第七章 7.3.2 正弦型函数的性质与图象(一)-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第三册教师用书（人教B版2019）

第七章 <<< 7.3.2 正弦型函数的性质与图象(一) 1.理解y=Asin(ωx+φ)中ω，φ，A对图象的影响.掌握y=sin x与y=Asin(ωx+φ)图象间的变换关系. 2.理解用五点法作图作y=Asin(ωx+φ)的图象. 3.了解y=Asin(ωx+φ)图象的物理意义，能指出振幅、周期、频率、初相. 学习目标 如图是观缆车的示意图，设缆车转轮半径长为A，角速度为ω rad/s.点P0表示座椅的初始位置.此时∠xOP0=φ.当转轮转动t s后，点P0到达点P的位置，于是，以Ox为始 边，OP为终边的角为ωt+φ，由正弦函数的定义，得点 导 语 P的纵坐标y与时间t的函数关系为y=Asin(ωt+φ). 这种函数我们称为正弦型函数，那么正弦型函数的图象与正弦曲线有何关系呢？ 一、平移变换：φ对函数y=sin(x+φ)图象的影响 二、伸缩变换：A和ω(A>0，ω>0)对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响 课时对点练 三、用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)的图象 随堂演练 内容索引 四、正弦型函数y=Asin(ωx+φ)中，A，ω，φ的物理意义 平移变换：φ对函数y=sin(x+φ)图象的影响 一 你能在同一坐标系下画出y=sin x和y=sin的函数图象吗？ 它们之间有什么关系？ 问题1 提示　画出函数图象，如图所示.我们分别在这两条曲线上选取纵坐标相同的点A，B，沿两条曲线同时移动这两点，并保持它们的纵坐标相等，在上述移动的过程中，线段AB的长度保持不变.可以发现，y= sin的图象上的点的横坐标总是等于y=sin x的图象上的点的横坐标加，这说明y=sin的图象可以看作是把正弦函数y=sin x的图象上所有的点向右平移个单位而得到的. φ对函数y=sin(x+φ)，x∈R图象的影响 左 右 知识梳理 要得到函数y=sin的图象，只要将函数y=sin 2x的图象 A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 √ 因为y=sin=sin， 所以将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位， 就可得到函数y=sin的图象. 例 1 9 要得到函数y=sin 2x的图象，只要将函数y=sin的图象 A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 延伸探究 因为y=sin=sin 个单位， 就得到y=sin=sin 2x的图象. √ 10 对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数.再观察x前的系数，当x前的系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减， 且从ωx→ωx+φ的平移量为个单位. 反 思 感 悟 11 (1)要得到y=cos的图象，只要将y=sin 2x的图象 A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 跟踪训练 1 √ 12 因为y=cos =sin =sin=sin， 所以只需将y=sin 2x的图象向左平移个单位即可得到y=cos 的图象. 13 (2)将函数y=sin的图象向右平移个单位，则所得图象的解析 式为　　　　　　.  将函数y=sin个单位，所得图象对应的 函数为 y=sin=sin(2x-π) =-sin 2x. y=-sin 2x 14 伸缩变换：A和ω(A>0，ω>0)对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响 二 借助多媒体，在同一坐标系下画出 y=sin和y=sin的函数 图象如图所示，结合问题1，你能 得到什么？ 问题2 提示　可以发现，对于同一个y值，y=sin的图象上的点的横坐标总是等于y=sin的图象上的点的横坐标的，这说明y=sin的图象可以看作是把正弦曲线y=sin上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)而得到的. 借助多媒体，在同一坐标系下画出y= sin和y=3sin的图象， 如图所示，你能发现什么？ 问题3 提示　可以发现对于同一个x值，y=3sin的图象上的点的纵坐标总 是等于y=sin的图象上的点的纵坐标的3倍，这说明y=3sin 的图象可以看作是把正弦曲线y=sin上所有点的纵坐标变为原来的 3倍(横坐标不变)得到的. 1.ω(ω>0)对函数y=sin(ωx+φ)图象的影响 2.A(A>0)对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响 伸长 缩短 知识梳理 18 (1)函数y=2sin图象上所有点的横坐标保持不变，将纵坐 标　　　　(填“伸长”或“缩短”)为原来的　　　　倍，将会得到函 数y=3sin的图象.  例 2 A=3>2，故函数y=2sin 倍，即可得到函数y=3sin的图象. 伸长 19 (2)将函数y=sin的图象经过怎样的变换能得到函数y=sin x的图象？ 20 方法一　把函数y=sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再把所得各点向左平移个单位，就得到y=sin x的图象. 方法二　把函数y=sin=sin的图象上所有的点向左平移个单位，得到y=sin x的图象，再把函数y=sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，就得到y=sin x的图象. 21 反 思 感 悟 由函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象的两种不同路径： 注意先平移后伸缩和先伸缩后平移，平移的量是不同的，应用时要区分清楚，以免混乱而导致错误. 将函数y=sin x的图象上所有的点向右平移个单位，再把各 点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是 A.y=sin B.y=sin C.y=sin D.y=sin 跟踪训练 2 √ 将y=sin x的图象向右平移个单位得到y=sin的图象，再将图 象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到 y=sin的图象. 23 用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)的图象 三 利用五点法作出函数y=3sin在一个周期内的草图. 例 3 25 依次令x-=0，，π，，2π，列出下表. x- 0 π 2π x y=3sin 0 3 0 -3 0 描点作图，如图所示. 26 反 思 感 悟 (1)用“五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx+φ分别为0， ，π，，2π，解出x，从而确定这五点. (2)作给定区间上y=Asin(ωx+φ)的图象时，若x∈[m，n]，则应先求出ωx+φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x，y的值，描点(有时会六个点)、连线并作出函数的图象. 已知y=1+sin，画出y在x∈上的图象. 跟踪训练 3 28 ∵x∈，∴2x-∈.列表如下. 描点作图，如图所示. 2x- - -π - 0 x - - - y=1+sin 2 1 1- 1 1+ 2 29 正弦型函数y=Asin(ωx+φ)中，A，ω，φ的物理意义 四 1.振幅：当函数y=Asin(ωx+φ)表示一个物体做简谐运动的位移时，|A|表示物体能偏离平衡位置的最大距离. 2.初相：__在决定x=0时物体的位置(即Asin φ)中起关键作用. 3.周期：T= ___表示物体完成一次运动所需要的时间. 4.频率：f= ___ = ___表示单位时间内能够完成的运动次数. φ 知识梳理 31 1.知识清单： (1)平移变换. (2)伸缩变换. (3)五点法作图. (4)y=Asin(ωx+φ)的物理意义. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：先平移和先伸缩时平移的量不一样. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 1.函数y=-2sin的振幅、初相分别是 A.-2， B.-2， C.2，- D.2，- y=-2sin=2sin，所以振幅A=2，初相φ=-. √ 1 2 3 4 2.为了得到函数y=4sin，x∈R的图象，只需将函数y=4sin， x∈R的图象上所有点的 A.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 √ 由三角函数伸缩变换法则可知选A. 3.利用“五点法”作函数y=2sin的图象时，所取的五个点的坐标、 为　　　 　　 　　　　.  1 2 3 4 令2x-=0，，π，，2π得x= . ，，，， 1 2 3 4 4.将函数f(x)=sin的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，则所得图象对应的函数解析式 为　　　　　　　.  将函数f(x)=sin个单位后，得到函数y=sin=sin (纵坐标不变)，得到函数y=sin的图象. y=sin 课时对点练 六 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C AC B A AD B 题号 11 12 13 14 15 答案 A A C C 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 先把函数y=sin x的图象向右平移个单位， 得到函数y=sin的图象； 再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数y=sin的图象； 然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)得到函数y=5sin的图象，最后将所得函数图象向下平移3个单位， 得到函数y=5sin-3的图象. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 列表. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 描点作图，如图所示. 2x+ 0 π 2π x - y=sin 0 0 - 0 16. 由f(x)=2sin 2x可得， g(x)=2sin+1=2sin+1， g(x)=0⇒sin=- ⇒x=kπ-或x=kπ-，k∈Z， 即g(x)的零点相邻间隔依次为， 故若y=g(x)在[a，b]上至少含有30个零点， 则b-a的最小值为14×+15×=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.用“五点法”作函数y=sin在一个周期内的图象时，第四个关 键点的坐标是 A. B. C. D. √ 令4x-=，得x=， ∴该点坐标为. 答案 2.(多选)下列说法正确的是 A.将y=sin x的图象向右平移π个单位，得到y=-sin x的图象 B.将y=sin x的图象向右平移2个单位，得到y=sin(x+2)的图象 C.将y=sin(-x)的图象向左平移2个单位，得到y=sin(-x-2)的图象 D.为得到函数y=sin x-1的图象，只需把函数y=sin x的图象上所有点向右平 移1个单位 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 将y=sin x的图象向右平移π个单位所得图象的解析式为y=sin(x-π)= -sin(π-x)=-sin x，所以A正确； 将y=sin x的图象向右平移2个单位所得图象的解析式为y=sin(x-2)，所以B不正确； 将y=sin(-x)的图象向左平移2个单位所得图象的解析式为y=sin[-(x+2)] =sin(-x-2)，所以C正确； 只需把y=sin x的图象上所有点向下平移1个单位，便可得到函数y= sin x-1的图象，所以D不正确. 答案 3.为了得到函数y=sin的图象，可以将函数y=sin的图象 A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 函数y=sin=sin，所以将y=sin=sin个单位，可得函数y=sin=sin 的图象. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.函数y=sin在区间上的简图是 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　用五点法列表、描点、作图. 方法二　取特殊点可否定3个选项， 当x=时，y=sin 0=0，C，D错误；当x=0时，y=sin=-，B错误. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)以下四种变换方式，能将函数y=sin x的图象变换成函数y= sin的图象的是 A.向左平移个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的 B.向右平移个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的 C.将每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位 D.将每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A，D中的变换方式满足要求. B中的变换得到y=sin的图象； C中的变换得到y=sin的图象. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.把函数y=sin 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位，再向下平移1个单位，得到的图象是 把函数y=sin 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin x+1的图象，然后把所得函数图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位，得到函数y=sin(x+1)的图象，故B满足题意. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 将函数y=sin x的图象向左平移φ个单位后，得y=sin(x+φ)的图象，而 y=sin=sin，所以φ=. 7.将函数y=sin x的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y= sin的图象，则φ=　　　　.  答案 8.将函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位得到y=sin x的图象，则f=　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 把函数y=sin x的图象向左平移个单位得到y=sin的图象，再把函数y=sin图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f(x)=sin的图象，所以f=sin =. 答案 9.函数f(x)=5sin-3的图象是由y=sin x的图象经过怎样的变换得到的？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 先把函数y=sin x的图象向右平移个单位， 得到函数y=sin的图象； 再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数y=sin的图象； 然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)得到函数y=5sin的图象，最后将所得函数图象向下平移3个单位， 得到函数y=5sin-3的图象. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知函数y=sin，x∈R.用五点法作出它在一个周期内的简图. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 列表. 2x+ 0 π 2π x - y=sin 0 0 - 0 描点作图，如图所示. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知函数f(x)=sin，为了得到函数g(x)=cos 2x的图象，只需将 y=f(x)的图象 A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 √ 综合运用 函数g(x)=cos 2x=sin，f(x)=sin个单位，得到y=sin=sin=g(x)的图象. 答案 12.先将y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然 后将图象向右平移个单位，所得图象恰与y=sin的图象重合，则 f(x)等于 A.sin B.sin C.sin D.sin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，可采用逆向思维.首先将函数y=sin 个单位，得到y=sin=sin ，纵坐标不变，得到y=sin 的图象. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.设ω>0，函数y=sin+2的图象向右平移个单位后与原图象重 合，则ω的值可以为 A. B.2 C.3 D. √ 函数y=sin+2的图象向右平移个单位后，得到函数y=sin+2=sin+2的图象，因为两图象重合， 所以ωx+=ωx-++2kπ，k∈Z， 解得ω=k，k∈Z，又ω>0，所以当k=2时，ω=3. 答案 14.(2024·新课标全国Ⅰ)当x∈[0，2π]时，曲线y=sin x与y=2sin的 交点个数为 A.3 B.4 C.6 D.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为函数y=sin x的最小正周期 T=2π， 函数y=2sin的最小正周期T1=， 所以在x∈[0，2π]上，函数y=2sin有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示， 由图可知，两函数图象有6个交点. 答案 15.已知函数f(x)=Asin ωx(A>0，ω>0)的最小正周期为π，将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为 y=g(x).若g=，则f的值为　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵f(x)的最小正周期为π， ∴=π，∴ω=2，∴f(x)=Asin 2x， 将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， 所得图象对应的函数为g(x)=Asin x， ∵g=， ∴g=Asin=A=， ∴A=2，∴f(x)=2sin 2x， ∴f=2sin=2×=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知函数f(x)=2sin ωx，其中常数ω>0.令ω=2，将函数y=f(x)的图象向左 平移个单位，再向上平移1个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，区间 [a，b](a，b∈R且a<b)满足：y=g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，在所 有满足上述条件的[a，b]中，求b-a的最小值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由f(x)=2sin 2x可得， g(x)=2sin+1=2sin+1， g(x)=0⇒sin=- ⇒x=kπ-或x=kπ-，k∈Z， 即g(x)的零点相邻间隔依次为， 故若y=g(x)在[a，b]上至少含有30个零点， 则b-a的最小值为14×+15×=. 答案 第一章 <<< $$ 7.3.2　正弦型函数的性质与图象(一) ［学习目标］　1.理解y=Asin(ωx+φ)中ω，φ，A对图象的影响.掌握y=sin x与y=Asin(ωx+φ)图象间的变换关系.2.理解用五点法作图作y=Asin(ωx+φ)的图象.3.了解y=Asin(ωx+φ)图象的物理意义，能指出振幅、周期、频率、初相. 导语　 如图是观缆车的示意图，设缆车转轮半径长为A，角速度为ω rad/s.点P0表示座椅的初始位置.此时∠xOP0=φ.当转轮转动t s后，点P0到达点P的位置，于是，以Ox为始边，OP为终边的角为ωt+φ，由正弦函数的定义，得点P的纵坐标y与时间t的函数关系为y=Asin(ωt+φ). 这种函数我们称为正弦型函数，那么正弦型函数的图象与正弦曲线有何关系呢？ 一、平移变换：φ对函数y=sin(x+φ)图象的影响 问题1　你能在同一坐标系下画出y=sin x和y=sin的函数图象吗？它们之间有什么关系？ 提示　 画出函数图象，如图所示.我们分别在这两条曲线上选取纵坐标相同的点A，B，沿两条曲线同时移动这两点，并保持它们的纵坐标相等，在上述移动的过程中，线段AB的长度保持不变.可以发现，y=sin的图象上的点的横坐标总是等于y=sin x的图象上的点的横坐标加，这说明y=sin的图象可以看作是把正弦函数y=sin x的图象上所有的点向右平移个单位而得到的. 知识梳理 φ对函数y=sin(x+φ)，x∈R图象的影响 例1　要得到函数y=sin的图象，只要将函数y=sin 2x的图象(　　) A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 答案　C 解析　因为y=sin=sin， 所以将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位， 就可得到函数y=sin的图象. 延伸探究　要得到函数y=sin 2x的图象，只要将函数y=sin的图象(　　) A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 答案　D 解析　因为y=sin=sin，只需将函数的图象向右平移个单位， 就得到y=sin=sin 2x的图象. 反思感悟　对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数.再观察x前的系数，当x前的系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx+φ的平移量为个单位. 跟踪训练1　(1)要得到y=cos的图象，只要将y=sin 2x的图象(　　) A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 答案　A 解析　因为y=cos =sin =sin=sin， 所以只需将y=sin 2x的图象向左平移个单位即可得到y=cos的图象. (2)将函数y=sin的图象向右平移个单位，则所得图象的解析式为　　　　　　　.  答案　y=-sin 2x 解析　将函数y=sin的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数为 y=sin=sin(2x-π) =-sin 2x. 二、伸缩变换：A和ω(A>0，ω>0)对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响 问题2　借助多媒体，在同一坐标系下画出y=sin和y=sin的函数图象如图所示，结合问题1，你能得到什么？ 提示　可以发现，对于同一个y值，y=sin的图象上的点的横坐标总是等于y=sin的图象上的点的横坐标的，这说明y=sin的图象可以看作是把正弦曲线y=sin上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)而得到的. 问题3　借助多媒体，在同一坐标系下画出y=sin和y=3sin的图象，如图所示，你能发现什么？ 提示　可以发现对于同一个x值，y=3sin的图象上的点的纵坐标总是等于y=sin的图象上的点的纵坐标的3倍，这说明y=3sin的图象可以看作是把正弦曲线y=sin上所有点的纵坐标变为原来的3倍(横坐标不变)得到的. 知识梳理 1.ω(ω>0)对函数y=sin(ωx+φ)图象的影响 2.A(A>0)对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响 例2　(1)函数y=2sin图象上所有点的横坐标保持不变，将纵坐标　　　　(填“伸长”或“缩短”)为原来的　　　　倍，将会得到函数y=3sin的图象.  答案　伸长　 解析　A=3>2，故函数y=2sin图象上所有点的横坐标保持不变，将纵坐标伸长为原来的倍，即可得到函数y=3sin的图象. (2)将函数y=sin的图象经过怎样的变换能得到函数y=sin x的图象？ 解　方法一　把函数y=sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再把所得各点向左平移个单位，就得到y=sin x的图象. 方法二　把函数y=sin=sin的图象上所有的点向左平移个单位，得到y=sin x的图象，再把函数y=sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，就得到y=sin x的图象. 反思感悟　由函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象的两种不同路径： 注意先平移后伸缩和先伸缩后平移，平移的量是不同的，应用时要区分清楚，以免混乱而导致错误. 跟踪训练2　将函数y=sin x的图象上所有的点向右平移个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(　　) A.y=sin B.y=sin C.y=sin D.y=sin 答案　C 解析　将y=sin x的图象向右平移个单位得到y=sin的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到 y=sin的图象. 三、用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)的图象 例3　利用五点法作出函数y=3sin在一个周期内的草图. 解　依次令x-=0，，π，，2π，列出下表. x- 0 π 2π x y=3sin 0 3 0 -3 0 描点作图，如图所示. 反思感悟　(1)用“五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx+φ分别为0，，π，，2π，解出x，从而确定这五点. (2)作给定区间上y=Asin(ωx+φ)的图象时，若x∈［m，n］，则应先求出ωx+φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x，y的值，描点(有时会六个点)、连线并作出函数的图象. 跟踪训练3　已知y=1+sin，画出y在x∈上的图象. 解　∵x∈，∴2x-∈. 列表如下. 2x- - -π - 0 x - - - y=1+sin 2 1 1- 1 1+ 2 描点作图，如图所示. 四、正弦型函数y=Asin(ωx+φ)中，A，ω，φ的物理意义 知识梳理 1.振幅：当函数y=Asin(ωx+φ)表示一个物体做简谐运动的位移时，|A|表示物体能偏离平衡位置的最大距离. 2.初相：φ在决定x=0时物体的位置(即Asin φ)中起关键作用. 3.周期：T=表示物体完成一次运动所需要的时间. 4.频率：f==表示单位时间内能够完成的运动次数. 1.知识清单： (1)平移变换. (2)伸缩变换. (3)五点法作图. (4)y=Asin(ωx+φ)的物理意义. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：先平移和先伸缩时平移的量不一样. 1.函数y=-2sin的振幅、初相分别是(　　) A.-2， B.-2， C.2，- D.2，- 答案　D 解析　y=-2sin=2sin，所以振幅A=2，初相φ=-. 2.为了得到函数y=4sin，x∈R的图象，只需将函数y=4sin，x∈R的图象上所有点的(　　) A.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 答案　A 解析　由三角函数伸缩变换法则可知选A. 3.利用“五点法”作函数y=2sin的图象时，所取的五个点的坐标为　　　　　　　　　.  答案　，，，， 解析　令2x-=0，，π，，2π得x=，，，，，故五个点的坐标为，，，，. 4.将函数f(x)=sin的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，则所得图象对应的函数解析式为　　　　　　　.  答案　y=sin 解析　将函数f(x)=sin的图象向左平移个单位后，得到函数y=sin=sin的图象，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y=sin的图象. 　　　　 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.用“五点法”作函数y=sin在一个周期内的图象时，第四个关键点的坐标是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　令4x-=，得x=， ∴该点坐标为. 2.(多选)下列说法正确的是(　　) A.将y=sin x的图象向右平移π个单位，得到y=-sin x的图象 B.将y=sin x的图象向右平移2个单位，得到y=sin(x+2)的图象 C.将y=sin(-x)的图象向左平移2个单位，得到y=sin(-x-2)的图象 D.为得到函数y=sin x-1的图象，只需把函数y=sin x的图象上所有点向右平移1个单位 答案　AC 解析　将y=sin x的图象向右平移π个单位所得图象的解析式为y=sin(x-π)=-sin(π-x)=-sin x，所以A正确； 将y=sin x的图象向右平移2个单位所得图象的解析式为y=sin(x-2)，所以B不正确； 将y=sin(-x)的图象向左平移2个单位所得图象的解析式为y=sin［-(x+2)］=sin(-x-2)，所以C正确； 只需把y=sin x的图象上所有点向下平移1个单位，便可得到函数y=sin x-1的图象，所以D不正确. 3.为了得到函数y=sin的图象，可以将函数y=sin的图象(　　) A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 答案　B 解析　函数y=sin=sin，所以将y=sin=sin的图象向右平移个单位，可得函数y=sin=sin的图象. 4.函数y=sin在区间上的简图是(　　) 答案　A 解析　方法一　用五点法列表、描点、作图. 方法二　取特殊点可否定3个选项， 当x=时，y=sin 0=0，C，D错误；当x=0时，y=sin=-，B错误. 5.(多选)以下四种变换方式，能将函数y=sin x的图象变换成函数y=sin的图象的是(　　) A.向左平移个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的 B.向右平移个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的 C.将每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位 D.将每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位 答案　AD 解析　A，D中的变换方式满足要求.B中的变换得到y=sin的图象；C中的变换得到y=sin的图象. 6.把函数y=sin 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位，再向下平移1个单位，得到的图象是(　　) 答案　B 解析　把函数y=sin 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin x+1的图象，然后把所得函数图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位，得到函数y=sin(x+1)的图象，故B满足题意. 7.(5分)将函数y=sin x的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y=sin的图象，则φ=　　　　.  答案　 解析　将函数y=sin x的图象向左平移φ个单位后，得y=sin(x+φ)的图象，而y=sin=sin，所以φ=. 8.(5分)将函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位得到y=sin x的图象，则f=　　　　.  答案　 解析　把函数y=sin x的图象向左平移个单位得到y=sin的图象，再把函数y=sin图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f(x)=sin的图象，所以f=sin =. 9.(10分)函数f(x)=5sin-3的图象是由y=sin x的图象经过怎样的变换得到的？ 解　先把函数y=sin x的图象向右平移个单位， 得到函数y=sin的图象； 再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数y=sin的图象； 然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)得到函数y=5sin的图象，最后将所得函数图象向下平移3个单位， 得到函数y=5sin-3的图象. 10.(11分)已知函数y=sin，x∈R.用五点法作出它在一个周期内的简图. 解　列表. 2x+ 0 π 2π x - y=sin 0 0 - 0 描点作图，如图所示. 11.已知函数f(x)=sin，为了得到函数g(x)=cos 2x的图象，只需将y=f(x)的图象(　　) A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 答案　A 解析　函数g(x)=cos 2x=sin，f(x)=sin的图象向左平移个单位，得到y=sin=sin=g(x)的图象. 12.先将y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后将图象向右平移个单位，所得图象恰与y=sin的图象重合，则f(x)等于(　　) A.sin B.sin C.sin D.sin 答案　A 解析　由题意，可采用逆向思维.首先将函数y=sin的图象向左平移个单位，得到y=sin=sin的图象，然后把图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到y=sin的图象. 13.设ω>0，函数y=sin+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的值可以为(　　) A. B.2 C.3 D. 答案　C 解析　函数y=sin+2的图象向右平移个单位后，得到函数y=sin+2=sin+2的图象，因为两图象重合， 所以ωx+=ωx-++2kπ，k∈Z， 解得ω=k，k∈Z，又ω>0，所以当k=2时，ω=3. 14.(2024·新课标全国Ⅰ)当x∈［0，2π］时，曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为(　　) A.3 B.4 C.6 D.8 答案　C 解析　因为函数y=sin x的最小正周期 T=2π， 函数y=2sin的最小正周期T1=， 所以在x∈［0，2π］上，函数y=2sin有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示， 由图可知，两函数图象有6个交点. 15.(5分)已知函数f(x)=Asin ωx(A>0，ω>0)的最小正周期为π，将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为y=g(x).若g=，则f的值为　　　　.  答案　 解析　∵f(x)的最小正周期为π， ∴=π，∴ω=2，∴f(x)=Asin 2x， 将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， 所得图象对应的函数为g(x)=Asin x， ∵g=， ∴g=Asin=A=， ∴A=2，∴f(x)=2sin 2x， ∴f=2sin=2×=. 16.(12分)已知函数f(x)=2sin ωx，其中常数ω>0.令ω=2，将函数y=f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，区间［a，b］(a，b∈R且a<b)满足：y=g(x)在［a，b］上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的［a，b］中，求b-a的最小值. 解　由f(x)=2sin 2x可得， g(x)=2sin+1=2sin+1， g(x)=0⇒sin=- ⇒x=kπ-或x=kπ-，k∈Z， 即g(x)的零点相邻间隔依次为和， 故若y=g(x)在［a，b］上至少含有30个零点， 则b-a的最小值为14×+15×=. 学科网（北京）股份有限公司 $$