第七章 7.3.5 已知三角函数值求角-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第三册教师用书（人教B版2019）

7.3.5 第七章 <<< 已知三角函数值求角 1.掌握已知三角函数值求角的步骤和方法. 2.了解符号arcsin x，arccos x，arctan x的含义，并能用这些符号表示非特殊角. 学习目标 特工人员发送情报时都用密码传送，接到密码的人员要把密码还原到原来的文字才能使用.这种加密与还原的过程类似于数学上求函数值与反函数值.如已知角求三角函数值是加密的过程，那么由三角函数值求角就是还原的过程.对于某一种三角函数来说，由于每一个三角函数值都有多个角对应，因此由三角函数值求角就变得比较困难.究竟如何由三角函数值求角呢？下面我们来一起学习吧！ 导 语 一、已知正弦、余弦值求角、解不等式 二、已知正切值求角、解不等式 课时对点练 三、arcsin x，arccos x，arctan x的含义 随堂演练 内容索引 已知正弦、余弦值求角、解不等式 一 如何求解关于x的方程sin x=a和不等式sin x<a(或sin x>a)的解集？ 问题1 提示　(1)方法一　利用三角函数线 如图，以射线OP与OP'为终边的角构成sin x=a的解集. 终边在图中阴影部分(不含边界)的角构成sin x<a的解集，终边在空白部分(不含边界)的角构成sin x>a的解集. (2)方法二　利用三角函数图象 ①如图，交点P与P'的横坐标为[0，2π]内使sin x=a成立的x的值，即为sin x=a在[0，2π]上的解. ②曲线上加粗部分(不含边界)对应的x值构成sin x<a在[0，2π]上的解集；其余部分(不含边界)对应的x值构成sin x>a在[0，2π]上的解集. ③结合正弦函数的周期性把①②中的解集扩展到整个定义域内. 对于关于x的方程cos x=a和不等式cos x<a(或cos x>a)又怎么求解呢？ 问题2 提示　(1)方法一　利用三角函数线 如图，以射线OP与OP'为终边的角构成cos x=a的解集. 终边在阴影部分(不包含边界)的角构成cos x<a的解集，终边在空白部分(不包含边界)的角构成cos x>a的解集. (2)方法二　利用三角函数图象 ①如图，交点P与P'的横坐标为[0，2π]内使cos x=a成立的x的值，即为cos x=a在[0，2π]上的解. ②曲线上加粗部分(不含边界)对应的x值构成cos x<a在[0，2π]上的解集；其余部分(不含边界)对应的x值构成cos x>a在[0，2π]上的解集. ③结合余弦函数的周期性把①②中的解集扩展到整个定义域内. 已知f(x)=2sin. (1)若x∈且f(x)=-，求x的值； 例 1 12 ∵2sin=-， 即sin=-， ∴角2x-，如图， ∴角2x-的终边为OP或OP'， 又sin=sin=-， ∴2x-=-+2kπ或2x-=-+2kπ，k∈Z， 即x=kπ或x=-+kπ，k∈Z， 又∵x∈，∴x=-或x=0. 13 (2)解不等式f(x)<-. 原不等式可化为sin<-， 由(1)及图可知-+2kπ<2x-<-+2kπ，k∈Z. 解得-+kπ<x<kπ，k∈Z， ∴原不等式的解集为. 14 (1)利用单位圆中的三角函数线，先求一个周期内的角，再加上周期的整数倍，即得到所有的角. (2)利用三角函数的图象，作出一个周期内的三角函数图象，找出一个周期内的角，再加上周期的整数倍即可. 已知正弦、余弦三角函数值求特殊角的方法 反 思 感 悟 15 已知f(x)=cos. (1)若f(x)=，求x； 跟踪训练 1 利用三角函数线可知，x∈[0，2π]时， cos=cos=， 令3x+=+2kπ或3x+=+2kπ，k∈Z. 解得x=+或x=+，k∈Z. 16 (2)解不等式f(x)<. 由(1)及三角函数线知，+2kπ<3x+<+2kπ，k∈Z， 解得+<x<+，k∈Z. 17 已知正切值求角、解不等式 二 类比已知正、余弦值，求角的方法；怎么求解关于x的方程tan x=a和不等式tan x<a(或tan x>a)的解集？ 问题3 提示　(1)方法一　利用三角函数线 以射线OP与OP'为终边的角构成tan x=a的解集. 终边在图中阴影部分(不含边界)的角构成tan x<a的解集，终边在空白部分(不含边界)的角构成tan x>a的解集. (2)方法二　利用三角函数图象 ①交点P的横坐标为内使tan x=a成立 的x的值，即为tan x=a在上的解. ②曲线上加粗部分(不含边界)对应的x值构成tan x<a在上的解集；其余部分(不含边界)对应的x值构成tan x>a在上的解集. ③结合正切函数的周期性把①②中的解集扩展到整个定义域内. 已知f(x)=tan. (1)若f(x)=，求x； 例 2 22 tan=>0， 角x+， 如图所示，∴角x+的终边为OT或OT'. ∵tan=tan=， ∴x+=+kπ，k∈Z. 即x=+2kπ，k∈Z. 23 (2)解不等式f(x)≥. 由(1)及三角函数线知+kπ≤x+<+kπ，k∈Z， 解得+2kπ≤x<+2kπ，k∈Z， ∴原不等式的解集为 . 24 反 思 感 悟 利用单位圆中的正切线，先求出一个周期内的角，再加上kπ即可由正切函数值求角，也可以利用正切函数的图象求解. 已知f(x)=tan. (1)若f(x)=-，x∈，求x； 跟踪训练 2 ∵在内，tan=-， ∴2x-=-+kπ，k∈Z， 解得x=+，k∈Z， 又x∈，∴x=-或x=. 26 (2)解不等式f(x)<-. 令-+kπ<2x-<-+kπ，k∈Z， 解得-+<x<+，k∈Z. ∴原不等式的解集为 . 27 arcsin x，arccos x，arctan x的含义 三 对于sin x=，cos x=，tan x=2，x∈对应的角显然不是 特殊角，如何表示？ 问题4 提示　sin x=，cos x=，tan x=2，x∈的角分别可表示为arcsin，arccos，arctan 2. 1.在区间内，满足sin x=y的x只有一个，记作 x=________.  2.在区间________ 内，满足cos x=y的x只有一个，记作 x=________.  3.在区间_________ 内，满足tan x=y(y∈R)的x只有一个，记作x=_______.  arcsin y [0，π] arccos y arctan y 知识梳理 30 (1)arccos=　　　.  例 3 在[0，π]内，cos=，∴arccos=. 31 (2)已知sin x=，求x的值. ∵当x∈时，sin x=， ∴x=arcsin. ∴当x∈R时，x=arcsin+2kπ或x=π-arcsin+2kπ，k∈Z. 32 (3)已知tan α=-2，α∈(0，2π)，求α的值. 设β∈，且tan β=-2， ∴β=arctan(-2)， ∴α=β+kπ=arctan(-2)+kπ，k∈Z， 又α∈(0，2π)， ∴α=arctan(-2)+π或α=arctan(-2)+2π. 33 反 思 感 悟 (1)方程y=sin x=a，|a|≤1的解集可写为{x|x=arcsin a+2kπ或 x=-arcsin a+(2k+1)π，k∈Z}，也可化简为{x|x=(-1)karcsin a+kπ，k∈Z}. (2)方程cos x=a，|a|≤1的解集可写成{x|x=±arccos a+2kπ，k∈Z}. (3)方程tan x=a，a∈R的解集为{x|x=arctan a+kπ，k∈Z}. (1)已知tan x=，且x∈(0，2π)，则x=　　 　.  跟踪训练 3 arctan或π+arctan ∵tan x=， ∴当x∈(0，π)时，x=arctan； 当x∈(π，2π)时，x=π+arctan. ∴当x∈(0，2π)时， x=arctan或x=π+arctan. 35 (2)arccos=　　　，arctan =　　　.  36 1.知识清单： (1)利用单位圆中的三角函数线或三角函数图象，由三角函数值求角、解不等式. (2)arcsin x，arccos x，arctan x的含义. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：arcsin x，arccos x，arctan x的取值范围容易出错. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.(多选)以下各式中正确的是 A.arcsin 1= B.arccos(-1)=π C.arctan 0=0 D.arccos 1=2π √ arcsin x∈，arccos x∈[0，π]，arctan x∈， 故arccos 1=0，故D错，A，B，C均正确. √ √ 1 2 3 4 2.(多选)若sin x=(x∈[0，2π))，则x等于 A.arcsin B.π-arcsin C. D. √ √ ∵sin x=(x∈[0，2π))， ∴x=arcsin或x=π-arcsin， ∴方程的解集为. 3.已知tan=，则x=　　 　　.  1 2 3 4 由题意得2x-=+kπ，k∈Z， 解得x=+，k∈Z. +，k∈Z 1 2 3 4 4.函数y=ln(cos 2x-1)的定义域为　　 　.  依题意得cos 2x-1>0，∴cos 2x>， ∴-+2kπ<2x<+2kπ，k∈Z. 解得-+kπ<x<+kπ，k∈Z. 课时对点练 五 答案 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D C C C -或 - 题号 11 12 13 14　 　15 答案 B C D ∪∪ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1) ∵y=sin x在上单调递增， 且sin=.∴满足条件的角只有x=. ∴x的取值集合为. (2) ∵sin x=>0， ∴x为第一或第二象限角且sin=sin=. ∴在[0，2π]上符合条件的角x=或x=. ∴x的取值集合为. (3)当x∈R时，x的取值集合为 . 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1) ∵cos =cos=， ∴2x-=-+2kπ或2x-=+2kπ，k∈Z. ∴x=+kπ或x=+kπ，k∈Z. (2) y=cos x的图象如图所示， 在[-π，π]上，若cos=-x+=-x+=， ∴cos>-，则-+2kπ<x+<+2kπ，k∈Z， 解得-+4kπ<x<+4kπ，k∈Z， ∴原不等式的解集为 . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)若选①，因为 ===cos θ=， 又θ为锐角，所以θ=. 若选②，由2sin2θ-cos θ-1=0， 得2cos2θ+cos θ-1=0，即(2cos θ-1)(cos θ+1)=0， 解得cos θ=或cos θ=-1， 因为θ为锐角， 所以cos θ=， 即θ=. 若选③， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 因为·sin·cos=·(-cos θ)·(-sin θ)=cos2θ=， 解得cos θ=±， 又θ为锐角，所以cos θ=，即θ=. (2)由(1)知θ=， 则函数的解析式f(x)=tan. 由2x+≠kπ+，k∈Z，得x≠+，k∈Z， 所以函数的定义域为. 函数的周期T=. (3)由(2)知f(x)=tan. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. ∵tan>-1， 令kπ-<2x+<kπ+，k∈Z， 解得-<x<+，k∈Z， ∴满足f(x)>-1时x的取值集合为 . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.若α是三角形内角，且sin α=，则α等于 A.30° B.30°或150° C.60° D.120°或60° √ ∵sin 30°=， sin 150°=sin(180°-30°)=sin 30°=， ∴α=30°或150°. 答案 2.已知cos α=，α∈，则 A.α= B.α=- C.α=± D.α=± 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 把选项中α的值代入原式可得cos=，cos=. 答案 3.若tan x=-，0<x<2π，则角x等于 A.或 B.或 C.或 D.或 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵tan x=-<0，∴x为第二或第四象限角. 符合条件tan x0=的锐角x0=. 而tan=-tan=-， tan=-tan=-， ∴x=π-=或x=2π-=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.下列叙述错误的是 A.arctan y表示一个内的角 B.若x=arcsin y，|y|≤1，则sin x=y C.若tan=y，则x=2arctan y D.arcsin y，arccos y中的y∈[-1，1] √ C项中没有给定x的范围，=arctan y+kπ，k∈Z， 即x=2arctan y+2kπ，k∈Z. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.若<x<π且cos x=-，则x等于 A.arccos B.-arccos C.π-arccos D.π+arccos ∵x∈，∴π-x∈，∵cos(π-x)=-cos x=，∴arccos=π-x，即x=π-arccos. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.不等式sin>-的解集为 A. B. C. D. √ 由题意，得-+2kπ<x+<+2kπ，k∈Z， 解得-+2kπ<x<+2kπ，k∈Z. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵在(0，2π)内，cos=cos=-， ∴x-=+2kπ或x-=+2kπ，k∈Z， ∴x=+2kπ或x=+2kπ，k∈Z， 又x∈(-π，π)，∴x=-或x=. 7.已知cos=-，x∈(-π，π)，则x=　　　　.  -或 答案 8.已知x=arctan，x∈，则sin x=　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵tan=-，且-∈， ∴x=-，∴sin x=sin=-. - 答案 9.已知sin x=. (1)当x∈时，求x的取值集合； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵y=sin x在上单调递增， 且sin=.∴满足条件的角只有x=. ∴x的取值集合为. 答案 (2)当x∈[0，2π]时，求x的取值集合； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵sin x=>0， ∴x为第一或第二象限角且sin=sin=. ∴在[0，2π]上符合条件的角x=或x=. ∴x的取值集合为. 答案 (3)当x∈R时，求x的取值集合. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x∈R时，x的取值集合为 . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)已知cos=，求x. ∵cos =cos=， ∴2x-=-+2kπ或2x-=+2kπ，k∈Z. ∴x=+kπ或x=+kπ，k∈Z. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求不等式cos>-的解集. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y=cos x的图象如图所示， 在[-π，π]上，若cos=-x+=-x+=， ∴cos>-，则-+2kπ<x+<+2kπ，k∈Z， 解得-+4kπ<x<+4kπ，k∈Z， ∴原不等式的解集为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.若tan=，则在区间[0，2π]上解的个数为 A.5 B.4 C.3 D.2 √ 综合运用 ∵tan=， ∴2x+=+kπ(k∈Z)， ∴x=-+(k∈Z). ∵x∈[0，2π]， ∴x=或x=或x=或x=. 答案 12.设α=arcsin，β=arctan，γ=arccos，则α，β，γ的大小 关系是 A.α<β<γ B.α<γ<β C.β<α<γ D.β<γ<α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵α=arcsin，∴sin α=-，-≤α≤， ∴-<α<0， ∵β=arctan，∴tan β=-，-<β<， ∴-<β<-， ∵γ=arccos，∴cos γ=-，0≤γ≤π， ∴<γ<π， ∴β<α<γ. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.在△ABC中，sin-cos=0，则A等于 A. B. C.或 D.或 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 sin=cos， 若cos=0，则sin=0， 与sin2+cos2=1矛盾， ∴cos≠0， ∴tan=1， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴2A-=+kπ，k∈Z， ∴A=+，k∈Z， 又A∈(0，π)， ∴A=. 答案 14.求值：arcsin+tan+2sin=　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵arcsin=arcsin=， tan=tan=-， 2sin=2sin=， ∴原式=-+=. 答案 15.函数f(x)=+log2(2sin x-)的定义域是_____________________ __________.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 ∪ ∪ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意 由sin x>+2kπ<x<+2kπ，k∈Z， 又-8≤x≤8， ∴-<x<-<x<<x≤8. 故f(x)的定义域为∪∪. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知θ为锐角，在以下三个条件中任选一个，并解答以下问题. ①=； ②2sin2θ-cos θ-1=0； ③·sin·cos=. (1)若选　　　　(填序号)，求θ的值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若选①，因为 ===cos θ=， 又θ为锐角，所以θ=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若选②，由2sin2θ-cos θ-1=0， 得2cos2θ+cos θ-1=0，即(2cos θ-1)(cos θ+1)=0， 解得cos θ=或cos θ=-1， 因为θ为锐角， 所以cos θ=， 即θ=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若选③， 因为·sin·cos=·(-cos θ)·(-sin θ)=cos2θ=， 解得cos θ=±， 又θ为锐角，所以cos θ=，即θ=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)在(1)的条件下，求函数f(x)=tan(2x+θ)的定义域和周期； 由(1)知θ=， 则函数的解析式f(x)=tan. 由2x+≠kπ+，k∈Z，得x≠+，k∈Z， 所以函数的定义域为. 函数的周期T=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)求(2)中满足f(x)>-1时x的取值集合. 由(2)知f(x)=tan. ∵tan>-1， 令kπ-<2x+<kπ+，k∈Z， 解得-<x<+，k∈Z， ∴满足f(x)>-1时x的取值集合为 . 答案 第一章 <<< $$ 7.3.5　已知三角函数值求角 ［学习目标］　1.掌握已知三角函数值求角的步骤和方法.2.了解符号arcsin x，arccos x，arctan x的含义，并能用这些符号表示非特殊角. 导语　 特工人员发送情报时都用密码传送，接到密码的人员要把密码还原到原来的文字才能使用.这种加密与还原的过程类似于数学上求函数值与反函数值.如已知角求三角函数值是加密的过程，那么由三角函数值求角就是还原的过程.对于某一种三角函数来说，由于每一个三角函数值都有多个角对应，因此由三角函数值求角就变得比较困难.究竟如何由三角函数值求角呢？下面我们来一起学习吧！ 一、已知正弦、余弦值求角、解不等式 问题1　如何求解关于x的方程sin x=a和不等式sin x<a(或sin x>a)的解集？ 提示　(1)方法一　利用三角函数线 如图，以射线OP与OP'为终边的角构成sin x=a的解集. 终边在图中阴影部分(不含边界)的角构成sin x<a的解集，终边在空白部分(不含边界)的角构成sin x>a的解集. (2)方法二　利用三角函数图象 ①如图，交点P与P'的横坐标为［0，2π］内使sin x=a成立的x的值，即为sin x=a在［0，2π］上的解. ②曲线上加粗部分(不含边界)对应的x值构成sin x<a在［0，2π］上的解集；其余部分(不含边界)对应的x值构成sin x>a在［0，2π］上的解集. ③结合正弦函数的周期性把①②中的解集扩展到整个定义域内. 问题2　对于关于x的方程cos x=a和不等式cos x<a(或cos x>a)又怎么求解呢？ 提示　(1)方法一　利用三角函数线 如图，以射线OP与OP'为终边的角构成cos x=a的解集. 终边在阴影部分(不包含边界)的角构成cos x<a的解集，终边在空白部分(不包含边界)的角构成cos x>a的解集. (2)方法二　利用三角函数图象 ①如图，交点P与P'的横坐标为［0，2π］内使cos x=a成立的x的值，即为cos x=a在［0，2π］上的解. ②曲线上加粗部分(不含边界)对应的x值构成cos x<a在［0，2π］上的解集；其余部分(不含边界)对应的x值构成cos x>a在［0，2π］上的解集. ③结合余弦函数的周期性把①②中的解集扩展到整个定义域内. 例1　已知f(x)=2sin. (1)若x∈且f(x)=-，求x的值； (2)解不等式f(x)<-. 解　(1)∵2sin=-， 即sin=-， ∴角2x-的正弦线向下，且长度为，如图， ∴角2x-的终边为OP或OP'， 又sin=sin=-， ∴2x-=-+2kπ或2x-=-+2kπ，k∈Z， 即x=kπ或x=-+kπ，k∈Z， 又∵x∈，∴x=-或x=0. (2)原不等式可化为sin<-， 由(1)及图可知-+2kπ<2x-<-+2kπ，k∈Z. 解得-+kπ<x<kπ，k∈Z， ∴原不等式的解集为. 反思感悟　已知正弦、余弦三角函数值求特殊角的方法 (1)利用单位圆中的三角函数线，先求一个周期内的角，再加上周期的整数倍，即得到所有的角. (2)利用三角函数的图象，作出一个周期内的三角函数图象，找出一个周期内的角，再加上周期的整数倍即可. 跟踪训练1　已知f(x)=cos. (1)若f(x)=，求x； (2)解不等式f(x)<. 解　(1)利用三角函数线可知，x∈［0，2π］时， cos=cos=， 令3x+=+2kπ或3x+=+2kπ，k∈Z. 解得x=+或x=+，k∈Z. (2)由(1)及三角函数线知，+2kπ<3x+<+2kπ，k∈Z，解得+<x<+，k∈Z. 二、已知正切值求角、解不等式 问题3　类比已知正、余弦值，求角的方法；怎么求解关于x的方程tan x=a和不等式tan x<a(或tan x>a)的解集？ 提示　(1)方法一　利用三角函数线 以射线OP与OP'为终边的角构成tan x=a的解集. 终边在图中阴影部分(不含边界)的角构成tan x<a的解集，终边在空白部分(不含边界)的角构成tan x>a的解集. (2)方法二　利用三角函数图象 ①交点P的横坐标为内使tan x=a成立的x的值，即为tan x=a在上的解. ②曲线上加粗部分(不含边界)对应的x值构成tan x<a在上的解集；其余部分(不含边界)对应的x值构成tan x>a在上的解集. ③结合正切函数的周期性把①②中的解集扩展到整个定义域内. 例2　已知f(x)=tan. (1)若f(x)=，求x； (2)解不等式f(x)≥. 解　(1)tan=>0， 角x+对应的正切线向上，且长度为， 如图所示，∴角x+的终边为OT或OT'. ∵tan=tan=， ∴x+=+kπ，k∈Z. 即x=+2kπ，k∈Z. (2)由(1)及三角函数线知+kπ≤x+<+kπ，k∈Z， 解得+2kπ≤x<+2kπ，k∈Z， ∴原不等式的解集为 . 反思感悟　利用单位圆中的正切线，先求出一个周期内的角，再加上kπ即可由正切函数值求角，也可以利用正切函数的图象求解. 跟踪训练2　已知f(x)=tan. (1)若f(x)=-，x∈，求x； (2)解不等式f(x)<-. 解　(1)∵在内，tan=-， ∴2x-=-+kπ，k∈Z， 解得x=+，k∈Z， 又x∈，∴x=-或x=. (2)令-+kπ<2x-<-+kπ，k∈Z， 解得-+<x<+，k∈Z. ∴原不等式的解集为<x<+，k∈Z｝. 三、arcsin x，arccos x，arctan x的含义 问题4　对于sin x=，cos x=，tan x=2，x∈对应的角显然不是特殊角，如何表示？ 提示　sin x=，cos x=，tan x=2，x∈的角分别可表示为arcsin，arccos，arctan 2. 知识梳理 1.在区间内，满足sin x=y的x只有一个，记作x=arcsin y.  2.在区间［0，π］内，满足cos x=y的x只有一个，记作x=arccos y.  3.在区间内，满足tan x=y(y∈R)的x只有一个，记作x=arctan y.  例3　(1)arccos=　　　　.  答案　 解析　在［0，π］内，cos=，∴arccos=. (2)已知sin x=，求x的值. 解　∵当x∈时，sin x=， ∴x=arcsin. ∴当x∈R时，x=arcsin+2kπ或x=π-arcsin+2kπ，k∈Z. (3)已知tan α=-2，α∈(0，2π)，求α的值. 解　设β∈，且tan β=-2， ∴β=arctan(-2)， ∴α=β+kπ=arctan(-2)+kπ，k∈Z， 又α∈(0，2π)， ∴α=arctan(-2)+π或α=arctan(-2)+2π. 反思感悟　(1)方程y=sin x=a，|a|≤1的解集可写为｛x|x=arcsin a+2kπ或x=-arcsin a+(2k+1)π，k∈Z｝，也可化简为｛x|x=(-1)karcsin a+kπ，k∈Z｝. (2)方程cos x=a，|a|≤1的解集可写成｛x|x=±arccos a+2kπ，k∈Z｝. (3)方程tan x=a，a∈R的解集为｛x|x=arctan a+kπ，k∈Z｝. 跟踪训练3　(1)已知tan x=，且x∈(0，2π)，则x=　　　　.  答案　arctan或π+arctan 解析　∵tan x=， ∴当x∈(0，π)时，x=arctan； 当x∈(π，2π)时，x=π+arctan. ∴当x∈(0，2π)时， x=arctan或x=π+arctan. (2)arccos=　　　　，arctan =　　　.  答案　　 1.知识清单： (1)利用单位圆中的三角函数线或三角函数图象，由三角函数值求角、解不等式. (2)arcsin x，arccos x，arctan x的含义. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：arcsin x，arccos x，arctan x的取值范围容易出错. 1.(多选)以下各式中正确的是(　　) A.arcsin 1= B.arccos(-1)=π C.arctan 0=0 D.arccos 1=2π 答案　ABC 解析　arcsin x∈，arccos x∈［0，π］，arctan x∈，故arccos 1=0，故D错，A，B，C均正确. 2.(多选)若sin x=(x∈［0，2π))，则x等于(　　) A.arcsin B.π-arcsin C. D. 答案　AB 解析　∵sin x=(x∈［0，2π))， ∴x=arcsin或x=π-arcsin， ∴方程的解集为. 3.已知tan=，则x=　　　　.  答案　+，k∈Z 解析　由题意得2x-=+kπ，k∈Z， 解得x=+，k∈Z. 4.函数y=ln(cos 2x-1)的定义域为　　　　.  答案　 解析　依题意得cos 2x-1>0，∴cos 2x>， ∴-+2kπ<2x<+2kπ，k∈Z. 解得-+kπ<x<+kπ，k∈Z. 　　　　 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共45分 1.若α是三角形内角，且sin α=，则α等于(　　) A.30° B.30°或150° C.60° D.120°或60° 答案　B 解析　∵sin 30°=， sin 150°=sin(180°-30°)=sin 30°=， ∴α=30°或150°. 2.已知cos α=，α∈，则(　　) A.α= B.α=- C.α=± D.α=± 答案　C 解析　把选项中α的值代入原式可得cos=，cos=. 3.若tan x=-，0<x<2π，则角x等于(　　) A.或 B.或 C.或 D.或 答案　D 解析　∵tan x=-<0，∴x为第二或第四象限角. 符合条件tan x0=的锐角x0=. 而tan=-tan=-， tan=-tan=-， ∴x=π-=或x=2π-=. 4.下列叙述错误的是(　　) A.arctan y表示一个内的角 B.若x=arcsin y，|y|≤1，则sin x=y C.若tan=y，则x=2arctan y D.arcsin y，arccos y中的y∈［-1，1］ 答案　C 解析　C项中没有给定x的范围，=arctan y+kπ，k∈Z，即x=2arctan y+2kπ，k∈Z. 5.若<x<π且cos x=-，则x等于(　　) A.arccos B.-arccos C.π-arccos D.π+arccos 答案　C 解析　∵x∈，∴π-x∈，∵cos(π-x)=-cos x=，∴arccos=π-x，即x=π-arccos. 6.不等式sin>-的解集为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意，得-+2kπ<x+<+2kπ，k∈Z，解得-+2kπ<x<+2kπ，k∈Z. 7.(5分)已知cos=-，x∈(-π，π)，则x=　　　　　　　.  答案　-或 解析　∵在(0，2π)内，cos=cos=-， ∴x-=+2kπ或x-=+2kπ，k∈Z， ∴x=+2kπ或x=+2kπ，k∈Z， 又x∈(-π，π)，∴x=-或x=. 8.(5分)已知x=arctan，x∈，则sin x=　　　.  答案　- 解析　∵tan=-，且-∈， ∴x=-，∴sin x=sin=-. 9.(10分)已知sin x=. (1)当x∈时，求x的取值集合；(3分) (2)当x∈［0，2π］时，求x的取值集合；(3分) (3)当x∈R时，求x的取值集合.(4分) 解　(1)∵y=sin x在上单调递增， 且sin=.∴满足条件的角只有x=. ∴x的取值集合为. (2)∵sin x=>0， ∴x为第一或第二象限角且sin=sin=. ∴在［0，2π］上符合条件的角x=或x=. ∴x的取值集合为. (3)当x∈R时，x的取值集合为 . 10.(12分)(1)已知cos=，求x.(5分) (2)求不等式cos>-的解集.(7分) 解　(1)∵cos =cos=， ∴2x-=-+2kπ或2x-=+2kπ，k∈Z. ∴x=+kπ或x=+kπ，k∈Z. (2)y=cos x的图象如图所示， 在［-π，π］上，若cos=-，则x+=-或x+=， ∴cos>-，则-+2kπ<x+<+2kπ，k∈Z， 解得-+4kπ<x<+4kπ，k∈Z， ∴原不等式的解集为 . 11.若tan=，则在区间［0，2π］上解的个数为(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 答案　B 解析　∵tan=， ∴2x+=+kπ(k∈Z)， ∴x=-+(k∈Z). ∵x∈［0，2π］， ∴x=或x=或x=或x=. 12.设α=arcsin，β=arctan，γ=arccos，则α，β，γ的大小关系是(　　) A.α<β<γ B.α<γ<β C.β<α<γ D.β<γ<α 答案　C 解析　∵α=arcsin，∴sin α=-，-≤α≤， ∴-<α<0， ∵β=arctan，∴tan β=-，-<β<， ∴-<β<-， ∵γ=arccos，∴cos γ=-，0≤γ≤π， ∴<γ<π， ∴β<α<γ. 13.在△ABC中，sin-cos=0，则A等于(　　) A. B. C.或 D.或 答案　D 解析　sin=cos， 若cos=0，则sin=0， 与sin2+cos2=1矛盾， ∴cos≠0， ∴tan=1， ∴2A-=+kπ，k∈Z， ∴A=+，k∈Z， 又A∈(0，π)， ∴A=或. 14.(5分)求值：arcsin+tan+2sin=　　　　.  答案　 解析　∵arcsin=arcsin=， tan=tan=-， 2sin=2sin=， ∴原式=-+=. 15.(5分)函数f(x)=+log2(2sin x-)的定义域是　　　　　　　　　　　　　　.  答案　∪∪ 解析　依题意即 由sin x>，得+2kπ<x<+2kπ，k∈Z， 又-8≤x≤8， ∴-<x<-或<x<或<x≤8. 故f(x)的定义域为∪∪. 16.(13分)已知θ为锐角，在以下三个条件中任选一个，并解答以下问题. ①=； ②2sin2θ-cos θ-1=0； ③·sin·cos=. (1)若选　　　　(填序号)，求θ的值；(4分)  (2)在(1)的条件下，求函数f(x)=tan(2x+θ)的定义域和周期；(5分) (3)求(2)中满足f(x)>-1时x的取值集合.(4分) 解　(1)若选①，因为 ===cos θ=， 又θ为锐角，所以θ=. 若选②，由2sin2θ-cos θ-1=0， 得2cos2θ+cos θ-1=0，即(2cos θ-1)(cos θ+1)=0， 解得cos θ=或cos θ=-1， 因为θ为锐角， 所以cos θ=， 即θ=. 若选③， 因为·sin·cos=·(-cos θ)·(-sin θ)=cos2θ=， 解得cos θ=±， 又θ为锐角，所以cos θ=，即θ=. (2)由(1)知θ=， 则函数的解析式f(x)=tan. 由2x+≠kπ+，k∈Z，得x≠+，k∈Z， 所以函数的定义域为. 函数的周期T=. (3)由(2)知f(x)=tan. ∵tan>-1， 令kπ-<2x+<kπ+，k∈Z， 解得-<x<+，k∈Z， ∴满足f(x)>-1时x的取值集合为 . 学科网（北京）股份有限公司 $$