4.5 几种简单几何体的表面积和体积（2知识点+7题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（湘教版2019必修第二册）

4.5 几种简单几何体的表面积和体积 课程标准 学习目标 （1）知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式, 能用公式解决简单的实际问题。 （1）球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式, 能用公式解决简单的实际问题。 知识点01 几种简单几何体的表面积 1 棱柱的表面积就是围成各个面的面积的和； 2 棱锥的表面积就是围成各个面的面积的和； 3 棱台的表面积就是围成各个面的面积的和； 4圆柱 (1) 侧面积： (2) 全面积： 5 圆锥 (1) 圆锥侧面积： (2) 圆锥全面积： (其中为底圆的半径，为圆锥母线) 6 圆台 圆台表面积 其中是上底面圆的半径，是下底面圆的半径，是母线的长度.  7球体 面积(其中为球的半径) 【即学即练1】 （24-25高一下·全国·课后作业）若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是（    ） A． B． C． D． 知识点02 几种简单几何体的体积 1 棱柱体积： (其中是棱柱的高) 2 棱锥体积：(其中为棱柱的高) 3 棱台体积 其中分别为上，下底面面积，为棱台的高. 4 圆柱体积： (其中为底圆的半径，为圆柱的高) 5圆锥体积： (其中为底圆的半径，为圆锥的高) 6 圆台体积，分别是上、下底面半径，是高) 7 球体体积(其中为球的半径) 【即学即练2】 （24-25高三下·江苏淮安·开学考试）已知一个圆柱形容器的轴截面是边长为3的正方形，往容器内注水后水面高度为2，若再往容器中放入一个半径为的实心铁球，则此时水面的高度为（    ） A． B． C． D． 【题型一：求柱体的表面积】 例1．（21-22高一下·江苏泰州·期末）某工厂需要制作一个如图所示的模型，该模型为长方体挖去一个四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，，，，分别为所在棱的中点，，，那么该模型的表面积为（    ）． A． B． C． D． 变式1-1．（24-25高三上·山东青岛·期末）蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包由下面圆柱部分和上面圆锥部分组合而成，用毛毡覆盖其表面（底面除外）．其中圆柱的高为，底面半径为，圆锥的顶点到底面的距离是，则图中蒙古包所用毛毡的面积为（    ） A． B． C． D． 变式1-2．（21-22高一·全国·课后作业）如图，已知正方体的棱长为，沿图1中对角面将它分割成两个部分，拼成如图2的四棱柱，则该四棱柱的全面积为（    ） A． B． C． D． 变式1-3．（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 棱柱的表面积主要确定好棱柱表面的几何图形，再逐个求解； 2 圆柱的侧面积：， 全面积：. 【题型二：求锥体的表面积】 例2．1（2024高三·全国·专题练习）某家庭为了外出露营，特意网购了一个帐篷．如图所示，该帐篷的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，已知，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D． 例2．2 （24-25高三上·山东青岛·期末）如图，正方形的边长为1，为等边三角形，将分别沿向上折起，使得点D，E重合并记为点P．若三棱锥可以在一个圆柱内任意转动，则此圆柱表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式2-1．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 变式2-2．（2025·广东·一模）已知圆柱与圆锥的体积与侧面积均相等，若的轴截面为等腰直角三角形，则与的底面半径之比为（    ） A． B． C． D． 变式2-3．（2025·吉林长春·二模）如图，过圆锥的轴的截面边长为4的正三角形，过的中点作平行于底面的截面，以截面为底面挖去一个圆柱，则余下几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 棱锥的表面积主要确定好棱锥表面的几何图形，再逐个求解； 2 圆锥侧面积：,全面积： (其中为底圆的半径，为圆锥母线)。 【题型三：求台体的表面积】 例3．（24-25高二上·浙江·期中）把一个圆锥分割成两个侧面积相等的小圆锥和圆台，则小圆锥和圆台的高之比为（    ） A．1 B． C．2 D． 变式3-1．（24-25高三下·湖南·开学考试）已知某商品的形状为圆台，该圆台的轴截面是上底为2，下底为4，腰为3的等腰梯形，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 变式3-2．（24-25高三下·广东·开学考试）在正四棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为，则该正四棱台的表面积是（   ） A．36 B．40 C．52 D．56 变式3-3．（23-24高一下·福建福州·期末）若一个圆台的高为，母线与底面所成角为，上底面半径为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 棱台的表面积等于侧面积加上上下底圆面积； 2 圆台表面积 其中是上底面圆的半径，是下底面圆的半径，是母线的长度.  【题型四：求柱体的体积】 例4．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，一个圆柱形容器中盛有水，圆柱母线，若母线放置在水平地面上时，水面恰好过的中点，那么当底面圆水平放置时，水面高为（   ） A． B． C． D． 变式4-1．（24-25高三下·广东广州·阶段练习）如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱.若侧面水平放置时，水面恰好过的中点，则当底面水平放置时，水面高为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 变式4-2．（2025高三下·全国·专题练习）一个五面体．已知，且两两之间距离为．，，，则该五面体的体积为（   ） A． B． C． D． 变式4-3．（24-25高三上·广东深圳·期末）如图，可视为类似火箭整流罩的一个容器，其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2，圆柱的高为6，圆锥的高为4.若将其内部注入液体，已知液面高度为7，则该容器中液体的体积为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 柱体体积： (其中是柱体的高)，主要确定柱体的高，往往可通过直线与平面垂直关系得到证明. 【题型五：求锥体的体积】 例5．（24-25高三上·天津·期末）如图，四边形ABCD为正方形平面ABCD记三棱锥的体积分别为有如下的结论，其中正确的个数是（    ） ① ② ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式5-1．（2025·浙江·一模）将半径为4的半圆面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 变式5-2．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知一圆锥高为2，母线长为.若用一平面截圆锥得到的圆台体积是圆锥的，则圆台的侧面积为（     ） A． B． C． D． 变式5-3．（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）在三棱柱中，底面，E是的中点，，点F在上，且，则平面截该三棱柱所得大、小两部分的体积比为（    ） A．9：1 B．10：1 C．11：1 D．12：1 【方法技巧与总结】 1 锥体体积：(其中为棱柱的高)，求体积的关键在于确定高，可以利用直线与平面的垂直关系证明； 2 三棱锥的体积，先要确定以哪个面为底面，这主要看其对应的高是否好求. 【题型六：求台体的体积】 例6．（24-25高三上·河南周口·期末）已知正三棱台的下底面边长为，侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为，则该三棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 变式6-1．（24-25高三上·江苏·阶段练习）如图1的方斗杯古时候常作为盛酒的一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加某种酒，当酒的高度是方斗杯高度的一半时，用酒，则该方斗杯可盛该种酒的总容积为（    ）      A． B． C． D． 变式6-2．（24-25高三下·山西·开学考试）已知某圆台的侧面展开图如图所示，，，，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 变式6-3．（24-25高三上·辽宁·期末）在正三棱台中，，，则该正三棱台的外接圆台（即正三棱台的每一个点都在该圆台的底面圆周上）的体积为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 台体体积 ，其中分别为上，下底面面积，为棱台的高. 2 求台体的体积，可以利用公式，也可以把台体补回锥体用大椎体减去小锥体体积，往往可利用相似等平面几何知识. 【题型七：求球体的表面积或体积】 例7．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，直三棱柱是一块石材，测量得，，，．若将该石材切削、打磨，加工成几个大小相同的健身手球，则一个加工所得的健身手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为（    ） A．，4 B．，3 C．，4 D．，3 变式7-1．（2025·山东日照·一模）已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4，高为．若该圆台内有一个球，则该球的表面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式7-2．（24-25高三上·江西吉安·阶段练习）已知圆台存在内切球（球与圆台上、下底面以及侧面均相切），若圆台的上、下底面积分别为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 变式7-3．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，P为上的动点，则三棱锥的外接球表面积的最小值是 A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 球体面积，体积(其中为球的半径)； 2 求几何体的外接球或内接球的表面积或体积，主要要确定球的球心位置与半径. 一、单选题 1．（21-22高一下·河北邢台·阶段练习）已知某圆柱的内切球半径为，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示的正六棱柱，其底面边长是2，体对角线，则它的表面积为（    ）． A． B． C． D． 3.（24-25高三上·山东潍坊·期末）不锈钢实心陀螺是早起民间的小孩子的娱乐工具之一，现在成了一些城市老年人健身和娱乐的工具，目前的成人陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成．如下图，已知一陀螺的圆柱的底面直径为16，圆柱和圆锥的高均为6，则该陀螺的表面积为（    ） A． B． C． D． 4.（24-25高三上·广东·阶段练习）一个正四面体边长为，则一个与该正四面体体积相等、高也相等的圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 5. （22-23高一下·贵州黔西·期末）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.地区不同，制作的粽子形状也不同，黔西南州最出名的就是鲜肉的灰色粽子，其形状接近于正三棱锥（如图）.若正三棱锥的底面边长为2，高为1，则该三棱锥的侧面积为（    ）    A． B． C． D． 6.（2025高三·全国·专题练习）如图，一个底面半径为3的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为4和10，则该几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 7.（2025·河南洛阳·模拟预测）已知装满水的无盖圆柱容器的底面圆周的半径为，高为，圆柱的侧面积为，在圆柱里面放入两个半径为的铁球，则圆柱中剩余水的体积为（   ） A． B． C． D． 8.（24-25高三上·福建泉州·期末）已知正三棱台的高为4，的内切圆和的外接圆的半径均为1，则该正三棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一下·云南大理·期中）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和 D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小 0.（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知圆台的轴截面如图所示，其上底面半径为1、下底面半径为2，母线长为2，为母线中点，则下列结论正确的是（    ） A．圆台的高为2 B．圆台的侧面积为 C．圆台外接球的体积是 D．在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为5 11. （2025·山东·模拟预测）如图，在正三棱台中，，三棱台的所有顶点均在球的球面上，则（   ） A． B．三棱台的体积为 C．球的表面积为 D．平面截球所得截面圆的周长为 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·期末）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球表面积为 . 13．（24-25高二上·上海·期末）将扇形纸壳剪掉扇形后得到扇环，，，如图1，用扇环制成一个圆台的侧面，如图2，则该圆台的体积为 ．    14．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）（如图甲）是一个水平放置的装有一定量水的四棱锥密闭容器（容器材料厚度不算），底面为平行四边形. 现将容器以棱为轴向左侧倾斜（如图乙），这时水面恰好经过，且分别为棱的中点，设棱锥的高为2，则图甲中，容器内的水面高度为 . 四、解答题 15．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在直三棱柱中，底面是边长为的正三角形，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，若圆柱的体积为，求： (1)剩余部分几何体的体积； (2)剩余部分几何体的表面积. 16. （24-25高二上·上海松江·期中）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上.    (1)若圆柱的高为，求该陀螺的体积及表面积； (2)规定陀螺圆锥的顶点S到圆柱中离它远的底面距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大.此时陀螺的高是多少呢？ 17.（24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知在平面四边形中，，，．将沿BD翻折至，，点在线段BD上，且，． (1)求证：面； (2)求三棱锥外接球的半径； (3)求直线CF与平面所成角的正弦值的取值范围． 18. （22-23高一下·山西阳泉·期中）南北朝时期的伟大科学家祖暅，于五世纪末提出了体积计算原理，即祖暅原理：“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么，这两个几何体的体积相等．其最著名之处是解决了“牟合方盖”的体积问题．如图所示，正方体，棱长为． (1)求图中四分之一圆柱体的体积； (2)在图中画出四分之一圆柱体与四分之一圆柱体的一条交线（不要求说明理由）； (3)四分之一圆柱体与四分之一圆柱体公共部分是八分之一个“牟合方盖”．点在棱上，设过点作一个与正方体底面平行的平面，求该截面位于八分之一“牟合方盖”内部分的面积；如果令，应用祖暅原理求出八分之一“牟合方盖”的体积． 19. （24-25高二上·湖北武汉·期中）在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成，其中，，且为该平面的法向量.已知集合，， (1)设集合，记中所有点构成的图形的面积为，中所有点构成的图形的面积为，求和的值； (2)记集合中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，求和的值； (3)记集合T中所有点构成的几何体为W．求W的体积的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.5 几种简单几何体的表面积和体积 课程标准 学习目标 （1）知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式, 能用公式解决简单的实际问题。 （1）球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式, 能用公式解决简单的实际问题。 知识点01 几种简单几何体的表面积 1 棱柱的表面积就是围成各个面的面积的和； 2 棱锥的表面积就是围成各个面的面积的和； 3 棱台的表面积就是围成各个面的面积的和； 4圆柱 (1) 侧面积： (2) 全面积： 5 圆锥 (1) 圆锥侧面积： (2) 圆锥全面积： (其中为底圆的半径，为圆锥母线) 6 圆台 圆台表面积 其中是上底面圆的半径，是下底面圆的半径，是母线的长度.  7球体 面积(其中为球的半径) 【即学即练1】 （24-25高一下·全国·课后作业）若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正方体的棱长为，可求出正四面体的棱长，继而求得两种几何体的表面积即可. 【详解】正方体的棱长为，此时正四面体的棱长为， 则正方体的表面积为， 正四面体的表面积为， 两者之比为， 故选：A. 知识点02 几种简单几何体的体积 1 棱柱体积： (其中是棱柱的高) 2 棱锥体积：(其中为棱柱的高) 3 棱台体积 其中分别为上，下底面面积，为棱台的高. 4 圆柱体积： (其中为底圆的半径，为圆柱的高) 5圆锥体积： (其中为底圆的半径，为圆锥的高) 6 圆台体积，分别是上、下底面半径，是高) 7 球体体积(其中为球的半径) 【即学即练2】 （24-25高三下·江苏淮安·开学考试）已知一个圆柱形容器的轴截面是边长为3的正方形，往容器内注水后水面高度为2，若再往容器中放入一个半径为的实心铁球，则此时水面的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，容器中放入铁球后，总体积为，由此列方程求解即可. 【详解】由已知可得圆柱的底面半径为，往容器内注水后水面高度为2， 此时放入一个半径为的实心铁球，铁球的直径为，所以铁球完全没入水中， 设此时水面的高度为，则，解得. 故选：D 【题型一：求柱体的表面积】 例1．（21-22高一下·江苏泰州·期末）某工厂需要制作一个如图所示的模型，该模型为长方体挖去一个四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，，，，分别为所在棱的中点，，，那么该模型的表面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求解得，，进而得到，再根据全等性质与表面积的计算公式求解即可 【详解】由题意可得，，故，故该模型的表面积为 故选：A 变式1-1．（24-25高三上·山东青岛·期末）蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包由下面圆柱部分和上面圆锥部分组合而成，用毛毡覆盖其表面（底面除外）．其中圆柱的高为，底面半径为，圆锥的顶点到底面的距离是，则图中蒙古包所用毛毡的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到圆锥的母线长，分别求得圆锥和圆柱的侧面积即可. 【详解】解：由题意得：圆锥的高为3m，底面半径为4m， 所以圆锥的母线长为5m， 所以圆锥的侧面积为，而圆柱的侧面积为， 所以蒙古包所用毛毡的面积为， 故选：D 变式1-2．（21-22高一·全国·课后作业）如图，已知正方体的棱长为，沿图1中对角面将它分割成两个部分，拼成如图2的四棱柱，则该四棱柱的全面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面，据此变化，进行求解. 【详解】由题意，拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面， 由于截面为矩形，长为，宽为，所以面积为， 所以拼成的几何体的表面积为. 故选：C. 变式1-3．（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算圆柱的底面半径和高，从而求得圆柱的侧面积. 【详解】设符合题意的正四棱锥如下图所示， 是底面的中心，则平面， 分别是的中点， 则， 所以圆柱底面的直径为，则半径为， ，圆柱的高为， 所以圆柱的侧面积为. 故选：C    【方法技巧与总结】 1 棱柱的表面积主要确定好棱柱表面的几何图形，再逐个求解； 2 圆柱的侧面积：， 全面积：. 【题型二：求锥体的表面积】 例2．1（2024高三·全国·专题练习）某家庭为了外出露营，特意网购了一个帐篷．如图所示，该帐篷的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，已知，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正六边形的边长，六棱锥的侧棱，由，得出棱长关系，分别求出正六棱锥与正六棱柱的侧面积，即可求出正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比. 【详解】如图，设正六棱柱底面边长为，侧棱长为，由题意可知，， 则可知正六棱柱的侧面积为． 设正六棱锥侧棱长为，则． 又，所以，解得， 所以正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为. 故选：B． 例2．2 （24-25高三上·山东青岛·期末）如图，正方形的边长为1，为等边三角形，将分别沿向上折起，使得点D，E重合并记为点P．若三棱锥可以在一个圆柱内任意转动，则此圆柱表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，三棱锥的外接球能放入圆柱，则三棱锥可以在一个圆柱内任意转动，外接球是圆柱的内切球时圆柱的表面积最小，据此求解即可. 【详解】设的中点为，因为与是直角三角形，则， 所以是三棱锥的外接球的球心，由正方形的边长为1， 所以可求得外接球的半径为， 要使三棱锥可以在一个圆柱内任意转动， 则三棱锥的外接球能放入圆柱，则三棱锥可以在一个圆柱内任意转动， 要使圆柱表面积最小，则三棱锥的外接球恰好内接于圆柱， 此时圆柱的表面积为. 故选：C. 变式2-1．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出正方体的棱长，求出正方体的表面积，再求正四面体的表面积，求比值即可． 【详解】设正方体的棱长为，则正方体的表面积是， 正四面体的棱长为，它的表面积是 ， 因此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为． 故选：D． 变式2-2．（2025·广东·一模）已知圆柱与圆锥的体积与侧面积均相等，若的轴截面为等腰直角三角形，则与的底面半径之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式及体积公式求解即可. 【详解】设圆锥和圆柱的底面半径分别为，高分别为， 因为圆锥的轴截面是等腰直角三角形，所以圆锥的母线长为，所以， 所以圆锥的体积为，圆柱的体积为， 所以圆锥的侧面积为，圆柱的侧面积为， 所以，化简得， 所以圆柱和圆锥的底面半径之比为, 故选:C. 变式2-3．（2025·吉林长春·二模）如图，过圆锥的轴的截面边长为4的正三角形，过的中点作平行于底面的截面，以截面为底面挖去一个圆柱，则余下几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，作出组合体的轴截面，求出圆柱的底面圆半径和高，计算表面积作答. 【详解】作出圆锥PO的轴截面，此截面截挖去的圆柱得圆柱的轴截面矩形，如图， 矩形是等腰内接矩形，圆柱底面圆直径在圆锥底面圆直径上， 依题意，截面是边长为4的正三角形，所以， 因为是PO中点，则，，圆锥母线， 圆柱的侧面积，圆锥PO的表面积， 剩余几何体的表面中，圆锥底面圆挖去以CF为直径的圆（圆柱下底面圆），而挖去圆柱后， 圆柱上底面圆（以DE为直径的圆）成了表面的一部分，它与圆柱下底面圆全等， 所以剩余几何体的表面积是. 故选：D. 【方法技巧与总结】 1 棱锥的表面积主要确定好棱锥表面的几何图形，再逐个求解； 2 圆锥侧面积：,全面积： (其中为底圆的半径，为圆锥母线)。 【题型三：求台体的表面积】 例3．（24-25高二上·浙江·期中）把一个圆锥分割成两个侧面积相等的小圆锥和圆台，则小圆锥和圆台的高之比为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】设出小圆锥和圆台的高之比，则可得到小圆锥和圆台的母线之比及圆台上下底面半径之比，结合侧面积公式计算即可得解. 【详解】设圆锥与圆台的母线分别为、，圆台的上下底面半径分别为、， 小圆锥和圆台的高之比为，则有，即，， 则，，有， 即，整理得， 解得或（负值，舍去）. 故选：D. 变式3-1．（24-25高三下·湖南·开学考试）已知某商品的形状为圆台，该圆台的轴截面是上底为2，下底为4，腰为3的等腰梯形，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由轴截面可得上下底面半径和母线，代入表面积公式即可. 【详解】该圆台的表面积. 故选：B 变式3-2．（24-25高三下·广东·开学考试）在正四棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为，则该正四棱台的表面积是（   ） A．36 B．40 C．52 D．56 【答案】D 【分析】过点作，垂足为H，则.结合条件“侧棱与底面所成角的余弦值为”，求出，还有高，进而求出表面积. 【详解】过点作，垂足为H，则. 因为侧棱与底面所成角的余弦值为，所以，所以， 则梯形的高， 故该正四棱台的表面积是. 故选： D. 变式3-3．（23-24高一下·福建福州·期末）若一个圆台的高为，母线与底面所成角为，上底面半径为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】CC 【分析】过作于，根据条件求母线长及下底面半径长，再利用圆台的侧面积公式，即可求出结果. 【详解】如图，过作于，由题知，， 所以，， 又，记上底面半径为，下底面半径为，则， 所以圆台的侧面积为， 故选：C. 【方法技巧与总结】 1 棱台的表面积等于侧面积加上上下底圆面积； 2 圆台表面积 其中是上底面圆的半径，是下底面圆的半径，是母线的长度.  【题型四：求柱体的体积】 例4．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，一个圆柱形容器中盛有水，圆柱母线，若母线放置在水平地面上时，水面恰好过的中点，那么当底面圆水平放置时，水面高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两种放置方式水的体积不变即可求得. 【详解】如图， 设圆柱底面半径为，则当母线水平放置时，圆柱中含水部分可以看作是以弓形为底，为高的柱体， 因为水面过的中点，则， 则弓形的面积为， 当底面圆水平放置时，底面圆的面积为，设水面高为， 则由水的体积不变可得：，即， 解的：. 故选：. 变式4-1．（24-25高三下·广东广州·阶段练习）如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱.若侧面水平放置时，水面恰好过的中点，则当底面水平放置时，水面高为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据棱柱体积计算公式即可求解. 【详解】当侧面水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形， 设的面积为，则， 水的体积， 当底面水平放置时，水的形状为直三棱柱，设水面高为， 则有，得， 即当底面水平放置时，水面高为9． 故选：C． 变式4-2．（2025高三下·全国·专题练习）一个五面体．已知，且两两之间距离为．，，，则该五面体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】采用补形法将五面体补成一个棱柱，再利用体积公式求解即可. 【详解】如图，用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌， 则形成的新组合体为一个三棱柱， 该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为的等边三角形， 侧棱长为， 故． 故选：C. 变式4-3．（24-25高三上·广东深圳·期末）如图，可视为类似火箭整流罩的一个容器，其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2，圆柱的高为6，圆锥的高为4.若将其内部注入液体，已知液面高度为7，则该容器中液体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出下半部分圆柱和上半部分圆台的体积，即可得解. 【详解】由题意可知：容器中液体分为：下半部分为圆柱，上半部分为圆台， 取轴截面，如图所示，分别为的中点， 可知：， 且，，，，， 可得，即， 所以该容器中液体的体积为： . 故选：A. 【方法技巧与总结】 柱体体积： (其中是柱体的高)，主要确定柱体的高，往往可通过直线与平面垂直关系得到证明. 【题型五：求锥体的体积】 例5．（24-25高三上·天津·期末）如图，四边形ABCD为正方形平面ABCD记三棱锥的体积分别为有如下的结论，其中正确的个数是（    ） ① ② ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】作出图形，根据三棱锥的体积公式，转化三棱锥的顶点，即可求解． 【详解】如图，设连接分别延长EG，FB交于点I， 则根据题意可得G为DB中点，又从而可得又 所以 所以所以所以①错误，③正确； 又且 所以所以又 所以所以②错误，④正确． 故选：B 变式5-1．（2025·浙江·一模）将半径为4的半圆面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意求出圆锥的高，结合圆锥的体积公式计算即可求解. 【详解】由题意知，半圆的周长为，设圆锥底面圆的半径为， 则，解得，又母线长为4， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为. 故选：B 变式5-2．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知一圆锥高为2，母线长为.若用一平面截圆锥得到的圆台体积是圆锥的，则圆台的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知截去圆锥体积是原圆锥体积的，可求得截去圆锥的高和底面半径，从而可求圆台的侧面积. 【详解】如图， 设圆锥的高，母线， 则圆锥的底面半径为， 若用一平面截圆锥得到的圆台体积是圆锥的， 则截去圆锥体积是原圆锥体积的， 设截去小圆锥的底面半径为，则，则①， 又，即，代入①解得， 则， 则圆台的侧面积为. 故选：C. 变式5-3．（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）在三棱柱中，底面，E是的中点，，点F在上，且，则平面截该三棱柱所得大、小两部分的体积比为（    ） A．9：1 B．10：1 C．11：1 D．12：1 【答案】C 【分析】延长交于点D，通过三角形 ，确定为中点，再由体积公式求解即可； 【详解】 如图，延长交于点D，∵， 由底面，易知, 所以， 所以，又， ∴ ，∴，∴， ∴D是的中点，又∵E是的中点，平面， ∴， ∴平面即平面截该三棱柱所得大、小两部分的体积比为11：1， 故选：C. 【方法技巧与总结】 1 锥体体积：(其中为棱柱的高)，求体积的关键在于确定高，可以利用直线与平面的垂直关系证明； 2 三棱锥的体积，先要确定以哪个面为底面，这主要看其对应的高是否好求. 【题型六：求台体的体积】 例6．（24-25高三上·河南周口·期末）已知正三棱台的下底面边长为，侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为，则该三棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将正棱台补全为一个棱锥，为底面中心，根据已知求得、棱台的高，在应用棱锥的体积公式求棱台的体积. 【详解】将正棱台补全为一个棱锥，为底面中心，如下图示， 所以，则，而棱台的高， 所以， 则该三棱台的体积为 . 故选：D    变式6-1．（24-25高三上·江苏·阶段练习）如图1的方斗杯古时候常作为盛酒的一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加某种酒，当酒的高度是方斗杯高度的一半时，用酒，则该方斗杯可盛该种酒的总容积为（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设线段、、、的中点分别为、、、，利用台体的体积公式计算出棱台与棱台的体积之比，即可得该方斗杯可盛该种酒的总容积. 【详解】设线段、、、的中点分别为、、、，如下图所示： 易知四边形为等腰梯形，因为线段、的中点分别为、， 则， 设棱台的高为，体积为， 则棱台的高为，设其体积为， 则，则， 所以，，所以，该方斗杯可盛该种酒的总容积为. 故选：C. 变式6-2．（24-25高三下·山西·开学考试）已知某圆台的侧面展开图如图所示，，，，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设求出圆台的上，下底面半径及圆台的高，再利用圆台的体积公式，即可求解. 【详解】设圆台的上，下底面半径分别为，，则，解得， 所以圆台的上，下底面半径分别为． 如图1，因为，所以， 又由，得到，由，得到， 所以圆台的母线， 设圆台的高为，如图2，易知， 所以圆台的体积， 故选：B． 变式6-3．（24-25高三上·辽宁·期末）在正三棱台中，，，则该正三棱台的外接圆台（即正三棱台的每一个点都在该圆台的底面圆周上）的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出棱台的外接圆台，如图，利用正弦定理求出上下底面的直径，进而求出上下底面圆的面积，过作，求出圆台的高，即可利用公式直接求圆台的体积. 【详解】如图，圆台的两个底面分别为和的外接圆， 且是圆台的其中一条母线． 由正弦定理可得上底面直径， 下底面直径， 则上底面积，下底面积． 过作，垂足为， 则， 圆台的高． 故圆台的体积． 故选：B 【方法技巧与总结】 1 台体体积 ，其中分别为上，下底面面积，为棱台的高. 2 求台体的体积，可以利用公式，也可以把台体补回锥体用大椎体减去小锥体体积，往往可利用相似等平面几何知识. 【题型七：求球体的表面积或体积】 例7．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，直三棱柱是一块石材，测量得，，，．若将该石材切削、打磨，加工成几个大小相同的健身手球，则一个加工所得的健身手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为（    ） A．，4 B．，3 C．，4 D．，3 【答案】D 【分析】先求出底面直角三角形的内切圆半径，这个半径就是能加工出的最大健身手球的半径，再根据球的体积公式求出一个健身手球的最大体积，最后通过直三棱柱的高与球直径的关系求出健身手球的个数. 【详解】中，，，. 则斜边的长度为. 当健身手球与直三棱柱的三个侧面均相切时，健身手球的体积最大． 易知，设健身手球的半径为，则 ，解得． 则健身手球的最大直径为4．一个健身手球的最大体积. 直三棱柱的高，则由， 说明直三棱柱的高最多能容纳个球的直径长度，故加工成的健身手球的个数为. 故选：D. 变式7-1．（2025·山东日照·一模）已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4，高为．若该圆台内有一个球，则该球的表面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，作出圆台轴截面，分析可知，当球与相切时，其表面积最大，再结合条件求得球的半径，得到结果即可. 【详解】如图，作出圆台的轴截面，要使球的表面积最大，则球需要与相切， 设圆的半径为，则， 因为，所以， 作，，因为，所以， 而，由勾股定理得， 则，且， 而， 即得到，解得， 则该球的表面积的最大值为，故B正确. 故选：B 【点睛】关键点点睛：解题关键是判断出表面积最大时的情况，然后利用勾股定理建立方程，得到球的半径，进而得到所要求的表面积即可． 变式7-2．（24-25高三上·江西吉安·阶段练习）已知圆台存在内切球（球与圆台上、下底面以及侧面均相切），若圆台的上、下底面积分别为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：作出该圆台的轴截面，利用圆台的母线长为，再利用勾股定理求出，由球表面积可得答案；解法二：作出该圆台的轴截面，利用求出，即，再由球表面积可得答案. 【详解】解法一：作出该圆台的轴截面如下图所示，切点为，依题意， ，，解得，， 因为 所以圆台的母线长为，故， 故球的表面积为. 解法二：作出该圆台的轴截面如下图所示，切点为，依题意， ，，解得，， 因为， ，所以， 即，又，所以， 可得，即， 则球的半径， 故球的表面积为. 故选：B. 变式7-3．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，P为上的动点，则三棱锥的外接球表面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，画图找出外接球球心，再利用勾股定理和基本不等式求解即可. 【详解】解：由题易知是等腰直角三角形，则外接圆的圆心在AM的中点处， 过作平面ABC的垂线，则外接球的球心O在上， 过点P作交于点N，则四边形为矩形， 因为，，所以， 在三角形中，由余弦定理：可得， 所以， 设，，三棱锥的外接球的半径为R， 则，则， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 则三棱锥的外接球表面积 故选：B. 【方法技巧与总结】 1 球体面积，体积(其中为球的半径)； 2 求几何体的外接球或内接球的表面积或体积，主要要确定球的球心位置与半径. 一、单选题 1．（21-22高一下·河北邢台·阶段练习）已知某圆柱的内切球半径为，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得该圆柱底面圆的半径为，圆柱的高为9，从而可求出其侧面积 【详解】由题意得，该圆柱底面圆的半径为，圆柱的高为9， 所以该圆柱的侧面积为. 故选：D 2.（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示的正六棱柱，其底面边长是2，体对角线，则它的表面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正六棱柱的结构特征，求出棱柱的高，再计算它的表面积. 【详解】正六棱柱的底面边长为2，体对角线， 则高为，它的表面积为 . 故选：C. 3.（24-25高三上·山东潍坊·期末）不锈钢实心陀螺是早起民间的小孩子的娱乐工具之一，现在成了一些城市老年人健身和娱乐的工具，目前的成人陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成．如下图，已知一陀螺的圆柱的底面直径为16，圆柱和圆锥的高均为6，则该陀螺的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析该陀螺的表面结构，结合圆柱、圆锥的侧面积公式运算求解. 【详解】该陀螺的表面积有：底面圆面、圆柱的侧面和圆锥的侧面， 因为圆柱的底面直径为16，所以半径为8， 则底面圆面面积为：， 因为圆柱的高为6， 所以圆柱的侧面为：， 根据圆锥的高为6，底面圆的半径为8， 得圆锥母线长为， 所以圆锥的侧面为：， 所以该陀螺的表面积为：， 故选：A. 4.（24-25高三上·广东·阶段练习）一个正四面体边长为，则一个与该正四面体体积相等、高也相等的圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出正四面体的高和体积，再利用圆柱的体积公式及侧面积公式求解即可. 【详解】在正四面体中，是正的中心，则底面， 而，则正四面体的高， 体积， 设圆柱的底面圆半径为，依题意，，解得， 所以该圆柱的侧面积. 故选：A    5. （22-23高一下·贵州黔西·期末）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.地区不同，制作的粽子形状也不同，黔西南州最出名的就是鲜肉的灰色粽子，其形状接近于正三棱锥（如图）.若正三棱锥的底面边长为2，高为1，则该三棱锥的侧面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出正三棱锥侧面三角形的高即可求解. 【详解】如图，    正三棱锥中，底面，则为正三角形的中心， 连接并延长交于，则为的中点，且， 依题意，，正三角形的边长为2， 所以，，， ， 所以该三棱锥的侧面积为. 故选：B 6.（2025高三·全国·专题练习）如图，一个底面半径为3的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为4和10，则该几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将给定的几何体补成一个圆柱，再计算体积得到答案. 【详解】由几何体的直观图知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示， 将圆柱补全，并将圆柱从点处水平分成上，下两部分， 由图知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的， 所以该几何体的体积． 故选：B 7.（2025·河南洛阳·模拟预测）已知装满水的无盖圆柱容器的底面圆周的半径为，高为，圆柱的侧面积为，在圆柱里面放入两个半径为的铁球，则圆柱中剩余水的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据圆柱侧面积的条件求出半径，再依据半径计算圆柱下剩余水的体积即可. 【详解】已知圆柱的侧面积为，根据圆柱侧面积公式为可得方程. 变为. 解得.   先求圆柱的体积公式为（这里），所以圆柱体积. 那么圆柱下剩余水的体积. 把代入，得到.   故选：B. 8.（24-25高三上·福建泉州·期末）已知正三棱台的高为4，的内切圆和的外接圆的半径均为1，则该正三棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形面积公式和正弦定理求出和的边长，进而求出两三角形面积，利用台体体积公式进行求解. 【详解】和均为等边三角形，设边长为， 故，又， 故，解得，故， 在中，由正弦定理得，解得， 故， 故正三棱台体积为. 故选：A. 二、多选题 9．（23-24高一下·云南大理·期中）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和 D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小 【答案】ABC 【分析】根据球、圆锥、圆柱的表面积公式，体积公式逐项计算可得结论. 【详解】对于A：圆柱的侧面积为，所以A选项正确． 对于B：圆锥的侧面积为，所以B选项正确． 对于C：圆锥的体积为，圆柱的体积为， 球的体积为，所以圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和，所以C选项正确． 对于D：球的表面积为，圆柱的表面积为， 圆锥的表面积为，所以圆锥的表面积最小，故D错误. 故选：ABC. 10.（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知圆台的轴截面如图所示，其上底面半径为1、下底面半径为2，母线长为2，为母线中点，则下列结论正确的是（    ） A．圆台的高为2 B．圆台的侧面积为 C．圆台外接球的体积是 D．在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为5 【答案】BCD 【分析】在圆台轴截面利用勾股定理计算判断A选项；利用圆台的侧面积公式计算判断B选项；利用轴截面计算圆台外接球的半径，再利用球的体积公式计算得出结果判断C选项；在圆台的侧面上，从到的最短路径，在计算求得判断D选项； 【详解】对于A,如图所示， 过作交于点，过作交于点, 根据题意在中，, 故A错误； 对于B，圆台的侧面积为，故B正确； 对于C，设圆台外接球的球心为，半径.由题意可得：. 设，则，由，即， 解得：.即重合，所以.圆台外接球的体积是.故C正确； 对于D，如图示， 在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为.由题意可得：.由为中点，所以，所以.故D正确. 故选：BCD. 11. （2025·山东·模拟预测）如图，在正三棱台中，，三棱台的所有顶点均在球的球面上，则（   ） A． B．三棱台的体积为 C．球的表面积为 D．平面截球所得截面圆的周长为 【答案】ACD 【分析】对于A，延长交于点，通过，进而可判断；对于B，设点在底面上的投影为，连接，由可判断；对于C，设与平面的交点为，球的半径为，连接，由，求解即可；对于D，取的中点为，连接，过点作的平行线交直线于点，可知平面．求得，再由求得截得的圆面的半径为，即可判断； 【详解】 如图，延长交于点．因为，所以为的中位线． 因为，所以，则， 所以，同理可得． 因为，都在平面内，所以平面， 同理可得平面．又平面，所以，即，故A正确； 设点在底面上的投影为，连接，则， 所以， 所以 ，故B错误； 对于C，设与平面的交点为，球的半径为，连接，则． 因为， 当球心在棱台内部时，，解得，不满足题意， 当球心在平面下方时，①，且②． 由①②解得，所以球的表面积为，故C正确； 对于D，取的中点为，连接，过点作的平行线交直线于点，则平面． 因为，所以，所以， 所以球被平面截得的圆面的半径为，所以截面圆的周长为，故D正确． 故选：ACD 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·期末）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球表面积为 . 【答案】 【分析】利用长方体和外接球的关系可求球的半径，利用面积公式可得答案. 【详解】因为长方体的三条棱的长分别为，所以其对角线的长为， 因为长方体的各顶点均在同一球的球面上，所以球的直径等于长方体的对角线长，即半径为， 所以球表面积为. 故答案为： 13．（24-25高二上·上海·期末）将扇形纸壳剪掉扇形后得到扇环，，，如图1，用扇环制成一个圆台的侧面，如图2，则该圆台的体积为 ．    【答案】 【分析】根据扇形和圆台的几何关系，求上下底面圆的半径，以及高，最后代入圆台的体积同时，即可求解. 【详解】由条件可知，， 设圆台上底面的半径为，下底面半径为， 弧长的长为,弧长， 所以，，，， 圆台上下底面的高， 所以圆台的体积. 故答案为： 14．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）（如图甲）是一个水平放置的装有一定量水的四棱锥密闭容器（容器材料厚度不算），底面为平行四边形. 现将容器以棱为轴向左侧倾斜（如图乙），这时水面恰好经过，且分别为棱的中点，设棱锥的高为2，则图甲中，容器内的水面高度为 . 【答案】 【分析】将四棱锥补成平行六面体，利用棱柱和棱锥的体积公式逐项分析即可. 【详解】如图将四棱锥补成平行六面体，设平行四面体的体积为， 根据分别为棱的中点，设棱锥高为，体积为， 则，而三棱柱与平行六面体的高相同， 则， 根据四棱锥与平行六面体底和高均相同，则，则 易知， 则， 图甲中上方的小四棱锥高为,则，则， 故图甲中的水面高度为. 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在直三棱柱中，底面是边长为的正三角形，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，若圆柱的体积为，求： (1)剩余部分几何体的体积； (2)剩余部分几何体的表面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先由题意求出棱柱底面圆的半径，进而由圆柱体积求出棱柱的高h，再结合柱体体积公式用棱柱体积减去圆柱体积即可得解. （2）根据几何体的特征确定表面的组成部分即可求解. 【详解】（1）因为直三棱柱底面是边长为的正三角形， 所以底面圆的半径为， 设圆柱高为，则圆柱体积为，解得， 所以剩余几何体的体积为. （2）剩余部分几何体的表面积为 . 16. （24-25高二上·上海松江·期中）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上.    (1)若圆柱的高为，求该陀螺的体积及表面积； (2)规定陀螺圆锥的顶点S到圆柱中离它远的底面距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大.此时陀螺的高是多少呢？ 【答案】(1)陀螺体积、表面积分别为 ， ； (2)(). 【分析】（1）根据题意求得外接球半径 ，进而可求得底面半径，再应用圆锥、圆柱体积、表面积公式求结果； （2）令圆柱的高为 ，有陀螺的高为 ，应用圆柱体体积公式、基本不等式求侧面积最大值，确定取值条件，即可得结果. 【详解】（1）令陀螺外接球半径为，则，可得 ， 由题意，圆柱的矩形轴截面对角线长为 ，又圆柱的高为， 所以圆柱底面直径，则底面半径， 综上，圆锥的高为 ，母线长为 ， 所以陀螺的体积为 ， 陀螺表面积为 . （2）令圆柱的高为 ，由（1）知陀螺外接球半径 ， 所以圆柱底面直径为 ，圆锥的高为 ， 所以陀螺的高为 ， 由圆柱体侧面积 ， 当且仅当 时取等号， 所以陀螺的高是()时，圆柱体侧面积最大. 17.（24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知在平面四边形中，，，．将沿BD翻折至，，点在线段BD上，且，． (1)求证：面； (2)求三棱锥外接球的半径； (3)求直线CF与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）只需证明，，然后结合线面垂直的判定定理即可得证； （2）结合等边三角形的外心和三棱锥外接球球心的关系，设球的半径为R，，即可列出方程组，由此即可得解. （3）引入参数，结合线面角的定义将直线CF与平面所成角的正弦值表示成的函数，由此即可通过研究该函数的性质即可得解. 【详解】（1），，是等边三角形． 又，，即，． ，，由勾股定理得，． 又BC，面，，面． （2）过等边三角形的外心作直线面， 设球心，连接OA，OB，过点作，交AB于． 设球的半径为R，，则，，解得，． （3）由（1）得，面，， 而在中，，得，， 由题意，所以， 所以， 设到面的距离为，则， ，，得． 在中，由余弦定理，得． 设CF与平面所成角为， 则， ，，． 18. （22-23高一下·山西阳泉·期中）南北朝时期的伟大科学家祖暅，于五世纪末提出了体积计算原理，即祖暅原理：“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么，这两个几何体的体积相等．其最著名之处是解决了“牟合方盖”的体积问题．如图所示，正方体，棱长为． (1)求图中四分之一圆柱体的体积； (2)在图中画出四分之一圆柱体与四分之一圆柱体的一条交线（不要求说明理由）； (3)四分之一圆柱体与四分之一圆柱体公共部分是八分之一个“牟合方盖”．点在棱上，设过点作一个与正方体底面平行的平面，求该截面位于八分之一“牟合方盖”内部分的面积；如果令，应用祖暅原理求出八分之一“牟合方盖”的体积． 【答案】(1) (2)作图见解析 (3)面积为，体积为 【分析】（1）根据圆柱体体积公式求得结果； （2）观察图形，交线是一条直线，作出图像即可得到； （3）截面位于八分之一“牟合方盖”内的部分为正方形，求出此正方形的面积，再构造底面边长为，高为的正四棱锥， 根据祖暅原理，八分之一“牟合方盖”的体积等于正方体的体积减去该正四棱锥体积.. 【详解】（1）因为正方体的棱长为， 所以四分之一圆柱体的体积为：． （2）如图： 曲线是所求的一条交线． （3）如图：截面位于八分之一“牟合方盖”内的部分为正方形． 因为，所以，而正方体的棱长为，因此， 所以，因此正方形的面积为， 即该截面位于八分之一“牟合方盖”内部分的面积为． 用平行于八分之一“牟合方盖”底面， 且到“牟合方盖”底面的距离为的平面去截八分之一“牟合方盖”， 所得截面的面积为． 所得截面如图： 正方体的棱长为为底面的中心， 把正方体去掉正四棱锥后剩下的部分的底面与“牟合方盖”底面放到同一平面上， 则八分之一“牟合方盖”与所得几何体都夹在平面与平面之间， 则用平行于八分之一“牟合方盖”底面，且到“牟合方盖”底面的距离为的平面去截所得几何体， 截面为图中的阴影部分，且面积为， 因此八分之一“牟合方盖”的体积为， 所以当时，八分之一“牟合方盖”的体积为． 【点睛】思路点睛：本题提出了一个新的几何体的定义，要求新的几何体的体积需要转换为常见几何体体积来求解，本题关键在于由截面面积构建出一个正方体扣除正四棱锥后剩下的部分与所求立体图形像对应，从而解决问题. 19. （24-25高二上·湖北武汉·期中）在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成，其中，，且为该平面的法向量.已知集合，， (1)设集合，记中所有点构成的图形的面积为，中所有点构成的图形的面积为，求和的值； (2)记集合中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，求和的值； (3)记集合T中所有点构成的几何体为W．求W的体积的值． 【答案】(1)，； (2)，； (3)16. 【分析】（1）分析题意进行解答，分别表示出集合代表的点，得到的截面是正方形求出，同理得到是正方形求出即可. （2）根据（1）分析得为截去三棱锥所剩下的部分，用割补法求解体积即可. （3）根据题设，判断几何体的组成，再应用棱锥、棱柱体积公式求体积. 【详解】（1）集合表示平面上所有的点， 表示这八个顶点形成的正方体内所有的点， 而可以看成正方体在平面上的截面内所有的点，发现它是边长为2的正方形， 因此. 对于， 当时，表示经过，，的平面在第一象限的部分. 由对称性，知Q表示，，，这六个顶点形成的正八面体内所有的点. 而可以看成正八面体在平面上的截面内所有的点，它是边长为的正方形， 因此. （2）记集合，中所有点构成的几何体的体积分别为，； 考虑集合的子集； 即为三个坐标平面与围成的四面体. 四面体四个顶点分别为，，，， 此四面体的体积为， 由对称性知，， 考虑到的子集构成的几何体为棱长为1的正方体， 即， ， 显然为两个几何体公共部分， 记，，，. 容易验证，，在平面上，同时也在的底面上. 则为截去三棱锥所剩下的部分. 的体积，三棱锥的体积为. 故的体积. 当由对称性知，. （3） 如图所示，即为所构成的图形，其中正方体即为集合P所构成的区域. 构成了一个正四棱锥，其中到面的距离为，， 所以. 【点睛】关键点点睛：根据题干新定义判断各问中几何体的构成为关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$