综上所述，点M的横坐标为或． （3）存在，点G的坐标为（﹣4，2）， 如图3，设MN与x轴交于点H， 当△MHD≌△DOE时，四边形MDEG是正方形， ∴当MH＝OD，DH＝OE时，四边形MDEG是正方形， ∴MH＝OD＝6，DH＝OE＝4， ∴OH＝2， 把x＝2代入中，得y＝6， ∴点M的坐标为（2，6）， 根据平移性质可得点G的坐标为（﹣4，2）． 25．（2023•碑林区校级模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴交于点A（3，0），B，与y轴交于点C． （1）求c的值及该抛物线的对称轴； （2）若点D在直线AC上，点E是平面内一点．是否存在点E，使得以点A，B，D，E为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）c＝3，抛物线的对称轴为直线x＝1； （2）E1（3，4），E2（1，﹣2）． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴交于点A（3，0）， ∴﹣9+6+c＝0， 解得：c＝3， ∵x1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1； （2）存在． ∵y＝﹣x2+2x+3， ∴C（0，3）， 设直线AC的解析式为y＝kx+b，把A（3，0），C（0，3）分别代入得：， 解得：， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3， 设D（t，﹣t+3）， ∵点B与A（3，0）关于直线x＝1对称， ∴B（﹣1，0）， ∴AB＝3﹣（﹣1）＝4， 当AB为正方形ABDE的边时，如图， 则BD＝AB，BD⊥AB，AE＝AB，AE⊥AB， ∴﹣t+3＝4， 解得：t＝﹣1， ∴D1（﹣1，4），E1（3，4）； 当AB为正方形ADBE的对角线时，如图， 则DE⊥AB，EF＝DF＝AF＝BFAB＝2， ∴﹣t+3＝2， 解得：t＝1， ∴D2（1，2），E2（1，﹣2）； 综上所述，点E的坐标为：E1（3，4），E2（1，﹣2）． 26．（2023•余江区一模）已知抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0） （1）当a＝1时， ①抛物线C1的顶点坐标为 　（1，﹣4）　 ． ②将抛物线C1沿x轴翻折得到抛物线C2，则抛物线C2的解析式为 　y＝﹣x2+2x+3　 ． （2）无论a为何值，直线y＝m与抛物线C1相交所得的线段EF（点E在点F左侧）的长度都不变，求m的值和EF的长； （3）在（2）的条件下，将抛物线C1沿直线y＝m翻折，得到抛物线C3，抛物线C1，C3的顶点分别记为P，Q，是否存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出a的值：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①（1，﹣4）；②y＝﹣x2+2x+3； （2）m＝﹣3，EF＝2； （3）存在，a＝±1． 【解答】解：（1）①∵a＝1， ∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线的顶点为（1，﹣4）， 故答案为：（1，﹣4）； ②设抛物线C2上任意一点（x，y）， 则点（x，y）关于x轴对称的点为（x，﹣y）， ∴﹣y＝x2﹣2x﹣3， ∴抛物线C2的解析式为y＝﹣x2+2x+3， 故答案为：y＝﹣x2+2x+3； （2）∵y＝ax2﹣2ax﹣3＝ax（x﹣2）﹣3， ∴抛物线经过定点（2，﹣3）， ∴当m＝﹣3时，EF的长度不变， 当y＝﹣3时，ax2﹣2ax﹣3＝﹣3， 解得x＝0或x＝2， ∴E（0，﹣3），F（2，﹣3）， ∴EF＝2； （3）存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形，理由如下： 设抛物线抛物线C3上任意一点（x，y）， ∴点（x，y）关于y＝﹣3的对称点为（x，﹣6﹣y）， ∴﹣6﹣y＝ax2﹣2ax﹣3， ∴抛物线C3的解析式为y＝﹣ax2+2ax﹣3， ∴Q（1，a﹣3）， ∵y＝ax2﹣2ax﹣3， ∴P（1，﹣a﹣3）， ∵EF⊥PQ， ∴EF与PQ为正方形的对角线， ∵E、F关于x＝1对称， ∴EP＝PF， ∴EF＝2＝PQ， ∴2＝|2a|， ∴a＝±1． 27．（2023•增城区一模）综合与探究 已知抛物线C1：y＝ax2+bx﹣5（a≠0）． （1）当抛物线经过（﹣1，﹣8）和（1，0）两点时，求抛物线的函数表达式． （2）当b＝4a时，无论a为何值，直线y＝m与抛物线C1相交所得的线段AB（点A在点B的左侧）的长度始终不变，求m的值和线段AB的长． （3）在（2）的条件下，将抛物线C1沿直线y＝m翻折得到抛物线C2，抛物线C1，C2的顶点分别记为G，H．是否存在实数a使得以A，B，G，H为顶点的四边形为正方形？若存在，直接写出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝x2+4x﹣5； （2）m＝﹣5，AB＝4； （3）存在，a＝±． 【解答】解：（1）将（﹣1，﹣8）和（1，0）两点代入抛物线C1：y＝ax2+bx﹣5（a≠0）得， ，解得， ∴抛物线的函数表达式为：y＝x2+4x﹣5； （2）由ax2+4ax﹣5＝m， ∴xA+xB＝﹣4，xA•xB， ∴AB＝|xA﹣xB|， ∵线段AB的长度不变， ∴20+4m＝0， 解得m＝﹣5， ∴AB＝4； （3）存在实数a使得以点A，B，G，H为顶点的四边形为正方形，理由如下： ∵y＝ax2+4ax﹣5＝a（x+2）2﹣4a﹣5， ∴G（﹣2，﹣4a﹣5）， 设抛物线C2上任意一点（x，y），则点（x，y）关于y＝﹣5对称的点的坐标为（x，﹣10﹣y）， ∴﹣10﹣y＝ax2+4ax﹣5， ∴抛物线C4的解析式为y＝﹣ax2﹣4ax﹣5＝﹣a（x+2）2+4a﹣5， ∴H（﹣2，4a﹣5）， ∵AB∥x轴，GH⊥x轴， ∴AB、GH为正方形的对角线， ∴AB＝GH， ∴|4a﹣5+4a+5|＝4， 解得a＝±． 28．（2022秋•高安市期中）综合与探究： 如图，已知一次函数与二次函数y＝x2+mx+n的图象交点为A（﹣1，0），B（4，5）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点C为抛物线对称轴上的一个动点，当AC与BC的和最小时，求C点的坐标； （3）若点D为抛物线位于线段AB下方图象上的一个动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值； （4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）C（1，2）； （3）DE的最大值为； （4）存在以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，N的坐标为（1，1）或（1，4）或（﹣1，2）或（，）． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（4，5）代入y＝x2+mx+n得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）设直线AB的函数解析式为y＝kx+b，将A（﹣1，0），B（4，5）代入得： ， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝x+1， ∵AC+BC≥AB， ∴当点A、B、C三点共线时，AC+BC的最小值为AB的长， ∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝1， 在y＝x+1中，令x＝1得y＝2， ∴C（1，2）； （3）设D（a，a2﹣2a﹣3），则E（a，a+1）， ∴DE＝（a+1）﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a+4＝﹣（a）2（﹣1＜a＜4）， ∵﹣1＜0， ∴当a时，DE的最大值为； （4）存在以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，理由如下： 当CF为对角线时，如图， 此时F为直线y＝x+1与y轴的交点（0，1）， ∵C（1，2）， ∴M（0，2），N（1，1）， ∴四边形CMFN是正方形时，N坐标为（1，1）； 当CF为边时，若点F在C的上方，如图， 此时∠MFC＝45°，而直线AB与x轴夹角为45°， ∴MF∥x轴， ∵△MCF是等腰直角三角形，C（1，2）， ∴MF＝CN＝2， ∴N（1，4）； 当点F在点C的下方时，如图，四边形CFNM是正方形， 同理可得N（﹣1，2）， 当点F在点C的下方时，如图，四边形CFMN是正方形， 同理可得N（，）， 综上所述：N的坐标为（1，1）或（1，4）或（﹣1，2）或（，）． 29．（2022秋•斗门区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x+1和抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+1． （1）当抛物线对称轴为直线x＝2时，求其解析式． （2）设（1）中的抛物线与直线y＝x+1交于A、B两点，问该抛物线的对称轴上是否存在点P，使得A、B、P与平面上一点Q构成正方形？若存在求出P点坐标；若不存在，请说明理由． （3）已知点M（m﹣1，m﹣2）、N（2，3）．若抛物线与线段MN有公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）y＝﹣x2+4x﹣1； （2）存在点P，使得A、B、P与平面上一点Q构成正方形，P点坐标为（2，1）或（2，2）； （3）m≤2或m≥3． 【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+1＝﹣（x﹣m）2+m+1， ∴当抛物线对称轴为直线x＝2时，m＝2， ∴解析式为y＝﹣x2+4x﹣1； （2）∵抛物线与直线y＝x+1交于A、B两点， 解方程x+1＝﹣x2+4x﹣1得x1＝1，x2＝2， ∴A（1，2），B（2，3）， 抛物线的对称轴上存在点P，使得A、B、P与平面上一点Q构成正方形． 设P（2，p）， ①当AB为正方形的边时， ∵抛物线对称轴为直线x＝2， ∴点B在对称轴上， ∴AP⊥AB，AP＝AB， ∴， ∴p＝1或3（舍去）， ∴P（2，1）； ②当AB为正方形的对角线时， 由正方形的性质得AP⊥PB， ∵点B、P在对称轴上， ∴AP⊥x轴． ∴P（2，2）； 综上，存在点P，使得A、B、P与平面上一点Q构成正方形，P点坐标为（2，1）或（2，2）； （3）将点M（m﹣1，m﹣2）代入抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+1得：m﹣2＝﹣（m﹣1）2+2m（m﹣1）﹣m2+m+1，此方程无解； 将点N（2，3）代入抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+1得：3＝﹣22+2m×2﹣m2+m+1，解得m＝2或3， 如图，当m≤2时，抛物线和线段MN有公共点； 如图，当2＜m＜3时，抛物线和线段MN无公共点； 如图，当m≥3时，抛物线和线段MN有公共点； 故m≤2或m≥3时，抛物线和线段MN有公共点． 30．（2022•东胜区二模）如图，已知抛物线yx2+bx+c与x轴相交于A（﹣6，0），B（1，0），与y轴相交于点C． （1）求该抛物线的表达式； （2）若在x轴上方的抛物线上有一动点P，且△ACP的面积为24，求点P的坐标； （3）直线l⊥AC，垂足为C，直线l上有一点N，在坐标平面内一点M，是否存在以点M、N、A、C为顶点的四边形是正方形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）yx2x﹣3； （2）（2，4）或（﹣8，9）； （3）存在，（﹣3，6）或（﹣9，﹣6）． 【解答】解：（1）将A（﹣6，0），B（1，0）代入yx2+bx+c， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为yx2x﹣3； （2）令x＝0，则y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， 设直线AC的解析式为y＝kx+m， ∴， 解得， ∴yx﹣3， 过点P作PG∥y轴交直线AC于点G， 设P（t，t2t﹣3），则G（t，t﹣3）， ∴PGt2t﹣3t+3t2+3t， ∴S△ACP6×（t2+3t）＝24， 解得t＝2或t＝﹣8， ∵P点在x轴上方， ∴t＞1或t＜﹣6， ∴P（2，4）或（﹣8，9）； （3）存在以点M、N、A、C为顶点的四边形是正方形，理由如下： 设直线l与x轴的交点为F， ∵AC⊥CF， ∴∠ACO+∠OCF＝90°， ∵∠ACO+∠OAC＝90°， ∴∠OCF＝∠OAC， ∵tan∠OAC， ∴OF， ∴F（，0）， 设直线CF的解析式为y＝k'x+b'， ∴， 解得， ∴y＝2x﹣3， 设M（x，y），N（t，2t﹣3）， 当AN为正方形的对角线时，ANAC， ∴， 解得或， ∴M（﹣3，6）或（﹣9，﹣6）； 综上所述：M点坐标为（﹣3，6）或（﹣9，﹣6）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$