第六章 §6.1 平面向量的概念-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（人教A版2019）

第六章 <<< §6.1 平面向量的概念 1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.(重点) 2.理解平面向量的几何表示和基本要素. 学习目标 2024年5月8日10时12分，经过约5天数十万公里的星际航行，嫦娥六号探测器在制导导航与控制(GNC)系统的全自主操控下，成功实施近月制动，顺利进入环月轨道飞行，投入月亮的“怀抱”.近月制动是嫦娥六号探测器在飞行过程中的一次关键轨道控制.嫦娥六号探测器飞临月球附近时，实施“刹车”制动，使其相对速度低于月球逃逸速度，从而被月球引力捕获，实现绕月飞行.这一脚“刹车”可不是普通的刹车.想要做到精准无误，可谓“难于上青天”，我们既要控制速度的大小，又要控制速度的方向.两者的完美结合展现了我国航天事业的辉煌成就！今天，我们也将开启探究之旅，去寻找一种既有大小又有方向的量——向量. 导 语 一、向量的概念及其表示 二、向量的简单应用 课时对点练 三、相等向量与共线向量 随堂演练 内容索引 一 向量的概念及其表示 物理上，我们已经学习了 “位移”“速度”等概念，它们的共同特征是什么？你还能举出具有这种特征的量吗？ 问题1 提示　既有大小又有方向.力、加速度等. 我们知道数量可以用实数表示，而实数与数轴上的点一一对应，所以数量可以用数轴上的点表示，那么我们用什么表示这样既有大小又有方向的量呢？ 问题2 提示　具有方向的线段. 1.向量的概念 (1)向量：在数学中，我们把既有 又有 的量叫做向量. (2)数量：只有 没有 的量称为数量. 2.向量的表示 (1)有向线段 具有 的线段叫做有向线段，它包含三个要素： 、 、 . 如图所示，以A为起点、B为终点的有向线段记作， 线段AB的 也叫做有向线段的长度，记作||. 大小 方向 大小 方向 方向 起点 方向 长度 长度 知识梳理 (2)向量的表示方法 ①几何表示：向量可以用___________ 来表示，记作________，有向线段的长度||表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.向量的大小称为向量的______(或称 )，记作_____. ②字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用___________). 有向线段 向量 长度 模 || ，， 3.零向量、单位向量 向量名称 定义 方向 零向量 长度为____的向量，记作0 方向任意 单位向量 长度等于____________的向量 平面上任何方向的向量都有一个与其方向相同的单位向量 0 1个单位长度 (1)书写向量时要带箭头. (2)有向线段是表示向量的一种方法，是向量的直观表示，但二者不能划等号.从定义上看，向量有大小和方向两要素，而有向线段有起点、方向、长度三要素，因此这是两个不同的概念. (3)向量不能比较大小，向量的模可以比较大小. (4)0与0不同.0表示数量，但0表示零向量，其中|0|=0. (5)方向不同的单位向量不是同一向量；与向量a方向相同的单位向量可记为. 注 意 点 <<< 11 　(1)(多选)下列说法错误的是 A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 C.向量的大小与方向有关 D.向量的模可以比较大小 例 1 √ A项，向量不能比较大小，不正确； B项，同向的向量也不能比较大小，不正确； C项，向量的大小即向量的模，指的是向量的长度，与方向无关，不正确； D项，向量的模是一个数量，可以比较大小，正确. √ √ 12 (2)(多选)下列说法正确的是 A.长度为2 024 cm的有向线段不可能表示单位向量 B.零向量的长度为0 C.零向量的方向是任意的 D.单位向量都相等 √ 当一个单位长度取2 024 cm时，2 024 cm长的有向线段刚好表示单位向量，故A错误； 由零向量的定义知，零向量的长度为0，方向是任意的，故BC正确；单位向量的模相等，但方向不一定相同，故D错误. √ 13 (1)向量是既有大小又有方向的量，两个向量不能比较大小，但向量的模 (长度)是一个数量，可以比较大小. (2)解决此类问题的关键是突出向量的核心——方向和长度，如：单位向量的核心是长度都是1个单位长度，不同方向上的单位向量不相等；零向量的核心是长度是0，其方向都是任意的. 反 思 感 悟 有关向量概念问题的解决方法 14 　(1)下列说法正确的是 A.身高是一个向量 B.平面直角坐标系上的x轴、y轴都是向量 C.温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D.物理学中的摩擦力、重力都是向量 跟踪训练 1 √ A中的身高，C中的温度都是数量，不是向量，故AC错误； B中平面直角坐标系上的x轴、y轴只有方向，但没有长度，也不是向量，故B错误； D中的物理学中的摩擦力、重力都既有大小，又有方向，是向量. 15 (2)(多选)下列命题正确的是 A.若向量a=，b=，则|a|=|b| B.若a是单位向量，b也是单位向量，则a与b的方向相同或相反 C.若向量是单位向量，则也是单位向量 D.△ABC中，∠A=90°，若该三角形的外接圆的半径长为，则为单 位向量 √ √ √ 16 由于|a|=||=AB，|b|=||=BA=AB，因此有|a|=|b|，故A正确； 由单位向量的定义知，长度为1个单位长度的向量均称为单位向量，但是对方向没有任何要求，故B不正确； 因为||=||，所以当也是单位向量，故C正确； 由于Rt△ABC的斜边BC是外接圆的直径，所以||=1，故D正确. 17 二 向量的简单应用 　一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后改变方向向北偏西40°行驶了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点. (1)作出向量，，； 例 2 作出向量，如图所示. 19 (2)求的模. 连接AD，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD. 所以四边形ABCD为平行四边形. 所以||=||=200 km，故的模为200 km. 20 反 思 感 悟 用有向线段表示向量的步骤 　在如图所示的坐标纸中(每一个小方格边长 为1)，用直尺和圆规画出下列向量. (1)||=3，点A在点O正西方向； (2)||=3，点B在点O北偏西45°方向. 跟踪训练 2 22 三 相等向量与共线向量 平行向量 (共线向量) 方向___________的_____向量；平行向量也叫做共线向量.向量a与b平行，记作a∥b，规定：零向量与_____向量平行 相等向量 长度_____且方向_____的向量；向量a与b相等，记作a=b 相同或相反 非零 任意 相等 相同 知识梳理 (1)若a∥b，b∥c，则a与c未必共线. (2)两向量共线，则两向量所在的直线平行或重合. 注 意 点 <<< 25 　如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点. (1)写出与共线的向量； 例 3 因为E，F分别是AC，AB的中点， 所以EF∥BC，EF=BC. 又因为D是BC的中点， 所以与. 26 (2)写出模与的模相等的向量； 模与. 27 (3)写出与相等的向量. 与. 28 反 思 感 悟 相等向量与共线向量的区别与联系： (1)相等向量是指长度相等且方向相同的向量.共线向量是方向相同或相反的非零向量，共线向量也叫平行向量. (2)向量相等具备传递性，而向量的共线不具备传递性.(注意0) (3)相等向量一定是共线向量，而共线向量不一定相等. 　如图所示，四边形ABCD与ABDE是平行 四边形. (1)找出与向量共线的向量； 跟踪训练 3 依据图形可知，. 30 (2)找出与向量相等的向量. 由四边形ABCD与ABDE是平行四边形，知 . 31 1.知识清单： (1)向量的概念及其表示. (2)向量的应用. (3)相等向量与共线向量. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：零向量和单位向量的方向容易混淆. 课堂小结 32 随堂演练 四 1 2 3 4 1.有下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功.其中，不是向量的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 因为速度、力和加速度既有大小又有方向，所以它们是向量；而质量、路程和功只有大小没有方向，所以它们不是向量，故不是向量的个数是3. 2.(多选)在下列四个命题中，正确的是 A.单位向量都共线 B.长度相等的向量都相等 C.共线的单位向量不一定相等 D.任意向量与零向量都共线 1 2 3 4 √ √ 1 2 3 4 对于A，单位向量长度都相等，但不一定都共线，A错误； 对于B，长度相等的向量，方向不一定相同，故长度相等的向量不一定相等，B错误； 对于C，共线的单位向量方向可能相反，C正确； 对于D，任意向量与零向量都共线，D正确. 3.如图，点A，B，C是以O为圆心的圆周上的三等分点，则向量，，是 A.方向相同的向量 B.共线向量 C.模相等的向量 D.相等的向量 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 由题图可知，三个向量方向均不同，也没任何两个向量方向相反，所以它们不共线，由于它们到点O的距离相等，所以模相等. 4.如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则||=　　　.  1 2 3 4 因为正方形的对角线长为2，所以||=. 课时对点练 五 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D C AB B ABC 梯形 2 题号 11 12 13 14 　15 答案 C C ABD 11 　B 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 (1)与向量共线的向量有，，. (2)在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，因为E，F分别是CD，AB的中点， 所以ED∥BF且ED=BF， 所以四边形BFDE是平行四边形， 故=. 10. 由题可知，集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段，共有20个，即，，，，，，，，，，，，，，，，，，，. 由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即=，=，=，=，=，=，=，=，因为集合元素具有互异性，所以集合T中的元素共有12个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 (1)画出所有的向量，如图所示. (2)由(1)所画的图知， ①当点C位于点C1或C2时， ||取得最小值为=； ②当点C位于点C5或C6时， ||取得最大值为=. 所以||的最大值为，最小值为. 1.下列说法不正确的是 A.向量的模是一个非负实数 B.任何一个非零向量都可以平行移动 C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量 D.两个有共同起点且共线的向量终点也必相同 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础巩固 √ 两个有共同起点且共线的向量的方向不一定相同、长度不一定相等，故终点不一定相同，故D错误. 16 答案 2.在下列判断中，正确的是 A.长度为0的向量不都是零向量 B.零向量的方向都是相同的 C.单位向量的方向都是相同的 D.以平面直角坐标系中的定点A为起点，所有单位向量的终点P的集合是 以A为圆心的单位圆 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 长度为0的向量都是零向量，A错误； 零向量的方向是任意的，B错误； 单位向量的方向不一定相同，C错误； 由于||=1，所以点P是以点A为圆心的单位圆上的一点，D正确. 16 答案 3.汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列命题中正确的是 A.汽车的速度大于摩托车的速度 B.汽车的位移大于摩托车的位移 C.汽车走的路程大于摩托车走的路程 D.以上都不对 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 向量不能比较大小. 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.(多选)下列说法正确的是 A.||=|| B.e1，e2是单位向量，则|e1|=|e2| C.若非零向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线 D.若||>||，则> √ √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于A，互为相反向量，它们的模相等，A正确； 对于B，所有的单位向量的模相等，B正确； 对于C，向量的共线不同于有向线段共线，故当共线时，A，B，C，D四点不一定共线，C错误； 对于D，向量的模可以比较大小，而向量不能比较大小，D错误. 16 答案 5.在△ABC中，AB=AC，D，E分别是AB，AC的中点，则 A.与共线 B.与共线 C.与相等 D.与相等 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 如图所示，因为D，E分别是AB，AC的中点，由三角形的中位线定理可得DE∥BC，所以共线. 16 答案 6.(多选)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，则以下说法正确的是 A.与是平行向量 B.与||相等的向量有9个(不含) C.的模恰为的模的 倍 D.与不共线 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由于都在直线BD上，故二者为平行向量，因此选项A正确； 而与，共9个，因此选项B正确； 而在Rt△AOD中， 因为∠ADO=30°，所以||=||， 故||=||，因此选项C正确； 由于=是共线的，因此选项D不正确. 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.在四边形ABCD中，若∥，且||≠||，则四边形ABCD的形状是　　　　.  在四边形ABCD中，因为∥，所以AB∥CD， 又||≠||，所以四边形ABCD的形状是梯形. 梯形 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD交于点O，过点O作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，则在以A，B，C，D，M，O，N为起点或终点的所有有向线段表示的向量中，相等向量有　　对.  2 16 答案 55 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 已知CD∥AB，则△OCD∽△OAB，所以==. 因为MN∥AB，所以==， 所以=，所以OM=ON. 又M，O，N三点共线， 所以==，故相等向量有2对. 16 答案 56 9.在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD，AB的中点，如图所示. (1)写出与向量共线的向量； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 与向量. 16 答案 (2)求证：=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，因为E，F分别是CD，AB的中点， 所以ED∥BF且ED=BF， 所以四边形BFDE是平行四边形， 故=. 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.如图所示，在平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S=｛A，B，C，D，O｝，向量集合T=｛|M，N∈S，且M，N不重合｝，试求集合T中元素的个数. 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题可知，集合T中的元素实质上是S中任意两点 连成的有向线段，共有20个，即 . 由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即========，因为集合元素具有互异性，所以集合T中的元素共有12个. 16 答案 11.下列命题正确的是 A.若|a|=|b|，则a=b B.若|a|>|b|，则a>b C.若a=b，则a∥b D.若|a|=0，则a=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 综合运用 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于A，由|a|=|b|可得a与b的长度相等，但方向不一定相同，所以a与b不一定相等，所以A错误； 对于B，由|a|>|b|可得a的长度大于b的长度，而向量是既有大小又有方向的量，不能比较大小，所以B错误； 对于C，由a=b可得a与b的长度相等，方向相同，所以有a∥b，所以C正确； 对于D，由|a|=0，可得a=0，而不是0，所以D错误. 16 答案 12.如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与平行且模为的向量共有 A.12个 B.18个 C.24个 D.36个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意知，每个小正方形的边长为1，则对角线长为 的向量，3×4的格点图中包含12个小正方形，所以共有24个向量满足要求. 16 答案 13.(多选)如图，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是 A.||=|| B.与共线 C.与共线 D.= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于A，因为四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，所以||=||一定成立； 对于B，根据菱形的性质，共线一定成立； 对于C，共线不成立； 对于D，根据菱形的性质，=一定成立. 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字.如图，在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量，表示马走了“一步”.若马在B或C处，则以B，C为起点表示马走了“一步”的向量共有　　个.  11 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 马在A处有两条路可走，在B处有三条路可走，在C处有八条路可走. 如图，以B点为起点作向量，共3个；以C点为起点作向量，共8个，所以共有11个. 16 答案 15.已知A=｛与a共线的向量｝，B=｛与a长度相等的向量｝，C=｛与a长度相等，方向相反的向量｝，其中a为非零向量，下列关系中错误的是 A.C⊆A B.A∩B=｛a｝ C.C⊆B D.A∩B⊇｛a｝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 √ 因为A∩B中包含与a长度相等且方向相反的向量，故B错误. 16 答案 16.如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且||=. (1)画出所有的向量； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 画出所有的向量，如图所示. 15 16 答案 (2)求||的最大值与最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由(1)所画的图知， ①当点C位于点C1或C2时， ||取得最小值为=； ②当点C位于点C5或C6时， ||取得最大值为=. 所以||的最大值为. 15 16 答案 第一章 <<< $$ ［学习目标］　1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.(重点)2.理解平面向量的几何表示和基本要素. 导语 2024年5月8日10时12分，经过约5天数十万公里的星际航行，嫦娥六号探测器在制导导航与控制(GNC)系统的全自主操控下，成功实施近月制动，顺利进入环月轨道飞行，投入月亮的“怀抱”.近月制动是嫦娥六号探测器在飞行过程中的一次关键轨道控制.嫦娥六号探测器飞临月球附近时，实施“刹车”制动，使其相对速度低于月球逃逸速度，从而被月球引力捕获，实现绕月飞行.这一脚“刹车”可不是普通的刹车.想要做到精准无误，可谓“难于上青天”，我们既要控制速度的大小，又要控制速度的方向.两者的完美结合展现了我国航天事业的辉煌成就！今天，我们也将开启探究之旅，去寻找一种既有大小又有方向的量——向量. 一、向量的概念及其表示 问题1　物理上，我们已经学习了 “位移”“速度”等概念，它们的共同特征是什么？你还能举出具有这种特征的量吗？ 提示　既有大小又有方向.力、加速度等. 问题2　我们知道数量可以用实数表示，而实数与数轴上的点一一对应，所以数量可以用数轴上的点表示，那么我们用什么表示这样既有大小又有方向的量呢？ 提示　具有方向的线段. 知识梳理 1.向量的概念 (1)向量：在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小没有方向的量称为数量. 2.向量的表示 (1)有向线段 具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度. 如图所示，以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作||. (2)向量的表示方法 ①几何表示：向量可以用有向线段来表示，记作向量，有向线段的长度||表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作||. ②字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，). 3.零向量、单位向量 向量名称 定义 方向 零向量 长度为0的向量，记作0 方向任意 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 平面上任何方向的向量都有一个与其方向相同的单位向量 注意点： (1)书写向量时要带箭头. (2)有向线段是表示向量的一种方法，是向量的直观表示，但二者不能划等号.从定义上看，向量有大小和方向两要素，而有向线段有起点、方向、长度三要素，因此这是两个不同的概念. (3)向量不能比较大小，向量的模可以比较大小. (4)0与0不同.0表示数量，但0表示零向量，其中|0|=0. (5)方向不同的单位向量不是同一向量；与向量a方向相同的单位向量可记为. 例1　(1)(多选)下列说法错误的是(　　) A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 C.向量的大小与方向有关 D.向量的模可以比较大小 答案　ABC 解析　A项，向量不能比较大小，不正确； B项，同向的向量也不能比较大小，不正确； C项，向量的大小即向量的模，指的是向量的长度，与方向无关，不正确； D项，向量的模是一个数量，可以比较大小，正确. (2)(多选)下列说法正确的是(　　) A.长度为2 024 cm的有向线段不可能表示单位向量 B.零向量的长度为0 C.零向量的方向是任意的 D.单位向量都相等 答案　BC 解析　当一个单位长度取2 024 cm时，2 024 cm长的有向线段刚好表示单位向量，故A错误；由零向量的定义知，零向量的长度为0，方向是任意的，故BC正确；单位向量的模相等，但方向不一定相同，故D错误. 反思感悟　有关向量概念问题的解决方法 (1)向量是既有大小又有方向的量，两个向量不能比较大小，但向量的模 (长度)是一个数量，可以比较大小. (2)解决此类问题的关键是突出向量的核心——方向和长度，如：单位向量的核心是长度都是1个单位长度，不同方向上的单位向量不相等；零向量的核心是长度是0，其方向都是任意的. 跟踪训练1　(1)下列说法正确的是(　　) A.身高是一个向量 B.平面直角坐标系上的x轴、y轴都是向量 C.温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D.物理学中的摩擦力、重力都是向量 答案　D 解析　A中的身高，C中的温度都是数量，不是向量，故AC错误；B中平面直角坐标系上的x轴、y轴只有方向，但没有长度，也不是向量，故B错误；D中的物理学中的摩擦力、重力都既有大小，又有方向，是向量. (2)(多选)下列命题正确的是(　　) A.若向量a=，b=，则|a|=|b| B.若a是单位向量，b也是单位向量，则a与b的方向相同或相反 C.若向量是单位向量，则也是单位向量 D.△ABC中，∠A=90°，若该三角形的外接圆的半径长为，则为单位向量 答案　ACD 解析　由于|a|=||=AB，|b|=||=BA=AB，因此有|a|=|b|，故A正确； 由单位向量的定义知，长度为1个单位长度的向量均称为单位向量，但是对方向没有任何要求，故B不正确； 因为||=||，所以当是单位向量时，也是单位向量，故C正确； 由于Rt△ABC的斜边BC是外接圆的直径，所以||=1，故D正确. 二、向量的简单应用 例2　一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后改变方向向北偏西40°行驶了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点. (1)作出向量，，； (2)求的模. 解　(1)作出向量，，，如图所示. (2)连接AD，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD. 所以四边形ABCD为平行四边形. 所以||=||=200 km，故的模为200 km. 反思感悟　用有向线段表示向量的步骤 跟踪训练2　在如图所示的坐标纸中(每一个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量. (1)||=3，点A在点O正西方向； (2)||=3，点B在点O北偏西45°方向. 解　 三、相等向量与共线向量 知识梳理 平行向量(共线向量) 方向相同或相反的非零向量；平行向量也叫做共线向量.向量a与b平行，记作a∥b，规定：零向量与任意向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量；向量a与b相等，记作a=b 注意点： (1)若a∥b，b∥c，则a与c未必共线. (2)两向量共线，则两向量所在的直线平行或重合. 例3　如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点. (1)写出与共线的向量； (2)写出模与的模相等的向量； (3)写出与相等的向量. 解　(1)因为E，F分别是AC，AB的中点， 所以EF∥BC，EF=BC. 又因为D是BC的中点， 所以与共线的向量有，，，，，，. (2)模与的模相等的向量有，，，，. (3)与相等的向量有，. 反思感悟　相等向量与共线向量的区别与联系： (1)相等向量是指长度相等且方向相同的向量.共线向量是方向相同或相反的非零向量，共线向量也叫平行向量. (2)向量相等具备传递性，而向量的共线不具备传递性.(注意0) (3)相等向量一定是共线向量，而共线向量不一定相等. 跟踪训练3　如图所示，四边形ABCD与ABDE是平行四边形. (1)找出与向量共线的向量； (2)找出与向量相等的向量. 解　(1)依据图形可知，，，与方向相同，，，，与方向相反，所以与向量共线的向量为，，，，，，. (2)由四边形ABCD与ABDE是平行四边形，知，与长度相等且方向相同，所以与向量相等的向量为和. 1.知识清单： (1)向量的概念及其表示. (2)向量的应用. (3)相等向量与共线向量. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：零向量和单位向量的方向容易混淆. 1.有下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功.其中，不是向量的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　C 解析　因为速度、力和加速度既有大小又有方向，所以它们是向量；而质量、路程和功只有大小没有方向，所以它们不是向量，故不是向量的个数是3. 2.(多选)在下列四个命题中，正确的是(　　) A.单位向量都共线 B.长度相等的向量都相等 C.共线的单位向量不一定相等 D.任意向量与零向量都共线 答案　CD 解析　对于A，单位向量长度都相等，但不一定都共线，A错误； 对于B，长度相等的向量，方向不一定相同，故长度相等的向量不一定相等，B错误； 对于C，共线的单位向量方向可能相反，C正确； 对于D，任意向量与零向量都共线，D正确. 3.如图，点A，B，C是以O为圆心的圆周上的三等分点，则向量，，是(　　) A.方向相同的向量 B.共线向量 C.模相等的向量 D.相等的向量 答案　C 解析　由题图可知，三个向量，，方向均不同，也没任何两个向量方向相反，所以它们不共线，由于它们到点O的距离相等，所以模相等. 4.如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则||=　　　.  答案　 解析　因为正方形的对角线长为2，所以||=. 　　　　 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.下列说法不正确的是(　　) A.向量的模是一个非负实数 B.任何一个非零向量都可以平行移动 C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量 D.两个有共同起点且共线的向量终点也必相同 答案　D 解析　两个有共同起点且共线的向量的方向不一定相同、长度不一定相等，故终点不一定相同，故D错误. 2.在下列判断中，正确的是(　　) A.长度为0的向量不都是零向量 B.零向量的方向都是相同的 C.单位向量的方向都是相同的 D.以平面直角坐标系中的定点A为起点，所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆 答案　D 解析　长度为0的向量都是零向量，A错误； 零向量的方向是任意的，B错误； 单位向量的方向不一定相同，C错误； 由于||=1，所以点P是以点A为圆心的单位圆上的一点，D正确. 3.汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列命题中正确的是(　　) A.汽车的速度大于摩托车的速度 B.汽车的位移大于摩托车的位移 C.汽车走的路程大于摩托车走的路程 D.以上都不对 答案　C 解析　向量不能比较大小. 4.(多选)下列说法正确的是(　　) A.||=|| B.e1，e2是单位向量，则|e1|=|e2| C.若非零向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线 D.若||>||，则> 答案　AB 解析　对于A，与互为相反向量，它们的模相等，A正确；对于B，所有的单位向量的模相等，B正确；对于C，向量的共线不同于有向线段共线，故当与共线时，A，B，C，D四点不一定共线，C错误；对于D，向量的模可以比较大小，而向量不能比较大小，D错误. 5.在△ABC中，AB=AC，D，E分别是AB，AC的中点，则(　　) A.与共线 B.与共线 C.与相等 D.与相等 答案　B 解析　如图所示，因为D，E分别是AB，AC的中点，由三角形的中位线定理可得DE∥BC，所以与共线. 6.(多选)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，则以下说法正确的是(　　) A.与是平行向量 B.与||相等的向量有9个(不含) C.的模恰为的模的 倍 D.与不共线 答案　ABC 解析　由于与都在直线BD上，故二者为平行向量，因此选项A正确；而与的模相等的向量有，，，，，，，，，共9个，因此选项B正确；而在Rt△AOD中， 因为∠ADO=30°，所以||=||， 故||=||，因此选项C正确； 由于=，所以与是共线的，因此选项D不正确. 7.(5分)在四边形ABCD中，若∥，且||≠||，则四边形ABCD的形状是　　　　.  答案　梯形 解析　在四边形ABCD中，因为∥，所以AB∥CD， 又||≠||，所以四边形ABCD的形状是梯形. 8.(5分)如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD交于点O，过点O作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，则在以A，B，C，D，M，O，N为起点或终点的所有有向线段表示的向量中，相等向量有　　　　对.  答案　2 解析　已知CD∥AB，则△OCD∽△OAB，所以=，所以=. 因为MN∥AB，所以=，=， 所以=，所以OM=ON. 又M，O，N三点共线， 所以=，=，故相等向量有2对. 9.(10分) 在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD，AB的中点，如图所示. (1)写出与向量共线的向量；(4分) (2)求证：=.(6分) (1)解　与向量共线的向量有，，. (2)证明　在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，因为E，F分别是CD，AB的中点， 所以ED∥BF且ED=BF， 所以四边形BFDE是平行四边形， 故=. 10.(10分)如图所示，在平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S=｛A，B，C，D，O｝，向量集合T=｛|M，N∈S，且M，N不重合｝，试求集合T中元素的个数. 解　 由题可知，集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段，共有20个，即，，，，，，，，，，，，，，，，，，，. 由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即=，=，=，=，=，=，=，=，因为集合元素具有互异性，所以集合T中的元素共有12个. 11.下列命题正确的是(　　) A.若|a|=|b|，则a=b B.若|a|>|b|，则a>b C.若a=b，则a∥b D.若|a|=0，则a=0 答案　C 解析　对于A，由|a|=|b|可得a与b的长度相等，但方向不一定相同，所以a与b不一定相等，所以A错误； 对于B，由|a|>|b|可得a的长度大于b的长度，而向量是既有大小又有方向的量，不能比较大小，所以B错误； 对于C，由a=b可得a与b的长度相等，方向相同，所以有a∥b，所以C正确； 对于D，由|a|=0，可得a=0，而不是0，所以D错误. 12.如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与平行且模为的向量共有(　　) A.12个 B.18个 C.24个 D.36个 答案　C 解析　由题意知，每个小正方形的边长为1，则对角线长为，每个小正方形中存在两个与平行且模为的向量，3×4的格点图中包含12个小正方形，所以共有24个向量满足要求. 13.(多选)如图，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是(　　) A.||=|| B.与共线 C.与共线 D.= 答案　ABD 解析　对于A，因为四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，所以||=||一定成立；对于B，根据菱形的性质，与共线一定成立；对于C，与共线不成立； 对于D，根据菱形的性质，与方向相同且模相等，因此=一定成立. 14.(5分)中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字.如图，在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量，表示马走了“一步”.若马在B或C处，则以B，C为起点表示马走了“一步”的向量共有　　　　个.  答案　11 解析　马在A处有两条路可走，在B处有三条路可走，在C处有八条路可走. 如图，以B点为起点作向量，共3个；以C点为起点作向量，共8个，所以共有11个. 15.已知A=｛与a共线的向量｝，B=｛与a长度相等的向量｝，C=｛与a长度相等，方向相反的向量｝，其中a为非零向量，下列关系中错误的是(　　) A.C⊆A B.A∩B=｛a｝ C.C⊆B D.A∩B⊇｛a｝ 答案　B 解析　因为A∩B中包含与a长度相等且方向相反的向量，故B错误. 16.(12分)如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且||=. (1)画出所有的向量；(6分) (2)求||的最大值与最小值.(6分) 解　(1)画出所有的向量，如图所示. (2)由(1)所画的图知， ①当点C位于点C1或C2时， ||取得最小值为=； ②当点C位于点C5或C6时， ||取得最大值为=. 所以||的最大值为，最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$