第六章 6.3.1 平面向量基本定理-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（人教A版2019）

6.3.1　平面向量基本定理 ［学习目标］　1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义.2.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量.(重点)3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.(难点) 导语 物理上，我们已经学过力的合成与分解，结合平行四边形法则，合力可以分解成不同的分力.力从本质上来讲也是向量，那么是不是所有的向量都可以进行分解？如何进行向量的分解呢？我们今天就来学习平面向量基本定理，学完后我们就可以找到答案. 一、平面向量基本定理 问题1　如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量. 请你将向量a分解成图中所给的两个方向上的向量. 提示　=e1，=λ1e1，=e2，=λ2e2，=a=+=λ1e1+λ2e2. 问题2　上述问题中的分解方法是否唯一？为什么？ 提示　从作图的过程来看，向量e1，e2的方向是确定的，所以平行四边形的两条邻边的方向也是确定的，我们以OC为对角线，过点C所作的两条边的平行线也是唯一确定的，因此交点M，N可以确定，所以在线段OA，OB上，线段OM与OA，ON与OB的长度关系及是否同向也是确定的，根据向量共线定理，我们所找的λ1和λ2也是确定的，所以分解方法唯一. 问题3　请结合所学的知识，从理论上证明上述问题中分解方法的唯一性. 提示　如果a还可以表示成μ1e1+μ2e2的形式，那么λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，可得(λ1-μ1)e1+(λ2-μ2)e2=0，由此式可推出λ1-μ1，λ2-μ2全为0(假设λ1-μ1，λ2-μ2不全为0，不妨假设λ1-μ1≠0，则e1=-e2.由此可得e1，e2共线，这与e1，e2不共线矛盾)，即λ1=μ1，λ2=μ2，因此，分解方法是唯一的. 知识梳理 1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2. 2.基底：若e1，e2不共线，我们把｛e1，e2｝叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 注意点： (1)同一平面内的基底有无数多个，只要两向量不共线即可. (2)当基底确定后，任意向量的表示法是唯一的，即λ1，λ2是唯一确定的. 例1　若｛e1，e2｝是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(　　) A.e1-e2，e2-e1 B.2e1-e2，e1-e2 C.2e2-3e1，6e1-4e2 D.e1+e2，e1-e2 答案　D 解析　对于A，因为e1-e2=-(e2-e1)，所以两向量共线，故不能作为基底； 对于B，因为2e1-e2=2，所以两向量共线，故不能作为基底； 对于C，因为2e2-3e1=-(6e1-4e2)，所以两向量共线，故不能作为基底； 对于D，e1+e2与e1-e2不共线，故能作为基底. 反思感悟　(1)判断两个向量是否能构成基底，主要是依据向量共线定理确定两向量是否共线.因为零向量与任意向量都是共线向量，所以基底中的两个基向量一定不能有零向量. (2)根据平面向量基本定理，平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一表示. 跟踪训练1　已知向量｛a，b｝是一个基底，实数x，y满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b，则x-y=　　　　.  答案　3 解析　因为｛a，b｝是一个基底， 所以a与b不共线， 由平面向量基本定理得所以 所以x-y=3. 二、用基底表示向量 例2　(1)如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设=a，=b，试用a，b表示=　　　　　.  答案　b-a 解析　因为DC∥AB，AB=2DC，E，F分别是DC，AB的中点， 所以=++ =--+ =-×b-a+b=b-a. (2)若=a，=b，=λ(λ≠-1)，则等于(　　) A.a+λb B.λa+(1-λ)b C.λa+b D.a+b 答案　D 解析　∵=λ， ∴-=λ(-)， ∴(1+λ)=+λ， ∵λ≠-1， ∴=+=a+b. 反思感悟　(1)用基底表示向量的注意事项： ①根据平面向量基本定理，平面内的任意向量都可以用该平面内的一个基底来表示，而且表示方式是唯一的.用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则进行向量的线性运算. ②基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量. (2)A，B，P三点共线的充要条件是存在唯一实数组λ，μ，满足=λ+μ，且λ+μ=1.(O为平面内任意一点) 跟踪训练2　如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且=，=，=，若=a，=b，试以｛a，b｝为基底将，，表示出来. 解　=-=-=a-b； =-=-- =---) =-b-(a-b)=-a+b； =-=-(+) =-=(a+b). 三、平面向量基本定理的应用 例3　如图，在平行四边形ABCD中，F是CD的中点，AF与BD交于点E，求证：E为线段BD的三等分点. 证明　设=a，=b， 则=-=b-a， =+=+=b+a. 因为A，E，F与B，D，E分别共线， 所以存在实数λ，μ， 使=λ，=μ. 所以=a+λb，=μb-μa. 由+=， 得(1-μ)a+μb=a+λb. 因为a，b不共线，所以1-μ=且μ=λ， 解得λ=μ=，所以=， 即E为线段BD(靠近D)的一个三等分点. 反思感悟　(1)用向量的方法证明垂直问题常转化为向量的数量积是否为0. (2)用向量解决平面几何问题的一般步骤 ①选取不共线的两个平面向量作为基底. ②将相关的向量用基向量表示，将几何问题转化为向量问题. ③利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解. ④再将向量问题的解转化为平面几何问题的解. 跟踪训练3　如图，已知等腰梯形ABCD，AB∥CD，AB=3，AD=2，DC=1.点E满足=，点F在AB上，满足DF⊥AE交AE于点G，设=a，=b.用a，b表示，并求的模. 解　连接AC，∵在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3，DC=1，=a， ∴=+=a+b， ∵=， ∴E为BC的中点，=+) =a+b， 作DH⊥AB，垂足为H，∵AB=3，CD=1， ∴AH=1，又AD=2，∴∠BAD=60°， ∴a·b=3×2×cos 60°=3， ∴||== ==. 1.知识清单： (1)平面向量基本定理. (2)用基底表示向量. (3)平面向量基本定理的应用. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：忽视基底中的向量必须是不共线的两个向量. 1.(多选)下列结论正确的是(　　) A.一个平面内有且只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底 B.互为相反向量的两个向量的模相等 C.方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大 D.向量a与b共线⇔存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a+λ2b=0 答案　BD 解析　对于A，由平面基底的概念可知， 只要不共线的任何两个向量都可以作为平面的一个基底，故A错误； 对于B，方向相反、模相等的两个向量为相反向量，故B正确； 对于C，向量不能比较大小，故C错误； 对于D，向量a与b共线⇔存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a+λ2b=0，故D正确. 2.已知点D是△ABC所在平面内一点，且满足=-，则等于(　　) A.- B.+ C.-+ D.- 答案　D 解析　由题意，D为△ABC所在平面内一点， 且=-，所以=， 所以=+=+=+=-. 3.已知e1，e2不共线，a=e1+2e2，b=2e1+λe2，要使｛a，b｝能作为平面内的一个基底，则实数λ的取值范围为　　　　.  答案　(-∞，4)∪(4，+∞) 解析　若｛a，b｝能作为平面内一个基底，则a与b不共线.又a=e1+2e2，b=2e1+λe2，故由a≠kb(k∈R)，得λ≠4. 4.在▱ABCD中，设对角线=a，=b，则=　　　　，=　　　　.(以a，b为基底表示)  答案　a-b　a+b 解析　方法一　设AC，BD交于点O， 则===a， ===b. ∴=+=-=a-b，=+=a+b. 方法二　设=m，=n，则==n， 又∵∴ ∴ 即=a-b，=a+b. 　　　　 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.设点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组可作为该平面其他向量基底的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 答案　C 解析　与不共线，故与可作为基底. 2.设e1，e2是平面内两个不共线的向量，则以下a，b不可以作为该平面内基底的是(　　) A.a=e1+e2，b=e1 B.a=2e1+e2，b=e1+e2 C.a=e1+e2，b=e1-e2 D.a=e1-2e2，b=-e1+4e2 答案　B 解析　对于A，C，D，因为a，b不共线，所以可以作为基底； 对于B，因为b=a，所以a，b共线，不可以作为基底. 3.已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且=2，则向量等于(　　) A.+ B.+ C.+ D.+ 答案　C 解析　如图， ∵=2， ∴=+=+=+-)=+. 4.(多选)若e1，e2是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是(　　) A.λe1+μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量 B.对于平面α中的任一向量a，使a=λe1+μe2的实数λ，μ有无数多对 C.λ1，μ1，λ2，μ2均为实数，且向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2) D.若存在实数λ，μ，使λe1+μe2=0，则λ=μ=0 答案　BC 解析　由题意可知，｛e1，e2｝可以看成平面α的一个基底，根据平面向量基本定理可知，A项、D项正确，B项不正确； 对于C项，当λ1=λ2=μ1=μ2=0时， λ1e1+μ1e2=λ2e1+μ2e2=0， 此时任意实数λ均有λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)，故C项不正确. 5.(多选)如果｛a，b｝是平面内一个基底，则下列向量能构成该平面基底的是(　　) A.a+b与a-b B.a+2b与2a+b C.a+b与-a-b D.a与-b 答案　ABD 解析　由已知得a与b不共线，根据平行四边形法则，可知A，B，D中的两个向量都可以构成一个基底，而a+b与-a-b共线，不能构成一个基底. 6.已知A，B，D三点共线，且对任意一点C，有=+λ，则λ等于(　　) A.- B. C.- D. 答案　A 解析　由A，B，D三点共线，可设=k(k∈R)， 又=-，则=k-k， 所以=+=k+(1-k). 由于=+λ， 由平面向量基本定理，得 解得λ=k=-. 7.(5分)在△ABC中，D是边AC的中点，点P在边BC上.点P满足=，设=a，=b，则=　　　　.(用向量a，b表示)  答案　a-b 解析　依题意，得=+=+=+=-=a-b. 8.(5分)如图，已知M为△ABC所在平面内的一点，且=+n，若点M在△ABC的内部(不含边界)，则实数n的取值范围为　　　　.  答案　 解析　如图，在线段AB上取点D，在线段BC上取点E，使AD=AB，CE=CB， 因为=+n=+n，DE∥AC， 所以点M的轨迹为线段DE(不包含端点)，因为=，所以n∈. 9.(10分)如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，F，G是AD，BC的三等分点.其中AF=AD，BG=BC，设=a，=b. (1)用a，b表示，；(5分) (2)如果|a|=|b|，用向量的方法证明：EF⊥EG.(5分) (1)解　由题意得 =-=-=-a+b， =+=+=a+b. (2)证明　由(1)得· =·=-a2+b2 =-×+b2=0， 所以EF⊥EG. 10.(10分)设e1，e2是不共线的向量，且a=e1-2e2，b=e1+3e2. (1)证明：｛a，b｝可以作为平面内的一个基底；(5分) (2)若4e1-3e2=λa+μb，求λ，μ的值.(5分) (1)证明　若a，b共线，则存在λ∈R，使a=λb， 则e1-2e2=λ(e1+3e2). 由e1，e2不共线，得即 所以λ不存在，故a与b不共线，所以｛a，b｝可以作为平面内的一个基底. (2)解　由4e1-3e2=λa+μb， 得4e1-3e2=λ(e1-2e2)+μ(e1+3e2) =(λ+μ)e1+(-2λ+3μ)e2. 所以解得 故所求λ，μ的值分别为3和1. 11.已知向量，不共线，且2=x+y，若=λ(λ∈R)，则x，y满足的关系式是(　　) A.x+y-2=0 B.2x+y-1=0 C.x+2y-2=0 D.2x+y-2=0 答案　A 解析　由=λ，得-=λ(-)，即=(1+λ)-λ.又2=x+y， 所以消去λ得x+y=2. 12.如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||=||=1，||=2，若=λ+μ(λ，μ∈R)，则λ+μ的值为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案　D 解析　过C点分别作CC1∥OB交OA的延长线于点C1， 作CC2∥OA交OB的延长线于点C2，从而四边形OC1CC2为平行四边形，∠BOA=120°， 由∠COA=30°，得∠COB=90°. 又||=2，得||=2，||=4， 又=+，所以=μ，=λ，||=||=1， 故μ=2，λ=4，λ+μ=6. 13.(多选)如图，在△ABC中，=a，=b，D为BC中点，E为AD中点，用a和b表示为=λa+μb(λ，μ∈R)，则λ和μ的值分别为(　　) A.λ= B.λ=- C.μ= D.μ=- 答案　AD 解析　因为D为BC中点，E为AD中点， 所以=+=-+ =-+× =-+=a-b， 所以 14.(5分)如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外一点D，若=m+n，则m+n的取值范围是　　　　　　.  答案　(-1，0) 解析　设=k(k<0)，又|k|=<1， ∴-1<k<0.∵B，A，D三点共线， ∴存在实数λ，使得=λ+(1-λ)， ∴=m+n=kλ+k(1-λ)， ∵，不共线，∴ ∴m+n=k，从而m+n∈(-1，0). 15.在△ABC中，||=2，||=3，||=4，O是△ABC的内心，且=λ+μ，则λ+μ等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　如图，延长AO，与BC交于点D， ∵O是△ABC的内心， ∴AD是∠BAC的平分线， 则==，即=， ∴=+=+， 又BO是∠ABD的平分线， 则===， 即==+) =+， ∴λ=，μ=，λ+μ=. 16.(12分) 如图，在△OAB中，=3，=2，AD与BC的交点为M，过M作动直线l分别交线段AC，BD于E，F两点. (1)用，表示；(4分) (2)设=λ，=μ. ①求证：+=5；(4分) ②求λ+μ的最小值.(4分) (1)解　由A，M，D三点共线可得，存在实数t， 使得=t+(1-t)=t+(1-t)， 同理，由C，M，B三点共线可得，存在实数m，使得=m+(1-m)=m+(1-m)， 所以解得 所以=+. (2)①证明　设=x+y=xλ+yμ，其中x+y=1，λ∈. 所以则 所以+=5. ②解　λ+μ=(λ+μ) = ≥， 当且仅当=时取等号，即当λ=，μ=时，λ+μ取得最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 <<< 6.3.1 平面向量基本定理 1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义. 2.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量.(重点) 3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.(难点) 学习目标 物理上，我们已经学过力的合成与分解，结合平行四边形法则，合力可以分解成不同的分力.力从本质上来讲也是向量，那么是不是所有的向量都可以进行分解？如何进行向量的分解呢？我们今天就来学习平面向量基本定理，学完后我们就可以找到答案. 导 语 一、平面向量基本定理 二、用基底表示向量 课时对点练 三、平面向量基本定理的应用 随堂演练 内容索引 一 平面向量基本定理 如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量. 请你将向量a分解成图中所给的两个方向上 的向量. 问题1 提示　=e1，=λ1e1，=e2，=λ2e2，=a=+=λ1e1+λ2e2. 上述问题中的分解方法是否唯一？为什么？ 问题2 提示　从作图的过程来看，向量e1，e2的方向是确定的，所以平行四边形的两条邻边的方向也是确定的，我们以OC为对角线，过点C所作的两条边的平行线也是唯一确定的，因此交点M，N可以确定，所以在线段OA，OB上，线段OM与OA，ON与OB的长度关系及是否同向也是确定的，根据向量共线定理，我们所找的λ1和λ2也是确定的，所以分解方法唯一. 请结合所学的知识，从理论上证明上述问题中分解方法的唯一性. 问题3 提示　如果a还可以表示成μ1e1+μ2e2的形式，那么λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，可得(λ1-μ1)e1+(λ2-μ2)e2=0，由此式可推出λ1-μ1，λ2-μ2全为0(假设λ1-μ1，λ2-μ2不全为0，不妨假设λ1-μ1≠0，则e1=-e2.由此可得e1，e2共线，这与e1，e2不共线矛盾)，即λ1=μ1，λ2=μ2，因此，分解方法是唯一的. 1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a， 实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2. 2.基底：若e1，e2 ，我们把｛e1，e2｝叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 不共线 任一 有且只有一对 不共线 知识梳理 (1)同一平面内的基底有无数多个，只要两向量不共线即可. (2)当基底确定后，任意向量的表示法是唯一的，即λ1，λ2是唯一确定的. 注 意 点 <<< 10 若｛e1，e2｝是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是 A.e1-e2，e2-e1 B.2e1-e2，e1-e2 C.2e2-3e1，6e1-4e2 D.e1+e2，e1-e2 例 1 √ 11 对于A，因为e1-e2=-(e2-e1)，所以两向量共线，故不能作为基底； 对于B，因为2e1-e2=2，所以两向量共线，故不能作为基底； 对于C，因为2e2-3e1=-(6e1-4e2)，所以两向量共线，故不能作为基底； 对于D，e1+e2与e1-e2不共线，故能作为基底. 12 (1)判断两个向量是否能构成基底，主要是依据向量共线定理确定两向量是否共线.因为零向量与任意向量都是共线向量，所以基底中的两个基向量一定不能有零向量. (2)根据平面向量基本定理，平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一表示. 反 思 感 悟 13 已知向量｛a，b｝是一个基底，实数x，y满足(3x-4y)a+(2x-3y)b =6a+3b，则x-y=　　.  跟踪训练 1 3 因为｛a，b｝是一个基底， 所以a与b不共线， 由平面向量基本定理得 所以x-y=3. 14 二 用基底表示向量 　(1)如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设=a，=b，试用a，b表示=　　　　　.  例 2 b-a 16 因为DC∥AB，AB=2DC，E，F分别是DC，AB的中点， 所以=++ =--+ =-×b-a+b=b-a. 17 (2)若=a，=b，=λ(λ≠-1)，则等于 A.a+λb B.λa+(1-λ)b C.λa+b D.a+b √ 18 ∵=λ， ∴-=λ(-)， ∴(1+λ)=+λ， ∵λ≠-1， ∴=+=a+b. 19 反 思 感 悟 (1)用基底表示向量的注意事项： ①根据平面向量基本定理，平面内的任意向量都可以用该平面内的一个基底来表示，而且表示方式是唯一的.用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则进行向量的线性运算. ②基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量. (2)A，B，P三点共线的充要条件是存在唯一实数组λ，μ，满足=λ+μ，且λ+μ=1.(O为平面内任意一点) 　 如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且=，=，=，若=a，=b，试以｛a，b｝为基底将，，表示出来. 跟踪训练 2 21 =-=-=a-b； =-=-- =---) =-b-(a-b)=-a+b； =-=-(+) =-=(a+b). 22 三 平面向量基本定理的应用 　如图，在平行四边形ABCD中，F是CD的中点，AF与BD交于点E，求证：E为线段BD的三等分点. 例 3 24 设=a，=b， 则=-=b-a， =+=+=b+a. 因为A，E，F与B，D，E分别共线， 所以存在实数λ，μ， 使=λ=μ. 所以=a+λb，=μb-μa. 25 由+=， 得(1-μ)a+μb=a+λb. 因为a，b不共线，所以1-μ=且μ=λ， 解得λ=μ==， 即E为线段BD(靠近D)的一个三等分点. 26 反 思 感 悟 (1)用向量的方法证明垂直问题常转化为向量的数量积是否为0. (2)用向量解决平面几何问题的一般步骤 ①选取不共线的两个平面向量作为基底. ②将相关的向量用基向量表示，将几何问题转化为向量问题. ③利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解. ④再将向量问题的解转化为平面几何问题的解. 如图，已知等腰梯形ABCD，AB∥CD，AB=3，AD=2，DC=1.点E满足=，点F在AB上，满足DF⊥AE交AE于点G，设=a，=b.用a，b表示，并求的模. 跟踪训练 3 28 连接AC，∵在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3，DC=1，=a， ∴=+=a+b， ∵=， ∴E为BC的中点，=+) =a+b， 作DH⊥AB，垂足为H，∵AB=3，CD=1， ∴AH=1，又AD=2，∴∠BAD=60°， 29 ∴a·b=3×2×cos 60°=3， ∴||== ==. 30 1.知识清单： (1)平面向量基本定理. (2)用基底表示向量. (3)平面向量基本定理的应用. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：忽视基底中的向量必须是不共线的两个向量. 课堂小结 31 随堂演练 四 1 2 3 4 1.(多选)下列结论正确的是 A.一个平面内有且只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量 的基底 B.互为相反向量的两个向量的模相等 C.方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大 D.向量a与b共线⇔存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a+λ2b=0 √ √ 1 2 3 4 对于A，由平面基底的概念可知， 只要不共线的任何两个向量都可以作为平面的一个基底，故A错误； 对于B，方向相反、模相等的两个向量为相反向量，故B正确； 对于C，向量不能比较大小，故C错误； 对于D，向量a与b共线⇔存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a+λ2b=0，故D正确. 2.已知点D是△ABC所在平面内一点，且满足=-，则等于 A.- B.+ C.-+ D.- 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 由题意，D为△ABC所在平面内一点， 且=-=， 所以=+=+=+=-. 3.已知e1，e2不共线，a=e1+2e2，b=2e1+λe2，要使｛a，b｝能作为平面内的一个基底，则实数λ的取值范围为　　　　　　　　　.  1 2 3 4 (-∞，4)∪(4，+∞) 1 2 3 4 若｛a，b｝能作为平面内一个基底，则a与b不共线.又a=e1+2e2，b=2e1+λe2，故由a≠kb(k∈R)，得λ≠4. 4.在▱ABCD中，设对角线=a，=b，则=　　　　，=　　　　. (以a，b为基底表示)  1 2 3 4 a-b a+b 1 2 3 4 方法一　设AC，BD交于点O， 则===a， ===b. ∴=+=-=a-b，=+=a+b. 1 2 3 4 方法二　设=m，=n，则==n， 又∵∴ ∴ 即=a-b，=a+b. 课时对点练 五 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B C BC ABD A a-b 题号 11 12 13 14 　15 答案 A D AD (-1，0) 　D 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (1)由题意得 =-=- =-a+b， =+=+ =a+b. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (2)由(1)得· =· =-a2+b2 =-×+b2=0， 所以EF⊥EG. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)若a，b共线， 则存在λ∈R，使a=λb， 则e1-2e2=λ(e1+3e2). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由e1，e2不共线，得即 所以λ不存在，故a与b不共线，所以｛a，b｝可以作为平面内的一个基底. 10. (2)由4e1-3e2=λa+μb， 得4e1-3e2=λ(e1-2e2)+μ(e1+3e2) =(λ+μ)e1+(-2λ+3μ)e2. 所以解得 故所求λ，μ的值分别为3和1. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由A，M，D三点共线可得，存在实数t， 使得=t+(1-t)=t+(1-t)， 同理，由C，M，B三点共线可得，存在实数m，使得=m+(1-m) =m+(1-m)， 所以解得所以=+. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)①设=x+y=xλ+yμ，其中x+y=1， λ∈. 所以则所以+=5. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ②λ+μ=(λ+μ) =≥， 当且仅当=时取等号，即当λ=，μ=时，λ+μ取得最小值为. 1.设点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组可作为该平面其他向量基底的是 A.与 B.与 C.与 D.与 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础巩固 √ 16 可作为基底. 答案 2.设e1，e2是平面内两个不共线的向量，则以下a，b不可以作为该平面内基底的是 A.a=e1+e2，b=e1 B.a=2e1+e2，b=e1+e2 C.a=e1+e2，b=e1-e2 D.a=e1-2e2，b=-e1+4e2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，C，D，因为a，b不共线，所以可以作为基底； 对于B，因为b=a，所以a，b共线，不可以作为基底. 答案 3.已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且=2，则向量等于 A.+ B.+ C.+ D.+ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图， ∵=2， ∴=+=+=+-)=+. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.(多选)若e1，e2是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是 A.λe1+μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量 B.对于平面α中的任一向量a，使a=λe1+μe2的实数λ，μ有无数多对 C.λ1，μ1，λ2，μ2均为实数，且向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线，则有且只有 一个实数λ，使λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2) D.若存在实数λ，μ，使λe1+μe2=0，则λ=μ=0 √ 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知，｛e1，e2｝可以看成平面α的一个基底，根据平面向量基本定理可知，A项、D项正确，B项不正确； 对于C项，当λ1=λ2=μ1=μ2=0时， λ1e1+μ1e2=λ2e1+μ2e2=0， 此时任意实数λ均有λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)，故C项不正确. 答案 5.(多选)如果｛a，b｝是平面内一个基底，则下列向量能构成该平面基底的是 A.a+b与a-b B.a+2b与2a+b C.a+b与-a-b D.a与-b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ √ 由已知得a与b不共线，根据平行四边形法则，可知A，B，D中的两个向量都可以构成一个基底，而a+b与-a-b共线，不能构成一个基底. 答案 6.已知A，B，D三点共线，且对任意一点C，有=+λ，则λ等于 A.- B. C.- D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由A，B，D三点共线，可设=k(k∈R)， 又=-=k-k， 所以=+=k+(1-k). 由于=+λ， 由平面向量基本定理，得 解得λ=k=-. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.在△ABC中，D是边AC的中点，点P在边BC上.点P满足=，设=a，=b，则=　　　　.(用向量a，b表示)  依题意，得=+=+=+=-=a-b. a-b 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.如图，已知M为△ABC所在平面内的一点，且=+n，若点M在△ABC的内部(不含边界)，则实数n的取值范围为　　　　.  16 答案 62 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，在线段AB上取点D，在线段BC上取点E， 使AD=AB，CE=CB， 因为=+n=+n，DE∥AC， 所以点M的轨迹为线段DE(不包含端点)，因为=，所以n∈. 答案 63 9.如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，F，G是AD，BC的三等分点.其中AF=AD，BG=BC，设=a，=b. (1)用a，b表示，； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得 =-=-=-a+b， =+=+=a+b. 答案 (2)如果|a|=|b|，用向量的方法证明：EF⊥EG. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)得· =·=-a2+b2=-×+b2=0， 所以EF⊥EG. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.设e1，e2是不共线的向量，且a=e1-2e2，b=e1+3e2. (1)证明：｛a，b｝可以作为平面内的一个基底； 16 若a，b共线，则存在λ∈R，使a=λb， 则e1-2e2=λ(e1+3e2). 由e1，e2不共线，得 所以λ不存在，故a与b不共线，所以｛a，b｝可以作为平面内的一个基底. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若4e1-3e2=λa+μsb，求λ，μ的值. 16 由4e1-3e2=λa+μb， 得4e1-3e2=λ(e1-2e2)+μ(e1+3e2)=(λ+μ)e1+(-2λ+3μ)e2. 所以 故所求λ，μ的值分别为3和1. 答案 11.已知向量，不共线，且2=x+y，若=λ(λ∈R)，则x，y满足的关系式是 A.x+y-2=0 B.2x+y-1=0 C.x+2y-2=0 D.2x+y-2=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 综合运用 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由=λ-=λ(-=(1+λ)-λ.又2=x+y， 所以消去λ得x+y=2. 答案 12.如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||=||=1，||=2，若=λ+μ(λ，μ∈R)，则λ+μ的值为 A.3 B.4 C.5 D.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 过C点分别作CC1∥OB交OA的延长线于点C1， 作CC2∥OA交OB的延长线于点C2，从而四边形OC1CC2为平行四边形，∠BOA=120°， 由∠COA=30°，得∠COB=90°. 又||=2，得||=2，||=4， 又=+=μ=λ，||=||=1， 故μ=2，λ=4，λ+μ=6. 答案 13.(多选)如图，在△ABC中，=a，=b，D为BC中点，E为AD中点，用a和b表示为=λa+μb(λ，μ∈R)，则λ和μ的值分别为 A.λ= B.λ=- C.μ= D.μ=- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为D为BC中点，E为AD中点， 所以=+=-+ =-+× =-+=a-b， 所以 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外一点D，若=m+n，则m+n的取值范围是　　　　　　.  (-1，0) 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设=k(k<0)，又|k|=<1， ∴-1<k<0.∵B，A，D三点共线， ∴存在实数λ，使得=λ+(1-λ)， ∴=m+n=kλ+k(1-λ)， ∵不共线，∴ ∴m+n=k，从而m+n∈(-1，0). 答案 15.在△ABC中，||=2，||=3，||=4，O是△ABC的内心，且=λ+μ，则λ+μ等于 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，延长AO，与BC交于点D， ∵O是△ABC的内心， ∴AD是∠BAC的平分线， 则===， ∴=+=+， 又BO是∠ABD的平分线， 则===， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即==+) =+， ∴λ=，μ=，λ+μ=. 答案 16.如图，在△OAB中，=3，=2，AD与BC的交点为M，过M作动直线l分别交线段AC，BD于E，F两点. (1)用，表示； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由A，M，D三点共线可得，存在实数t， 使得=t+(1-t)=t+(1-t)， 同理，由C，M，B三点共线可得，存在实数m，使得=m+(1-m) =m+(1-m)， 所以 所以=+. 答案 (2)设=λ，=μ. ①求证：+=5； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设=x+y=xλ+yμ，其中x+y=1，λ∈. 所以 所以+=5. 答案 ②求λ+μ的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 λ+μ=(λ+μ)=≥， 当且仅当=时取等号，即当λ=，μ=时，λ+μ取得最小值为. 答案 第一章 <<< $$