第六章 §2 直观图-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（北师大版2019）

[学习目标]　1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.2.会用斜二测画法画常见的柱、锥、台、球以及简单组合体的直观图. 导语 物体在日光或灯光的照射下，会在地面、墙壁等处形成影子，影子就是物体在平面上的投射形象.那么立体图形在平面内如何表示呢？这就是我们本节课要研究的课题——直观图. 一、水平放置的平面图形的直观图的画法 问题　如图，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状？ 提示　平行四边形. 知识梳理 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤及规则 注意点： (1)不变的量：平行关系，与x轴平行或重合的线段长度； 变化的量：垂直关系，角的大小，其他线段的长度. (2)圆的直观图一般画成椭圆. (3)斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：横不变、纵折半，平行位置不改变. 例1　画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图. 解　(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系， 另选一平面画直观图，先画对应的坐标系x'O'y'， 使∠x'O'y'=45°. (2)以O'为中点在x'轴上取A'B'=AB， 在y'轴上取O'E'=OE，以E'为中点画C'D'∥x'轴，并使C'D'=CD. (3)连接B'C'，D'A'，擦去辅助线x'轴和y'轴， 所得的四边形A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图. 反思感悟　在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可. 跟踪训练1　用斜二测画法画边长为2 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图. 解　(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴建立直角坐标系. (2)画对应的x'轴，y'轴，使∠x'O'y'=45°. 在x'轴上截取O'B'=O'C'=1 cm，在y'轴上截取O'A'=OA. 连接A'B'，A'C'，擦去辅助线x'轴和y'轴， 则△A'B'C'即为正三角形ABC的直观图，如图②所示. 二、空间几何体的直观图的画法 知识梳理 空间几何体的直观图的画法步骤及规则 (1)在已知的空间图形中取水平平面和互相垂直的轴Ox，Oy；再取Oz轴，使∠xOz=90°，且∠yOz=90°. (2)画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的O'x'，O'y'，O'z'，使∠x'O'y'=45°(或135°)，∠x'O'z'=90°.x'O'y'所确定的平面表示水平平面. (3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段. (4)已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度为原来的一半. (5)擦去辅助线，并将被遮线画成虚线. 例2　用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm，3 cm，2 cm的长方体ABCD-A'B'C'D'的直观图. 解　(1)画轴.如图(1)，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°. (2)画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN=4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ= cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD. (3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA'，BB'，CC'，DD'. (4)成图.顺次连接A'，B'，C'，D'(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图，如图(2). 反思感悟　空间几何体的直观图的画法 (1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出. (2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向. (3)z轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致. 跟踪训练2　用斜二测画法画出六棱锥P-ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面上的投影是正六边形的中心O.(尺寸自定) 解　(1)画出六棱锥P-ABCDEF的底面.①在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在的直线为y轴，两轴相交于点O，如图(1)；画出相应的x'轴、y'轴、z'轴，三轴相交于O'，使∠x'O'y'=45°，∠x'O'z'=90°，如图(2)；②在图(2)中，以O'为中点，在x'轴上取A'D'=AD，在y'轴上取M'N'=MN，以点N'为中点，画出B'C'平行于x'轴，并且长度等于BC，再以M'为中点，画出E'F'平行于x'轴，并且长度等于EF；③连接A'B'，C'D'，D'E'，F'A'得到水平放置的正六边形ABCDEF的直观图A'B'C'D'E'F'. (2)画出正六棱锥P-ABCDEF的顶点，在z'轴正半轴上截取点P'，点P'异于点O'. (3)成图.连接P'A'，P'B'，P'C'，P'D'，P'E'，P'F'，并擦去x'轴、y'轴和z'轴，将被遮挡的部分画成虚线，便可得到六棱锥P-ABCDEF的直观图P'-A'B'C'D'E'F'，如图(3). 三、直观图的还原与计算 例3　如图，矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'=6 cm，O'C'=2 cm，C'D'=2 cm，则原图形是　　　，其面积为　　　　cm2.  答案　菱形　24 解析　如图，在原图形OABC中， 应有OD=2O'D'=2×2=4(cm)， CD=C'D'=2(cm)， 所以OC==6(cm)， 所以OA=OC=BC=AB， 故四边形OABC是菱形. S四边形OABC=OA×OD =6×4(cm2). 反思感悟　由直观图还原为平面图形的关键是找与x'轴、y'轴平行的直线或线段，且平行于x'轴的线段还原时长度不变，平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.由此可得，直观图面积是原图形面积的倍. 跟踪训练3　(1)如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图，其中A'B'，A'C'所在直线分别与x'轴，y'轴平行，且A'B'=A'C'，那么△ABC是(　　) A.等腰三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 答案　D 解析　因为水平放置的△ABC的直观图中，∠x'O'y'=45°，A'B'=A'C'，且A'B'∥x'轴，A'C'∥y'轴， 所以AB⊥AC，AB≠AC， 所以△ABC是直角三角形. (2)已知等边△ABC的边长为a，那么用斜二测画法得到的水平放置的△ABC的平面直观图△A'B'C'的面积为(　　) A. B. C. D.a2 答案　D 解析　方法一　建立如图①所示的平面直角坐标系xOy. 如图②所示，建立坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'=45°，由直观图画法， 知A'B'=AB=a，O'C'=a. 过点C'作C'D'⊥O'x'于点D'， 则C'D'=a. 所以△A'B'C'的面积是 S=a2. 方法二　S△ABC=a2， 又S△A'B'C'=S△ABC， ∴S△A'B'C'=a2. 1.知识清单： (1)水平放置的平面图形的直观图的画法. (2)空间几何体的直观图的画法. (3)直观图的还原与计算. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：易忽视同一图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同. 1.(多选)关于斜二测画法所得到的直观图，下列说法正确的是(　　) A.三角形的直观图是三角形 B.平行四边形的直观图是平行四边形 C.正方形的直观图是正方形 D.菱形的直观图是菱形 答案　AB 解析　斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形. 2.若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x'O'y'平面上，则圆柱的高应画成(　　) A.平行于z'轴且大小为10 cm B.平行于z'轴且大小为5 cm C.与z'轴成45°且大小为10 cm D.与z'轴成45°且大小为5 cm 答案　A 解析　平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致. 3.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A'C'=3，B'C'=2，则AB边上的中线的实际长度为　　　　.  答案　2.5 解析　由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC=A'C'=3，BC=2B'C'=4，计算得AB=5，所求中线长为2.5. 4.如图是用斜二测画法画出的△AOB的直观图，则△AOB的面积是　　　　.  答案　16 解析　由图可知O'B'=4，则对应△AOB中，OB=4. 又和y'轴平行的线段的长度为4，则对应△AOB的高为8.所以△AOB的面积为×4×8=16. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.(多选)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的是(　　) A.原来相交的仍相交 B.原来垂直的仍垂直 C.原来平行的仍平行 D.原来共点的仍共点 答案　ACD 2.已知用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是(　　) 答案　A 解析　根据斜二测画法知，在y轴上的线段长度为直观图中相应线段长度的2倍，可知A正确. 3.(多选)已知一条边在x轴上的正方形的斜二测直观图是一个平行四边形，其中有一个边长为4，则此正方形的面积为(　　) A.16 B.64 C.32 D.无法确定 答案　AB 解析　等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64. 4.由斜二测画法得到的水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中B'O'=C'O'=1，A'O'=，那么△ABC是一个(　　) A.等边三角形 B.直角三角形 C.三边中只有两边相等的等腰三角形 D.三边互不相等的三角形 答案　A 解析　由△ABC的直观图知， 在△ABC中，AO⊥BC.∵A'O'=. ∵B'O'=C'O'=1， ∴BC=2，AB=AC=2， ∴△ABC为等边三角形. 5.如图所示，△A'B'C'是用斜二测画法得到的水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是(　　) A.AB B.AD C.BC D.AC 答案　D 解析　还原△ABC，即可看出△ABC为直角三角形，故其斜边AC最长. 6.如图所示，四边形OABC是上底为1，下底为3，底角为45°的等腰梯形，由斜二测画法画出这个梯形的直观图O'A'B'C'，则梯形O'A'B'C'的高为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　因为四边形OABC是上底为1，下底为3，底角为45°的等腰梯形，所以等腰梯形OABC的高为1，面积S=，故选A. 7.(5分)在如图所示的直观图中，四边形O'A'B'C'为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系中四边形OABC为　　　(填具体形状)，其面积为　　　　cm2.  答案　矩形　8 解析　由斜二测画法规则可知，在四边形OABC中，OA⊥OC，OA=O'A'=2(cm)，OC=2O'C'=4(cm)，所以四边形OABC是矩形，其面积为2×4=8 cm2. 8.(5分)如图所示，一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2，2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B'到x'轴的距离为　　　.  答案　 解析　画出直观图(图略)， 则B'到x'轴的距离为. 9.(10分)如图所示，在△ABC中，AC=12 cm，AC边上的高BD=12 cm. (1)画出水平放置的△ABC的直观图；(5分) (2)求直观图的面积.(5分) 解　(1)①以D为原点，AC所在直线为x轴，DB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图①， ②画出对应的x'，y'轴， 使∠x'D'y'=45°， 在x'轴上取点A'，C'， 使D'A'=DA，D'C'=DC， 在y'轴上取点B'，使D'B'=DB， 连接A'B'，C'B'， 则△A'B'C'即为△ABC的直观图，如图②. (2)在图②中，作B'E⊥A'C'，E为垂足， ∵D'B'=DB=6 cm，∠B'D'E=45°， ∴B'E=6×(cm)， ∴S△A'B'C'=×A'C'×B'E = =18(cm2). 10.(10分)用斜二测画法画出正五棱柱的直观图. 解　(1)画轴.画x'轴、y'轴和z'轴，使∠x'O'y'=45°(或135°)，∠x'O'z'=90°，如图①所示. (2)画底面.按x'轴、y'轴画正五边形的直观图ABCDE. (3)画侧棱.过点A，B，C，D，E分别作z'轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA'，BB'，CC'，DD'，EE'都相等. (4)成图.顺次连接A'，B'，C'，D'，E'，去掉辅助线，将被挡部分画为虚线，如图②所示. 11.如图是利用斜二测画法画出的Rt△ABO的直观图，已知O'B'=4，且△ABO的面积为16，过点A'作A'C'⊥x'轴于点C'，则A'C'的长为(　　) A.2 B. C.16 D.1 答案　A 解析　由直观图可知△ABO为直角三角形且 AB⊥BO，OB=4， S△ABO=×4×AB=16， ∴AB=8，∴A'B'=4，∴A'C'=4×. 12.(多选)如图所示，用斜二测画法作水平放置的△ABC的直观图，得△A1B1C1，其中A1B1=B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是(　　) A.AB=BC=AC B.AD⊥BC C.AB⊥BC D.AC>AD>AB>BC 答案　CD 解析　由直观图知△ABC为直角三角形， AB⊥BC，AB=2A1B1，BC=B1C1，D为BC的中点， 如图所示， 又A1B1=B1C1， 故AB错误，CD正确. 13.如图，四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形A'B'C'D'，已知A'B'=4，C'D'=2，则下列说法正确的是(　　) A.AB=2 B.A'D'=2 C.四边形ABCD的周长为4+2 D.四边形ABCD的面积为6 答案　D 解析　如图，过点D'作D'E⊥O'B'于点E， 由等腰梯形A'B'C'D'可得，△A'D'E是等腰直角三角形， 即A'D'=，B错误； 还原平面图如图， 即AB=4=2CD，AD=2，A错误； 过点C作CF⊥AB于点F， 由勾股定理得CB=2， 故四边形ABCD的周长为 4+2+2，C错误； 四边形ABCD的面积为，D正确. 14.(5分)一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面大小一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m，10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中长方体的长为　　　cm，宽为　　　cm，建筑物的高为　　　cm.  答案　4　0.5　3.6 解析　由比例可知长方体的长、宽、高分别为4 cm，1 cm，2 cm，四棱锥的高为1.6 cm， 所以长方体的直观图的尺寸应为4 cm，0.5 cm，2 cm，四棱锥的直观图的高为1.6 cm. 所以直观图中建筑物的高为2+1.6=3.6(cm). 15.如图所示，△A'O'B'表示用斜二测画法得到的水平放置的△AOB的直观图，B'在x'轴上，A'O'与x'轴垂直，且A'O'=2，则△AOB的边OB上的高为(　　) A.2 B.4 C.2 D. 答案　D 解析　设△AOB的边OB上的高为h，因为S原图形=2×2×O'B'. 又OB=O'B'，所以h=4. 16.(12分)泉州是一个历史文化名城，它的一些老建筑是中西建筑文化的融合，它注重闽南式大屋顶与西式建筑的巧妙结合，具有独特的建筑风格与空间特征.为延续该市的建筑风格，在旧城改造中，计划对部分建筑物屋顶进行“平改坡”，并体现“红砖青石”的闽南传统建筑风格.现欲设计一个闽南式大屋，该大屋可近似地看作一个直四棱柱和一个三棱柱的组合体，请画出其直观图.(尺寸自定) 解　(1)先按照斜二测画法画出直四棱柱的直观图A'B'C'D'-ABCD，如图1； (2)以直四棱柱的上底面ABCD为三棱柱的侧面画出三棱柱的直观图ADE-BCF.直观图如图2所示. 图1　　　　　图2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 <<< §2　直观图 1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图. 2.会用斜二测画法画常见的柱、锥、台、球以及简单组合体的直观图. 学习目标 物体在日光或灯光的照射下，会在地面、墙壁等处形成影子，影子就是物体在平面上的投射形象.那么立体图形在平面内如何表示呢？这就是我们本节课要研究的课题——直观图. 导 语 一、水平放置的平面图形的直观图的画法 二、空间几何体的直观图的画法 课时对点练 三、直观图的还原与计算 随堂演练 内容索引 水平放置的平面图形的直观图的画法 一 提示　平行四边形. 如图，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状？ 问题 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤及规则 45°(或135°) 水平面 x′轴或y′轴 线段 保持原长度不变 一半 知识梳理 (1)不变的量：平行关系，与x轴平行或重合的线段长度； 变化的量：垂直关系，角的大小，其他线段的长度. (2)圆的直观图一般画成椭圆. (3)斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：横不变、纵折半，平行位置不改变. 注 意 点 <<< 8 　画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图. 例 1 9 (1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系， 另选一平面画直观图，先画对应的 坐标系x'O'y'， 使∠x'O'y'=45°. (2)以O'为中点在x'轴上取A'B'=AB， 在y'轴上取O'E'=OE，以E'为中点画C'D'∥x'轴，并使C'D'=CD. (3)连接B'C'，D'A'，擦去辅助线x'轴和y'轴， 所得的四边形A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图. 10 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可. 反 思 感 悟 11 　用斜二测画法画边长为2 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图. 跟踪训练 1 12 (1)如图①所示，以BC边所在的直 线为x轴，以BC边上的高线AO所 在的直线为y轴建立直角坐标系. (2)画对应的x'轴，y'轴，使∠x'O'y'=45°. 在x'轴上截取O'B'=O'C'=1 cm，在y'轴上截取O'A'=OA. 连接A'B'，A'C'，擦去辅助线x'轴和y'轴， 则△A'B'C'即为正三角形ABC的直观图，如图②所示. 13 二 空间几何体的直观图的画法 空间几何体的直观图的画法步骤及规则 (1)在已知的空间图形中取水平平面和互相垂直的轴Ox，Oy；再取Oz轴，使∠xOz=90°，且∠yOz= . (2)画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的O'x'，O'y'，O'z'，使∠x'O'y' = ，∠x'O'z'= .x'O'y'所确定的平面表示水平平面. (3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段. 90° 45°(或135°) 90° 知识梳理 15 (4)已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度为原来的一半. (5)擦去辅助线，并将被遮线画成虚线. 16 　用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm，3 cm，2 cm的长方体ABCD-A'B'C'D'的直观图. 例 2 17 (1)画轴.如图(1)，画x轴、y轴、 z轴，三轴相交于点O，使∠xOy =45°，∠xOz=90°. (2)画底面.以点O为中点，在x轴 上取线段MN，使MN=4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ= cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD. 18 (3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA'，BB'，CC'，DD'. (4)成图.顺次连接A'，B'，C'，D'(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图，如图(2). 19 反 思 感 悟 (1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出. (2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向. (3)z轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致. 空间几何体的直观图的画法 　用斜二测画法画出六棱锥P-ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面上的投影是正六边形的中心O.(尺寸自定) 跟踪训练 2 21 (1)画出六棱锥P-ABCDEF的底面.①在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在的直线为y轴，两轴相交于点O，如图(1)；画出相应的x'轴、y'轴、z'轴，三轴相交于O'，使∠x'O'y'=45°，∠x'O'z'=90°，如 图(2)；②在图(2)中，以O'为中点，在x'轴上取A'D'=AD，在y'轴上取M'N'=MN，以点N'为中点，画出B'C'平行于x'轴，并且长度等于BC，再以M'为中点，画出E'F'平行于x'轴，并且长度等于EF；③连接A'B'，C'D'，D'E'，F'A'得到水平放置的正六边形ABCDEF的直观图A'B'C'D'E'F'. (2)画出正六棱锥P-ABCDEF的顶点，在z'轴正半轴上截取点P'，点P'异于点O'. 22 (3)成图.连接P'A'，P'B'，P'C'，P'D'，P'E'，P'F'，并擦去x'轴、y'轴和z'轴，将被遮挡的部分画成虚线，便可得到六棱锥P-ABCDEF的直观图P'-A'B'C'D'E'F'，如图(3). 23 直观图的还原与计算 三 　如图，矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'=6 cm，O'C'=2 cm，C'D'=2 cm，则原图形是　 　，其面积为 　　 cm2.  例 3 菱形 24 25 如图，在原图形OABC中， 应有OD=2O'D'=2×2=4(cm)， CD=C'D'=2(cm)， 所以OC==6(cm)， 所以OA=OC=BC=AB， 故四边形OABC是菱形. S四边形OABC=OA×OD=6×4(cm2). 26 反 思 感 悟 由直观图还原为平面图形的关键是找与x'轴、y'轴平行的直线或线段，且平行于x'轴的线段还原时长度不变，平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.由此可得，直观图面积是原图形面积的倍. 　(1)如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图，其中A'B'，A'C'所在直线分别与x'轴，y'轴平行，且A'B'=A'C'， 那么△ABC是 A.等腰三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 跟踪训练 3 √ 28 因为水平放置的△ABC的直观图中，∠x'O'y'=45°，A'B'=A'C'，且A'B'∥x'轴，A'C'∥y'轴， 所以AB⊥AC，AB≠AC， 所以△ABC是直角三角形. 29 (2)已知等边△ABC的边长为a，那么用斜二测画法得到的水平放置的△ABC的平面直观图△A'B'C'的面积为 A. B. C. D.a2 √ 30 方法一　建立如图①所示的平面直角坐标系xOy. 如图②所示，建立坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'=45°，由直观图画法， 知A'B'=AB=a，O'C'=a. 过点C'作C'D'⊥O'x'于点D'， 则C'D'=a. 所以△A'B'C'的面积是S=a2. 31 方法二　S△ABC=a2， 又S△A'B'C'=S△ABC， ∴S△A'B'C'=a2. 32 1.知识清单： (1)水平放置的平面图形的直观图的画法. (2)空间几何体的直观图的画法. (3)直观图的还原与计算. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：易忽视同一图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同. 课堂小结 随堂演练 四 1.(多选)关于斜二测画法所得到的直观图，下列说法正确的是 A.三角形的直观图是三角形 B.平行四边形的直观图是平行四边形 C.正方形的直观图是正方形 D.菱形的直观图是菱形 斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形. √ 1 2 3 4 √ 2.若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x'O'y'平面上，则圆柱的高应画成 A.平行于z'轴且大小为10 cm B.平行于z'轴且大小为5 cm C.与z'轴成45°且大小为10 cm D.与z'轴成45°且大小为5 cm 平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致. √ 1 2 3 4 3.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A'C'=3，B'C'=2，则AB边上的中线的实际长度为　　　.  由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC=A'C'=3，BC=2B'C'=4，计算得AB=5，所求中线长为2.5. 1 2 3 4 2.5 4.如图是用斜二测画法画出的△AOB的直观图，则△AOB的面积是　　 . 由图可知O'B'=4，则对应△AOB中，OB=4. 又和y'轴平行的线段的长度为4，则对应△AOB的高为8.所以△AOB的面积为×4×8=16. 1 2 3 4 16 课时对点练 五 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 ACD A AB A D A 矩形　8 题号 11 12　 13 14 　15 答案 A CD D 4　0.5　3.6 D 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (1)①以D为原点，AC所在直线为x轴，DB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图①， ②画出对应的x'，y'轴， 使∠x'D'y'=45°， 在x'轴上取点A'，C'， 使D'A'=DA，D'C'=DC， 在y'轴上取点B'，使D'B'=DB， 连接A'B'，C'B'， 则△A'B'C'即为△ABC的直观图，如图②. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (2)在图②中，作B'E⊥A'C'，E为垂足， ∵D'B'=DB=6 cm，∠B'D'E=45°， ∴B'E=6×=3(cm)， ∴S△A'B'C'=×A'C'×B'E =×12×3=18(cm2). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)画轴.画x'轴、y'轴和z'轴，使∠x'O'y'=45°(或135°)，∠x'O'z'=90°，如图①所示. (2)画底面.按x'轴、y'轴画正五边形的直观图ABCDE. (3)画侧棱.过点A，B，C，D，E分别作z'轴的 平行线，并在这些平行线上分别截取AA'，BB'， CC'，DD'，EE'都相等. (4)成图.顺次连接A'，B'，C'，D'，E'，去掉辅助 线，将被挡部分画为虚线，如图②所示. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)先按照斜二测画法画出直四棱柱的直观图A'B'C'D'-ABCD，如图1； (2)以直四棱柱的上底面ABCD为三棱柱的侧面画出三棱柱的直观图ADE-BCF.直观图如图2所示. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 图1　　　 图2 1.(多选)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的是 A.原来相交的仍相交 B.原来垂直的仍垂直 C.原来平行的仍平行 D.原来共点的仍共点 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ √ 答案 2.已知用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 根据斜二测画法知，在y轴上的线段长度为直观图中相应线段长度的2倍，可知A正确. 答案 3.(多选)已知一条边在x轴上的正方形的斜二测直观图是一个平行四边形，其中有一个边长为4，则此正方形的面积为 A.16 B.64 C.32 D.无法确定 等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 4.由斜二测画法得到的水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中B'O'=C'O'=1，A'O'=，那么△ABC是一个 A.等边三角形 B.直角三角形 C.三边中只有两边相等的等腰三角形 D.三边互不相等的三角形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由△ABC的直观图知， 在△ABC中，AO⊥BC.∴A'O'=. ∴B'O'=C'O'=1， ∴BC=2，AB=AC=2， ∴△ABC为等边三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 5.如图所示，△A'B'C'是用斜二测画法得到的水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是 A.AB B.AD C.BC D.AC 还原△ABC，即可看出△ABC为直角三角形，故其斜边AC最长. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 6.如图所示，四边形OABC是上底为1，下底为3，底角为45°的等腰梯形，由斜二测画法画出这个梯形的直观图O'A'B'C'，则梯形O'A'B'C'的高为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为四边形OABC是上底为1，下底为3，底角为45°的等腰梯形，所以等腰梯形OABC的高为1，面积S= ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 7.在如图所示的直观图中，四边形O'A'B'C'为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系中四边形OABC为　 　(填具体形状)，其面积为　　cm2. 由斜二测画法规则可知，在四边形OABC中，OA⊥OC，OA=O'A'= 2(cm)，OC=2O'C'=4(cm)，所以四边形OABC是矩形，其面积为2×4=8 cm2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 矩形 8 答案 8.如图所示，一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2，2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B'到x'轴的 距离为　　　.  画出直观图(图略)， 则B'到x'轴的距离为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 9.如图所示，在△ABC中，AC=12 cm，AC边上的高 BD=12 cm. (1)画出水平放置的△ABC的直观图； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ①以D为原点，AC所在直线为x轴，DB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图①， ②画出对应的x'，y'轴， 使∠x'D'y'=45°， 在x'轴上取点A'，C'， 使D'A'=DA，D'C'=DC， 在y'轴上取点B'，使D'B'=DB，连接A'B'，C'B'， 则△A'B'C'即为△ABC的直观图，如图②. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 56 (2)求直观图的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在图②中，作B'E⊥A'C'，E为垂足， ∴D'B'=DB=6 cm，∠B'D'E=45°， ∴B'E=6×(cm)， ∴S△A'B'C'=×A'C'×B'E ==18(cm2). 答案 10.用斜二测画法画出正五棱柱的直观图. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 (1)画轴.画x'轴、y'轴和z'轴，使 ∠x'O'y'=45°(或135°)，∠x'O'z' =90°，如图①所示. (2)画底面.按x'轴、y'轴画正五边 形的直观图ABCDE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)画侧棱.过点A，B，C，D，E分别作z'轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA'，BB'，CC'，DD'，EE'都相等. (4)成图.顺次连接A'，B'，C'，D'，E'，去掉辅助线，将被挡部分画为虚线，如图②所示. 答案 60 11.如图是利用斜二测画法画出的Rt△ABO的直观图，已知O'B'=4，且△ABO的面积为16，过点A'作A'C'⊥x'轴于点C'， 则A'C'的长为 A.2 B. C.16 D.1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 答案 由直观图可知△ABO为直角三角形且 AB⊥BO，OB=4， S△ABO=×4×AB=16， ∴AB=8，∴A'B'=4，∴A'C'=4×. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 12.(多选)如图所示，用斜二测画法作水平放置的△ABC的直观图，得△A1B1C1，其中A1B1=B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是 A.AB=BC=AC B.AD⊥BC C.AB⊥BC D.AC>AD>AB>BC √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 由直观图知△ABC为直角三角形， AB⊥BC，AB=2A1B1，BC=B1C1，D为BC的中点， 如图所示， 又A1B1=B1C1， 故AB错误，CD正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 13.如图，四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形A'B'C'D'，已知A'B'=4，C'D'=2，则下列说法正确的是 A.AB=2 B.A'D'=2 C.四边形ABCD的周长为4+2 D.四边形ABCD的面积为6 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 如图，过点D'作D'E⊥O'B'于点E， 由等腰梯形A'B'C'D'可得，△A'D'E是等腰直角三 角形， 即A'D'=，B错误； 还原平面图如图，即AB=4=2CD，AD=2，A错误； 过点C作CF⊥AB于点F，由勾股定理得CB=2， 故四边形ABCD的周长为4+2+2，C错误； 四边形ABCD的面积为，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 14.一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面大小一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m，10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中长方体的长为　　　cm，宽为　　　cm，建筑物的高为　　　cm.  由比例可知长方体的长、宽、高分别为4 cm，1 cm，2 cm，四棱锥的高为1.6 cm， 所以长方体的直观图的尺寸应为4 cm，0.5 cm，2 cm，四棱锥的直观图的高为1.6 cm. 所以直观图中建筑物的高为2+1.6=3.6(cm). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 0.5 3.6 答案 拓广探究 15.如图所示，△A'O'B'表示用斜二测画法得到的水平放置的△AOB的直观图，B'在x'轴上，A'O'与x'轴垂直，且A'O'=2，则 △AOB的边OB上的高为 A.2 B.4 C.2 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 设△AOB的边OB上的高为h，因为S原图形 =2 ×2×O'B'. 又OB=O'B'，所以h=4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16.泉州是一个历史文化名城，它的一些老建筑是中西建筑文化的融合，它注重闽南式大屋顶与西式建筑的巧妙结合，具有独特的建筑风格与空间特征.为延续该市的建筑风格，在旧城改造中，计划对部分建筑物屋顶进行“平改坡”，并体现“红砖青石”的闽南传统建筑风格.现欲设计一个闽南式大屋，该大屋可近似地看作一个直四棱柱和一个三棱柱的组合体，请画出其直观图.(尺寸自定) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 (1)先按照斜二测画法画出直四棱柱的直观图A'B'C'D'-ABCD，如图1； (2)以直四棱柱的上底面ABCD为三棱柱的侧面画出三棱柱的直观图ADE-BCF.直观图如图2所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 图1　　　 图2 答案 71 第一章 <<< $$