第六章 6.2.4 向量的数量积(二)-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（人教A版2019）

6.2.4　向量的数量积(二) ［学习目标］　1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.(重点)2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.(难点) 导语 上节课，我们研究了两个向量的数量积，并能用数量积的定义进行一些简单的计算.我们知道，数乘向量有三个运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？ 一、向量数量积的运算律 问题1　阅读课本第20-21页，请利用向量数量积的定义证明(1)a·b=b·a；(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb). 提示　证明如下： (1)设a，b的夹角为θ，则b，a的夹角也为θ， ∵a·b=|a||b|cos θ，b·a=|b||a|cos θ， ∴a·b=b·a. (2)当λ>0时，(λa)·b=λ|a||b|cos θ，λ(a·b)=λ|a||b|cos θ，a·(λb)=λ|a||b|cos θ； 当λ<0时，(λa)·b=|λa||b|cos(π-θ) =-λ|a||b|(-cos θ)=λ|a||b|cos θ， λ(a·b)=λ|a||b|cos θ，a(λb)=|a||λb|cos(π-θ)=-λ|a||b|(-cos θ)=λ|a||b|cos θ； 当λ=0时，(λa)·b=0·b=0，λ(a·b)=0， a·(λb)=a·0=0. ∴(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb). 问题2　分配律的证明中应用的最关键的知识点是什么？ 提示　投影向量. 问题3　对于任意向量a，b，c，(a·b)c=a(b·c)一定成立吗？为什么？ 提示　不一定成立.因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，即使c与a共线，式子的两边也未必相等，所以(a·b)c=a(b·c)不一定成立. 知识梳理 对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b=b·a(交换律). (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律). (3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律). 注意点： (1)a·b=b·c推不出a=c. (2)(a·b)c≠a(b·c)，它们表示不同的向量. 例1　(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，正确的是(　　) A.a·c-b·c=(a-b)·c B.(b·c)·a-(c·a)·b不与c垂直 C.|a|-|b|<|a-b| D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2 答案　ACD 解析　根据向量数量积的分配律知A正确； ∵［(b·c)·a-(c·a)·b］·c =(b·c)(a·c)-(c·a)(b·c)=0， ∴(b·c)·a-(c·a)·b与c垂直，B错误； ∵a，b不共线，∴|a|，|b|，|a-b|组成三角形， ∴|a|-|b|<|a-b|成立，C正确；显然D正确. 反思感悟　(1)多项式乘法与向量数量积运算的联系 多项式乘法 向量数量积 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)2=a2+2a·b+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a-b)2=a2-2a·b+b2 (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)·(a-b)=a2-b2 (a+b+c)2=a2+b2 +c2+2ab+2bc+2ca (a+b+c)2=a2+b2+c2+ 2a·b+2b·c+2c·a a2+b2=0⇔a=b=0 a2+b2=0⇔a=b=0 (2)向量数量积的运算律说明，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的混合运算，但是我们也应该注意数量积的运算与多项式的运算的区别，比如向量数量积运算中a·b=|a||b|cos θ，而实数的运算中则没有夹角θ. 跟踪训练1　已知向量a，b满足|a|=1，|b|=，a与-b的夹角为，则(a-b)·(2a+b)等于(　　) A.1 B.3 C.-1 D.-5 答案　A 解析　因为a与-b的夹角为，则a与b的夹角为，又|a|=1，|b|=， 则a·b=1××=-1， 所以(a-b)·(2a+b)=2a2-a·b-b2 =2×12-(-1)-()2=1. 二、利用数量积求向量的模和向量的夹角 例2　已知向量a，b，c满足|a|=1，|b|=2，c=a+b，且c⊥a. (1)求向量a与b的夹角； (2)求|3a+b|. 解　(1)因为|a|=1，|b|=2，c=a+b，且c⊥a， 所以c·a=(a+b)·a=a2+a·b=0， 即1+1×2×cos〈a，b〉=0，即cos〈a，b〉=-， 因为〈a，b〉∈［0，π］，所以〈a，b〉=. (2)|3a+b|== ==. 反思感悟　(1)求解向量模的问题主要有两种方法，一是要灵活应用a2=|a|2，即|a|=求解；二是在平面图形中求向量的模时，需要利用图形性质对向量的数量积或夹角进行适当的转化. (2)求向量的夹角，主要是利用公式cos θ=求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解. 跟踪训练2　(1)设向量a，b满足|a+b|=，a·b=1，则|a-b|等于(　　) A. B. C. D.2 答案　B 解析　因为|a+b|2=a2+2a·b+b2 =a2+2+b2=10，所以a2+b2=8， |a-b|2=a2-2a·b+b2=8-2=6， 所以|a-b|=. (2)若非零向量a，b满足2|a|=|b|，且(3a+b)⊥(a-2b)，则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设a与b的夹角为θ，因为非零向量a，b满足2|a|=|b|，且(3a+b)⊥(a-2b)， 所以(3a+b)·(a-2b)=0， 即3a2-5a·b-2b2=0， 所以3|a|2-5|a|·(2|a|)cos θ-2×4|a|2=0， 解得cos θ=-，又0≤θ≤π，所以θ=. 三、与垂直有关的问题 例3　已知非零向量a，b满足4|a|=3|b|，a与b夹角的余弦值为，若(xa+b)⊥b，则实数x等于(　　) A.-4 B.- C.4 D. 答案　A 解析　由4|a|=3|b|， 可设|b|=4t(t>0)，则|a|=3t. 因为(xa+b)⊥b， 所以(xa+b)·b=xa·b+|b|2 =x·3t·4t·+4t·4t=(4x+16)t2=0， 又t>0，所以x=-4. 延伸探究　若本例中的条件不变，将(xa+b)⊥b改为xa+b与b的夹角为锐角，求x的取值范围. 解　设|b|=4t(t>0)，则|a|=3t， ∴(xa+b)·b=xa·b+|b|2 =(4x+16)t2>0，又t>0，∴x>-4， 当xa+b与b同向时，令xa+b=mb(m>0)，即xa=(m-1)b， 解得m=1，x=0. ∴x的取值范围为x>-4且x≠0. 反思感悟　(1)解决有关垂直问题时利用a⊥b⇔a·b=0(a，b为非零向量). (2)a，b夹角为锐角⇔a·b>0且a与b不同向共线； a，b夹角为钝角⇔a·b<0且a与b不反向共线. 跟踪训练3　已知|a|=3，|b|=2，a与b的夹角为60°，c=3a+5b，d=ma-3b. (1)当m为何值时，c与d垂直？ (2)当m为何值时，c与d共线？ 解　(1)由向量c与d垂直，得c·d=0， 而c·d=(3a+5b)·(ma-3b) =3ma2+(5m-9)a·b-15b2 =27m+3(5m-9)-60=42m-87=0， ∴m=，即当m=时，c与d垂直. (2)由c与d共线得，存在实数λ，使得c=λd， ∴3a+5b=λ(ma-3b)， 即(3-λm)a=(-5-3λ)b， ∵a与b不共线， ∴解得 即当m=-时，c与d共线. 1.知识清单： (1)向量数量积的运算律. (2)利用数量积求向量的模和夹角. (3)与垂直有关的问题. 2.方法归纳：类比法. 3.常见误区：忽略向量数量积不满足结合律. 1.下列命题中，不正确的是(　　) A.|a|= B.λ(a·b)=a·(λb) C.(a-b)c=a·c-b·c D.a与b共线⇔a·b=|a||b| 答案　D 解析　对于A，利用数量积公式知a2=|a|2，即|a|=，故A正确； 对于B，λ(a·b)=a·(λb)满足向量数量积的数乘结合律，故B正确； 对于C，(a-b)c=a·c-b·c满足向量数量积的分配律，故C正确； 对于D，a与b共线，则a与b同向或反向，当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=-|a||b|，故D错误. 2.已知向量a，b的夹角为120°，且|a|=1，|b|=2，则(4a-3b)·(3a+2b)等于(　　) A.11 B.-11 C.13 D.-13 答案　B 解析　∵a·b=1×2×=-1. ∴(4a-3b)·(3a+2b) =12|a|2-a·b-6|b|2 =12×1-(-1)-6×4=-11. 3.已知非零向量a，b的夹角为45°，且|a|=2，|a-b|=2，则|b|=　　　　.  答案　2 解析　因为|a-b|= = ==2， 又|a|=2， 所以=2. 由题意知|b|≠0，所以|b|=2. 4.已知|a|=3，|b|=2，⊥，则a与b的夹角的余弦值为　　　　.  答案　 解析　由⊥， 得·=0， 即2a2-5a·b-3b2=0， 代入|a|=3，|b|=2， 可得a·b=， 所以a与b的夹角的余弦值为==. 　　　　 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.已知单位向量a，b满足a⊥(a-b)，则向量a与b的夹角是(　　) A.0 B. C. D. 答案　A 解析　由题设知a·(a-b)=a2-a·b=0， 又a，b为单位向量， ∴1-cos〈a，b〉=0， 即cos〈a，b〉=1，而〈a，b〉∈［0，π］， ∴〈a，b〉=0，即向量a与b的夹角是0. 2.已知a，b方向相同，且|a|=2，|b|=4，则|2a+3b|等于(　　) A.16 B.256 C.8 D.64 答案　A 解析　方法一　∵|2a+3b|2=4a2+9b2+12a·b=16+144+96=256， ∴|2a+3b|=16. 方法二　由题意知2a=b， ∴|2a+3b|=|4b|=4|b|=16. 3.下列命题正确的是(　　) A.若a·b=a·c，则b=c B.若|a+b|=|a-b|，则a·b=0 C.若a，b为不共线的向量，则(a·b)2=a2·b2 D.若a与b是单位向量，则a·b=1 答案　B 解析　若a=0，则对任意的b，c， 都有a·b=a·c，A错误； |a+b|=|a-b|，则|a+b|2=|a-b|2，即a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2，即a·b=0，B正确； 设向量a，b的夹角为α，则(a·b)2==|a|2|b|2cos2α，而a2·b2=|a|2|b|2， 当a，b为不共线的非零向量时，cos2α≠1，所以(a·b)2≠a2·b2，所以该命题是假命题，C错误； a与b是单位向量，只有它们同向时，才有a·b=1，否则a·b<1，D错误. 4.已知向量a，b的夹角为45°，且|a|=4，·=12，则b在a上的投影向量为(　　) A.a B.2b C.a D.2b 答案　A 解析　·(2a-3b)=a2+a·b-3b2=|a|2+|a||b|cos 45°-3|b|2=16+|b|-3|b|2=12， 解得|b|=或|b|=-(舍去).故b在a上的投影向量为|b|cos 45°=××=a. 5.若平面向量a，b，c，两两夹角相等，且|a|=|b|=2，|c|=5，则|a+b+c|等于(　　) A. B.9 C.3或9 D.3或 答案　C 解析　因为平面上三个向量a，b，c，两两夹角相等，|a|=|b|=2，|c|=5， 当两两夹角为120°时， |a+b+c|2=4+4+25+2×2×2×cos 120°+2×2×5×cos 120°+2×2×5×cos 120°=9， 所以|a+b+c|=3； 当两两夹角为0°时，|a+b+c|=2+2+5=9. 6.(多选)已知正三角形ABC的边长为2，设=2a，=b，则下列结论正确的是(　　) A.|a+b|=1 B.a⊥b C.(4a+b)⊥b D.a·b=-1 答案　CD 解析　分析知|a|=1，|b|=2，a与b的夹角是120°，故B错误； ∵(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2 =1+2×1×2×+4=3， ∴|a+b|=，故A错误； ∵(4a+b)·b=4a·b+b2=4×1×2×cos 120°+4=0， ∴(4a+b)⊥b，故C正确； a·b=1×2×cos 120°=-1，故D正确. 7.(5分)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若e1+e2与e1+λe2的夹角为60°，则实数λ的值是　　　　.  答案　- 解析　因为|e1+e2|===2，|e1+λe2|==，且·=+λ， 所以cos 60°==， 解得λ=-. 8.(5分)若两个非零向量a，b满足==，则a-b与a的夹角为　　　　　.  答案　 解析　设向量a-b与a的夹角为θ，因为|a+b|=|a-b|=|2a|=2|a|， 则==4a2， 变形得a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b=4a2 ， 所以a·b=0 且b2=3a2， 则·a=a2= ， 故cos θ=== ， 又0≤θ≤π，则θ=. 9.(10分)已知两个平面向量a与b的夹角为，且|a|=1，|b|=2，记m=3a-b，n=ta+2b. (1)若m⊥n，求实数t的值；(5分) (2)若t=2，m与n的夹角为θ，求cos θ.(5分) 解　(1)由m⊥n得m·n=0， 即m·n=(3a-b)·(ta+2b) =3ta2+(6-t)a·b-2b2 =3t|a|2+(6-t)|a||b|cos-2|b|2 =3t+(6-t)×1×2×-2×22=0， 解得t=1. 所以当m⊥n时，t=1. (2)当t=2时，m=3a-b，n=2a+2b， 所以m·n=(3a-b)·(2a+2b) =6a2+4a·b-2b2 =6|a|2+4|a||b|cos-2|b|2 =6+4×1×2×-2×22=2， |m|===， |n|== =2， 所以cos θ===. 10.(11分)已知|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为120°. (1)求(2a-b)·(a+3b)与|a+b|的值；(5分) (2)若xa-b与a+3b的夹角为钝角，求x的取值范围.(6分) 解　(1)因为|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为120°，所以a·b=|a||b|cos 120°=2×3×=-3. (2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2=2×4-15-3×9=-34. |a+b|====. (2)因为xa-b与a+3b的夹角为钝角， 所以(xa-b)·(a+3b)=xa2+(3x-1)a·b-3b2=4x-9x+3-27<0， 即x>-.又当x=-时，xa-b与a+3b反向， 所以若xa-b与a+3b的夹角为钝角，x的取值范围是∪. 11.已知非零向量a，b，c满足a+b+c=0，向量a，b的夹角为150°，且|b|=|a|，则向量a与c的夹角为(　　) A.60° B.90° C.120° D.150° 答案　B 解析　a·b=|a||b|cos 150°=|a|·|a|·=-|a|2，c=-(a+b)， a·c=-a·(a+b)=-(a2+a·b)=-(|a|2-|a|2)=0，∴a⊥c， 即a与c的夹角为90°. 12.已知平面向量|a|=，|a-b|=1，则|b|的最大值为(　　) A.+1 B.2+1 C.-1 D.2-1 答案　A 解析　设a与b的夹角为θ， 因为|a|=，|a-b|=1， 所以|a-b|2=a2-2a·b+b2=1， 所以|b|2-2|b|cos θ+2=0， 所以|b|==cos θ±，当cos θ=1时，|b|max=+1. 13.若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(-)·(+-2)=0，则△ABC的形状为(　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 答案　A 解析　因为(-)·(+-2)=0， 即·(+)=0， 又因为-=， 所以(-)·(+)=0， 即||=||，所以△ABC是等腰三角形. 14.(5分)记△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=3，c=2，若O是△ABC的外心，则·=　　　　　　 .  答案　 解析　如图，作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E， ∵在圆O中，OD⊥AB， ∴AD=AB， 因此· ===2， 同理可得·==， ∴·=·-· =-2=. 15.(多选)已知向量a，b满足|a+2b|=|a|，|3a+b|=|a-b|，且|a|=2，则(　　) A.|b|=2 B.a+b=0 C.|a-2b|=4 D.a·b=-4 答案　ABD 解析　由|a+2b|=|a|， 得a2+4a·b+4b2=a2， 整理得a·b+b2=0. ① 由|3a+b|=|a-b|， 得9a2+6a·b+b2=a2-2a·b+b2， 整理得a·b+a2=0. ② 由①②及|a|=2，得a2=b2=4， 所以=2，a·b=-4，故A，D正确； cos〈a，b〉===-1，所以〈a，b〉=π，所以a，b反向共线， 又|a|==2，所以a+b=0，|a-2b|=3=6，故B正确，C错误. 16.(12分)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，平面内点O满足(+)·=(+)·=(+)·=0，且b2-2b+c2=0. (1)证明：点O为△ABC的外心；(4分) (2)求·的取值范围.(8分) (1)证明　由(+)·=0， 可得(+)·(-)=-=0， 所以||2=||2，即||=||， 同理||=||，所以||=||=||， 所以点O为△ABC的外心. (2)解　由于O是三角形外接圆的圆心，故O是△ABC三边中垂线的交点. 如图所示，延长AO交外接圆于点D，连接BD，CD，则AD是圆O的直径. 所以∠ACD=∠ABD=90°，cos∠CAD=， cos∠BAD=. 所以·=(-)· =·-·) =(||||cos∠CAD-||||cos∠BAD) =(||2-||2) =(b2-c2)=(b2+b2-2b) =b2-b=-， 因为c2=2b-b2>0，所以0<b<2， 令f(b)=-， 则当b=时，f(b)有最小值-. 又因为f(0)=0，f(2)=2， 所以-≤f(b)<2， 所以·的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 <<< 6.2.4 向量的数量积(二) 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.(重点) 2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.(难点) 学习目标 上节课，我们研究了两个向量的数量积，并能用数量积的定义进行一些简单的计算.我们知道，数乘向量有三个运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？ 导 语 一、向量数量积的运算律 二、利用数量积求向量的模和向量的夹角 课时对点练 三、与垂直有关的问题 随堂演练 内容索引 一 向量数量积的运算律 阅读课本第20-21页，请利用向量数量积的定义证明(1)a·b=b·a； 问题1 提示　证明如下： 设a，b的夹角为θ，则b，a的夹角也为θ， ∵a·b=|a||b|cos θ，b·a=|b||a|cos θ，∴a·b=b·a. (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb). 提示　当λ>0时，(λa)·b=λ|a||b|cos θ，λ(a·b)=λ|a||b|cos θ，a·(λb)=λ|a||b|cos θ； 当λ<0时，(λa)·b=|λa||b|cos(π-θ) =-λ|a||b|(-cos θ)=λ|a||b|cos θ， λ(a·b)=λ|a||b|cos θ，a(λb)=|a||λb|cos(π-θ)=-λ|a||b|(-cos θ)=λ|a||b|cos θ； 当λ=0时，(λa)·b=0·b=0，λ(a·b)=0， a·(λb)=a·0=0. ∴(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb). 问题1 分配律的证明中应用的最关键的知识点是什么？ 问题2 提示　投影向量. 对于任意向量a，b，c，(a·b)c=a(b·c)一定成立吗？为什么？ 问题3 提示　不一定成立.因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，即使c与a共线，式子的两边也未必相等，所以(a·b)c=a(b·c)不一定成立. 对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b=b·a(交换律). (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律). (3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律). 知识梳理 (1)a·b=b·c推不出a=c. (2)(a·b)c≠a(b·c)，它们表示不同的向量. 注 意 点 <<< 11 　(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，正确的是 A.a·c-b·c=(a-b)·c B.(b·c)·a-(c·a)·b不与c垂直 C.|a|-|b|<|a-b| D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2 例 1 √ √ √ 12 根据向量数量积的分配律知A正确； ∵［(b·c)·a-(c·a)·b］·c =(b·c)(a·c)-(c·a)(b·c)=0， ∴(b·c)·a-(c·a)·b与c垂直，B错误； ∵a，b不共线，∴|a|，|b|，|a-b|组成三角形， ∴|a|-|b|<|a-b|成立，C正确； 显然D正确. 13 (1)多项式乘法与向量数量积运算的联系 反 思 感 悟 多项式乘法 向量数量积 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)2=a2+2a·b+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a-b)2=a2-2a·b+b2 (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)·(a-b)=a2-b2 (a+b+c)2=a2+b2 +c2+2ab+2bc+2ca (a+b+c)2=a2+b2+c2+ 2a·b+2b·c+2c·a a2+b2=0⇔a=b=0 a2+b2=0⇔a=b=0 14 (2)向量数量积的运算律说明，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的混合运算，但是我们也应该注意数量积的运算与多项式的运算的区别，比如向量数量积运算中a·b=|a||b|cos θ，而实数的运算中则没有夹角θ. 反 思 感 悟 15 　已知向量a，b满足|a|=1，|b|=，a与-b的夹角为，则(a-b)· (2a+b)等于 A.1 B.3 C.-1 D.-5 跟踪训练 1 √ 因为a与-b的夹角为，则a与b的夹角为，又|a|=1，|b|=， 则a·b=1××=-1， 所以(a-b)·(2a+b)=2a2-a·b-b2 =2×12-(-1)-()2=1. 16 二 利用数量积求向量的模和向量的夹角 　已知向量a，b，c满足|a|=1，|b|=2，c=a+b，且c⊥a. (1)求向量a与b的夹角； 例 2 因为|a|=1，|b|=2，c=a+b，且c⊥a， 所以c·a=(a+b)·a=a2+a·b=0， 即1+1×2×cos〈a，b〉=0，即cos〈a，b〉=-， 因为〈a，b〉∈［0，π］，所以〈a，b〉=. 18 (2)求|3a+b|. |3a+b|== ==. 19 反 思 感 悟 (1)求解向量模的问题主要有两种方法，一是要灵活应用a2=|a|2，即|a|=求解；二是在平面图形中求向量的模时，需要利用图形性质对向量的数量积或夹角进行适当的转化. (2)求向量的夹角，主要是利用公式cos θ=求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解. 　(1)设向量a，b满足|a+b|=，a·b=1，则|a-b|等于 A. B. C. D.2 跟踪训练 2 因为|a+b|2=a2+2a·b+b2 =a2+2+b2=10，所以a2+b2=8， |a-b|2=a2-2a·b+b2=8-2=6， 所以|a-b|=. √ 21 (2)若非零向量a，b满足2|a|=|b|，且(3a+b)⊥(a-2b)，则a与b的夹角为 A. B. C. D. 设a与b的夹角为θ，因为非零向量a，b满足2|a|=|b|，且(3a+b)⊥(a-2b)， 所以(3a+b)·(a-2b)=0， 即3a2-5a·b-2b2=0， 所以3|a|2-5|a|·(2|a|)cos θ-2×4|a|2=0， 解得cos θ=-，又0≤θ≤π，所以θ=. √ 22 三 与垂直有关的问题 已知非零向量a，b满足4|a|=3|b|，a与b夹角的余弦值为，若(xa+b)⊥b，则实数x等于 A.-4 B.- C.4 D. 例 3 √ 24 由4|a|=3|b|， 可设|b|=4t(t>0)，则|a|=3t. 因为(xa+b)⊥b， 所以(xa+b)·b=xa·b+|b|2=x·3t·4t·+4t·4t=(4x+16)t2=0， 又t>0，所以x=-4. 25 　 若本例中的条件不变，将(xa+b)⊥b改为xa+b与b的夹角为锐角，求x的取值范围. 延伸探究 设|b|=4t(t>0)，则|a|=3t， ∴(xa+b)·b=xa·b+|b|2 =(4x+16)t2>0，又t>0，∴x>-4， 当xa+b与b同向时，令xa+b=mb(m>0)，即xa=(m-1)b， 解得m=1，x=0. ∴x的取值范围为x>-4且x≠0. 26 反 思 感 悟 (1)解决有关垂直问题时利用a⊥b⇔a·b=0(a，b为非零向量). (2)a，b夹角为锐角⇔a·b>0且a与b不同向共线； a，b夹角为钝角⇔a·b<0且a与b不反向共线. 已知|a|=3，|b|=2，a与b的夹角为60°，c=3a+5b，d=ma-3b. (1)当m为何值时，c与d垂直？ 跟踪训练 3 由向量c与d垂直，得c·d=0， 而c·d=(3a+5b)·(ma-3b) =3ma2+(5m-9)a·b-15b2 =27m+3(5m-9)-60=42m-87=0， ∴m=，即当m=时，c与d垂直. 28 (2)当m为何值时，c与d共线？ 由c与d共线得，存在实数λ，使得c=λd， ∴3a+5b=λ(ma-3b)， 即(3-λm)a=(-5-3λ)b， ∵a与b不共线， ∴ 即当m=-时，c与d共线. 29 1.知识清单： (1)向量数量积的运算律. (2)利用数量积求向量的模和夹角. (3)与垂直有关的问题. 2.方法归纳：类比法. 3.常见误区：忽略向量数量积不满足结合律. 课堂小结 30 随堂演练 四 1 2 3 4 1.下列命题中，不正确的是 A.|a|= B.λ(a·b)=a·(λb) C.(a-b)c=a·c-b·c D.a与b共线⇔a·b=|a||b| √ 1 2 3 4 对于A，利用数量积公式知a2=|a|2，即|a|=，故A正确； 对于B，λ(a·b)=a·(λb)满足向量数量积的数乘结合律，故B正确； 对于C，(a-b)c=a·c-b·c满足向量数量积的分配律，故C正确； 对于D，a与b共线，则a与b同向或反向，当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=-|a||b|，故D错误. 2.已知向量a，b的夹角为120°，且|a|=1，|b|=2，则(4a-3b)·(3a+2b)等于 A.11 B.-11 C.13 D.-13 1 2 3 4 √ ∵a·b=1×2×=-1. ∴(4a-3b)·(3a+2b)=12|a|2-a·b-6|b|2=12×1-(-1)-6×4=-11. 3.已知非零向量a，b的夹角为45°，且|a|=2，|a-b|=2，则|b|=　　　　.  1 2 3 4 因为|a-b|= = ==2， 又|a|=2，所以=2. 由题意知|b|≠0，所以|b|=2. 2 4.已知|a|=3，|b|=2，⊥，则a与b的夹角的余弦值为　　　.  1 2 3 4 由⊥， 得·=0， 即2a2-5a·b-3b2=0， 代入|a|=3，|b|=2， 可得a·b=， 所以a与b的夹角的余弦值为==. 课时对点练 五 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A B A C CD - 题号 11 12 13 14 　15 答案 B A A ABD 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (1)由m⊥n得m·n=0， 即m·n=(3a-b)·(ta+2b) =3ta2+(6-t)a·b-2b2 =3t|a|2+(6-t)|a||b|cos-2|b|2 =3t+(6-t)×1×2×-2×22=0， 解得t=1.所以当m⊥n时，t=1. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (2)当t=2时，m=3a-b，n=2a+2b， 所以m·n=(3a-b)·(2a+2b) =6a2+4a·b-2b2=6|a|2+4|a||b|cos-2|b|2=6+4×1×2×-2×22=2， |m|===， |n|===2， 所以cos θ===. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)因为|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为120°， 所以a·b=|a||b|·cos 120°=2×3×=-3. (2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2=2×4-15-3×9=-34. |a+b|= = ==. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (2)因为xa-b与a+3b的夹角为钝角， 所以(xa-b)·(a+3b)=xa2+(3x-1)a·b-3b2=4x-9x+3-27<0， 即x>-.又当x=-时， xa-b与a+3b反向， 所以若xa-b与a+3b的夹角为钝角，x的取值范围是∪ . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)由(+)·=0， 可得(+)·(-) =-=0， 所以||2=||2， 即||=||， 同理||=||， 所以||=||=||，所以点O为△ABC的外心. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)由于O是三角形外接圆的圆心，故O是△ABC三边中垂线的交点. 如图所示，延长AO交外接圆于点D，连接BD，CD，则AD是圆O的直径. 所以∠ACD=∠ABD=90°， cos∠CAD=，cos∠BAD=. 所以·=(-)·=·-·) =(||||cos∠CAD-||||cos∠BAD) =(||2-||2) =(b2-c2)=(b2+b2-2b)=b2-b=-， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为c2=2b-b2>0，所以0<b<2， 令f(b)=-， 则当b=时，f(b)有最小值-. 又因为f(0)=0，f(2)=2， 所以-≤f(b)<2， 所以·的取值范围是. 1.已知单位向量a，b满足a⊥(a-b)，则向量a与b的夹角是 A.0 B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础巩固 √ 16 由题设知a·(a-b)=a2-a·b=0， 又a，b为单位向量， ∴1-cos〈a，b〉=0， 即cos〈a，b〉=1，而〈a，b〉∈［0，π］， ∴〈a，b〉=0，即向量a与b的夹角是0. 答案 2.已知a，b方向相同，且|a|=2，|b|=4，则|2a+3b|等于 A.16 B.256 C.8 D.64 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 方法一　∵|2a+3b|2=4a2+9b2+12a·b=16+144+96=256， ∴|2a+3b|=16. 方法二　由题意知2a=b， ∴|2a+3b|=|4b|=4|b|=16. 答案 3.下列命题正确的是 A.若a·b=a·c，则b=c B.若|a+b|=|a-b|，则a·b=0 C.若a，b为不共线的向量，则(a·b)2=a2·b2 D.若a与b是单位向量，则a·b=1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 若a=0，则对任意的b，c， 都有a·b=a·c，A错误； |a+b|=|a-b|，则|a+b|2=|a-b|2，即a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2，即a·b=0，B正确； 设向量a，b的夹角为α，则(a·b)2==|a|2|b|2cos2α，而a2·b2=|a|2|b|2， 当a，b为不共线的非零向量时，cos2α≠1，所以(a·b)2≠a2·b2，所以该命题是假命题，C错误； a与b是单位向量，只有它们同向时，才有a·b=1，否则a·b<1，D错误. 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.已知向量a，b的夹角为45°，且|a|=4，·=12，则b在a上的投影向量为 A.a B.2b C.a D.2b √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ·(2a-3b)=a2+a·b-3b2=|a|2+|a||b|cos 45°-3|b|2 =16+|b|-3|b|2=12， 解得|b|=或|b|=-(舍去).故b在a上的投影向量为|b|cos 45°= ××=a. 答案 5.若平面向量a，b，c，两两夹角相等，且|a|=|b|=2，|c|=5，则|a+b+c|等于 A. B.9 C.3或9 D.3或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为平面上三个向量a，b，c，两两夹角相等，|a|=|b|=2，|c|=5， 当两两夹角为120°时， |a+b+c|2=4+4+25+2×2×2×cos120°+2×2×5×cos120°+2×2×5×cos 120°=9， 所以|a+b+c|=3； 当两两夹角为0°时，|a+b+c|=2+2+5=9. 答案 6.(多选)已知正三角形ABC的边长为2，设=2a，=b，则下列结论正确的是 A.|a+b|=1 B.a⊥b C.(4a+b)⊥b D.a·b=-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 分析知|a|=1，|b|=2，a与b的夹角是120°，故B错误； ∵(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2 =1+2×1×2×+4=3， ∴|a+b|=，故A错误； ∵(4a+b)·b=4a·b+b2=4×1×2×cos 120°+4=0， ∴(4a+b)⊥b，故C正确； a·b=1×2×cos 120°=-1，故D正确. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若e1+e2与e1+λe2的夹角为60°， 则实数λ的值是　　　　.  因为|e1+e2|===2，|e1+λe2|= =·=+λ， 所以cos 60°==， 解得λ=-. - 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.若两个非零向量a，b满足==，则a-b与a的夹角为　　　.  16 答案 57 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设向量a-b与a的夹角为θ，因为|a+b|=|a-b|=|2a|=2|a|， 则==4a2， 变形得a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b=4a2 ， 所以a·b=0 且b2=3a2， 则·a=a2= ， 故cos θ=== ， 又0≤θ≤π，则θ=. 答案 58 9.已知两个平面向量a与b的夹角为，且|a|=1，|b|=2，记m=3a-b，n=ta+2b. (1)若m⊥n，求实数t的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由m⊥n得m·n=0， 即m·n=(3a-b)·(ta+2b) =3ta2+(6-t)a·b-2b2 =3t|a|2+(6-t)|a||b|cos-2|b|2 =3t+(6-t)×1×2×-2×22=0， 解得t=1. 所以当m⊥n时，t=1. 答案 (2)若t=2，m与n的夹角为θ，求cos θ. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当t=2时，m=3a-b，n=2a+2b， 所以m·n=(3a-b)·(2a+2b)=6a2+4a·b-2b2 =6|a|2+4|a||b|cos-2|b|2=6+4×1×2×-2×22=2， |m|===， |n|===2， 所以cos θ===. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.已知|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为120°. (1)求(2a-b)·(a+3b)与|a+b|的值； 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为120°， 所以a·b=|a||b|cos 120°=2×3×=-3. (2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2=2×4-15-3×9=-34. |a+b|====. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若xa-b与a+3b的夹角为钝角，求x的取值范围. 16 因为xa-b与a+3b的夹角为钝角， 所以(xa-b)·(a+3b)=xa2+(3x-1)a·b-3b2=4x-9x+3-27<0， 即x>-.又当x=-时，xa-b与a+3b反向， 所以若xa-b与a+3b的夹角为钝角，x的取值范围是∪ . 答案 11.已知非零向量a，b，c满足a+b+c=0，向量a，b的夹角为150°，且|b|=|a|，则向量a与c的夹角为 A.60° B.90° C.120° D.150° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 综合运用 16 a·b=|a||b|cos 150°=|a|·|a|·=-|a|2，c=-(a+b)， a·c=-a·(a+b)=-(a2+a·b)=-(|a|2-|a|2)=0，∴a⊥c， 即a与c的夹角为90°. 答案 12.已知平面向量|a|=，|a-b|=1，则|b|的最大值为 A.+1 B.2+1 C.-1 D.2-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设a与b的夹角为θ， 因为|a|=，|a-b|=1， 所以|a-b|2=a2-2a·b+b2=1， 所以|b|2-2|b|cos θ+2=0， 所以|b|==cos θ±，当cos θ=1时，|b|max=+1. 答案 13.若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(-)·(+-2)=0，则△ABC的形状为 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为(-)·(+-2)=0， 即·(+)=0， 又因为-=， 所以(-)·(+)=0， 即||=||，所以△ABC是等腰三角形. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.记△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=3，c=2， 若O是△ABC的外心，则·=　　　 .  16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E， ∵在圆O中，OD⊥AB，∴AD=AB， 因此· ===2， 同理可得·==， ∴·=·-·=-2=. 答案 15.(多选)已知向量a，b满足|a+2b|=|a|，|3a+b|=|a-b|，且|a|=2，则 A.|b|=2 B.a+b=0 C.|a-2b|=4 D.a·b=-4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 √ 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由|a+2b|=|a|， 得a2+4a·b+4b2=a2， 整理得a·b+b2=0. ① 由|3a+b|=|a-b|， 得9a2+6a·b+b2=a2-2a·b+b2， 整理得a·b+a2=0. ② 由①②及|a|=2，得a2=b2=4， 所以=2，a·b=-4，故A，D正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 cos〈a，b〉===-1，所以〈a，b〉=π，所以a，b反向共线， 又|a|==2，所以a+b=0，|a-2b|=3=6，故B正确，C错误. 答案 16.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，平面内点O满足(+)·=(+)·=(+)·=0，且b2-2b+c2=0. (1)证明：点O为△ABC的外心； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(+)·=0， 可得(+)·(-)=-=0， 所以||2=||2，即||=||， 同理||=||，所以||=||=||， 所以点O为△ABC的外心. 答案 (2)求·的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于O是三角形外接圆的圆心，故O是△ABC三边中垂线的交点. 如图所示，延长AO交外接圆于点D，连接BD，CD，则AD是圆O的直径. 所以∠ACD=∠ABD=90°，cos∠CAD=， cos∠BAD=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以·=(-)·=·-·) =(||||cos∠CAD-||||cos∠BAD) =(||2-||2) =(b2-c2)=(b2+b2-2b) =b2-b=-， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为c2=2b-b2>0，所以0<b<2， 令f(b)=-， 则当b=时，f(b)有最小值-. 又因为f(0)=0，f(2)=2， 所以-≤f(b)<2， 所以·. 答案 第一章 <<< $$