第六章 6.2.1 向量的加法运算-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（人教A版2019）

第六章 <<< 6.2.1 向量的加法运算 1.理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义. 2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，会用它们解决实际问题. (重点)3.掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行计算. 学习目标 我们知道，实数可以进行运算，如1+2=3，2×3=6，正是有了运算，数字才有了无穷的威力，在运算中，我们还有加法交换律和结合律、乘法交换律和结合律，那么向量是否也能像数一样进行运算呢？它的运算规则又是怎样的呢？是不是也有相应的运算律？今天我们就从向量的加法开始，来研究向量的运算，探索其运算性质，体会向量运算的作用. 导 语 一、向量的加法运算 二、共线向量的加法与向量加法的运算律 课时对点练 三、向量加法的实际应用 随堂演练 内容索引 一 向量的加法运算 唐僧当年取经的路线是从东土大唐出发，先绕道新疆，再前往天竺，若孙悟空单独前往，可以直接飞往西天，两种走法的位移相同吗？ 问题1 提示　相同. 物理上，我们进行力的合成时，应用了什么运算法则？请你画出如图力F1和F2的合力F. 问题2 提示　力的合成应用了三角形法则和平行四边形法则.求F1和F2的合力F如图所示. 通过阅读课本，向量的加法运算和力的合成运算规则一样吗？ 问题3 提示　规则一样. 1.已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作=a，=b，则向量叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=+=.求两个向量和的运算，叫做向量的______.这种求向量和的方法，称为向量加法的_______法则.归纳口诀为“首尾相连连首尾”. 加法 三角形 知识梳理 2.以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 法则.归纳口诀为“共起点、对角线”. 3.对于零向量与任意向量a，规定a+0=0+a= . a (1)从平行四边形的性质可知三角形法则和平行四边形法则是一致的. (2)运用向量加法的三角形法则作图时，要“首尾相连连首尾”.运用向量加法的平行四边形法则作图时，要强调两个向量起点相同，其和也与这两个向量共起点. 注 意 点 <<< 11 如图，已知向量a，b，c，求作向量a+b+c. 例 1 如图，在平面内任取一点O，作=a，=b； 作平行四边形AOBC，则=a+b； 再作向量=c， 作平行四边形CODE， 则=+c=a+b+c.则向量即为所求. 12 (1)应用三角形法则求向量和的基本步骤 ①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合； ②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和. (2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤 ①平移两个不共线的向量使之共起点； ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形； ③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量即为两个向量的和. 反 思 感 悟 13 (1)已知平面四边形ABCD，则++等于 A. B. C. D.0 跟踪训练 1 √ ++=+=. 14 (2)在矩形ABCD中，设||=4，||=2，则+的模为 A.2 B.4 C.12 D.6 √ 已知在矩形ABCD中，||=4，||=2， 因为+=+=， 根据勾股定理得， ||===2， 所以+的模为2. 15 二 共线向量的加法与向量加法的运算律 如果向量a，b共线(注意分同向和反向两种情况)，作出它们的和向量后，思考它们的运算结果与数的加法(从同号和异号两种情况)的运算结果有什么关系？ 问题4 提示　两个向量相加仍是一个向量，两个数相加是一个数量.当两向量同向时，和向量的模等于两向量模的和，当两向量反向时，和向量的模等于两向量模的差的绝对值，这与数的运算相似，当两个数同号时，和的绝对值等于绝对值的和，当两个数异号时，和的绝对值等于绝对值差的绝对值. 结合问题4，请探索|a+b|，|a|，|b|之间的关系. 问题5 提示　||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|；当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时右边取等号，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相反的非零向量时左边取等号. 数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？请结合图(1)，(2)，验证你的想法. 问题6 提示　向量的加法满足交换律：a+b=b+a，结合律：a+(b+c)=(a+b)+c. 由图(1)知，在▱ABCD中，设=a，=b，则=b，=a，故=+=a+b.又=+=b+a，所以a+b=b+a. 由图(2)知，设=a，=b，=c，则a+(b+c)=+(+)=+ =， (a+b)+c=(+)+=+=，所以a+(b+c)=(a+b)+c. 1.一般地，我们有 ≤|a+b|≤________，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向 的非零向量时，右边取等号；当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向 的非零向量时，左边取等号.口诀：同号取等方向同，异号取等方向反. 2.(加法交换律)a+b= ； (加法结合律)a+(b+c)= . |a|+|b| ||a|-|b|| 相同 相反 b+a (a+b)+c 知识梳理 　(1)设|a|=8，|b|=12，则|a+b|的最大值与最小值分别为　　，　　.  例 2 20 4 当a，b共线且同向时，|a+b|=|a|+|b|=8+12=20， 当a，b共线且反向时，|a+b|=||a|-|b||=4. 当a，b不共线时，||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|，即4<|a+b|<20， 综上可知，4≤|a+b|≤20，所以最大值为20，最小值为4. 22 (2)设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简： ①++； ++=(+)+=+=. 23 ②+++； +++=(+)+(+)=0+0=0. 24 ③++++. ++++=++++=+++=++=+=0. 25 反 思 感 悟 向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. (2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序. 　(1)(多选)下列说法错误的有 A.如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a+b的方向必与a或b的方 向相同 B.若向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a+b的方向与向量a的方向相同 C.若++=0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点 D.若a，b均为非零向量，则|a+b|=|a|-|b| 跟踪训练 2 √ √ √ 27 A错误，若a+b=0，则a+b的方向是任意的； B正确，若a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同，若它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向相同； C错误，当A，B，C三点共线时，也满足++=0； D错误，||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当a，b方向相反时左边取到等号，当且仅当a，b方向相同时，右边取到等号. 28 (2)如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式： ①++； ++=++=++=+=. 29 ②+++. +++=+++=++=+=0. 30 三 向量加法的实际应用 　一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置. 例 3 32 如图所示， 设分别是直升飞机的位移， 则表示两次位移的合位移， 即=+. 在Rt△ABD中，||=20 km， ||=20 km，则||=||+||=20+40=60(km)， 在Rt△ACD中，||==40(km)，∠CAD=60°， 即此时直升飞机位于A地北偏东30°方向，且距离A地40 km处. 33 反 思 感 悟 (1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题. (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向量问题. (3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题. 应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤 　某人为锻炼身体，经常进行晨练，在一次晨练中，某人从A地按北偏东35°的方向跑了800 m到达B地，然后又从B地按南偏东55°的方向跑了800 m到达C地，求他跑的路程及两次位移的合成. 跟踪训练 3 35 如图所示，设表示他从A地按北偏东35°方向跑了800 m，表示他从B地按南偏东55°的方向跑了800 m. 则他跑的路程指的是||+||；两次位移的合成指的是+=. 依题意，有||+||=800+800=1 600(m). 因为α=35°，β=55°， 所以∠ABC=35°+55°=90°. 所以||==800(m). 36 其中∠BAC=45°，所以方向为北偏东35°+ 45°=80°.从而他跑的路程是1 600 m，两次位移的合成是北偏东80°方向800 m. 37 1.知识清单： (1)向量加法的三角形法则. (2)向量加法的平行四边形法则. (3)向量三角不等式. (4)向量加法的运算律. (5)向量加法的实际应用. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：使用向量加法的三角形法则时要注意向量首尾相接，使用平行四边形法则时要注意把向量移到共同起点. 课堂小结 38 随堂演练 四 1 2 3 4 1.下列等式错误的是 A.a+0=0+a=a B.++=0 C.+=0 D.+=++ √ ++=+≠0，故B错误. 2.如图所示，在四边形ABCD中，=+，则 四边形ABCD为 A.矩形 B.正方形 C.平行四边形 D.菱形 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 ∵=+， ∴=+=++=++= =.∴DC=AB且DC∥AB， ∴四边形ABCD为平行四边形. 3.已知▱ABCD，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点(靠近D点)，若||=3，则|+|=　　.  1 2 3 4 2 在AB上取点G， 使AG=AB， 因为+=+=， 又||=||=2，故|+|=2. 4.小船以10 km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行的速度的大小为　　　 km/h.  1 2 3 4 1 2 3 4 如图，由题意得小船在静水中的速度的大小为 |v1|=10 km/h， 河水的流速的大小为|v2|=10 km/h， 设小船实际航行速度为v0， 则由|v1|2+|v2|2=|v0|2， 得(10)2+102=|v0|2， 所以|v0|=20 km/h， 即小船实际航行的速度的大小为20 km/h. 课时对点练 五 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C ABD B AC D 0 (1)　(2) 题号 11 12 13 14 　15 答案 B D 3 3 AD 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (1)++=+=. (2)++=(+)+=+=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，作▱OACB，使∠AOC=30°，∠BOC=60°， 则∠ACO=∠BOC=60°，∠OAC=90°. 设向量，分别表示两根绳子的拉力， 则表示物体所受的重力，且||=300 N. 所以||=||cos 30°=150 (N)，||=||cos 60°=150(N). 所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N. 16. 由平行四边形的性质可知， ||=||，||=||， 且与方向相反，与方向相反， 故+=0=+， 因为+=+++=+(+)+=+， 同理+=+++=+ (+)+=+， 所以+=+. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.化简++的结果等于 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础巩固 √ 根据向量的三角形法则，可得++=+=. 16 答案 2.++++等于 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 ++++=(+)+(+)+=++=(+)+=+=. 答案 3.(多选)在▱ABCD中，设=a，=b，=c，=d，则下列等式成立的是 A.a+b=c B.a+d=b C.b+d=a D.|a+b|=|c| √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由向量加法的平行四边形法则，知a+b=c成立，故|a+b|=|c|也成立；由向量加法的三角形法则，知a+d=b成立，b+d=a不成立. 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行1 km”，则向量a+b表示 A.向东北方向航行2 km B.向东北方向航行 km C.向正北方向航行2 km D.向正东方向航行2 km √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 如图，易知tan α==1，所以α=45°. 故a+b的方向是东北方向. 又|a+b|= km，故向量a+b表示向东北方向 航行 km. 16 答案 5.(多选)设a=(+)+(+)，b是一个非零向量，则下列结论正确的有 A.a∥b B.a+b=a C.a+b=b D.|a+b|<|a|+|b| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 由条件得，a=(+)+(+)=+++=0，所以选项中a与b的关系，即0与b的关系，易知A，C正确. 16 √ 答案 6.已知，不平行，则 A.|+|>|| B.|+|≥|| C.|+|≥||+|| D.|+|<||+|| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由向量加法的几何意义得||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当a，b共线的时候取到等号，所以本题中，|+|<||+||. 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.|++|=　　.  由++=+=0， 所以|++|=0. 0 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，求(在横线上只填一个向量)： (1)+=　　　　；  16 由已知可得四边形DFCB为平行四边形. 易知=， 所以+=+=. 答案 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)++=　　　　.  16 ++=++=. 答案 61 9.如图所示，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列各式： (1)++； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ++=+=. 16 答案 (2)++. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ++=(+)+=+=. 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.如图，在受重力为300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，要使整个系统处于平衡状态，两根绳子的拉力为多少？ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，作▱OACB，使∠AOC=30°，∠BOC=60°， 则∠ACO=∠BOC=60°，∠OAC=90°. 设向量分别表示两根绳子的拉力， 则表示物体所受的重力，且||=300 N. 所以||=||cos 30°=150 (N)，||=||cos 60°=150(N). 所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N. 答案 11.如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB=1， 则|++|等于 A.1　　 B.2　　 C.3　　 D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 综合运用 16 由正六边形知=， 所以++=++=， 所以|++|=||=2. 答案 12.若在△ABC中，=a，=b，且|a|=|b|=1，|a+b|=，则△ABC的形状是 A.正三角形 B.锐角三角形 C.斜三角形 D.等腰直角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 由题可得△ABC的三边分别为1，1，，符合勾股定理，故△ABC是等腰直角三角形. 答案 13.已知||=3，||=3，∠AOB=60°，则|+|=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 如图，作AC∥OB，BC∥OA，AC与BC交于点C，由||=||=3，可知四边形OACB为菱形.连接OC，AB，则OC⊥AB，设垂足为D. ∵∠AOB=60°，∴||=||=3， ∴在Rt△BDC中，||=. ∴|+|=||=×2=3. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.设|a|=2，e为单位向量，则|a+e|的最大值为　　　.  3 16 |a+e|≤|a|+|e|=3， 当且仅当a与e方向相同时取“=”. 答案 15.(多选)已知a∥b，|a|=2|b|=8，则|a+b|的值可能为 A.4 B.8 C.10 D.12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 √ 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为|a|=2|b|=8， 所以|b|=4，因为a∥b， 所以a，b方向相同或相反， 当a，b同向时，|a+b|=|a|+|b|=12， 当a，b反向时，|a+b|=||a|-|b||=4. 16 答案 16.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O点，P为平面内任意一点.求证：+= +. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由平行四边形的性质可知，||=||，||=||， 且方向相反， 故+=0=+， 因为+=+++=+(+)+=+， 同理+=+++=+ (+)+=+， 所以+=+. 答案 第一章 <<< $$ 6.2.1　向量的加法运算 ［学习目标］　1.理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，会用它们解决实际问题.(重点)3.掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行计算. 导语 我们知道，实数可以进行运算，如1+2=3，2×3=6，正是有了运算，数字才有了无穷的威力，在运算中，我们还有加法交换律和结合律、乘法交换律和结合律，那么向量是否也能像数一样进行运算呢？它的运算规则又是怎样的呢？是不是也有相应的运算律？今天我们就从向量的加法开始，来研究向量的运算，探索其运算性质，体会向量运算的作用. 一、向量的加法运算 问题1　唐僧当年取经的路线是从东土大唐出发，先绕道新疆，再前往天竺，若孙悟空单独前往，可以直接飞往西天，两种走法的位移相同吗？ 提示　相同. 问题2　物理上，我们进行力的合成时，应用了什么运算法则？请你画出如图力F1和F2的合力F. 提示　力的合成应用了三角形法则和平行四边形法则.求F1和F2的合力F如图所示. 问题3　通过阅读课本，向量的加法运算和力的合成运算规则一样吗？ 提示　规则一样. 知识梳理 1.已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作=a，=b，则向量叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=+=.求两个向量和的运算，叫做向量的加法.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.归纳口诀为“首尾相连连首尾”. 2.以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.归纳口诀为“共起点、对角线”. 3.对于零向量与任意向量a，规定a+0=0+a=a. 注意点： (1)从平行四边形的性质可知三角形法则和平行四边形法则是一致的. (2)运用向量加法的三角形法则作图时，要“首尾相连连首尾”.运用向量加法的平行四边形法则作图时，要强调两个向量起点相同，其和也与这两个向量共起点. 例1　如图，已知向量a，b，c，求作向量a+b+c. 解　如图，在平面内任取一点O，作=a，=b； 作平行四边形AOBC，则=a+b； 再作向量=c， 作平行四边形CODE， 则=+c=a+b+c.则向量即为所求. 反思感悟　(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤 ①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合； ②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和. (2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤 ①平移两个不共线的向量使之共起点； ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形； ③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量即为两个向量的和. 跟踪训练1　(1)已知平面四边形ABCD，则++等于(　　) A. B. C. D.0 答案　A 解析　++=+=. (2)在矩形ABCD中，设||=4，||=2，则+的模为(　　) A.2 B.4 C.12 D.6 答案　A 解析　已知在矩形ABCD中，||=4，||=2， 因为+=+=， 根据勾股定理得， ||===2， 所以+的模为2. 二、共线向量的加法与向量加法的运算律 问题4　如果向量a，b共线(注意分同向和反向两种情况)，作出它们的和向量后，思考它们的运算结果与数的加法(从同号和异号两种情况)的运算结果有什么关系？ 提示　两个向量相加仍是一个向量，两个数相加是一个数量.当两向量同向时，和向量的模等于两向量模的和，当两向量反向时，和向量的模等于两向量模的差的绝对值，这与数的运算相似，当两个数同号时，和的绝对值等于绝对值的和，当两个数异号时，和的绝对值等于绝对值差的绝对值. 问题5　结合问题4，请探索|a+b|，|a|，|b|之间的关系. 提示　||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|；当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时右边取等号，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相反的非零向量时左边取等号. 问题6　数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？请结合图(1)，(2)，验证你的想法. 提示　向量的加法满足交换律：a+b=b+a，结合律：a+(b+c)=(a+b)+c. 由图(1)知，在▱ABCD中，设=a，=b，则=b，=a，故=+=a+b.又=+=b+a，所以a+b=b+a. 由图(2)知，设=a，=b，=c，则a+(b+c)=+(+)=+=， (a+b)+c=(+)+=+=，所以a+(b+c)=(a+b)+c. 知识梳理 1.一般地，我们有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时，右边取等号；当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相反的非零向量时，左边取等号.口诀：同号取等方向同，异号取等方向反. 2.(加法交换律)a+b=b+a； (加法结合律)a+(b+c)=(a+b)+c. 例2　(1)设|a|=8，|b|=12，则|a+b|的最大值与最小值分别为　　　　，　　　　.  答案　20　4 解析　当a，b共线且同向时，|a+b|=|a|+|b|=8+12=20， 当a，b共线且反向时，|a+b|=||a|-|b||=4. 当a，b不共线时，||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|，即4<|a+b|<20， 综上可知，4≤|a+b|≤20，所以最大值为20，最小值为4. (2)设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简： ①++； ②+++； ③++++. 解　①++=(+)+=+=. ②+++=(+)+(+)=0+0=0. ③++++=++++=+++=++=+=0. 反思感悟　向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. (2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序. 跟踪训练2　(1)(多选)下列说法错误的有(　　) A.如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a+b的方向必与a或b的方向相同 B.若向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a+b的方向与向量a的方向相同 C.若++=0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点 D.若a，b均为非零向量，则|a+b|=|a|-|b| 答案　ACD 解析　A错误，若a+b=0，则a+b的方向是任意的；B正确，若a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同，若它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向相同；C错误，当A，B，C三点共线时，也满足++=0；D错误，||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当a，b方向相反时左边取到等号，当且仅当a，b方向相同时，右边取到等号. (2)如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式： ①++； ②+++. 解　①++=++=++=+=. ②+++=+++=++=+=0. 三、向量加法的实际应用 例3　一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置. 解　如图所示， 设，分别是直升飞机的位移， 则表示两次位移的合位移， 即=+. 在Rt△ABD中，||=20 km， ||=20 km， 则||=||+||=20+40=60(km)， 在Rt△ACD中，||==40(km)，∠CAD=60°， 即此时直升飞机位于A地北偏东30°方向，且距离A地40 km处. 反思感悟　应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤 (1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题. (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向量问题. (3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题. 跟踪训练3　某人为锻炼身体，经常进行晨练，在一次晨练中，某人从A地按北偏东35°的方向跑了800 m到达B地，然后又从B地按南偏东55°的方向跑了800 m到达C地，求他跑的路程及两次位移的合成. 解　如图所示，设表示他从A地按北偏东35°方向跑了800 m，表示他从B地按南偏东55°的方向跑了800 m. 则他跑的路程指的是||+||；两次位移的合成指的是+=. 依题意，有||+||=800+800=1 600(m). 因为α=35°，β=55°， 所以∠ABC=35°+55°=90°. 所以||==800(m). 其中∠BAC=45°，所以方向为北偏东35°+45°=80°.从而他跑的路程是1 600 m，两次位移的合成是北偏东80°方向800 m. 1.知识清单： (1)向量加法的三角形法则. (2)向量加法的平行四边形法则. (3)向量三角不等式. (4)向量加法的运算律. (5)向量加法的实际应用. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：使用向量加法的三角形法则时要注意向量首尾相接，使用平行四边形法则时要注意把向量移到共同起点. 1.下列等式错误的是(　　) A.a+0=0+a=a B.++=0 C.+=0 D.+=++ 答案　B 解析　++=+≠0，故B错误. 2.如图所示，在四边形ABCD中，=+，则四边形ABCD为(　　) A.矩形 B.正方形 C.平行四边形 D.菱形 答案　C 解析　∵=+， ∴=+=++=++=，即=.∴DC=AB且DC∥AB， ∴四边形ABCD为平行四边形. 3.已知▱ABCD，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点(靠近D点)，若||=3，则|+|=　　　　.  答案　2 解析　在AB上取点G， 使AG=AB， 因为+=+=， 又||=||=2，故|+|=2. 4.小船以10 km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行的速度的大小为　　　　 km/h.  答案　20 解析　如图，由题意得小船在静水中的速度的大小为 |v1|=10 km/h， 河水的流速的大小为 |v2|=10 km/h， 设小船实际航行速度为v0， 则由|v1|2+|v2|2=|v0|2， 得(10)2+102=|v0|2， 所以|v0|=20 km/h， 即小船实际航行的速度的大小为20 km/h. 　　　　 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.化简++的结果等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　根据向量的三角形法则，可得++=+=. 2.++++等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　++++=(+)+(+)+=++=(+)+=+=. 3.(多选)在▱ABCD中，设=a，=b，=c，=d，则下列等式成立的是(　　) A.a+b=c B.a+d=b C.b+d=a D.|a+b|=|c| 答案　ABD 解析　由向量加法的平行四边形法则，知a+b=c成立，故|a+b|=|c|也成立；由向量加法的三角形法则，知a+d=b成立，b+d=a不成立. 4.若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行1 km”，则向量a+b表示(　　) A.向东北方向航行2 km B.向东北方向航行 km C.向正北方向航行2 km D.向正东方向航行2 km 答案　B 解析　如图，易知tan α==1，所以α=45°. 故a+b的方向是东北方向. 又|a+b|= km，故向量a+b表示向东北方向航行 km. 5.(多选)设a=(+)+(+)，b是一个非零向量，则下列结论正确的有(　　) A.a∥b B.a+b=a C.a+b=b D.|a+b|<|a|+|b| 答案　AC 解析　由条件得，a=(+)+(+)=+++=0，所以选项中a与b的关系，即0与b的关系，易知A，C正确. 6.已知，不平行，则(　　) A.|+|>|| B.|+|≥|| C.|+|≥||+|| D.|+|<||+|| 答案　D 解析　由向量加法的几何意义得||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当a，b共线的时候取到等号，所以本题中，|+|<||+||. 7.(5分)|++|=　　　　.  答案　0 解析　由++=+=0， 所以|++|=0. 8.(5分)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，求(在横线上只填一个向量)： (1)+=　　　　；  (2)++=　　　　.  答案　(1)　(2) 解析　由已知可得四边形DFCB为平行四边形. (1)易知=， 所以+=+=. (2)++=++=. 9.(10分)如图所示，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列各式： (1)++；(5分) (2)++.(5分) 解　(1)++=+=. (2)++=(+)+=+=. 10.(10分)如图，在受重力为300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，要使整个系统处于平衡状态，两根绳子的拉力为多少？ 解　如图，作▱OACB，使∠AOC=30°，∠BOC=60°， 则∠ACO=∠BOC=60°，∠OAC=90°. 设向量，分别表示两根绳子的拉力， 则表示物体所受的重力，且||=300 N. 所以||=||cos 30°=150 (N)，||=||cos 60°=150(N). 所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N. 11.如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB=1，则|++|等于(　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.2 答案　B 解析　由正六边形知=， 所以++=++=， 所以|++|=||=2. 12.若在△ABC中，=a，=b，且|a|=|b|=1，|a+b|=，则△ABC的形状是(　　) A.正三角形 B.锐角三角形 C.斜三角形 D.等腰直角三角形 答案　D 解析　由题可得△ABC的三边分别为1，1，，符合勾股定理，故△ABC是等腰直角三角形. 13.(5分)已知||=3，||=3，∠AOB=60°，则|+|=　　　　.  答案　3 解析　如图，作AC∥OB，BC∥OA，AC与BC交于点C，由||=||=3，可知四边形OACB为菱形.连接OC，AB，则OC⊥AB，设垂足为D. ∵∠AOB=60°，∴||=||=3， ∴在Rt△BDC中，||=. ∴|+|=||=×2=3. 14.(5分)设|a|=2，e为单位向量，则|a+e|的最大值为　　　.  答案　3 解析　|a+e|≤|a|+|e|=3， 当且仅当a与e方向相同时取“=”. 15.(多选)已知a∥b，|a|=2|b|=8，则|a+b|的值可能为(　　) A.4 B.8 C.10 D.12 答案　AD 解析　因为|a|=2|b|=8， 所以|b|=4，因为a∥b， 所以a，b方向相同或相反， 当a，b同向时，|a+b|=|a|+|b|=12， 当a，b反向时，|a+b|=||a|-|b||=4. 16.(12分)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O点，P为平面内任意一点.求证：+=+. 证明　由平行四边形的性质可知，||=||，||=||， 且与方向相反，与方向相反， 故+=0=+， 因为+=+++=+(+)+=+， 同理+=+++=+ (+)+=+， 所以+=+. 学科网（北京）股份有限公司 $$