第七章 7.3.1 正弦函数的性质与图象(一)-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第三册教师用书（人教B版2019）

第七章 <<< 7.3.1 正弦函数的性质与图象(一) 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义. 2.利用正弦线理解正弦函数的性质. 3.掌握正弦函数的性质及其应用. 学习目标 根据三角函数的定义可知，“单位圆上点的坐标就是三角函数”，因此，单位圆的性质与三角函数的性质有天然的联系，因此，可以借助单位圆研究三角函数的性质，这节课就从单位圆入手开启正弦函数性质的学习吧！ 导 语 一、正弦函数 二、函数的周期性 课时对点练 三、正弦函数y=sin x的性质 随堂演练 内容索引 四、正弦函数的奇偶性与周期性 五、正弦函数的值域与最值 六、正弦函数的单调性及应用 正弦函数 一 提示　唯一，纵坐标y=sin α. 角α的终边与单位圆的交点是否唯一？该交点的纵坐标是什么？ 问题1 正弦函数 对于任意一个角x，都有唯一确定的正弦sin x与之对应，因此y=sin x是一个函数，一般称为正弦函数. 知识梳理 二 函数的周期性 提示　相等，2π. 角α与α+2kπ(k∈Z)两者的正弦值有怎样的关系？2kπ，k∈Z且k≠0的最小正值为多少？ 问题2 1.周期性：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的_________，都满足f(x+T)=____，那么就称函数f(x)为周期函数，非零常数___称为这个函数的周期. 2.最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个___________，那么这个最小的正数就称为f(x)的最小正周期. 每一个x f(x) T 最小的正数 知识梳理 (1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立. (2)周期函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期. (3)三角函数的周期是函数的整体性质，我们在研究函数时，只需研究一个周期上的图象和性质即可. (4)若不加特殊说明，一般求三角函数的周期的问题，求的是函数的最小正周期. 注 意 点 <<< 11 三 正弦函数y=sin x的性质 　　名称 性质 y=sin x 定义域 ___ 值域 ________ 最值 当且仅当_______________时，函数y=sin x的最大值ymax=__； 当且仅当________________时，函数y=sin x的最小值ymin=___ 奇偶性 ________ R [-1，1] 奇函数 x=+2kπ，k∈Z x=+2kπ，k∈Z 1 -1 知识梳理 　　名称 性质 y=sin x 周期性 最小正周期为2π 单调性 在__________________________上递增； 在__________________________上递减 零点 ___________ kπ(k∈Z) (k∈Z) (k∈Z) 知识梳理 (1)正弦函数的单调性只针对区间，不能针对象限. (2)正弦函数不是单调函数，但它有无数个单调区间. (3)利用单调性，可以比较同一个单调区间内的同名三角函数值的大小. 注 意 点 <<< 15 四 正弦函数的奇偶性与周期性 (1)f(x)=cos+x2sin x的奇偶性是　　　　.  例 1 f(x)=sin x+x2sin x， ∵x∈R，f(-x)=sin(-x)+(-x)2sin(-x) =-sin x-x2sin x=-f(x)， ∴f(x)是奇函数. 奇函数 17 (2)判断等式sin=sin是否成立？如果成立，能否说明是 函数y=sin x的周期？ 18 sin=sin =sin=-sin， 而sin=-sin， 所以上述等式成立， 但不能说明是函数y=sin x的周期， 19 理由如下，若是函数y=sin x的周期， 则对任意的实数x，都有sin=sin x， 但当x=0时，sin≠sin x， 所以不是函数y=sin x的周期. 20 反 思 感 悟 (1)定义法求函数的周期：紧扣周期函数的定义，寻求对定义域内的任意x都满足f(x+T)=f(x)的非零常数T，该方法主要适用于抽象函数. (2)定义法判断函数的奇偶性：从f(-x)的解析式中拼凑出f(x)的解析式，再依据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)来判断. (1)函数y=|sin x|，x∈R的最小正周期为　　　.  跟踪训练 1 设f(x)=|sin x|， ∵f(x+π)=|sin(x+π)|=|sin x|=f(x)， ∴y=|sin x|的最小正周期为π. π 22 (2)函数f(x)=xsin(π+x) A.是奇函数，但不是偶函数 B.是偶函数，但不是奇函数 C.既是奇函数，又是偶函数 D.既不是奇函数，也不是偶函数 √ 易知函数f(x)的定义域R关于原点对称， ∵f(x)=xsin(π+x)=-xsin x， f(-x)=(-x)sin(π-x)=-xsin x=f(x)≠-f(x)， ∴f(x)是偶函数，不是奇函数. 23 五 正弦函数的值域与最值 (1)函数f(x)=-2sin x+1，x∈的值域是 A.[1，3] B.[-1，3] C.[-3，1] D.[-1，1] 例 2 ∵x∈，∴sin x∈[-1，1]， ∴f(x)=-2sin x+1∈[-1，3]. √ 25 f(x)=sin(π+x)-cos2x=-sin x-1+sin2x=sin2x-sin x-1， 令t=sin x， 则y=t2-t-1=-，t∈[-1，1]. 因为-1≤t≤1，所以-≤y≤1， 所以ymax=1，此时sin x=-1，x=-+2kπ，k∈Z； ymin=-，此时sin x=，x=+2kπ，k∈Z或x=+2kπ，k∈Z. (2)求函数f(x)=sin(π+x)-cos2x的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时x的值. 26 原式可化为y=1-，∵-1≤sin x≤1，∴≤≤2，得-1≤y≤，所以函数y=. (3)求函数y=的值域. 27 反 思 感 悟 (1)一次型：如果是关于正弦函数的一次式，要根据一次项系数的正负确定最值. (2)二次型：如果是关于正弦函数的二次式，则通过换元转化为一元二次函数配方求最值. (3)分式型：含有sin x或cos x的分式型函数求值域，往往先分离常量，进而求解，有时用反解法求出sin x或cos x，利用有界性建立不等式求解. 与正弦函数有关的最值 (1)(多选)已知函数f(x)=2asin x+a+b的定义域是，值域为[-5，-1]，则a，b的值为 A.a=2，b=-7 B.a=-2，b=2 C.a=-2，b=1 D.a=1，b=-2 跟踪训练 2 因为f(x)=2asin x+a+b的定义域是，所以0≤sin x≤1. 当a<0时，由题意 当a>0时，由题意 √ √ 29 f(x)=-2(1-sin2x)+2sin x+3 =2sin2x+2sin x+1 =2+. ∵x∈，∴≤sin x≤1. 当sin x=1时，y取最大值ymax=5； 当sin x=时，y取最小值ymin=. (2)求函数y=-2cos2x+2sin x+3，x∈的最大值和最小值. 30 六 正弦函数的单调性及应用 (1)y=-3sin x+1的单调递减区间为　　 　 　　　　， 若x∈[0，π]，则y=-3sin x+1的单调递减区间为　　　　.  例 3 (k∈Z) 32 当-+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z时， y=-3sin x+1单调递减， ∴y=-3sin x+1的单调递减区间为 (k∈Z). 若x∈[0，π]， ∵(k∈Z)∩[0，π]=. ∴当x∈[0，π]时，y=-3sin x+1的单调递减区间为. (2)比较sin 196°与cos 156°的大小. sin 196°=sin(180°+16°)=-sin 16°， cos 156°=cos(180°-24°)=-cos 24°=-sin 66°. ∵当0°≤x≤90°时，y=sin x单调递增， ∴sin 16°<sin 66°， 故sin 196°>cos 156°. 34 反 思 感 悟 (1)求形如y=asin x+b的三角函数的单调性，当a<0时，要求y=asin x+b的单调递增区间，即求y=sin x的单调递减区间. (2)用正弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小. (1)比较sin与sin的大小. 跟踪训练 3 sin=sin=sin， sin=sin=sin . ∵y=sin x在上单调递增， 且-<-<<， ∴sin<sin ，即sin<sin . 36 (2)y=sin x+1的单调递减区间为　　　 .  在y=Asin x中(A>0)，单调区间与A无关，仍为sin x的单调区间，故 y=sin x+1的单调递减区间为，k∈Z. ，k∈Z 37 1.知识清单： (1)正弦函数的奇偶性、单调性、最值、零点. (2)函数的周期性，正弦函数的周期性. 2.方法归纳：分类讨论、数形结合. 3.常见误区：求形如y=asin x+b(a<0)的单调性时，忽略a<0的影响. 课堂小结 随堂演练 七 1 2 3 4 1.函数y=-2sin x是 A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数 √ 设f(x)=-2sin x，x∈R， ∵f(-x)=-2sin(-x)=2sin x=-f(x)， ∴函数y=-2sin x是奇函数. 1 2 3 4 2.已知2a-1-3sin x=0，则a的取值范围是 A.(-1，2) B.[0，1] C.(0，1) D.[-1，2] √ 2a-1=3sin x，∵sin x∈[-1，1]， ∴-3≤2a-1≤3，即-1≤a≤2. 3.y=sin x-1在以下哪个区间上单调递减 A. B. C. D. 1 2 3 4 √ ∵y=sin x-1的单调递减区间为，k∈Z， ∴y=sin x-1在上单调递减. 1 2 3 4 4.sin与sin的大小关系为　　 　　.(用“>”连接)  sin>sin 1 2 3 4 sin=sin =sin=sin=sin， sin=sin=sin ， 因为0<<<，且y=sin x在上单调递增， 所以sin>sin， 即sin>sin. 课时对点练 八 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B ACD B B C D +2kπ或+2kπ，k∈Z 题号 8 11 12 13 14 15 答案 ABC B 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)sin=sin=sin. ∵0<<<， 且y=sin x在区间上单调递增， ∴sin<sin，即sin<sin. (2)∵-<-<-<， 且y=sin x在区间上单调递增， ∴sin>sin. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)sin=sin=sin， sin=sin=sin. ∵0<<<， 且y=sin x在区间上单调递增， ∴sin<sin， 即sin<sin. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1) ∵ymax=1-a，∴a<0， 故ymin=1+a=-3，∴a=-4. (2)由(1)得y=-4sin x+1， 当+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z时， 函数y=-4sin x+1单调递增， ∴y=-4sin x+1的单调递增区间为 (k∈Z). (3) ∵x∈[-π，π]，(k∈Z)∩[-π，π] =∪. ∴当x∈[-π，π]时，y=-4sin x+1的单调递增区间为. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)因为f(x+1)=-， 所以f(x+2)=-=-=f(x)， 所以f(x)是周期函数，2就是它的一个周期. (2)因为2是f(x)的一个周期，且f(x)在[-4，-3]上单调递增， 所以f(x)在[0，1]上单调递增. 又α，β为锐角三角形的两个内角，且α+β>， 所以0<-β<α<， 因为y=sin x在上单调递增， 所以sin α>sin=cos β， 又因为sin α∈(0，1)，cos β∈(0，1)， 所以f(sin α)>f(cos β). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.关于正弦函数y=sin x(x∈R)，下列说法正确的是 A.值域为R B.最小正周期为2π C.在(0，π)上单调递减 D.在(π，2π)上单调递增 √ 函数y=sin x(x∈R)的定义域为R，值域为[-1，1]，所以A错误； y=sin x(x∈R)的最小正周期为2π，所以B正确； y=sin x(x∈R)在上单调递增，所以C，D错误. 答案 2.(多选)下列函数是偶函数的是 A.y=sin|x| B.y=xsin|x| C.y=-sin|x| D.y=sin(-|x|) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A选项，函数的定义域为R，设f(x)=sin|x|，则f(-x)=sin|x|=f(x)，故该函数为偶函数，符合题意. 对于B选项，函数的定义域为R， 设f(x)=xsin|x|，则f(-x)=-xsin|x|=-f(x)，故该函数为奇函数，不符合题意. 对于C选项，函数的定义域为R，设f(x)=-sin|x|，则f(-x)=-sin|x|=f(x)，故该函数为偶函数，符合题意. 对于D选项，函数的定义域为R，设f(x)=sin(-|x|)，则f(-x)=sin(-|x|)=f(x)，故该函数为偶函数，符合题意. 答案 3.函数y=9-sin x的单调递增区间是 A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.[2kπ，π+2kπ](k∈Z) D.[-π+2kπ，2kπ](k∈Z) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y=9-sin x的单调递增区间与y=sin x的单调递减区间相同. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.y=的最小值是 A.2 B.-2 C.1 D.-1 √ 由y==2-， 当sin x=-1时，y=取得最小值-2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.下列关系式中正确的是 A.sin 11°<cos 10°<sin 168° B.sin 168°<sin 11°<cos 10° C.sin 11°<sin 168°<cos 10° D.sin 168°<cos 10°<sin 11° √ ∵sin 168°=sin(180°-12°)=sin 12°， cos 10°=sin(90°-10°)=sin 80°. ∴由正弦函数的单调性， 得sin 11°<sin 12°<sin 80°， 即sin 11°<sin 168°<cos 10°. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期 为π，且当x∈时，f(x)=sin x，则f等于 A.- B. C.- D. √ f=f=f =f=f=sin=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令2sin x-=0，得sin x=. 所以x=+2kπ或+2kπ，k∈Z. 7. 函数y=2sin x-的零点为　 　　　.  +2kπ或+2kπ，k∈Z 答案 8.若sin x=，x∈，则m的取值范围是　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x=-时， y=sin x取得最小值-，当x=时， y=sin x取得最大值1. ∴当x∈时，-≤sin x≤1， 即-≤≤1， 解得≤m≤2.即m的取值范围是. 答案 9.比较下列各组值的大小： (1)sin和sin； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 sin=sin=sin. ∵0<<<， 且y=sin x在区间上单调递增， ∴sin<sin，即sin<sin. 答案 (2)sin和sin； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵-<-<-<， 且y=sin x在区间上单调递增， ∴sin>sin. 答案 (3)sin和sin. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 sin=sin=sin， sin=sin=sin. ∵0<<<， 且y=sin x在区间上单调递增， ∴sin<sin， 即sin<sin. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.函数y=asin x+1的最大值为1-a，最小值为-3. (1)求实数a的值； ∵ymax=1-a，∴a<0， 故ymin=1+a=-3，∴a=-4. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求该函数的单调递增区间； 由(1)得y=-4sin x+1， 当+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z时， 函数y=-4sin x+1单调递增， ∴y=-4sin x+1的单调递增区间为 (k∈Z). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)若x∈[-π，π]，求该函数的单调递增区间. ∵x∈[-π，π]，(k∈Z)∩[-π，π] =∪. ∴当x∈[-π，π]时，y=-4sin x+1的单调递增区间为. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)已知函数f(x)=cos(x∈R)，下面结论正确的是 A.函数f(x)的最小正周期为2π B.函数f(x)在区间上单调递减 C.函数f(x)的图象关于原点对称 D.函数f(x)是偶函数 √ 综合运用 ∵f(x)=cos=-sin x，结合函数y=-sin x的性质知A，B，C正确. √ √ 答案 12.设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)=则f的值等于 A.1 B. C.0 D.- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f=f =f=sin=. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知|x|≤，则函数f(x)=cos2x+sin x的最小值为　　　.  y=f(x)=cos2x+sin x=-sin2x+sin x+1. 令t=sin x，∵|x|≤， ∴-≤sin x≤， 即-≤t≤. 则y=-t2+t+1=-+， ∴当t=-，即x=-时，f(x)有最小值，且最小值为. 答案 14.若f(n)=sin ，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)=　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵f(1)=sin =，f(2)=1， f(3)=，f(4)=0，f(5)=-， f(6)=-1，f(7)=-，f(8)=0， f(9)=，…，∴f(n)的一个周期为8， 且f(1)+f(2)+…+f(8)=0. ∵2 025=253×8+1， 故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025) =253×0+f(1)=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.已知函数f(x)=x3+sin x，x∈(-1，1)，则满足f(a2-1)+f(a-1)>0的实数a的取值范围为　　　　.  拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为函数f(x)=x3+sin x，x∈(-1，1)，f(-x)=-x3-sin x=-f(x). 所以y=f(x)是奇函数， 又y=x3与y=sin x在区间(-1，1)上单调递增，所以y=f(x)在(-1，1)上单调递增. 因为f(a2-1)+f(a-1)>0，所以f(a2-1)>f(1-a)， 所以 解得1<a<，即实数a的取值范围为. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+1)=-(f(x)≠0). (1)求证：函数f(x)是周期函数； 因为f(x+1)=-， 所以f(x+2)=-=-=f(x)， 所以f(x)是周期函数，2就是它的一个周期. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若f(x)满足在[-4，-3]上单调递增，且α，β为锐角三角形的两个内角，试判断f(sin α)与f(cos β)的大小关系. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为2是f(x)的一个周期，且f(x)在[-4，-3]上单调递增， 所以f(x)在[0，1]上单调递增. 又α，β为锐角三角形的两个内角，且α+β>， 所以0<-β<α<， 因为y=sin x在上单调递增， 所以sin α>sin=cos β， 又因为sin α∈(0，1)，cos β∈(0，1)， 所以f(sin α)>f(cos β). 答案 第一章 <<< $$ 7.3.1　正弦函数的性质与图象(一) ［学习目标］　1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.利用正弦线理解正弦函数的性质.3.掌握正弦函数的性质及其应用. 导语　 根据三角函数的定义可知，“单位圆上点的坐标就是三角函数”，因此，单位圆的性质与三角函数的性质有天然的联系，因此，可以借助单位圆研究三角函数的性质，这节课就从单位圆入手开启正弦函数性质的学习吧！ 一、正弦函数 问题1　角α的终边与单位圆的交点是否唯一？该交点的纵坐标是什么？ 提示　唯一，纵坐标y=sin α. 知识梳理　 正弦函数 对于任意一个角x，都有唯一确定的正弦sin x与之对应，因此y=sin x是一个函数，一般称为正弦函数. 二、函数的周期性 问题2　角α与α+2kπ(k∈Z)两者的正弦值有怎样的关系？2kπ，k∈Z且k≠0的最小正值为多少？ 提示　相等，2π. 知识梳理　 1.周期性：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足f(x+T)=f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期. 2.最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就称为f(x)的最小正周期. 注意点： (1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立. (2)周期函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期. (3)三角函数的周期是函数的整体性质，我们在研究函数时，只需研究一个周期上的图象和性质即可. (4)若不加特殊说明，一般求三角函数的周期的问题，求的是函数的最小正周期. 三、正弦函数y=sin x的性质 知识梳理 　　名称 性质 y=sin x 定义域 R 值域 ［-1，1］ 最值 当且仅当x=+2kπ，k∈Z时，函数y=sin x的最大值ymax=1； 当且仅当x=+2kπ，k∈Z时，函数y=sin x的最小值ymin=-1 奇偶性 奇函数 周期性 最小正周期为2π 单调性 在(k∈Z)上递增； 在(k∈Z)上递减 零点 kπ(k∈Z) 注意点： (1)正弦函数的单调性只针对区间，不能针对象限. (2)正弦函数不是单调函数，但它有无数个单调区间. (3)利用单调性，可以比较同一个单调区间内的同名三角函数值的大小. 四、正弦函数的奇偶性与周期性 例1　(1)f(x)=cos+x2sin x的奇偶性是　　　　.  答案　奇函数 解析　f(x)=sin x+x2sin x， ∵x∈R，f(-x)=sin(-x)+(-x)2sin(-x) =-sin x-x2sin x=-f(x)， ∴f(x)是奇函数. (2)判断等式sin=sin是否成立？如果成立，能否说明是函数y=sin x的周期？ 解　sin=sin =sin=-sin， 而sin=-sin， 所以上述等式成立， 但不能说明是函数y=sin x的周期， 理由如下，若是函数y=sin x的周期， 则对任意的实数x，都有sin=sin x， 但当x=0时，sin≠sin x， 所以不是函数y=sin x的周期. 反思感悟　(1)定义法求函数的周期：紧扣周期函数的定义，寻求对定义域内的任意x都满足f(x+T)=f(x)的非零常数T，该方法主要适用于抽象函数. (2)定义法判断函数的奇偶性：从f(-x)的解析式中拼凑出f(x)的解析式，再依据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)来判断. 跟踪训练1　(1)函数y=|sin x|，x∈R的最小正周期为　　　　.  答案　π 解析　设f(x)=|sin x|， ∵f(x+π)=|sin(x+π)|=|sin x|=f(x)， ∴y=|sin x|的最小正周期为π. (2)函数f(x)=xsin(π+x)(　　) A.是奇函数，但不是偶函数 B.是偶函数，但不是奇函数 C.既是奇函数，又是偶函数 D.既不是奇函数，也不是偶函数 答案　B 解析　易知函数f(x)的定义域R关于原点对称， ∵f(x)=xsin(π+x)=-xsin x， f(-x)=(-x)sin(π-x)=-xsin x=f(x)≠-f(x)， ∴f(x)是偶函数，不是奇函数. 五、正弦函数的值域与最值 例2　(1)函数f(x)=-2sin x+1，x∈的值域是(　　) A.［1，3］ B.［-1，3］ C.［-3，1］ D.［-1，1］ 答案　B 解析　∵x∈，∴sin x∈［-1，1］， ∴f(x)=-2sin x+1∈［-1，3］. (2)求函数f(x)=sin(π+x)-cos2x的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时x的值. 解　f(x)=sin(π+x)-cos2x=-sin x-1+sin2x=sin2x-sin x-1， 令t=sin x， 则y=t2-t-1=-，t∈［-1，1］. 因为-1≤t≤1，所以-≤y≤1， 所以ymax=1，此时sin x=-1，x=-+2kπ，k∈Z； ymin=-，此时sin x=，x=+2kπ，k∈Z或x=+2kπ，k∈Z. (3)求函数y=的值域. 解　原式可化为y=1-，∵-1≤sin x≤1，∴≤≤2，得-1≤y≤，所以函数y=的值域为. 反思感悟　与正弦函数有关的最值 (1)一次型：如果是关于正弦函数的一次式，要根据一次项系数的正负确定最值. (2)二次型：如果是关于正弦函数的二次式，则通过换元转化为一元二次函数配方求最值. (3)分式型：含有sin x或cos x的分式型函数求值域，往往先分离常量，进而求解，有时用反解法求出sin x或cos x，利用有界性建立不等式求解. 跟踪训练2　(1)(多选)已知函数f(x)=2asin x+a+b的定义域是，值域为［-5，-1］，则a，b的值为(　　) A.a=2，b=-7 B.a=-2，b=2 C.a=-2，b=1 D.a=1，b=-2 答案　AC 解析　因为f(x)=2asin x+a+b的定义域是，所以0≤sin x≤1. 当a<0时，由题意解得 当a>0时，由题意解得 (2)求函数y=-2cos2x+2sin x+3，x∈的最大值和最小值. 解　f(x)=-2(1-sin2x)+2sin x+3 =2sin2x+2sin x+1 =2+. ∵x∈，∴≤sin x≤1. 当sin x=1时，y取最大值ymax=5； 当sin x=时，y取最小值ymin=. 六、正弦函数的单调性及应用 例3　(1)y=-3sin x+1的单调递减区间为　　　　　　　，若x∈［0，π］，则y=-3sin x+1的单调递减区间为　　　　.  答案　(k∈Z)　 解析　当-+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z时， y=-3sin x+1单调递减， ∴y=-3sin x+1的单调递减区间为 (k∈Z). 若x∈［0，π］， ∵(k∈Z)∩［0，π］=. ∴当x∈［0，π］时，y=-3sin x+1的单调递减区间为. (2)比较sin 196°与cos 156°的大小. 解　sin 196°=sin(180°+16°)=-sin 16°， cos 156°=cos(180°-24°)=-cos 24°=-sin 66°. ∵当0°≤x≤90°时，y=sin x单调递增， ∴sin 16°<sin 66°， 故sin 196°>cos 156°. 反思感悟　(1)求形如y=asin x+b的三角函数的单调性，当a<0时，要求y=asin x+b的单调递增区间，即求y=sin x的单调递减区间. (2)用正弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小. 跟踪训练3　(1)比较sin与sin的大小. 解　sin=sin=sin， sin=sin=sin . ∵y=sin x在上单调递增， 且-<-<<， ∴sin<sin ，即sin<sin . (2)y=sin x+1的单调递减区间为　　　　.  答案　，k∈Z 解析　在y=Asin x中(A>0)，单调区间与A无关，仍为sin x的单调区间，故y=sin x+1的单调递减区间为，k∈Z. 1.知识清单： (1)正弦函数的奇偶性、单调性、最值、零点. (2)函数的周期性，正弦函数的周期性. 2.方法归纳：分类讨论、数形结合. 3.常见误区：求形如y=asin x+b(a<0)的单调性时，忽略a<0的影响. 1.函数y=-2sin x是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数 答案　A 解析　设f(x)=-2sin x，x∈R， ∵f(-x)=-2sin(-x)=2sin x=-f(x)， ∴函数y=-2sin x是奇函数. 2.已知2a-1-3sin x=0，则a的取值范围是(　　) A.(-1，2) B.［0，1］ C.(0，1) D.［-1，2］ 答案　D 解析　2a-1=3sin x，∵sin x∈［-1，1］， ∴-3≤2a-1≤3，即-1≤a≤2. 3.y=sin x-1在以下哪个区间上单调递减(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵y=sin x-1的单调递减区间为，k∈Z， ∴y=sin x-1在上单调递减. 4.sin与sin的大小关系为　　　　.(用“>”连接)  答案　sin>sin 解析　sin=sin =sin=sin=sin， sin=sin=sin ， 因为0<<<，且y=sin x在上单调递增，所以sin>sin，即sin>sin. 　　　　 课时对点练　［分值：100分］ 　　　　　　　　　　　　　　　　 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分 1.关于正弦函数y=sin x(x∈R)，下列说法正确的是(　　) A.值域为R B.最小正周期为2π C.在(0，π)上单调递减 D.在(π，2π)上单调递增 答案　B 解析　函数y=sin x(x∈R)的定义域为R，值域为［-1，1］，所以A错误；y=sin x(x∈R)的最小正周期为2π，所以B正确；y=sin x(x∈R)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以C，D错误. 2.(多选)下列函数是偶函数的是(　　) A.y=sin|x| B.y=xsin|x| C.y=-sin|x| D.y=sin(-|x|) 答案　ACD 解析　对于A选项，函数的定义域为R，设f(x)=sin|x|，则f(-x)=sin|x|=f(x)，故该函数为偶函数，符合题意. 对于B选项，函数的定义域为R， 设f(x)=xsin|x|，则f(-x)=-xsin|x|=-f(x)，故该函数为奇函数，不符合题意. 对于C选项，函数的定义域为R，设f(x)=-sin|x|，则f(-x)=-sin|x|=f(x)，故该函数为偶函数，符合题意. 对于D选项，函数的定义域为R，设f(x)=sin(-|x|)，则f(-x)=sin(-|x|)=f(x)，故该函数为偶函数，符合题意. 3.函数y=9-sin x的单调递增区间是(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.［2kπ，π+2kπ］(k∈Z) D.［-π+2kπ，2kπ］(k∈Z) 答案　B 解析　y=9-sin x的单调递增区间与y=sin x的单调递减区间相同. 4.y=的最小值是(　　) A.2 B.-2 C.1 D.-1 答案　B 解析　由y==2-， 当sin x=-1时，y=取得最小值-2. 5.下列关系式中正确的是(　　) A.sin 11°<cos 10°<sin 168° B.sin 168°<sin 11°<cos 10° C.sin 11°<sin 168°<cos 10° D.sin 168°<cos 10°<sin 11° 答案　C 解析　∵sin 168°=sin(180°-12°)=sin 12°， cos 10°=sin(90°-10°)=sin 80°. ∴由正弦函数的单调性， 得sin 11°<sin 12°<sin 80°， 即sin 11°<sin 168°<cos 10°. 6.定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)=sin x，则f等于(　　) A.- B. C.- D. 答案　D 解析　f=f=f =f=f=sin=. 7.(5分)函数y=2sin x-的零点为　　　　.  答案　+2kπ或+2kπ，k∈Z 解析　令2sin x-=0，得sin x=. 所以x=+2kπ或+2kπ，k∈Z. 8.(5分)若sin x=，x∈，则m的取值范围是　　　　.  答案　 解析　当x=-时， y=sin x取得最小值-，当x=时， y=sin x取得最大值1. ∴当x∈时，-≤sin x≤1， 即-≤≤1， 解得≤m≤2.即m的取值范围是. 9.(10分)比较下列各组值的大小： (1)sin和sin；(3分) (2)sin和sin；(3分) (3)sin和sin.(4分) 解　(1)sin=sin=sin. ∵0<<<， 且y=sin x在区间上单调递增， ∴sin<sin，即sin<sin. (2)∵-<-<-<， 且y=sin x在区间上单调递增， ∴sin>sin. (3)sin=sin=sin， sin=sin=sin. ∵0<<<， 且y=sin x在区间上单调递增， ∴sin<sin， 即sin<sin. 10.(11分)函数y=asin x+1的最大值为1-a，最小值为-3. (1)求实数a的值；(3分) (2)求该函数的单调递增区间；(4分) (3)若x∈［-π，π］，求该函数的单调递增区间.(4分) 解　(1)∵ymax=1-a，∴a<0， 故ymin=1+a=-3，∴a=-4. (2)由(1)得y=-4sin x+1， 当+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z时， 函数y=-4sin x+1单调递增， ∴y=-4sin x+1的单调递增区间为 (k∈Z). (3)∵x∈［-π，π］，(k∈Z)∩［-π，π］=∪. ∴当x∈［-π，π］时，y=-4sin x+1的单调递增区间为，. 11.(多选)已知函数f(x)=cos(x∈R)，下面结论正确的是(　　) A.函数f(x)的最小正周期为2π B.函数f(x)在区间上单调递减 C.函数f(x)的图象关于原点对称 D.函数f(x)是偶函数 答案　ABC 解析　∵f(x)=cos=-sin x，结合函数y=-sin x的性质知A，B，C正确. 12.设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)=则f的值等于(　　) A.1 B. C.0 D.- 答案　B 解析　f=f =f=sin=. 13.(5分)已知|x|≤，则函数f(x)=cos2x+sin x的最小值为　　　　.  答案　 解析　y=f(x)=cos2x+sin x=-sin2x+sin x+1. 令t=sin x，∵|x|≤， ∴-≤sin x≤， 即-≤t≤. 则y=-t2+t+1=-+， ∴当t=-，即x=-时，f(x)有最小值，且最小值为. 14.(5分)若f(n)=sin ，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)=　　　　.  答案　 解析　∵f(1)=sin =，f(2)=1， f(3)=，f(4)=0，f(5)=-， f(6)=-1，f(7)=-，f(8)=0， f(9)=，…，∴f(n)的一个周期为8， 且f(1)+f(2)+…+f(8)=0. ∵2 025=253×8+1， 故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025) =253×0+f(1)=. 15.(5分)已知函数f(x)=x3+sin x，x∈(-1，1)，则满足f(a2-1)+f(a-1)>0的实数a的取值范围为　　　　.  答案　 解析　因为函数f(x)=x3+sin x，x∈(-1，1)，f(-x)=-x3-sin x=-f(x). 所以y=f(x)是奇函数， 又y=x3与y=sin x在区间(-1，1)上单调递增，所以y=f(x)在(-1，1)上单调递增. 因为f(a2-1)+f(a-1)>0，所以f(a2-1)>f(1-a)， 所以 解得1<a<，即实数a的取值范围为. 16.(12分)已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+1)=-(f(x)≠0). (1)求证：函数f(x)是周期函数；(5分) (2)若f(x)满足在［-4，-3］上单调递增，且α，β为锐角三角形的两个内角，试判断f(sin α)与f(cos β)的大小关系.(7分) (1)证明　因为f(x+1)=-， 所以f(x+2)=-=-=f(x)， 所以f(x)是周期函数，2就是它的一个周期. (2)解　因为2是f(x)的一个周期，且f(x)在［-4，-3］上单调递增， 所以f(x)在［0，1］上单调递增. 又α，β为锐角三角形的两个内角，且α+β>， 所以0<-β<α<， 因为y=sin x在上单调递增， 所以sin α>sin=cos β， 又因为sin α∈(0，1)，cos β∈(0，1)， 所以f(sin α)>f(cos β). 学科网（北京）股份有限公司 $$