第七章 7.2.3 同角三角函数的基本关系式-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第三册教师用书（人教B版2019）

7.2.3 第七章 <<< 同角三角函数的基本关系式 1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用. 2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明. 学习目标 “一支竹篙啊，难渡汪洋海，众人划桨哟，开动大帆船，一棵小树呀，弱不禁风雨，百里森林哟，并肩耐岁寒，耐岁寒，一加十，十加百，百加千千万，你加我，我加你，大家心相连，同舟共济海让路，号子嘛一喊浪靠边，百舸嘛争流千帆进，波涛在后岸在前……”一首经典老歌让我们感触很深，歌词中每一句都流露出了“团结就是力量，团结就是胜利”，就像是我们数学中的每一个知识点一样，彼此紧密联系，比如我们刚学过的正弦、余弦和正切函数，它们之间到底有什么样的联系呢，让我们一起去发现. 导 语 一、利用同角三角函数的基本关系式求值 二、利用同角三角函数的基本关系式化简 课时对点练 三、一般恒等式的证明 随堂演练 内容索引 利用同角三角函数的基本关系式求值 一 提示　对于表格中的几个角，同一个角的正弦与余弦的比值等于正切(cos α≠0)，正弦与余弦的平方和等于1. 观察下表，你能发现什么？ 问题1 α 0 sin α 0 1 cos α 1 0 tan α 0 1 不存在 提示　若余弦不为0，则正切等于正弦比余弦，即tan α=.因为点P在单位圆上，则由勾股定理得x2+y2=1，即sin2α+cos2α=1. 若P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点，则角α的三个三角函数值之间有什么联系？ 问题2 同角三角函数的基本关系式 平方关系式：sin2α+cos2α=__； 商数关系式：=______.  这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切. 1 tan α 知识梳理 (1)“同角”的含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角关系式都成立. (2)sin2α+cos2α=1对一切α∈R恒成立，而tan α=仅对α≠+kπ(k∈Z)成立. (3)sin2α是(sin α)2的缩写，不能写成sin α2. 注 意 点 <<< 9 (1)若cos α=-，且α为第三象限角，则tan α的值等于 A.　　　　B.-　　　　C.　　　　D.- √ ∵cos α=-，α为第三象限角， ∴sin α=-=-=-， ∴tan α===. 例 1 10 (2)已知sin α+cos α=-，0<α<π. ①求sin αcos α的值； 因为sin α+cos α=-， 所以(sin α+cos α)2=， 即sin2α+cos2α+2sin αcos α=， 所以sin αcos α=-. 11 ②求sin α-cos α的值. 因为0<α<π，sin αcos α<0， 所以sin α>0，cos α<0， 则sin α-cos α>0. sin α-cos α= ==. 12 (1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系. (2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果. (3)sin α+cos α，sin α-cos α，sin αcos α三个式子，已知其中一个可求另外两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α. 利用同角三角函数基本关系式解决给值求值问题的方法 反 思 感 悟 13 已知α∈，tan α=2，则cos α+sin α=　　　.  跟踪训练 1 - 14 由已知得 由①得sin α=2cos α，代入②得4cos2α+cos2α=1， 所以cos2α=， 又α∈，所以cos α<0， 所以cos α=-，sin α=-， 故cos α+sin α=-. 15 二 利用同角三角函数的基本关系式化简 提示　sin2α+cos2α=1⇒ tan α=⇒ 你能发现同角三角函数的基本关系式哪些变形形式？ 问题3 化简： (1)-； 例 2 原式= ===-2tan2α. 18 (2)； 原式= ==1. 19 (3)sin2αtan α++2sin αcos α. 原式=sin2α·+cos2α·+2sin αcos α = ==. 20 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的. (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的. (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α+cos2α=1，以降低函数次数，达到化简的目的. 三角函数式的化简技巧 反 思 感 悟 21 (1)若θ为第二象限角，则-可化简为 A.2tan θ B. C.-2tan θ D.- 跟踪训练 2 √ 22 原式=- =- =- =， ∵θ为第二象限角， ∴原式==-. 23 (2)已知=-1，求下列各式的值. ①； 因为=-1， 所以tan α=. ==-. 24 ②sin2α+sin αcos α+2. sin2α+sin αcos α+2 = ===. 25 一般恒等式的证明 三 求证：=. 例 3 左边= = == ==右边. 所以原等式成立. 27 (1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简. (2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子. (3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异. (4)变更命题法，如要证明=，可证ad=bc，或证=等. (5)比较法，即证明“左边-右边=0”或“=1”. 证明三角恒等式常用的方法 反 思 感 悟 28 已知tan2α=2tan2β+1，求证：sin2β=2sin2α-1. 跟踪训练 3 因为tan2α=2tan2β+1， 所以tan2α+1=2tan2β+2， 所以+1=2， 通分可得=， 即cos2β=2cos2α， 所以1-sin2β=2(1-sin2α)， 即sin2β=2sin2α-1. 29 1.知识清单： (1)同角三角函数的基本关系式. (2)利用同角三角函数的基本关系式求值、化简与证明. 2.方法归纳：弦切互化、“1”的替换、整体代换法. 3.常见误区：求值时注意α的范围，如果无法确定，一定要对α所在的象限进行分类讨论. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.下列各式中不成立的是 A.sin2α+cos2α=sin21+cos21 B.α是第二象限角，cos α=- C.α是第二象限角，sin α=- D.cos α= √ 1 2 3 4 2.若cos α=-，且α是第三象限角，则tan α的值等于 A.　　　　B.-　　　　C.　　　　D.- √ 由题意可得sin α=-=-， ∴tan α==. 3.已知tan α=-，则的值是 A.　　　　　B.3　　　　　C.-　　　　　D.-3 1 2 3 4 √ = ====-. 1 2 3 4 4.化简(1+tan215°)·cos215°=　　　.  (1+tan215°)·cos215°=·cos215° =·cos215°=1. 1 课时对点练 五 答案 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C D B AC sin α 题号 11 12 13 14　 　15 答案 ABD BC C A 　7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵sin α+3cos α=0，∴sin α=-3cos α. 又sin2α+cos2α=1，∴(-3cos α)2+cos2α=1， 即10cos2α=1，∴cos α=±. 又由sin α=-3cos α， 可知sin α与cos α异号， ∴角α的终边在第二或第四象限. 当角α的终边在第二象限时， cos α=-，sin α=； 当角α的终边在第四象限时， cos α=，sin α=-. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)原式= == ==1. (2) = = ===1. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)由方程8x2+6kx+2k+1=0的两个实根是sin θ和cos θ， 得sin θ+cos θ=-，sin θcos θ=. 由sin 2θ+cos2θ=1及(sin θ+cos θ)2=， 得1+2sin θcos θ=， 所以1+2×=，即9k2-8k-20=0， 解得k=2或k=-. 当k=2时，Δ<0，故舍去；当k=-时，满足条件. 所以k=-. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (2)由(1)得sin θ+cos θ=，sin θcos θ=-. 则(sin θ-cos θ)2=sin2θ+cos2θ-2sin θcos θ =1+2×=， 所以sin θ-cos θ=±. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.已知α是第四象限角，cos α=，则sin α等于 A.　　　　　B.-　　　　　C.　　　　　D.- √ 因为α是第四象限角，所以sin α<0，即sin α=-= -=-. 答案 2.已知sin α=，<α<π，则tan α等于 A.-2　　　　　B.2　　　　　C.　　　　　D.- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 因为sin α=<α<π， 所以cos α=-=-， 所以tan α=-. 答案 3.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α的结果是 A.　　　　　B.　　　　　C.1　　　　　D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原式=sin2α+cos2α(cos2α+sin2α) =sin2α+cos2α=1. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知tan θ=2，则sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ等于 A.-　　　　　B.　　　　　C.-　　　　　D. √ sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ ==， 又tan θ=2，故原式==. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.若α为第三象限角，则+的值为 A.3　　　　　B.-3　　　　　C.1　　　　　D.-1 ∵α是第三象限角，∴sin α<0，cos α<0， ∴原式=+=-3. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知角α是锐角，若sin α，cos α是关于x的方程x2+mx+n=0的两个实数根，则下列关于实数m，n的判断正确的是 A.m2-2n-1=0 B.mn>0 C.m+n+1>0 D.m2-4n<0 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为sin α，cos α是关于x的方程x2+mx+n=0的两个实数根， 所以sin α+cos α=-m，sin αcos α=n， 因为角α是锐角，所以m<0，n>0，则mn<0，故B错误； 又(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=m2>1， 即1+2n=m2，m<-1， 所以m2-2n-1=0，故A正确； 而m+n+1=m++1=>0，故C正确； 因为方程有两个实数根，所以m2-4n≥0，故D错误. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由tan A=>0且角A是△ABC的内角可得0<A< 解得sin A=. 7.在△ABC中，若tan A=，则sin A=　　　.  答案 8.化简：(1-cos α)=　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原式=(1-cos α) =(1-cos α)===sin α. sin α 答案 9.已知sin α+3cos α=0，求sin α，cos α的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵sin α+3cos α=0，∴sin α=-3cos α. 又sin2α+cos2α=1，∴(-3cos α)2+cos2α=1， 即10cos2α=1，∴cos α=±. 又由sin α=-3cos α， 可知sin α与cos α异号， ∴角α的终边在第二或第四象限. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当角α的终边在第二象限时， cos α=-，sin α=； 当角α的终边在第四象限时， cos α=，sin α=-. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)化简：； 原式= == ==1. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求证：=1. = = ===1. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)已知θ∈(0，π)，sin θ+cos θ=，则下列结论正确的是 A.θ∈ B.cos θ=- C.tan θ=- D.sin θ-cos θ= √ √ 综合运用 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为sin θ+cos θ=， ① 所以(sin θ+cos θ)2=，即sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ=，所以2sin θ cos θ=-，因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0，所以θ∈， 所以(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=，所以sin θ-cos θ=或-(舍去)，② 联立①②解得sin θ=，cos θ=-，所以tan θ===-. 答案 12.(多选)已知-<θ<，且sin θ+cos θ=a，其中a∈(0，1)，则tan θ的值可能为 A.-3　　　　　B.-　　　　　C.-　　　　　D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 由sin θ+cos θ=a，a∈(0，1)两边平方得 sin θcos θ=<0， 故-<θ<0且|cos θ|>|sin θ|， 借助三角函数线可得-<θ<0， ∴-1<tan θ<0. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.在△ABC中，sin A=，则角A的值为 A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D. √ 由题意知cos A>0，即A为锐角. 将sin A=两边平方， 得2sin2A=3cos A.∴2cos2A+3cos A-2=0， 解得cos A=或cos A=-2(舍去)， ∴A=. 答案 14.若α∈，则+的最小值是 A.16　　　　　B.17　　　　　C.18　　　　　D.19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵sin2α+cos2α=1， ∴(sin2α+cos2α)=10++≥10+2=16，α∈=，即sin α=，cos α=时，等号成立， ∴+的最小值是16. √ 答案 15.若tan α+=3，则sin αcos α=　　，tan2α+=　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 ∵tan α+=3，∴+=3， 即=3，∴sin αcos α=， tan2α+=-2tan α· =9-2=7. 7 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知关于x的方程8x2+6kx+2k+1=0的两个实根是sin θ和cos θ. (1)求k的值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由方程8x2+6kx+2k+1=0的两个实根是sin θ和cos θ， 得sin θ+cos θ=-，sin θcos θ=. 由sin 2θ+cos2θ=1及(sin θ+cos θ)2=， 得1+2sin θcos θ=， 所以1+2×=，即9k2-8k-20=0， 解得k=2或k=-. 当k=2时，Δ<0，故舍去；当k=-时，满足条件. 所以k=-. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求sin θ-cos θ的值. 由(1)得sin θ+cos θ=，sin θcos θ=-. 则(sin θ-cos θ)2=sin2θ+cos2θ-2sin θcos θ =1+2×=， 所以sin θ-cos θ=±. 答案 第一章 <<< $$ 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 ［学习目标］　1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明. 导语 “一支竹篙啊，难渡汪洋海，众人划桨哟，开动大帆船，一棵小树呀，弱不禁风雨，百里森林哟，并肩耐岁寒，耐岁寒，一加十，十加百，百加千千万，你加我，我加你，大家心相连，同舟共济海让路，号子嘛一喊浪靠边，百舸嘛争流千帆进，波涛在后岸在前……”一首经典老歌让我们感触很深，歌词中每一句都流露出了“团结就是力量，团结就是胜利”，就像是我们数学中的每一个知识点一样，彼此紧密联系，比如我们刚学过的正弦、余弦和正切函数，它们之间到底有什么样的联系呢，让我们一起去发现. 一、利用同角三角函数的基本关系式求值 问题1　观察下表，你能发现什么？ α 0 sin α 0 1 cos α 1 0 tan α 0 1 不存在 提示　对于表格中的几个角，同一个角的正弦与余弦的比值等于正切(cos α≠0)，正弦与余弦的平方和等于1. 问题2　若P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点，则角α的三个三角函数值之间有什么联系？ 提示　若余弦不为0，则正切等于正弦比余弦，即tan α=.因为点P在单位圆上，则由勾股定理得x2+y2=1，即sin2α+cos2α=1. 知识梳理 同角三角函数的基本关系式 平方关系式：sin2α+cos2α=1； 商数关系式：=tan α.  这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切. 注意点： (1)“同角”的含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角关系式都成立. (2)sin2α+cos2α=1对一切α∈R恒成立，而tan α=仅对α≠+kπ(k∈Z)成立. (3)sin2α是(sin α)2的缩写，不能写成sin α2. 例1　(1)若cos α=-，且α为第三象限角，则tan α的值等于(　　) A. B.- C. D.- 答案　A 解析　∵cos α=-，α为第三象限角， ∴sin α=-=-=-， ∴tan α===. (2)已知sin α+cos α=-，0<α<π. ①求sin αcos α的值； ②求sin α-cos α的值. 解　①因为sin α+cos α=-， 所以(sin α+cos α)2=， 即sin2α+cos2α+2sin αcos α=， 所以sin αcos α=-. ②因为0<α<π，sin αcos α<0， 所以sin α>0，cos α<0， 则sin α-cos α>0. sin α-cos α= ==. 反思感悟　利用同角三角函数基本关系式解决给值求值问题的方法 (1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系. (2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果. (3)sin α+cos α，sin α-cos α，sin αcos α三个式子，已知其中一个可求另外两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α. 跟踪训练1　已知α∈，tan α=2，则cos α+sin α=　　　　.  答案　- 解析　由已知得 由①得sin α=2cos α，代入②得4cos2α+cos2α=1， 所以cos2α=， 又α∈，所以cos α<0， 所以cos α=-，sin α=-， 故cos α+sin α=-. 二、利用同角三角函数的基本关系式化简 问题3　你能发现同角三角函数的基本关系式哪些变形形式？ 提示　sin2α+cos2α=1⇒ tan α=⇒ 例2　化简： (1)-； (2)； (3)sin2αtan α++2sin αcos α. 解　(1)原式= ===-2tan2α. (2)原式= ==1. (3)原式=sin2α·+cos2α·+2sin αcos α = ==. 反思感悟　三角函数式的化简技巧 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的. (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的. (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α+cos2α=1，以降低函数次数，达到化简的目的. 跟踪训练2　(1)若θ为第二象限角，则-可化简为(　　) A.2tan θ B. C.-2tan θ D.- 答案　D 解析　原式=- =- =- =， ∵θ为第二象限角， ∴原式==-. (2)已知=-1，求下列各式的值. ①； ②sin2α+sin αcos α+2. 解　因为=-1， 所以tan α=. ①==-. ②sin2α+sin αcos α+2 = ===. 三、一般恒等式的证明 例3　求证：=. 证明　左边= = == ==右边. 所以原等式成立. 反思感悟　证明三角恒等式常用的方法 (1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简. (2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子. (3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异. (4)变更命题法，如要证明=，可证ad=bc，或证=等. (5)比较法，即证明“左边-右边=0”或“=1”. 跟踪训练3　已知tan2α=2tan2β+1，求证：sin2β=2sin2α-1. 证明　因为tan2α=2tan2β+1， 所以tan2α+1=2tan2β+2， 所以+1=2， 通分可得=， 即cos2β=2cos2α， 所以1-sin2β=2(1-sin2α)， 即sin2β=2sin2α-1. 1.知识清单： (1)同角三角函数的基本关系式. (2)利用同角三角函数的基本关系式求值、化简与证明. 2.方法归纳：弦切互化、“1”的替换、整体代换法. 3.常见误区：求值时注意α的范围，如果无法确定，一定要对α所在的象限进行分类讨论. 1.下列各式中不成立的是(　　) A.sin2α+cos2α=sin21+cos21 B.α是第二象限角，cos α=- C.α是第二象限角，sin α=- D.cos α= 答案　C 2.若cos α=-，且α是第三象限角，则tan α的值等于(　　) A. B.- C. D.- 答案　A 解析　由题意可得sin α=-=-， ∴tan α==. 3.已知tan α=-，则的值是(　　) A. B.3 C.- D.-3 答案　C 解析　 = ====-. 4.化简(1+tan215°)·cos215°=　　　　.  答案　1 解析　(1+tan215°)·cos215°=·cos215°=·cos215°=1. 　　　　 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.已知α是第四象限角，cos α=，则sin α等于(　　) A. B.- C. D.- 答案　B 解析　因为α是第四象限角，所以sin α<0，即sin α=-=-=-. 2.已知sin α=，<α<π，则tan α等于(　　) A.-2 B.2 C. D.- 答案　D 解析　因为sin α=，<α<π， 所以cos α=-=-， 所以tan α=-. 3.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α的结果是(　　) A. B. C.1 D. 答案　C 解析　原式=sin2α+cos2α(cos2α+sin2α) =sin2α+cos2α=1. 4.已知tan θ=2，则sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ等于(　　) A.- B. C.- D. 答案　D 解析　sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ ==， 又tan θ=2，故原式==. 5.若α为第三象限角，则+的值为(　　) A.3 B.-3 C.1 D.-1 答案　B 解析　∵α是第三象限角，∴sin α<0，cos α<0， ∴原式=+=-3. 6.(多选)已知角α是锐角，若sin α，cos α是关于x的方程x2+mx+n=0的两个实数根，则下列关于实数m，n的判断正确的是(　　) A.m2-2n-1=0 B.mn>0 C.m+n+1>0 D.m2-4n<0 答案　AC 解析　因为sin α，cos α是关于x的方程x2+mx+n=0的两个实数根， 所以sin α+cos α=-m，sin αcos α=n， 因为角α是锐角，所以m<0，n>0，则mn<0，故B错误； 又(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=m2>1， 即1+2n=m2，m<-1， 所以m2-2n-1=0，故A正确； 而m+n+1=m++1=>0，故C正确； 因为方程有两个实数根，所以m2-4n≥0，故D错误. 7.(5分)在△ABC中，若tan A=，则sin A=　　　　.  答案　 解析　由tan A=>0且角A是△ABC的内角可得0<A<，又 解得sin A=. 8.(5分)化简：(1-cos α)=　　　　.  答案　sin α 解析　原式=(1-cos α) =(1-cos α)===sin α. 9.(10分)已知sin α+3cos α=0，求sin α，cos α的值. 解　∵sin α+3cos α=0，∴sin α=-3cos α. 又sin2α+cos2α=1，∴(-3cos α)2+cos2α=1， 即10cos2α=1，∴cos α=±. 又由sin α=-3cos α， 可知sin α与cos α异号， ∴角α的终边在第二或第四象限. 当角α的终边在第二象限时， cos α=-，sin α=； 当角α的终边在第四象限时， cos α=，sin α=-. 10.(10分)(1)化简：；(5分) (2)求证：=1.(5分) (1)解　原式= == ==1. (2)证明　 = = ===1. 11.(多选)已知θ∈(0，π)，sin θ+cos θ=，则下列结论正确的是(　　) A.θ∈ B.cos θ=- C.tan θ=- D.sin θ-cos θ= 答案　ABD 解析　因为sin θ+cos θ=， ① 所以(sin θ+cos θ)2=，即sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ=，所以2sin θcos θ=-，因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0，所以θ∈， 所以(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=，所以sin θ-cos θ=或-(舍去)， ② 联立①②解得sin θ=，cos θ=-，所以tan θ===-. 12.(多选)已知-<θ<，且sin θ+cos θ=a，其中a∈(0，1)，则tan θ的值可能为(　　) A.-3 B.- C.- D. 答案　BC 解析　由sin θ+cos θ=a，a∈(0，1)两边平方得 sin θcos θ=<0， 故-<θ<0且|cos θ|>|sin θ|， 借助三角函数线可得-<θ<0， ∴-1<tan θ<0. 13.在△ABC中，sin A=，则角A的值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意知cos A>0，即A为锐角. 将sin A=两边平方， 得2sin2A=3cos A.∴2cos2A+3cos A-2=0， 解得cos A=或cos A=-2(舍去)， ∴A=. 14.若α∈，则+的最小值是(　　) A.16 B.17 C.18 D.19 答案　A 解析　∵sin2α+cos2α=1， ∴(sin2α+cos2α)=10++≥10+2=16，α∈，当且仅当=，即sin α=，cos α=时，等号成立， ∴+的最小值是16. 15.(5分)若tan α+=3，则sin αcos α=　　　　，tan2α+=　　　　.  答案　　7 解析　∵tan α+=3，∴+=3， 即=3，∴sin αcos α=， tan2α+=-2tan α· =9-2=7. 16.(12分)已知关于x的方程8x2+6kx+2k+1=0的两个实根是sin θ和cos θ. (1)求k的值；(7分) (2)求sin θ-cos θ的值.(5分) 解　(1)由方程8x2+6kx+2k+1=0的两个实根是sin θ和cos θ， 得sin θ+cos θ=-，sin θcos θ=. 由sin 2θ+cos2θ=1及(sin θ+cos θ)2=， 得1+2sin θcos θ=， 所以1+2×=，即9k2-8k-20=0， 解得k=2或k=-. 当k=2时，Δ<0，故舍去；当k=-时，满足条件. 所以k=-. (2)由(1)得sin θ+cos θ=，sin θcos θ=-. 则(sin θ-cos θ)2=sin2θ+cos2θ-2sin θcos θ =1+2×=， 所以sin θ-cos θ=±. 学科网（北京）股份有限公司 $$