第六章 6.4.1 平面几何中的向量方法-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（人教A版2019）

第六章 <<< 6.4.1 平面几何中的向量方法 1.能用向量方法解决简单的几何问题.(重难点) 2.体会向量在解决数学问题中的作用. 学习目标 向量集“数”与“形”于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，用它研究问题可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量是几何研究的一个有效工具. 导 语 一、利用向量证明平面几何问题 二、利用平面向量求几何中的长度问题 课时对点练 三、利用平面向量求几何中的角度问题 随堂演练 内容索引 一 利用向量证明平面几何问题 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 例 1 6 方法一　设=a，=b， 则|a|=|b|，a·b=0. 又=+=-a+， =+=b+， 所以·=· =--a·b+=-|a|2+|b|2=0. 故⊥，即AF⊥DE. 7 方法二　如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)， 则=(2，1)，=(1，-2). 因为·=(2，1)·(1，-2) =2-2=0， 所以⊥，即AF⊥DE. 8 (1)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” ①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. ②通过向量运算，研究几何元素之间的关系. ③把运算结果“翻译”成几何关系. 上述过程，可以简单表述为“形到向量→向量的运算→向量和数到形”. (2)向量运算有两种思路 ①基底法：先选取基底，再用基底表示相关向量，进行运算. ②坐标法：先建立平面直角坐标系，再写出各点和相关向量的坐标，从而进行运算. 反 思 感 悟 9 如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且==.求证：点E，O，F在同一直线上. 跟踪训练 1 10 设=m，=n， 由==，知E，F分别是CD，AB的三等分点， 所以=+=+=-(m+n)=n， =+=+=(m+n)-n. 所以=.又点O为的公共点，故点E，O，F在同一直线上. 11 二 利用平面向量求几何中的长度问题 如图所示，在矩形ABCD中，AB=，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，求ED的长. 例 2 13 以A为坐标原点，以AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0，)，C(3，)，D(3，0)，=(3，)， 设=λ，则点E的坐标为(3λ，λ)， 故=(3λ，λ-). 因为BE⊥AC，所以·=0， 即9λ+3λ-3=0，解得λ=，所以E， 故=，||=，即ED的长为. 14 反 思 感 悟 用向量法解决长度问题时，如果题目中能找到两条已知夹角和长度的线段，则可以选为基底，从而应用公式|a|2=a2求解；如果题目中能求出a的坐标(x，y)，则利用|a|=求解. 　如图，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB=3，BC=，CD=2，且·=-6，则梯形ABCD的周长为　　　　　　.  跟踪训练 2 5++ 16 因为+++=0， 所以+=-(+)， 所以=. 又因为·=-6，·=3×2×cos 180°=-6， 所以+=+， 则32+22=7+AD2，解得AD=， 故梯形ABCD的周长为5++. 17 三 利用平面向量求几何中的角度问题 求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值. 例 3 19 如图，分别以等腰直角三角形的两直角边所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 设A(2a，0)，B(0，2a)， 则D(a，0)，C(0，a)， 所以=(-2a，a)，=(a，-2a)， 不妨设的夹角为θ， 则cos θ====-， 即所求钝角余弦值为-. 20 反 思 感 悟 (1)用向量法求角度(或余弦值)时，首先要将所求的角转化为两向量的夹角，再使用基底法或坐标法求出该夹角的余弦值，再转化为实际问题中的角即可. (2)要注意两向量的夹角和要求角的关系. 　如图，在平面直角坐标系中，O是原点.已知点A(16，12)，B(-5，15)，则∠OAB=　　　　.  跟踪训练 3 45° 22 由=(16，12)，=(-5-16，15-12)=(-21，3)， 得||==20，||==15. 其中·=-·=-(16，12)·(-21，3)=-［16×(-21)+12×3］=300， 故cos∠OAB=cos〈〉===.又0°<∠OAB<180°， 所以∠OAB=45°. 23 1.知识清单： (1)利用向量证明平面几何问题. (2)利用平面向量求几何中的长度、角度问题. 2.方法归纳：转化法、数形结合法. 3.常见误区：不能将几何问题转化为向量问题. 课堂小结 24 随堂演练 四 1 2 3 4 1.在△ABC中，若(+)·(-)=0，则△ABC A.是正三角形 B.是直角三角形 C.是等腰三角形 D.形状无法确定 √ ∵(+)·(-)=-=0，即||=||，∴CA=CB，则△ABC是等腰三角形. 2.已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为 A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 ∵=(3，3)，=(-2，-2)， ∴=-，∴共线. 又||≠||，∴该四边形为梯形. 3.已知||=2，||=2，向量，的夹角为30°，则以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线中，较短一条的长度为 A.10 B. C.2 D.22 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 以OA，OB为邻边的平行四边形的对角线长为|+|与|-|. 因为|+|== ===2， |-|== ==2， 1 2 3 4 所以以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线中，较短一条的长度为2. 4.在Rt△ABC中，斜边BC的长为2，O是平面ABC内一点，点P满足=++)，则||=　　　.  1 2 3 4 1 1 2 3 4 ∵=++)， ∴-=+)， 即=+)， ∴AP为Rt△ABC斜边BC上的中线. ∴||=||=1. 课时对点练 五 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B AB C AC - 题号 11 12 13 14 　15 答案 C C 10-4 ABD 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 设=a，=b，=e， =c，=d，则a=e+c，b=e+d， 所以a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d-d2， 由条件知，a2-b2=c2-d2， 所以e·c=e·d，即e·(c-d)=0，即·=0， 所以AD⊥BC. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)由=λ， 得-=λ， 解得=λ+(1-λ)， 又=x+y， 则x=λ，y=1-λ，故x-y=2λ-1. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 如图所示， 则A(0，1)，B(，0)，设F(x，y)，y∈［0，1］， 可得=(x，y-1)，=(x-，y)， 由A，F，B三点共线，可得xy-(x-)(y-1)=0，即x=(1-y)， 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 代入整理得·=(x，y)·(-x，1-y)=-x2-y2+y=-3(1-y)2-y2+y =-4y2+7y-3=-4+，y∈［0，1］， 由函数图象的性质知，当y=时，·=-4+取得最大值，最大值为， 当y=0时，·=-4+取得最小值，最小值为-3， 故·的取值范围为. 16. (1)由题意得，=(x+1，y)，=(x，y-1)，所以·=x(x+1)+y(y-1) =x2+x+y2-y， 因为点P(x，y)在直线y=x-1上， 所以·=2x2-2x+2. (2)因为·=·=2x2-2x+2=2(x2-x+1)=2>0， 所以cos〈，〉=>0， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 若A，P，B三点在一条直线上，则∥， 得到(x+1)(x-2)-(x-1)x=0，方程无解，所以∠APB≠0，所以∠APB恒为锐角. (3)因为四边形ABPQ为菱形， 所以||=||， 即=， 化简得到x2-2x+1=0，所以x=1，所以P(1，0)，设Q(a，b)， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 因为=， 所以(a-1，b)=(-1，-1)， 所以 ·=(0，-2)·(1，-1)=2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.在四边形ABCD中，若+=0，·=0，则四边形ABCD为 A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础巩固 √ 由+=0，得=-=，∴四边形ABCD为平行四边形.由·=0知，对角线互相垂直，故四边形ABCD为菱形. 16 答案 2.在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E，F分别为BC，CD的中点，则(+)·等于 A.- B. C.0 D.-6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，以A为坐标原点，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，D(0，1)，C(2，1). ∴=(-2，1)， ∵E，F分别为BC，CD的中点， ∴E，F(1，1)， ∴+=， ∴(+)·=3×(-2)+×1=-. 答案 3.已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，若++=，则点P与△ABC的位置关系是 A.P在AB边上 B.P在AC边上 C.P在BC边上 D.P在△ABC内部 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 根据题意可知，若++=++=-， 变形可得=-2，则点P在AC边上. 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.(多选)已知△ABC是边长为2的等边三角形，且向量a，b，满足=2a，=2a+b，则下列结论正确的是 A.|b|=2 B.|a|=1 C.a∥b D.(4a+b)∥ √ 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为=-=(2a+b)-2a=b，所以|b|=2，故A正确； 因为|2a|=2|a|=2，所以|a|=1，故B正确； 因为=2a，=b，不共线，所以a与b不共线，故C错误； 设BC的中点为D，连接AD(图略)，则+=2，即2=4a+b，显然不共线，故4a+b与不共线，故D错误. 16 答案 5.在四边形ABCD中，若=(1，2)，=(-4，2)，则该四边形的面积为 A. B.2 C.5 D.10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ ∵=(1，2)，=(-4，2)，·=0， ∴四边形ABCD的对角线互相垂直， 又||=，||=2， ∴该四边形的面积为||||=××2=5. 16 答案 6.(多选)如图，已知长方形ABCD中，AB=3，AD=1，=λ(0<λ<1)，则 A.|+|的最小值为2 B.当λ=时，与夹角的余弦值为 C.当λ=时，=+ D.对任意的λ∈(0，1)，·的取值范围为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，以A为坐标原点，分别以向量的方向为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(3，0)，C(3，1)，E(3λ，1). 对于A，显然+=(3λ，1)+(3λ-3，1)=(6λ-3，2)， 则|+|=， 当6λ-3=0，即λ=时，|+|取得最小值2，A正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于B，当λ=时，E(1，1)，=(-1，-1)， =(2，-1)， ==-，B错误； 对于C，当λ=时，E(2，1)，+=·(2，1)+·(-1，1)=(0，1)，又=(0，1)，C正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于D，·=(-3λ，-1)·(3-3λ，-1)=9-， 当λ=·取得最小值-， 当λ=0或1时，·的值为1， 所以对任意的λ∈(0，1)，·，D错误. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.已知A，B是圆心为C，半径为的圆上的两点，且AB=，则·=　　　　.  由弦长AB=，可知∠ACB=60°， 故·=-·=-||||cos∠ACB=-. - 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.若平面向量，满足||=1，||≤1，且以OA，OB为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角θ的取值范围是　　　　　.  16 以OA，OB为邻边的平行四边形的面积为S=||||sin θ=||sin θ=， 所以sin θ=， 又因为||≤1，所以≥， 即sin θ≥且θ∈(0，π)，所以θ∈. 答案 55 9.如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2，求证：AD⊥BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设=a，=b，=e，=c，=d，则a=e+c，b=e+d， 所以a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d-d2， 由条件知，a2-b2=c2-d2， 所以e·c=e·d，即e·(c-d)=0，即·=0， 所以AD⊥BC. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.已知在△ABC中，C=90°，AB=2，AC=1，D是线段BC上一点，且=λ，F是线段AB上的一个动点. (1)若=x+y，求x-y(用λ的式子表示)； 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由=λ， 得-=λ， 解得=λ+(1-λ)， 又=x+y， 则x=λ，y=1-λ，故x-y=2λ-1. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求·的取值范围. 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则A(0，1)，B(，0)，设F(x，y)，y∈［0，1］， 可得=(x，y-1)，=(x-，y)， 由A，F，B三点共线，可得xy-(x-)(y-1)=0， 即x=(1-y)， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 代入整理得·=(x，y)·(-x，1-y) =-x2-y2+y=-3(1-y)2-y2+y =-4y2+7y-3=-4+，y∈［0，1］， 由函数图象的性质知，当y=·=-4+ ， 当y=0时，·=-4+取得最小值，最小值为-3， 故·. 答案 11.在△ABC中，AB=AC=2，点M满足+2=0，若·=，则BC的长为 A.1 B. C.2 D.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 综合运用 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 取BC的中点O，连接AO，如图所示. ∵+2=0，即=2， ∴M为BC边上靠近C的三等分点， ∵AB=AC，∴AO⊥BC， ∴·=0，又=， ∴·=·(+)=·+·=·==， 解得||=2，即BC的长为2. 答案 12.已知O，N，P在△ABC所在平面内，满足||=||=||，++=0，且·=·=·，则点O，N，P依次是△ABC的 A.重心，外心，垂心 B.重心，外心，内心 C.外心，重心，垂心 D.外心，重心，内心 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由||=||=||知点O到A，B，C三点的距离相等，所以O为△ABC的外心.由++=0，知+=.设AB的中点为D，则+=2=， 所以点N在△ABC的中线CD上，且2ND=CN，所以N为△ABC的重心. 由·=··(-)=0，即·=0， 所以PB⊥CA， 同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，所以P为△ABC的垂心. 答案 13.如图，A，B是半径为1的圆O上的两点，且∠AOB=.若C是圆O上的任意一点，则·的 最大值为　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为·=·=·-·， ·=cos∠AOB=1×1×=， ·=cos∠AOC=cos∠AOC， 所以·=cos∠AOC-， 即当cos∠AOC取最大值时，·取得最大值. 当同向时，cos∠AOC取得最大值为1， 此时·. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛.如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形.已知A，B两点间的距离为2，点P为上的一点，则·(+)的最小值为　　　　　.  16 10-4 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设D为BC的中点，连接AD，如图，设E为AD的中点，连接DP，PE，CE， 则·(+)=2·=2(+)·(+) =2(+)·(-)=2(-)， 在正三角形ABC中， AD===， 所以AE=DE=， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以·(+)=2=2-， 因为CE===， 所以||min=2-=2-， 所以·(+)的最小值为 2|-=2×-=10-4. 答案 15.(多选)已知△ABC的外心是O，其外接圆半径为1，设=λ+μ，则下列论述正确的是 A.若λ=-1，μ=0，则△ABC为直角三角形 B.若λ=μ=-1，则△ABC为正三角形 C.当λ=μ=1时，·= D.若λ=-1，μ=-，则△ABC为顶角为30°的等腰三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 √ 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 若λ=-1，μ=0，则=-，所以O是AB的中点，又O是△ABC的外心，从而△ABC为直角三角形，故A正确； 若λ=μ=-1，则=--++=0，所以O是△ABC的重心，又O是△ABC的外心，从而△ABC为等边三角形，故B正确； 易知||=||=||=1，当λ=μ=1时，OA是以OB和OC为邻边的平行四边形的对角线，所以△AOB和△AOC都是等边三角形，故∠BAC=120°，△ABC是顶角为120°的等腰三角形，·=-，故C错误； 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若λ=-1，μ=-=--+=-. 如图，取AB的中点D，则+=2，从而2=-，所以O是中线CD上一点，又因为O是△ABC的外心，即O是△ABC垂直平分线的交点，所以CD⊥AB，从而△ABC是等腰三角形. 由+=-， 两边平方得++2·=3. (*) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为===1且·=cos∠AOB =cos∠AOB， 所以(*)式化为cos∠AOB=，所以∠AOB=60°， 由圆周角是圆心角的一半可得∠ACB=30°，即△ABC为顶角为30°的等腰三角形，故D正确. 答案 16.已知点A(-1，0)，B(0，1)，点P(x，y)为一次函数y=x-1图象上的一个动点. (1)用含x的代数式表示·； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得，=(x+1，y)，=(x，y-1)， 所以·=x(x+1)+y(y-1)=x2+x+y2-y， 因为点P(x，y)在直线y=x-1上， 所以·=2x2-2x+2. 答案 (2)求证：∠APB恒为锐角； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为·=·=2x2-2x+2=2(x2-x+1)=2>0， 所以cos〈〉=>0， 若A，P，B三点在一条直线上，则∥， 得到(x+1)(x-2)-(x-1)x=0，方程无解，所以∠APB≠0，所以∠APB恒为锐角. 答案 (3)若四边形ABPQ为菱形，求·的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为四边形ABPQ为菱形， 所以||=||，即=， 化简得到x2-2x+1=0，所以x=1，所以P(1，0)，设Q(a，b)，因为=， 所以(a-1，b)=(-1，-1)， 所以 ·=(0，-2)·(1，-1)=2. 答案 第一章 <<< $$ 6.4.1　平面几何中的向量方法 ［学习目标］　1.能用向量方法解决简单的几何问题.(重难点)2.体会向量在解决数学问题中的作用. 导语 向量集“数”与“形”于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，用它研究问题可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量是几何研究的一个有效工具. 一、利用向量证明平面几何问题 例1　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 证明　方法一　设=a，=b， 则|a|=|b|，a·b=0. 又=+=-a+， =+=b+， 所以·=· =--a·b+=-|a|2+|b|2=0. 故⊥，即AF⊥DE. 方法二　如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)， 则=(2，1)，=(1，-2). 因为·=(2，1)·(1，-2) =2-2=0， 所以⊥，即AF⊥DE. 反思感悟　(1)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” ①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. ②通过向量运算，研究几何元素之间的关系. ③把运算结果“翻译”成几何关系. 上述过程，可以简单表述为“形到向量→向量的运算→向量和数到形”. (2)向量运算有两种思路 ①基底法：先选取基底，再用基底表示相关向量，进行运算. ②坐标法：先建立平面直角坐标系，再写出各点和相关向量的坐标，从而进行运算. 跟踪训练1　如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且==.求证：点E，O，F在同一直线上. 证明　设=m，=n， 由==，知E，F分别是CD，AB的三等分点，所以=+=+ =-(m+n)=n， =+=+ =(m+n)-n. 所以=.又点O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上. 二、利用平面向量求几何中的长度问题 例2　如图所示，在矩形ABCD中，AB=，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，求ED的长. 解　以A为坐标原点，以AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0，)，C(3，)，D(3，0)，=(3，)， 设=λ，则点E的坐标为(3λ，λ)， 故=(3λ，λ-). 因为BE⊥AC，所以·=0， 即9λ+3λ-3=0， 解得λ=，所以E， 故=，||=， 即ED的长为. 反思感悟　用向量法解决长度问题时，如果题目中能找到两条已知夹角和长度的线段，则可以选为基底，从而应用公式|a|2=a2求解；如果题目中能求出a的坐标(x，y)，则利用|a|=求解. 跟踪训练2　如图，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB=3，BC=，CD=2，且·=-6，则梯形ABCD的周长为　　　　.  答案　5++ 解析　因为+++=0， 所以+=-(+)， 所以=. 又因为·=-6，·=3×2×cos 180°=-6， 所以+=+， 则32+22=7+AD2，解得AD=， 故梯形ABCD的周长为5++. 三、利用平面向量求几何中的角度问题 例3　求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值. 解　如图，分别以等腰直角三角形的两直角边所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 设A(2a，0)，B(0，2a)， 则D(a，0)，C(0，a)， 所以=(-2a，a)，=(a，-2a)， 不妨设，的夹角为θ， 则cos θ== ==-， 即所求钝角余弦值为-. 反思感悟　(1)用向量法求角度(或余弦值)时，首先要将所求的角转化为两向量的夹角，再使用基底法或坐标法求出该夹角的余弦值，再转化为实际问题中的角即可. (2)要注意两向量的夹角和要求角的关系. 跟踪训练3　如图，在平面直角坐标系中，O是原点.已知点A(16，12)，B(-5，15)，则∠OAB=　　　　.  答案　45° 解析　由=(16，12)，=(-5-16，15-12)=(-21，3)， 得||==20，||==15. 其中·=-·=-(16，12)·(-21，3)=-［16×(-21)+12×3］=300， 故cos∠OAB=cos〈，〉===.又0°<∠OAB<180°， 所以∠OAB=45°. 1.知识清单： (1)利用向量证明平面几何问题. (2)利用平面向量求几何中的长度、角度问题. 2.方法归纳：转化法、数形结合法. 3.常见误区：不能将几何问题转化为向量问题. 1.在△ABC中，若(+)·(-)=0，则△ABC(　　) A.是正三角形 B.是直角三角形 C.是等腰三角形 D.形状无法确定 答案　C 解析　∵(+)·(-)=-=0，即||=||，∴CA=CB，则△ABC是等腰三角形. 2.已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为(　　) A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 答案　A 解析　∵=(3，3)，=(-2，-2)， ∴=-，∴与共线. 又||≠||，∴该四边形为梯形. 3.已知||=2，||=2，向量，的夹角为30°，则以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线中，较短一条的长度为(　　) A.10 B. C.2 D.22 答案　C 解析　以OA，OB为邻边的平行四边形的对角线长为|+|与|-|. 因为|+|= = ===2， |-|= = ==2， 所以以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线中，较短一条的长度为2. 4.在Rt△ABC中，斜边BC的长为2，O是平面ABC内一点，点P满足=++)，则||=　　　　.  答案　1 解析　∵=++)， ∴-=+)， 即=+)， ∴AP为Rt△ABC斜边BC上的中线. ∴||=||=1. 　　　　 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.在四边形ABCD中，若+=0，·=0，则四边形ABCD为(　　) A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 答案　D 解析　由+=0，得=-=，∴四边形ABCD为平行四边形.由·=0知，对角线互相垂直，故四边形ABCD为菱形. 2.在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E，F分别为BC，CD的中点，则(+)·等于(　　) A.- B. C.0 D.-6 答案　A 解析　如图，以A为坐标原点，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，D(0，1)，C(2，1). ∴=(-2，1)， ∵E，F分别为BC，CD的中点， ∴E，F(1，1)， ∴+=， ∴(+)·=3×(-2)+×1=-. 3.已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，若++=，则点P与△ABC的位置关系是(　　) A.P在AB边上 B.P在AC边上 C.P在BC边上 D.P在△ABC内部 答案　B 解析　根据题意可知，若++=，必有++=-， 变形可得=-2，则点P在AC边上. 4.(多选)已知△ABC是边长为2的等边三角形，且向量a，b，满足=2a，=2a+b，则下列结论正确的是(　　) A.|b|=2 B.|a|=1 C.a∥b D.(4a+b)∥ 答案　AB 解析　因为=-=(2a+b)-2a=b，所以|b|=2，故A正确； 因为|2a|=2|a|=2，所以|a|=1，故B正确； 因为=2a，=b，与不共线，所以a与b不共线，故C错误； 设BC的中点为D，连接AD(图略)，则+=2，即2=4a+b，显然与不共线，故4a+b与不共线，故D错误. 5.在四边形ABCD中，若=(1，2)，=(-4，2)，则该四边形的面积为(　　) A. B.2 C.5 D.10 答案　C 解析　∵=(1，2)，=(-4，2)，·=0， ∴四边形ABCD的对角线互相垂直， 又||=，||=2， ∴该四边形的面积为||||=××2=5. 6.(多选)如图，已知长方形ABCD中，AB=3，AD=1，=λ(0<λ<1)，则(　　) A.|+|的最小值为2 B.当λ=时，与夹角的余弦值为 C.当λ=时，=+ D.对任意的λ∈(0，1)，·的取值范围为 答案　AC 解析　如图，以A为坐标原点，分别以向量，的方向为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(3，0)，C(3，1)，E(3λ，1). 对于A，显然+=(3λ，1)+(3λ-3，1)=(6λ-3，2)， 则|+|=， 当6λ-3=0，即λ=时，|+|取得最小值2，A正确； 对于B，当λ=时，E(1，1)，=(-1，-1)，=(2，-1)， 与夹角的余弦值为==-，B错误； 对于C，当λ=时，E(2，1)，+=·(2，1)+·(-1，1)=(0，1)，又=(0，1)，C正确； 对于D，·=(-3λ，-1)·(3-3λ，-1)=9-， 当λ=时，·取得最小值-， 当λ=0或1时，·的值为1， 所以对任意的λ∈(0，1)，·的取值范围为，D错误. 7.(5分)已知A，B是圆心为C，半径为的圆上的两点，且AB=，则·=　　　　.  答案　- 解析　由弦长AB=，可知∠ACB=60°，故·=-·=-||||cos∠ACB=-. 8.(5分)若平面向量，满足||=1，||≤1，且以OA，OB为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角θ的取值范围是　　　　.  答案　 解析　以OA，OB为邻边的平行四边形的面积为S=||||sin θ=||sin θ=， 所以sin θ=， 又因为||≤1，所以≥， 即sin θ≥且θ∈(0，π)，所以θ∈. 9.(10分)如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2，求证：AD⊥BC. 证明　设=a，=b，=e，=c，=d，则a=e+c，b=e+d， 所以a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d-d2， 由条件知，a2-b2=c2-d2， 所以e·c=e·d，即e·(c-d)=0，即·=0， 所以AD⊥BC. 10.(10分)已知在△ABC中，C=90°，AB=2，AC=1，D是线段BC上一点，且=λ，F是线段AB上的一个动点. (1)若=x+y，求x-y(用λ的式子表示)；(4分) (2)求·的取值范围.(6分) 解　(1)由=λ， 得-=λ， 解得=λ+(1-λ)， 又=x+y， 则x=λ，y=1-λ，故x-y=2λ-1. (2)以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则A(0，1)，B(，0)，设F(x，y)，y∈［0，1］， 可得=(x，y-1)，=(x-，y)， 由A，F，B三点共线，可得xy-(x-)(y-1)=0，即x=(1-y)， 代入整理得·=(x，y)·(-x，1-y) =-x2-y2+y=-3(1-y)2-y2+y =-4y2+7y-3=-4+，y∈［0，1］， 由函数图象的性质知，当y=时，·=-4+取得最大值，最大值为， 当y=0时，·=-4+取得最小值，最小值为-3， 故·的取值范围为. 11.在△ABC中，AB=AC=2，点M满足+2=0，若·=，则BC的长为(　　) A.1 B. C.2 D.3 答案　C 解析　取BC的中点O，连接AO，如图所示. ∵+2=0，即=2， ∴M为BC边上靠近C的三等分点， ∵AB=AC，∴AO⊥BC， ∴·=0，又=， ∴·=·(+)=·+·=·==， 解得||=2，即BC的长为2. 12.已知O，N，P在△ABC所在平面内，满足||=||=||，++=0，且·=·=·，则点O，N，P依次是△ABC的(　　) A.重心，外心，垂心 B.重心，外心，内心 C.外心，重心，垂心 D.外心，重心，内心 答案　C 解析　由||=||=||知点O到A，B，C三点的距离相等，所以O为△ABC的外心.由++=0，知+=.设AB的中点为D，则+=2=， 所以点N在△ABC的中线CD上，且2ND=CN，所以N为△ABC的重心. 由·=·，得·(-)=0，即·=0， 所以PB⊥CA， 同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，所以P为△ABC的垂心. 13.(5分)如图，A，B是半径为1的圆O上的两点，且∠AOB=.若C是圆O上的任意一点，则·的最大值为　　　　　. 答案　 解析　因为·=·=·-·， ·=cos∠AOB =1×1×=， ·=cos∠AOC=cos∠AOC， 所以·=cos∠AOC-， 即当cos∠AOC取最大值时，·取得最大值. 当与同向时，cos∠AOC取得最大值为1， 此时·取得最大值. 14.(5分)莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛.如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形.已知A，B两点间的距离为2，点P为上的一点，则·(+)的最小值为　　　　.  答案　10-4 解析　设D为BC的中点，连接AD，如图，设E为AD的中点，连接DP，PE，CE， 则·(+) =2· =2(+)·(+) =2(+)·(-) =2(-)， 在正三角形ABC中， AD===， 所以AE=DE=， 所以·(+)=2=2-， 因为CE===， 所以||min=2-=2-， 所以·(+)的最小值为 2|-=2×-=10-4. 15.(多选)已知△ABC的外心是O，其外接圆半径为1，设=λ+μ，则下列论述正确的是(　　) A.若λ=-1，μ=0，则△ABC为直角三角形 B.若λ=μ=-1，则△ABC为正三角形 C.当λ=μ=1时，·= D.若λ=-1，μ=-，则△ABC为顶角为30°的等腰三角形 答案　ABD 解析　若λ=-1，μ=0，则=-，所以O是AB的中点，又O是△ABC的外心，从而△ABC为直角三角形，故A正确； 若λ=μ=-1，则=--，即++=0，所以O是△ABC的重心，又O是△ABC的外心，从而△ABC为等边三角形，故B正确； 易知||=||=||=1，当λ=μ=1时，OA是以OB和OC为邻边的平行四边形的对角线，所以△AOB和△AOC都是等边三角形，故∠BAC=120°，△ABC是顶角为120°的等腰三角形，·=-，故C错误； 若λ=-1，μ=-，则=--，即+=-. 如图，取AB的中点D，则+=2，从而2=-，所以O是中线CD上一点，又因为O是△ABC的外心，即O是△ABC垂直平分线的交点，所以CD⊥AB，从而△ABC是等腰三角形. 由+=-， 两边平方得++2·=3.(*) 因为===1且·=cos∠AOB=cos∠AOB， 所以(*)式化为cos∠AOB=，所以∠AOB=60°， 由圆周角是圆心角的一半可得∠ACB=30°，即△ABC为顶角为30°的等腰三角形，故D正确. 16.(12分)已知点A(-1，0)，B(0，1)，点P(x，y)为一次函数y=x-1图象上的一个动点. (1)用含x的代数式表示·；(3分) (2)求证：∠APB恒为锐角；(4分) (3)若四边形ABPQ为菱形，求·的值.(5分) (1)解　由题意得，=(x+1，y)，=(x，y-1)，所以·=x(x+1)+y(y-1)=x2+x+y2-y， 因为点P(x，y)在直线y=x-1上， 所以·=2x2-2x+2. (2)证明　因为·=· =2x2-2x+2=2(x2-x+1) =2>0， 所以cos〈，〉=>0， 若A，P，B三点在一条直线上，则∥， 得到(x+1)(x-2)-(x-1)x=0，方程无解，所以∠APB≠0，所以∠APB恒为锐角. (3)解　因为四边形ABPQ为菱形， 所以||=||，即=， 化简得到x2-2x+1=0，所以x=1，所以P(1，0)，设Q(a，b)，因为=， 所以(a-1，b)=(-1，-1)， 所以 ·=(0，-2)·(1，-1)=2. 学科网（北京）股份有限公司 $$