第六章 6.2.4 向量的数量积(一)-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（人教A版2019）

6.2.4　向量的数量积(一) ［学习目标］　1.通过物理中功等实例的抽象，理解平面向量数量积的概念及其物理意义.2.掌握向量数量积的定义及投影向量.(重点)3.会计算平面向量的数量积.(难点) 导语 前面我们学习了向量的线性运算，包括加法、减法和数乘运算，类比数的运算，向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？让我们带着这些问题共同开启今天的探索之旅吧！ 一、向量的数量积的概念 问题　初中物理课中我们学习过功的概念，请大家写出物理中功的计算公式，并用文字语言表述功的计算公式. 提示　如图所示，一物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W=|F||s|cos θ.文字叙述为功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积. 知识梳理 1.两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作=a，=b，则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角，如图所示. 当θ=0时，a与b同向；当θ=π时，a与b反向. 2.两向量垂直：如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b. 3.两向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b=|a||b|cos θ.  规定：零向量与任一向量的数量积为0. 注意点： (1)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，这一点在平面图形中找向量夹角时更需注意.如图所示，∠BAC不是向量与的夹角.作=，则∠BAD才是向量与的夹角. (2)数量积运算中间是“·”，而且此处的“·”不能省略，也不能写成“×”. (3)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0. (4)设两向量a，b的夹角为θ，则cos θ=. 例1　(1)已知|a|=4，|b|=5， ①当a∥b时，a·b=　　　　；  ②当a⊥b时，a·b=　　　　；  ③当a与b的夹角为30°时，a·b=　　　.  答案　①20或-20　②0　③10 解析　①a∥b，若a与b同向，则θ=0°， a·b=|a||b|cos 0°=4×5×1=20； 若a与b反向，则θ=180°， a·b=|a||b|cos 180°=4×5×(-1)=-20. ②当a⊥b时，θ=90°，a·b=|a||b|cos 90°=0. ③当a与b的夹角为30°时，a·b=|a||b|cos 30°=4×5×=10. (2)已知△ABC是边长为6的正三角形，则·=　　　　　　.  答案　-18 解析　如图， △ABC是边长为6的正三角形， 所以||=||=6，∠ABC=60°， 所以·=||||cos(180°-60°)=6×6×=-18. (3)已知|a|=6，|b|=4，|a·b|=12，求a与b的夹角. 解　因为a·b=|a||b|cos〈a，b〉， 所以|a·b|=||a||b|cos〈a，b〉| =|a||b||cos〈a，b〉|=12. 又|a|=6，|b|=4， 所以|cos〈a，b〉|===， 所以cos〈a，b〉=±. 因为〈a，b〉∈［0，π］， 所以a与b的夹角为或. 反思感悟　(1)求平面向量数量积的步骤 ①求a与b的夹角θ，θ∈［0，π］；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b=|a||b|cos θ. (2)求向量夹角的方法：①几何法.借助图形求两个向量夹角时，首先要使两个向量起点重合，从而找到两个向量的夹角，然后再观察向量夹角与图形内角的关系，从而确定夹角大小. 特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0=180°-θ；当λ1λ2>0时，θ0=θ.②代数法.向量a，b夹角的余弦值为cos〈a，b〉=. 跟踪训练1　(1)已知△ABC中，=a，=b，若a·b<0，则△ABC是(　　) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.任意三角形 答案　A 解析　由a·b<0易知，cos〈a，b〉=<0，向量a与b的夹角A为钝角，故△ABC为钝角三角形. (2)在等腰直角三角形ABC中，AB=BC=5，则·=　　　　，·=　　　　.  答案　0　-25 解析　由题意，得||=5，||=5，||=5，所以·=5×5×cos 90°=0， ·=5×5×cos 135°=-25. 二、投影向量 知识梳理 1.如图，设a，b是两个非零向量，=a，=b，作如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量. 2.如图，在平面内任取一点O，作=a，=b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为=|a|cos θe=b. 注意点： 向量a在向量b上的投影向量是一个向量，它与向量b共线，其大小为||a|cos θ|，其中θ为向量a与b的夹角. 例2　(1)已知e为单位向量，|a|=4，当向量e，a的夹角等于30°时，向量a在向量e上的投影向量为(　　) A.2e B.2e C.2e D.e 答案　A 解析　向量a在向量e上的投影向量为|a|cos〈a，e〉e=4cos 30°e=2e. (2)已知O是△ABC的外心，且AC=，则·=　　　　.  答案　-1 解析　如图，取AC的中点D，连接OD， 因为O是△ABC的外心， 所以OD⊥AC， 所以·=-· =-||||cos∠OAC =-||·||=-||×|| =-×()2=-1. 反思感悟　(1)任意非零向量a，e为与向量a同向的单位向量，则e=. (2)任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于|a|cos θe(θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量). 跟踪训练2　已知|a|=2，|b|=4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b上的投影向量为　　　　.  答案　-b 解析　因为|a|=2，|b|=4，向量a与向量b的夹角为120°，所以a在b上的投影向量为|a|cos 120°·=-b. 三、向量数量积的性质 知识梳理 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e=e·a=|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b=0. (3)当a∥b时，a·b= 特别地，a·a=|a|2或|a|=. (4)|a·b|≤|a||b|. 例3　(多选)对于任意向量a，b，c，下列命题不正确的是(　　) A.若a·b=0，则a与b中至少有一个为0 B.向量a与向量b夹角的范围是［0，π) C.若a⊥b，则a·b=0 D.|a|= 答案　AB 解析　a·b=0⇒a⊥b或a=0或b=0，所以A错误； 向量夹角的范围是［0，π］，所以B错误； 由数量积的性质知C正确； 因为a·a=|a||a|cos 0=|a|2， 所以|a|=，所以D正确. 反思感悟　(1)若a·b=0，则a和b中至少有一个零向量或a，b均为非零向量，且a⊥b. (2)|a|=是求向量长度的工具. 跟踪训练3　(多选)下列命题正确的有(　　) A.a·0=0 B.0-= C.若a≠0，则对任一非零向量b，都有a·b≠0 D.若非零向量a与b不垂直，则a·b≠0 答案　BD 解析　A项，a·0=0，故A错误；B项，0-=，故B正确；C项，若a⊥b，则a·b=0，故C错误；D项，若a，b为非零向量，且a与b不垂直，则a·b≠0，故D正确. 1.知识清单： (1)向量数量积. (2)投影向量. (3)向量数量积的性质. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：求向量夹角时需要把向量起点重合才行，尤其是在平面图形中研究向量夹角时要注意夹角与图形的内角之间是否相等. 1.若|m|=4，|n|=6，m与n的夹角θ为45°，则m·n等于(　　) A.12 B.12 C.-12 D.-12 答案　B 解析　由平面向量数量积的定义可得m·n=|m||n|cos 45°=4×6×=12. 2.已知|a|=2，向量a与向量b的夹角为120°，e是与b同向的单位向量，则a在b上的投影向量为(　　) A.e B.-e C.e D.-e 答案　D 解析　a在b上的投影向量为|a|cos 120°·e=-e. 3.在△ABC中，AB=5，BC=2，∠B=60°，则·的值为(　　) A.5 B.5 C.-5 D.-5 答案　D 解析　∵AB=5，BC=2，∠B=60°， ∴·=5×2×cos(180°-60°) =10×=-5. 4.在△ABC中，∠C=90°，BC=AB，则与的夹角是(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 答案　C 解析　如图，作向量=， 则∠BAD是与的夹角， 在△ABC中，因为∠ACB=90°，BC=AB， 所以∠ABC=60°，所以∠BAD=120°， 即与的夹角是120°. 　　　　 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.已知|a|=1，|b|=2，a与b的夹角为，则a·b等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　A 解析　a·b=|a||b|cos =1×2×=1. 2.若a·b<0，则a和b的夹角θ的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　a·b=|a||b|cos θ<0，∴cos θ<0， ∵θ∈［0，π］，∴θ∈. 3.(多选)下列说法正确的是(　　) A.向量a在向量b上的投影向量可表示为· B.若a·b>0，则a与b的夹角θ的取值范围是 C.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，则，的夹角为45° D.若非零向量a和b满足a⊥b，则a·b=0 答案　ABD 解析　对于选项A，根据投影向量的定义知A正确；对于选项B，∵a·b=|a||b|cos θ>0，∴cos θ>0，又∵0≤θ≤π，∴θ∈，故B正确；对于选项C，易知与的夹角为135°，故C错误；对于选项D，a⊥b⇒a·b=0，故D正确. 4.在等腰Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=，则·的值等于(　　) A.-2 B.2 C.-2 D.2 答案　B 解析　·=||||cos∠ABC=2××cos 45°=2. 5.设a，e均为单位向量，当a，e的夹角为时，a在e方向上的投影向量为(　　) A.-e B.-e C.e D.e 答案　B 解析　由题意，a在e方向上的投影向量为|a|cose=1×e=-e. 6.(多选)已知向量a，b满足|a|=3|b|=a·b=3，则下列结论正确的是(　　) A.a⊥b B.a∥b C.|a+b|=4 D.|a-b|=2 答案　BCD 解析　由|a|=3|b|=a·b=3， 可得|b|=1， a·b=|a||b|cos〈a，b〉=3cos〈a，b〉=3， 所以cos〈a，b〉=1，因为〈a，b〉∈［0，π］， 所以〈a，b〉=0， 所以a=3b，a∥b，|a+b|=4，|a-b|=2. 7.(5分)已知|a|=2，|b|=，a·b=3，则a与b的夹角为　　　　.  答案　30° 解析　因为|a|=2，|b|=，a·b=3， 所以a·b=|a||b|cos〈a，b〉=2××cos〈a，b〉=3， 所以cos〈a，b〉=， 因为0°≤〈a，b〉≤180°， 故〈a，b〉=30°. 8.(5分)已知|a|=2|b|≠0，且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根，则a与b的夹角的取值范围是　　　　　　　　　.  答案　 解析　设a与b的夹角为θ，由题意可得， Δ=|a|2-4a·b≥0， ∵|a|=2|b|， ∴cos θ≤，又θ∈［0，π］， ∴θ∈. 9.(10分)已知a，b是两个非零向量，且|a|=|b|=|a-b|，求a与a+b的夹角. 解　如图，在平面内取一点O，作=a，=b，以OA，OB为邻边作▱OACB， ∵|a|=|b|，即||=||， ∴四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB， 这时=a+b，=a-b，∠AOC即为a与a+b的夹角. ∵|a|=|b|=|a-b|， 即||=||=||，∴∠AOB=， ∴∠AOC=，即a与a+b的夹角为. 10.(10分)已知|a|=2， (1)若b2=3，a∥b，求a·b；(4分) (2)若a·b=4，|b|=2，求a与b的夹角θ；(3分) (3)若a·b=-6，a与b的夹角为150°，求|b|.(3分) 解　(1)因为b2=3，所以|b|=. 当a∥b时，有两种情况， ①a与b的夹角为0°时，a·b=|a||b|cos 0°=2××1=2； ②a与b的夹角为180°时，a·b=|a||b|cos 180°=2××(-1)=-2. 所以a·b=2或-2. (2)a·b=|a||b|cos θ=2×2×cos θ=4， 所以cos θ=，又θ∈［0，π］，所以θ=. (3)当a与b的夹角为150°时， a·b=|a||b|cos 150° =2×|b|×=-6，所以|b|=2. 11.已知非零向量a，b，c满足a+b+c=0，向量a，b的夹角为120°，且|b|=2|a|，则向量b与c的夹角为(　　) A.150° B.30° C.120° D.60° 答案　A 解析　由题意画出图形，如图，因为a，b的夹角为120°，所以∠CAB=60°，又|b|=2|a|，所以∠ACB=90°，所以∠ABC=30°，则向量b与c的夹角为150°. 12.若平面四边形ABCD满足+=0，(-)·=0，则该四边形一定是(　　) A.直角梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 答案　C 解析　由+=0， 得平面四边形ABCD是平行四边形， 由(-)·=0， 得·=0， 即平行四边形ABCD的对角线互相垂直， 则该四边形一定是菱形. 13.(多选)已知正方形ABCD的边长为2，向量a，b满足=2a，=2a+b，则(　　) A.|b|=2 B.a⊥b C.a·b=2 D.向量b在a上的投影向量为-2a 答案　AD 解析　如图，取AB的中点E， 则=2=2a， ∴=a，b=-2a =-=. ∴|b|=||=2，故A正确； a·b=·=·=×2×2×=-2，故B，C错误； 结合图形容易知道，向量b在a上的投影向量为=-2a，故D正确. 14.(5分)已知点A，B，C满足||=3，||=4，||=5，则·+·+·的值是　　　　.  答案　-25 解析　∵||2=||2+||2， ∴∠B=90°，∴·=0. ∵cos C=，cos A=， ∴·=||||cos(180°-C)=4×5×=-16. ·=||||cos(180°-A)=5×3×=-9. ∴·+·+·=-25. 15.已知△ABC的外接圆圆心为O，且+=2，||=||，则在上的投影向量为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如图所示， 因为||=||=||， 所以△OAB为等边三角形， 即∠AOB=∠OAB=. 因为+=2， 则O为BC的中点， 所以||=||=||， 故∠OAC=∠OCA=，故∠BAC=. 设在上的投影向量为λ， 则||··=λ， 故λ=·=||||cos =||2cos2=||2，所以λ=. 因此，在上的投影向量为. 16.(12分)如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC=BD，OA=1，∠AOB=120°. (1)若点D是线段OB靠近点O的四分之一分点，用，表示向量；(6分) (2)求·的取值范围.(6分) 解　(1)由已知可得=， 四边形OAMB是菱形，则=+， 所以=-=-(+) =--. (2)易知△MAC≌△MOD，则||=||， 且∠DMC=60°，那么只需求MC的最大值与最小值即可. 当MC⊥OA时，MC最小，此时MC=， 则·=××cos 60°=. 当MC与MO或MA重合时，MC最大，此时MC=1， 则·=1×1×cos 60°=. 所以·的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 <<< 6.2.4 向量的数量积(一) 1.通过物理中功等实例的抽象，理解平面向量数量积的概念及其物理意义. 2.掌握向量数量积的定义及投影向量.(重点) 3.会计算平面向量的数量积.(难点) 学习目标 前面我们学习了向量的线性运算，包括加法、减法和数乘运算，类比数的运算，向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？让我们带着这些问题共同开启今天的探索之旅吧！ 导 语 一、向量的数量积的概念 二、投影向量 课时对点练 三、向量数量积的性质 随堂演练 内容索引 一 向量的数量积的概念 初中物理课中我们学习过功的概念，请大家写出物理中功的计算公式，并用文字语言表述功的计算公式. 问题 提示　如图所示，一物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W=|F||s|cos θ.文字叙述为功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积. 1.两向量的夹角：已知两个 a，b，O是平面上的任意一点，作=a，=b，则 =θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角，如图所示. 非零向量 ∠AOB 当θ=0时，a与b ；当θ=π时，a与b . 2.两向量垂直：如果a与b的夹角是___，我们说 a与b垂直，记作 . 同向 反向 a⊥b 知识梳理 3.两向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作 ，即 .  规定：零向量与任一向量的数量积为 . (1)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，这一点在平面图形中找向量夹角时更需注意.如图所示，∠BAC不是向量与的夹角.作=，则∠BAD才是向量与的夹角. 注 意 点 <<< (2)数量积运算中间是“·”，而且此处的“·”不能省略，也不能写成“×”. (3)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0. (4)设两向量a，b的夹角为θ，则cos θ=. 9 　 (1)已知|a|=4，|b|=5， ①当a∥b时，a·b=　　　　　　；  例 1 20或-20 a∥b，若a与b同向，则θ=0°， a·b=|a||b|cos 0°=4×5×1=20； 若a与b反向，则θ=180°， a·b=|a||b|cos 180°=4×5×(-1)=-20. 10 ②当a⊥b时，a·b=　　　；  0 当a⊥b时，θ=90°，a·b=|a||b|cos 90°=0. 11 ③当a与b的夹角为30°时，a·b=　　　　.  10 当a与b的夹角为30°时，a·b=|a||b|cos 30°=4×5×=10. 12 (2)已知△ABC是边长为6的正三角形，则·=　　　.  -18 如图，△ABC是边长为6的正三角形， 所以||=||=6，∠ABC=60°， 所以·=||||cos(180°-60°)=6×6×=-18. 13 (3)已知|a|=6，|b|=4，|a·b|=12，求a与b的夹角. 因为a·b=|a||b|cos〈a，b〉， 所以|a·b|=||a||b|cos〈a，b〉| =|a||b||cos〈a，b〉|=12. 又|a|=6，|b|=4， 所以|cos〈a，b〉|===，所以cos〈a，b〉=±. 因为〈a，b〉∈［0，π］，所以a与b的夹角为. 14 (1)求平面向量数量积的步骤 ①求a与b的夹角θ，θ∈［0，π］；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b=|a||b|cos θ. (2)求向量夹角的方法：①几何法.借助图形求两个向量夹角时，首先要使两个向量起点重合，从而找到两个向量的夹角，然后再观察向量夹角与图形内角的关系，从而确定夹角大小. 特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0=180°-θ；当λ1λ2>0时，θ0=θ.②代数法.向量a，b夹角的余弦值为cos〈a，b〉=. 反 思 感 悟 15 　(1)已知△ABC中，=a，=b，若a·b<0，则△ABC是 A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.任意三角形 跟踪训练 1 √ 由a·b<0易知，cos〈a，b〉=<0，向量a与b的夹角A为钝角，故△ABC为钝角三角形. 16 (2)在等腰直角三角形ABC中，AB=BC=5，则·=　　，·=　　　　.  由题意，得||=5，||=5，||=5·=5×5×cos 90°=0， ·=5×5×cos 135°=-25. 0 -25 17 二 投影向量 1.如图，设a，b是两个非零向量，=a，=b，作如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b ，叫做向量a在向量b上的 . 投影 投影向量 知识梳理 2.如图，在平面内任取一点O，作=a，=b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为=|a|cos θe=b. 向量a在向量b上的投影向量是一个向量，它与向量b共线，其大小为||a|cos θ|，其中θ为向量a与b的夹角. 注 意 点 <<< 21 　(1)已知e为单位向量，|a|=4，当向量e，a的夹角等于30°时，向量a在向量e上的投影向量为 A.2e B.2e C.2e D.e 例 2 √ 向量a在向量e上的投影向量为|a|cos〈a，e〉e=4cos 30°e=2e. 22 (2)已知O是△ABC的外心，且AC=，则·=　　　　.  -1 如图，取AC的中点D，连接OD， 因为O是△ABC的外心， 所以OD⊥AC， 所以·=-·=-||||cos∠OAC =-||·||=-||×||=-×()2=-1. 23 反 思 感 悟 (1)任意非零向量a，e为与向量a同向的单位向量，则e=. (2)任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于|a|cos θe(θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量). 　已知|a|=2，|b|=4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在 向量b上的投影向量为　　　.  跟踪训练 2 因为|a|=2，|b|=4，向量a与向量b的夹角为120°，所以a在b上的投影向量为|a|cos 120°·=-b. -b 25 三 向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e=e·a=|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b=0. (3)当a∥b时，a·b= 特别地，a·a=|a|2或|a|=________. (4)|a·b| |a||b|. ≤ 知识梳理 　(多选)对于任意向量a，b，c，下列命题不正确的是 A.若a·b=0，则a与b中至少有一个为0 B.向量a与向量b夹角的范围是［0，π) C.若a⊥b，则a·b=0 D.|a|= 例 3 √ √ 28 a·b=0⇒a⊥b或a=0或b=0，所以A错误； 向量夹角的范围是［0，π］，所以B错误； 由数量积的性质知C正确； 因为a·a=|a||a|cos 0=|a|2， 所以|a|=，所以D正确. 29 反 思 感 悟 (1)若a·b=0，则a和b中至少有一个零向量或a，b均为非零向量，且a⊥b. (2)|a|=是求向量长度的工具. 　(多选)下列命题正确的有 A.a·0=0 B.0-= C.若a≠0，则对任一非零向量b，都有a·b≠0 D.若非零向量a与b不垂直，则a·b≠0 跟踪训练 3 √ √ 31 A项，a·0=0，故A错误； B项，0-=，故B正确； C项，若a⊥b，则a·b=0，故C错误； D项，若a，b为非零向量，且a与b不垂直，则a·b≠0，故D正确. 32 1.知识清单： (1)向量数量积. (2)投影向量. (3)向量数量积的性质. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：求向量夹角时需要把向量起点重合才行，尤其是在平面图形中研究向量夹角时要注意夹角与图形的内角之间是否相等. 课堂小结 33 随堂演练 四 1 2 3 4 1.若|m|=4，|n|=6，m与n的夹角θ为45°，则m·n等于 A.12 B.12 C.-12 D.-12 √ 由平面向量数量积的定义可得m·n=|m||n|cos 45°=4×6×=12. 2.已知|a|=2，向量a与向量b的夹角为120°，e是与b同向的单位向量，则a在b上的投影向量为 A.e B.-e C.e D.-e 1 2 3 4 √ a在b上的投影向量为|a|cos 120°·e=-e. 3.在△ABC中，AB=5，BC=2，∠B=60°，则·的值为 A.5 B.5 C.-5 D.-5 1 2 3 4 √ ∵AB=5，BC=2，∠B=60°， ∴·=5×2×cos(180°-60°)=10×=-5. 4.在△ABC中，∠C=90°，BC=AB，则与的夹角是 A.30° B.60° C.120° D.150° 1 2 3 4 √ 如图，作向量=， 则∠BAD是的夹角， 在△ABC中，因为∠ACB=90°，BC=AB， 所以∠ABC=60°，所以∠BAD=120°， 即的夹角是120°. 课时对点练 五 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B ABD B B BCD 30° 题号 11 12 13 14 　15 答案 A C AD -25 　C 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 如图，在平面内取一点O，作=a，=b，以OA，OB为邻边作▱OACB， ∵|a|=|b|，即||=||， ∴四边形OACB为菱形， OC平分∠AOB， 这时=a+b，=a-b， ∠AOC即为a与a+b的夹角. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. ∵|a|=|b|=|a-b|， 即||=||=||，∴∠AOB=， ∴∠AOC=， 即a与a+b的夹角为. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)因为b2=3，所以|b|=. 当a∥b时，有两种情况， ①a与b的夹角为0°时， a·b=|a||b|cos 0°=2××1=2； ②a与b的夹角为180°时， a·b=|a||b|cos 180°=2××(-1)=-2. 所以a·b=2或-2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (2)a·b=|a||b|cos θ=2×2×cos θ=4， 所以cos θ=，又θ∈［0，π］， 所以θ=. (3)当a与b的夹角为150°时， a·b=|a||b|cos 150°=2×|b|×=-6， 所以|b|=2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)由已知可得=， 四边形OAMB是菱形， 则=+， 所以=-=-(+)=--. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (2)易知△MAC≌△MOD，则||=||， 且∠DMC=60°，那么只需求MC的最大值与最小值即可. 当MC⊥OA时，MC最小，此时MC=， 则·=××cos 60°=. 当MC与MO或MA重合时，MC最大，此时MC=1， 则·=1×1×cos 60°=.所以·的取值范围为. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.已知|a|=1，|b|=2，a与b的夹角为，则a·b等于 A.1 B.2 C.3 D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础巩固 √ 16 a·b=|a||b|cos =1×2×=1. 答案 2.若a·b<0，则a和b的夹角θ的取值范围为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 a·b=|a||b|cos θ<0，∴cos θ<0， ∵θ∈［0，π］，∴θ∈. 答案 3.(多选)下列说法正确的是 A.向量a在向量b上的投影向量可表示为· B.若a·b>0，则a与b的夹角θ的取值范围是 C.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，则，的夹角为45° D.若非零向量a和b满足a⊥b，则a·b=0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于选项A，根据投影向量的定义知A正确； 对于选项B，∵a·b=|a||b|cos θ>0，∴cos θ>0，又∵0≤θ≤π，∴θ∈，故B正确； 对于选项C，易知的夹角为135°，故C错误； 对于选项D，a⊥b⇒a·b=0，故D正确. 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.在等腰Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=，则·的值等于 A.-2 B.2 C.-2 D.2 √ 16 ·=||||cos∠ABC=2××cos 45°=2. 答案 5.设a，e均为单位向量，当a，e的夹角为时，a在e方向上的投影向量为 A.-e B.-e C.e D.e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 由题意，a在e方向上的投影向量为|a|cose=1×e=-e. 答案 6.(多选)已知向量a，b满足|a|=3|b|=a·b=3，则下列结论正确的是 A.a⊥b B.a∥b C.|a+b|=4 D.|a-b|=2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由|a|=3|b|=a·b=3， 可得|b|=1， a·b=|a||b|cos〈a，b〉=3cos〈a，b〉=3， 所以cos〈a，b〉=1，因为〈a，b〉∈［0，π］， 所以〈a，b〉=0， 所以a=3b，a∥b，|a+b|=4，|a-b|=2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.已知|a|=2，|b|=，a·b=3，则a与b的夹角为　　　.  因为|a|=2，|b|=，a·b=3， 所以a·b=|a||b|cos〈a，b〉=2××cos〈a，b〉=3， 所以cos〈a，b〉=， 因为0°≤〈a，b〉≤180°， 故〈a，b〉=30°. 30° 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.已知|a|=2|b|≠0，且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根，则a与b的夹角的 取值范围是　　　　　.  16 设a与b的夹角为θ，由题意可得， Δ=|a|2-4a·b≥0， ∵|a|=2|b|， ∴cos θ≤，又θ∈［0，π］，∴θ∈. 答案 56 9.已知a，b是两个非零向量，且|a|=|b|=|a-b|，求a与a+b的夹角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，在平面内取一点O，作=a，=b，以OA，OB为邻边作▱OACB， ∵|a|=|b|，即||=||， ∴四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB， 这时=a+b，=a-b，∠AOC即为a与a+b的夹角. ∵|a|=|b|=|a-b|， 即||=||=||，∴∠AOB=， ∴∠AOC=，即a与a+b的夹角为. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.已知|a|=2， (1)若b2=3，a∥b，求a·b； 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为b2=3，所以|b|=. 当a∥b时，有两种情况， ①a与b的夹角为0°时，a·b=|a||b|cos 0°=2××1=2； ②a与b的夹角为180°时，a·b=|a||b|cos 180°=2××(-1)=-2. 所以a·b=2或-2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若a·b=4，|b|=2，求a与b的夹角θ； 16 a·b=|a||b|cos θ=2×2×cos θ=4， 所以cos θ=，又θ∈［0，π］，所以θ=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)若a·b=-6，a与b的夹角为150°，求|b|. 16 当a与b的夹角为150°时， a·b=|a||b|cos 150° =2×|b|×=-6，所以|b|=2. 答案 11.已知非零向量a，b，c满足a+b+c=0，向量a，b的夹角为120°，且|b|=2|a|，则向量b与c的夹角为 A.150° B.30° C.120° D.60° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 综合运用 16 由题意画出图形，如图，因为a，b的夹角为120°，所以∠CAB=60°，又|b|=2|a|，所以∠ACB=90°，所以∠ABC=30°，则向量b与c的夹角为150°. 答案 12.若平面四边形ABCD满足+=0，(-)·=0，则该四边形一定是 A.直角梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由+=0， 得平面四边形ABCD是平行四边形， 由(-)·=0， 得·=0， 即平行四边形ABCD的对角线互相垂直， 则该四边形一定是菱形. 答案 13.(多选)已知正方形ABCD的边长为2，向量a，b满足=2a，=2a+b，则 A.|b|=2 B.a⊥b C.a·b=2 D.向量b在a上的投影向量为-2a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，取AB的中点E， 则=2=2a， ∴=a，b=-2a =-=. ∴|b|=||=2，故A正确； a·b=·=·=×2×2×=-2，故B，C错误； 结合图形容易知道，向量b在a上的投影向量为=-2a，故D正确. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.已知点A，B，C满足||=3，||=4，||=5，则·+·+· 的值是　　　　.  -25 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵||2=||2+||2， ∴∠B=90°，∴·=0. ∵cos C=，cos A=， ∴·=||||cos(180°-C)=4×5×=-16. ·=||||cos(180°-A)=5×3×=-9. ∴·+·+·=-25. 答案 15.已知△ABC的外接圆圆心为O，且+=2，||=||，则在上的投影向量为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示， 因为||=||=||， 所以△OAB为等边三角形， 即∠AOB=∠OAB=. 因为+=2， 则O为BC的中点， 所以||=||=||， 故∠OAC=∠OCA=，故∠BAC=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设上的投影向量为λ， 则||··=λ， 故λ=·=||||cos =||2cos2=||2，所以λ=. 因此，. 答案 16.如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC=BD，OA=1，∠AOB=120°. (1)若点D是线段OB靠近点O的四分之一分点，用，表示向量； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知可得=， 四边形OAMB是菱形，则=+， 所以=-=-(+) =--. 答案 (2)求·的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 易知△MAC≌△MOD，则||=||， 且∠DMC=60°，那么只需求MC的最大值与最小值即可. 当MC⊥OA时，MC最小，此时MC=， 则·=××cos 60°=. 当MC与MO或MA重合时，MC最大，此时MC=1， 则·=1×1×cos 60°=.所以·. 答案 第一章 <<< $$