第六章 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（人教A版2019）

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 ［学习目标］　1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算.(重点)2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题.(难点) 导语 同学们，前面我们学习了平面向量数量积及其性质，我们也学会了用“坐标语言”去描述向量的加法、减法、数乘运算，那么，我们能否用坐标去表示两向量的数量积呢？ 一、平面向量数量积的坐标表示 问题1　在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？若设非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，你能给出a·b的值吗？ 提示　根据向量数量积的定义，易得i·i=1，j·j=1，i·j=0. ∵a=x1i+y1j，b=x2i+y2j， ∴a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j) =x1x2i2+x1y2i·j+x2y1j·i+y1y2j2 =x1x2+y1y2. 知识梳理 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)， 则a·b=x1x2+y1y2. 例1　若向量m=(2，-1)，n=(3，2)，则(2m+3n)·(m-n)等于(　　) A.-25 B.25 C.-19 D.19 答案　A 解析　方法一　因为向量m=(2，-1)， n=(3，2)， 所以2m+3n=(4，-2)+(9，6)=(13，4)，m-n=(-1，-3)， 所以(2m+3n)·(m-n)=(13，4)·(-1，-3)=13×(-1)+4×(-3)=-25. 方法二　因为向量m=(2，-1)，n=(3，2)， 所以m2=5，m·n=4，n2=13， (2m+3n)·(m-n) =2m2+m·n-3n2 =2×5+4-3×13=-25. 反思感悟　(1)已知向量的坐标进行数量积运算时，要正确使用公式a·b=x1x2+y1y2. (2)在运算的过程中，我们可以有两种方式，一种是先把各向量用坐标表示出来，再进行数量积的运算；另一种是先利用数量积的运算律将原式展开，再用坐标逐个计算其中的未知量. (3)常用的运算律有： ①(a+b)·(a-b)=a2-b2； ②(a±b)2=a2±2a·b+b2. 跟踪训练1　已知平面上三点A(2，1)，B(4，2)，C(0，1)，则·的值为(　　) A.2 B.-2 C.4 D.-4 答案　D 解析　∵=(2，1)，=(-2，0)，∴·=2×(-2)+1×0=-4. 二、平面向量的模 问题2　若已知a=(x1，y1)，试计算a2和|a|2的值. 提示　a2=a·a=x1x1+y1y1=|a|2. 知识梳理 1.若a=(x，y)，则|a|2=x2+y2或|a|=. 2.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么a=(x2-x1，y2-y1)，|a|=. 例2　(1)已知向量a=(2，m)，b=(3，6)，若|3a+b|=|3a-b|，则实数m的值为(　　) A.1 B.-1 C.4 D.-4 答案　B 解析　方法一　已知向量a=(2，m)，b=(3，6)， 则3a+b=(9，3m+6)，3a-b=(3，3m-6)， 由|3a+b|=|3a-b|可得=，解得m=-1. 方法二　∵|3a+b|=|3a-b|， ∴(3a+b)2=(3a-b)2， 即9a2+6a·b+b2=9a2-6a·b+b2， ∴12a·b=0，即a·b=0， ∴2×3+6m=0，m=-1. (2)已知向量a=(2，4)，b=(1，n)，若a∥b，则|3a-nb|等于(　　) A.4 B.12 C.8 D. 答案　A 解析　因为向量a=(2，4)，b=(1，n)，且a∥b， 所以2n=1×4，解得n=2， 所以3a-nb=3(2，4)-2(1，2)=(4，8)， 所以|3a-nb|==4. 反思感悟　求向量a=(x，y)的模的常见思路及方法 求模问题一般转化为求模的平方，即a2=|a|2=x2+y2，求模时，勿忘记开方. 跟踪训练2　若向量a=(2x-1，3-x)，b=(1-x，2x-1)，则|a-b|的最小值为　　　　　　.  答案　 解析　∵a=(2x-1，3-x)，b=(1-x，2x-1)， ∴a-b=(2x-1，3-x)-(1-x，2x-1)=(3x-2，4-3x)， ∴|a-b|= ==， ∴当x=1时，|a-b|取最小值为. 三、平面向量的夹角、垂直问题 知识梳理 设a，b都是非零向量，a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，θ是a与b的夹角. (1)cos θ==. (2)a⊥b⇔x1x2+y1y2=0. 注意点： (1)两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆. (2)两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角，两向量夹角的余弦值小于0的夹角不一定是钝角. 例3　(1)已知a=(4，3)，b=(-1，2). ①求a与b夹角的余弦值； ②若(a-λb)⊥(2a+b)，求实数λ的值. 解　①设a与b的夹角为θ，因为a·b=4×(-1)+3×2=2，|a|==5，|b|==， 所以cos θ===. ②因为a-λb=(4+λ，3-2λ)，2a+b=(7，8)， 且(a-λb)⊥(2a+b)， 所以7(4+λ)+8(3-2λ)=0，解得λ=. (2)已知向量a=(-2，1)，b=(1，k)，且a与b的夹角为钝角，则实数k的取值范围是　　　　.  答案　∪ 解析　当a与b共线时，-2k-1=0，解得k=-，此时a与b反向，夹角为180°，要使a与b的夹角为钝角， 则有a·b<0，且a与b不反向，即k≠-. 由a·b=-2+k<0得k<2， 所以实数k的取值范围是∪. 反思感悟　解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法：由cos θ==直接求出cos θ. (2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ=判断θ的值时，要注意当cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；当cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 跟踪训练3　(1)已知向量a=(1，)，b=(3，m).若向量a，b的夹角为，则实数m等于(　　) A.2 B. C.0 D.- 答案　B 解析　因为a=(1，)，b=(3，m).所以|a|=2，|b|=，a·b=3+m， 又a，b的夹角为，所以=cos ，即=，所以+m=，解得m=. (2)若平面向量a=(1，x)，b=(2x+3，-x)，且a⊥b，则|a-b|=　　　　.  答案　10或2 解析　∵a⊥b，∴a·b=0，即2x+3-x2=0， ∴x=-1或3. 又∵a=(1，x)，b=(2x+3，-x)， ∴a-b=(-2x-2，2x)， 当x=-1时，a-b=(0，-2)， ∴|a-b|=2；当x=3时，a-b=(-8，6)， ∴|a-b|==10. 1.知识清单： (1)平面向量数量积的坐标表示. (2)|a|=. (3)a⊥b⇔x1x2+y1y2=0(a，b为非零向量). (4)cos θ==(θ为非零向量a，b的夹角). 2.方法归纳：化归与转化. 3.常见误区：两向量夹角的余弦公式易记错. 1.已知a=(-5，5)，b=(0，-3)，则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　∵|a|=5，|b|=3，a·b=-15， ∴==- . 又∵a与b的夹角范围为［0，π］， ∴a与b的夹角为. 2.已知向量a=(1，n)，b=(-1，n)，若2a-b与b垂直，则|a|等于(　　) A.1 B. C.2 D.4 答案　C 解析　∵2a-b与b垂直， ∴(2a-b)·b=2a·b-|b|2 =2(-1+n2)-(1+n2)=n2-3=0， 即n2=3，则|a|==2. 3.已知向量a，b，c，其中a+b=0，且a+c=b，a-c=(3，-3)，则a·b等于(　　) A.- B. C.-2 D.2 答案　C 解析　设a=(x，y)， 由a+b=0，得b=(-x，-y). 因为a+c=b，则c=(-2x，-2y)， 所以a-c=(3x，3y)=(3，-3)， 故x=1，y=-1. 所以a=(1，-1)，b=(-1，1)， 故a·b=1×(-1)+(-1)×1=-2. 4.(2024·新课标全国Ⅰ)已知向量a=(0，1)，b=(2，x)，若b⊥(b-4a)，则x等于(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 答案　D 解析　因为b⊥(b-4a)， 所以b·(b-4a)=0， 所以b2-4a·b=0， 即4+x2-4x=0，解得x=2. 　　　　 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共24分 1.若a=(-1，2)，b=(2，3)，则(2a-b)·b等于(　　) A.-5 B.5 C.-6 D.6 答案　A 解析　因为a=(-1，2)，b=(2，3)， 所以(2a-b)·b=(-4，1)·(2，3)=-4×2+1×3=-5. 2.已知向量a=(1，-2)，b=(x，4)，且a∥b，则|a-b|等于(　　) A.5 B.3 C.2 D.2 答案　B 解析　∵a∥b，∴1×4-(-2)×x=0， ∴x=-2，即b=(-2，4)， ∴a-b=(1-(-2)，-2-4)=(3，-6)， ∴|a-b|==3. 3.已知向量a=(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b=，则b等于(　　) A. B. C. D.(1，0) 答案　B 解析　设b=(x，y)， 则a·b=x+y=. 由题意得 解得或 因为b是不平行于x轴的单位向量， 所以b=. 4.(多选)已知向量a+b=(1，1)，a-b=(-3，1)，c=(1，1)，设a，b的夹角为θ，则(　　) A.|a|=|b| B.a⊥c C.b∥c D.θ=135° 答案　BD 解析　根据题意知，a+b=(1，1)，a-b=(-3，1)， 则a=(-1，1)，b=(2，0)， 对于A，|a|=，|b|=2，则|a|=|b|不成立，A错误； 对于B，a=(-1，1)，c=(1，1)，则a·c=0，即a⊥c，B正确； 对于C，b=(2，0)，c=(1，1)，b∥c不成立，C错误； 对于D，a=(-1，1)，b=(2，0)，则a·b=-2，|a|=，|b|=2，则cos θ==-，又0°≤θ≤180°，所以θ=135°，D正确. 5.平面向量a与b的夹角为60°，a=(2，0)，|b|=1，则|a+2b|等于(　　) A. B.2 C.4 D.12 答案　B 解析　∵a=(2，0)，|b|=1， ∴|a|=2，a·b=|a||b|cos 60°=2×1×cos 60°=1. ∴|a+2b|==2. 6.(多选)在△ABC中，=(2，3)，=(1，k)，若△ABC是直角三角形，则k的值可能为(　　) A.- B. C. D. 答案　ABC 解析　∵=(2，3)，=(1，k)， ∴=-=(-1，k-3). 若∠A=90°，则·=2×1+3×k=0， 解得k=-； 若∠B=90°，则·=2×(-1)+3(k-3)=0， 解得k=； 若∠C=90°，则·=1×(-1)+k(k-3)=0， 解得k=. 故所求k的值为-或或. 7.(5分)已知向量a=(m，3)，b=(1，m+1).若a⊥b，则m=　　　　.  答案　- 解析　∵a⊥b，∴a·b=m+3(m+1)=4m+3=0，解得m=-. 8.(5分)已知点O为平面直角坐标系的原点，=(-3，1)，=(0，4)，且∥，⊥，则||=　　　　.  答案　 解析　设C(x，y)，则=(x+3，y-1)，=(x，y-4)，=(3，3)， ∵∥，⊥， ∴4(x+3)=0，·=3x+3(y-4)=0， 解得x=-3，y=7. 则点C的坐标为(-3，7)，||==. 9.(10分)已知向量a与b同向，b=(1，2)，a·b=10，求： (1)向量a的坐标；(5分) (2)若c=(2，1)，求(a·c)b.(5分) 解　(1)因为a与b同向，且b=(1，2)， 所以可设a=λb=(λ，2λ)(λ>0). 又因为a·b=10，所以λ+4λ=10， 解得λ=2，所以a=(2，4). (2)因为a·c=2×2+4×1=8， 所以(a·c)b=(8，16). 10.(10分)已知向量a=(1，2)，b=(x，1). (1)若(a+2b)⊥(2a-b)，求x的值；(5分) (2)若向量a与向量b的夹角为锐角，求x的取值范围.(5分) 解　(1)因为向量a=(1，2)，b=(x，1)， 所以a+2b=(1，2)+2(x，1)=(2x+1，4)，2a-b=2(1，2)-(x，1)=(2-x，3)， 因为(a+2b)⊥(2a-b)， 所以(a+2b)·(2a-b)=0， 所以(2x+1)(2-x)+4×3=0， 即2x2-3x-14=0， 解得x=-2或x=. (2)因为向量a与向量b的夹角为锐角， 所以a·b>0，且向量a与向量b不共线， 所以 解得x>-2且x≠， 所以x的取值范围为∪. 11.已知向量a=(-2，m)，b=(1，-2)，c=(m+1，5)，若a⊥b，则a与b+c的夹角为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵a=(-2，m)，b=(1，-2)，a⊥b， ∴a·b=-2-2m=0，解得m=-1. ∴a=(-2，-1)，c=(m+1，5)=(0，5)， b+c=(1，3). 设a与b+c的夹角为θ， 则cos θ===-， 又θ∈［0，π］，故θ=. 12.如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴正半轴、y轴正半轴上移动.若||=a，·≤2，则a的最大值是(　　) A.1 B. C.2 D.3 答案　A 解析　设∠DAO=α，所以B(asin α+acos α，acos α)，C(asin α，asin α+acos α)， 所以· =asin α(asin α+acos α)+acos α(asin α+acos α) =a2(sin α+cos α)2=a2(1+sin 2α)≤2， 即a2≤=1， 当且仅当α=时取等号，所以a的最大值是1. 13.(多选)已知向量a=(，1)，b=(cos θ，sin θ)(0≤θ≤π)，则下列命题正确的是(　　) A.若a⊥b，则tan θ= B.若b在a上的投影向量为-a，则向量a与b的夹角为 C.若cos〈a，b〉=，则θ= D.存在θ，使得|a+b|=|a|+|b| 答案　BD 解析　向量a=(，1)， b=(cos θ，sin θ)(0≤θ≤π)， 对于A，因为a⊥b， 所以cos θ+sin θ=0， 所以tan θ=-，故选项A错误； 对于B，因为b在a上的投影向量为-a，即|b|cos〈a，b〉=-|a|， 所以cos〈a，b〉=-|a|， 又|b|==1， |a|==， 所以cos〈a，b〉=-×=-， 因为a与b的夹角范围为［0，π］， 所以向量a与b的夹角为，故选项B正确； 对于C，若cos〈a，b〉=， 则a·b=1=cos θ+sin θ， 结合cos θ与sin θ的平方关系可解得cos θ=0或cos θ=，故选项C错误； 对于D，当cos θ=，sin θ=时， a=b，此时向量a与b同向共线，满足|a+b|=|a|+|b|， 所以存在θ，使得|a+b|=|a|+|b|，故选项D正确. 14.(5分)已知向量a，b满足|a|=1，b=(-1，)，|2a-b|=2，则a，b的夹角为 　　　　.  答案　 解析　由|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=12， 而|a|=1，|b|==2， 所以8-8cos〈a，b〉=12， 可得cos〈a，b〉=-， 又〈a，b〉∈［0，π］，所以〈a，b〉=. 15.(多选)定义一种向量运算“⊗”：a⊗b= (a，b是任意的两个向量).对于同一平面内的向量a，b，c，e，则下列结论一定正确的有(　　) A.a⊗b=b⊗a B.λ(a⊗b)=(λa)⊗b(λ∈R) C.(a+b)⊗c=a⊗c+b⊗c D.若e是单位向量，则|a⊗e|≤|a|+1 答案　AD 解析　当a，b不共线时，a⊗b=a·b=b·a=b⊗a，当a，b共线时，a⊗b=|a-b|=|b-a|=b⊗a，故A正确； 当λ=0，b≠0时，λ(a⊗b)=0，(λa)⊗b=|0-b|≠0，故B错误； 当a+b与c共线时，则存在a，b与c不共线，(a+b)⊗c=|a+b-c|，a⊗c+b⊗c=a·c+b·c，显然|a+b-c|≠a·c+b·c，故C错误； 当e与a不共线时，|a⊗e|=|a·e|<|a|·|e|=|a|<|a|+1，当e与a共线时，设a=ue(u∈R)，则|a|=|ue|=|u|，|a⊗e|=|a-e|=|ue-e|=|u-1|≤|u|+1=|a|+1，故D正确. 16.(11分)已知向量=(6，1)，=(x，y)，=(-2，-3). (1)若∥，求x与y之间的关系式；(5分) (2)在(1)的条件下，若⊥，求x，y的值及四边形ABCD的面积.(6分) 解　(1)∵=++=(x+4，y-2)， ∴=-=(-x-4，2-y). 又∥，且=(x，y)， ∴x(2-y)-y(-x-4)=0， 即x+2y=0. (2)=+=(x+6，y+1)， =+=(x-2，y-3). ∵⊥，∴·=0， 即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0. 由(1)知x+2y=0，与上式联立， 化简得y2-2y-3=0， 解得y=3或y=-1. 当y=3时，x=-6， 此时=(0，4)，=(-8，0)， ∴S四边形ABCD=||·||=16； 当y=-1时，x=2， 此时=(8，0)，=(0，-4)； ∴S四边形ABCD=||·||=16. 综上，四边形ABCD的面积为16. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 <<< 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算.(重点) 2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题.(难点) 学习目标 同学们，前面我们学习了平面向量数量积及其性质，我们也学会了用“坐标语言”去描述向量的加法、减法、数乘运算，那么，我们能否用坐标去表示两向量的数量积呢？ 导 语 一、平面向量数量积的坐标表示 二、平面向量的模 课时对点练 三、平面向量的夹角、垂直问题 随堂演练 内容索引 一 平面向量数量积的坐标表示 在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？若设非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，你能给出a·b的值吗？ 问题1 提示　根据向量数量积的定义，易得i·i=1，j·j=1，i·j=0. ∵a=x1i+y1j，b=x2i+y2j， ∴a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1j·i+y1y2j2=x1x2+y1y2. 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)， 则a·b= . x1x2+y1y2 知识梳理 　若向量m=(2，-1)，n=(3，2)，则(2m+3n)·(m-n)等于 A.-25 B.25 C.-19 D.19 例 1 √ 方法一　因为向量m=(2，-1)， n=(3，2)， 所以2m+3n=(4，-2)+(9，6)=(13，4)，m-n=(-1，-3)， 所以(2m+3n)·(m-n)=(13，4)·(-1，-3)=13×(-1)+4×(-3)=-25. 方法二　因为向量m=(2，-1)，n=(3，2)， 所以m2=5，m·n=4，n2=13， (2m+3n)·(m-n)=2m2+m·n-3n2=2×5+4-3×13=-25. 8 (1)已知向量的坐标进行数量积运算时，要正确使用公式a·b=x1x2+y1y2. (2)在运算的过程中，我们可以有两种方式，一种是先把各向量用坐标表示出来，再进行数量积的运算；另一种是先利用数量积的运算律将原式展开，再用坐标逐个计算其中的未知量. (3)常用的运算律有： ①(a+b)·(a-b)=a2-b2； ②(a±b)2=a2±2a·b+b2. 反 思 感 悟 9 　已知平面上三点A(2，1)，B(4，2)，C(0，1)，则·的值为 A.2 B.-2 C.4 D.-4 跟踪训练 1 √ ∵=(2，1)，=(-2，0)， ∴·=2×(-2)+1×0=-4. 10 二 平面向量的模 若已知a=(x1，y1)，试计算a2和|a|2的值. 问题2 提示　a2=a·a=x1x1+y1y1=|a|2. 1.若a=(x，y)，则|a|2= 或|a|=___________. 2.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么a=(x2-x1，y2-y1)，|a|=________________________. x2+y2 知识梳理 　(1)已知向量a=(2，m)，b=(3，6)，若|3a+b|=|3a-b|，则实数m的值为 A.1 B.-1 C.4 D.-4 例 2 方法一　已知向量a=(2，m)，b=(3，6)， 则3a+b=(9，3m+6)，3a-b=(3，3m-6)， 由|3a+b|=|3a-b|可得=，解得m=-1. 方法二　∵|3a+b|=|3a-b|， ∴(3a+b)2=(3a-b)2， 即9a2+6a·b+b2=9a2-6a·b+b2， ∴12a·b=0，即a·b=0，∴2×3+6m=0，m=-1. √ 14 (2)已知向量a=(2，4)，b=(1，n)，若a∥b，则|3a-nb|等于 A.4 B.12 C.8 D. √ 因为向量a=(2，4)，b=(1，n)，且a∥b， 所以2n=1×4，解得n=2， 所以3a-nb=3(2，4)-2(1，2)=(4，8)， 所以|3a-nb|==4. 15 反 思 感 悟 求向量a=(x，y)的模的常见思路及方法 求模问题一般转化为求模的平方，即a2=|a|2=x2+y2，求模时，勿忘记开方. 若向量a=(2x-1，3-x)，b=(1-x，2x-1)，则|a-b|的最小值为　　. 跟踪训练 2 17 ∵a=(2x-1，3-x)，b=(1-x，2x-1)， ∴a-b=(2x-1，3-x)-(1-x，2x-1)=(3x-2，4-3x)， ∴|a-b|===， ∴当x=1时，|a-b|取最小值为. 18 三 平面向量的夹角、垂直问题 设a，b都是非零向量，a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，θ是a与b的夹角. (1)cos θ==___________________. (2)a⊥b⇔___________________. x1x2+y1y2=0 知识梳理 (1)两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆. (2)两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角，两向量夹角的余弦值小于0的夹角不一定是钝角. 注 意 点 <<< 21 　(1)已知a=(4，3)，b=(-1，2). ①求a与b夹角的余弦值； 例 3 设a与b的夹角为θ，因为a·b=4×(-1)+3×2=2，|a|==5，|b|==， 所以cos θ===. 22 ②若(a-λb)⊥(2a+b)，求实数λ的值. 因为a-λb=(4+λ，3-2λ)，2a+b=(7，8)， 且(a-λb)⊥(2a+b)， 所以7(4+λ)+8(3-2λ)=0，解得λ=. 23 (2)已知向量a=(-2，1)，b=(1，k)，且a与b的夹角为钝角，则实数k的取 值范围是　　　　　　　　　　　.  ∪ 当a与b共线时，-2k-1=0，解得k=-，此时a与b反向，夹角为180°，要使a与b的夹角为钝角， 则有a·b<0，且a与b不反向，即k≠-. 由a·b=-2+k<0得k<2， 所以实数k的取值范围是∪. 24 反 思 感 悟 (1)求解方法：由cos θ==直接求出cos θ. (2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ=判断θ的值时，要注意当cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；当cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 解决向量夹角问题的方法及注意事项 　(1)已知向量a=(1，)，b=(3，m).若向量a，b的夹角为，则实数m等于 A.2 B. C.0 D.- 跟踪训练 3 √ 26 因为a=(1，)，b=(3，m).所以|a|=2，|b|=，a·b=3+m， 又a，b的夹角为=cos =+m=，解得m=. 27 (2)若平面向量a=(1，x)，b=(2x+3，-x)，且a⊥b，则|a-b|=　　　　.  10或2 ∵a⊥b，∴a·b=0，即2x+3-x2=0， ∴x=-1或3. 又∵a=(1，x)，b=(2x+3，-x)， ∴a-b=(-2x-2，2x)， 当x=-1时，a-b=(0，-2)， ∴|a-b|=2；当x=3时，a-b=(-8，6)，∴|a-b|==10. 28 1.知识清单： (1)平面向量数量积的坐标表示. (2)|a|=. (3)a⊥b⇔x1x2+y1y2=0(a，b为非零向量). (4)cos θ==(θ为非零向量a，b的夹角). 2.方法归纳：化归与转化. 3.常见误区：两向量夹角的余弦公式易记错. 课堂小结 29 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知a=(-5，5)，b=(0，-3)，则a与b的夹角为 A. B. C. D. √ ∵|a|=5，|b|=3，a·b=-15， ∴==- . 又∵a与b的夹角范围为［0，π］， ∴a与b的夹角为. 2.已知向量a=(1，n)，b=(-1，n)，若2a-b与b垂直，则|a|等于 A.1 B. C.2 D.4 1 2 3 4 √ ∵2a-b与b垂直， ∴(2a-b)·b=2a·b-|b|2=2(-1+n2)-(1+n2)=n2-3=0， 即n2=3，则|a|==2. 3.已知向量a，b，c，其中a+b=0，且a+c=b，a-c=(3，-3)，则a·b等于 A.- B. C.-2 D.2 1 2 3 4 设a=(x，y)， 由a+b=0，得b=(-x，-y). 因为a+c=b，则c=(-2x，-2y)， 所以a-c=(3x，3y)=(3，-3)， 故x=1，y=-1. 所以a=(1，-1)，b=(-1，1)，故a·b=1×(-1)+(-1)×1=-2. √ 4.(2024·新课标全国Ⅰ)已知向量a=(0，1)，b=(2，x)，若b⊥(b-4a)，则x等于 A.-2 B.-1 C.1 D.2 1 2 3 4 √ 因为b⊥(b-4a)， 所以b·(b-4a)=0， 所以b2-4a·b=0， 即4+x2-4x=0，解得x=2. 课时对点练 五 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B B BD B ABC - 题号 11 12 13 14 　15 答案 B A BD AD 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (1)因为a与b同向，且b=(1，2)， 所以可设a=λb=(λ，2λ)(λ>0). 又因为a·b=10，所以λ+4λ=10， 解得λ=2，所以a=(2，4). (2)因为a·c=2×2+4×1=8， 所以(a·c)b=(8，16). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)因为向量a=(1，2)，b=(x，1)， 所以a+2b=(1，2)+2(x，1)=(2x+1，4)， 2a-b=2(1，2)-(x，1)=(2-x，3)， 因为(a+2b)⊥(2a-b)， 所以(a+2b)·(2a-b)=0， 所以(2x+1)(2-x)+4×3=0， 即2x2-3x-14=0，解得x=-2或x=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (2)因为向量a与向量b的夹角为锐角， 所以a·b>0，且向量a与向量b不共线， 所以 解得x>-2且x≠， 所以x的取值范围为∪. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)∵=++=(x+4，y-2)， ∴=-=(-x-4，2-y). 又∥，且=(x，y)， ∴x(2-y)-y(-x-4)=0， 即x+2y=0. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (2)=+=(x+6，y+1)， =+=(x-2，y-3). ∵⊥，∴·=0， 即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0. 由(1)知x+2y=0，与上式联立， 化简得y2-2y-3=0， 解得y=3或y=-1. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 当y=3时，x=-6， 此时=(0，4)，=(-8，0)， ∴S四边形ABCD=||·||=16； 当y=-1时，x=2， 此时=(8，0)，=(0，-4)； ∴S四边形ABCD=||·||=16. 综上，四边形ABCD的面积为16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.若a=(-1，2)，b=(2，3)，则(2a-b)·b等于 A.-5 B.5 C.-6 D.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础巩固 √ 因为a=(-1，2)，b=(2，3)， 所以(2a-b)·b=(-4，1)·(2，3)=-4×2+1×3=-5. 16 答案 2.已知向量a=(1，-2)，b=(x，4)，且a∥b，则|a-b|等于 A.5 B.3 C.2 D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 ∵a∥b，∴1×4-(-2)×x=0， ∴x=-2，即b=(-2，4)， ∴a-b=(1-(-2)，-2-4)=(3，-6)， ∴|a-b|==3. 答案 3.已知向量a=(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b=，则b等于 A. B. C. D.(1，0) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设b=(x，y)， 则a·b=x+y=. 由题意得解得 因为b是不平行于x轴的单位向量，所以b=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.(多选)已知向量a+b=(1，1)，a-b=(-3，1)，c=(1，1)，设a，b的夹角为θ，则 A.|a|=|b| B.a⊥c C.b∥c D.θ=135° √ 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 根据题意知，a+b=(1，1)，a-b=(-3，1)， 则a=(-1，1)，b=(2，0)， 对于A，|a|=，|b|=2，则|a|=|b|不成立，A错误； 对于B，a=(-1，1)，c=(1，1)，则a·c=0，即a⊥c，B正确； 对于C，b=(2，0)，c=(1，1)，b∥c不成立，C错误； 对于D，a=(-1，1)，b=(2，0)，则a·b=-2，|a|=，|b|=2，则cos θ ==-，又0°≤θ≤180°，所以θ=135°，D正确. 16 答案 5.平面向量a与b的夹角为60°，a=(2，0)，|b|=1，则|a+2b|等于 A. B.2 C.4 D.12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ ∵a=(2，0)，|b|=1， ∴|a|=2，a·b=|a||b|cos 60°=2×1×cos 60°=1. ∴|a+2b|==2. 16 答案 6.(多选)在△ABC中，=(2，3)，=(1，k)，若△ABC是直角三角形，则k的值可能为 A.- B.C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∵=(2，3)，=(1，k)， ∴=-=(-1，k-3). 若∠A=90°，则·=2×1+3×k=0，解得k=-； 若∠B=90°，则·=2×(-1)+3(k-3)=0，解得k=； 若∠C=90°，则·=1×(-1)+k(k-3)=0，解得k=. 故所求k的值为-. 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.已知向量a=(m，3)，b=(1，m+1).若a⊥b，则m=　　　　.  ∵a⊥b，∴a·b=m+3(m+1)=4m+3=0，解得m=-. - 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.已知点O为平面直角坐标系的原点，=(-3，1)，=(0，4)，且∥，⊥，则||=　　　.  16 设C(x，y)，则=(x+3，y-1)，=(x，y-4)，=(3，3)， ∵∥⊥， ∴4(x+3)=0，·=3x+3(y-4)=0， 解得x=-3，y=7. 则点C的坐标为(-3，7)，||==. 答案 53 9.已知向量a与b同向，b=(1，2)，a·b=10，求： (1)向量a的坐标； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为a与b同向，且b=(1，2)， 所以可设a=λb=(λ，2λ)(λ>0). 又因为a·b=10，所以λ+4λ=10， 解得λ=2，所以a=(2，4). 16 答案 (2)若c=(2，1)，求(a·c)b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为a·c=2×2+4×1=8， 所以(a·c)b=(8，16). 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.已知向量a=(1，2)，b=(x，1). (1)若(a+2b)⊥(2a-b)，求x的值； 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为向量a=(1，2)，b=(x，1)， 所以a+2b=(1，2)+2(x，1)=(2x+1，4)，2a-b=2(1，2)-(x，1)=(2-x，3)， 因为(a+2b)⊥(2a-b)， 所以(a+2b)·(2a-b)=0， 所以(2x+1)(2-x)+4×3=0， 即2x2-3x-14=0， 解得x=-2或x=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若向量a与向量b的夹角为锐角，求x的取值范围. 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为向量a与向量b的夹角为锐角， 所以a·b>0，且向量a与向量b不共线， 所以 解得x>-2且x≠， 所以x的取值范围为∪. 答案 11.已知向量a=(-2，m)，b=(1，-2)，c=(m+1，5)，若a⊥b，则a与b+c的夹角为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 综合运用 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵a=(-2，m)，b=(1，-2)，a⊥b， ∴a·b=-2-2m=0，解得m=-1. ∴a=(-2，-1)，c=(m+1，5)=(0，5)， b+c=(1，3). 设a与b+c的夹角为θ， 则cos θ===-， 又θ∈［0，π］，故θ=. 答案 12.如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴正半轴、y轴正半轴上移动.若||=a，·≤2，则a的最大值是 A.1 B. C.2 D.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设∠DAO=α，所以B(asin α+acos α，acos α)，C(asin α，asin α+acos α)， 所以· =asin α(asin α+acos α)+acos α(asin α+acos α) =a2(sin α+cos α)2=a2(1+sin 2α)≤2， 即a2≤=1， 当且仅当α=时取等号，所以a的最大值是1. 答案 13.(多选)已知向量a=(，1)，b=(cos θ，sin θ)(0≤θ≤π)，则下列命题正确的是 A.若a⊥b，则tan θ= B.若b在a上的投影向量为-a，则向量a与b的夹角为 C.若cos〈a，b〉=，则θ= D.存在θ，使得|a+b|=|a|+|b| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 向量a=(，1)， b=(cos θ，sin θ)(0≤θ≤π)， 对于A，因为a⊥b， 所以cos θ+sin θ=0， 所以tan θ=-，故选项A错误； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于B，因为b在a上的投影向量为-a，即|b|cos〈a，b〉=-|a|， 所以cos〈a，b〉=-|a|， 又|b|==1，|a|==， 所以cos〈a，b〉=-×=-， 因为a与b的夹角范围为［0，π］， 所以向量a与b的夹角为，故选项B正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于C，若cos〈a，b〉=， 则a·b=1=cos θ+sin θ， 结合cos θ与sin θ的平方关系可解得cos θ=0或cos θ=，故选项C错误； 对于D，当cos θ=，sin θ=时， a=b，此时向量a与b同向共线，满足|a+b|=|a|+|b|， 所以存在θ，使得|a+b|=|a|+|b|，故选项D正确. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.已知向量a，b满足|a|=1，b=(-1，)，|2a-b|=2，则a，b的夹角 为　　　.  16 由|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=12， 而|a|=1，|b|==2， 所以8-8cos〈a，b〉=12， 可得cos〈a，b〉=-，又〈a，b〉∈［0，π］，所以〈a，b〉=. 答案 15.(多选)定义一种向量运算“⊗”：a⊗b=(a，b是任意的两个向量).对于同一平面内的向量a，b，c，e，则下列结论一定正确的有 A.a⊗b=b⊗a B.λ(a⊗b)=(λa)⊗b(λ∈R) C.(a+b)⊗c=a⊗c+b⊗c D.若e是单位向量，则|a⊗e|≤|a|+1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 √ 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当a，b不共线时，a⊗b=a·b=b·a=b⊗a，当a，b共线时，a⊗b=|a-b|=|b-a|=b⊗a，故A正确； 当λ=0，b≠0时，λ(a⊗b)=0，(λa)⊗b=|0-b|≠0，故B错误； 当a+b与c共线时，则存在a，b与c不共线，(a+b)⊗c=|a+b-c|，a⊗c+b⊗c=a·c+b·c，显然|a+b-c|≠a·c+b·c，故C错误； 当e与a不共线时，|a⊗e|=|a·e|<|a|·|e|=|a|<|a|+1，当e与a共线时，设a=ue(u∈R)，则|a|=|ue|=|u|，|a⊗e|=|a-e|=|ue-e|=|u-1|≤|u|+1=|a|+1，故D正确. 16 答案 16.已知向量=(6，1)，=(x，y)，=(-2，-3). (1)若∥，求x与y之间的关系式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵=++=(x+4，y-2)， ∴=-=(-x-4，2-y). 又∥=(x，y)， ∴x(2-y)-y(-x-4)=0， 即x+2y=0. 答案 (2)在(1)的条件下，若⊥，求x，y的值及四边形ABCD的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 =+=(x+6，y+1)， =+=(x-2，y-3). ∵⊥，∴·=0， 即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0. 由(1)知x+2y=0，与上式联立， 化简得y2-2y-3=0， 解得y=3或y=-1. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当y=3时，x=-6， 此时=(0，4)，=(-8，0)， ∴S四边形ABCD=||·||=16； 当y=-1时，x=2， 此时=(8，0)，=(0，-4)； ∴S四边形ABCD=||·||=16. 综上，四边形ABCD的面积为16. 答案 第一章 <<< $$