第七章 7.3.3 余弦函数的性质与图象-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第三册教师用书（人教B版2019）

7.3.3　余弦函数的性质与图象 ［学习目标］　1.会用“五点法”和图象平移伸缩变换作出余弦函数的简图.2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间、最值、对称轴和对称中心，并会简单应用. 导语　 过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷.过山车的运动包含了许多原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理.一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)等几个循环路径.这节课我们要研究的余弦函数y=cos x的图象也像过山车一样“爬升”“滑落”，这是y=cos x的什么性质？有了前面我们研究正弦函数的经验，我们来探究一下余弦函数的性质与图象. 一、余弦函数 知识梳理　 因为对于任意一个角x，都有唯一确定的余弦cos x与之对应，所以y=cos x是一个函数，一般称为余弦函数. 二、余弦函数的性质与图象 问题　由于刚学习了正弦函数的性质及图象，怎么根据正弦函数快速地确定余弦函数的性质与图象？ 提示　由y=cos x=sin，只需研究y=sin的性质与图象即可. 知识梳理　 余弦函数的性质与图象 性质 内容 图象 定义域 R 值域 ［-1，1］ 周期性 T=2kπ，k∈Z，最小正周期为2π 奇偶性 偶函数 单调区间 在［-π+2kπ，2kπ］(k∈Z)上递增， 在［2kπ，π+2kπ］(k∈Z)上递减 最值 当x=2kπ(k∈Z)时，取得最大值1； 当x=π+2kπ(k∈Z)时，取得最小值-1 对称性 对称轴为x=kπ，对称中心为 ，其中k∈Z 零点 +kπ(k∈Z) 三、余弦函数的单调性及其应用 例1　(1)函数f(x)=5cos的一个单调递减区间是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　f(x)=5cos， 由2kπ≤3x+≤π+2kπ(k∈Z)， 得-+≤x≤+(k∈Z)， 所以是f(x)的一个单调递减区间. (2)设a=cos，b=sin，c=cos，则(　　) A.a>c>b B.c>b>a C.c>a>b D.b>c>a 答案　A 解析　b=sin=sin=sin=sin=cos，c=cos=cos，因为>>>，且y=cos x在上单调递减，所以a>c>b. 反思感悟　(1)余弦型函数单调区间的求法 ①如果x的系数为负，则利用诱导公式变为正. ②将ωx+φ看作整体，代入到余弦函数的单调区间解出x的范围. ③若求具体的或一个范围内的单调区间，则给k赋值，即可求出符合条件的单调区间. (2)关于三角函数值比较大小 利用诱导公式，统一成正弦或余弦函数，统一化到一个单调区间，利用单调性比较大小. 跟踪训练1　(1)三个三角函数cos 110°，cos 80°，-cos 50°的大小关系为　　　　　　　　　　　.  答案　cos 80°>cos 110°>-cos 50° 解析　-cos 50°=cos(180°-50°)=cos 130°， ∵函数y=cos x在［0，π］上单调递减，∴cos 80°>cos 110°>cos 130°，即cos 80°>cos 110°>-cos 50°. (2)若函数f(x)=cos(ωx+φ)，φ∈的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　) A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z 答案　D 解析　由图象知，周期T=2×=2， ∴=2，∴ω=π. 由π×+φ=+2kπ，k∈Z， 得φ=+2kπ，k∈Z， 又φ∈，∴φ=，∴f(x)=cos. 由2kπ≤πx+≤π+2kπ，k∈Z， 得-+2k≤x≤+2k，k∈Z， ∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z. 四、余弦函数的奇偶性、对称性 例2　(1)函数y=3cos图象的一条对称轴可以是(　　) A.x=- B.x= C.x=- D.x= 答案　B 解析　根据函数y=3cos的图象，要求函数的对称轴方程，令2x-=kπ(k∈Z)，解得x=+(k∈Z)，令k=1得x=. (2)函数y=3cos 2x+4(x∈R)是(　　) A.最小正周期为π的偶函数 B.最小正周期为2π的偶函数 C.最小正周期为π的奇函数 D.最小正周期为2π的奇函数 答案　A 解析　f(x)=3cos 2x+4，x∈R， 所以f(-x)=3cos(-2x)+4=3cos 2x+4=f(x)为偶函数， 最小正周期T==π. (3)将函数f(x)=cos(2x+φ)(φ>0)的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象，若点是函数y=g(x)图象的一个对称中心，则φ的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由已知得g(x)=cos， 所以--+φ=+kπ(k∈Z)， 解得φ=+kπ(k∈Z)，又φ>0， 当k=-1时，φmin=. 反思感悟　(1)令ωx+φ=kπ，k∈Z可解出对称轴，令ωx+φ=+kπ，k∈Z可解出对称中心. (2)若已知x=α是对称轴，或(α，0)是对称中心，则代入α，ωα+φ=kπ或+kπ，k∈Z可求ω或φ. (3)特别地，当φ=kπ，k∈Z时，函数为偶函数；当φ=+kπ，k∈Z时，函数为奇函数. 跟踪训练2　(1)已知函数f(x)=2sin(ω>0)的图象与函数g(x)=cos(2x+φ)的图象的对称中心完全相同，则φ的值为(　　) A. B.- C. D.- 答案　D 解析　由题意得，f(x)与g(x)的对称中心完全相同，则两函数的周期相同，即=，则ω=2，即f(x)=2sin， 由2x+=kπ，k∈Z，得x=-，k∈Z，即f(x)的对称中心为，k∈Z，所以g(x)的对称中心也为，k∈Z， 则g=cos =cos=±cos=0， 则φ=kπ+，k∈Z. 又|φ|<，所以φ=-. (2)若函数f(x)=cos(0<φ<π)是奇函数，则φ=　　　　.  答案　 解析　因为f(x)为奇函数， 所以f(0)=0，所以cos=0， 从而φ-=+kπ(k∈Z)， 即φ=+kπ(k∈Z).又0<φ<π，故φ=. 五、余弦函数的值域(最值) 例3　(1)函数y=2cos，x∈的值域为　　　　.  答案　(-1，2) 解析　∵-<x<， ∴0<2x+<， ∴-<cos<1， ∴函数y=2cos，x∈的值域为(-1，2). (2)求函数y=cos2x+4cos x+1的最大值、最小值及使y取得最值的x的集合. 解　令t=cos x，则t∈［-1，1］， ∴y=t2+4t+1=(t+2)2-3， 对称轴t=-2∉［-1，1］， ∴当t=-1时，ymin=(-1)2+4×(-1)+1=-2.此时x的取值集合为｛x|x=π+2kπ，k∈Z｝； 当t=1时，ymax=12+4×1+1=6， 此时x的取值集合为｛x|x=2kπ，k∈Z｝. 反思感悟　求三角函数最值的两种基本类型 (1)将三角函数式化为y=Acos(ωx+φ)+k的形式，结合函数图象求最值. (2)将三角函数式化为关于cos x(或sin x)的二次函数的形式，利用二次函数的性质和有界性求最值. 跟踪训练3　已知函数y=acos+3，x∈的最大值为4，求实数a的值. 解　∵x∈，∴2x+∈， ∴-1≤cos≤. 当a>0，cos=时，y取得最大值a+3， ∴a+3=4，∴a=2. 当a<0，cos=-1时， y取得最大值-a+3， ∴-a+3=4，∴a=-1， 综上可知，实数a的值为2或-1. 1.知识清单： (1)余弦函数. (2)余弦函数的性质与图象. (3)余弦函数的单调性、奇偶性、对称性. (4)余弦函数的值域(最值). 2.方法归纳：整体代换、换元、数形结合. 3.常见误区：正弦函数与余弦函数的单调性、对称性易混淆. 1.函数f(x)=cos 2x，x∈R是(　　) A.最小正周期为π的偶函数 B.最小正周期为π的奇函数 C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的奇函数 答案　A 解析　∵T==π，f(-x)=cos(-2x)=cos 2x=f(x)，∴f(x)是最小正周期为π的偶函数. 2.已知f(x)=sin，g(x)=cos，则f(x)的图象(　　) A.与g(x)的图象相同 B.与g(x)的图象关于y轴对称 C.向左平移个单位，得g(x)的图象 D.向右平移个单位，得g(x)的图象 答案　D 解析　∵f(x)=sin=cos x， g(x)=cos， ∴f(x)的图象向右平移个单位，得到g(x)的图象. 3.函数y=-cos x在区间上(　　) A.单调递增 B.单调递减 C.先减后增 D.先增后减 答案　C 解析　因为y=cos x在区间上先增后减，所以y=-cos x在区间上先减后增. 4.函数y=2cos，x∈的值域为　　　.  答案　［-1，2］ 解析　∵x∈， ∴2x+∈， ∴cos∈， ∴函数的值域为［-1，2］. 　　　　 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.(多选)下列函数中是偶函数，且最小正周期是π的函数是(　　) A.y=cos 2x B.y=|sin x| C.y=sin D.y=cos 答案　ABC 解析　y=cos 2x与y=|sin x|都是偶函数，且最小正周期是π. y=sin=cos 2x，也满足条件. 而y=cos=-sin 2x是奇函数. 2.函数y=cos，x∈的值域是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　当x∈时，x+∈，结合y=cos x的图象， 可知cos∈. 3.如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由y=3cos(2x+φ)的图象关于点中心对称知，f=0，即3cos=0. ∴+φ=+kπ(k∈Z). ∴φ=-+kπ(k∈Z). ∴|φ|的最小值为|φ|==. 4.已知函数f(x)=cos(x∈R，ω>0)的最小正周期为，要得到函数g(x)=sin ωx的图象，只需将y=f(x)的图象(　　) A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 答案　D 解析　由题意得，ω==4， f(x)=cos=sin =sin=sin. g(x)=sin 4x， 故将y=f(x)的图象向右平移个单位即可得到 y=g(x)的图象. 5.三个数cos ，sin ，-cos 的大小关系是(　　) A.sin >cos >-cos B.cos >-cos >sin C.cos <sin <-cos D.-cos <sin <cos 答案　C 解析　sin =cos，-cos =cos.因为π>>->π->0，而y=cos x在［0，π］上单调递减， 所以cos <cos<cos， 即cos <sin <-cos . 6.设函数f(x)=cos，则下列结论错误的是(　　) A.f(x)的一个周期为-2π B.y=f(x)的图象关于直线x=对称 C.f(x+π)的一个零点为x= D.f(x)在上单调递减 答案　D 解析　f(x)的最小正周期为2π，故A正确； f=cos=cos 3π=-1，为f(x)的最小值，故B正确； ∵f(x+π)=cos=-cos， ∴f=-cos=-cos=0，故C正确； 由于f=cos=cos π=-1，为f(x)的最小值，故f(x)在上不单调，故D错误. 7.(5分)函数y=的定义域是　　　　　　　　　　　　.  答案　，k∈Z 解析　由2cos x+1≥0，得cos x≥-，结合图象(图略)知，x∈，k∈Z. 8.(5分)若函数y=a-bcos x(b>0)的最大值为，最小值为-，则a=　　　　，函数y=-4acos bx的最大值为　　　　.  答案　　2 解析　∵y=a-bcos x(b>0)， ∴ymax=a+b=，ymin=a-b=-. 由解得 ∴y=-4acos bx=-2cos x， ∴函数y=-4acos bx的最大值为2. 9.(10分)已知函数f(x)=4cos(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示. (1)求f(x)的解析式；(6分) (2)当x∈时，求f(x)的值域.(4分) 解　(1)因为T=4×=π， 所以ω==2. 因为f的图象经过点， 所以4cos=-4，即cos=-1，则+φ=π+2kπ，k∈Z，φ=+2kπ，k∈Z. 又0<φ<π，所以φ=. 故f的解析式为f(x)=4cos. (2)因为x∈，所以2x+∈， 从而cos∈， 故当x∈时，f的值域为. 10.(10分)已知函数f(x)=2cos，φ∈，且f(x)的图象关于x=对称. (1)求f(x)；(3分) (2)若x∈［0，π］，求f(x)的单调递减区间；(3分) (3)画出f(x)在一个周期上的简图.(4分) 解　(1)令2x+φ=kπ，k∈Z，将x=代入得2×+φ=kπ，φ=-+kπ，k∈Z， 又∵φ∈，∴φ=， ∴f(x)=2cos. (2)令2kπ≤2x+≤π+2kπ，k∈Z， 解得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 又0≤x≤π， ∴0≤x≤或≤x≤π， ∴当x∈［0，π］时，f(x)的单调递减区间为，. (3)列表如下， 2x+ 0 π 2π x - f(x)=2cos 2 0 -2 0 2 描点作图，如图所示. 11.(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足：当sin x≤cos x时，f(x)=cos x；当sin x>cos x时，f(x)=sin x.以下结论正确的是(　　) A.f(x)的最小值为-1 B.当且仅当x=2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值 C.当且仅当-+2kπ<x<(2k+1)π(k∈Z)时，f(x)>0 D.f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是2π 答案　CD 解析　函数f(x)在一个周期内的图象如图所示. 由图象可得，f(x)的最小值为-，当且仅当x=+2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值，A，B错误； 当且仅当-+2kπ<x<(2k+1)π(k∈Z)时，f(x)>0，且f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是2π，C，D正确. 12.(多选)设函数f(x)=cos+1，则以下结论正确的是(　　) A.点是函数f(x)图象的一个对称中心 B.直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴 C.函数f(x)的最小正周期是π D.将函数f(x)的图象向右平移个单位后所得图象对应的函数是偶函数 答案　BCD 解析　∵f(x)的图象是由y=cos的图象向上平移1个单位得到的， y=cos的对称中心的纵坐标为0， ∴f(x)的对称中心的纵坐标为1，故A错误； ∵当x=时，f(x)取得最小值0， ∴x=是f(x)的一条对称轴，故B正确； 最小正周期T==π，故C正确； 将f(x)的图象向右平移个单位后， 得到y=cos 2x+1的图象，它是偶函数，故D正确. 13.(5分)函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移个单位后，与函数y=sin的图象重合，则φ=　　　　.  答案　 解析　因为函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移个单位，得到y=sin的图象， 即y=sin的图象向左平移个单位得到函数y=cos(2x+φ)的图象， 所以y=sin向左平移个单位后， 得y=sin=sin =-sin=cos =cos，又-π≤φ<π，所以φ=. 14.(5分)已知ω>0，函数f(x)=cos在上单调递增，则ω的取值范围是　　　　.  答案　 解析　令-π+2kπ≤ωx+≤2kπ，k∈Z， 则-+≤x≤-+，k∈Z， 所以函数f(x)=cos的单调递增区间为，k∈Z. 又当k=1时，f(x)的一个单调递增区间为，所以解得2≤ω≤. 15.已知函数f(x)(x∈R)满足f(1+x)=f(-x)，若函数y=2cos+1与y=f(x)的图象的交点依次为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x2 024，y2 024)，则x1+x2+…+x2 024等于(　　) A.2 024 B.-2 024 C.-1 012 D.1 012 答案　D 解析　由已知可得，函数f(x)的图象关于直线x=对称，函数y=2cos+1的图象也关于直线x=对称，所以两图象的交点必关于直线x=对称，所以x1+x2+…+x2 024=×2 024 =1 012. 16.(12分)已知函数f(x)=2cos，x∈R. (1)求函数f(x)的单调递增区间；(3分) (2)当x∈时，方程f(x)=k恰有两个不同的实数根，求实数k的取值范围；(4分) (3)将函数f(x)=2cos的图象向右平移m(m>0)个单位后所得函数g(x)的图象关于原点中心对称，求m的最小值.(5分) 解　(1)由余弦函数的单调性，得π+2kπ<2x+<2π+2kπ，k∈Z，则+kπ<x<+kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间为 ，k∈Z . (2)当x∈时，2x+∈， 方程f(x)=k恰有两个不同的实数根， 即y=f(x)的图象和直线y=k有2个不同的交点， 因为函数f(x)的值域为［-，2］， 所以当f(x)=k恰有两个不同的实数根时， 实数k的取值范围是［0，2). (3)将函数f(x)=2cos的图象向右平移m(m>0)个单位， 所得图象对应的函数为 g(x)=2cos， 且g(x)是奇函数， 所以g(0)=2cos=0， 即-2m=+kπ，k∈Z， m=--，k∈Z， 因为m>0，所以当k=-1时，mmin=. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.3.3 第七章 <<< 余弦函数的性质与图象 1.会用“五点法”和图象平移伸缩变换作出余弦函数的简图. 2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间、最值、对称轴和对称中心，并会简单应用. 学习目标 过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷.过山车的运动包含了许多原理，人们在设计过山车时巧妙地运 导 语 用了这些原理.一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)等几个循环路径.这节课我们要研究的余弦函数y=cos x的图象也像过山车一样“爬升”“滑落”，这是y=cos x的什么性质？有了前面我们研究正弦函数的经验，我们来探究一下余 弦函数的性质与图象. 一、余弦函数 二、余弦函数的性质与图象 内容索引 三、余弦函数的单调性及其应用 四、余弦函数的奇偶性、对称性 五、余弦函数的值域(最值) 随堂演练 课时对点练 一 余弦函数 因为对于任意一个角x，都有唯一确定的余弦cos x与之对应，所以y= cos x是一个函数，一般称为余弦函数. 知识梳理 二 余弦函数的性质与图象 提示　由y=cos x=sin，只需研究y=sin的性质与图象即可. 由于刚学习了正弦函数的性质及图象，怎么根据正弦函数快速地确定余弦函数的性质与图象？ 问题 余弦函数的性质与图象 性质 内容 图象   定义域 ____ 值域 ________ 周期性 T=_____，k∈Z，最小正周期为___ 奇偶性 ________ R [-1，1] 2kπ 2π 偶函数 知识梳理 性质 内容 单调区间 在_____________ (k∈Z)上递增， 在____________ (k∈Z)上递减 最值 当x=2kπ(k∈Z)时，取得最大值__； 当x=π+2kπ(k∈Z)时，取得最小值__ 对称性 对称轴为x=___，对称中心为，其中k∈Z 零点 +kπ(k∈Z) kπ [-π+2kπ，2kπ] [2kπ，π+2kπ] 1 -1 知识梳理 三 余弦函数的单调性及其应用 (1)函数f(x)=5cos的一个单调递减区间是 A. B. C. D. √ f(x)=5cos， 由2kπ≤3x+≤π+2kπ(k∈Z)， 得-+≤x≤+(k∈Z)， 所以是f(x)的一个单调递减区间. 例 1 12 (2)设a=cos，b=sin，c=cos，则 A.a>c>b B.c>b>a C.c>a>b D.b>c>a b=sin=sin=sin=sin=cos，c=cos=cos >>>，且y=cos x在上单调递减，所以a>c>b. √ 13 (1)余弦型函数单调区间的求法 ①如果x的系数为负，则利用诱导公式变为正. ②将ωx+φ看作整体，代入到余弦函数的单调区间解出x的范围. ③若求具体的或一个范围内的单调区间，则给k赋值，即可求出符合条件的单调区间. (2)关于三角函数值比较大小 利用诱导公式，统一成正弦或余弦函数，统一化到一个单调区间，利用单调性比较大小. 反 思 感 悟 14 (1)三个三角函数cos 110°，cos 80°，-cos 50°的大小关系为　　　　　　 　 　　　　.  -cos 50°=cos(180°-50°)=cos 130°， ∵函数y=cos x在[0，π]上单调递减，∴cos 80°>cos 110°>cos 130°，即cos 80°>cos 110°>-cos 50°. 跟踪训练 1 cos 80°>cos 110°>-cos 50° 15 (2)若函数f(x)=cos(ωx+φ)，φ∈的部分图象如图所示，则f(x)的单调 递减区间为 A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z √ 16 由图象知，周期T=2×=2， ∴=2，∴ω=π. 由π×+φ=+2kπ，k∈Z， 得φ=+2kπ，k∈Z， 又φ∈，∴φ=，∴f(x)=cos. 由2kπ≤πx+≤π+2kπ，k∈Z， 得-+2k≤x≤+2k，k∈Z， ∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z. 17 四 余弦函数的奇偶性、对称性 (1)函数y=3cos图象的一条对称轴可以是 A.x=- B.x= C.x=- D.x= 例 2 √ 根据函数y=3cos的图象，要求函数的对称轴方程， 令2x-=kπ(k∈Z)，解得x=+(k∈Z)，令k=1得x=. 19 (2)函数y=3cos 2x+4(x∈R)是 A.最小正周期为π的偶函数 B.最小正周期为2π的偶函数 C.最小正周期为π的奇函数 D.最小正周期为2π的奇函数 f(x)=3cos 2x+4，x∈R， 所以f(-x)=3cos(-2x)+4=3cos 2x+4=f(x)为偶函数， 最小正周期T==π. √ 20 (3)将函数f(x)=cos(2x+φ)(φ>0)的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象，若点是函数y=g(x)图象的一个对称中心，则φ的最小值为 A. B. C. D. 由已知得g(x)=cos， 所以--+φ=+kπ(k∈Z)， 解得φ=+kπ(k∈Z)，又φ>0， 当k=-1时，φmin=. √ 21 反 思 感 悟 (1)令ωx+φ=kπ，k∈Z可解出对称轴，令ωx+φ=+kπ，k∈Z可 解出对称中心. (2)若已知x=α是对称轴，或(α，0)是对称中心，则代入α， ωα+φ=kπ或+kπ，k∈Z可求ω或φ. (3)特别地，当φ=kπ，k∈Z时，函数为偶函数；当φ=+kπ， k∈Z时，函数为奇函数. (1)已知函数f(x)=2sin(ω>0)的图象与函数g(x)=cos(2x+φ) 的图象的对称中心完全相同，则φ的值为 A. B.- C. D.- 跟踪训练 2 √ 23 由题意得，f(x)与g(x)的对称中心完全相同，则两函数的周期相同， 即=，则ω=2，即f(x)=2sin， 由2x+=kπ，k∈Z，得x=-，k∈Z，即f(x)的对称中心为，k∈Z，所以g(x)的对称中心也为，k∈Z， 则g=cos =cos=±cos=0， 则φ=kπ+，k∈Z. 又|φ|<，所以φ=-. 24 (2)若函数f(x)=cos(0<φ<π)是奇函数，则φ=　　.  因为f(x)为奇函数， 所以f(0)=0，所以cos=0， 从而φ-=+kπ(k∈Z)， 即φ=+kπ(k∈Z).又0<φ<π，故φ=. 25 五 余弦函数的值域(最值) (1)函数y=2cos，x∈的值域为　　　　.  例 3 ∵-<x<， ∴0<2x+<， ∴-<cos<1， ∴函数y=2cos，x∈的值域为(-1，2). (-1，2) 27 (2)求函数y=cos2x+4cos x+1的最大值、最小值及使y取得最值的x的集合. 令t=cos x，则t∈[-1，1]， ∴y=t2+4t+1=(t+2)2-3， 对称轴t=-2∉[-1，1]， ∴当t=-1时，ymin=(-1)2+4×(-1)+1=-2.此时x的取值集合为 {x|x=π+2kπ，k∈Z}； 当t=1时，ymax=12+4×1+1=6， 此时x的取值集合为{x|x=2kπ，k∈Z}. 28 反 思 感 悟 (1)将三角函数式化为y=Acos(ωx+φ)+k的形式，结合函数图象求最值. (2)将三角函数式化为关于cos x(或sin x)的二次函数的形式，利用二次函数的性质和有界性求最值. 求三角函数最值的两种基本类型 已知函数y=acos+3，x∈的最大值为4，求实 数a的值. 跟踪训练 3 30 ∵x∈，∴2x+∈， ∴-1≤cos≤. 当a>0，cos=时，y取得最大值a+3， ∴a+3=4，∴a=2. 当a<0，cos=-1时， y取得最大值-a+3， ∴-a+3=4，∴a=-1， 综上可知，实数a的值为2或-1. 31 1.知识清单： (1)余弦函数. (2)余弦函数的性质与图象. (3)余弦函数的单调性、奇偶性、对称性. (4)余弦函数的值域(最值). 2.方法归纳：整体代换、换元、数形结合. 3.常见误区：正弦函数与余弦函数的单调性、对称性易混淆. 课堂小结 随堂演练 六 1 2 3 4 1.函数f(x)=cos 2x，x∈R是 A.最小正周期为π的偶函数 B.最小正周期为π的奇函数 C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的奇函数 √ ∵T==π，f(-x)=cos(-2x)=cos 2x=f(x)，∴f(x)是最小正周期为π的偶函数. 1 2 3 4 2.已知f(x)=sin，g(x)=cos，则f(x)的图象 A.与g(x)的图象相同 B.与g(x)的图象关于y轴对称 C.向左平移个单位，得g(x)的图象 D.向右平移个单位，得g(x)的图象 √ 1 2 3 4 ∵f(x)=sin=cos x， g(x)=cos， ∴f(x)的图象向右平移个单位，得到g(x)的图象. 3.函数y=-cos x在区间上 A.单调递增 B.单调递减 C.先减后增 D.先增后减 1 2 3 4 √ 因为y=cos x在区间上先增后减，所以y=-cos x在区间 上先减后增. 1 2 3 4 4.函数y=2cos，x∈的值域为　　 　.  ∵x∈， ∴2x+∈， ∴cos∈， ∴函数的值域为[-1，2]. [-1，2] 课时对点练 七 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 ABC B A D C D ，k∈Z 题号 8 11 12 13 14 15 答案 2 CD BCD D 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)因为T=4×=π， 所以ω==2. 因为f， 所以4cos=-4，即cos=-1，则+φ=π+2kπ，k∈Z，φ=+2kπ，k∈Z. 又0<φ<π，所以φ=. 故f的解析式为f(x)=4cos. (2)因为x∈，所以2x+∈， 从而cos∈， 故当x∈时，f. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)令2x+φ=kπ，k∈Z，将x=代入得2×+φ=kπ，φ=-+kπ，k∈Z， 又∵φ∈，∴φ=， ∴f(x)=2cos. (2)令2kπ≤2x+≤π+2kπ，k∈Z， 解得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 又0≤x≤π， ∴0≤x≤≤x≤π， ∴当x∈[0，π]时，f(x)的单调递减区间为. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (3)列表如下， 2x+ 0 π 2π x - f(x)=2cos 2 0 -2 0 2 描点作图， 如图所示. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)由余弦函数的单调性，得π+2kπ<2x+<2π+2kπ，k∈Z，则+kπ<x<+kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间为 ，k∈Z . (2)当x∈时，2x+∈， 方程f(x)=k恰有两个不同的实数根， 即y=f(x)的图象和直线y=k有2个不同的交点， 因为函数f(x)的值域为[-，2]， 所以当f(x)=k恰有两个不同的实数根时， 实数k的取值范围是[0，2). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (3)将函数f(x)=2cos的图象向右平移m(m>0)个单位， 所得图象对应的函数为 g(x)=2cos， 且g(x)是奇函数， 所以g(0)=2cos=0， 即-2m=+kπ，k∈Z， m=--，k∈Z， 因为m>0，所以当k=-1时，mmin=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.(多选)下列函数中是偶函数，且最小正周期是π的函数是 A.y=cos 2x B.y=|sin x| C.y=sin D.y=cos √ √ y=cos 2x与y=|sin x|都是偶函数，且最小正周期是π. y=sin=cos 2x，也满足条件. 而y=cos=-sin 2x是奇函数. √ 答案 2.函数y=cos，x∈的值域是 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 当x∈时，x+∈，结合y=cos x的图象， 可知cos∈. 答案 3.如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小 值为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由y=3cos(2x+φ)的图象关于点中心对称知，f=0， 即3cos=0. ∴+φ=+kπ(k∈Z). ∴φ=-+kπ(k∈Z). ∴|φ|的最小值为|φ|==. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知函数f(x)=cos(x∈R，ω>0)的最小正周期为，要得到函数 g(x)=sin ωx的图象，只需将y=f(x)的图象 A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得，ω==4， f(x)=cos=sin =sin=sin. g(x)=sin 4x， 故将y=f(x)的图象向右平移个单位即可得到y=g(x)的图象. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.三个数cos ，sin ，-cos 的大小关系是 A.sin >cos >-cos B.cos >-cos >sin C.cos <sin <-cos D.-cos <sin <cos √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 sin =cos，-cos =cos.因为π>>->π->0， 而y=cos x在[0，π]上单调递减， 所以cos <cos<cos， 即cos <sin <-cos . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.设函数f(x)=cos，则下列结论错误的是 A.f(x)的一个周期为-2π B.y=f(x)的图象关于直线x=对称 C.f(x+π)的一个零点为x= D.f(x)在上单调递减 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f(x)的最小正周期为2π，故A正确； f =cos=cos 3π=-1，为f(x)的最小值，故B正确； ∵f(x+π)=cos=-cos， ∴f =-cos=-cos=0，故C正确； 由于f =cos=cos π=-1，为f(x)的最小值，故f(x)在 上不单调，故D错误. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由2cos x+1≥0，得cos x≥-，结合图象(图略)知， x∈，k∈Z. 7.函数y=的定义域是　　　　　　 　　　　　　.  ，k∈Z 答案 8.若函数y=a-bcos x(b>0)的最大值为，最小值为-，则a=　　　，函数 y=-4acos bx的最大值为　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵y=a-bcos x(b>0)， ∴ymax=a+b=，ymin=a-b=-. 由 ∴y=-4acos bx=-2cos x， ∴函数y=-4acos bx的最大值为2. 答案 9.已知函数f(x)=4cos(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示. (1)求f(x)的解析式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为T=4×=π， 所以ω==2. 因为f， 所以4cos=-4，即cos=-1，则+φ=π+2kπ，k∈Z，φ=+2kπ，k∈Z. 又0<φ<π，所以φ=. 故f的解析式为f(x)=4cos. 答案 (2)当x∈时，求f(x)的值域. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为x∈，所以2x+∈， 从而cos∈， 故当x∈时，f. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知函数f(x)=2cos，φ∈，且f(x)的图象关于x=对称. (1)求f(x)； 令2x+φ=kπ，k∈Z，将x=代入得2×+φ=kπ，φ=-+kπ，k∈Z， 又∵φ∈，∴φ=， ∴f(x)=2cos. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若x∈[0，π]，求f(x)的单调递减区间； 令2kπ≤2x+≤π+2kπ，k∈Z， 解得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 又0≤x≤π， ∴0≤x≤≤x≤π， ∴当x∈[0，π]时，f(x)的单调递减区间为. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)画出f(x)在一个周期上的简图. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 列表如下， 2x+ 0 π 2π x - f(x)=2cos 2 0 -2 0 2 描点作图， 如图所示. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足：当sin x≤cos x时，f(x)=cos x；当sin x>cos x时，f(x)=sin x.以下结论正确的是 A.f(x)的最小值为-1 B.当且仅当x=2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值 C.当且仅当-+2kπ<x<(2k+1)π(k∈Z)时，f(x)>0 D.f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是2π √ √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 函数f(x)在一个周期内的图象如图所示. 由图象可得，f(x)的最小值为-，当且仅当 x=+2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值，A，B错误； 当且仅当-+2kπ<x<(2k+1)π(k∈Z)时，f(x)>0，且f(x)的图象上相邻两 个最低点的距离是2π，C，D正确. 答案 12.(多选)设函数f(x)=cos+1，则以下结论正确的是 A.点是函数f(x)图象的一个对称中心 B.直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴 C.函数f(x)的最小正周期是π D.将函数f(x)的图象向右平移个单位后所得图象对应的函数是偶函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵f(x)的图象是由y=cos的图象向上平移1个单位得到的， y=cos的对称中心的纵坐标为0， ∴f(x)的对称中心的纵坐标为1，故A错误； ∵当x=时，f(x)取得最小值0， ∴x=是f(x)的一条对称轴，故B正确； 最小正周期T==π，故C正确； 将f(x)的图象向右平移个单位后， 得到y=cos 2x+1的图象，它是偶函数，故D正确. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移个单位后，与函数y= sin的图象重合，则φ=　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移个单位，得到y=sin的图象， 即y=sin个单位得到函数y=cos(2x+φ)的图象， 所以y=sin个单位后， 得y=sin=sin =-sin=cos =cos，又-π≤φ<π，所以φ=. 答案 14.已知ω>0，函数f(x)=cos在上单调递增，则ω的取值范 围是　　　 　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令-π+2kπ≤ωx+≤2kπ，k∈Z， 则-+≤x≤-+，k∈Z， 所以函数f(x)=cos ，k∈Z. 又当k=1时，f(x)的一个单调递增区间为 解得2≤ω≤. 答案 15.已知函数f(x)(x∈R)满足f(1+x)=f(-x)，若函数y=2cos+1与y=f(x) 的图象的交点依次为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x2 024，y2 024)，则x1+x2+… +x2 024等于 A.2 024 B.-2 024 C.-1 012 D.1 012 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知可得，函数f(x)的图象关于直线x=对称， 函数y=2cos+1的图象也关于直线x=对称，所以两图象的交点必关于直线x=对称，所以x1+x2+…+x2 024=×2 024=1 012. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知函数f(x)=2cos，x∈R. (1)求函数f(x)的单调递增区间； 由余弦函数的单调性，得π+2kπ<2x+<2π+2kπ，k∈Z，则+kπ<x<+kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间为 ，k∈Z . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当x∈时，方程f(x)=k恰有两个不同的实数根，求实数k的取 值范围； 当x∈时，2x+∈， 方程f(x)=k恰有两个不同的实数根， 即y=f(x)的图象和直线y=k有2个不同的交点， 因为函数f(x)的值域为[-，2]， 所以当f(x)=k恰有两个不同的实数根时， 实数k的取值范围是[0，2). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)将函数f(x)=2cos的图象向右平移m(m>0)个单位后所得函数g(x)、的图象关于原点中心对称，求m的最小值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 将函数f(x)=2cos的图象向右平移m(m>0)个单位， 所得图象对应的函数为 g(x)=2cos， 且g(x)是奇函数， 所以g(0)=2cos=0， 即-2m=+kπ，k∈Z， m=--，k∈Z， 因为m>0，所以当k=-1时，mmin=. 答案 第一章 <<< $$