第七章 7.1.1 角的推广-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第三册教师用书（人教B版2019）

7.1.1 第七章 <<< 角的推广 1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角. 2.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合. 3.了解象限角的概念. 学习目标 同学们，钟表是帮助我们掌握时间的好帮手，生活中我们经常听到时钟慢了5分钟，或时钟快了30分钟，应该如何校准？再比如，我 们一节课45分钟，时针、分针以及秒针分别旋转了多少度？再比如，在体操、花样游泳、跳水等项目中，我们也常常听到“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”等这样的解说，这些问题都和角度是分不开的，为了研究这些问题，我们开始今天的新课. 导 语 四、区域角以及终边在已知直线上的角的表示 一、角的概念的推广 二、象限角 三、终边相同的角 内容索引 课时对点练 随堂演练 角的概念的推广 一 提示　我们把有公共端点的两条射线组成的图形称为角，角的范围是 0°~360°. 在初中是如何定义角的？角的范围是多少？ 问题1 1.角的概念： 一条射线绕其端点_____到另一条射线所形成的_____称为角，这两条射线分别称为角的_____和_____. 旋转 图形 始边 终边 知识梳理 名称 定义 图示 正角 按照_______方向旋转而成的角   负角 按照_______方向旋转而成的角   零角 一条射线_____旋转而成的角   2.角的分类： 逆时针 顺时针 没有 这样定义的角，由于是旋转生成的，所以也常称为_____. 转角 知识梳理 3.角的加法与减法(β>0°) (1)α+β：把角α的终边_______方向旋转角β，如图①. (2)α-β：把角α的终边_______方向旋转角β，如图②. ① ② 逆时针 顺时针 知识梳理 例1　若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为 A.120° B.-120° C.-60° D.60° √ 例 1 由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为-×360° =-120°. 10 正确理解正角、负角、零角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.逆时针旋转形成一个正角，顺时针旋转形成一个负角.正角与负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属习惯，就好像正数与负数的规定一样. 反 思 感 悟 11 如图(1)，∠AOC=　　　；如图(2)，∠AOC=　　　.  跟踪训练 1 110° -70° 12 二 象限角 在平面直角坐标系中，使角的顶点与_________重合，角的始边落在____ ________ 上，这时，角的____在第几象限，就把这个角称为__________，如果终边在_________，就认为这个角不属于任何象限. 坐标原点 x轴 的正半轴 终边 第几象限角 坐标轴上 知识梳理 (1)锐角是第一象限角，第一象限角未必是锐角；钝角是第二象限角，第二象限角未必是钝角；直角的终边在坐标轴上，它不属于任何一个象限. (2)每一个象限都有正角和负角. (3)无法比较两个象限角的大小. 注 意 点 <<< 15 (多选)下列四个角中，属于第二象限角的是 A.160° B.480° C.-960° D.1 530° √ 例 2 A中，160°显然是第二象限角； B中，480°=120°+360°是第二象限角； C中，-960°=-3×360°+120°是第二象限角； D中，1 530°=4×360°+90°不是第二象限角. √ √ 16 反 思 感 悟 正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念的关系，需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可. (1)(多选)下列叙述不正确的是 A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B.钝角是第二象限角 C.第二象限角比第一象限角大 D.小于180°的角是钝角、直角或锐角 跟踪训练 2 √ 直角不属于任何一个象限，故A不正确； 钝角是大于90°小于180°的角，是第二象限角，故B正确； 120°是第二象限角，390°是第一象限角，但120°<390°，故C不正确；由于零角和负角也小于180°，故D不正确. √ √ 18 (2)(多选)已知角α的终边与120°角的终边关于x轴对称，则是 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 √ √ 19 ∵角α的终边与120°角的终边关于x轴对称，所以角α的终边与-120°角的终边相同， ∴α=-120°+k·360°，k∈Z， ∴=-60°+k·180°，k∈Z， 则当k为偶数时，是第四象限角； 当k为奇数时，是第二象限角. 20 终边相同的角 三 提示　给定一个角，它的终边唯一；两个角终边相同，这两个角不一定相等，比如30°的终边和390°的终边相同，它们正好相差了360°. 给定一个角，它的终边是否唯一？若两个角的终边相同，那么这两个角相等吗？ 问题2 所有与α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为S=_______________ _______，即集合S的每一个元素的终边都与α的终边相同，k=0时对应元素为α. {β|β=α+k·360°， k∈Z } 知识梳理 23 (1)已知α=-1 845°，在与角α终边相同的角中，求满足下列条件的角. ①最小的正角； ②最大的负角； ③-360°~720°之间的角. 例 3 24 方法一　因为-1 845°=-45°+(-5)×360°， 即-1 845°角与-45°角的终边相同， 所以与角α终边相同的角的集合是 {β|β=-45°+k·360°，k∈Z } ， ①最小的正角为315°. ②最大的负角为-45°. ③-360°~720°之间的角分别是-45°，315°，675°. 25 方法二　设与角α 终边相同的角为β， 则{β|β=-1 845°+k·360°，k∈Z } ， ①令β>0，即-1 845°+k·360°>0，得k的最小值为6， 所以β=315°， 即最小的正角为315°. ②最大的负角为-45°. ③-360°~720°之间的角分别是-45°，315°，675°. 26 (2)写出终边落在直线y=-x上的角β的集合S. 直线y=-x过原点，它是第二、四象限的角平分线所在的直线，故在0°~360°范围内终边在直线y=-x上的角有135°，315°. 因此，终边落在直线y=-x上的角β的集合 S={β|β=135°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°，k∈Z} ={β|β=135°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=135°+(2k+1)·180°，k∈Z} ={β|β=135°+n·180°，n∈Z}. 27 终边落在x轴正半轴上 _____________________ 终边落在x轴负半轴上 ___________________________ 终边落在y轴正半轴上 _________________________ 终边落在y轴负半轴上 __________________________ 终边落在x轴上 _____________________ 终边落在y轴上 _________________________ 终边落在坐标轴上 ____________________ 完成下表. 延伸探究 {α|α=k·360°，k∈Z} {α|α=180°+k·360°，k∈Z} {α|α=90°+k·360°，k∈Z} {α|α=270°+k·360°，k∈Z} {α|α=k·180°，k∈Z} {α|α=90°+k·180°，k∈Z} {α|α=k·90°，k∈Z} 28 反 思 感 悟 (1)与α终边相同的角都可以表示成α+k·360°(k∈Z)的形式. (2)终边相同的角相差360°的整数倍. 终边相同的角的表示 若角2α与240°角的终边相同，则α等于 A.120°+k·360°，k∈Z B.120°+k·180°，k∈Z C.240°+k·360°，k∈Z D.240°+k·180°，k∈Z 跟踪训练 3 角2α与240°角的终边相同， 则2α=240°+k·360°，k∈Z， 则α=120°+k·180°，k∈Z. √ 30 区域角以及终边在已知直线上的角的表示 四 如图所示，  (1)分别写出终边落在直线l1，l2上的角的集合； 例 4 在0°~360°范围内，终边在直线l1上的角有两个，即30°和210°.因此终边在直线l1上的角的集合S={β|β=30°+k·360°，k∈Z} ∪{β|β=210°+k·360°，k∈Z}={β|β=30°+2k·180°，k∈Z} ∪{β|β=30°+(2k+1)·180°，k∈Z}={β|β=30°+n·180°，n∈Z}. 同理，终边落在直线l2上的角的集合为S={β|β=105°+n·180°，n∈Z}. 32 (2)写出终边落在阴影部分的角的集合. 33 方法一　(并集法) 在0°~360°范围内，终边落在阴影内的角为30°≤α<105°和210°≤α<285°，所以终边落在阴影部分的角的集合S={α|k·360°+30°≤α<k·360°+105°， k∈Z}∪{α|k·360°+210°≤α<k·360°+285°，k∈Z}= {α|2k·180°+30°≤α<2k·180°+105°，k∈Z}∪{α|(2k+1)·180°+30° ≤α<(2k+1)·180°+105°，k∈Z}={α|n·180°+30°≤α<n·180°+105°，n∈Z}. 34 方法二　(旋转法) 终边落在直线l1上的角可看成将终边落在x轴上的角逆时针方向旋转30°角得到，故终边落在直线l1上的角的集合为{α|α=30°+n·180°，n∈Z}.同理，终边落在直线l2上的角的集合为{α|α=105°+n·180°，n∈Z}.故终边落 在阴影部分的角的集合为{α|30°+n·180°≤α<105°+n·180°，n∈Z}. 35 反 思 感 悟 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； 第二步：分别标出起始和终止边界对应的-180°~180°(或0°~360°)范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}； 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°(或180°)的整数倍，即得区域角集合(注意是否包括边界). 表示区域角的一般步骤 如图所示，终边落在阴影部分内(含边界)的角的集合是_____________________________ _______________.  跟踪训练 4 由题图知，终边OB的对应角为-30°+k·360°，k∈Z，终边OA的对应角为135°+k·360°，k∈Z，所以终边落在阴影部分的角的集合是{α|-30°+k·360°≤α≤135°+k·360°，k∈Z}. {α|-30°+k·360°≤α≤135°+ k·360°，k∈Z} 37 1.知识清单： (1)任意角的概念. (2)终边相同的角与象限角. (3)区域角的表示. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 3.常见误区：锐角与小于90°角的区别，终边相同的角的表示中漏掉k∈Z. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 1.“α是锐角”是“α是第一象限角”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 因为α是锐角能推出α是第一象限角， 但是反之不成立，例如400°是第一象限角，但不是锐角，所以“α是锐角”是“α是第一象限角”的充分不必要条件. 1 2 3 4 2.1 112°角是 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 √ 1 112°=32°+3×360°， 所以1 112°角的终边与32°角的终边相同，为第一象限角. 3.与-460°角终边相同的角可以表示成 A.460°+k·360°，k∈Z B.100°+k·360°，k∈Z C.260°+k·360°，k∈Z D.-260°+k·360°，k∈Z 1 2 3 4 √ 因为-460°=260°+(-2)×360°， 故与-460°角终边相同的角可以表示成260°+k·360°，k∈Z. 1 2 3 4 4.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是　 　 　　.  观察图形可知，角α的集合是 {α|45°+k·360°<α<150°+k·360°，k∈Z}. {α|45°+k·360°<α<150°+k·360°，k∈Z} 课时对点练 六 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D ABC AC B C C 224°　-136° 题号 8 11 12 13 14 15 答案 {α|α=240°+k·360°，k∈Z} AC C D 15°65° B 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1) ∵-1 910°=-6×360°+250°， ∴β=250°，即α=250°-6×360°. 又250°角是第三象限角， ∴α是第三象限角. (2) θ=250°+k·360°(k∈Z). ∵-720°≤θ<0°， ∴-720°≤250°+k·360°<0°， 解得-≤k<-. 又k∈Z，∴k=-1或k=-2. ∴θ=250°-360°=-110°或θ=250°-2×360° =-470°. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)在0°~360°范围内，终边落在阴影部分的角为30°≤α≤150°，所以终边落在阴影部分的角的集合为{α|30°+k·360°≤α≤150°+k·360°，k∈Z}. (2)在90°~450°范围内，终边落在阴影部分的角为150°≤α≤390°，所以终边落在阴影部分的角的集合为{α|150°+k·360°≤α≤390°+ k·360°，k∈Z}.　 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. ∵α是第二象限角， ∴90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z). ∴180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°(k∈Z)， ∴2α的终边位于第三或第四象限，或在y轴的非正半轴上. 方法一　∵45°+k·180°<<90°+k·180°(k∈Z)， 当k=2n(n∈Z)时， 45°+n·360°<<90°+n·360°(n∈Z)； 当k=2n+1(n∈Z)时， 225°+n·360°<<270°+n·360°(n∈Z)， ∴的终边位于第一或第三象限. ∵30°+k·120°<<60°+k·120°(k∈Z)， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 当k=3n(n∈Z)时， 30°+n·360°<<60°+n·360°(n∈Z)； 当k=3n+1(n∈Z)时， 150°+n·360°<<180°+n·360°(n∈Z)； 当k=3n+2(n∈Z)时， 270°+n·360°<<300°+n·360°(n∈Z)， ∴的终边位于第一、第二或第四象限. 方法二　将坐标系的每个象限二等分，得到8个区域.自x轴正半轴沿逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图所示. ∵α是第二象限角，与角α所在象限标号一致的区域，即为的终边所在的象限，∴的终边位于第一或第三象限. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 将坐标系的每个象限三等分，得到12个区域.自x轴正半轴沿逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图所示.  ∵α是第二象限角，与角α所在象限标号一致的区域， 即为的终边所在的象限， ∴的终边位于第一、第二或第四象限. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.如果角α的终边上有一点P(0，-3)，那么α A.是第三象限角 B.是第四象限角 C.是第三或第四象限角 D.不是象限角 √ 点P(0，-3)在y轴负半轴上，故α的终边落在y轴的负半轴上，所以α不是象限角. 答案 2.(多选)下列四个选项中正确的是 A.-75°角是第四象限角 B.225°角是第三象限角 C.475°角是第二象限角 D.-315°角是第四象限角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 因为-90°<-75°<0°，180°<225°<270°，360°+90°<475°<360°+180°，-360°<-315°<-270°，所以ABC都是正确的， -315°角是第一象限角，故D错误. √ √ 答案 3.(多选)与-457°角终边相同的角的集合是 A.{α|α=-97°+k·360°，k∈Z} B.{α|α=97°+k·360°，k∈Z} C.{α|α=263°+k·360°，k∈Z} D.{α|α=-263°+k·360°，k∈Z} √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.下面各组角中，终边相同的是 A.390°，690° B.-330°，750° C.480°，-420° D.3 000°，-840° √ 因为-330°=-360°+30°，750°=720°+30°， 所以-330°与750°终边相同. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.若α是第四象限角，则180°-α是 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 √ 可以给α赋一特殊值-60°， 则180°-α=240°，故180°-α是第三象限角. 答案 6.已知集合M={x|x=k·90°+45°，k∈Z}，集合N={x|x=k·45°+90°，k∈Z}，则有 A.M=N B. C. D.M∩N=∅ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于k·90°(k∈Z)表示终边落在x轴或y轴上的角，所以k·90°+45° (k∈Z)表示终边落在y=x或y=-x上的角(如图(1)). 又由于k·45°+90°(k∈Z)表示终边落在x轴、y轴、直线y=±x上8个位置的角(如图(2))，因而 . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵2 024°=5×360°+224°， ∴与角α终边相同的角的集合为 {β|β=224°+k·360°，k∈Z}， 故最小正角是224°，最大负角是-136°. 7.若角α=2 024°，则与角α具有相同终边的最小正角为　　　　，最大负角为　　　　.  224° -136° 答案 8.若角α与-60°的终边关于y轴对称，则角α的集合是_________________ ______.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 与-60°的终边关于y轴对称的一个角为240°，故角α的集合是{α|α=240°+k·360°，k∈Z}. k∈Z} {α|α=240°+k·360°， 答案 9.已知α=-1 910°. (1)把α写成β+k·360°(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵-1 910°=-6×360°+250°， ∴β=250°，即α=250°-6×360°. 又250°角是第三象限角， ∴α是第三象限角. 答案 (2)求角θ，使θ与α的终边相同，且-720°≤θ<0°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 θ=250°+k·360°(k∈Z). ∵-720°≤θ<0°， ∴-720°≤250°+k·360°<0°， 解得-≤k<-. 又k∈Z，∴k=-1或k=-2. ∴θ=250°-360°=-110°或θ=250°-2×360° =-470°. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.写出终边在下列各图所示阴影部分的角的集合. (1)在0°~360°范围内，终边落在阴影部分的角为30°≤α≤150°，所以终边落在阴影部分的角的集合{α|30°+k·360°≤α≤150°+k·360°，k∈Z}. (2)在90°~450°范围内，终边落在阴影部分的角为150°≤α≤390°，所以终边落在阴影部分的角的集合为{α|150°+k·360°≤α≤390°+ k·360°，k∈Z}. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)角α=45°+k·180°(k∈Z)的终边落在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ 综合运用 √ 当k=2m+1(m∈Z)时， α=2m·180°+225°=m·360°+225°， 故α为第三象限角； 当k=2m(m∈Z)时，α=m·360°+45°， 故α为第一象限角. 故α的终边在第一或第三象限. 答案 12.设A为第二象限角组成的集合，B为钝角组成的集合，C为小于180°的角组成的集合，则A，B，C的关系正确的是 A.B=A∩C B. C.B∪C=C D.A=B=C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由题意得 ，故A错误； A与C互不包含，故B错误； 由 ，所以B∪C=C，故C正确； 由以上分析可知D错误. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知α是锐角，则下列选项不正确的是 A.2α是小于180°的正角 B.180°+α是第三象限角 C.是锐角 D.2α是第一或第二象限角 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为α为锐角，所以0°<α<90°，所以0°<2α<180°，故选项A正确；由于180°<180°+α<270°，即180°+α是第三象限角，故选项B正确；0°<<45°，即是锐角，故选项C正确； 当α=45°，即2α=90°时，2α的终边落在y轴非负半轴上，故选项D不正确. 答案 14.已知角α，β都是锐角，且角α+β的终边与-280°角的终边相同，角α-β的终边与670°角的终边相同，则α=　　，β=　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵角α，β都是锐角，∴0°<α+β<180°，-90°<α-β<90°.由题意可知，α+β=-280°+k1·360°，k1∈Z，∴α+β=80°， ① 又α-β=670°+k2·360°，k2∈Z，∴α-β=-50°. ② 由①②得，α=15°，β=65°. 15° 65° 答案 15.角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为 A.α+β=k·360°，k∈Z B.α+β=k·360°+180°，k∈Z C.α-β=k·360°+180°，k∈Z D.α-β=k·360°，k∈Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　(特值法)令α=30°，则β=150°， 代入选项得只有B符合题意. 方法二　(直接法)因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以β=180°-α+k·360°，k∈Z， 即α+β=k·360°+180°，k∈Z. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.若α是第二象限角，试分别确定2α，，的终边所在位置. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵α是第二象限角， ∴90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z). ∴180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°(k∈Z)， ∴2α的终边位于第三或第四象限，或在y轴的非正半轴上. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　∵45°+k·180°<<90°+k·180°(k∈Z)， 当k=2n(n∈Z)时， 45°+n·360°<<90°+n·360°(n∈Z)； 当k=2n+1(n∈Z)时， 225°+n·360°<<270°+n·360°(n∈Z)， ∴的终边位于第一或第三象限. ∵30°+k·120°<<60°+k·120°(k∈Z)， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当k=3n(n∈Z)时， 30°+n·360°<<60°+n·360°(n∈Z)； 当k=3n+1(n∈Z)时， 150°+n·360°<<180°+n·360°(n∈Z)； 当k=3n+2(n∈Z)时， 270°+n·360°<<300°+n·360°(n∈Z)， ∴的终边位于第一、第二或第四象限. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　将坐标系的每个象限二等分，得到8个区域.自x轴正半轴沿逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图所示. ∵α是第二象限角，与角α所在象限标号一致的区域，即为的终边所在的象限，∴的终边位于第一或第三象限. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 将坐标系的每个象限三等分，得到12个区域.自x轴正半轴沿逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图所示.  ∵α是第二象限角，与角α所在象限标号一致的区域，即为的终边所在的象限， ∴的终边位于第一、第二或第四象限. 答案 第一章 <<< $$ 7.1.1　角的推广 ［学习目标］　1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.2.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合.3.了解象限角的概念. 导语 同学们，钟表是帮助我们掌握时间的好帮手，生活中我们经常听到时钟慢了5分钟，或时钟快了30分钟，应该如何校准？再比如，我们一节课45分钟，时针、分针以及秒针分别旋转了多少度？再比如，在体操、花样游泳、跳水等项目中，我们也常常听到“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”等这样的解说，这些问题都和角度是分不开的，为了研究这些问题，我们开始今天的新课. 一、角的概念的推广 问题1　在初中是如何定义角的？角的范围是多少？ 提示　我们把有公共端点的两条射线组成的图形称为角，角的范围是0°~360°. 知识梳理 1.角的概念： 一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边. 2.角的分类： 名称 定义 图示 正角 按照逆时针方向旋转而成的角 负角 按照顺时针方向旋转而成的角 零角 一条射线没有旋转而成的角 这样定义的角，由于是旋转生成的，所以也常称为转角. 3.角的加法与减法(β>0°) (1)α+β：把角α的终边逆时针方向旋转角β，如图①. ①　　　　　② (2)α-β：把角α的终边顺时针方向旋转角β，如图②. 例1　若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为(　　) A.120° B.-120° C.-60° D.60° 答案　B 解析　由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为-×360°=-120°. 反思感悟　正确理解正角、负角、零角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.逆时针旋转形成一个正角，顺时针旋转形成一个负角.正角与负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属习惯，就好像正数与负数的规定一样. 跟踪训练1　如图(1)，∠AOC=　　　　；如图(2)，∠AOC=　　　　.  答案　110°　-70° 二、象限角 知识梳理　 在平面直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上，这时，角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角，如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限. 注意点： (1)锐角是第一象限角，第一象限角未必是锐角；钝角是第二象限角，第二象限角未必是钝角；直角的终边在坐标轴上，它不属于任何一个象限. (2)每一个象限都有正角和负角. (3)无法比较两个象限角的大小. 例2　(多选)下列四个角中，属于第二象限角的是(　　) A.160° B.480° C.-960° D.1 530° 答案　ABC 解析　A中，160°显然是第二象限角； B中，480°=120°+360°是第二象限角； C中，-960°=-3×360°+120°是第二象限角； D中，1 530°=4×360°+90°不是第二象限角. 反思感悟　正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念的关系，需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可. 跟踪训练2　(1)(多选)下列叙述不正确的是(　　) A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B.钝角是第二象限角 C.第二象限角比第一象限角大 D.小于180°的角是钝角、直角或锐角 答案　ACD 解析　直角不属于任何一个象限，故A不正确；钝角是大于90°小于180°的角，是第二象限角，故B正确；120°是第二象限角，390°是第一象限角，但120°<390°，故C不正确；由于零角和负角也小于180°，故D不正确. (2)(多选)已知角α的终边与120°角的终边关于x轴对称，则是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 答案　BD 解析　∵角α的终边与120°角的终边关于x轴对称，所以角α的终边与-120°角的终边相同， ∴α=-120°+k·360°，k∈Z， ∴=-60°+k·180°，k∈Z， 则当k为偶数时，是第四象限角； 当k为奇数时，是第二象限角. 三、终边相同的角 问题2　给定一个角，它的终边是否唯一？若两个角的终边相同，那么这两个角相等吗？ 提示　给定一个角，它的终边唯一；两个角终边相同，这两个角不一定相等，比如30°的终边和390°的终边相同，它们正好相差了360°. 知识梳理 所有与α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为S=｛β|β=α+k·360°，k∈Z｝，即集合S的每一个元素的终边都与α的终边相同，k=0时对应元素为α. 例3　(1)已知α=-1 845°，在与角α终边相同的角中，求满足下列条件的角. ①最小的正角； ②最大的负角； ③-360°~720°之间的角. 解　方法一　因为-1 845°=-45°+(-5)×360°， 即-1 845°角与-45°角的终边相同， 所以与角α终边相同的角的集合是 ｛β|β=-45°+k·360°，k∈Z｝， ①最小的正角为315°. ②最大的负角为-45°. ③-360°~720°之间的角分别是-45°，315°，675°. 方法二　设与角α 终边相同的角为β， 则｛β|β=-1 845°+k·360°，k∈Z｝， ①令β>0，即-1 845°+k·360°>0，得k的最小值为6， 所以β=315°， 即最小的正角为315°. ②最大的负角为-45°. ③-360°~720°之间的角分别是-45°，315°，675°. (2)写出终边落在直线y=-x上的角β的集合S. 解　直线y=-x过原点，它是第二、四象限的角平分线所在的直线，故在0°~360°范围内终边在直线y=-x上的角有135°，315°. 因此，终边落在直线y=-x上的角β的集合 S=｛β|β=135°+k·360°，k∈Z｝∪｛β|β=315°+k·360°，k∈Z｝=｛β|β=135°+2k·180°，k∈Z｝∪｛β|β=135°+(2k+1)·180°，k∈Z｝=｛β|β=135°+n·180°，n∈Z｝. 延伸探究　完成下表. 终边落在x轴正半轴上 ｛α|α=k·360°，k∈Z｝ 终边落在x轴负半轴上 ｛α|α=180°+k·360°，k∈Z｝ 终边落在y轴正半轴上 ｛α|α=90°+k·360°，k∈Z｝ 终边落在y轴负半轴上 ｛α|α=270°+k·360°，k∈Z｝ 终边落在x轴上 ｛α|α=k·180°，k∈Z｝ 终边落在y轴上 ｛α|α=90°+k·180°，k∈Z｝ 终边落在坐标轴上 ｛α|α=k·90°，k∈Z｝ 反思感悟　终边相同的角的表示 (1)与α终边相同的角都可以表示成α+k·360°(k∈Z)的形式. (2)终边相同的角相差360°的整数倍. 跟踪训练3　若角2α与240°角的终边相同，则α等于(　　) A.120°+k·360°，k∈Z B.120°+k·180°，k∈Z C.240°+k·360°，k∈Z D.240°+k·180°，k∈Z 答案　B 解析　角2α与240°角的终边相同， 则2α=240°+k·360°，k∈Z， 则α=120°+k·180°，k∈Z. 四、区域角以及终边在已知直线上的角的表示 例4　如图所示， (1)分别写出终边落在直线l1，l2上的角的集合； (2)写出终边落在阴影部分的角的集合. 解　(1)在0°~360°范围内，终边在直线l1上的角有两个，即30°和210°.因此终边在直线l1上的角的集合S=｛β|β=30°+k·360°，k∈Z｝∪｛β|β=210°+k·360°，k∈Z｝=｛β|β=30°+2k·180°，k∈Z｝∪｛β|β=30°+(2k+1)·180°，k∈Z｝=｛β|β=30°+n·180°，n∈Z｝. 同理，终边落在直线l2上的角的集合为S=｛β|β=105°+n·180°，n∈Z｝. (2)方法一　(并集法) 在0°~360°范围内，终边落在阴影内的角为30°≤α<105°和210°≤α<285°，所以终边落在阴影部分的角的集合S=｛α|k·360°+30°≤α<k·360°+105°，k∈Z｝∪｛α|k·360°+210°≤α<k·360°+285°，k∈Z｝=｛α|2k·180°+30°≤α<2k·180°+105°，k∈Z｝∪｛α|(2k+1)·180°+30°≤α<(2k+1)·180°+105°，k∈Z｝=｛α|n·180°+30°≤α<n·180°+105°，n∈Z｝. 方法二　(旋转法) 终边落在直线l1上的角可看成将终边落在x轴上的角逆时针方向旋转30°角得到，故终边落在直线l1上的角的集合为｛α|α=30°+n·180°，n∈Z｝.同理，终边落在直线l2上的角的集合为｛α|α=105°+n·180°，n∈Z｝.故终边落在阴影部分的角的集合为｛α|30°+n·180°≤α<105°+n·180°，n∈Z｝. 反思感悟　表示区域角的一般步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； 第二步：分别标出起始和终止边界对应的-180°~180°(或0°~360°)范围内的角α和β，写出最简区间｛x|α<x<β｝； 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°(或180°)的整数倍，即得区域角集合(注意是否包括边界). 跟踪训练4　如图所示，终边落在阴影部分内(含边界)的角的集合是　　　　　　　　　.  答案　｛α|-30°+k·360°≤α≤135°+k·360°，k∈Z｝ 解析　由题图知，终边OB的对应角为-30°+k·360°，k∈Z，终边OA的对应角为135°+k·360°，k∈Z，所以终边落在阴影部分的角的集合是｛α|-30°+k·360°≤α≤135°+k·360°，k∈Z｝. 1.知识清单： (1)任意角的概念. (2)终边相同的角与象限角. (3)区域角的表示. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 3.常见误区：锐角与小于90°角的区别，终边相同的角的表示中漏掉k∈Z. 1.“α是锐角”是“α是第一象限角”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　因为α是锐角能推出α是第一象限角， 但是反之不成立，例如400°是第一象限角，但不是锐角，所以“α是锐角”是“α是第一象限角”的充分不必要条件. 2.1 112°角是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 答案　A 解析　1 112°=32°+3×360°， 所以1 112°角的终边与32°角的终边相同，为第一象限角. 3.与-460°角终边相同的角可以表示成(　　) A.460°+k·360°，k∈Z B.100°+k·360°，k∈Z C.260°+k·360°，k∈Z D.-260°+k·360°，k∈Z 答案　C 解析　因为-460°=260°+(-2)×360°， 故与-460°角终边相同的角可以表示成260°+k·360°，k∈Z. 4.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是　　　　.  答案　｛α|45°+k·360°<α<150°+k·360°，k∈Z｝ 解析　观察图形可知，角α的集合是 ｛α|45°+k·360°<α<150°+k·360°，k∈Z｝. 　　　　 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.如果角α的终边上有一点P(0，-3)，那么α(　　) A.是第三象限角 B.是第四象限角 C.是第三或第四象限角 D.不是象限角 答案　D 解析　点P(0，-3)在y轴负半轴上，故α的终边落在y轴的负半轴上，所以α不是象限角. 2.(多选)下列四个选项中正确的是(　　) A.-75°角是第四象限角 B.225°角是第三象限角 C.475°角是第二象限角 D.-315°角是第四象限角 答案　ABC 解析　因为-90°<-75°<0°，180°<225°<270°，360°+90°<475°<360°+180°，-360°<-315°<-270°，所以ABC都是正确的，-315°角是第一象限角，故D错误. 3.(多选)与-457°角终边相同的角的集合是(　　) A.｛α|α=-97°+k·360°，k∈Z｝ B.｛α|α=97°+k·360°，k∈Z｝ C.｛α|α=263°+k·360°，k∈Z｝ D.｛α|α=-263°+k·360°，k∈Z｝ 答案　AC 4.下面各组角中，终边相同的是(　　) A.390°，690° B.-330°，750° C.480°，-420° D.3 000°，-840° 答案　B 解析　因为-330°=-360°+30°，750°=720°+30°， 所以-330°与750°终边相同. 5.若α是第四象限角，则180°-α是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 答案　C 解析　可以给α赋一特殊值-60°， 则180°-α=240°，故180°-α是第三象限角. 6.已知集合M=｛x|x=k·90°+45°，k∈Z｝，集合N=｛x|x=k·45°+90°，k∈Z｝，则有(　　) A.M=N B.NM C.MN D.M∩N=∅ 答案　C 解析　由于k·90°(k∈Z)表示终边落在x轴或y轴上的角，所以k·90°+45°(k∈Z)表示终边落在y=x或y=-x上的角(如图(1)). 又由于k·45°+90°(k∈Z)表示终边落在x轴、y轴、直线y=±x上8个位置的角(如图(2))，因而MN. 7.(5分)若角α=2 024°，则与角α具有相同终边的最小正角为　　　　，最大负角为　　　　.  答案　224°　-136° 解析　∵2 024°=5×360°+224°， ∴与角α终边相同的角的集合为 ｛β|β=224°+k·360°，k∈Z｝， 故最小正角是224°，最大负角是-136°. 8.(5分)若角α与-60°的终边关于y轴对称，则角α的集合是　　　　　.  答案　｛α|α=240°+k·360°，k∈Z｝ 解析　与-60°的终边关于y轴对称的一个角为240°，故角α的集合是｛α|α=240°+k·360°，k∈Z｝. 9.(10分)已知α=-1 910°. (1)把α写成β+k·360°(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；(4分) (2)求角θ，使θ与α的终边相同，且-720°≤θ<0°.(6分) 解　(1)∵-1 910°=-6×360°+250°， ∴β=250°，即α=250°-6×360°. 又250°角是第三象限角， ∴α是第三象限角. (2)θ=250°+k·360°(k∈Z). ∵-720°≤θ<0°， ∴-720°≤250°+k·360°<0°， 解得-≤k<-. 又k∈Z，∴k=-1或k=-2. ∴θ=250°-360°=-110°或θ=250°-2×360° =-470°. 10.(10分)写出终边在下列各图所示阴影部分的角的集合. 解　(1)在0°~360°范围内，终边落在阴影部分的角为30°≤α≤150°，所以终边落在阴影部分的角的集合为｛α|30°+k·360°≤α≤150°+k·360°，k∈Z｝. (2)在90°~450°范围内，终边落在阴影部分的角为150°≤α≤390°，所以终边落在阴影部分的角的集合为｛α|150°+k·360°≤α≤390°+k·360°，k∈Z｝. 11.(多选)角α=45°+k·180°(k∈Z)的终边落在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　AC 解析　当k=2m+1(m∈Z)时， α=2m·180°+225°=m·360°+225°， 故α为第三象限角； 当k=2m(m∈Z)时，α=m·360°+45°， 故α为第一象限角. 故α的终边在第一或第三象限. 12.设A为第二象限角组成的集合，B为钝角组成的集合，C为小于180°的角组成的集合，则A，B，C的关系正确的是(　　) A.B=A∩C B.AC C.B∪C=C D.A=B=C 答案　C 解析　由题意得BA∩C，故A错误； A与C互不包含，故B错误； 由BC，所以B∪C=C，故C正确； 由以上分析可知D错误. 13.已知α是锐角，则下列选项不正确的是(　　) A.2α是小于180°的正角 B.180°+α是第三象限角 C.是锐角 D.2α是第一或第二象限角 答案　D 解析　因为α为锐角，所以0°<α<90°，所以0°<2α<180°，故选项A正确；由于180°<180°+α<270°，即180°+α是第三象限角，故选项B正确；0°<<45°，即是锐角，故选项C正确；当α=45°，即2α=90°时，2α的终边落在y轴非负半轴上，故选项D不正确. 14.(5分)已知角α，β都是锐角，且角α+β的终边与-280°角的终边相同，角α-β的终边与670°角的终边相同，则α=　　　　　，β=　　　　　.  答案　15°　65° 解析　∵角α，β都是锐角，∴0°<α+β<180°，-90°<α-β<90°.由题意可知，α+β=-280°+k1·360°，k1∈Z，∴α+β=80°， ① 又α-β=670°+k2·360°，k2∈Z，∴α-β=-50°. ② 由①②得，α=15°，β=65°. 15.角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为(　　) A.α+β=k·360°，k∈Z B.α+β=k·360°+180°，k∈Z C.α-β=k·360°+180°，k∈Z D.α-β=k·360°，k∈Z 答案　B 解析　方法一　(特值法)令α=30°，则β=150°， 代入选项得只有B符合题意. 方法二　(直接法)因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以β=180°-α+k·360°，k∈Z， 即α+β=k·360°+180°，k∈Z. 16.(12分)若α是第二象限角，试分别确定2α，，的终边所在位置. 解　∵α是第二象限角， ∴90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z). ∴180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°(k∈Z)， ∴2α的终边位于第三或第四象限，或在y轴的非正半轴上. 方法一　∵45°+k·180°<<90°+k·180°(k∈Z)， 当k=2n(n∈Z)时， 45°+n·360°<<90°+n·360°(n∈Z)； 当k=2n+1(n∈Z)时， 225°+n·360°<<270°+n·360°(n∈Z)， ∴的终边位于第一或第三象限. ∵30°+k·120°<<60°+k·120°(k∈Z)， 当k=3n(n∈Z)时， 30°+n·360°<<60°+n·360°(n∈Z)； 当k=3n+1(n∈Z)时， 150°+n·360°<<180°+n·360°(n∈Z)； 当k=3n+2(n∈Z)时， 270°+n·360°<<300°+n·360°(n∈Z)， ∴的终边位于第一、第二或第四象限. 方法二　将坐标系的每个象限二等分，得到8个区域.自x轴正半轴沿逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图所示. ∵α是第二象限角，与角α所在象限标号一致的区域，即为的终边所在的象限，∴的终边位于第一或第三象限. 将坐标系的每个象限三等分，得到12个区域.自x轴正半轴沿逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图所示. ∵α是第二象限角，与角α所在象限标号一致的区域，即为的终边所在的象限， ∴的终边位于第一、第二或第四象限. 学科网（北京）股份有限公司 $$