第六章 6.4.3 第1课时 余弦定理-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（人教A版2019）

6.4.3　余弦定理、正弦定理 第1课时　余弦定理 ［学习目标］　1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.(重难点)3.能够利用余弦定理判断三角形的形状.(重点) 导语 千岛湖位于我国浙江省淳安县境内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名.现有三个岛屿A，B，C，岛屿A与B之间的距离因A，B之间有另一小岛而无法直接测量，但可测得AC，BC的距离分别为6 km和4 km，且AC，BC的夹角为120°，那么岛屿A，B间的距离如何计算呢？本节课我们就来学习一下！ 一、余弦定理的推导 问题1　在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c？ 提示　如图，设=a，=b，=c， 那么c=a-b， ① 我们的研究目标是用|a|，|b|和C表示|c|， 联想到数量积的性质c·c=|c|2， 可以考虑用向量c(即a-b)与其自身作数量积运算. 由①得|c|2=c·c=(a-b)·(a-b) =a·a+b·b-2a·b =a2+b2-2|a||b|cos C. 所以c2=a2+b2-2abcos C. 问题2　类比问题1的推理过程，请分别写出用b，c和A表示a以及用a，c和B表示b的相应的表达式. 提示　类比问题1的推理过程，同理可得a2=b2+c2-2bccos A， b2=c2+a2-2cacos B. 问题3　在问题2的探究成果中，若A=90°，公式会变成什么？你认为勾股定理和余弦定理有什么关系？ 提示　a2=b2+c2，即勾股定理，勾股定理是余弦定理的一个特例. 问题4　在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，请从问题1和问题2得到的三个表达式中推导出确定三个角余弦值的公式. 提示　cos A=， cos B=，cos C=. 知识梳理 1. 余弦 定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 a2=b2+c2-2bccos A， b2=c2+a2-2cacos B， c2=a2+b2-2abcos C 推论 cos A=， cos B=， cos C= 2.一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 注意点： (1)余弦定理及推论把用“边角边”和“边边边”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画. (2)余弦定理对任意三角形都成立. 二、已知两边及一角解三角形 例1　(1)一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是-，求三角形的另一边的长度； (2)在△ABC中，已知b=，c=，B=30°，解这个三角形. 解　(1)设a=5，b=3，cos C=-， 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=25+9+18=52，解得c=2， 所以三角形的另一边的长度是2. (2)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B， 得()2=a2+()2-2a××cos 30°， 即a2-3a+10=0，解得a=或a=2. 当a=时，A=30°，C=120°； 当a=2时，a2=20=b2+c2，所以该三角形为直角三角形，且A=90°，C=60°. 反思感悟　已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边. 跟踪训练1　(1)在△ABC中，C=，AB=7，BC=3，则AC等于(　　) A. B.5 C. D.6 答案　B 解析　由余弦定理得 72=AC2+32-2×3×AC·cos ， 即AC2+3AC-40=0， 解得AC=5或AC=-8(不符合题意，舍去)， 所以AC=5. (2)在△ABC中，BC=a，AC=b，且a+b=2，ab=2，2cos(A+B)=1，则C的大小为　　　　，AB=　　　　.  答案　　 解析　∵cos C=cos［π-(A+B)］=-cos(A+B)=-， 又∵C∈(0，π)，∴C=， 又∵a+b=2，ab=2， ∴AB2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-ab=10， ∴AB=. 三、已知三边解三角形 例2　在△ABC中，已知a=2，b=6+2，c=4，求A，B，C的大小. 解　根据余弦定理的推论，得cos A= ==. ∵A∈(0，π)，∴A=， cos C== =， ∵C∈(0，π)，∴C=. ∴B=π-A-C=π--=， ∴A=，B=，C=. 反思感悟　(1)已知三角形的三边解三角形的方法 ①利用余弦定理的推论求出三个角的余弦值，进而求出三个角.②先利用余弦定理的推论求出两个角的余弦值，进而确定两个角，再结合内角和定理，确定第三个角. (2)已知三边确定最大或最小的内角的理论依据是“大边对大角”，这一点在比较三角形内角的大小和判断三角形形状时比较有用. 跟踪训练2　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b+c=3，bc=，则cos A等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　cos A====. (2)在△ABC中，若a∶b∶c=2∶∶(+1)，则A=　　　　.  答案　45° 解析　由题意，可设a=2k，b=k，c=(+1)k，其中k>0.由余弦定理的推论得 cos A== =，而A为三角形的内角，故A=45°. 四、利用余弦定理判断三角形的形状 问题5　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A为直角，则a，b，c有什么大小关系？若角A为锐角呢？若角A为钝角呢？ 提示　A为直角⇔a2=b2+c2； A为锐角⇔b2+c2>a2； A为钝角⇔b2+c2<a2. 例3　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据条件，试判断△ABC的形状. (1)若B=60°，2b=a+c. (2)已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab，且2cos Asin B=sin C. 解　(1)在△ABC中，因为B=60°，b=， 由余弦定理，得b2=a2+c2-2accos B， 所以=a2+c2-2accos 60°， 整理，得(a-c)2=0，所以a=c. 又B=60°，所以a=b=c， 所以△ABC为等边三角形. (2)由2cos Asin B=sin C，得 2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B， 所以sin Acos B-cos Asin B=0， 所以sin(A-B)=0， 又A与B均为△ABC的内角，所以A=B. 由(a+b+c)(a+b-c)=3ab， 得(a+b)2-c2=3ab， 所以a2+b2-c2=ab， 所以由余弦定理的推论， 得cos C===，则C=60°， 所以A=B=60°，所以△ABC为等边三角形. 反思感悟　(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，常有两种方式：①先化边为角；②先化角为边. (2)①判断△ABC为锐角三角形时，有一个角为锐角，不能说明该三角形为锐角三角形，需要说明三个角均为锐角或最大角为锐角；②判断△ABC为钝角(或直角)三角形时，只要有一个角是钝角(或直角)即可. (3)统一成边或角的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解. (4)余弦定理的重要变形：a2+b2-c2=2abcos C；b2+c2-a2=2bccos A；a2+c2-b2=2accos B. 跟踪训练3　(1)在△ABC中，A=60°，a2=bc，则△ABC一定是(　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 答案　D 解析　在△ABC中，因为A=60°，a2=bc， 所以由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc，所以bc=b2+c2-bc，即(b-c)2=0，所以b=c，结合A=60°可得△ABC一定是等边三角形. (2)在△ABC中，若·+=0，则△ABC的形状一定是(　　) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 答案　B 解析　方法一　设△ABC中角A，B，C的对应边分别为a，b，c. 因为·+=0， 所以accos(π-B)+c2=0， 所以accos B=c2， 由余弦定理的推论可得ac×=c2， 所以b2+c2=a2， 所以△ABC是直角三角形. 方法二　因为·+=0， 则·(-)+=0， 即·=0，所以AB⊥AC，则△ABC是直角三角形. 1.知识清单： (1)余弦定理. (2)余弦定理解决的两类问题. (3)应用余弦定理判断三角形的形状. 2.方法归纳：转化化归、数形结合. 3.常见误区：易忽略三角形中的隐含条件. 1.一个三角形的两边长分别为4和6，它们夹角的余弦值是，则该三角形的第三条边长为(　　) A.8 B.2 C.6 D.4 答案　B 解析　设第三条边长为x， 则x2=42+62-2×4×6×=12， 解得x=2. 2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2-b2+c2=ac，则角B为(　　) A. B. C.或 D.或 答案　A 解析　∵a2-b2+c2=ac， ∴cos B===， 又B为△ABC的内角，∴B=. 3.在△ABC中，a=7，b=4，c=，则△ABC的最小角为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵c<b<a，∴C为最小角且C为锐角， 由余弦定理的推论，得cos C= ==. 又C为锐角，∴C=. 4.在△ABC中，若a=2，b+c=7，cos B=-，则b=　　　.  答案　4 解析　由余弦定理得b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×，解得b=4. 　　　　 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.在△ABC中，已知a=，c=2，cos A=，则b等于(　　) A. B. C.2 D.3 答案　D 解析　因为a=，c=2，cos A=， 所以由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A， 即5=b2+4-2b×2× ， 整理得3b2-8b-3=0，即(b-3)(3b+1)=0， 解得b=3或b=-(舍去). 2.在△ABC中，b=ccos A，则△ABC一定为(　　) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 答案　C 解析　∵b=ccos A，∴b=c·， ∴2b2=b2+c2-a2， ∴b2+a2=c2，故△ABC为直角三角形. 3.(多选)在△ABC中，已知A=30°，且3a=b=12，则c的值为(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 答案　BD 解析　由3a=b=12，得a=4，b=4，利用余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A，即16=48+c2-12c，解得c=4或c=8. 4.在△ABC中，已知b2=ac且c=2a，则cos B等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵b2=ac，c=2a，∴b2=2a2， ∴cos B===. 5.若△ABC的三条边长分别为5，7，8，则△ABC的最大角与最小角之和为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　不妨设a=5，b=7，c=8， 根据大边对大角可知，A<B<C. 由余弦定理的推论可得 cos B===， 又因为0<B<π，所以B=， 所以A+C=π-B=π-=， 所以△ABC的最大角与最小角之和为. 6.(多选)△ABC为钝角三角形，a=2，b=3，则边c的长度可以是(　　) A.2 B.3 C. D.4 答案　AD 解析　由三角形的边长能构成三角形，得1<c<5， 又因为a<b，所以△ABC的钝角可能为角B或角C， 则cos B==<0， 或cos C==<0， 所以4+c2-9<0或4+9-c2<0， 解得1<c<或<c<5，故选项A，D满足题意. 7.(5分)在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则A=　　　　，AC边上的高为　　　　.  答案　　 解析　由余弦定理的推论，可得 cos A===，又0<A<π，∴A=，∴sin A=. 则AC边上的高为h=ABsin A=3×=. 8.(5分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程x2-5x+2=0的两个根，C=60°，则c=　　　　.  答案　 解析　由题意得a+b=5，ab=2. 由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcos C =a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=52-3×2=19， 所以c=. 9.(10分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=3，b=，C=. (1)求c的值和cos B的值；(5分) (2)求sin的值.(5分) 解　(1)在△ABC中，a=3，b=，C=， 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=32+-2×3×cos=5，解得c=. 由余弦定理的推论，得cos B====. (2)∵B∈(0，π)，cos B=， ∴sin B==， ∴sin=sin Bcos+cos Bsin =. 10.(10分)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a∶b=6∶5，cos C=. (1)求cos A的值；(5分) (2)若线段AB上的一点D满足·=0，求cos∠DCB的值.(5分) 解　(1)由a∶b=6∶5， 可设a=6m，b=5m(m>0). 由余弦定理的推论得 cos C===， 可得c=7m(负值舍去). 在△ABC中，由余弦定理的推论得 cos A= ==. (2)由(1)及余弦定理的推论得 cos B== =.因为·=0，所以DC⊥DB， 所以∠DCB+∠B=， 所以cos∠DCB=cos=sin B ===. 11.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设该等腰三角形为△ABC，且A，B，C所对的边分别为a，b，c，顶角为C，周长为l， 因为l=5c，所以a=b=2c， 由余弦定理，得cos C===. 12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2=ac，若m=sin B+cos B，则实数m的取值范围为(　　) A.(，2］ B. C.［，2］ D. 答案　C 解析　由余弦定理的推论得 cos B== =≥=， 当且仅当a=c时取等号， ∵0<B<π，∴0<B≤， 由已知得m=sin B+cos B=2sin， ∵<B+≤， ∴≤m≤2，即实数m的取值范围为［，2］. 13.(5分)在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠BAD=60°，则cos∠BAC的值是　　　　.  答案　 解析　如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠BAD=60°， 在△ABC中，由余弦定理可得 AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos(180°-60°) =22+12-2×2×1×cos 120°=7， 即AC=，所以cos∠BAC= ==. 14.(5分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若A=B，b+acos C=c=1，则b=　　　　.  答案　 解析　∵A=B，∴a=b.又b+acos C=c=1， 由余弦定理的推论可得b+a·=c=1， 即b+b·=1，∴4b2-2b-1=0， 又b>0，解得b=. 15.(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是(　　) A.若a2+b2<c2，则C> B.若ab>c2，则C≥ C.若a3+b3=c3，则C< D.若a+b=2c，则C> 答案　AC 解析　由a2+b2<c2，可以得出cos C=<0， ∴C>，故A正确； 由ab>c2，得cos C=>=， 得0<C<，故B错误； 假设C≥， 则c>a，c>b，cos C=≤0， ∴c2≥a2+b2，即c3≥ca2+cb2>a3+b3， 与a3+b3=c3矛盾，∴C<，故C正确； 取a=b=c=2，满足a+b=2c，此时C=，故D错误. 16.(12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(2b-c)cos A=acos C. (1)求角A；(6分) (2)已知b+c=2，求△ABC的周长的取值范围.(6分) 解　(1)由(2b-c)cos A=acos C，可得2bcos A=acos C+ccos A. 由余弦定理的推论可得 ccos A+acos C=c·+a·=b， 所以2bcos A=b. 于是得cos A=，又0<A<π，所以A=. (2)在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A及A=， 可得a2=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc ≥(b+c)2-==1， 当且仅当b=c=1时，等号成立. 则a2≥1，即a≥1， 又a<b+c=2，于是得3≤a+b+c<4， 所以△ABC的周长的取值范围为［3，4). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 <<< 第1课时 余弦定理 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.(重难点) 3.能够利用余弦定理判断三角形的形状.(重点) 学习目标 千岛湖位于我国浙江省淳安县境内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名.现有三个岛屿A，B，C，岛屿A与B之间的距离因A，B之间有另一小岛而无法直接测量，但可测得AC，BC的距离分别为6 km和4 km，且AC，BC的夹角为120°，那么岛屿A，B间的距离如何计算呢？本节课我们就来学习一下！ 导 语 一、余弦定理的推导 二、已知两边及一角解三角形 课时对点练 三、已知三边解三角形 随堂演练 内容索引 四、利用余弦定理判断三角形的形状 一 余弦定理的推导 在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c？ 问题1 那么c=a-b， ① 我们的研究目标是用|a|，|b|和C表示|c|， 联想到数量积的性质c·c=|c|2， 可以考虑用向量c(即a-b)与其自身作数量积运算. 由①得|c|2=c·c=(a-b)·(a-b)=a·a+b·b-2a·b=a2+b2-2|a||b|cos C. 所以c2=a2+b2-2abcos C. 提示　如图，设=a，=b，=c， 类比问题1的推理过程，请分别写出用b，c和A表示a以及用a，c和B表示b的相应的表达式. 问题2 提示　类比问题1的推理过程，同理可得a2=b2+c2-2bccos A，b2=c2+a2-2cacos B. 在问题2的探究成果中，若A=90°，公式会变成什么？你认为勾股定理和余弦定理有什么关系？ 问题3 提示　a2=b2+c2，即勾股定理，勾股定理是余弦定理的一个特例. 在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，请从问题1和问题2得到的三个表达式中推导出确定三个角余弦值的公式. 问题4 提示　cos A=， cos B=，cos C=. 余弦 定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边__________减去这两边与它们夹角的________________ 公式 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 a2=________________， b2=________________， c2=_______________ 推论 cos A=__________， cos B=___________， cos C=___________ 平方的和 余弦的积的两倍 b2+c2-2bccos A c2+a2-2cacos B a2+b2-2abcos C 1. 知识梳理 2.一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. (1)余弦定理及推论把用“边角边”和“边边边”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画. (2)余弦定理对任意三角形都成立. 注 意 点 <<< 12 二 已知两边及一角解三角形 (1)一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是-，求三角形的另一边的长度； 例 1 设a=5，b=3，cos C=-， 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=25+9+18=52，解得c=2， 所以三角形的另一边的长度是2. 14 (2)在△ABC中，已知b=，c=，B=30°，解这个三角形. 由余弦定理b2=a2+c2-2accos B， 得()2=a2+()2-2a××cos 30°， 即a2-3a+10=0，解得a=或a=2. 当a=时，A=30°，C=120°； 当a=2时，a2=20=b2+c2，所以该三角形为直角三角形，且A=90°，C=60°. 15 反 思 感 悟 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边. 已知三角形的两边及一角解三角形的方法 　(1)在△ABC中，C=，AB=7，BC=3，则AC等于 A. B.5 C. D.6 跟踪训练 1 √ 由余弦定理得 72=AC2+32-2×3×AC·cos ， 即AC2+3AC-40=0， 解得AC=5或AC=-8(不符合题意，舍去)， 所以AC=5. 17 (2)在△ABC中，BC=a，AC=b，且a+b=2，ab=2，2cos(A+B)=1，则C 的大小为　　　，AB=　　　　.  ∵cos C=cos［π-(A+B)］=-cos(A+B)=-， 又∵C∈(0，π)，∴C=， 又∵a+b=2，ab=2， ∴AB2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-ab=10，∴AB=. 18 三 已知三边解三角形 　在△ABC中，已知a=2，b=6+2，c=4，求A，B，C的大小. 例 2 根据余弦定理的推论，得cos A===. ∵A∈(0，π)，∴A=， cos C===， ∵C∈(0，π)，∴C=.∴B=π-A-C=π--=， ∴A=，B=，C=. 20 反 思 感 悟 (1)已知三角形的三边解三角形的方法 ①利用余弦定理的推论求出三个角的余弦值，进而求出三个角.②先利用余弦定理的推论求出两个角的余弦值，进而确定两个角，再结合内角和定理，确定第三个角. (2)已知三边确定最大或最小的内角的理论依据是“大边对大角”，这一点在比较三角形内角的大小和判断三角形形状时比较有用. 　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b+c=3，bc=，则cos A等于 A. B. C. D. 跟踪训练 2 √ cos A====. 22 (2)在△ABC中，若a∶b∶c=2∶∶(+1)，则A=　　　　.  由题意，可设a=2k，b=k，c=(+1)k，其中k>0.由余弦定理的推论得 cos A===，而A为三角形的内角，故A=45°. 45° 23 四 利用余弦定理判断三角形的形状 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A为直角，则a，b，c有什么大小关系？若角A为锐角呢？若角A为钝角呢？ 问题5 提示　A为直角⇔a2=b2+c2； A为锐角⇔b2+c2>a2； A为钝角⇔b2+c2<a2. 　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据条件，试判断△ABC的形状. (1)若B=60°，2b=a+c. 例 3 在△ABC中，因为B=60°，b=， 由余弦定理，得b2=a2+c2-2accos B， 所以=a2+c2-2accos 60°， 整理，得(a-c)2=0，所以a=c. 又B=60°，所以a=b=c，所以△ABC为等边三角形. 26 (2)已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab，且2cos Asin B=sin C. 27 由2cos Asin B=sin C，得 2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B， 所以sin Acos B-cos Asin B=0， 所以sin(A-B)=0， 又A与B均为△ABC的内角，所以A=B. 由(a+b+c)(a+b-c)=3ab，得(a+b)2-c2=3ab， 所以a2+b2-c2=ab，所以由余弦定理的推论， 得cos C===，则C=60°， 所以A=B=60°，所以△ABC为等边三角形. 28 反 思 感 悟 (1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，常有两种方式：①先化边为角；②先化角为边. (2)①判断△ABC为锐角三角形时，有一个角为锐角，不能说明该三角形为锐角三角形，需要说明三个角均为锐角或最大角为锐角；②判断△ABC为钝角(或直角)三角形时，只要有一个角是钝角(或直角)即可. (3)统一成边或角的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解. (4)余弦定理的重要变形：a2+b2-c2=2abcos C；b2+c2-a2=2bccos A；a2+c2-b2=2accos B. 　(1)在△ABC中，A=60°，a2=bc，则△ABC一定是 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 跟踪训练 3 √ 在△ABC中，因为A=60°，a2=bc， 所以由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc，所以bc=b2+c2-bc，即(b-c)2=0，所以b=c，结合A=60°可得△ABC一定是等边三角形. 30 (2)在△ABC中，若·+=0，则△ABC的形状一定是 A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 √ 31 方法一　设△ABC中角A，B，C的对应边分别为a，b，c. 因为·+=0， 所以accos(π-B)+c2=0， 所以accos B=c2， 由余弦定理的推论可得ac×=c2， 所以b2+c2=a2， 所以△ABC是直角三角形. 32 方法二　因为·+=0， 则·(-)+=0， 即·=0，所以AB⊥AC，则△ABC是直角三角形. 33 1.知识清单： (1)余弦定理. (2)余弦定理解决的两类问题. (3)应用余弦定理判断三角形的形状. 2.方法归纳：转化化归、数形结合. 3.常见误区：易忽略三角形中的隐含条件. 课堂小结 34 随堂演练 五 1 2 3 4 1.一个三角形的两边长分别为4和6，它们夹角的余弦值是，则该三角形的第三条边长为 A.8 B.2 C.6 D.4 √ 1 2 3 4 设第三条边长为x， 则x2=42+62-2×4×6×=12， 解得x=2. 2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2-b2+c2=ac，则角B为 A. B. C.或 D.或 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 ∵a2-b2+c2=ac， ∴cos B===， 又B为△ABC的内角，∴B=. 3.在△ABC中，a=7，b=4，c=，则△ABC的最小角为 A. B. C. D. 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 ∵c<b<a，∴C为最小角且C为锐角， 由余弦定理的推论，得cos C===. 又C为锐角，∴C=. 4.在△ABC中，若a=2，b+c=7，cos B=-，则b=　　　.  1 2 3 4 由余弦定理得b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×，解得b=4. 课时对点练 六 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C BD B B AD 　 题号 11 12 13 14 　15 答案 D C AC 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (1)在△ABC中，a=3，b=，C=， 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=32+-2×3×cos=5，解得c=. 由余弦定理的推论，得cos B====. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (2)∵B∈(0，π)，cos B=， ∴sin B==， ∴sin=sin Bcos+cos Bsin =. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)由a∶b=6∶5， 可设a=6m，b=5m(m>0). 由余弦定理的推论得 cos C===， 可得c=7m(负值舍去). 在△ABC中，由余弦定理的推论得 cos A===. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (2)由(1)及余弦定理的推论得 cos B===. 因为·=0， 所以DC⊥DB， 所以∠DCB+∠B=， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以cos∠DCB=cos=sin B===. 16. (1)由(2b-c)cos A=acos C，可得2bcos A=acos C+ccos A. 由余弦定理的推论可得 ccos A+acos C=c·+a·=b， 所以2bcos A=b. 于是得cos A=， 又0<A<π，所以A=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (2)在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A及A=， 可得a2=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc ≥(b+c)2-==1， 当且仅当b=c=1时，等号成立. 则a2≥1，即a≥1， 又a<b+c=2，于是得3≤a+b+c<4， 所以△ABC的周长的取值范围为［3，4). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.在△ABC中，已知a=，c=2，cos A=，则b等于 A. B. C.2 D.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础巩固 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a=，c=2，cos A=， 所以由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A， 即5=b2+4-2b×2× ， 整理得3b2-8b-3=0，即(b-3)(3b+1)=0， 解得b=3或b=-(舍去). 答案 2.在△ABC中，b=ccos A，则△ABC一定为 A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 ∵b=ccos A，∴b=c·， ∴2b2=b2+c2-a2， ∴b2+a2=c2，故△ABC为直角三角形. 答案 3.(多选)在△ABC中，已知A=30°，且3a=b=12，则c的值为 A.2 B.4 C.6 D.8 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由3a=b=12，得a=4，b=4，利用余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A，即16=48+c2-12c，解得c=4或c=8. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.在△ABC中，已知b2=ac且c=2a，则cos B等于 A. B. C. D. √ 16 ∵b2=ac，c=2a，∴b2=2a2， ∴cos B===. 答案 5.若△ABC的三条边长分别为5，7，8，则△ABC的最大角与最小角之和为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 不妨设a=5，b=7，c=8， 根据大边对大角可知，A<B<C. 由余弦定理的推论可得 cos B===， 又因为0<B<π，所以B=， 所以A+C=π-B=π-=， 所以△ABC的最大角与最小角之和为. 答案 6.(多选)△ABC为钝角三角形，a=2，b=3，则边c的长度可以是 A.2 B.3 C. D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由三角形的边长能构成三角形，得1<c<5， 又因为a<b，所以△ABC的钝角可能为角B或角C， 则cos B==<0， 或cos C==<0， 所以4+c2-9<0或4+9-c2<0， 解得1<c<<c<5，故选项A，D满足题意. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则A=　　　，AC边上的高 为　　　　.  由余弦定理的推论，可得 cos A===，又0<A<π，∴A=，∴sin A=. 则AC边上的高为h=ABsin A=3×=. 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程x2-5x+2=0的两个根，C=60°，则c=　　　　.  16 由题意得a+b=5，ab=2. 由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcos C =a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=52-3×2=19， 所以c=. 答案 61 9.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=3，b=，C=. (1)求c的值和cos B的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在△ABC中，a=3，b=，C=， 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=32+-2×3×cos=5，解得c=. 由余弦定理的推论，得cos B====. 答案 (2)求sin的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵B∈(0，π)，cos B=， ∴sin B==， ∴sin=sin Bcos+cos Bsin =. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a∶b=6∶5， cos C=. (1)求cos A的值； 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由a∶b=6∶5， 可设a=6m，b=5m(m>0). 由余弦定理的推论得 cos C===， 可得c=7m(负值舍去). 在△ABC中，由余弦定理的推论得 cos A===. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若线段AB上的一点D满足·=0，求cos∠DCB的值. 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)及余弦定理的推论得 cos B== =.因为·=0，所以DC⊥DB， 所以∠DCB+∠B=， 所以cos∠DCB=cos=sin B===. 答案 11.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 综合运用 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设该等腰三角形为△ABC，且A，B，C所对的边分别为a，b，c，顶角为C，周长为l， 因为l=5c，所以a=b=2c， 由余弦定理，得cos C===. 答案 12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2=ac，若m=sin B +cos B，则实数m的取值范围为 A.(，2］ B. C.［，2］ D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由余弦定理的推论得 cos B===≥=， 当且仅当a=c时取等号， ∵0<B<π，∴0<B≤， 由已知得m=sin B+cos B=2sin， ∵<B+≤， ∴≤m≤2，即实数m的取值范围为［，2］. 答案 13.在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠BAD=60°，则cos∠BAC的 值是　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠BAD=60°， 在△ABC中，由余弦定理可得 AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos(180°-60°) =22+12-2×2×1×cos 120°=7， 即AC=，所以cos∠BAC= ==. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若A=B，b+acos C =c=1，则b=　　　　.  16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵A=B，∴a=b.又b+acos C=c=1， 由余弦定理的推论可得b+a·=c=1， 即b+b·=1，∴4b2-2b-1=0， 又b>0，解得b=. 答案 15.(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是 A.若a2+b2<c2，则C> B.若ab>c2，则C≥ C.若a3+b3=c3，则C< D.若a+b=2c，则C> 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 √ 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由a2+b2<c2，可以得出cos C=<0， ∴C>，故A正确； 由ab>c2，得cos C=>=， 得0<C<，故B错误； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 假设C≥， 则c>a，c>b，cos C=≤0， ∴c2≥a2+b2，即c3≥ca2+cb2>a3+b3， 与a3+b3=c3矛盾，∴C<，故C正确； 取a=b=c=2，满足a+b=2c，此时C=，故D错误. 答案 16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(2b-c)cos A=acos C. (1)求角A； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(2b-c)cos A=acos C，可得2bcos A=acos C+ccos A. 由余弦定理的推论可得 ccos A+acos C=c·+a·=b， 所以2bcos A=b. 于是得cos A=，又0<A<π，所以A=. 答案 (2)已知b+c=2，求△ABC的周长的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A及A=， 可得a2=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc ≥(b+c)2-==1， 当且仅当b=c=1时，等号成立. 则a2≥1，即a≥1， 又a<b+c=2，于是得3≤a+b+c<4， 所以△ABC的周长的取值范围为［3，4). 答案 第一章 <<< $$