第二章 §3 从速度的倍数到向量的数乘-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（北师大版2019）

第二章 <<< §3　从速度的倍数到 向量的数乘 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义. 2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算. 3.理解并掌握共线(平行)向量基本定理，能熟练运用共线(平行)向量基本定理处理有关共线向量问题. 学习目标 在疾风骤雨、雷电交加的夜晚，为什么我们总 是先看到闪电，后听到雷声？这是因为光速远 远大于声速.经测量光速大小约为声速的8.8× 105倍. 一物体由高空自由落下，根据自由落体运动的速度公式v=gt可知，它在1 s末和2 s末的速度大小分别为v1=9.8 m/s和v2=19.6 m/s.显然v2=2v1，并且方向都是竖直向下的. 以上实例说明在实际中存在着这样的两个向量，它们是共线的，而且大小之间具有倍数关系，因此，有必要定义实数与向量的乘积运算. 导 语 一、数乘运算的定义及运算律 二、用已知向量表示其他向量 课时对点练 三、共线(平行)向量基本定理 随堂演练 内容索引 一 数乘运算的定义及运算律 有一同学从O点出发，向东行进，1秒后到达A点，按照相同的走法，问3秒后该同学在哪里，用向量怎么表示这段位移？ 问题1 提示　如图所示. 相同的几个数相加可以转化为乘法运算，如3+3+3+3+3=5×3= 15，那么相等的几个向量相加是否也能转化为乘法运算呢？ 问题2 提示　可以.a+a+a+a+a=5×a=5a. 1.向量数乘的定义 实数λ与向量a的乘积是一个 ，记作λa，满足以下条件： (1)当 时，向量λa与向量a的方向相同； 当 时，向量λa与向量a的方向相反； 当λ=0时，0a= . (2)|λa|= . 这种运算称为向量的数乘. 向量 λ>0 λ<0 0 |λ||a| 知识梳理 2.向量数乘的几何意义 实数与向量数乘λa的几何意义：当 时，表示向量a的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的λ倍；当 时，表示向量a的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍. 3.向量的单位化 在非零向量a方向上的单位向量是___，它表明一个非零向量除以它的___ (乘它的模的倒数)的结果是一个与原向量 方向的 向量，这一过程称为向量的单位化. λ>0 λ<0 模 同 单位 4.数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，a，b为向量. (1)(λ+μ)a= . (2)λ(μa)= . (3)λ(a+b)= . λa+μa (λμ)a λa+λb (1)向量的加法、减法和数乘的综合运算统称为向量的线性运算. (2)对于任意向量a，b以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a+μ2b)=λμ1a+λμ2b. 注 意 点 <<< 11 　　　(1)(多选)已知a，b为非零向量，下面说法正确的是 A.2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍 B.-2a的方向与3a的方向相反，且-2a的模是3a的模的倍 C.-2a与2a是一对相反向量 D.a-b与-(b-a)是一对相反向量 例 1 √ √ √ 12 对于A，∵2a=a+a与a方向相同， 且|2a|=|a+a|=|a|+|a|=2|a|，故A正确； 对于B，∵-2a=(-a)+(-a)与-a同方向，3a=a+a+a与a同方向，由于-a与a反方向，故-2a与3a反方向，又∵|-2a|=2|a|，|3a|=3|a|，所以-2a的 模是3a的模的倍，故B正确； 对于C，∵-2a+2a=(-2+2)a=0，故-2a与2a是一对相反向量，故C正确； 对于D，∵-(b-a)=a-b，∴两者为相等向量，故D错误. 13 (2)计算下列各式： ①4(a+b)-3(a-b)； 4(a+b)-3(a-b)=4a-3a+4b+3b=a+7b. ②3(a-2b+c)-(2a+b-3c)； 3(a-2b+c)-(2a+b-3c)=3a-6b+3c-2a-b+3c=a-7b+6c. 14 ③(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b). (a-b)-(2a+4b)+(2a+13b) =a-b-a-b+a+b =a+b=0a+0b=0+0=0. 15 (1)λa中的实数λ叫作向量a的系数. (2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向长度扩大或缩小几倍. (3)当λ=0或a=0时，λa=0.注意是0，而不是0. 反 思 感 悟 对数乘向量的四点说明 16 　　　　　(1)(多选)已知λ，μ∈R，则在下列各命题中，正确的命题有 A.当λ<0，a≠0时，λa与a的方向一定相同 B.当λ>0，a≠0时，λa与a的方向一定相同 C.当λμ>0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反 D.当λμ<0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反 跟踪训练 1 √ √ 由λ与向量a的积λa的方向规定，易知A错误，B正确； 对于命题C，D，当λμ>0时，λ，μ同正或同负，∴λa与μa或者都与a同向，或者都与a反向，∴λa与μa同向；当λμ<0时，λ与μ异号，λa与μa中，一个与a同向，一个与a反向，∴λa与μa反向，故C错误，D正确. 17 因为(4a-3c)+3(5c-4b)=0， 所以a-2c+15c-12b=0， 整理得13c=12b-a，所以c=b-a. (2)若a，b为已知向量，且(4a-3c)+3(5c-4b)=0，则c=　　　　. 　b-a 18 二 用已知向量表示其他向量 　　　如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，若=a，=b，则等于 A.a-b B.a+b C.a+b D.a-b 例 2 √ 因为E是BC的中点， 所以b， 所以=a-b. 20 反 思 感 悟 用已知向量表示其他向量的方法 　　　　　在△ABC中，若点D满足等于 A. B. C. D. 跟踪训练 2 √ 如图所示，由题意可得 =) =. 22 三 共线(平行)向量基本定理 提示　a∥b. 已知非零向量b，且a=λb，探究a，b之间的关系. 问题3 1.共线(平行)向量基本定理 给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使a=λb. 2.直线的向量表示 通常可以用_____称为直线l的方向向量. 知识梳理 (1)定理中b≠0不能漏掉. (2)O为直线AB外一点，若A，B，P三点共线，则存在唯一的实数t，使得. (3)O为直线AB外一点，若A，B，P三点共线，则存在唯一的一对实数λ，μ，则且λ+μ=1. 注 意 点 <<< 26 　　　设a，b是不共线的两个非零向量. (1)若=2a-b，=3a+b，=a-3b， 求证：A，B，C三点共线； 例 3 ∵=(3a+b)-(2a-b)=a+2b， 而=(a-3b)-(3a+b) =-(2a+4b)=-2， ∴共线，且有公共点B， ∴A，B，C三点共线. 27 ∵8a+kb与ka+2b共线， ∴存在实数λ，使得8a+kb=λ(ka+2b)， 即(8-λk)a+(k-2λ)b=0， ∵a与b不共线，∴ 解得λ=±2，∴k=2λ=±4. (2)若8a+kb与ka+2b共线，求实数k的值. 28 反 思 感 悟 (1)证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得等)即可. (2)利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解. 　　　　　(1)已知向量e1，e2不共线，如果=e1+2e2，=-5e1+6e2，=7e1-2e2，则共线的三个点是　　 　　.  跟踪训练 3 A，B，D ∵=e1+2e2， =-5e1+6e2+7e1-2e2 =2(e1+2e2)=2， ∴共线，且有公共点B， ∴A，B，D三点共线. 30 (2)已知O，A，B三点不共线，P为该平面内一点，且，则 A.点P在线段AB上 B.点P在线段AB的延长线上 C.点P在线段AB的反向延长线上 D.点P在射线AB上 √ 31 由， 得， 当0<≤1时，点P在线段AB上， 当>1时，点P在线段AB的延长线上， 所以点P在射线AB上. 32 1.知识清单： (1)向量的数乘及运算律. (2)共线(平行)向量基本定理. (3)三点共线的常用结论. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 3.常见误区：忽视零向量这一个特殊向量. 课堂小结 33 随堂演练 四 1 2 3 4 1.等于 A.a-b+2c B.5a-b+2c C.a+b+2c D.5a+b √ =(3a-2a)++(c+c)=a-b+2c. 2.如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若=a，=b，则等于 A.(a-b) B.-(a-b) C.(a+b) D.-(a+b) 1 2 3 4 √ 因为M是BC的中点，所以(a+b). 3.(多选)已知m，n是实数，a，b是向量，则下列说法中正确的是 A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na C.若ma=mb，则a=b D.若ma=na，则m=n 1 2 3 4 √ 由数乘运算的运算律知A，B正确； C中，当m=0时，ma=mb，但a不一定等于b，故错误； D中，当a=0时，ma=na，但m不一定等于n，故错误. √ 4.设e1与e2是两个不共线向量，=3e1+2e2，=ke1+e2，=3e1-2ke2， 若A，B，D三点共线，则k=　　. 1 2 3 4 　- 因为A，B，D三点共线， 故存在一个实数λ，使得， 又=3e1+2e2，=ke1+e2，=3e1-2ke2， 所以=3e1-2ke2-(ke1+e2) =(3-k)e1-(2k+1)e2， 所以3e1+2e2=λ(3-k)e1-λ(2k+1)e2， 所以 解得k=-. 1 2 3 4 课时对点练 五 答案 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D D B AC A -a+2b+c -a+b 题号 11 12 13 14　 　15 答案 C B D 3 　A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 由题意可知存在实数λ使 2ka+b=λ(8a+kb)， 即2ka+b=8λa+λkb， ∴ ∵2ka+b与8a+kb的方向相反， ∴k=2不符合题意，舍去，∴k=-2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. ∵=3a，=2b， ∴=-=2b-3a. 又∵D，E为边AB的两个三等分点， ∴==b-a， ==b-2a， ∴=+=3a+b-a=2a+b，=+=3a+b-2a=a+b. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. b与a+c共线.证明如下： ∵a+b与c共线， ∴存在唯一一个实数λ， 使得a+b=λc. ① ∵b+c与a共线， ∴存在唯一一个实数μ， 使得b+c=μa. ② 由①-②得，a-c=λc-μa. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. ∴(1+μ)a=(1+λ)c. 又∵a与c不共线， ∴1+μ=0，1+λ=0，∴μ=-1，λ=-1， ∴a+b=-c，即a+b+c=0. ∴a+c=-b. 故b与a+c共线. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是 A.a与λa的方向相同 B.a与-λa的方向相反 C.|-λa|=|-λ|a D.|-λa|=|-λ||a| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，当λ>0时，a与λa的方向相同，a与-λa的方向相反，但是当λ<0时，a与λa的方向相反，a与-λa的方向相同，所以A，B错误； 由数乘运算的长度的定义可知|-λa|=|-λ||a|，所以C错误，D正确. 答案 2.下列各组向量中，不一定能推出a∥b的是 A.a=e，b=2e B.a=-3e，b=2e C.a=e1-e2，b=-e1 D.a=e1-e2，b=e1+e2+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A中，a=b，所以a∥b； B中，a=-b，所以a∥b； C中，b=-e1=a，所以a∥b； D中，b=(e1+e2)，若e1与e2共线， 则a与b共线，若e1与e2不共线，则a与b不共线. 答案 3.设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m=-e1+ke2 (k∈R)与向量n=e2-2e1共线，则k等于 A.0 B.1 C.2 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵向量m与向量n共线， ∴设m=λn(λ∈R)， ∴-e1+ke2=λe2-2λe1， ∵e1与e2不共线， ∴ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.设P是△ABC所在平面内一点，，则 A. B.=0 C. D.=0 √ 答案 因为， 所以点P为线段AC的中点，故选项B正确. 5.(多选)已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且=a，=b，给出下列结论，其中正确的有 A.=-b B.=a-b C.=a+b D.a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 如图所示，=-b，则A项正确； =a+b，则B项错误； =a+b，则C项正确； a，则D项错误. 6.在△ABC中，点P是AB上一点，且，则t的值为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵， ， ∴)， ∴， ∴t=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.若2+(c+b-3x)+b=0，则x=　　　　. ∵2+(c+b-3x)+b=0， ∴2x-a+c+b-3x+b=0， ∴-x-a+c+2b=0， ∴x=-a+2b+c. 答案 -a+2b+c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD==a，=b，则=　　　　.(用a，b表示) =) =- =-a+b. 答案 -a+b 58 9.设a，b是两个不共线的非零向量，若向量2ka+b与8a+kb的方向相反，求k的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知存在实数λ使 2ka+b=λ(8a+kb)， 即2ka+b=8λa+λkb， ∴ ∵2ka+b与8a+kb的方向相反， ∴k=2不符合题意，舍去， ∴k=-2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，=3a，=2b，用a，b分别表示. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ∵=3a，=2b， ∴=2b-3a. 又∵D，E为边AB的两个三等分点， ∴b-a， b-2a， ∴=3a+b-a=2a+b， =3a+b-2a=a+b. 11.设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则等于 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 答案 如图， =) =. 12.已知a，b为不共线向量，且=2a+b，=-a+4b，=3(a-b)，则 A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线 C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，因为=2a+b，=-a+4b，令不共线，所以A，B，C三点不共线，故选项A不正确； 对于B，=2a+b，=-a+4b+3=2a+b= 有公共点B，所以A，B，D三点共线，故选项B正确； 对于C，=-a+4b， 不共线，所以B，C，D三点不共线，故选项C不正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于D，=2a+b+=a+5b，不共线，所以A，C，D三点不共线，故选项D不正确. 答案 13.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若=a，=b，则等于 A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵△DEF∽△BEA，∴. ∴DF=DC， ∴. ∵=a，=b， 联立得(a-b)，(a+b)， ∴(a+b)+(a-b)=a+b. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知在△ABC中，点M满足成立，则m=　. ∵=0， ∴点M是△ABC的重心. ∴，∴m=3. 答案 3 15.已知O为正三角形ABC内一点，且满足=0，若△OAB的面积与△OAC的面积之比为3∶1，则λ等于 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 分别取AC，BC的中点D，E， 连接DE，AE，如图， 则DE是△ABC的中位线. 因为=0， 所以)， 所以， 所以D，O，E三点共线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为S△OAC= S△OABS△ABCS△AEC， 所以， 所以， 所以-λ=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.设a，b，c为非零向量，其中任意两个向量不共线，已知a+b与c共线，且b+c与a共线，则b与a+c是否共线？请证明你的结论. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 b与a+c共线.证明如下： ∵a+b与c共线， ∴存在唯一一个实数λ，使得a+b=λc. ① ∵b+c与a共线， ∴存在唯一一个实数μ，使得b+c=μa. ② 由①-②得，a-c=λc-μa. ∴(1+μ)a=(1+λ)c. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又∵a与c不共线， ∴1+μ=0，1+λ=0， ∴μ=-1，λ=-1， ∴a+b=-c， 即a+b+c=0. ∴a+c=-b. 故b与a+c共线. 答案 第一章 <<< $$ [学习目标]　1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握共线(平行)向量基本定理，能熟练运用共线(平行)向量基本定理处理有关共线向量问题. 导语 在疾风骤雨、雷电交加的夜晚，为什么我们总是先看到闪电，后听到雷声？这是因为光速远远大于声速.经测量光速大小约为声速的8.8×105倍. 一物体由高空自由落下，根据自由落体运动的速度公式v=gt可知，它在1 s末和2 s末的速度大小分别为v1=9.8 m/s和v2=19.6 m/s.显然v2=2v1，并且方向都是竖直向下的. 以上实例说明在实际中存在着这样的两个向量，它们是共线的，而且大小之间具有倍数关系，因此，有必要定义实数与向量的乘积运算. 一、数乘运算的定义及运算律 问题1　有一同学从O点出发，向东行进，1秒后到达A点，按照相同的走法，问3秒后该同学在哪里，用向量怎么表示这段位移？ 提示　如图所示. 问题2　相同的几个数相加可以转化为乘法运算，如3+3+3+3+3=5×3=15，那么相等的几个向量相加是否也能转化为乘法运算呢？ 提示　可以.a+a+a+a+a=5×a=5a. 知识梳理 1.向量数乘的定义 实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa，满足以下条件： (1)当λ>0时，向量λa与向量a的方向相同； 当λ<0时，向量λa与向量a的方向相反； 当λ=0时，0a=0. (2)|λa|=|λ||a|. 这种运算称为向量的数乘. 2.向量数乘的几何意义 实数与向量数乘λa的几何意义：当λ>0时，表示向量a的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的λ倍；当λ<0时，表示向量a的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍. 3.向量的单位化 在非零向量a方向上的单位向量是，它表明一个非零向量除以它的模(乘它的模的倒数)的结果是一个与原向量同方向的单位向量，这一过程称为向量的单位化. 4.数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，a，b为向量. (1)(λ+μ)a=λa+μa. (2)λ(μa)=(λμ)a. (3)λ(a+b)=λa+λb. 注意点： (1)向量的加法、减法和数乘的综合运算统称为向量的线性运算. (2)对于任意向量a，b以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a+μ2b)=λμ1a+λμ2b. 例1　(1)(多选)已知a，b为非零向量，下面说法正确的是(　　) A.2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍 B.-2a的方向与3a的方向相反，且-2a的模是3a的模的倍 C.-2a与2a是一对相反向量 D.a-b与-(b-a)是一对相反向量 答案　ABC 解析　对于A，∵2a=a+a与a方向相同， 且|2a|=|a+a|=|a|+|a|=2|a|，故A正确； 对于B，∵-2a=(-a)+(-a)与-a同方向，3a=a+a+a与a同方向，由于-a与a反方向，故-2a与3a反方向，又∵|-2a|=2|a|，|3a|=3|a|，所以-2a的模是3a的模的倍，故B正确； 对于C，∵-2a+2a=(-2+2)a=0，故-2a与2a是一对相反向量，故C正确； 对于D，∵-(b-a)=a-b，∴两者为相等向量，故D错误. (2)计算下列各式： ①4(a+b)-3(a-b)； ②3(a-2b+c)-(2a+b-3c)； ③(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b). 解　①4(a+b)-3(a-b)=4a-3a+4b+3b=a+7b. ②3(a-2b+c)-(2a+b-3c)=3a-6b+3c-2a-b+3c =a-7b+6c. ③(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b) =a-b-a-b+a+b =a+b=0a+0b=0+0=0. 反思感悟　对数乘向量的四点说明 (1)λa中的实数λ叫作向量a的系数. (2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向长度扩大或缩小几倍. (3)当λ=0或a=0时，λa=0.注意是0，而不是0. 跟踪训练1　(1)(多选)已知λ，μ∈R，则在下列各命题中，正确的命题有(　　) A.当λ<0，a≠0时，λa与a的方向一定相同 B.当λ>0，a≠0时，λa与a的方向一定相同 C.当λμ>0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反 D.当λμ<0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反 答案　BD 解析　由λ与向量a的积λa的方向规定，易知A错误，B正确；对于命题C，D，当λμ>0时，λ，μ同正或同负，∴λa与μa或者都与a同向，或者都与a反向，∴λa与μa同向；当λμ<0时，λ与μ异号，λa与μa中，一个与a同向，一个与a反向，∴λa与μa反向，故C错误，D正确. (2)若a，b为已知向量，且(4a-3c)+3(5c-4b)=0，则c=　　　　　　　　　.  答案　b-a 解析　因为(4a-3c)+3(5c-4b)=0， 所以a-2c+15c-12b=0， 整理得13c=12b-a，所以c=b-a. 二、用已知向量表示其他向量 例2　如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，若=a，=b，则等于(　　) A.a-b B.a+b C.a+b D.a-b 答案　D 解析　因为E是BC的中点， 所以b， 所以=a-b. 反思感悟　用已知向量表示其他向量的方法 跟踪训练2　在△ABC中，若点D满足等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　如图所示，由题意可得 =) =. 三、共线(平行)向量基本定理 问题3　已知非零向量b，且a=λb，探究a，b之间的关系. 提示　a∥b. 知识梳理 1.共线(平行)向量基本定理 给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使a=λb. 2.直线的向量表示 通常可以用称为直线l的方向向量. 注意点： (1)定理中b≠0不能漏掉. (2)O为直线AB外一点，若A，B，P三点共线，则存在唯一的实数t，使得. (3)O为直线AB外一点，若A，B，P三点共线，则存在唯一的一对实数λ，μ，则且λ+μ=1. 例3　设a，b是不共线的两个非零向量. (1)若=2a-b，=3a+b，=a-3b， 求证：A，B，C三点共线； (2)若8a+kb与ka+2b共线，求实数k的值. (1)证明　∵=(3a+b)-(2a-b)=a+2b， 而=(a-3b)-(3a+b) =-(2a+4b)=-2， ∴共线，且有公共点B， ∴A，B，C三点共线. (2)解　∵8a+kb与ka+2b共线， ∴存在实数λ，使得8a+kb=λ(ka+2b)， 即(8-λk)a+(k-2λ)b=0， ∵a与b不共线，∴ 解得λ=±2，∴k=2λ=±4. 反思感悟　(1)证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得等)即可. (2)利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解. 跟踪训练3　(1)已知向量e1，e2不共线，如果=e1+2e2，=-5e1+6e2，=7e1-2e2，则共线的三个点是　　　　.  答案　A，B，D 解析　∵=e1+2e2， =-5e1+6e2+7e1-2e2 =2(e1+2e2)=2， ∴共线，且有公共点B， ∴A，B，D三点共线. (2)已知O，A，B三点不共线，P为该平面内一点，且，则(　　) A.点P在线段AB上 B.点P在线段AB的延长线上 C.点P在线段AB的反向延长线上 D.点P在射线AB上 答案　D 解析　由， 得， 当0<≤1时，点P在线段AB上， 当>1时，点P在线段AB的延长线上， 所以点P在射线AB上. 1.知识清单： (1)向量的数乘及运算律. (2)共线(平行)向量基本定理. (3)三点共线的常用结论. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 3.常见误区：忽视零向量这一个特殊向量. 1.等于(　　) A.a-b+2c B.5a-b+2c C.a+b+2c D.5a+b 答案　A 解析　 =(3a-2a)++(c+c)=a-b+2c. 2.如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若=a，=b，则等于(　　) A.(a-b) B.-(a-b) C.(a+b) D.-(a+b) 答案　C 解析　因为M是BC的中点，所以(a+b). 3.(多选)已知m，n是实数，a，b是向量，则下列说法中正确的是(　　) A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na C.若ma=mb，则a=b D.若ma=na，则m=n 答案　AB 解析　由数乘运算的运算律知A，B正确； C中，当m=0时，ma=mb，但a不一定等于b，故错误； D中，当a=0时，ma=na，但m不一定等于n，故错误. 4.设e1与e2是两个不共线向量，=3e1+2e2，=ke1+e2，=3e1-2ke2，若A，B，D三点共线，则k=　　　.  答案　- 解析　因为A，B，D三点共线， 故存在一个实数λ，使得， 又=3e1+2e2，=ke1+e2，=3e1-2ke2， 所以=3e1-2ke2-(ke1+e2) =(3-k)e1-(2k+1)e2， 所以3e1+2e2=λ(3-k)e1-λ(2k+1)e2， 所以 解得k=-. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是(　　) A.a与λa的方向相同 B.a与-λa的方向相反 C.|-λa|=|-λ|a D.|-λa|=|-λ||a| 答案　D 解析　依题意，当λ>0时，a与λa的方向相同，a与-λa的方向相反，但是当λ<0时，a与λa的方向相反，a与-λa的方向相同，所以A，B错误； 由数乘运算的长度的定义可知|-λa|=|-λ||a|，所以C错误，D正确. 2.下列各组向量中，不一定能推出a∥b的是(　　) A.a=e，b=2e B.a=-3e，b=2e C.a=e1-e2，b=-e1 D.a=e1-e2，b=e1+e2+ 答案　D 解析　A中，a=b，所以a∥b； B中，a=-b，所以a∥b； C中，b=-e1=a，所以a∥b； D中，b=(e1+e2)，若e1与e2共线， 则a与b共线，若e1与e2不共线，则a与b不共线. 3.设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m=-e1+ke2 (k∈R)与向量n=e2-2e1共线，则k等于(　　) A.0 B.1 C.2 D. 答案　D 解析　∵向量m与向量n共线， ∴设m=λn(λ∈R)， ∴-e1+ke2=λe2-2λe1， ∵e1与e2不共线， ∴ 4.设P是△ABC所在平面内一点，，则(　　) A. B.=0 C. D.=0 答案　B 解析　因为， 所以点P为线段AC的中点，故选项B正确. 5.(多选)已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且=a，=b，给出下列结论，其中正确的有(　　) A.=-b B.=a-b C.=a+b D.a 答案　AC 解析　如图所示，=-b，则A项正确； =a+b，则B项错误； =a+b，则C项正确； a，则D项错误. 6.在△ABC中，点P是AB上一点，且，则t的值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　∵， ， ∴)， ∴， ∴t=. 7.(5分)若2+(c+b-3x)+b=0，则x=　　　　　　　.  答案　-a+2b+c 解析　∵2+(c+b-3x)+b=0， ∴2x-a+c+b-3x+b=0， ∴-x-a+c+2b=0， ∴x=-a+2b+c. 8.(5分)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD==a，=b，则=　　　　.(用a，b表示)  答案　-a+b 解析　 =) =- =-a+b. 9.(10分)设a，b是两个不共线的非零向量，若向量2ka+b与8a+kb的方向相反，求k的值. 解　由题意可知存在实数λ使 2ka+b=λ(8a+kb)， 即2ka+b=8λa+λkb， ∴ ∵2ka+b与8a+kb的方向相反， ∴k=2不符合题意，舍去， ∴k=-2. 10.(12分)如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，=3a，=2b，用a，b分别表示. 解　∵=3a，=2b， ∴=2b-3a. 又∵D，E为边AB的两个三等分点， ∴b-a， b-2a， ∴=3a+b-a=2a+b， =3a+b-2a=a+b. 11.设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如图， =) =. 12.已知a，b为不共线向量，且=2a+b，=-a+4b，=3(a-b)，则(　　) A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线 C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线 答案　B 解析　对于A，因为=2a+b，=-a+4b，令不共线，所以A，B，C三点不共线，故选项A不正确； 对于B，=2a+b，=-a+4b+3=2a+b=有公共点B，所以A，B，D三点共线，故选项B正确； 对于C，=-a+4b，不共线，所以B，C，D三点不共线，故选项C不正确； 对于D，=2a+b+=a+5b，不共线，所以A，C，D三点不共线，故选项D不正确. 13.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若=a，=b，则等于(　　) A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b 答案　D 解析　∵△DEF∽△BEA，∴. ∴DF=DC， ∴. ∵=a，=b， 联立得(a-b)，(a+b)， ∴(a+b)+(a-b)=a+b. 14.(5分)已知在△ABC中，点M满足成立，则m=　　　　.  答案　3 解析　∵=0， ∴点M是△ABC的重心. ∴，∴m=3. 15.已知O为正三角形ABC内一点，且满足=0，若△OAB的面积与△OAC的面积之比为3∶1，则λ等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　分别取AC，BC的中点D，E， 连接DE，AE，如图， 则DE是△ABC的中位线. 因为=0， 所以)， 所以， 所以D，O，E三点共线. 因为S△OAC=S△AEC， 所以， 所以， 所以-λ=-. 16.(12分)设a，b，c为非零向量，其中任意两个向量不共线，已知a+b与c共线，且b+c与a共线，则b与a+c是否共线？请证明你的结论. 解　b与a+c共线.证明如下： ∵a+b与c共线， ∴存在唯一一个实数λ，使得a+b=λc. ① ∵b+c与a共线， ∴存在唯一一个实数μ，使得b+c=μa. ② 由①-②得，a-c=λc-μa. ∴(1+μ)a=(1+λ)c. 又∵a与c不共线， ∴1+μ=0，1+λ=0， ∴μ=-1，λ=-1， ∴a+b=-c， 即a+b+c=0. ∴a+c=-b. 故b与a+c共线. 学科网（北京）股份有限公司 $$