第六章 平面向量及其应用 章末复习课-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（人教A版2019）

一、向量的线性运算 1.向量的线性运算有平面向量及其坐标运算的加法、减法和数乘运算.从形式上看，向量的线性运算类似于实数与多项式的运算法则，所以实数与多项式运算中的去括号、移项、合并同类项等规则在向量的线性运算中都可以使用.但这种相似仅仅是体现在形式上，在具体意义上则有明显不同，比如向量加法的运算法则是三角形法则和平行四边形法则等.本部分主要考查向量的线性运算和根据线性运算求参问题. 2.通过向量的线性运算，培养数学运算和逻辑推理素养. 例1　(1)已知向量a=(1，-2)，b=(m，4)，且a∥b，那么2a-b等于(　　) A.(4，0) B.(0，4) C.(4，-8) D.(-4，8) 答案　C 解析　因为a∥b， 所以1×4=-2×m，解得m=-2， 所以b=(-2，4)， 所以2a-b=2(1，-2)-(-2，4)=(4，-8). (2)如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2CD，E为线段AD的中点，且BF=AB，则等于(　　) A.+ B.- C.+ D.- 答案　D 解析　由题意，根据向量的运算法则，可得=-=-=-++)=-=×2-=-. 反思感悟　(1)向量线性运算的基本原则 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面. (2)向量平行的等价条件 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔a=λb⇔x1y2-x2y1=0. (3)三点共线的等价条件 A，B，C三点共线⇔存在λ∈R，使得=λ成立⇔存在m，n∈R，使得=m+n成立，其中m+n=1. 跟踪训练1　如图所示，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若=λ+μ，则λ+μ等于(　　) A. B. C. D.2 答案　B 解析　因为=λ+μ=λ(+)+μ(+)=λ+μ(-+) =(λ-μ)+， 且=+，所以 解得所以λ+μ=. 二、向量的数量积运算 1.平面向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量的数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的长度等. 2.通过向量的数量积运算，提升逻辑推理和数学运算素养. 例2　(1)已知平面上有三点A，B，C，已知AB=3，D是线段BC上靠近B的一个四等分点.若AD⊥AB，则·的值是(　　) A.27 B.-27 C.9 D.-9 答案　B 解析　由D是线段BC上靠近B的一个四等分点， 可得=4， 又由AD⊥AB，可得·=0， 所以=-=4+=4(-)+=4-3， 则·=·(4-3)=4·-3=-27. (2)在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为2和1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足=，则·的取值范围是　　　　.  答案　［1，4］ 解析　设==λ(0≤λ≤1)， 则=λ=λ，=(1-λ)=(1-λ)， 则·=(+)·(+) =(+λ)·［+(1-λ)］ =·+(1-λ)+λ+λ(1-λ)·. 又∵AB⊥AD，∴·=0， ∴·=(1-λ)+λ=4(1-λ)+λ=4-3λ. ∵0≤λ≤1，∴1≤·≤4， 即·的取值范围是［1，4］. 反思感悟　(1)向量数量积的两种计算方法 ①定义法：当已知向量的模和夹角θ时，a·b=|a||b|cos θ，有时需要注意结合平面向量基本定理和向量共线定理去表示向量； ②坐标法：当已知向量的坐标a=(x1，y1)，b=(x2，y2)时，a·b=x1x2+y1y2. (2)利用向量数量积可以解决以下问题 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)， ①两向量垂直的等价条件 a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0(a，b均为非零向量)； ②求向量的模的问题 |a|=； ③两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π，a，b为非零向量) cos θ==. 跟踪训练2　(1)若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足=+，则·的值为(　　) A.- B.-2 C. D.2 答案　B 解析　因为=-，=-， 所以·=(-)·(-) =· =· =-+·- =-×9+×3×3×cos 60°-×9=-2. (2)已知平面向量a=(2，λ)，b=(1，-2)，c=(-1，μ)，若a∥b，b⊥c，则a+b与b+c所成角的余弦值为　　　　.  答案　 解析　因为a=(2，λ)，b=(1，-2)，c=(-1，μ)，a∥b，b⊥c， 所以=，1×(-1)+(-2)μ=0， 解得λ=-4，μ=-， 所以a=(2，-4)，c=， 所以a+b=(3，-6)，b+c=， 所以cos〈a+b，b+c〉===. 三、余弦定理、正弦定理 1.主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形，判断三角形的形状、求三角形的面积，以及余弦定理、正弦定理与三角恒等变换公式的综合应用. 2.借助解三角形，培养逻辑推理、数学运算素养. 例3　在①b2+ac=a2+c2；②acos B=bsin A；③sin B+cos B=，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解决问题. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，　　　　，A=，b=，求△ABC的面积.  解　若选择条件①b2+ac=a2+c2， 则由余弦定理的推论，得cos B===， 因为B∈(0，π)，所以B=； 由正弦定理=， 得a===， 因为A=，B=， 所以C=π--=， 所以sin C=sin =sin=sin cos +cos sin =. 所以S△ABC=absin C=×××=. 若选择条件②acos B=bsin A， 则由正弦定理，得sin Acos B=sin Bsin A， 因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以sin B=cos B， 因为B∈(0，π)，所以B=. 下同①. 若选择条件③sin B+cos B=， 则sin=，所以sin=1， 因为B∈(0，π)，所以B+∈， 所以B+=，所以B=. 下同①. 反思感悟　(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a=2Rsin A，a2+b2-c2=2abcos C等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如在△ABC中，sin A=sin B⇔A=B；sin(A-B)=0⇔A=B；sin 2A=sin 2B⇔A=B或A+B=等. (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A=，cos A=等，通过代数变换将角的关系化为边的关系. 跟踪训练3　已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin C=csin. (1)求A； (2)已知b=1，c=3，且边BC上有一点D满足S△ABD=3S△ADC，求AD. 解　(1)由已知及正弦定理，得 sin Asin C=sin Csin ， 又因为sin =sin =cos ， 所以sin Asin C=sin Ccos . 因为sin C≠0， 所以sin A=cos ， 所以2sin cos =cos ， 因为0<<，所以cos ≠0， 所以sin =，即=， 所以A=. (2)设∠BDA=α，则∠ADC=π-α， 在△ABC中，由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=12+32-6cos =7， 解得a=. 因为S△ABD=3S△ADC， 所以BD=3DC=. 在△ABD中，由余弦定理，得9=+AD2-·AD·cos α， ① 在△ADC中，由余弦定理，得1=+AD2-·AD·cos(π-α)， ② 由①②解得AD=. 四、正弦、余弦定理在实际问题中的应用 1.余弦定理和正弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面.解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解.注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验. 2.将生活中的实际问题转化为三角形模型，提升逻辑推理和数学建模素养. 例4　为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量.A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图).飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离.请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤. 解　①需要测量的数据有：A点观测M，N的俯角α1，β1；B点观测M，N的俯角α2，β2；A，B间的距离d(如图所示). ②方法一　第一步：计算AM. 在△ABM中，由正弦定理，得AM=； 第二步：计算AN. 在△ABN中，由正弦定理，得AN=； 第三步：计算MN. 在△AMN中，由余弦定理，得 MN=. 方法二　第一步：计算BM. 在△ABM中，由正弦定理，得BM=； 第二步：计算BN. 在△ABN中，由正弦定理，得BN=； 第三步：计算MN. 在△BMN中，由余弦定理，得MN=. 反思感悟　正弦、余弦定理在实际应用中应注意的问题 (1)分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图. (2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等. (3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形. (4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累. 跟踪训练4　某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高. 解　如图所示，设AE为塔，B为塔正东方向一点，沿南偏西60°的方向前进40 m到达C处， 即BC=40，∠CAB=135°，∠ABC=30°，∠ACB=15°. 在△ABC中， =， 即=，解得AC=20. 过点A作AG⊥BC，垂足为G，连接EG，此时仰角∠AGE最大， 在△ABC中，由面积公式知 ×BC×AG=×AC×BC×sin∠ACB. ∴AG= =AC×sin∠ACB=20sin 15° =10(-1). 在Rt△AEG中，∵AE=AGtan∠AGE， ∴AE=10(-1)×=， 故塔高为 m. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 <<< 章末复习课 知识网络 一、向量的线性运算 二、向量的数量积运算 三、余弦定理、正弦定理 内容索引 四、正弦、余弦定理在实际问题中的应用 向量的线性运算 一 1.向量的线性运算有平面向量及其坐标运算的加法、减法和数乘运算.从形式上看，向量的线性运算类似于实数与多项式的运算法则，所以实数与多项式运算中的去括号、移项、合并同类项等规则在向量的线性运算中都可以使用.但这种相似仅仅是体现在形式上，在具体意义上则有明显不同，比如向量加法的运算法则是三角形法则和平行四边形法则等.本部分主要考查向量的线性运算和根据线性运算求参问题. 2.通过向量的线性运算，培养数学运算和逻辑推理素养. 5 (1)已知向量a=(1，-2)，b=(m，4)，且a∥b，那么2a-b等于 A.(4，0) B.(0，4) C.(4，-8) D.(-4，8) 例 1 √ 6 因为a∥b， 所以1×4=-2×m，解得m=-2， 所以b=(-2，4)， 所以2a-b=2(1，-2)-(-2，4)=(4，-8). 7 (2)如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2CD，E为线段AD的中点，且BF=AB，则等于 A.+ B.- C.+ D.- √ 8 由题意，根据向量的运算法则，可得=-=-=-++)=-=×2-=-. 9 (1)向量线性运算的基本原则 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面. (2)向量平行的等价条件 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔a=λb⇔x1y2-x2y1=0. (3)三点共线的等价条件 A，B，C三点共线⇔存在λ∈R，使得=λ成立⇔存在m，n∈R，使得=m+n成立，其中m+n=1. 反 思 感 悟 10 跟踪训练 1 　如图所示，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若=λ+μ，则λ+μ等于 A. B. C. D.2 √ 11 因为=λ+μ=λ(+)+μ(+)=λ+μ(-+) =(λ-μ)+， 且=+解得所以λ+μ=. 12 二 向量的数量积运算 1.平面向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量的数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的长度等. 2.通过向量的数量积运算，提升逻辑推理和数学运算素养. 例 2 　(1)已知平面上有三点A，B，C，已知AB=3，D是线段BC上靠近B的一个四等分点.若AD⊥AB，则·的值是 A.27 B.-27 C.9 D.-9 √ 15 由D是线段BC上靠近B的一个四等分点， 可得=4， 又由AD⊥AB，可得·=0， 所以=-=4+=4(-)+=4-3， 则·=·(4-3)=4·-3=-27. 16 (2)在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为2和1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足=，则·的取值范围是　　　　　　.  ［1，4］ 17 设==λ(0≤λ≤1)， 则=λ=λ=(1-λ)=(1-λ)， 则·=(+)·(+)=(+λ)·［+(1-λ)］ =·+(1-λ)+λ+λ(1-λ)·. 又∵AB⊥AD，∴·=0， ∴·=(1-λ)+λ=4(1-λ)+λ=4-3λ. ∵0≤λ≤1，∴1≤·≤4， 即·的取值范围是［1，4］. 18 反 思 感 悟 (1)向量数量积的两种计算方法 ①定义法：当已知向量的模和夹角θ时，a·b=|a||b|cos θ，有时需要注意结合平面向量基本定理和向量共线定理去表示向量； ②坐标法：当已知向量的坐标a=(x1，y1)，b=(x2，y2)时，a·b=x1x2+y1y2. 反 思 感 悟 (2)利用向量数量积可以解决以下问题 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)， ①两向量垂直的等价条件 a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0(a，b均为非零向量)； ②求向量的模的问题 |a|=； ③两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π，a，b为非零向量) cos θ==. 　(1)若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足=+，则·的值为 A.- B.-2 C. D.2 跟踪训练 2 √ 21 因为=-=-， 所以·=(-)·(-) =· =· =-+·- =-×9+×3×3×cos 60°-×9=-2. 22 (2)已知平面向量a=(2，λ)，b=(1，-2)，c=(-1，μ)，若a∥b，b⊥c，则 a+b与b+c所成角的余弦值为　　　　.  23 因为a=(2，λ)，b=(1，-2)，c=(-1，μ)，a∥b，b⊥c， 所以=，1×(-1)+(-2)μ=0， 解得λ=-4，μ=-， 所以a=(2，-4)，c=， 所以a+b=(3，-6)，b+c=， 所以cos〈a+b，b+c〉===. 24 余弦定理、正弦定理 三 1.主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形，判断三角形的形状、求三角形的面积，以及余弦定理、正弦定理与三角恒等变换公式的综合应用. 2.借助解三角形，培养逻辑推理、数学运算素养. 26 在①b2+ac=a2+c2；②acos B=bsin A；③sin B+cos B=，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解决问题. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，　　　　，A=，b=，求△ABC的面积.  例 3 27 若选择条件①b2+ac=a2+c2， 则由余弦定理的推论，得cos B===， 因为B∈(0，π)，所以B=； 由正弦定理=，得a===， 因为A=，B=，所以C=π--=， 所以sin C=sin =sin=sin cos +cos sin =. 28 所以S△ABC=absin C=×××=. 若选择条件②acos B=bsin A， 则由正弦定理，得sin Acos B=sin Bsin A， 因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以sin B=cos B， 因为B∈(0，π)，所以B=. 下同①. 若选择条件③sin B+cos B=， 29 则sin=，所以sin=1， 因为B∈(0，π)，所以B+∈， 所以B+=，所以B=. 下同①. 30 反 思 感 悟 (1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a=2Rsin A，a2+b2-c2=2abcos C等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如在△ABC中，sin A=sin B⇔A=B；sin(A-B)=0⇔A=B；sin 2A=sin 2B ⇔A=B或A+B=等. (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A=，cos A =等，通过代数变换将角的关系化为边的关系. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin C =csin. (1)求A； 跟踪训练 3 32 由已知及正弦定理，得 sin Asin C=sin Csin ，又因为sin =sin =cos ， 所以sin Asin C=sin Ccos . 因为sin C≠0，所以sin A=cos ， 所以2sin cos =cos ， 因为0<<，所以cos ≠0， 所以sin ==，所以A=. 33 (2)已知b=1，c=3，且边BC上有一点D满足S△ABD=3S△ADC，求AD. 34 设∠BDA=α，则∠ADC=π-α， 在△ABC中，由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=12+32-6cos =7， 解得a=. 因为S△ABD=3S△ADC，所以BD=3DC=. 在△ABD中，由余弦定理，得9=+AD2-·AD·cos α， ① 在△ADC中，由余弦定理，得1=+AD2-·AD·cos(π-α)， ② 由①②解得AD=. 35 四 正弦、余弦定理在实际问题中的应用 1.余弦定理和正弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面.解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解.注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验. 2.将生活中的实际问题转化为三角形模型，提升逻辑推理和数学建模素养. 37 为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量.A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图).飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离.请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤. 例 4 38 ①需要测量的数据有：A点观测M，N的俯角α1，β1；B点观测M，N的俯角α2，β2；A，B间的距离d(如图所示). ②方法一　第一步：计算AM. 在△ABM中，由正弦定理，得AM=； 第二步：计算AN. 在△ABN中，由正弦定理，得AN=； 第三步：计算MN. 在△AMN中，由余弦定理，MN=. 39 方法二　第一步：计算BM. 在△ABM中，由正弦定理，得BM=； 第二步：计算BN. 在△ABN中，由正弦定理，得BN=； 第三步：计算MN. 在△BMN中，由余弦定理，得MN=. 40 反 思 感 悟 正弦、余弦定理在实际应用中应注意的问题 (1)分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图. (2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等. (3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形. (4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累. 　某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高. 跟踪训练 4 42 如图所示，设AE为塔，B为塔正东方向一点，沿南偏西60°的方向前进40 m到达C处， 即BC=40，∠CAB=135°，∠ABC=30°， ∠ACB=15°. 在△ABC中， =， 即=，解得AC=20. 过点A作AG⊥BC，垂足为G，连接EG，此时仰角∠AGE最大， 43 在△ABC中，由面积公式知×BC×AG=×AC×BC×sin∠ACB. ∴AG= =AC×sin∠ACB=20sin 15°=10(-1). 在Rt△AEG中，∵AE=AGtan∠AGE， ∴AE=10(-1)×=， 故塔高为 m. 44 第一章 <<< $$