第八章 8.3.2 第2课时 球的表面积和体积-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（人教A版2019）

第八章 <<< 球的表面积和体积 第2课时 1.知道球的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.(重点) 2.掌握球的截面问题及切、接问题的相关计算.(难点) 学习目标 前面我们研究了柱、锥、台体的体积和表面积，这节课我们来研究球的体积和表面积.我们知道“半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体”.那么我们能否借鉴研究圆的周长和面积的方法来研究球的体积和表面积呢？ 导 语 一、球的表面积与体积 二、球的截面问题 课时对点练 三、与球有关的切、接问题 随堂演练 内容索引 一 球的表面积与体积 在小学，我们学习了圆的面积公式，你还记得是如何求得的吗？类比这种方法，你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗？ 问题 提示　类比利用圆周长求圆面积的方法，我们可以利用球的表面积求球的体积，如图所示，把球O的表面分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n个“小锥体”. 当n越大，每个小网格越小时，每个“小锥体”的底面就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，其高越近似于球半径R. 设O-ABCD是其中一个“小锥体”， 它的体积VO-ABCD≈SABCDR. 由于球的体积就是这n个“小锥体”的体积之和， 而这n个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积. 因此，球的体积V球=S球R=×4πR2·R=πR3. 4πR2 πR3 1.球的表面积 如果球的半径为R，那么它的表面积是S球= . 2.球的体积 如果球的半径为R，那么它的体积是V球=_______. 知识梳理 　(1)已知球的直径为6 cm，求它的表面积和体积. 例 1 ∵球的直径为6 cm， ∴球的半径R=3 cm. ∴球的表面积S球=4πR2=36π(cm2)， 球的体积V球=πR3=36π(cm3). 10 (2)已知球的表面积为64π，求它的体积. ∵S球=4πR2=64π，∴R2=16，即R=4. ∴V球=πR3=π×43=. 11 半径和球心是球的关键要素，把握住这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了. 反 思 感 悟 12 　两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和 为　　　　.  跟踪训练 1 设大、小两球半径分别为R，r，则由题意可得 ∴它们的体积和为πR3+πr3=. 13 二 球的截面问题 用一个平面去截一个球，截面是圆面，如图，球的截面有以下性质：①球心和截面圆圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r满足关系d=. 知识梳理 一平面α截球O所得截面圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为 A.π B.4π C.4π D.6π 例 2 √ 如图，设截面圆的圆心为O'，M为截面圆上任一点，则OO'=，O'M=1， ∴OM==， ∴V=π×()3=4π. 16 反 思 感 悟 球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何问题)转化为圆的问题(平面问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题. 球的截面的性质 　如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当水面恰好接触球面时测得水深为6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为 A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 跟踪训练 2 √ 18 如图，作出球的一个轴截面，则MC=8-6=2(cm)， BM=AB=×8=4(cm).设球的半径为R， 则R2=OM2+MB2=(R-2)2+42， 解得R=5 cm，∴V球=π×53=(cm3). 19 三 与球有关的切、接问题 1.正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1=(a为正方体棱长)，过在一个平面上的四个切点作截面如图1. 2.球与正方体的各条棱相切 球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，若正方体的棱长为a，此时球的半径为r2=a，过球心作正方体的对角面，如图2. 知识梳理 21 3.长方体、正方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，过球心作长方体的体对角线，则球的半径为r3=，如图3.当a=b=c，即几何体为正方体时，可得正方体外接球半径为a. 22 4.正四面体的外接球与内切球 若正四面体的棱长为a，则它的外接球半径为R=a，内切球半径为r=R=a.即正四面体外接球与内切球半径之比为3∶1. 23 　(1)如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积S1和球的表面积S2之比为 A.4∶3 B.3∶1 C.3∶2 D.9∶4 例 3 √ 24 画出轴截面如图所示，设球的半径为r，则OD=r，PO=2r，∠PDO=90°， ∴∠CPB=30°. 又∠PCB=90°， ∴CB=PC=r，PB=2r， ∴圆锥的侧面积S1=π×r×2r=6πr2，球的表面积S2=4πr2， ∴S1∶S2=3∶2. 25 (2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的体积为 A.3πa3 B.πa3 C.2πa3 D.2πa3 √ 26 作出图形的轴截面如图所示，点O即为该球的球心，线段AB即为长方体底面的对角线，长度为=a，线段BC即为长方体的高，长度为a，线段AC即为长方体的体对角线，长度为=a，则球的半径R==a， 所以球的体积V=πR3=πa3. 27 　 将本例(2)中的长方体改为棱长为a的正四面体，求球的体积. 延伸探究 28 方法一　如图，过A作底面BCD的垂线，垂足为E，则E为△BCD的重心，连接BE. ∵正四面体的棱长为a， ∴BE=a×=a. ∴在Rt△ABE中，AE==a. 设球心为O，半径为R，连接OB， 则(AE-R)2+BE2=R2，∴R=a，∴V球=πR3=πa3. 29 方法二　如图，将正四面体放入正方体中， ∵正四面体的棱长为a， ∴正方体的棱长为a，体对角线长为a， ∴球的直径2R=a， ∴R=a. ∴V球=πR3=πa3. 30 反 思 感 悟 球与旋转体的切、接问题，关键在于找到过球心的轴截面，将立体问题转化为平面问题. 　(1)已知某正四面体的内切球的体积是1，则该正四面体的外接球的体积是 A.27 B.16 C.9 D.3 跟踪训练 3 √ 设正四面体的外接球、内切球的半径分别为R，r，则=3.由题意，知πr3=1，则外接球的体积是πR3=27×πr3=27. 32 (2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 A.πa2 B.πa2 C.πa2 D.5πa2 √ 33 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP=×a=a，OP=a， 所以球的半径R=OA满足R2=+=a2， 故S球=4πR2=πa2. 34 1.知识清单： (1)球的表面积与体积. (2)球的截面问题. (3)与球有关的切、接问题. 2.方法归纳：公式法、转化法、类比法. 3.常见误区：解与外接球、内切球有关问题时，不能找到过球心的轴截面. 课堂小结 35 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知球的大圆周长为16π cm，则这个球的表面积为　　　　cm2.  设球的半径为R cm，由题意可知2πR=16π，解得R=8， 则S球=4πR2=256π(cm2). 256π 2.已知球的体积为288π，则它的表面积为　　　.  1 2 3 4 ∵V球=πR3=288π， ∴R3=216，R=6.∴S球=4πR2=144π. 144π 3.球的表面积为400π，一个截面的面积为64π，则球心到截面的距离为　　.  1 2 3 4 如图，由已知条件知球的半径R=10，截面圆的半径r=8，∴球心到截面的距离h==6. 6 4.若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为　　　.  1 2 3 4 如图，BE=BO2=r，AE=AO1=R， 又OE⊥AB且BO⊥OA， ∴△AEO∽△OEB， ∴OE2=AE·BE=Rr， ∴球的表面积为4πOE2=4πRr. 课时对点练 五 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B D C C 题号 11 12 13 14 　15 答案 CD AD CD 4 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 如图，在底面正六边形ABCDEF中，连接BE，AD交于点O，连接BE1， 则BE=2OE=2DE， 所以BE=， 在Rt△BEE1中，BE1==2， 所以2R=2，则R=， 所以球的体积V球=πR3=4π， 球的表面积S球=4πR2=12π. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 如图所示，过点C作CO1⊥AB于点O1， 由题意可得∠BCA=90°. 又∠BAC=30°，AB=2R， CO1⊥AB， ∴AC=R，BC=R，CO1=R， AO1=R，BO1=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. ∴S球=4πR2，=π·R·R=πR2， =π·R·R=πR2， ∴S几何体表=S球++ =4πR2+πR2+πR2=πR2， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 又V球=πR3， =AO1·πC=πR3， =BO1·πC=πR3， ∴V几何体=V球-(+) =πR3-πR3=πR3. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)设AB=x，点A到点C1的最短路程有两种可能，如图甲的最短路程为AC1=. 如图乙的最短路程为AC1==， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. ∵x>1， ∴x2+2x+2>x2+2+2=x2+4， 故从点A沿长方体的表面爬到点 C1的最短距离为. 由题意得=2， 解得x=2.即AB的长度为2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (2)设长方体外接球的半径为R，则 (2R)2=12+12+22=6， ∴R2=， ∴S=4πR2=6π， 即该长方体外接球的表面积为6π. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的 A.1 B.2 C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础巩固 16 设最小球的半径为r，则另外两个球的半径分别为2r，3r，其表面积分别为4πr2，16πr2，36πr2，故最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的=. √ 答案 2.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，所以球的半径为1，其体积是×π×13=. 答案 3.两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为 A.2∶3 B.4∶9 C.∶ D.2∶3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由两球的体积之比为8∶27， 可得半径之比为2∶3， 故表面积之比是4∶9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.已知棱长为2的正方体的体积与球O的体积相等，则球O的半径为 A. B. C. D. √ 16 设球O的半径为r，则πr3=23， 解得r=. 答案 5.用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为 A. B. C.8π D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 设球的半径为R，则截面圆的半径为， ∴截面圆的面积S=π()2=(R2-1)π=π， ∴R2=2，∴球的表面积S=4πR2=8π. 答案 6.一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长分别为3，4，5，则它的外接球的表面积是 A.20π B.25π C.50π D.200π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为这个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以此三棱锥可视为一个长方体的一个角，如图所示，而且此长方体的外接球就是此三棱锥的外接球.设此三棱锥的外接球的半径为r，则有(2r)2=32+42+52=50，即4r2=50，故它的外接球的表面积是S=4πr2=50π. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.将两个半径为1的小铁球熔化后铸成一个大球，则这个大球的半径R为　　　　.  V小球=×π×13=，V大球=πR3， 依题意πR3=×2=，∴R3=2，∴R=. 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈.如果球的半径为， 根据“开立圆术”的方法求得的球的体积约为　　.  16 答案 58 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，得r=，d=， 所以≈，解得V≈. 答案 59 9.若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，在底面正六边形ABCDEF中，连接BE，AD交于点O，连接BE1， 则BE=2OE=2DE， 所以BE=， 在Rt△BEE1中，BE1==2， 所以2R=2，则R=， 所以球的体积V球=πR3=4π， 球的表面积S球=4πR2=12π. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.如图，AB是半径为R的球的直径，C为球面上一点，且∠BAC=30°，求图中阴影区域构成的几何体的表面积及其体积. 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，过点C作CO1⊥AB于点O1， 由题意可得∠BCA=90°. 又∠BAC=30°，AB=2R， CO1⊥AB， ∴AC=R，BC=R，CO1=R， AO1=R，BO1=. ∴S球=4πR2，=π·R·R=πR2， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 =π·R·R=πR2， ∴S几何体表=S球++=4πR2+πR2+πR2=πR2， 又V球=πR3， =AO1·πC=πR3， =BO1·πC=πR3， ∴V几何体=V球-(+)=πR3-πR3=πR3. 答案 11.(多选)如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是 A.圆柱的侧面积为2πR2 B.圆锥的侧面积为2πR2 C.圆柱的侧面积与球面面积相等 D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合运用 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵圆柱和圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则圆柱的侧面积为2πR·2R=4πR2，A错误； 圆锥的母线长l==R，侧面积为πRl=πR2，B错误；球的表面积为4πR2，∴圆柱的侧面积与球面面积相等，C正确； ∵V圆柱=πR2·2R=2πR3， V圆锥=πR2·2R=πR3，V球=πR3， ∴V圆柱∶V圆锥∶V球=2πR3∶πR3∶πR3= 3∶1∶2，D正确. 答案 12.(多选)某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与圆柱形包装盒侧面及上、下底面都相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为R，球形巧克力的半径为r，每个球形巧克力的体积为V1，包装盒的体积为V2，则 A.R=3r B.R=6r C.V2=9V1 D.2V2=27V1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由截面图可以看出，圆柱的底面直径是球形巧克力直径的3倍，即可得R=3r，圆柱的高等于球形巧克力的直径，即h=2r，V1=，V2=πR2h=18πr3，则有2V2=27V1. 答案 13.(多选)如图是一个圆锥和一个圆柱的组合体，圆锥的底面和圆柱的上底面完全重合且圆锥的高度是圆柱高度的一半，若该组合体外接球的半径为2，则 A.圆锥的底面半径为1 B.圆柱的体积是外接球体积的四分之三 C.该组合体的外接球表面积与该组合体底面面积之比 为16∶3 D.圆锥的侧面积是圆柱侧面积的一半 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，设圆锥的顶点为P，圆柱上、下底面的圆心分别为O1，O2，O1O2的中点为O， 由题意，设圆锥的高为PO1=h，圆柱的高为O1O2=2h，圆柱的上、下底面圆半径为r，则 解得h=1，r=，故A错误； 圆柱的体积为V圆柱=π×3×2=6π， 外接球的体积为V球=π×23=，则V圆柱=V球，故B错误； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 底面面积为S底=π×3=3π， 外接球的表面积为S球=4π×22=16π， 则S球∶S底=16π∶3π=16∶3，故C正确； 圆锥的母线长为=2， 所以圆锥的侧面积为π××2=2π， 圆柱的侧面积为2×2π×=4π，所以圆锥的侧面积是圆柱侧面积的一半，故D正确. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与容器的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是　　　cm.  16 4 设球的半径为r，则圆柱形容器放入三个球后水的高度为6r，水与球的体积之和为πr2×6r=6πr3，高度为8 cm的水的体积为8πr2，3个球的体积和为3×πr3=4πr3，由题意得6πr3-8πr2=4πr3， 解得r=4(cm). 答案 15.已知正三棱柱的侧面积为3 cm2，其所有顶点都在球O的球面上，则球 O的表面积的最小值为　　　　　cm2.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当球O的表面积最小时，球O的半径R最小.设正三棱柱的底面边长为a，高为b，则正三棱柱的侧面积S侧=3ab=3，所以ab=1.底面正三角形所在截面圆的半径r=a，则R2=r2+=+=+≥2==，即b=时取等号，又因为0<b<2R，所以(R2)min=.故球O的表面积的最小值为 cm2. 答案 16.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB>1，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为2. (1)求AB的长度； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设AB=x，点A到点C1的最短路程有两种可能，如图甲的最短路程为AC1=. 如图乙的最短路程为 AC1==， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵x>1，∴x2+2x+2>x2+2+2=x2+4， 故从点A沿长方体的表面爬到点C1的最短距离为.由题意得=2， 解得x=2.即AB的长度为2. 答案 (2)求该长方体外接球的表面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设长方体外接球的半径为R，则 (2R)2=12+12+22=6， ∴R2=， ∴S=4πR2=6π， 即该长方体外接球的表面积为6π. 答案 第一章 <<< $$ 第2课时　球的表面积和体积 ［学习目标］　1.知道球的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.(重点)2.掌握球的截面问题及切、接问题的相关计算.(难点) 导语 前面我们研究了柱、锥、台体的体积和表面积，这节课我们来研究球的体积和表面积.我们知道“半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体”.那么我们能否借鉴研究圆的周长和面积的方法来研究球的体积和表面积呢？ 一、球的表面积与体积 问题　在小学，我们学习了圆的面积公式，你还记得是如何求得的吗？类比这种方法，你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗？ 提示　类比利用圆周长求圆面积的方法，我们可以利用球的表面积求球的体积，如图所示，把球O的表面分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n个“小锥体”. 当n越大，每个小网格越小时，每个“小锥体”的底面就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，其高越近似于球半径R. 设O-ABCD是其中一个“小锥体”， 它的体积VO-ABCD≈SABCDR. 由于球的体积就是这n个“小锥体”的体积之和， 而这n个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积. 因此，球的体积V球=S球R=×4πR2·R=πR3. 知识梳理 1.球的表面积 如果球的半径为R，那么它的表面积是S球=4πR2. 2.球的体积 如果球的半径为R，那么它的体积是V球=πR3. 例1　(1)已知球的直径为6 cm，求它的表面积和体积. 解　∵球的直径为6 cm， ∴球的半径R=3 cm. ∴球的表面积S球=4πR2=36π(cm2)， 球的体积V球=πR3=36π(cm3). (2)已知球的表面积为64π，求它的体积. 解　∵S球=4πR2=64π，∴R2=16，即R=4. ∴V球=πR3=π×43=. 反思感悟　半径和球心是球的关键要素，把握住这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了. 跟踪训练1　两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为　　　　　.  答案　 解析　设大、小两球半径分别为R，r，则由题意可得解得 ∴它们的体积和为πR3+πr3=. 二、球的截面问题 知识梳理 用一个平面去截一个球，截面是圆面，如图，球的截面有以下性质：①球心和截面圆圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r满足关系d=. 例2　一平面α截球O所得截面圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　) A.π B.4π C.4π D.6π 答案　B 解析　如图，设截面圆的圆心为O'，M为截面圆上任一点，则OO'=，O'M=1， ∴OM==，即球的半径为， ∴V=π×()3=4π. 反思感悟　球的截面的性质 球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何问题)转化为圆的问题(平面问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题. 跟踪训练2　如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当水面恰好接触球面时测得水深为6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为(　　) A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 答案　A 解析　如图，作出球的一个轴截面，则MC=8-6=2(cm)， BM=AB=×8=4(cm).设球的半径为R，则R2=OM2+MB2=(R-2)2+42， 解得R=5 cm，∴V球=π×53=(cm3). 三、与球有关的切、接问题 知识梳理 1.正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1=(a为正方体棱长)，过在一个平面上的四个切点作截面如图1. 2.球与正方体的各条棱相切 球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，若正方体的棱长为a，此时球的半径为r2=a，过球心作正方体的对角面，如图2. 3.长方体、正方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，过球心作长方体的体对角线，则球的半径为r3=，如图3.当a=b=c，即几何体为正方体时，可得正方体外接球半径为a. 4.正四面体的外接球与内切球 若正四面体的棱长为a，则它的外接球半径为R=a，内切球半径为r=R=a.即正四面体外接球与内切球半径之比为3∶1. 例3　(1)如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积S1和球的表面积S2之比为(　　) A.4∶3 B.3∶1 C.3∶2 D.9∶4 答案　C 解析　画出轴截面如图所示，设球的半径为r，则OD=r，PO=2r，∠PDO=90°， ∴∠CPB=30°. 又∠PCB=90°， ∴CB=PC=r，PB=2r， ∴圆锥的侧面积S1=π×r×2r=6πr2，球的表面积S2=4πr2， ∴S1∶S2=3∶2. (2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的体积为(　　) A.3πa3 B.πa3 C.2πa3 D.2πa3 答案　B 解析　作出图形的轴截面如图所示，点O即为该球的球心，线段AB即为长方体底面的对角线，长度为=a，线段BC即为长方体的高，长度为a，线段AC即为长方体的体对角线，长度为=a，则球的半径R==a， 所以球的体积V=πR3=πa3. 延伸探究　将本例(2)中的长方体改为棱长为a的正四面体，求球的体积. 解　方法一　如图，过A作底面BCD的垂线，垂足为E，则E为△BCD的重心，连接BE. ∵正四面体的棱长为a， ∴BE=a×=a. ∴在Rt△ABE中，AE==a. 设球心为O，半径为R，连接OB， 则(AE-R)2+BE2=R2， ∴R=a，∴V球=πR3=πa3. 方法二　如图，将正四面体放入正方体中， ∵正四面体的棱长为a， ∴正方体的棱长为a，体对角线长为a， ∴球的直径2R=a， ∴R=a. ∴V球=πR3=πa3. 反思感悟　球与旋转体的切、接问题，关键在于找到过球心的轴截面，将立体问题转化为平面问题. 跟踪训练3　(1)已知某正四面体的内切球的体积是1，则该正四面体的外接球的体积是(　　) A.27 B.16 C.9 D.3 答案　A 解析　设正四面体的外接球、内切球的半径分别为R，r，则=3.由题意，知πr3=1，则外接球的体积是πR3=27×πr3=27. (2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　) A.πa2 B.πa2 C.πa2 D.5πa2 答案　B 解析　由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP=×a=a，OP=a， 所以球的半径R=OA满足R2=+=a2，故S球=4πR2=πa2. 1.知识清单： (1)球的表面积与体积. (2)球的截面问题. (3)与球有关的切、接问题. 2.方法归纳：公式法、转化法、类比法. 3.常见误区：解与外接球、内切球有关问题时，不能找到过球心的轴截面. 1.已知球的大圆周长为16π cm，则这个球的表面积为　　　　cm2.  答案　256π 解析　设球的半径为R cm，由题意可知2πR=16π，解得R=8，则S球=4πR2=256π(cm2). 2.已知球的体积为288π，则它的表面积为　　　.  答案　144π 解析　∵V球=πR3=288π， ∴R3=216，R=6.∴S球=4πR2=144π. 3.球的表面积为400π，一个截面的面积为64π，则球心到截面的距离为　　　　.  答案　6 解析　如图，由已知条件知球的半径R=10，截面圆的半径r=8，∴球心到截面的距离h==6. 4.若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为　　　　.  答案　4πRr 解析　如图，BE=BO2=r，AE=AO1=R， 又OE⊥AB且BO⊥OA， ∴△AEO∽△OEB， ∴OE2=AE·BE=Rr， ∴球的表面积为4πOE2=4πRr. 　　　　 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的(　　) A.1 B.2 C. D. 答案　C 解析　设最小球的半径为r，则另外两个球的半径分别为2r，3r，其表面积分别为4πr2，16πr2，36πr2，故最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的=. 2.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，所以球的半径为1，其体积是×π×13=. 3.两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为(　　) A.2∶3 B.4∶9 C.∶ D.2∶3 答案　B 解析　由两球的体积之比为8∶27， 可得半径之比为2∶3， 故表面积之比是4∶9. 4.已知棱长为2的正方体的体积与球O的体积相等，则球O的半径为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设球O的半径为r，则πr3=23， 解得r=. 5.用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为(　　) A. B. C.8π D. 答案　C 解析　设球的半径为R，则截面圆的半径为， ∴截面圆的面积S=π()2=(R2-1)π=π， ∴R2=2，∴球的表面积S=4πR2=8π. 6.一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长分别为3，4，5，则它的外接球的表面积是(　　) A.20π B.25π C.50π D.200π 答案　C 解析　因为这个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以此三棱锥可视为一个长方体的一个角，如图所示，而且此长方体的外接球就是此三棱锥的外接球.设此三棱锥的外接球的半径为r，则有(2r)2=32+42+52=50，即4r2=50，故它的外接球的表面积是S=4πr2=50π. 7.(5分)将两个半径为1的小铁球熔化后铸成一个大球，则这个大球的半径R为　　　　.  答案　 解析　V小球=×π×13=，V大球=πR3， 依题意πR3=×2=，∴R3=2，∴R=. 8.(5分)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈.如果球的半径为，根据“开立圆术”的方法求得的球的体积约为　　　　　　.  答案　 解析　由题意，得r=，d=， 所以≈，解得V≈. 9.(10分)若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积. 解　如图，在底面正六边形ABCDEF中，连接BE，AD交于点O，连接BE1， 则BE=2OE=2DE， 所以BE=， 在Rt△BEE1中，BE1==2， 所以2R=2，则R=， 所以球的体积V球=πR3=4π， 球的表面积S球=4πR2=12π. 10.(10分)如图，AB是半径为R的球的直径，C为球面上一点，且∠BAC=30°，求图中阴影区域构成的几何体的表面积及其体积. 解　如图所示，过点C作CO1⊥AB于点O1， 由题意可得∠BCA=90°. 又∠BAC=30°，AB=2R， CO1⊥AB， ∴AC=R，BC=R，CO1=R， AO1=R，BO1=. =π·R·R=πR2， ∴S几何体表=S球++ =4πR2+πR2+πR2=πR2， 又V球=πR3， =AO1·πC=πR3， =BO1·πC=πR3， ∴V几何体=V球-(+) =πR3-πR3=πR3. 11.(多选)如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是(　　) A.圆柱的侧面积为2πR2 B.圆锥的侧面积为2πR2 C.圆柱的侧面积与球面面积相等 D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2 答案　CD 解析　∵圆柱和圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则圆柱的侧面积为2πR·2R=4πR2，A错误；圆锥的母线长l==R，侧面积为πRl=πR2，B错误；球的表面积为4πR2，∴圆柱的侧面积与球面面积相等，C正确； ∵V圆柱=πR2·2R=2πR3， V圆锥=πR2·2R=πR3，V球=πR3， ∴V圆柱∶V圆锥∶V球=2πR3∶πR3∶πR3= 3∶1∶2，D正确. 12.(多选)某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与圆柱形包装盒侧面及上、下底面都相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为R，球形巧克力的半径为r，每个球形巧克力的体积为V1，包装盒的体积为V2，则(　　) A.R=3r B.R=6r C.V2=9V1 D.2V2=27V1 答案　AD 解析　由截面图可以看出，圆柱的底面直径是球形巧克力直径的3倍，即可得R=3r，圆柱的高等于球形巧克力的直径，即h=2r，V1=，V2=πR2h=18πr3，则有2V2=27V1. 13.(多选)如图是一个圆锥和一个圆柱的组合体，圆锥的底面和圆柱的上底面完全重合且圆锥的高度是圆柱高度的一半，若该组合体外接球的半径为2，则(　　) A.圆锥的底面半径为1 B.圆柱的体积是外接球体积的四分之三 C.该组合体的外接球表面积与该组合体底面面积之比为16∶3 D.圆锥的侧面积是圆柱侧面积的一半 答案　CD 解析　如图，设圆锥的顶点为P，圆柱上、下底面的圆心分别为O1，O2，O1O2的中点为O， 由题意，设圆锥的高为PO1=h，圆柱的高为O1O2=2h，圆柱的上、下底面圆半径为r， 则 解得h=1，r=，故A错误； 圆柱的体积为V圆柱=π×3×2=6π， 外接球的体积为V球=π×23=， 则V圆柱=V球，故B错误； 底面面积为S底=π×3=3π， 外接球的表面积为S球=4π×22=16π， 则S球∶S底=16π∶3π=16∶3，故C正确； 圆锥的母线长为=2， 所以圆锥的侧面积为π××2=2π， 圆柱的侧面积为2×2π×=4π，所以圆锥的侧面积是圆柱侧面积的一半，故D正确. 14.(5分)圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与容器的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是　　　　　　cm.  答案　4 解析　设球的半径为r，则圆柱形容器放入三个球后水的高度为6r，水与球的体积之和为πr2×6r=6πr3，高度为8 cm的水的体积为8πr2，3个球的体积和为3×πr3=4πr3，由题意得6πr3-8πr2=4πr3， 解得r=4(cm). 15.(5分)已知正三棱柱的侧面积为3 cm2，其所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为　　　　　　cm2.  答案　 解析　当球O的表面积最小时，球O的半径R最小.设正三棱柱的底面边长为a，高为b，则正三棱柱的侧面积S侧=3ab=3，所以ab=1.底面正三角形所在截面圆的半径r=a，则R2=r2+=+=+≥2=，当且仅当=，即b=时取等号，又因为0<b<2R，所以(R2)min=.故球O的表面积的最小值为 cm2. 16.(12分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB>1，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为2. (1)求AB的长度；(6分) (2)求该长方体外接球的表面积.(6分) 解　(1)设AB=x，点A到点C1的最短路程有两种可能，如图甲的最短路程为AC1=. 如图乙的最短路程为 AC1==， ∵x>1，∴x2+2x+2>x2+2+2=x2+4， 故从点A沿长方体的表面爬到点C1的最短距离为.由题意得=2， 解得x=2.即AB的长度为2. (2)设长方体外接球的半径为R，则 (2R)2=12+12+22=6， ∴R2=， ∴S=4πR2=6π， 即该长方体外接球的表面积为6π. 学科网（北京）股份有限公司 $$