第19章一次函数微专题五运用数学建模思想解决一次函数的实际问题-2024-2025学年人教版八年级数学下册微专题系列

2024-2025学年人教版八年级数学下微专题系列 第19章一次函数 微专题五 运用数学建模思想解决一次函数的实际问题 运用建模思想解决一次函数的实际问题，需要通过以下步骤和技巧进行系统化分析： 一、理解问题与提取关键信息 （1）明确已知量与未知量 仔细阅读题目，区分已知条件（如收费标准、初始值等）和需要求解的量（如用水量、运输成本等）。 （2）分析变量关系  确定自变量（如用水量、运输距离）与因变量（如水费、总成本）之间是否为线性关系，判断是否需要分段函数处理。 二、建立函数关系式 （1）分段函数设计  根据实际问题的分段特性，将函数分为不同区间。例如阶梯水价问题中，需分别定义未超过、超过不同阶梯时的费用计算方式。 （2）公式推导与验证 根据实际规则推导公式，并通过代入特殊值验证正确性。 三、求解与分析 （1）方程求解 利用代数方法解方程，求出关键未知量 （2）模型验证与拓展 将求得的解代入原问题验证合理性，并尝试改变参数（如阶梯差价）观察函数变化趋势，拓展应用场景。 四、应用函数图像与性质 作出决策 五、注意事项 （1）分段函数注意自变量取值范围。 （2）实际意义检验 ：解需符合实际情境，例如运输距离不能为负数。 通过以上步骤，可系统化解决一次函数应用题，并培养数学建模能力。 类型1销售问题 运用建模思想解决一次函数的销售问题，通常包括以下几个步骤： 一、明确问题中的变量与常量 自变量与因变量  自变量：通常为价格、时间等可调整的量（如商品涨价金额、销售时间等）。 因变量：通常为销售量、利润等随自变量变化的量（如日销售量、总盈利等）。 常量 固定成本、单价、初始销售量等不随自变量变化的量。 二、建立函数关系式 线性函数模型 根据题意设定函数形式（如y = kx + b），代入已知数据点求解参数。 实际场景应用 利润函数：总利润P = 单件利润x销售数量 三、求解与验证 列方程求解 验证实际意义 检查解是否满足题设条件（如涨价后销量仍为正）。 四、分析实际应用场景 图像辅助分析 通过绘制函数图像，直观观察最大值、最小值及变化趋势。 决策建议 根据模型结果提出实际建议（如促销策略、成本控制等）。 【例1】．我市某店购进A，B两种雨伞，已知购买A种雨伞30把，B种雨伞40把，共花费2900元，A种雨伞的单价比B种雨伞的单价高15元． （1）A，B两种雨伞的单价分别是多少元？ （2）商店决定再次购进A，B两种雨伞共50把，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：A种雨伞按单价的八折出售，B种雨伞每把降价5元出售，如果此次购买A种雨伞的数量不低于B种雨伞数量的，那么应购买多少把A种雨伞，使此次购买雨伞的总费用最少？最少费用是多少元？ 【变式1-1】．商店销售1台A型和2台B型电脑的利润为400元，销售2台A型和1台B型电脑的利润为350元． （1）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润y元． ①求y关于x的函数关系式； ②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ （2）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调为元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（1）中条件，设计出售这100台电脑销售总利润最大的进货方案． 【变式1-2】．中国是最早发现和利用茶树的国家，被称为茶的祖国．某茶店用8000元购进A种茶叶若干盒，用7800元购进种茶叶若干盒，所购A种茶叶比种茶叶多10盒，已知种茶叶的每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.3倍． （1），两种茶叶的每盒进价分别为多少元？ （2）当购进的所有茶叶全部售完后，茶店以相同的进价再次购进，两种茶叶共150盘，且A种茶叶的数量不少于种茶叶的2倍．若A种茶叶的售价是每盒300元，种茶叶的售价为每盒400元，则A，两种茶叶分别购进多少盒时可使获得的利润最大？最大利润是多少？ 【变式1-3】．某超市准备购进A、B两种商品，进3件A，4件B需要270元；进5件A，2件B需要310元；该超市将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元. （1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？ （2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？ （3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠m（10＜m＜20）元，B种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出m的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案. 类型2 行程问题 运用建模思想解决一次函数的行程问题，通常需要通过以下步骤实现： 一、理解行程问题的基本关系 行程问题涉及路程、速度、和时间三个核心要素 通过一次函数图像，可以直观地展示速度随时间的变化关系， 二、从图像中提取关键信息 确定函数关系式 通过图像上的两个点，利用待定系数法（如两点式）确定一次函数解析式。 分析运动过程 同向/相向/背向 ：根据初始位置和方向判断相遇、追击或相离条件。例如，同向运动需判断是否追上，相向运动需分析相遇时间。 变速与分段 ：若速度变化，需将行程分为不同阶段，分别建立函数模型。 三、建立数学模型并求解 列方程或不等式 根据行程问题的条件（如相遇时路程差、追及时时间差）列方程。 验证与调整模型 通过图像验证模型合理性，检查关键点（如起点、终点、转折点）是否与实际相符，必要时调整函数表达式。 【例2】． “低碳环保、绿色出行”的理念得到了广大群众的认可，越来越多的人喜欢选择自行车作为出行、出游的交通工具。五一假期，李明和姐姐在同时从家出发骑自行车去农博园，李明先以5分钟后再以am/min的速度到达农博园，姐姐则始终以同一速度骑行，两人骑行的路程y（m）与时间x（min）的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题： （1）　 　，　 　，　 　； （2）若姐姐的速度是180m/min，求线段BC的函数表达式和姐弟两人相遇时距离农博园的距离． （3）在（2）的条件下，请直接与出李明第二次出发至到达农博园时，何时与姐相距200m． 【变式2-1】．A，B两地距离24km，甲、乙两人同时从A地出发前往B地．甲先匀速慢走2h，而后匀速慢跑；乙始终保持匀速快走，设运动时间为x（单位：h）．甲、乙距离A地的路程分别为，（单位：km），，分别与x的函数关系如图所示． （1）求关于x的函数解析式； （2）相遇前，是否存在甲、乙两人相距1km的时刻？若存在，求运动时间；若不存在，请说明理由． 【变式2-2】．王老师家、公园、学校依次在同一条直线上，她从家出发匀速步行到公园后，停留，然后匀速步行到学校．设王老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：），下图表示y与x之间函数关系的图像． 根据图像解答下列问题： （1）写出题中的变量：　 　（写两个）： （2）①王老师家到学校的距离为　 　；②王老师从家到公园的速度为　 　； （3）求王老师从公园到学校时，与之间的函数关系式； （4）直接写出王老师从家出发　 　距离公园． 【变式2-3】．如图，一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象解决下列问题： （1）求慢车和快车的速度； （2）求线段所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 类型3分配问题 运用建模思想解决一次函数的分配问题，通常需要以下几个步骤： 一、问题分析与数学建模 （1）明确目标函数 根据实际问题确定需要最小化或最大化的量，例如总运费、总成本等。 （2）建立变量与关系式 设定决策变量（如运输量、购买数量等），并列出相关的函数关系式 确定自变量取值范围  （3）通过实际约束条件（如容量限制、非负性等）确定变量的取值范围。 二、求解与优化 （1）函数性质分析:利用一次函数的增减性确定最优解 (2）计算最优解：通过代入法、图像法或数值计算工具求解。 三、实际应用与验证 （1）方案比较 :若存在多种方案，需对比总成本或效率，选择最优方案。 （2）验证合理性 检查解是否满足所有约束条件，例如运输量是否在库容量范围内，购买数量是否为整数等。 【例3】．某学校计划购进A，B两种品牌的足球共50个，其中A品牌足球的价格为100元/个，购买B品牌足球所需费用y（单位：元）与购买数量x（单位：个）之间的关系如图所示 （1）请直接写出y与x之间的函数解析式； （2）若购买B种品牌足球的数量不超过30个，但不少于A种品牌足球的数量，请设计购买方案，使购买总费用W（单位：元）最低，并求出最低费用. 【变式3-1】．已知雅美服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产M、N两种型号的时装共80套．已知做一套M型号的时装需用A种布料1.1米，B种布料0.4米，可获利50元；做一套N型号的时装需用A种布料0.6米，B种布料0.9米，可获利45元．设生产M型号的时装套数为x，用这批布料生产两种型号的时装所获得的总利润为y元． （1）求y（元）与x（套）的函数关系式，并求出自变量的取值范围； （2）当M型号的时装为多少套时，能使该厂所获利润最大？最大利润是多？ 【变式3-2】．年4月25日，神舟十八号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低，同样花费元，购进“天官”模型的数量比“神舟”模型多4个． （1）“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ （2）该航模店计划购买两种模型其个，且每个“神舟”模型的售价为元，“天官”模型的售价为元．设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元． ①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）； ②若购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【变式3-3】．两个水果市场各有芒果15吨，现从向甲、乙两地运送芒果，其中甲地需要芒果16吨，乙地需要芒果14吨，从到甲地的运费为50元/吨，到乙地的运费为30元/吨，从到甲地的运费为60元/吨，到乙地的运费为45元/吨． （1）设地到甲地运送芒果吨，请完成下表： 　 调往甲地（单位：吨） 调往乙地（单位：吨） A ① B ② ③ （2）设总运费为元，请写出与的函数关系式，并直接写出的取值范围． （3）怎样调送芒果才能使运费最少？ 类型4方案选择问题 运用建模思想解决一次函数方案选择问题，通常涉及以下步骤： 一、明确问题目标与约束条件 （1）定义自变量与因变量 （2）列出函数关系式  二、构建数学模型 （1）分段函数表示  （2）绘制函数图象  通过坐标系绘制各段函数图象，观察交点与增减性。 三、分析函数性质与最优解 （1）交点分析  （2）增减性判断  （3）确定最优区间 四、验证与实际应用 （1）代入验证 （2）实际意义解读  通过计算总费用变化率，理解不同方案在不同使用场景下的经济性 总结 通过分段函数建模、图象分析和性质判断，可以系统地解决方案选择问题 【例4】．某网络公司给出A，B两种上网的月收费方式（如下表） 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/（元/h） A 30 30 B 45 50 3 设上网时间为t（单位：h），，根据表格回答： （1）请写出B种方式上网费用y（单位：元）关于上网时间t（单位：h）的函数解析式； （2）若，选取B种方式的上网费用低于A种方式时，求上网时间t的取值范围； （3）若，当上网时间为m时，A方式和B方式的上网费用相同，若m的值存在两个，直接写出a的取值范围　 　. 【变式4-1】．学校决定按年级开展师生研学活动，该校八年级师生共580人将参加研学活动，计划租用12辆大客车，现有甲、乙两种型号的大客车，它们的满座载客量和租车费用如下表： 甲型号大客车 乙型号大客车 满座载客量（人/辆） 55 35 租车费用（元/辆） 1200 800 （1）若租用的12辆大客车恰好能一次将八年级师生送到研学基地，求应分别租用甲、乙型号的大客车多少辆？ （2）设租用甲型号大客车x辆，租车总费用为y元． ①求出y（元）与x（辆）的函数关系式，并求出x的取值范围； ②当租用甲型号大客车多少辆时，租车的总费用最少，最少费用是多少？ 【变式4-2】．暑假期间，两位家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价每人均为500元的两家旅行社．经协商，甲旅行社优惠条件是：两位家长全额收费，学生都按七折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长、学生都按八折收费．假设这两位家长带领x名学生去旅游，他们应选择哪家旅行社？ 【变式4-3】．暑假期间，两名家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人1000元的两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折收费；乙旅行社的优惠条件是家长、学生都按八折收费．假设这两位家长带领x名学生去旅游，他们应该选择哪家旅行社？ 类型5 几何问题 运用建模思想解决一次函数的几何图形问题，通常需要将几何条件转化为代数方程，通过函数解析式和几何性质进行综合分析。 建模思想的核心 （1）几何抽象 ：将几何图形（如三角形、四边形）的属性（如长度、面积）转化为代数表达式。 （2）方程建立 ：通过相似三角形、对称性等几何性质建立方程 （3）函数应用 ：结合一次函数解析式，求解未知参数（如斜率、截距）。 （4）验证与拓展 ：通过代入验证结果，并尝试推广到其他类似问题（如不同几何图形组合）。 通过以上方法，可以系统地解决一次函数与几何图形结合的问题，培养学生的代数与几何综合应用 【例5】． （1）【问题提出】如图①，点为的边的中点，连接，若的面积为3，则的面积为　 　； （2）【问题探究】如图②，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，连接，作轴于点，若，，过点的直线l将分成面积为相等的两部分，求直线的函数表达式； （3）【问题解决】如图③，在平面直角坐标系中，四边形是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中O为坐标原点，，，，为了方便驻区单位，计划过点O修一条笔直的道路（路宽不计），并且使直线将四边形OABC分成面积相等的两部分，记直线与AB所在直线的交点为D，再过点A修一条笔直的道路（路宽不计），并且使直线将△OAD分成面积相等的两部分，你认为直线和是否存在？若存在，请求出直线和的函数表达式；若不存在，请说明理由． 【变式5-1】．（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点C在原点，将其绕着点O旋转，若点A恰好落在点处．则： ①OA的长为　 　； ②点B的坐标为　 　； （2）感悟应用： 如图2，在平面直角坐标系中，将等腰 如图放置，直角顶点 ，点 ，试求直线AB的函数表达式； （3）拓展研究：如图3，在平面直角坐标系中，点 ，过点B作 轴，垂足为点A，过点B作 轴，垂足为点C，点P是线段BC上的一个动点，点Q是直线 上一动点．当 是以点P为直角顶点的等腰三角形时，请直接写出点P的坐标． 【变式5-2】．如图甲，在梯形中，，，动点P从点C出发沿线段向点D运动，到达点D即停止，若E、F分别是、的中点，设，的面积为y，则y与x的函数关系的图象如图乙所示，则梯形的面积为　 　． 【变式5-3】．如图，在平面直角坐标系中，直线AC与直线BC都经过y轴上的点C，分别交x轴于A，B两点，已知A（－4，0），直线BC的解析式为y＝－2x＋3． （1）求直线AC的解析式； （2）在线段BC上存在一点M，点M到直线AC的距离为3，求点M的坐标； （3）在平面直角坐标系中，是否存在点P，使以A，B，C，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版八年级数学下微专题系列 第19章一次函数 微专题五 运用数学建模思想解决一次函数的实际问题（解析版） 运用建模思想解决一次函数的实际问题，需要通过以下步骤和技巧进行系统化分析： 一、理解问题与提取关键信息 （1）明确已知量与未知量 仔细阅读题目，区分已知条件（如收费标准、初始值等）和需要求解的量（如用水量、运输成本等）。 （2）分析变量关系  确定自变量（如用水量、运输距离）与因变量（如水费、总成本）之间是否为线性关系，判断是否需要分段函数处理。 二、建立函数关系式 （1）分段函数设计  根据实际问题的分段特性，将函数分为不同区间。例如阶梯水价问题中，需分别定义未超过、超过不同阶梯时的费用计算方式。 （2）公式推导与验证 根据实际规则推导公式，并通过代入特殊值验证正确性。 三、求解与分析 （1）方程求解 利用代数方法解方程，求出关键未知量 （2）模型验证与拓展 将求得的解代入原问题验证合理性，并尝试改变参数（如阶梯差价）观察函数变化趋势，拓展应用场景。 四、应用函数图像与性质 作出决策 五、注意事项 （1）分段函数注意自变量取值范围。 （2）实际意义检验 ：解需符合实际情境，例如运输距离不能为负数。 通过以上步骤，可系统化解决一次函数应用题，并培养数学建模能力。 类型1销售问题 运用建模思想解决一次函数的销售问题，通常包括以下几个步骤： 一、明确问题中的变量与常量 自变量与因变量  自变量：通常为价格、时间等可调整的量（如商品涨价金额、销售时间等）。 因变量：通常为销售量、利润等随自变量变化的量（如日销售量、总盈利等）。 常量 固定成本、单价、初始销售量等不随自变量变化的量。 二、建立函数关系式 线性函数模型 根据题意设定函数形式（如y = kx + b），代入已知数据点求解参数。 实际场景应用 利润函数：总利润P = 单件利润x销售数量 三、求解与验证 列方程求解 验证实际意义 检查解是否满足题设条件（如涨价后销量仍为正）。 四、分析实际应用场景 图像辅助分析 通过绘制函数图像，直观观察最大值、最小值及变化趋势。 决策建议 根据模型结果提出实际建议（如促销策略、成本控制等）。 【例1】．我市某店购进A，B两种雨伞，已知购买A种雨伞30把，B种雨伞40把，共花费2900元，A种雨伞的单价比B种雨伞的单价高15元． （1）A，B两种雨伞的单价分别是多少元？ （2）商店决定再次购进A，B两种雨伞共50把，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：A种雨伞按单价的八折出售，B种雨伞每把降价5元出售，如果此次购买A种雨伞的数量不低于B种雨伞数量的，那么应购买多少把A种雨伞，使此次购买雨伞的总费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】（1）解：设B种雨伞的单价为x元，则A种雨伞的单价为（x+15）元． 30（x+15）+40x=2900， 解得x=35， ∴A种：35+15=50（元） 答：A、B两种雨伞的单价分别是50元、35元． （2）解：设购买m把A种雨伞，总费用为W元， 则解得， ∴最小整数解为m=13， ． ∵10﹥0，∴W随m的增大而增大． ∴当m=13时，W取得最小值，最小值为10×13+1500=1630． 答：应购买13把A种雨伞，购买雨伞的总费用最小，最小费用为1630元． 【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的实际应用；一元一次方程的实际应用-销售问题 【解析】【分析】（1）设B种雨伞的单价为未知数x元，再用含x的式子表示A种雨伞的单价即（x+15）元，由A种雨伞30把，B种雨伞40把，共花费2900元为等量关系可列一元一次方程，再解方程即可. （2）由“此次购买A种雨伞的数量不低于B种雨伞数量的”可列不等式求出A种雨伞数量的求值范围，由“A种雨伞按单价的八折出售，B种雨伞每把降价5元出售”可列一次函数表示总费用，再根据一次项系数判断在自变量取值范围内的增减性，进而确定最小值. 【变式1-1】．商店销售1台A型和2台B型电脑的利润为400元，销售2台A型和1台B型电脑的利润为350元． （1）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润y元． ①求y关于x的函数关系式； ②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ （2）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调为元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（1）中条件，设计出售这100台电脑销售总利润最大的进货方案． 【答案】（1）解：①设销售1台A型电脑的利润是a元，销售1台B型电脑的利润是b元， 根据题意有： ，解得， 进购x台A型电脑，则进购(100-x)台B型电脑， 根据题意有：，且x为整数， 即有，，且x为整数； ②根据①的结果：，，且x为整数， ∵y随x的增大而减小 可知当x=34时，y有最大值，即此时利润最大， 即100-34=66（台）， 即购买34台A型电脑，66台B型电脑，才能使销售利润最大； （2）解：A型电脑出厂价下调m元，则A型电脑的销售利用上涨m元，即为(100+m)元， 则此时：， 进购A型电脑的数量最多为70台，结合， 可知，且x为整数， ∵， ∴， ∴的值是随x的增大而减小， 即可知当x=34时，y有最大值，即此时利润最大， 即100-34=66（台）， 即进货方案为：购买34台A型电脑，66台B型电脑． 【知识点】一次函数的实际应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题 【解析】【分析】（1）①根据题意先求出 ， 再求出a和b的值，最后计算求解即可； ②先求出 当x=34时，y有最大值，即此时利润最大， 再求解即可； （2）根据题意先求出 ， 再求出 ， 最后作答即可。 【变式1-2】．中国是最早发现和利用茶树的国家，被称为茶的祖国．某茶店用8000元购进A种茶叶若干盒，用7800元购进种茶叶若干盒，所购A种茶叶比种茶叶多10盒，已知种茶叶的每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.3倍． （1），两种茶叶的每盒进价分别为多少元？ （2）当购进的所有茶叶全部售完后，茶店以相同的进价再次购进，两种茶叶共150盘，且A种茶叶的数量不少于种茶叶的2倍．若A种茶叶的售价是每盒300元，种茶叶的售价为每盒400元，则A，两种茶叶分别购进多少盒时可使获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）解：设A种茶叶的每盒进价为x元/盒，则B种茶叶的每盒进价为1.3x元/盒，根据题意，得， ， 解这个方程，得， x＝200， 经检验，x＝200是所列方程的根， 1.3×200＝260（元）． 答：A种茶叶的每盒进价为200元/盒，则B种茶叶的每盒进价为260元/盒． （2）解：设购进A种茶叶y盒，购进B种茶叶（150−y）盒，获得的利润为w元，根据题意，得， w＝（300−200）y＋（400−260）（150−y）＝−40y＋21000， ∵y≥2（150−y）， ∴y≥100， ∵k＝−40＜0， ∴w随y的增大而减小， 当y＝100时，w最大＝−40×100＋21000＝17000（元）， 150−100＝50（盒）． 答：当购进A种茶叶100盒，B种茶叶50盒时，获得最大利润，最大利润为17000元． 【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用 【解析】【分析】（1） 设A种茶叶的每盒进价为x元/盒，则B种茶叶的每盒进价为1.3x元/盒， 根据：用8000元购进A种比用7800元购进种茶叶多10盒 ，列出方程并解之即可； （2）设购进A种茶叶y盒，购进B种茶叶（150−y）盒，获得的利润为w元， 由总利润=A种茶叶的利润+B种茶叶的利润，列出函数关系式，再由A种茶叶的数量不少于种茶叶的2倍求出y的范围，然后根据一次函数的性质求解即可. 【变式1-3】．某超市准备购进A、B两种商品，进3件A，4件B需要270元；进5件A，2件B需要310元；该超市将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元. （1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？ （2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？ （3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠m（10＜m＜20）元，B种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出m的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案. 【答案】（1）解：设A种商品和B种商品的进价分别是a元/件、b元/件， 则 ，解得 ， 故A种商品和B种商品的进价分别是50元/件，30元/件 （2）解：设A商品购进n件，则 ， 解得 ， ∴n＝14，15，16，17，18， 答：共有5种方案 （3）解：设总利润为W元，购进A种商品x件， 则 （14≤x≤18且x为整数）， ∵10＜m＜20， 当10＜m＜15时，W随x的增大而增大， ∴当x＝18时，W取最大值. 此时，购进A商品18件，B商品22件. 当m＝15时，W恒等于600. 怎样购买利润都不变. 当15＜m＜20时，W随x的增大而减小， ∴当x＝14时，W取最大值. 此时，购进A商品14件，B商品26件 【知识点】一次函数的实际应用 【解析】【分析】（1）设A种商品每件的进价为a元，B种商品每件的进价为b元，根据“进3件A，4件B需要270元；进5件A，2件B需要310元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可求解； （2）设购进A种商品n件，则购进B种商品（40−n）件，根据“进货总价不超过1560元，且A种商品的数量不低于B种商品数量的一半”，即可得出关于n的一元一次不等式组，解之即可得出n的取值范围，再结合n为整数，即可得出进货方案的个数； （3）设销售这40件商品获得总利润为w元，利用总利润＝每件商品的销售利润×销售数量，即可得出w关于m的函数关系式，然后根据一次函数的性质并结合m的取值范围即可求解最值问题． 类型2 行程问题 运用建模思想解决一次函数的行程问题，通常需要通过以下步骤实现： 一、理解行程问题的基本关系 行程问题涉及路程、速度、和时间三个核心要素 通过一次函数图像，可以直观地展示速度随时间的变化关系， 二、从图像中提取关键信息 确定函数关系式 通过图像上的两个点，利用待定系数法（如两点式）确定一次函数解析式。 分析运动过程 同向/相向/背向 ：根据初始位置和方向判断相遇、追击或相离条件。例如，同向运动需判断是否追上，相向运动需分析相遇时间。 变速与分段 ：若速度变化，需将行程分为不同阶段，分别建立函数模型。 三、建立数学模型并求解 列方程或不等式 根据行程问题的条件（如相遇时路程差、追及时时间差）列方程。 验证与调整模型 通过图像验证模型合理性，检查关键点（如起点、终点、转折点）是否与实际相符，必要时调整函数表达式。 【例2】． “低碳环保、绿色出行”的理念得到了广大群众的认可，越来越多的人喜欢选择自行车作为出行、出游的交通工具。五一假期，李明和姐姐在同时从家出发骑自行车去农博园，李明先以5分钟后再以am/min的速度到达农博园，姐姐则始终以同一速度骑行，两人骑行的路程y（m）与时间x（min）的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题： （1）　 　，　 　，　 　； （2）若姐姐的速度是180m/min，求线段BC的函数表达式和姐弟两人相遇时距离农博园的距离． （3）在（2）的条件下，请直接与出李明第二次出发至到达农博园时，何时与姐相距200m． 【答案】（1）260；10；15 （2）解：设线段BC的函数表达式是， 把点和点代入， 得： 解得： ∴线段BC的函数表达式是． 根据题意：OD的函数表达式是：． 解方程组：得， ， ∴李明与姐姐第二次相遇时，距农博园1950m． （3）解：在或时，李明与姐姐相距200m． 【知识点】解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用 【解析】【解答】解：（1）由题意得：（分钟）， ∴（分钟）． ． 故答案为：260；10；15； （3）解：由题意得：， ∴或． ∵李明和姐姐在同时从家出发骑自行车去绿博园， ∴李明自第二次出发至到达绿博园前，在或时，李明与姐姐 相距． 【分析】本题考查一次函数的应用、解含绝对值符号的一元一次方程以及解二元一次方程组 （1）根据时间路程速度，可求出b值，结合休息的时间为5分钟，可得出c值，再根据速度路程时间，可求出a的值； （2）设线段的函数表达式是，代入点B和点C的坐标可求出线段的解析式、根题意可得出线段所在直线的函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组求出交点的坐标，再用5100去减交点的纵坐标，可求出答案； （3）根据（2）结论结合二者之间相距，可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，去绝对值解一元一次方程可求出x的值，进而求出答案． 【变式2-1】．A，B两地距离24km，甲、乙两人同时从A地出发前往B地．甲先匀速慢走2h，而后匀速慢跑；乙始终保持匀速快走，设运动时间为x（单位：h）．甲、乙距离A地的路程分别为，（单位：km），，分别与x的函数关系如图所示． （1）求关于x的函数解析式； （2）相遇前，是否存在甲、乙两人相距1km的时刻？若存在，求运动时间；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：当0≤x2时，设y1=kx，把（2，8）代入得： 2k=8， 解得k=4， ∴y1=4x， 当x2时，设y1=kx+b， 把（2，8）（3，16）代入得： 解得 ∴y1=8x-8， ∴y1关于x的函数解析式为 （2）解：∵乙3小时运动16千米，乙的速度是千米/小时， ∴ 当时，解得＜3， 当时，解得＜3； 答：相遇前，存在甲、乙两人相距1km的时刻，运动时间为小时或小时 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息 【解析】【分析】（1）分段用待定系数法即可得出解析式； （2）分两种情况分别列方程即可得出答案。 【变式2-2】．王老师家、公园、学校依次在同一条直线上，她从家出发匀速步行到公园后，停留，然后匀速步行到学校．设王老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：），下图表示y与x之间函数关系的图像． 根据图像解答下列问题： （1）写出题中的变量：　 　（写两个）： （2）①王老师家到学校的距离为　 　；②王老师从家到公园的速度为　 　； （3）求王老师从公园到学校时，与之间的函数关系式； （4）直接写出王老师从家出发　 　距离公园． 【答案】（1）王老师离公园的距离为，所用时间为 （2）1000；50 （3）解：设王老师从公园到学校时，与之间的函数关系式为：， ∵， ∴把，代入得： ， 解得：， ∴与之间的函数关系式为：． （4）4.8 【知识点】一次函数的实际应用 【解析】【解答】解：（1） 两个变量：王老师离公园的距离和所用的时间， 故答案为：王老师离公园的距离为，所用时间为； （2）① 王老师家到学校的距离为400+600=1000m， ② 王老师从家到公园的速度为400÷8=50m/min ， 故答案为：1000，50. （4）（400-160）÷50=4.8min， ∴ 王老师从家出发4.8距离公园； 故答案为：4.8. 【分析】（1）根据图象直接写出两个变量即可； （2）①利用家到公园的距离加上公园到学校的距离即可； ②利用家到公园的距离除以所用的时间即得结论； （3）先求出a值，再利用待定系数法求出解析式即可. （4）利用王老师从家出发行走400-160=240m的距离，除以王老师从家到公园的速度即得结论. 【变式2-3】．如图，一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象解决下列问题： （1）求慢车和快车的速度； （2）求线段所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】（1）解：由题意，得： 快车与慢车的速度和为：（km/h）， 慢车的速度为：（km/h）， 快车的速度为：（km/h）． 答：快车的速度为km/h，慢车的速度为80km/h； （2）解：由题意得，快车走完全程的时间为：（h）， 10时时两车之间的距离为：（km）． 则． 设线段的解析式为，由题意，得： ， 解得：， 则，自变量x的取值范围是． 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息 【解析】【分析】（1）根据函数图象即可求解； （2）先根据函数图象结合题意得到点C的坐标，进而运用待定系数法即可求出线段CD的函数解析式，从而结合题意即可求解。 类型3分配问题 运用建模思想解决一次函数的分配问题，通常需要以下几个步骤： 一、问题分析与数学建模 （1）明确目标函数 根据实际问题确定需要最小化或最大化的量，例如总运费、总成本等。 （2）建立变量与关系式 设定决策变量（如运输量、购买数量等），并列出相关的函数关系式 确定自变量取值范围  （3）通过实际约束条件（如容量限制、非负性等）确定变量的取值范围。 二、求解与优化 （1）函数性质分析:利用一次函数的增减性确定最优解 (2）计算最优解：通过代入法、图像法或数值计算工具求解。 三、实际应用与验证 （1）方案比较 :若存在多种方案，需对比总成本或效率，选择最优方案。 （2）验证合理性 检查解是否满足所有约束条件，例如运输量是否在库容量范围内，购买数量是否为整数等。 【例3】．某学校计划购进A，B两种品牌的足球共50个，其中A品牌足球的价格为100元/个，购买B品牌足球所需费用y（单位：元）与购买数量x（单位：个）之间的关系如图所示 （1）请直接写出y与x之间的函数解析式； （2）若购买B种品牌足球的数量不超过30个，但不少于A种品牌足球的数量，请设计购买方案，使购买总费用W（单位：元）最低，并求出最低费用. 【答案】（1）设当0≤x≤20时，y与x的函数关系式为y＝kx， 则20k＝2400，得k＝120， 即当0≤x≤20时，y与x的函数关系式为y＝120x， 设当x＞20时，y与x的函数关系式为y＝ax+b， ，得 ， 即当x＞20时，y与x的函数关系式为y＝96x+480， 由上可得，y与x的函数关系式为y＝ ； （2）设购买B种品牌的足球m个，则购买A种品牌的足球（50﹣m）个， 50﹣m≤m≤30，得25≤m≤30， ∵W＝100（50﹣m）+96m+480＝﹣4m+5480， ∴当m＝30时，W取得最小值，此时W＝﹣4×30+5480＝5360，50﹣m＝20， 答：当购买A种品牌的足球20个，B种品牌的足球30个时，总费用最少，最低费用是5360元. 【知识点】一次函数的实际应用 【解析】【分析】（1）根据函数图象中的数据分当0≤x≤20时与当x＞20时两种情况利用待定系数法可以求得y与x之间的函数解析式； （2）根据总费用W=购买A品牌足球的费用+购买B品牌足球的费用建立出W与B种足球数量之间的函数关系，再根据购买B种品牌足球的数量不超过30个，但不少于A种品牌足球的数量，可以求得B种足球数量的取值范围，然后根据一次函数的性质即可解答本题. 【变式3-1】．已知雅美服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产M、N两种型号的时装共80套．已知做一套M型号的时装需用A种布料1.1米，B种布料0.4米，可获利50元；做一套N型号的时装需用A种布料0.6米，B种布料0.9米，可获利45元．设生产M型号的时装套数为x，用这批布料生产两种型号的时装所获得的总利润为y元． （1）求y（元）与x（套）的函数关系式，并求出自变量的取值范围； （2）当M型号的时装为多少套时，能使该厂所获利润最大？最大利润是多？ 【答案】（1）解：y=50x+45（80﹣x）=5x+3600， 由题意得， ， 解不等式①得，x≤44， 解不等式②得，x≥40， 所以，不等式组的解集是40≤x≤44， ∵x为整数， ∴x=40，41，42，43，44， ∴y与x的函数关系式是y=5x+3600（x=40，41，42，43，44） （2）解：∵k=5＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴当x=44时，y最大=3820， 即，生产M型号的时装44套时，该厂所获利润最大，最大利润是3820元 【知识点】一次函数的实际应用 【解析】【分析】（1）根据总利润等于M、N两种型号时装的利润之和列式整理即可，再根据M、N两种时装所用A、B两种布料不超过现有布料列出不等式组求解即可；（2）根据一次函数的增减性求出所获利润最大值即可． 【变式3-2】．年4月25日，神舟十八号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低，同样花费元，购进“天官”模型的数量比“神舟”模型多4个． （1）“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ （2）该航模店计划购买两种模型其个，且每个“神舟”模型的售价为元，“天官”模型的售价为元．设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元． ①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）； ②若购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）解：设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个（元）， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， （元）， 答：“神舟”模型成本为每个元，“天宫”模型成本为每个元； （2）解：①设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型个， 则， ∴w与a的函数关系式为； ②∵购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半， ∴， 解得， ∵，，a是正整数， ∴当时，w最大，最大值为， 答：购进“神舟”模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是元． 【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用 【解析】【分析】（1）设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个（元），进而结合题意即可列出分式方程，从而即可求解； （2）①设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型个，进而结合题意即可得到w与a的一次函数关系式； ②根据题意列出不等式，进而即可得到a的取值范围，再结合一次函数的性质即可求解。 【变式3-3】．两个水果市场各有芒果15吨，现从向甲、乙两地运送芒果，其中甲地需要芒果16吨，乙地需要芒果14吨，从到甲地的运费为50元/吨，到乙地的运费为30元/吨，从到甲地的运费为60元/吨，到乙地的运费为45元/吨． （1）设地到甲地运送芒果吨，请完成下表： 　 调往甲地（单位：吨） 调往乙地（单位：吨） A ① B ② ③ （2）设总运费为元，请写出与的函数关系式，并直接写出的取值范围． （3）怎样调送芒果才能使运费最少？ 【答案】（1）解：设从A市场调往甲地x吨，则从A市场调往乙地吨，从B市场调往甲地吨，则从B市场调往乙地吨． 故答案为：①，②，③； （2）解：由题意得， 即， ∵， ∴， 即自变量的取值范围是； （3）解：在一次函数中， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y有最小值． 所以从A市场调往甲地1吨，则从A市场调往乙地吨，从B市场调往甲地吨，从B市场调往乙地吨，此时总运费最少． 【知识点】一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用 【解析】【分析】 (1)设地到甲地运送芒果吨，用x分别表示出从A市场调往乙地的芒果重量，从B市场调往甲地的芒果重量，则从B市场调往乙地的芒果重量； （2）设总运费为元，根据总运费等于各运输的芒果重量乘相应的运费的和，根据运输芒果重量为大非负数，列出不等式组求解，得出x的取值范围； （3）化简（2）得到的函数表达式，根据增减性求最小值. 类型4方案选择问题 运用建模思想解决一次函数方案选择问题，通常涉及以下步骤： 一、明确问题目标与约束条件 （1）定义自变量与因变量 （2）列出函数关系式  二、构建数学模型 （1）分段函数表示  （2）绘制函数图象  通过坐标系绘制各段函数图象，观察交点与增减性。 三、分析函数性质与最优解 （1）交点分析  （2）增减性判断  （3）确定最优区间 四、验证与实际应用 （1）代入验证 （2）实际意义解读  通过计算总费用变化率，理解不同方案在不同使用场景下的经济性 总结 通过分段函数建模、图象分析和性质判断，可以系统地解决方案选择问题 【例4】．某网络公司给出A，B两种上网的月收费方式（如下表） 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/（元/h） A 30 30 B 45 50 3 设上网时间为t（单位：h），，根据表格回答： （1）请写出B种方式上网费用y（单位：元）关于上网时间t（单位：h）的函数解析式； （2）若，选取B种方式的上网费用低于A种方式时，求上网时间t的取值范围； （3）若，当上网时间为m时，A方式和B方式的上网费用相同，若m的值存在两个，直接写出a的取值范围　 　. 【答案】（1）解：①当时， ②当时， （2）当时，A方式上网费用 ①当时，，选取A种方式上网费用低，（舍）； ②当时，令得， 当时，选取B种方式上网费用低 ③当时，令得恒成立， 当时，选取B种方式上网费用低. 综上所述时，选取B种方式上网费用低． （3） 【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用 【解析】【解答】（3）对于A种上网方式，当0＜t≤30时，y=30；当30＜t≤720时，y=30+a（t-30）=at+30（1-a）； ∴A种方式上网费用y关于上网时间t的函数解析式为y=． 如图，当30＜t≤720时，A种方式上网费用y关于上网时间t的函数图象PM经过坐标（720，2055），图象PN经过坐标（50，45）． 当图象PM经过坐标（720，2055）时，得720a+30（1-a）=2055，解得a≈2.93； 当图象PN经过坐标（50，45）时，得50a+30（1-a）=45，解得a=0.75； ∴若m的值存在两个，a的取值范围为0.75＜a＜2.9． 故答案为：0.75＜a＜2.9． 【分析】（1）根据“当0＜t≤50时，上网费用=月使用费；当50＜t≤720时，上网费用=月使用费+超时费×（t-包时上网时间）”作答并写为分段函数即可； （2）根据（1）的方法写出A种方式上网费用y关于上网时间t的函数解析式，在同一坐标系中作出A、B两种方式上网费用y关于上网时间t的函数图象，根据图象作答即可； （3）求出超时费为a元/h时A种方式上网费用y关于上网时间t的函数解析式，在上面的坐标系数中分析两图象交点情况，从而求出a的取值范围。 【变式4-1】．学校决定按年级开展师生研学活动，该校八年级师生共580人将参加研学活动，计划租用12辆大客车，现有甲、乙两种型号的大客车，它们的满座载客量和租车费用如下表： 甲型号大客车 乙型号大客车 满座载客量（人/辆） 55 35 租车费用（元/辆） 1200 800 （1）若租用的12辆大客车恰好能一次将八年级师生送到研学基地，求应分别租用甲、乙型号的大客车多少辆？ （2）设租用甲型号大客车x辆，租车总费用为y元． ①求出y（元）与x（辆）的函数关系式，并求出x的取值范围； ②当租用甲型号大客车多少辆时，租车的总费用最少，最少费用是多少？ 【答案】（1）解：设租用甲型号的大客车x辆，则租用甲型号的大客车辆， 依题意得， 解得， ， 答：租用甲型号的大客车8辆，租用甲型号的大客车4辆 （2）解：①设租用甲型号的大客车x辆，则租用甲型号的大客车辆， 依题意得， ，解得， ∴； ②∵， ∴当时，y有最小值，最小值为12800， ， 答：租用甲型号的大客车8辆，租用甲型号的大客车4辆时，费用最少，为12800元． 【知识点】一元一次方程的其他应用；一次函数的实际应用 【解析】【分析】（1） 设租用甲型号的大客车x辆，则租用甲型号的大客车（12-x）辆，根据相等关系：甲型客车装载人数+乙型客车装载人数=580，可得方程：得解方程，即可求得两种型号客车的辆数； （2）①①设租用甲型号的大客车x辆，则租用甲型号的大客车（12-x）辆，根据总费用=租甲型客车费用+租乙型客车费用，可得关系式为：并根据客车总辆数为12，得x≤12，根据师生人数为580人，可得不等关系为：联合成不等式组，解不等式组即可求出自变量的取值范围；②由①知：y=400x+9600（8≤x≤12），根据一次函数的性质知，ysuix的增大而增大，所以当x取最小值时，总费用y最小，所以只需求出当x取最小值8时所对应的函数值即可。 【变式4-2】．暑假期间，两位家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价每人均为500元的两家旅行社．经协商，甲旅行社优惠条件是：两位家长全额收费，学生都按七折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长、学生都按八折收费．假设这两位家长带领x名学生去旅游，他们应选择哪家旅行社？ 【答案】解：设甲旅行社收费为元，乙旅行社收费为元，根据题意得 ， ， ①当，即时，解得， 故带领4名学生时，两家旅行社费用相同； ②当，即时，解得， 故学生小于4人时，选择乙旅行社便宜； ③当，时，解得， 故学生大于4人时，选择甲旅行社便宜． 【知识点】一次函数的实际应用；列一次函数关系式 【解析】【分析】根据题意直接求出，，再分类求解即可。 【变式4-3】．暑假期间，两名家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人1000元的两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折收费；乙旅行社的优惠条件是家长、学生都按八折收费．假设这两位家长带领x名学生去旅游，他们应该选择哪家旅行社？ 【答案】解：设甲旅行社的收费为y1，乙旅行社的收费为y2， 根据题意得，y1=2×1000+0.7×1000x=700x+2000， y2=（x+2）×0.8×1000=800x+1600， 若y1＞y2，即700x+2000＞800x+1600，解得x＜4； 若y1=y2，即700x+2000=800x+1600，解得x=4； 若y1＜y2，即700x+2000＜800x+1600，解得x＞4． ∴①当这两位家长带领的学生数少于4人去旅游，他们应该选择乙家旅行社； ②当这两位家长带领的学生数为4人去旅游，他们选择甲、乙两家旅行社一样； ③当这两位家长带领的学生数多于4人去旅游，他们应该选择甲家旅行社． 【知识点】一次函数的实际应用 【解析】【分析】 设甲旅行社的收费为y1，乙旅行社的收费为y2， 然后讨论： 若y1＞y2，若y1=y2，若y1＜y2， 分别求出对应的x的取值范围，即可判断选择哪家旅行社。 类型5 几何问题 运用建模思想解决一次函数的几何图形问题，通常需要将几何条件转化为代数方程，通过函数解析式和几何性质进行综合分析。 建模思想的核心 （1）几何抽象 ：将几何图形（如三角形、四边形）的属性（如长度、面积）转化为代数表达式。 （2）方程建立 ：通过相似三角形、对称性等几何性质建立方程 （3）函数应用 ：结合一次函数解析式，求解未知参数（如斜率、截距）。 （4）验证与拓展 ：通过代入验证结果，并尝试推广到其他类似问题（如不同几何图形组合）。 通过以上方法，可以系统地解决一次函数与几何图形结合的问题，培养学生的代数与几何综合应用 【例5】． （1）【问题提出】如图①，点为的边的中点，连接，若的面积为3，则的面积为　 　； （2）【问题探究】如图②，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，连接，作轴于点，若，，过点的直线l将分成面积为相等的两部分，求直线的函数表达式； （3）【问题解决】如图③，在平面直角坐标系中，四边形是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中O为坐标原点，，，，为了方便驻区单位，计划过点O修一条笔直的道路（路宽不计），并且使直线将四边形OABC分成面积相等的两部分，记直线与AB所在直线的交点为D，再过点A修一条笔直的道路（路宽不计），并且使直线将△OAD分成面积相等的两部分，你认为直线和是否存在？若存在，请求出直线和的函数表达式；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）6 （2）∵轴于点B， ∴， ∵，即， ∴， ∴、、． 如图②：设直线l与的交点为C，则，即， ∴． 由可得到直线的函数表达式为， 在中，令，得：， ∴； 设直线l的函数表达式为．， 将点、代入可得： 解得； ∴直线l的函数表达式为． （3）如图③：过点A作轴于点M，过点B作轴于点H，延长交于点N， ∵，，， ∴，，，，， ∴，，， ∴，． ∵，，， ∴， ∴， ∴直线经过点B，且点D与点B重合， ∴由待定系数法可得：直线的函数表达式为， ∵直线将的面积分为相等的两部分， ∴由（1）可知，直线经过的中点E， 连接，则， ∴， ∴， 在中，令，得， ∴， 设直线的函数表达式为， 将点、代入，得 ，解得； ∴直线的函数表达式为． 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；三角形的中线 【解析】【解答】解：（1） 因为D是AC的中点， 所以三角形ABD与三角形BCD 的面积相等， 所以三角形ABC的面积是三角形ABD的面积的2倍 所以 的面积为 6 故答案为：6 【分析】 (1)本题考查了三角形中线的性质，三角形中线，把三角形面积分为相等的两部分. （2 过点的直线l将分成面积相等的两部分，可以得出点C是OA的中点，根据中点坐标公式或三角形面积关系求出点C的坐标，再利用待定系数法求直线解析式. (3)通过题意，求出OA，OC，AB，BC的值，发现，， 可得，故直线过B点，并且与点D重合.从而确定的位置，再根据 将△OAD分成面积相等的两部分， 求出点E坐标，最后利用待定系数法求出两条直线的解析式. 【变式5-1】．（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点C在原点，将其绕着点O旋转，若点A恰好落在点处．则： ①OA的长为　 　； ②点B的坐标为　 　； （2）感悟应用： 如图2，在平面直角坐标系中，将等腰 如图放置，直角顶点 ，点 ，试求直线AB的函数表达式； （3）拓展研究：如图3，在平面直角坐标系中，点 ，过点B作 轴，垂足为点A，过点B作 轴，垂足为点C，点P是线段BC上的一个动点，点Q是直线 上一动点．当 是以点P为直角顶点的等腰三角形时，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）；（-3，2） （2）解：如图，过点B作 ，交x轴于点D，则 ， ∴ ， 而 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴点B的坐标为 ， 设直线 的函数表达式为 ， 把 代入，得： ， 解得， ， ∴直线 的函数表达式为 ． （3）解：点P的坐标为 或 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；三角形全等的判定；勾股定理的应用；等腰直角三角形 【解析】【解答】 （1）①， ②过A作AE⊥x轴于E，过B作BD⊥x轴于D，则∠ODB＝∠AEO＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴∠BOD+∠AOE＝90°， 又∠AOE+∠OAE＝90°，∴∠BOD＝∠OAE 又OB＝OA，∴△BOD≌△OAE，∴BD＝OE，OD＝AE 由A点坐标可知AE＝3，OE＝2，∴BD＝2，OD＝3，∴B（-3，2）。 故答案为：（-3，2）。 （2）过程见答案。 （3）设BP＝m，则CP＝4-m， △APQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，分两种情况。 情形1，当点Q在x轴下方时， 过Q作QE⊥BC于E，与（1）题同理可证明△QEP≌△PBA， ∴QE＝BP=m，PE＝AB＝5，∴CE＝BP+PE-BC＝m+5-4=m+1， ∴Q（5-m，-m-1）， ∵Q在y=3x-8上，∴-m-1=3(5-m)-8，∴m=4 ∴PC=BC-BP=4-4＝0，∴P（5，0）； 情形2，当点Q在x轴上方时， ​​​​​​​ 过Q作QE⊥BC于E，与情形1同理可得QE＝BP=m，PE＝AB＝5， ∴CE＝PE-BP+BC＝5-m+4=9-m ∴Q（5+m，9-m）， ∵Q在y=3x-8上，∴9-m=3(5+m)-8，∴m=0.5 ∴PC=BC-BP=4-0.5＝3.5，∴P（5，3.5）， 综上，P点坐标为（5，0）或（5，3.5）。 故答案为：P（5，0）或P（5，3.5）。 【分析】 （1）过A作AE⊥x轴于E，过B作BD⊥x轴于D，根据A点坐标，运用勾股定理求出OA，运用三角形全等得出OD，BD，从而得出B点坐标。 （2）过B作BD⊥x轴于D，构造全等三角形，求出B点坐标，再用待定系数法求出AB表达式。 （3）根据Q点位置分两种情形求解。过Q作QE⊥BC于E，构造全等三角形，根据边间关系用m表示出Q点坐标，把Q坐标代入求出y=3x-8中求出m，得到P点坐标。 【变式5-2】．如图甲，在梯形中，，，动点P从点C出发沿线段向点D运动，到达点D即停止，若E、F分别是、的中点，设，的面积为y，则y与x的函数关系的图象如图乙所示，则梯形的面积为　 　． 【答案】20 【知识点】一次函数的实际应用；三角形的面积；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：由题意可得： 当P点运动到D点时，CP=CD=4 ，得AD=4 当P点运动到C点时，CP=x=0 ，得BC=6 即梯形ABC的面积 【分析】EF为三角形ABP的中位线，则，结合图乙，当x=0时，P点在C处，当x=4时，P点在D处，根据三角形面积公式，可分别求出AD，BC，DC的距离，在根据梯形面积公式即可求出梯形ABCD的面积为20. 【变式5-3】．如图，在平面直角坐标系中，直线AC与直线BC都经过y轴上的点C，分别交x轴于A，B两点，已知A（－4，0），直线BC的解析式为y＝－2x＋3． （1）求直线AC的解析式； （2）在线段BC上存在一点M，点M到直线AC的距离为3，求点M的坐标； （3）在平面直角坐标系中，是否存在点P，使以A，B，C，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：∵直线BC交y轴于点C， ∴令x＝0时，， ∴C（0，3） 设直线AC的解析式为y＝kx＋b，则， 解得：， ∴直线AC的解析式为 （2）解：∵直线BC交x轴于点B， ∴ ∴， ∴， 设M（m，－2m＋3）， ∵，点M到直线AC的距离为3 即：， 解得：，， ∴ （3）解：P1（，3），P2（，3），P3（，-3）． 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；一次函数的实际应用-几何问题 【解析】【解答】 （3）如图3，∵，A（-4，0），C（0，3）， ∴AB=， ①以AC、BP为对角线时， CP∥AB，CP=AB=， ∴P1（，3）； ②以AP、BC为对角线时， CP∥AB，CP=AB=， ∴P2（，3）； ③以AB、CP为对角线时， xP=，yP=， ∴P3（，-3）， 综上所述：存在P1（，3），P2（，3），P3（，-3）． 【分析】 （1）由直线BC的解析式为y=-2x+3得C（0，3），利用待定系数法求出直线AC的解析式； （2）设M（m，－2m＋3），根据面积的和差列出方程，可求M的坐标即可； （3）利用平行四边形的对角线互相平分，对角线上两点的中点坐标是相同的，分三种情况即可得出结论． 学科网（北京）股份有限公司 $$