第七章 7.3.1 正弦函数的性质与图象(二)-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第三册教师用书（人教B版2019）

7.3.1　正弦函数的性质与图象(二) ［学习目标］　1.了解由正弦函数的性质及“五点法”作正弦函数的图象.2.理解正弦曲线及其对称轴、对称中心.3.能利用正弦函数解决简单问题. 导语 同学们，我国著名数学家华罗庚教授写过这样一首诗：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞.数无形时少直觉，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离.”诗中充分肯定了数形结合这一重要的数学思想方法，前面我们主要从“数”的角度研究了三角函数的一些问题，这节课我们将从“形”上来研究三角函数. 一、正弦曲线 知识梳理　 一般地，y=sin x的函数图象称为正弦曲线.如图， 由图可以看出，正弦曲线是轴对称图形，对称轴为x=+kπ(k∈Z)；正弦曲线也是中心对称图形，且对称中心为(kπ，0)(k∈Z). 二、五点法作正弦曲线 问题　在确定函数y=sin x，x∈［0，2π］的图象形状时，应抓住哪些关键点？ 提示　(0，0)，，(π，0)，，(2π，0). 知识梳理　 “五点法”作正弦函数y=sin x，x∈［0，2π］图象的步骤 (1)列表： x 0 π 2π y=sin x 0 1 0 -1 0 (2)描点：画正弦函数y=sin x，x∈［0，2π］的图象，五个关键点是(0，0)，，(π，0)，，(2π，0). (3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦曲线的简图. 例1　利用“五点法”作出函数y=1-sin x(0≤x≤2π)的简图. 解　取值，列表如下. x 0 π 2π y=sin x 0 1 0 -1 0 y=1-sin x 1 0 1 2 1 描点作图，如图所示. 延伸探究　本例中除了用五点法作图之外，是否还有其他方法得到y=1-sin x(0≤x≤2π)的图象. 解　作出y=sin x(0≤x≤2π)的图象关于x轴对称的图象，得到y=-sin x(0≤x≤2π)的图象，再将y=-sin x(0≤x≤2π)的图象向上平移1个单位，即得到y=1-sin x(0≤x≤2π)的图象. 反思感悟　作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即y=sin x的图象在［0，2π］内的最高点、最低点和与x轴的交点.“五点法”是作简图的常用方法. 跟踪训练1　(1)用“五点法”画出函数y=+sin x，x∈［0，2π］的简图. 解　取值，列表如下. x 0 π 2π y=sin x 0 1 0 -1 0 y=+sin x - 描点作图，如图所示. (2)函数y=sin x+的图象的对称轴为　　　　　　　　　　，对称中心为　　　　　　　　.  答案　x=+kπ，k∈Z　，k∈Z 解析　因为y=sin x的对称轴为x=+kπ，k∈Z，对称中心为(kπ，0)，k∈Z， 所以y=sin x+的对称轴为x=+kπ，k∈Z， 对称中心为，k∈Z. 三、利用正弦函数图象解不等式 例2　利用正弦函数的图象，求满足sin x≥的x的集合. 解　作出正弦函数y=sin x，x∈［0，2π］的图象，如图所示，由图可知在［0，2π］上满足sin x≥的x的集合为， 故满足sin x≥的x的集合为 . 反思感悟　用三角函数图象解三角不等式的步骤 (1)作出相应的正弦函数在［0，2π］上的图象. (2)写出不等式在区间［0，2π］上的解集. (3)根据诱导公式①写出定义域内的解集. 跟踪训练2　函数y=log2(2sin x+1)的定义域为　　　　　　　　　　　　　　.  答案　 解析　要使函数有意义，则必有2sin x+1>0， 即sin x>-，画出y=sin x，x∈的草图，如图所示. 当-<x<时，不等式sin x>-成立， 所以sin x>-的解集为 . 可知函数y=log2(2sin x+1)的定义域为 . 四、正弦函数图象的应用 例3　(1)方程sin x=lg x的解的个数是　　　　.  答案　3 解析　用五点法画出函数y=sin x，x∈［0，2π］的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y=sin x的图象. 描出点，(1，0)，(10，1)，并用光滑曲线连接得到y=lg x的图象，如图所示. 由图象可知方程sin x=lg x的解有3个. (2)方程xsin x=1在区间［0，2π］上根的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　C 解析　当x=0时不满足题意，当x≠0时，方程xsin x=1变为=sin x，方程xsin x=1在区间(0，2π］上的根的个数可由函数y=与函数y=sin x的图象交点个数确定，在平面直角坐标系内作出函数y=与函数y=sin x在(0，2π］上的图象，如图所示. 由图象可知有2个交点. 反思感悟　在解决两函数的交点或方程根的问题时，可借助于y=sin x的图象，利用数形结合的方法. 跟踪训练3　函数f(x)=sin x+2|sin x|，x∈［0，2π］的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围. 解　f(x)=sin x+2|sin x|= 图象如图所示，若使f(x)的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，根据图象可得k的取值范围是(1，3). 1.知识清单： (1)正弦曲线. (2)“五点法”作图. (3)利用函数图象解不等式. (4)函数图象的应用. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：五点的选取. 1.函数y=sin(-x)，x∈［0，2π］的简图是(　　) 答案　B 解析　y=sin(-x)=-sin x，y=-sin x与y=sin x的图象关于x轴对称，故选B. 2.用“五点法”画函数y=1+sin x的图象时，首先应描出五点的横坐标是(　　) A.0，，，，π B.0，，π，，2π C.0，π，2π，3π，4π D.0，，，， 答案　B 解析　所描出的五点的横坐标与函数y=sin x的五点的横坐标相同，即0，，π，，2π. 3.若方程sin x=4m+1在x∈［0，2π］上有解，则实数m的取值范围是　　　　.  答案　 解析　由正弦函数的图象，知当x∈［0，2π］时，sin x∈［-1，1］，要使得方程sin x=4m+1在x∈［0，2π］上有解， 则-1≤4m+1≤1， 故-≤m≤0. 4.函数y=的定义域为　　　　　　　　　　　　　　　　　　.  答案　 解析　依题意知-2sin x-1≥0， 即sin x≤-. 由y=sin x，x∈［0，2π］的图象知， 当≤x≤时，sin x≤-， 所以函数y=的定义域为 . 　　　　 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分 1.(多选)对于正弦函数y=sin x的图象，下列说法正确的是(　　) A.是一条连续不断的曲线 B.图象最高点对应的纵坐标为1 C.与x轴有无数个交点 D.有对称中心，没有对称轴 答案　ABC 解析　A，B，C显然正确，y=sin x的对称中心是(kπ，0)，k∈Z，对称轴为x=+kπ，k∈Z，所以D错误. 2.(多选)下列各组函数中图象相同的是(　　) A.y=|sin x|与y=sin |x| B.y=sin(x-π)与y=sin(x+π) C.y=sin x与y=sin(-x) D.y=sin(2π+x)与y=sin x 答案　BD 解析　A中，当x=时，|sin x|=1，而sin|x|=-1，故A错误； B中，两函数都可化为y=-sin x，两函数图象相同，故B正确；D中，y=sin(2π+x)=sin x，两函数图象相同，故D正确； C中，y=sin x与y=sin(-x)=-sin x图象不同，故C错误. 3.函数y=-sin x，x∈的简图是(　　) 答案　D 解析　函数y=-sin x与y=sin x的图象关于x轴对称，故选D. 4.函数y=1+sin x，x∈［0，2π］的图象与直线y=2交点的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　B 解析　由函数y=1+sin x，x∈［0，2π］的图象(如图所示)， 可知其与直线y=2只有1个交点. 5.在［0，2π］内，不等式sin x<-的解集是(　　) A.(0，π) B. C. D. 答案　C 解析　画出y=sin x，x∈［0，2π］的草图如下. 因为sin=， 所以sin=-，sin=-. 即在［0，2π］内，满足sin x=-的x的值为或.由y=sin x，x∈［0，2π］的图象， 可知不等式sin x<-的解集是. 6.(5分)y=sin x-1的对称轴为　　　　　　　　　　　，对称中心为　　　　　　　　　.  答案　x=+kπ，k∈Z　(kπ，-1)，k∈Z 解析　因为y=sin x的对称轴为x=+kπ，k∈Z， 对称中心为(kπ，0)，k∈Z， 所以y=sin x-1的对称轴为x=+kπ，k∈Z， 对称中心为(kπ，-1)，k∈Z. 7.(5分)方程sin x=a在x∈上有且仅有一个实数解，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　［-1，0)∪｛1｝ 解析　作出y=sin x，x∈的图象，如图所示. 由图知，a的取值范围是 ［-1，0)∪｛1｝. 8.(5分)函数y=的定义域是　　　　　　　　　　　　　　　.  答案　｛x|2kπ<x<π+2kπ，k∈Z｝ 解析　由题意得 解得0<sin x≤1，由正弦函数图象(图略)知2kπ<x<π+2kπ，k∈Z. 9.(10分)利用“五点法”画出函数y=2-sin x，x∈［0，2π］的简图. 解　(1)取值，列表如下. x 0 π 2π y=sin x 0 1 0 -1 0 y=2-sin x 2 1 2 3 2 (2)描点作图，如图所示. 10.(11分)求函数y=+的定义域. 解　由题意得x满足不等式组 即 作出y=sin x，x∈［-2π，2π］的图象，如图所示. 结合图象可得x∈［-π，0］∪［π，5］. 11.方程sin x=的根的个数是(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 答案　A 解析　在同一坐标系内画出y=和y=sin x的图象如图所示. 根据图象可知方程有7个根. 12.如图所示，函数y=cos x|tan x| 的图象是(　　) 答案　C 解析　当0≤x<时，y=cos x|tan x|=sin x； 当<x≤π时，y=cos x|tan x|=-sin x； 当π<x<时，y=cos x|tan x|=sin x，故其图象为C. 13.(5分)已知函数y=sin x，x∈［m，n］的值域是，则n-m的最大值为　　　　.  答案　 解析　作出正弦函数y=sin x(x∈R)的图象，如图所示， ∵函数y=sin x的定义域为［m，n］，值域为，又sin=sin=-， 结合正弦函数y=sin x的图象与性质可知n-m的最大值为-=. 14.(5分)若函数y=sin x-有两个零点，则实数m的取值范围为　　　　，两个零点之和为　　　　.  答案　　π 解析　由sin x-=0得sin x=.在同一平面直角坐标系中作出函数y=sin x的图象与直线y=，如图所示. 由图知，当≤<1，即≤m<2时，两图象有两个交点，即原函数有两个零点，此时m∈.设两个零点分别为x1，x2，由于两交点关于直线x=对称，所以=，所以x1+x2=π. 15.已知函数f(x)=|sin x|，x∈［-2π，2π］，则方程f(x)=的所有根的和等于(　　) A.0 B.π C.-π D.-2π 答案　A 解析　方法一　若f(x)=，即|sin x|=， 则sin x=或sin x=-.因为x∈［-2π，2π］， 结合图象(如图)可知，方程sin x=有4个根，且关于x=-对称，对称的2个根之和为-π，则4个根之和为-2π， 由对称性可得sin x=-的四个根之和为2π. 综上，方程f(x)=的所有根的和等于0. 方法二　作出函数f(x)的图象，如图所示，易知函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，若f(x)=，即|sin x|=，则函数f(x)与直线y=的图象共有8个交点，且两两关于y轴对称，故所有根之和为0. 16.(12分)若方程2sin x+a-1=0在x∈上有两个实数根，求a的取值范围. 解　原方程可化为sin x=.在同一直角坐标系中作出y=sin x，x∈与y=的图象，由图象可知，当≤<1， 即当-1<a≤1-时，y=sin x，x∈的图象与y=的图象有两个交点，即方程2sin x+a-1=0在x∈上有两个实数根. 所以a的取值范围为(-1，1-］. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 <<< 7.3.1 正弦函数的性质与图象(二) 1.了解由正弦函数的性质及“五点法”作正弦函数的图象. 2.理解正弦曲线及其对称轴、对称中心. 3.能利用正弦函数解决简单问题. 学习目标 同学们，我国著名数学家华罗庚教授写过这样一首诗：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞.数无形时少直觉，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离.”诗中充分肯定了数形结合这一重要的数学思想方法，前面我们主要从“数”的角度研究了三角函数的一些问题，这节课我们将从“形”上来研究三角函数. 导 语 一、正弦曲线 内容索引 二、五点法作正弦曲线 三、利用正弦函数图象解不等式 四、正弦函数图象的应用 随堂演练 课时对点练 正弦曲线 一 一般地，y=sin x的函数图象称为正弦曲线.如图， 由图可以看出，正弦曲线是轴对称图形，对称轴为x=___________；正弦曲线也是中心对称图形，且对称中心为_____________. +kπ(k∈Z) (kπ，0)(k∈Z) 知识梳理 五点法作正弦曲线 二 提示　 (0，0)，，(π，0)，，(2π，0). 在确定函数y=sin x，x∈[0，2π]的图象形状时，应抓住哪些关键点？ 问题 “五点法”作正弦函数y=sin x，x∈[0，2π]图象的步骤 (1)列表： x 0 π 2π y=sin x 0 1 0 -1 0 (2)描点：画正弦函数y=sin x，x∈[0，2π]的图象，五个关键点是_______ ____________________________________. (3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦曲线的简图. (0，0)， ，(π，0)，，(2π，0) 知识梳理 利用“五点法”作出函数y=1-sin x(0≤x≤2π)的简图. 例 1 10 取值，列表如下. x 0 π 2π y=sin x 0 1 0 -1 0 y=1-sin x 1 0 1 2 1 描点作图，如图所示. 11 本例中除了用五点法作图之外，是否还有其他方法得到y=1-sin x (0≤x≤2π)的图象. 作出y=sin x(0≤x≤2π)的图象关于x轴对称的图象，得到y=-sin x(0≤x≤2π)的图象，再将y=-sin x(0≤x≤2π)的图象向上平移1个单位，即得到y=1-sin x(0≤x≤2π)的图象. 延伸探究 12 作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即y=sin x的图象在[0，2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点.“五点法”是作简图的常用方法. 反 思 感 悟 13 (1)用“五点法”画出函数y=+sin x，x∈[0，2π]的简图. 跟踪训练 1 14 取值，列表如下. 描点作图，如图所示. x 0 π 2π y=sin x 0 1 0 -1 0 y=+sin x - 15 (2)函数y=sin x+的图象的对称轴为　　　　　　　　　　，对称中心 为　　　　　　　　.  因为y=sin x的对称轴为x=+kπ，k∈Z，对称中心为(kπ，0)，k∈Z， 所以y=sin x+的对称轴为x=+kπ，k∈Z， 对称中心为，k∈Z. x=+kπ，k∈Z ，k∈Z 16 利用正弦函数图象解不等式 三 利用正弦函数的图象，求满足sin x≥的x的集合. 例 2 18 作出正弦函数y=sin x，x∈[0，2π]的图象，如图所示，由图可知在 [0，2π]上满足sin x≥的x的集合为， 故满足sin x≥的x的集合为 . 19 (1)作出相应的正弦函数在[0，2π]上的图象. (2)写出不等式在区间[0，2π]上的解集. (3)根据诱导公式①写出定义域内的解集. 用三角函数图象解三角不等式的步骤 反 思 感 悟 20 函数y=log2(2sin x+1)的定义域为_______________________ ___________________.  跟踪训练 2 21 要使函数有意义，则必有2sin x+1>0， 即sin x>-，画出y=sin x，x∈的草图，如图所示. 当-<x<时，不等式sin x>-成立， 所以sin x>-的解集为 . 可知函数y=log2(2sin x+1)的定义域为 . 22 正弦函数图象的应用 四 (1)方程sin x=lg x的解的个数是　　.  例 3 3 用五点法画出函数y=sin x，x∈[0，2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y=sin x的图象. 描出点，(1，0)，(10，1)，并用光滑曲线连接得到y=lg x 的图象，如图所示. 由图象可知方程sin x=lg x的解有3个. 24 (2)方程xsin x=1在区间[0，2π]上根的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 √ 25 当x=0时不满足题意，当x≠0时，方程xsin x=1 变为=sin x，方程xsin x=1在区间(0，2π]上的根的个数可由函数y=与函数y=sin x的图象交 点个数确定，在平面直角坐标系内作出函数y=与函数y=sin x在 (0，2π]上的图象，如图所示. 由图象可知有2个交点. 26 反 思 感 悟 在解决两函数的交点或方程根的问题时，可借助于y=sin x的图象，利用数形结合的方法. 函数f(x)=sin x+2|sin x|，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围. 跟踪训练 3 f(x)=sin x+2|sin x|= 图象如图所示，若使f(x)的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，根据图象可得k的取值范围是(1，3). 28 1.知识清单： (1)正弦曲线. (2)“五点法”作图. (3)利用函数图象解不等式. (4)函数图象的应用. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：五点的选取. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 1.函数y=sin(-x)，x∈[0，2π]的简图是 y=sin(-x)=-sin x，y=-sin x与y=sin x的图象关于x轴对称，故选B. √ 1 2 3 4 2.用“五点法”画函数y=1+sin x的图象时，首先应描出五点的横坐标是 A.0，，，，π B.0，，π，，2π C.0，π，2π，3π，4π D.0，，，， √ 所描出的五点的横坐标与函数y=sin x的五点的横坐标相同，即0，，π，，2π. 3.若方程sin x=4m+1在x∈[0，2π]上有解，则实数m的取值范围是　 　 　.  1 2 3 4 由正弦函数的图象，知当x∈[0，2π]时，sin x∈[-1，1]，要使得方程sin x=4m+1在x∈[0，2π]上有解， 则-1≤4m+1≤1， 故-≤m≤0. 1 2 3 4 4.函数y=的定义域为　　　　　　 　　　　　　　　　　.  依题意知-2sin x-1≥0， 即sin x≤-. 由y=sin x，x∈[0，2π]的图象知， 当≤x≤时，sin x≤-， 所以函数y=的定义域为 . 课时对点练 六 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 ABC BD D B C x=+kπ，k∈Z (kπ，-1)，k∈Z [-1，0) ∪{1} 题号 8 11 12 13 14 15 答案 {x|2kπ<x<π+2kπ，k∈Z} A C π A 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x 0 π 2π y=sin x 0 1 0 -1 0 y=2-sin x 2 1 2 3 2 (1)取值，列表如下. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)描点作图，如图所示. 10. 由题意得x满足不等式组 即 作出y=sin x，x∈[-2π，2π]的图象，如图所示. 结合图象可得x∈[-π，0]∪[π，5]. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 原方程可化为sin x=.在同一直角坐标系中作出y=sin x，x∈与y=≤<1， 即当-1<a≤1-时，y=sin x，x∈的图象与y=的图象有两个交点，即方程2sin x+a-1=0在x∈上有两个实数根. 所以a的取值范围为(-1，1-]. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.(多选)对于正弦函数y=sin x的图象，下列说法正确的是 A.是一条连续不断的曲线 B.图象最高点对应的纵坐标为1 C.与x轴有无数个交点 D.有对称中心，没有对称轴 √ √ √ A，B，C显然正确，y=sin x的对称中心是(kπ，0)，k∈Z，对称轴为 x=+kπ，k∈Z，所以D错误. 答案 2.(多选)下列各组函数中图象相同的是 A.y=|sin x|与y=sin |x| B.y=sin(x-π)与y=sin(x+π) C.y=sin x与y=sin(-x) D.y=sin(2π+x)与y=sin x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A中，当x=时，|sin x|=1，而sin|x|=-1，故A错误； B中，两函数都可化为y=-sin x，两函数图象相同，故B正确； D中，y=sin(2π+x)=sin x，两函数图象相同，故D正确； C中，y=sin x与y=sin(-x)=-sin x图象不同，故C错误. 答案 3.函数y=-sin x，x∈的简图是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 函数y=-sin x与y=sin x的图象关于x轴对称，故选D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.函数y=1+sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y=2交点的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 √ 由函数y=1+sin x，x∈[0，2π]的图象(如图所示)， 可知其与直线y=2只有1个交点. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.在[0，2π]内，不等式sin x<-的解集是 A.(0，π) B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 画出y=sin x，x∈[0，2π]的草图如下. 因为sin=， 所以sin=-，sin=-. 即在[0，2π]内，满足sin x=-的x的值为.由y=sin x，x∈[0，2π] 的图象， 可知不等式sin x<-. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.y=sin x-1的对称轴为　　　　　　　，对称中心为　　　　　　　.  因为y=sin x的对称轴为x=+kπ，k∈Z， 对称中心为(kπ，0)，k∈Z， 所以y=sin x-1的对称轴为x=+kπ，k∈Z， 对称中心为(kπ，-1)，k∈Z. x=+kπ，k∈Z (kπ，-1)，k∈Z 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 作出y=sin x，x∈的图象，如图所示. 由图知，a的取值范围是 [-1，0)∪{1}. 7.方程sin x=a在x∈上有且仅有一个实数解，则实数a的取值范围是　　　 .  [-1，0)∪{1} 答案 8.函数y=的定义域是　　　　　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得 解得0<sin x≤1，由正弦函数图象(图略)知2kπ<x<π+2kπ，k∈Z. {x|2kπ<x<π+2kπ，k∈Z} 答案 9.利用“五点法”画出函数y=2-sin x，x∈[0，2π]的简图. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)取值，列表如下. x 0 π 2π y=sin x 0 1 0 -1 0 y=2-sin x 2 1 2 3 2 (2)描点作图，如图所示. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.求函数y=+的定义域. 由题意得x满足不等式组 即 作出y=sin x，x∈[-2π，2π]的图象，如图所示. 结合图象可得x∈[-π，0]∪[π，5]. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.方程sin x=的根的个数是 A.7 B.8 C.9 D.10 √ 综合运用 在同一坐标系内画出y=和y=sin x的图象 如图所示. 根据图象可知方程有7个根. 答案 12.如图所示，函数y=cos x|tan x|的图象是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 当0≤x<时，y=cos x|tan x|=sin x； 当<x≤π时，y=cos x|tan x|=-sin x； 当π<x<时，y=cos x|tan x|=sin x， 故其图象为C. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知函数y=sin x，x∈[m，n]的值域是，则n-m的最大值为　 .  作出正弦函数y=sin x(x∈R)的图象，如图所示， ∵函数y=sin x的定义域为[m，n]， 值域为，又sin=sin=-， 结合正弦函数y=sin x的图象与性质可知n-m的最大值为-=. 答案 14.若函数y=sin x-有两个零点，则实数m的取值范围为　　　　，两个零点之和为　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 π 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由sin x-=0得sin x=.在同一平面直角坐标系中作出函数y=sin x的图象与直线y=， 如图所示. 由图知，当≤<1，即≤m<2时，两图象有两个交点，即原函数 有两个零点，此时m∈.设两个零点分别为x1，x2，由于两交 点关于直线x==，所以x1+x2=π. 答案 15.已知函数f(x)=|sin x|，x∈[-2π，2π]，则方程f(x)=的所有根的和等于 A.0 B.π C.-π D.-2π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　若f(x)=，即|sin x|=， 则sin x=或sin x=-. 因为x∈[-2π，2π]， 结合图象(如图)可知，方程sin x=有4个根，且关于x=-对称，对称的 2个根之和为-π，则4个根之和为-2π， 由对称性可得sin x=-的四个根之和为2π. 综上，方程f(x)=的所有根的和等于0. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　作出函数f(x)的图象，如图所示，易知函数f(x)为偶函数，图 象关于y轴对称，若f(x)=，即|sin x|=，则函数f(x)与直线y=的图象 共有8个交点，且两两关于y轴对称，故所有根之和为0. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.若方程2sin x+a-1=0在x∈上有两个实数根，求a的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原方程可化为sin x=.在同一直角坐标系中作出y=sin x，x∈与y=≤<1， 即当-1<a≤1-时，y=sin x，x∈的图象与y=的图象有两个交点，即方程2sin x+a-1=0在x∈上有两个实数根. 所以a的取值范围为(-1，1-]. 答案 第一章 <<< $$