第六章 §4 4.1 第1课时 直线与平面平行-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（北师大版2019）

第1课时 第六章 <<< 直线与平面平行 1.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行. 2.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题. 学习目标 安装矩形镜子时，为了使镜子上边框与天花板平行，只需要镜子的上边框与天花板和墙面的交线平行.你知道其中的数学思想么？今天我们就一起来学习一下吧！ 导 语 一、直线与平面平行的性质定理 二、直线与平面平行的判定定理 课时对点练 三、线面平行有关的计算 随堂演练 内容索引 直线与平面平行的性质定理 一 提示　这条直线与平面没有公共点，所以这条直线与平面内的直线平行或异面. 如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和平面内的直线有怎样的位置关系？ 问题1 提示　在同一平面内. 若a∥α，在什么条件下，平面α内的直线与直线a平行呢？ 问题2 文字语言 一条直线与一个平面 ，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与 平行 符号语言 l∥α， ⇒l∥a 图形语言   平行 交线 l⊂β，α∩β=a 知识梳理 　如图所示，在四面体ABCD中，用平行于棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形. 例 1 9 因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ=MN， 且AB⊂平面ABC， 所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN. 同理AB∥PQ，所以MN∥PQ. 同理可得MQ∥NP. 所以截面MNPQ是平行四边形. 10 直接应用线面平行的性质定理，关键是摆全定理中的三个条件：①直线a和平面α平行，即a∥α；②直线a在平面β内，即a⊂β；③平面α，β相交，即α∩β=b.三个条件缺一不可. 反 思 感 悟 11 　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于 点G，H，则GH与AB的位置关系是 A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面 跟踪训练 1 √ 12 由长方体性质知，EF∥平面ABCD， ∵EF⊂平面EFGH， 平面EFGH∩平面ABCD=GH， ∴EF∥GH. 又EF∥AB，∴GH∥AB. 13 二 直线与平面平行的判定定理 提示　直线与平面没有公共点. 直线与平面平行的定义是什么？ 问题3 提示　由于直线是无限延伸的，平面也是无限延展的，实际操作很难. 直接利用定义来判定直线与平面平行是否简单可行？ 问题4 文字语言 如果平面外一条直线与 ，那么该直线与此平面平行 符号语言 l⊄α，a⊂α，且l∥a⇒l∥α 图形语言   此平面内的一条直线平行 知识梳理 17 　(1)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC的中点，连接AD，DC1，A1B，AC1.求证：A1B∥平面ADC1. 例 2 18 如图所示，连接A1C，设A1C∩AC1=O，连接OD. 由题意知四边形A1ACC1是平行四边形， 所以O是A1C的中点. 又D是BC的中点， 所以OD是△A1CB的中位线，即OD∥A1B. 又A1B⊄平面ADC1，OD⊂平面ADC1， 所以A1B∥平面ADC1. 19 (2)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G. 20 连接BC1(图略)， 在△BCC1中， ∵E，F分别为BC，CC1的中点， ∴EF∥BC1， 又∵AB∥A1B1∥D1C1，且AB=A1B1=D1C1， ∴四边形ABC1D1是平行四边形， ∴BC1∥AD1，∴EF∥AD1，又EF⊄平面AD1G， AD1⊂平面AD1G， ∴EF∥平面AD1G. 21 反 思 感 悟 利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、基本事实4等. 　如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点.求证：MN∥平面PAD. 跟踪训练 2 23 如图，取PD的中点G，连接GA，GN. ∵G，N分别是△PDC的边PD，PC的中点， ∴GN∥DC，GN=DC. ∵M为平行四边形ABCD的边AB的中点， ∴AM=DC，AM∥DC， ∴AM∥GN，AM=GN， ∴四边形AMNG为平行四边形， ∴MN∥AG. 又MN⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，∴MN∥平面PAD. 24 线面平行有关的计算 三 　如图，直线a∥平面α，点A在α另一侧，点B，C，D∈a.线段AB，AC，AD分别交α于点E，F，G.若BD=4，CF=4，AF=5，则EG=　　　. 例 3 26 因为A∉a，所以点A与直线a确定一个平面，即平面ABD. 因为a∥α，且α∩平面ABD=EG，a⊂平面ABD， 所以a∥EG，即BD∥EG，所以. 又， 于是EG=. 27 反 思 感 悟 利用线面平行的性质定理找线线平行，利用线线平行得对应线段成比例即可求线段长度. 　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，求线段EF的长度. 跟踪训练 3 29 ∵EF∥平面AB1C， 又平面ADC∩平面AB1C=AC，EF⊂平面ADC， ∴EF∥AC，又E是AD的中点， ∴F为DC的中点， ∴EF=. 30 1.知识清单： (1)直线与平面平行的性质定理. (2)直线与平面平行的判定定理. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：证明线面平行时，漏写线在平面外(内). 课堂小结 随堂演练 四 1.两条直线a，b满足a∥b，b⊂平面α，则a与平面α的位置关系是 A.a∥α B.a与α相交 C.a∥α或a⊂α D.a⊂α √ 1 2 3 4 2.下列命题正确的是 A.如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行 B.过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行 C.如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行 D.如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行 √ 1 2 3 4 1 2 3 4 不在平面内的直线还可与平面相交，故A错误； 一条直线与平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，故C错误； 如果一条直线平行于平面内的无数条直线，那么这条直线平行于平面或在平面内，故D错误. 3.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点(不与端点重合)，EH∥FG，则EH与BD的位置 关系是 A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定 √ 1 2 3 4 ∵EH∥FG，EH⊄平面BDC， FG⊂平面BDC， ∴EH∥平面BDC， 又EH⊂平面ABD且平面ABD∩平面BDC=BD， ∴EH∥BD. 1 2 3 4 4.如图所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N且点M是AD的中点，AB=4，CD=6，则MN=　　　.  1 2 3 4 5 因为AB∥平面α，AB⊂平面ABCD， 平面ABCD∩平面α=MN， 所以AB∥MN， 又点M是AD的中点，AB∥CD， 所以MN是梯形ABCD的中位线，故MN=5. 课时对点练 五 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B D B AB 平行 a 题号 11 12　 13 14 15 答案 C B 平行四边形 1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 取D1B1的中点O，连接OF，OB(图略). ∵F为C1D1的中点， ∴OF∥B1C1且OF=B1C1， 又BE∥B1C1，BE=B1C1， ∴OF∥BE且OF=BE， ∴四边形OFEB是平行四边形， ∴EF∥BO. ∵EF⊄平面BDD1B1，BO⊂平面BDD1B1，∴EF∥平面BDD1B1. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. ∵四边形ABCD为矩形， ∴BC∥AD. ∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD， ∴BC∥平面PAD. ∵平面BCFE∩平面PAD=EF，BC⊂平面BCFE， ∴BC∥EF. ∵AD=BC，AD≠EF，∴BC≠EF， ∴四边形BCFE是梯形. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)如图，过M作MP∥AD，交DD1于点P，过N作NQ∥BC，交DC于点Q，连接PQ. 易得MP∥NQ，且MP=NQ，则四边形MNQP为平行四边形， ∴MN∥PQ. 又PQ⊂平面DCC1D1， MN⊄平面DCC1D1， ∴MN∥平面DCC1D1. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (2)∵四边形MNQP为平行四边形，∴MN=PQ. ∵DD1=AD=DC=BC=1， ∴AD1=BD=. ∵D1M=DN=a， ∴=，=， 即D1P=DQ=， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. ∴MN=PQ== =(0<a<)， 故当a=时，MN的长度最小，最小为. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.下列条件中能得出直线m与平面α平行的是 A.直线m与平面α内所有直线平行 B.直线m与平面α内无数条直线平行 C.直线m与平面α没有公共点 D.直线m与平面α内一条直线平行 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 答案 A，本身说法错误； B，当直线m在平面α内时，m与α内无数条直线平行，但m与α不平行； C，能推出m与α平行； D，当直线m在平面α内时，m与α内一条直线平行，但m与α不平行. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 48 2.直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面 A.有且只有一个 B.有无数多个 C.有且只有一个或不存在 D.不存在 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 在a上任取一点A，则过A与b平行的直线有且只有一条，设为b'， 又a∩b'=A， ∴a与b'确定一个平面α， 即为过a与b平行的平面，可知它是唯一的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 3.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是 A.平行 B.平行或异面 C.平行或相交 D.异面或相交 由AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，得CD∥α，所以直线CD与平面α内的直线的位置关系是平行或异面. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 4.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是 A.DD1 B.A1D1 C.C1D1 D.A1D √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ∵A1B1綊AB，AB綊CD， ∴A1B1綊CD， ∴四边形A1B1CD为平行四边形， ∴A1D∥B1C， 又B1C⊂平面AB1C，A1D⊄平面AB1C， ∴A1D∥平面AB1C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 5.如图所示，已知S为四边形ABCD所在平面外一点， G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则 A.GH∥SA B.GH∥SD C.GH∥SC D.以上均有可能 ∵GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD， 平面SBD∩平面SCD=SD， ∴GH∥SD. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 6.(多选)如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点.则下列结论成立的是 A.OM∥平面PCD B.OM∥平面PDA C.OM∥平面PBA D.OM∥平面PBC 矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以点O为BD的中点，在△PBD中，因为点M是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，OM∥PD，由线面平行的判定定理得，OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平面PBA，平面PBC相交. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 7.在三棱锥S-ABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE=2ES，则EG与平面SBC的位置关系为　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 平行 答案 如图，延长AG交BC于F，连接SF，则由G为△ABC的重心知AG∶GF=2∶1， 又AE∶ES=2∶1， ∴EG∥SF， 又SF⊂平面SBC，EG⊄平面SBC， ∴EG∥平面SBC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 8.如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP=，过P，M，N 的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ=　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a 答案 ∵MN∥平面ABCD，平面PMNQ∩平面ABCD=PQ， MN⊂平面PQNM， ∴MN∥PQ，易知DP=DQ=， 故PQ=a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 9.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点.求证：EF∥平面BDD1B1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 取D1B1的中点O，连接OF，OB(图略). ∵F为C1D1的中点， ∴OF∥B1C1且OF=B1C1， 又BE∥B1C1，BE=B1C1， ∴OF∥BE且OF=BE， ∴四边形OFEB是平行四边形， ∴EF∥BO. ∵EF⊄平面BDD1B1，BO⊂平面BDD1B1， ∴EF∥平面BDD1B1. 答案 61 10.如图，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵四边形ABCD为矩形， ∴BC∥AD. ∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD， ∴BC∥平面PAD. ∵平面BCFE∩平面PAD=EF，BC⊂平面BCFE， ∴BC∥EF. ∵AD=BC，AD≠EF，∴BC≠EF， ∴四边形BCFE是梯形. 答案 63 11.如图所示，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若，则四面体ABCD中与平面EFGH平行的棱有 A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 答案 ∵，∴EF∥AB. 又EF⊂平面EFGH，AB⊄平面EFGH， ∴AB∥平面EFGH. 同理，由， 可得CD∥平面EFGH. ∴四面体ABCD中与平面EFGH平行的棱有2条. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 12.在三棱锥D-ABC中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则下列与直线MN平行的是 A.直线CD B.平面ABD C.平面ACD D.平面BCD √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 如图所示，取CD的中点为E，连接AE，BE， 由M，N分别是△ACD和△BCD的重心， 可得， 则，所以MN∥AB， 又由CD不平行于AB，所以A错误； 由MN∥AB，且MN⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，所以MN∥平面ABD，所以B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为M∈平面ACD，N∉平面ACD，所以MN与平面ACD不平行，所以C错误； 因为N∈平面BCD，M∉平面BCD，所以MN与平面BCD不平行，所以D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 13.如图，E是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1上的一点，且BD1∥平面B1CE，则线段CE的长度为　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 如图，连接BC1，交B1C于O，则O为BC1的中点， 连接EO， 因为BD1∥平面B1CE，BD1⊂平面D1BC1， 平面D1BC1∩平面B1CE=OE， 所以OE∥BD1，故E为D1C1的中点， 所以EC1=在Rt△EC1C中，. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 14.如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥平面α，AC∩平面α=E，AD∩平面α=F，BD∩平面α=H，BC∩平面α=G，则四边形EFHG的形状是　　 　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 平行四边形 答案 ∵AB∥平面α，平面ABC∩平面α=EG， AB⊂平面ABC， ∴EG∥AB. 同理FH∥AB， ∴EG∥FH. 又CD∥平面α，平面BCD∩平面α=GH，CD⊂平面BCD， ∴GH∥CD.同理EF∥CD， ∴GH∥EF， ∴四边形EFHG是平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 拓广探究 15.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，E，F分别是侧棱AA1，CC1上的动点，AE+CF=4，点P在棱AA1上，且AP=1.若EF∥平面PBD，则CF=　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 答案 由题意可知，长方体ABCD-A1B1C1D1的高为4， 底面ABCD是边长为1的正方形. 如图，连接AC交BD于O，连接PO. 因为EF∥平面PBD， EF⊂平面EACF， 平面EACF∩平面PBD=PO， 所以EF∥PO. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 在PA1上截取PQ， 使得PQ=PA=1， 连接QC，易知O为AC的中点， 所以QC∥PO，所以EF∥QC. 又EQ∥CF， 所以四边形EQCF是平行四边形，所以QE=CF. 又AE+CF=4，AE+A1E=4， 所以A1E=CF=EQ=A1Q=1，所以CF=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M在AD1上移动，点N在BD上移动，D1M=DN=a(0<a <)，连接MN. (1)证明：对任意a∈(0，)，总有MN∥平面DCC1D1； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，过M作MP∥AD，交DD1于点P，过N作NQ∥BC，交DC于点Q，连接PQ. 易得MP∥NQ，且MP=NQ， 则四边形MNQP为平行四边形， ∴MN∥PQ. 又PQ⊂平面DCC1D1， MN⊄平面DCC1D1， ∴MN∥平面DCC1D1. 答案 77 (2)当a为何值时，MN的长度最小？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵四边形MNQP为平行四边形， ∴MN=PQ. ∵DD1=AD=DC=BC=1， ∴AD1=BD=. ∵D1M=DN=a， ∴， 即D1P=DQ=， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴MN=PQ== =)， 故当a=. 答案 第一章 <<< $$ 4.1　直线与平面平行 第1课时　直线与平面平行 [学习目标]　1.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行.2.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题. 导语 安装矩形镜子时，为了使镜子上边框与天花板平行，只需要镜子的上边框与天花板和墙面的交线平行.你知道其中的数学思想么？今天我们就一起来学习一下吧！ 一、直线与平面平行的性质定理 问题1　如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和平面内的直线有怎样的位置关系？ 提示　这条直线与平面没有公共点，所以这条直线与平面内的直线平行或异面. 问题2　若a∥α，在什么条件下，平面α内的直线与直线a平行呢？ 提示　在同一平面内. 知识梳理 文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 符号语言 l∥α，l⊂β，α∩β=a⇒l∥a 图形语言 例1　如图所示，在四面体ABCD中，用平行于棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形. 证明　因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ=MN， 且AB⊂平面ABC， 所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN. 同理AB∥PQ，所以MN∥PQ. 同理可得MQ∥NP. 所以截面MNPQ是平行四边形. 反思感悟　直接应用线面平行的性质定理，关键是摆全定理中的三个条件：①直线a和平面α平行，即a∥α；②直线a在平面β内，即a⊂β；③平面α，β相交，即α∩β=b.三个条件缺一不可. 跟踪训练1　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是(　　) A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面 答案　A 解析　由长方体性质知，EF∥平面ABCD， ∵EF⊂平面EFGH， 平面EFGH∩平面ABCD=GH， ∴EF∥GH. 又EF∥AB，∴GH∥AB. 二、直线与平面平行的判定定理 问题3　直线与平面平行的定义是什么？ 提示　直线与平面没有公共点. 问题4　直接利用定义来判定直线与平面平行是否简单可行？ 提示　由于直线是无限延伸的，平面也是无限延展的，实际操作很难. 知识梳理 文字语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号语言 l⊄α，a⊂α，且l∥a⇒l∥α 图形语言 例2　(1)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC的中点，连接AD，DC1，A1B，AC1.求证：A1B∥平面ADC1. 证明　如图所示，连接A1C，设A1C∩AC1=O，连接OD. 由题意知四边形A1ACC1是平行四边形， 所以O是A1C的中点. 又D是BC的中点， 所以OD是△A1CB的中位线，即OD∥A1B. 又A1B⊄平面ADC1，OD⊂平面ADC1， 所以A1B∥平面ADC1. (2)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G. 证明　连接BC1(图略)， 在△BCC1中， ∵E，F分别为BC，CC1的中点， ∴EF∥BC1， 又∵AB∥A1B1∥D1C1，且AB=A1B1=D1C1， ∴四边形ABC1D1是平行四边形， ∴BC1∥AD1，∴EF∥AD1，又EF⊄平面AD1G， AD1⊂平面AD1G， ∴EF∥平面AD1G. 反思感悟　利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、基本事实4等. 跟踪训练2　如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点.求证：MN∥平面PAD. 证明　如图，取PD的中点G，连接GA，GN. ∵G，N分别是△PDC的边PD，PC的中点， ∴GN∥DC，GN=DC. ∵M为平行四边形ABCD的边AB的中点， ∴AM=DC，AM∥DC， ∴AM∥GN，AM=GN， ∴四边形AMNG为平行四边形， ∴MN∥AG. 又MN⊄平面PAD，AG⊂平面PAD， ∴MN∥平面PAD. 三、线面平行有关的计算 例3　如图，直线a∥平面α，点A在α另一侧，点B，C，D∈a.线段AB，AC，AD分别交α于点E，F，G.若BD=4，CF=4，AF=5，则EG=　　　　.  答案　 解析　因为A∉a，所以点A与直线a确定一个平面，即平面ABD. 因为a∥α，且α∩平面ABD=EG，a⊂平面ABD， 所以a∥EG，即BD∥EG，所以. 又， 于是EG=. 反思感悟　利用线面平行的性质定理找线线平行，利用线线平行得对应线段成比例即可求线段长度. 跟踪训练3　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，求线段EF的长度. 解　∵EF∥平面AB1C， 又平面ADC∩平面AB1C=AC，EF⊂平面ADC， ∴EF∥AC，又E是AD的中点， ∴F为DC的中点， ∴EF=. 1.知识清单： (1)直线与平面平行的性质定理. (2)直线与平面平行的判定定理. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：证明线面平行时，漏写线在平面外(内). 1.两条直线a，b满足a∥b，b⊂平面α，则a与平面α的位置关系是(　　) A.a∥α B.a与α相交 C.a∥α或a⊂α D.a⊂α 答案　C 2.下列命题正确的是(　　) A.如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行 B.过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行 C.如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行 D.如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行 答案　B 解析　不在平面内的直线还可与平面相交，故A错误；一条直线与平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，故C错误；如果一条直线平行于平面内的无数条直线，那么这条直线平行于平面或在平面内，故D错误. 3.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点(不与端点重合)，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是(　　) A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定 答案　A 解析　∵EH∥FG，EH⊄平面BDC， FG⊂平面BDC， ∴EH∥平面BDC， 又EH⊂平面ABD且平面ABD∩平面BDC=BD， ∴EH∥BD. 4.如图所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N且点M是AD的中点，AB=4，CD=6，则MN=　　　　.  答案　5 解析　因为AB∥平面α，AB⊂平面ABCD， 平面ABCD∩平面α=MN， 所以AB∥MN， 又点M是AD的中点，AB∥CD， 所以MN是梯形ABCD的中位线，故MN=5. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共6分 1.下列条件中能得出直线m与平面α平行的是(　　) A.直线m与平面α内所有直线平行 B.直线m与平面α内无数条直线平行 C.直线m与平面α没有公共点 D.直线m与平面α内一条直线平行 答案　C 解析　A，本身说法错误；B，当直线m在平面α内时，m与α内无数条直线平行，但m与α不平行；C，能推出m与α平行；D，当直线m在平面α内时，m与α内一条直线平行，但m与α不平行. 2.直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面(　　) A.有且只有一个 B.有无数多个 C.有且只有一个或不存在 D.不存在 答案　A 解析　在a上任取一点A，则过A与b平行的直线有且只有一条，设为b'， 又a∩b'=A， ∴a与b'确定一个平面α， 即为过a与b平行的平面，可知它是唯一的. 3.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是(　　) A.平行 B.平行或异面 C.平行或相交 D.异面或相交 答案　B 解析　由AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，得CD∥α，所以直线CD与平面α内的直线的位置关系是平行或异面. 4.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是(　　) A.DD1 B.A1D1 C.C1D1 D.A1D 答案　D 解析　∵A1B1綊AB，AB綊CD， ∴A1B1綊CD， ∴四边形A1B1CD为平行四边形， ∴A1D∥B1C， 又B1C⊂平面AB1C，A1D⊄平面AB1C， ∴A1D∥平面AB1C. 5.如图所示，已知S为四边形ABCD所在平面外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则(　　) A.GH∥SA B.GH∥SD C.GH∥SC D.以上均有可能 答案　B 解析　∵GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD， 平面SBD∩平面SCD=SD， ∴GH∥SD. 6.(多选)如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点.则下列结论成立的是(　　) A.OM∥平面PCD B.OM∥平面PDA C.OM∥平面PBA D.OM∥平面PBC 答案　AB 解析　矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以点O为BD的中点，在△PBD中，因为点M是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，OM∥PD，由线面平行的判定定理得，OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平面PBA，平面PBC相交. 7.(5分)在三棱锥S-ABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE=2ES，则EG与平面SBC的位置关系为　　　　.  答案　平行 解析　如图，延长AG交BC于F，连接SF，则由G为△ABC的重心知AG∶GF=2∶1， 又AE∶ES=2∶1， ∴EG∥SF， 又SF⊂平面SBC，EG⊄平面SBC， ∴EG∥平面SBC. 8.(5分)如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP=，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ=　　　　.  答案　a 解析　∵MN∥平面ABCD，平面PMNQ∩平面ABCD=PQ，MN⊂平面PQNM， ∴MN∥PQ，易知DP=DQ=， 故PQ=a. 9.(10分)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点.求证：EF∥平面BDD1B1. 证明　取D1B1的中点O，连接OF，OB(图略). ∵F为C1D1的中点， ∴OF∥B1C1且OF=B1C1， 又BE∥B1C1，BE=B1C1， ∴OF∥BE且OF=BE， ∴四边形OFEB是平行四边形， ∴EF∥BO. ∵EF⊄平面BDD1B1，BO⊂平面BDD1B1， ∴EF∥平面BDD1B1. 10.(12分)如图，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形. 证明　∵四边形ABCD为矩形， ∴BC∥AD. ∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD， ∴BC∥平面PAD. ∵平面BCFE∩平面PAD=EF，BC⊂平面BCFE， ∴BC∥EF. ∵AD=BC，AD≠EF，∴BC≠EF， ∴四边形BCFE是梯形. 11.如图所示，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若，则四面体ABCD中与平面EFGH平行的棱有(　　) A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 答案　C 解析　∵，∴EF∥AB. 又EF⊂平面EFGH，AB⊄平面EFGH， ∴AB∥平面EFGH. 同理，由， 可得CD∥平面EFGH. ∴四面体ABCD中与平面EFGH平行的棱有2条. 12.在三棱锥D-ABC中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则下列与直线MN平行的是(　　) A.直线CD B.平面ABD C.平面ACD D.平面BCD 答案　B 解析　如图所示，取CD的中点为E，连接AE，BE， 由M，N分别是△ACD和△BCD的重心，可得， 则，所以MN∥AB， 又由CD不平行于AB，所以A错误； 由MN∥AB，且MN⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，所以MN∥平面ABD，所以B正确； 因为M∈平面ACD，N∉平面ACD，所以MN与平面ACD不平行，所以C错误； 因为N∈平面BCD，M∉平面BCD，所以MN与平面BCD不平行，所以D错误. 13.(5分)如图，E是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1上的一点，且BD1∥平面B1CE，则线段CE的长度为　　　　.  答案　 解析　如图，连接BC1，交B1C于O，则O为BC1的中点，连接EO， 因为BD1∥平面B1CE，BD1⊂平面D1BC1， 平面D1BC1∩平面B1CE=OE， 所以OE∥BD1，故E为D1C1的中点， 所以EC1=在Rt△EC1C中，. 14.(5分)如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥平面α，AC∩平面α=E，AD∩平面α=F，BD∩平面α=H，BC∩平面α=G，则四边形EFHG的形状是　　　　.  答案　平行四边形 解析　∵AB∥平面α， 平面ABC∩平面α=EG， AB⊂平面ABC， ∴EG∥AB. 同理FH∥AB， ∴EG∥FH. 又CD∥平面α， 平面BCD∩平面α=GH， CD⊂平面BCD， ∴GH∥CD.同理EF∥CD， ∴GH∥EF， ∴四边形EFHG是平行四边形. 15.(5分)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，E，F分别是侧棱AA1，CC1上的动点，AE+CF=4，点P在棱AA1上，且AP=1.若EF∥平面PBD，则CF=　　　　.  答案　1 解析　由题意可知，长方体ABCD-A1B1C1D1的高为4， 底面ABCD是边长为1的正方形. 如图，连接AC交BD于O，连接PO. 因为EF∥平面PBD， EF⊂平面EACF， 平面EACF∩平面PBD=PO， 所以EF∥PO. 在PA1上截取PQ， 使得PQ=PA=1， 连接QC，易知O为AC的中点， 所以QC∥PO，所以EF∥QC. 又EQ∥CF， 所以四边形EQCF是平行四边形， 所以QE=CF. 又AE+CF=4，AE+A1E=4， 所以A1E=CF=EQ=A1Q=1，所以CF=1. 16.(12分)如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M在AD1上移动，点N在BD上移动，D1M=DN=a(0<a<)，连接MN. (1)证明：对任意a∈(0，)，总有MN∥平面DCC1D1；(5分) (2)当a为何值时，MN的长度最小？(7分) (1)证明　如图，过M作MP∥AD，交DD1于点P，过N作NQ∥BC，交DC于点Q，连接PQ. 易得MP∥NQ，且MP=NQ， 则四边形MNQP为平行四边形， ∴MN∥PQ. 又PQ⊂平面DCC1D1， MN⊄平面DCC1D1， ∴MN∥平面DCC1D1. (2)解　∵四边形MNQP为平行四边形， ∴MN=PQ. ∵DD1=AD=DC=BC=1， ∴AD1=BD=. ∵D1M=DN=a， ∴， 即D1P=DQ=， ∴MN=PQ= = =)， 故当a=. 学科网（北京）股份有限公司 $$