第六章 6.2.3 向量的数乘运算-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（人教A版2019）

6.2.3　向量的数乘运算 ［学习目标］　1.了解向量数乘的概念.2.理解并掌握平面向量数乘运算及运算规则.(重点)3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法.(重点)4.会用向量的数乘运算解决平行(共线)等平面问题.(难点) 导语 实数的运算中，3个5相加，我们可以写成5+5+5，也可以用乘法表示成5×3；3个a相加，我们可以写成a+a+a，也可以用乘法表示成3a；在向量的运算中，3个a相加，我们可以写成a+a+a，能不能写成3a？这就是我们今天要研究的向量的数乘运算. 一、向量的线性运算 问题1　已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a).它们的长度和方向与向量a分别具有怎样的关系？ 提示　a+a+a的长度是a的长度的3倍，与a的方向相同，(-a)+(-a)+(-a)是a的长度的3倍，与a的方向相反. 问题2　类比实数与代数式的运算，请猜想向量的数乘有哪些运算律？ 提示　结合律，分配律 知识梳理 1.一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下： (1)|λa|=|λ||a|. (2)λa(a≠0)的方向： 特别地，当λ=0时，λa=0. 当λ=-1时，(-1)a=-a. 2.数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)=(λμ)a. (2)(λ+μ)a=λa+μa. (3)λ(a+b)=λa+λb. 特别地，(-λ)a=-(λa)=λ(-a)，λ(a-b)=λa-λb. 3.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b. 注意点： (1)数乘向量与实数的乘法的区别，前者的结果是一个向量，后者的结果是一个实数.特别注意λ=0时，λa=0，此处最容易出现的错误是将实数0与0混淆，错误地表述成λa=0. (2)要注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，如λ+a，λ-a是无法运算的. 例1　设向量a=3i+2j，b=2i-j，求-+(2b-a). 解　原式=a-b-a+b+2b-a =a+b =-a+b=-(3i+2j)+(2i-j) =i+j=-i-5j. 反思感悟　向量线性运算的基本方法 (1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数. (2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算. 跟踪训练1　化简下列各式： (1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a)； (2)［2(2a+8b)-4(4a-2b)］. 解　(1)原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b. (2)原式=(4a+16b-16a+8b)=(-12a+24b)=-2a+4b. 二、用已知向量表示其他向量 例2　在△ABC中，点D为BC的三等分点，设向量a=，b=，用向量a，b表示=　　　.  答案　a+b或a+b 解析　因为D为BC的三等分点， 当BD=BC时，如图1， 则=+ =+ =+-) =+=a+b. 当BD=BC时，如图2， 则=+ =+-) =+=a+b. 反思感悟　用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法 (2)方程(组)法 当直接表示比较困难时，可以首先利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则及向量减法的几何意义建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程(组). 跟踪训练2　(1)△ABC的边BC，CA，AB的中点分别是D，E，F，则+等于(　　) A. B. C.- D.- 答案　C 解析　如图，由题意知+=(+)+(+) =+=+ =-+)=-. (2)如图所示，已知▱ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且=e1，=e2，试用e1，e2表示，. 解　设=x，则=x， =+=e1-x， ===e1-x. 又==x，由+=， 得x+e1-x=e2. 解方程得x=e2-e1，即=e2-e1. 由=-，=e1-x， 得=-e1+e2. 三、向量共线定理 问题3　引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？ 提示　实数与向量的积与原向量共线. 知识梳理 向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b=λa. 注意点： (1)向量共线定理中规定a≠0，b可以为0. (2)λ的值是唯一存在的. (3)向量共线定理的本质是位于同一直线上的向量可以由位于该直线上的一个非零向量表示. 例3　已知e1，e2是两个不共线的向量， (1)如果=e1+e2，=2e1+8e2，=3(e1-e2)，求证：A，B，D三点共线； (2)若a=2e1-3e2，b=2e1+3e2，c=2e1-9e2，则是否存在实数λ，μ，使d=λa+μb与c共线？ (1)证明　∵=e1+e2， =+=2e1+8e2+3e1-3e2 =5(e1+e2)=5. ∴与共线，且有公共点B，∴A，B，D三点共线. (2)解　d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2) =(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2， 要使d与c共线，则存在实数k，使得d=kc， 即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2， 整理，得(2λ+2μ-2k)e1=(3λ-3μ-9k)e2. ∵e1与e2不共线， ∴解得λ=-2μ. 故存在实数λ和μ，使得d与c共线， 此时λ=-2μ. 反思感悟　(1)运用向量知识判断A，B，C三点是否共线，可先判断向量共线，即是否存在λ，使=λ(或=λ等)成立，再说明两向量所在的直线有公共点即可说明. (2)利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解. 跟踪训练3　设a，b是不共线的两个向量. (1)若=2a-b，=3a+b，=a-3b，求证：A，B，C三点共线. (2)若8a+kb与ka+2b共线，求实数k的值. (1)证明　∵=- =(3a+b)-(2a-b)=a+2b， =- =(a-3b)-(3a+b) =-2(a+2b)=-2， ∴与共线，且有公共点B， ∴A，B，C三点共线. (2)解　∵8a+kb与ka+2b共线， ∴存在实数λ，使得8a+kb=λ(ka+2b)， 即(8-λk)a+(k-2λ)b=0， ∵a与b不共线， ∴ 解得λ=±2，∴k=2λ=±4. 1.知识清单： (1)向量的线性运算. (2)用已知向量表示其他向量. (3)向量共线定理及其应用. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 3.常见误区：忽视零向量这一个特殊向量. 1.(多选)已知λ，μ∈R，且a≠0，则在以下各命题中，正确的命题是(　　) A.当λ<0时，λa的方向与a的方向一定相反 B.当λ=0时，λa与a是共线向量 C.|λa|=λ|a| D.当λμ>0时，λa的方向与μa的方向一定相同 答案　ABD 解析　根据实数λ与向量a的积λa的方向的规定，易知A正确；对于B，当λ=0时，λa=0，0与a是共线向量，故B正确；对于D，由λμ>0可得λ，μ同为正或同为负，所以λa和μa或者都是与a同向，或者都是与a反向，所以λa与μa是同向的，故D正确；对于C，|λa|=|λ||a|，故C错误. 2.已知a，b是不共线的两个平面向量，=a+5b，=-2a+8b，=3(a-b)，则(　　) A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线 C.A，C，D三点共线 D.B，C，D三点共线 答案　B 解析　∵=+=-2a+8b+3(a-b)=a+5b=， ∴与共线，又AB与BD有公共点B，则A，B，D三点共线. 3.如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则等于(　　) A.-+ B.+ C.- D.- 答案　D 解析　由题意可得=-，=+， ∵E为BC的中点，F为AE的中点， ∴=，=， ∴=-=-=+)-=+-. 又∵=，∴=-. 4.已知向量a，b，且(3a-2c)+4+a+6b=0，则c=　　　　.(用a，b表示)  答案　-6(a+b) 解析　由已知得a-c+c-4b+a+6b=0， 即2a+c+2b=0， ∴c=-2a-2b， ∴c=-6(a+b). 　　　　 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为(　　) ①m(a-b)=ma-mb；②(m-n)a=ma-na；③若ma=mb，则a=b；④若ma=na，则m=n. A.①④ B.①② C.①③ D.③④ 答案　B 解析　①②显然正确；③中，当m=0时，对于任意两向量a，b，ma=mb都成立，但不一定有a=b，故③错误；④中，当a=0时，不成立，故④错误. 2.如图，在矩形ABCD中，点E为CD的中点，那么向量+等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　在矩形ABCD中，=，又∵E为CD的中点，∴+=+=+=. 3.如图，在△ABC中，=a，=b，=3，=2，则等于(　　) A.-a+b B.a-b C.a+b D.-a+b 答案　D 解析　=+=+ =-)-=-+ =-a+b. 4.(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列条件中，一定能使a，b共线的是(　　) A.2a-3b=4e且a+2b=-2e B.存在相异实数λ，μ，使λa-μb=0 C.xa+yb=0(其中实数x，y满足x+y=0) D.已知梯形ABCD，其中=a，=b 答案　AB 解析　对于A，联立2a-3b=4e和a+2b=-2e消去向量e可得4a+b=0， ∴b=-4a，且a≠0，∴a，b共线； 对于B，∵a，b都是非零向量，且λ≠μ，λa-μb=0， ∴λ，μ都不为0，∴a=b，∴a，b共线； 对于C，当x=y=0时，满足x+y=0，此时对任意的向量a，b都有xa+yb=0，∴不能得出a，b共线； 对于D，∵在梯形ABCD中AB与CD不一定平行，∴不能得出a，b共线. 5.已知在四边形ABCD中，=a+2b，=-4a-b，=-5a-3b，则四边形ABCD为(　　) A.梯形 B.正方形 C.平行四边形 D.矩形 答案　A 解析　∵=++ =(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b) =-8a-2b=2(-4a-b)， ∴=2. ∴与共线，且||=2||. 又∵这两个向量所在的直线不重合， ∴AD∥BC，且AD=2BC. ∴四边形ABCD是以AD，BC为底边的梯形. 6.(多选)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若=a，=b，则(　　) A.=b B.=b C.=a+b D.=a+b 答案　BD 解析　如图所示，∵E是OD的中点， ∴==b. 又△ABE∽△FDE， ∴==. ∴=3，∴=， 在△AOE中，=+=a+b， ∴==a+b. 7.(5分)若a=2b+c，则3(a+2b)-2(3b+c)-2(a+b)=　　　　.  答案　-c 解析　原式=3a+6b-6b-2c-2a-2b =a-2b-2c=2b+c-2b-2c=-c. 8.(5分)已知=，=λ，则实数λ=　　　.  答案　-3 解析　∵=-， ∴==-)， 即=-3，∴λ=-3. 9.(10分)计算： (1)(a+2b)+(3a-2b)-(a-b)；(5分) (2)-.(5分) 解　(1)(a+2b)+(3a-2b)-(a-b) =a+b+a-b-a+b =a+b =a+b. (2)- =-=a+b-a-b=0. 10.(10分)如图，在平行四边形OACB中，BD=BC，OD与BA相交于点E.求证：BE=BA. 证明　如图，设E'是线段BA上的一点，且BE'=BA，只要证E，E'重合即可. 设=a，=b， 则=a，=+=b+a. ∵=-b，=a-，3=， ∴3(-b)=a-， ∴=(a+3b)=， 即=，∴O，E'，D三点共线，∴E与E'重合.∴BE=BA. 11.如图，在平面直角坐标系中，已知=a，=b，任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则等于(　　) A.a+b B.2a-3b C.3a-2b D.2b-2a 答案　D 解析　=-=2-2=2=2(-)=2-2=2b-2a. 12.(多选)下列命题为假命题的是(　　) A.两个具有共同终点的向量，一定是共线向量 B.若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b C.已知λ，μ为实数，若λa=μb，则a与b共线 D.若点O是△ABC所在平面上的一个定点，动点P满足=+λ(+)，λ∈(0，+∞)，则直线AP一定过△ABC的重心 答案　ABC 解析　当两起点与终点不在同一直线上时，虽然终点相同，但是向量不共线，A为假命题；两个向量不能比较大小，B为假命题；当λ=μ=0时，a与b可以为任意向量，满足λa=μb，但a与b不一定共线，C为假命题；取BC中点D，=+λ(+)，λ∈(0，+∞)， 即-=λ(+)， ∴=2λ，λ∈(0，+∞)，即A，P，D三点共线，故直线AP一定过△ABC的重心，D为真命题. 13.(5分)如图，设△ABC的重心为M，O为平面上任一点，=a，=b，=c，用a，b，c表示向量=　　　　.  答案　(a+b+c) 解析　连接AM并延长交BC于D点(图略). ∵M是△ABC的重心， ∴D是BC的中点，且AM=AD. ∴==+)=+ =+=+ =-)+-) =(b-a)+(c-b)=-a+b+c. ∴=+=a+ =(a+b+c). 14.(5分)△ABC所在的平面内有一点P，满足+4+=2，则△PAC与△PBC面积的比值为　　　　.  答案　 解析　因为+4+=2， 所以+4+=2(-)， 所以3+2+=0， 设=3，=2，=， 则++=0， 即P为A'B'C'的重心，设SA'B'P=S， 则S△PAC=S，S△PBC=S， 即△PAC与△PBC面积的比值为=. 15.已知a，b是不共线的向量，=λa+b，=a+μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的充要条件为(　　) A.λ+μ=2 B.λ-μ=1 C.λμ=-1 D.λμ=1 答案　D 解析　∵A，B，C三点共线，∴向量，共线，∴=m，m∈R， 即λa+b=m(a+μb)， ∴(m-λ)a=(1-mμ)b， ∵a，b是不共线的向量， ∴m-λ=0，1-mμ=0， 即m=λ，mμ=1，∴λμ=1. 若λμ=1，则μ=， ∴=a+b=(λa+b)=， ∴，共线，即A，B，C三点共线，故λμ=1为A，B，C三点共线的充要条件. 16.(12分)如图，O是梯形ABCD对角线的交点，AD∥BC，AD=4，BC=6，AB=2，设与同向的单位向量为a0，与同向的单位向量为b0. (1)用a0和b0表示，和；(6分) (2)若点P在梯形ABCD所在的平面上运动，且||=2，求||的最大值和最小值.(6分) 解　(1)由题意知=6a0，=2b0， ∴=-=6a0-2b0. ∵∥，∴=4a0， 则=+ =2b0-6a0+4a0=2b0-2a0. ∵∥， ∴OA∶OC=AD∶BC=2∶3， 则=-=-(6a0-2b0) =-a0+b0. (2)易知点P是在以点C为圆心，2为半径的圆周上运动. 当点P在BC的延长线上时，||取得最大值为6+2=8； 当点P在线段BC上时，||取得最小值为6-2=4. 故||的最大值和最小值分别为8和4. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 <<< 6.2.3 向量的数乘运算 1.了解向量数乘的概念. 2.理解并掌握平面向量数乘运算及运算规则.(重点) 3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法.(重点) 4.会用向量的数乘运算解决平行(共线)等平面问题.(难点) 学习目标 实数的运算中，3个5相加，我们可以写成5+5+5，也可以用乘法表示成5×3；3个a相加，我们可以写成a+a+a，也可以用乘法表示成3a；在向量的运算中，3个a相加，我们可以写成a+a+a，能不能写成3a？这就是我们今天要研究的向量的数乘运算. 导 语 一、向量的线性运算 二、用已知向量表示其他向量 课时对点练 三、向量共线定理 随堂演练 内容索引 一 向量的线性运算 已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a).它们的长度和方向与向量a分别具有怎样的关系？ 问题1 提示　a+a+a的长度是a的长度的3倍，与a的方向相同，(-a)+(-a)+(-a)是a的长度的3倍，与a的方向相反. 类比实数与代数式的运算，请猜想向量的数乘有哪些运算律？ 问题2 提示　结合律，分配律 1.一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个 ，这种运算叫做向量的 ，记作 ，它的长度与方向规定如下： (1)|λa|= . (2)λa(a≠0)的方向： 向量 数乘 λa |λ||a| 特别地，当λ=0时，λa=____. 当λ=-1时，(-1)a=____. 0 -a 知识梳理 2.数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)= . (2)(λ+μ)a= . (3)λ(a+b)= . 特别地，(-λ)a=-(λa)= ，λ(a-b)= . 3.向量的线性运算 向量的 、 、 运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是 .对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)= . 数乘 向量 λμ1a±λμ2b (1)数乘向量与实数的乘法的区别，前者的结果是一个向量，后者的结果是一个实数.特别注意λ=0时，λa=0，此处最容易出现的错误是将实数0与0混淆，错误地表述成λa=0. (2)要注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，如λ+a，λ-a是无法运算的. 注 意 点 <<< 11 设向量a=3i+2j，b=2i-j，求-+(2b-a). 例 1 原式=a-b-a+b+2b-a =a+b =-a+b=-(3i+2j)+(2i-j) =i+j=-i-5j. 12 (1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数. (2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算. 反 思 感 悟 向量线性运算的基本方法 13 　化简下列各式： (1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a)； 跟踪训练 1 原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b. 14 (2)［2(2a+8b)-4(4a-2b)］. 原式=(4a+16b-16a+8b)=(-12a+24b)=-2a+4b. 15 二 用已知向量表示其他向量 　在△ABC中，点D为BC的三等分点，设向量a=，b=，用向量a，b表示=　　　　　　　　　.  例 2 a+b或a+b 17 因为D为BC的三等分点， 当BD=BC时，如图1， 则=+=+ =+-)=+=a+b. 当BD=BC时，如图2， 则=+=+-)=+=a+b. 18 反 思 感 悟 (1)直接法 用已知向量表示其他向量的两种方法 (2)方程(组)法 当直接表示比较困难时，可以首先利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则及向量减法的几何意义建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程(组). 　(1)△ABC的边BC，CA，AB的中点分别是D，E，F，则+等于 A. B. C.- D.- 跟踪训练 2 √ 如图，由题意知+=(+)+(+) =+=+ =-+)=-. 20 (2)如图所示，已知▱ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且=e1，=e2，试用e1，e2表示，. 21 设=x，则=x， =+=e1-x， ===e1-x. 又==x，由+=， 得x+e1-x=e2. 解方程得x=e2-e1，即=e2-e1. 由=-=e1-x，得=-e1+e2. 22 三 向量共线定理 引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？ 问题3 提示　实数与向量的积与原向量共线. 向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 . b=λa 知识梳理 (1)向量共线定理中规定a≠0，b可以为0. (2)λ的值是唯一存在的. (3)向量共线定理的本质是位于同一直线上的向量可以由位于该直线上的一个非零向量表示. 注 意 点 <<< 26 　已知e1，e2是两个不共线的向量， (1)如果=e1+e2，=2e1+8e2，=3(e1-e2)，求证：A，B，D三点共线； 例 3 ∵=e1+e2， =+=2e1+8e2+3e1-3e2 =5(e1+e2)=5. ∴共线，且有公共点B，∴A，B，D三点共线. 27 (2)若a=2e1-3e2，b=2e1+3e2，c=2e1-9e2，则是否存在实数λ，μ，使d=λa+μb与c共线？ 28 d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2) =(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2， 要使d与c共线，则存在实数k，使得d=kc， 即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2， 整理，得(2λ+2μ-2k)e1=(3λ-3μ-9k)e2. ∵e1与e2不共线，∴解得λ=-2μ. 故存在实数λ和μ，使得d与c共线， 此时λ=-2μ. 29 反 思 感 悟 (1)运用向量知识判断A，B，C三点是否共线，可先判断向量共线，即是否存在λ，使=λ(或=λ等)成立，再说明两向量所在的直线有公共点即可说明. (2)利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解. 　设a，b是不共线的两个向量. (1)若=2a-b，=3a+b，=a-3b，求证：A，B，C三点共线. 跟踪训练 3 ∵=- =(3a+b)-(2a-b)=a+2b， =-=(a-3b)-(3a+b)=-2(a+2b)=-2， ∴共线，且有公共点B， ∴A，B，C三点共线. 31 (2)若8a+kb与ka+2b共线，求实数k的值. ∵8a+kb与ka+2b共线， ∴存在实数λ，使得8a+kb=λ(ka+2b)， 即(8-λk)a+(k-2λ)b=0， ∵a与b不共线， ∴ 解得λ=±2，∴k=2λ=±4. 32 1.知识清单： (1)向量的线性运算. (2)用已知向量表示其他向量. (3)向量共线定理及其应用. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 3.常见误区：忽视零向量这一个特殊向量. 课堂小结 33 随堂演练 四 1 2 3 4 1.(多选)已知λ，μ∈R，且a≠0，则在以下各命题中，正确的命题是 A.当λ<0时，λa的方向与a的方向一定相反 B.当λ=0时，λa与a是共线向量 C.|λa|=λ|a| D.当λμ>0时，λa的方向与μa的方向一定相同 √ √ √ 1 2 3 4 根据实数λ与向量a的积λa的方向的规定，易知A正确； 对于B，当λ=0时，λa=0，0与a是共线向量，故B正确； 对于D，由λμ>0可得λ，μ同为正或同为负，所以λa和μa或者都是与a同向，或者都是与a反向，所以λa与μa是同向的，故D正确； 对于C，|λa|=|λ||a|，故C错误. 2.已知a，b是不共线的两个平面向量，=a+5b，=-2a+8b，= 3(a-b)，则 A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线 C.A，C，D三点共线 D.B，C，D三点共线 1 2 3 4 √ ∵=+=-2a+8b+3(a-b)=a+5b=， ∴共线，又AB与BD有公共点B，则A，B，D三点共线. 3.如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则等于 A.-+ B.+ C.- D.- 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 由题意可得=-=+， ∵E为BC的中点，F为AE的中点， ∴==， ∴=-=-=+)-=+-. 又∵=，∴=-. 4.已知向量a，b，且(3a-2c)+4+a+6b=0，则c=　　　　.(用a，b表示)  1 2 3 4 -6(a+b) 由已知得a-c+c-4b+a+6b=0， 即2a+c+2b=0， ∴c=-2a-2b，∴c=-6(a+b). 课时对点练 五 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D AB A BD -c -3 题号 11 12 13 14 　15 答案 D ABC (a+b+c) 　D 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (1)(a+2b)+(3a-2b)-(a-b) =a+b+a-b-a+b =a+b =a+b. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (2)- =- =a+b-a-b=0. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，设E'是线段BA上的一点，且BE'=BA，只要证E，E'重合即可. 设=a，=b， 则=a，=+ =b+a. ∵=-b，=a-， 3=， 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴3(-b)=a-， ∴=(a+3b)=， 即=，∴O，E'，D三点共线，∴E与E'重合.∴BE=BA. 16. (1)由题意知=6a0， =2b0， ∴=-=6a0-2b0. ∵∥，∴=4a0， 则=+=2b0-6a0+4a0=2b0-2a0. ∵∥，∴OA∶OC=AD∶BC=2∶3， 则=-=-(6a0-2b0)=-a0+b0. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (2)易知点P是在以点C为圆心，2为半径的圆周上运动. 当点P在BC的延长线上时，||取得最大值为6+2=8； 当点P在线段BC上时，||取得最小值为6-2=4. 故||的最大值和最小值分别为8和4. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为 ①m(a-b)=ma-mb；②(m-n)a=ma-na；③若ma=mb，则a=b；④若ma=na，则m=n. A.①④ B.①② C.①③ D.③④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础巩固 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ①②显然正确； ③中，当m=0时，对于任意两向量a，b，ma=mb都成立，但不一定有a=b，故③错误； ④中，当a=0时，不成立，故④错误. 16 答案 2.如图，在矩形ABCD中，点E为CD的中点，那么向量 +等于 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 在矩形ABCD中，=，又∵E为CD的中点， ∴+=+=+=. 答案 3.如图，在△ABC中，=a，=b，=3，=2，则等于 A.-a+b B.a-b C.a+b D.-a+b √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 =+=+ =-)-=-+=-a+b. 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列条件中，一定能使a，b共线的是 A.2a-3b=4e且a+2b=-2e B.存在相异实数λ，μ，使λa-μb=0 C.xa+yb=0(其中实数x，y满足x+y=0) D.已知梯形ABCD，其中=a，=b √ 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，联立2a-3b=4e和a+2b=-2e消去向量e可得4a+b=0， ∴b=-4a，且a≠0，∴a，b共线； 对于B，∵a，b都是非零向量，且λ≠μ，λa-μb=0， ∴λ，μ都不为0，∴a=b，∴a，b共线； 对于C，当x=y=0时，满足x+y=0，此时对任意的向量a，b都有xa+yb=0，∴不能得出a，b共线； 对于D，∵在梯形ABCD中AB与CD不一定平行，∴不能得出a，b共线. 答案 5.已知在四边形ABCD中，=a+2b，=-4a-b，=-5a-3b，则四边形ABCD为 A.梯形 B.正方形 C.平行四边形 D.矩形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵=++ =(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b) =-8a-2b=2(-4a-b)， ∴=2. ∴共线，且||=2||. 又∵这两个向量所在的直线不重合， ∴AD∥BC，且AD=2BC. ∴四边形ABCD是以AD，BC为底边的梯形. 答案 6.(多选)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若=a，=b，则 A.=b B.=b C.=a+b D.=a+b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，∵E是OD的中点， ∴==b. 又△ABE∽△FDE， ∴==. ∴=3，∴=， 在△AOE中，=+=a+b，∴==a+b. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.若a=2b+c，则3(a+2b)-2(3b+c)-2(a+b)=　　　　.  原式=3a+6b-6b-2c-2a-2b =a-2b-2c=2b+c-2b-2c=-c. -c 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.已知=，=λ，则实数λ=　　　.  16 ∵=-， ∴==-)， 即=-3，∴λ=-3. 答案 60 9.计算： (1)(a+2b)+(3a-2b)-(a-b)； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (a+2b)+(3a-2b)-(a-b) =a+b+a-b-a+b =a+b=a+b. 答案 (2)-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 - =-=a+b-a-b=0. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.如图，在平行四边形OACB中，BD=BC，OD与BA相交于点E.求证：BE=BA. 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，设E'是线段BA上的一点，且BE'=BA，只要证E，E'重合即可. 设=a，=b， 则=a，=+=b+a. ∵=-b，=a-，3=， ∴3(-b)=a-， ∴=(a+3b)=， 即=，∴O，E'，D三点共线，∴E与E'重合.∴BE=BA. 答案 11.如图，在平面直角坐标系中，已知=a，=b，任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则等于 A.a+b B.2a-3b C.3a-2b D.2b-2a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 综合运用 16 =-=2-2=2=2(-)=2-2=2b-2a. 答案 12.(多选)下列命题为假命题的是 A.两个具有共同终点的向量，一定是共线向量 B.若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b C.已知λ，μ为实数，若λa=μb，则a与b共线 D.若点O是△ABC所在平面上的一个定点，动点P满足=+λ(+)， λ∈(0，+∞)，则直线AP一定过△ABC的重心 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当两起点与终点不在同一直线上时，虽然终点相同，但是向量不共线，A为假命题； 两个向量不能比较大小，B为假命题； 当λ=μ=0时，a与b可以为任意向量，满足λa=μb，但a与b不一定共线，C为假命题； 取BC中点D，=+λ(+)，λ∈(0，+∞)，即-=λ(+)， ∴=2λ，λ∈(0，+∞)，即A，P，D三点共线，故直线AP一定过△ABC的重心，D为真命题. 答案 13.如图，设△ABC的重心为M，O为平面上任一点，=a，=b，=c，用a，b，c表示向量=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (a+b+c) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 连接AM并延长交BC于D点(图略). ∵M是△ABC的重心，∴D是BC的中点，且AM=AD. ∴==+)=+=+=+ =-)+-)=(b-a)+(c-b)=-a+b+c. ∴=+=a+ =(a+b+c). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.△ABC所在的平面内有一点P，满足+4+=2，则△PAC与 △PBC面积的比值为　　　　.  16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为+4+=2， 所以+4+=2(-)， 所以3+2+=0， 设=3=2=， 则++=0， 即P为A'B'C'的重心，设SA'B'P=S，则S△PAC=S，S△PBC=S， 即△PAC与△PBC面积的比值为=. 答案 15.已知a，b是不共线的向量，=λa+b，=a+μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的充要条件为 A.λ+μ=2 B.λ-μ=1 C.λμ=-1 D.λμ=1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵A，B，C三点共线，∴向量共线，∴=m，m∈R， 即λa+b=m(a+μb)， ∴(m-λ)a=(1-mμ)b， ∵a，b是不共线的向量，∴m-λ=0，1-mμ=0， 即m=λ，mμ=1，∴λμ=1. 若λμ=1，则μ=，∴=a+b=(λa+b)=， ∴共线，即A，B，C三点共线，故λμ=1为A，B，C三点共线的充要条件. 答案 16.如图，O是梯形ABCD对角线的交点，AD∥BC，AD=4，BC=6，AB=2，设与同向的单位向量为a0，与同向的单位向量为b0. (1)用a0和b0表示，和； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知=6a0，=2b0， ∴=-=6a0-2b0. ∵∥，∴=4a0， 则=+=2b0-6a0+4a0=2b0-2a0. ∵∥， ∴OA∶OC=AD∶BC=2∶3， 则=-=-(6a0-2b0)=-a0+b0. 答案 (2)若点P在梯形ABCD所在的平面上运动，且||=2，求||的最大值和最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 易知点P是在以点C为圆心，2为半径的圆周上运动. 当点P在BC的延长线上时，||取得最大值为6+2=8； 当点P在线段BC上时，||取得最小值为6-2=4. 故||的最大值和最小值分别为8和4. 答案 第一章 <<< $$