第二章 §2 2.1 向量的加法-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（北师大版2019）

2.1　向量的加法 [学习目标]　1.理解向量加法的定义；熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会求两个向量的和及几个向量的和.2.能准确理解、表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用向量加法的交换律和结合律进行向量运算. 导语 我们知道，实数可以进行运算，如1+2=3，2×3=6，正是有了运算，数字才有了无穷的威力，在运算中，我们还有加法交换律和结合律、乘法交换律和结合律，那么向量是否也能像数一样进行运算呢？它的运算规则又是怎样的呢？是不是也有相应的运算律？今天我们就从向量的加法开始，来研究向量的运算，探索其运算性质，体会向量运算的作用. 一、向量加法的平行四边形法则 问题1　两个向量相加就是两个向量的模相加吗？ 提示　不是，向量相加要考虑大小及方向，而模相加是数量的加法. 问题2　物体在天车的作用下，同时进行竖直向上方向的位移和水平向右方向的位移，实际位移的合成. 提示　如图所示. 知识梳理 1.向量加法的定义 求两个向量和的运算，称为向量的加法. 2.向量加法的平行四边形法则 已知两个不共线的向量a，b，如图，在平面内任取一点A，作有向线段=a，=b，以有向线段表示的向量即为向量a与b的和，记作a+b.这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的平行四边形法则. 注意点： (1)a，b，a+b同起点. (2)仅适用于不共线的两个向量求和. (3)对于零向量与任意向量a，规定a+0=0+a=a. 例1　如图所示，用向量加法的平行四边形法则作出a+b. 解　如图，在平面内任取一点O，作=a，=b，再作平行于向量=b，连接BC，则四边形OACB为平行四边形，=a+b. 反思感悟　应用平行四边形法则求向量和的基本步骤 (1)平移两个不共线的向量使之共起点. (2)以这两个已知向量为邻边作平行四边形. (3)平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和. 跟踪训练1　已知||=　　　　.  答案　3 解析　以OA，OB为邻边作平行四边形OADB(图略)，由∠AOB=90°，| . 二、向量加法的三角形法则 问题3　假如家住石家庄的张先生准备去北京出差，他乘飞机先从石家庄到天津，再乘火车从天津到北京，则张先生的位移是多少？ 提示　如图所示. 则张先生的位移是=c. 知识梳理 1.如图，作有向线段=a，以有向线段=b，连接A，C得到有向线段，也可以表示向量a与b的和.这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的三角形法则. 2.向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 三角形法则 平行四边形法则 区别 (1)首尾相接； (2)适用于任何两个非零向量求和 (1)共起点； (2)仅适用于不共线的两个向量求和 推广 (1) 若A1，A2，A3，…，An为平面n边形的顶点，则； (2)若三角形ABC的边BC的中点为D， 则) 3.平面向量加法的三角形不等式 在||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|中，当且仅当a与b同向或反向时取等号. 注意点： (1)首尾相接，再首尾连. (2)适用于所有向量求和. 例2　(1)如图①所示，求作向量a+b； (2)如图②所示，求作向量a+b+c. 解　(1)首先作向量=a，然后作向量=b， 则向量=a+b.如图③所示. (2)方法一　(三角形法则)如图④所示， 首先在平面内任取一点O，作向量=a， 再作向量=b， 则得向量=a+b， 然后作向量=c， 则向量=a+b+c. 方法二　(平行四边形法则)如图⑤所示， 首先在平面内任取一点O， 作向量=a，=b，=c， 以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD， 则=a+b. 再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE， 则=a+b+c. 反思感悟　应用三角形法则求向量和的基本步骤 (1)平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合. (2)以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和. 跟踪训练2　如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量. (1)=　　　　　　；  (2)=　　　　　　；  (3)=　　　　　　.  答案　(1)　(3)0 解析　(1)因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB是其对角线，故. (2)因为方向相同， 长度为的长度的2倍， 故. (3)因为， 故=0. 三、向量加法的运算律 问题4　实数的加法运算满足结合律，即对任意a，b，c∈R，都有(a+b)+c=a+(b+c).那么向量的加法也满足结合律吗？如何检验？ 提示　满足.如图，检验如下： (a+b)+c=(； a+(b+c)=. 所以(a+b)+c=a+(b+c). 问题5　实数的加法运算满足交换律，即对任意a，b∈R，都有a+b=b+a，那么向量的加法也满足交换律吗？如何检验？ 提示　满足.如图，检验如下： a+b=； b+a=. 所以a+b=b+a. 知识梳理 交换律 a+b=b+a 结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 注意点： (1)当向量共线时，向量加法的交换律和结合律也成立. (2)多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行. 例3　化简： (1)； (2)； (3). 解　(1). (2) =(=0. (3) = = = ==0. 反思感悟　向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的. (2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序. 跟踪训练3　已知正方形ABCD的边长等于1，则||=　　　　.  答案　2 解析　|. 四、向量加法的实际应用 例4　河水自西向东流动的速度为10 km/h，小船在静水中的速度为10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，求小船的实际航行速度. 解　设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内任意一点O作 =a，=b，以OA，OB为邻边作矩形OACB，连接OC，如图， 则=a+b，并且即为小船的实际航行速度. ∴|==20(km/h)， ∵tan∠AOC=， ∴∠AOC=60°， ∴小船的实际航行速度为20 km/h，沿北偏东30°的方向航行. 反思感悟　应用向量解决实际问题的基本步骤 (1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题. (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题. (3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题. 跟踪训练4　如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW=150°，∠BCW=120°，求A和B处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计) 解　如图所示，设表示， 则. 由题意可得∠ECG=180°-150°=30°， ∠FCG=180°-120°=60°. ∴|(N)， |=5(N). ∴A处所受的力为5 N，B处所受的力为5 N. 1.知识清单： (1)向量加法的平行四边形法则. (2)向量加法的三角形法则. (3)向量加法的运算律. (4)向量加法的实际应用. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量移到共同起点. 1.化简等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　根据平面向量加法的运算律，得 =. 2.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　以OP，OQ为邻边作平行四边形OPFQ(图略)，则对角线OF对应的向量是即为所求的向量. 3.如图所示，在四边形ABCD中，，则四边形ABCD为(　　) A.矩形 B.正方形 C.平行四边形 D.菱形 答案　C 解析　∵， ∴.∴DC=AB且DC∥AB，∴四边形ABCD为平行四边形. 4.若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，则|a+b|=　　km；向量a+b的方向为　　　　.  答案　8　东北 解析　如图所示，作=a，=b， 则a+b=， 所以|a+b|=|=8(km). 因为∠AOB=45°，所以a+b的方向是东北. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共12分 1.化简的结果等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　根据向量的三角形法则，可得. 2.等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　.故选C. 3.若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a+b表示(　　) A.向东北方向航行2 km B.向北偏东30°方向航行2 km C.向北偏东60°方向航行2 km D.向东北方向航行(1+)km 答案　B 解析　如图，易知tan α=， 所以α=30°. 故a+b的方向是北偏东30°， |a+b|=2 km，故选B. 4.若在△ABC中，=a，=b，且|a|=|b|=1，|a+b|=，则△ABC的形状是(　　) A.正三角形 B.锐角三角形 C.斜三角形 D.等腰直角三角形 答案　D 解析　由于||=|a|=1，||=|b|=1， ||=|a+b|=， 所以△ABC为等腰直角三角形.故选D. 5.向量“a，b不共线”是“|a+b|<|a|+|b|”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　当向量“a，b不共线”时，由向量三角形的性质可得“|a+b|<|a|+|b|”成立，即充分性成立，当“a，b方向相反”时，满足“|a+b|<|a|+|b|”，但此时两个向量共线，即必要性不成立，故向量“a，b不共线”是“|a+b|<|a|+|b|”的充分不必要条件. 6.(多选)在▱ABCD中，设=a，=b，=c，=d，则下列等式中成立的是(　　) A.a+b=c B.a+d=b C.b+d=a D.|a+b|=|c| 答案　ABD 解析　由向量加法的平行四边形法则，知a+b=c成立，故|a+b|=|c|也成立；由向量加法的三角形法则，知a+d=b成立，b+d=a不成立. 7.(5分)如图，在正六边形ABCDEF中，=　　　　.  答案　 解析　. 8.(5分)在边长为1的等边三角形ABC中，||=　　　　.  答案　1　 解析　易知||=1， 以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC(图略)， 则||×sin 60° =2×1×. 9.(10分)如图所示，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列各式： (1)；(2分) (2)；(2分) (3)；(3分) (4).(3分) 解　(1). (2) =. (3) =. (4)=0. 10.(11分)在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向. 解　作出图形，如图所示. 设船行进的方向与岸成α角， 由图可知v水+v船=v实际， 结合已知条件，得四边形ABCD为平行四边形， 在Rt△ACD中， ||=|v水|=10(m/min)， ||=|v船|=20(m/min)， ∴cos α=， ∴α=60°，从而船行进的方向与水流方向成120°角. ∴船沿与水流方向成120°角的方向行进. 11.(多选)下列说法错误的有(　　) A.如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a+b的方向必与a或b的方向相同 B.若向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a+b的方向与向量a的方向相同 C.若=0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点 D.若a，b均为非零向量，则|a+b|=|a|+|b| 答案　ACD 解析　A错，若a+b=0，则a+b的方向是任意的； B正确，若a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同，若它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向仍与a的方向相同； C错，当A，B，C三点共线时，也满足=0； D错，|a+b|≤|a|+|b|. 12.(5分)已知|a|=3，|b|=5，则向量a+b模长的最大值是　　　　.  答案　8 解析　∵|a+b|≤|a|+|b|=3+5=8， ∴|a+b|的最大值为8. 13.(5分)已知||=　　　　.  答案　 解析　以为邻边作▱OACB(图略)， ∵||， ∴▱OACB为菱形， ∴||， ∵∠AOB=120°，∴△OAC为正三角形， ∴|. 14.(5分)已知点G是△ABC的重心，则=　　　　.  答案　0 解析　如图所示，连接AG并延长交BC于点E， 则点E为BC的中点，延长AE到点D，使GE=ED， 则=0， ∴=0. 15.(5分)若点P为△ABC的外心，且，则∠ACB=　　　　.  答案　120° 解析　由知四边形ACBP为平行四边形. 又因为点P为△ABC的外心， 所以PA=PB=PC，四边形ACBP为菱形， 所以PA=PC=AC， 所以∠ACP=60°， 易得∠ACB=120°. 16.(12分)如图，已知点D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，CA的中点，求证：=0. 证明　连接DE，EF，FD，如图， ∵D，E，F分别是△ABC三边的中点， ∴EF∥AD，DE∥AF， ∴四边形ADEF为平行四边形， 由向量加法的平行四边形法则， 得， ① 同理在平行四边形BEFD中， ， ② 在平行四边形CFDE中，， ③ 将①②③相加， 得)=0. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 <<< 2.1　向量的加法 1.理解向量加法的定义；熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会求两个向量的和及几个向量的和. 2.能准确理解、表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用向量加法的交换律和结合律进行向量运算. 学习目标 我们知道，实数可以进行运算，如1+2=3，2×3=6，正是有了运算，数字才有了无穷的威力，在运算中，我们还有加法交换律和结合律、乘法交换律和结合律，那么向量是否也能像数一样进行运算呢？它的运算规则又是怎样的呢？是不是也有相应的运算律？今天我们就从向量的加法开始，来研究向量的运算，探索其运算性质，体会向量运算的作用. 导 语 一、向量加法的平行四边形法则 二、向量加法的三角形法则 随堂演练 三、向量加法的运算律 四、向量加法的实际应用 内容索引 课时对点练 4 一 向量加法的平行四边形法则 两个向量相加就是两个向量的模相加吗？ 问题1 提示　不是，向量相加要考虑大小及方向，而模相加是数量的加法. 物体在天车的作用下，同时进行竖直向上方向的位移和水平向右方向的位移，实际位移的合成. 问题2 提示　如图所示. 1.向量加法的定义 求 的运算，称为向量的加法. 2.向量加法的平行四边形法则 已知两个不共线的向量a，b，如图，在平面内任取一点A，作有向线段=a，=b，以有向线段表示的向量即为向量a与b的和，记作a+b.这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的 法则. 两个向量和 平行四边形 知识梳理 (1)a，b，a+b同起点. (2)仅适用于不共线的两个向量求和. (3)对于零向量与任意向量a，规定a+0=0+a=a. 注 意 点 <<< 9 　　　如图所示，用向量加法的平行四边形法则作出a+b. 例 1 如图，在平面内任取一点O，作=a，=b， 再作平行于向量=b，连接BC，则 四边形OACB为平行四边形，=a+b. 10 (1)平移两个不共线的向量使之共起点. (2)以这两个已知向量为邻边作平行四边形. (3)平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和. 反 思 感 悟 应用平行四边形法则求向量和的基本步骤 11 　　　　　已知||=　　. 跟踪训练 1 以OA，OB为邻边作平行四边形OADB(图略)，由∠AOB=90°，| . 　3 12 二 向量加法的三角形法则 提示　如图所示. 则张先生的位移是=c. 假如家住石家庄的张先生准备去北京出差，他乘飞机先从石家庄到天津，再乘火车从天津到北京，则张先生的位移是多少？ 问题3 1.如图，作有向线段=a，以有向线段=b，连接A，C得到有向线段，也可以表示向量a与b的和.这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的 法则. 三角形 知识梳理 2.向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系   三角形法则 平行四边形法则 区别 (1)首尾相接； (2)适用于任何两个非零向量求和 (1)共起点； (2)仅适用于不共线的两个向量求和   三角形法则 平行四边形法则 推广 (1)若A1，A2，A3，…，An为平面n边形的顶点， 则； (2)若三角形ABC的边BC的中点为D，  则) 3.平面向量加法的三角形不等式 在||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|中，当且仅当a与b同向或反向时取等号. (1)首尾相接，再首尾连. (2)适用于所有向量求和. 注 意 点 <<< 19 　　　(1)如图①所示，求作向量a+b； 例 2 首先作向量=a，然后作向量=b， 则向量=a+b.如图③所示. 20 (2)如图②所示，求作向量a+b+c. 21 方法一　(三角形法则)如图④所示， 首先在平面内任取一点O，作向量=a， 再作向量=b， 则得向量=a+b， 然后作向量=c， 则向量=a+b+c. 22 方法二　(平行四边形法则)如图⑤所示， 首先在平面内任取一点O， 作向量=a，=b，=c， 以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD， 则=a+b. 再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE， 则=a+b+c. 23 反 思 感 悟 (1)平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合. (2)以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和. 应用三角形法则求向量和的基本步骤 　　　　　如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心， 化简下列向量. (1)=　　； 跟踪训练 2 因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB是其对角线，故. 25 (2)=　　； 因为方向相同， 长度为的长度的2倍， 故. 26 (3)=　　. 因为， 故=0. 0 27 三 向量加法的运算律 提示　满足.如图，检验如右： (a+b)+c=(； a+(b+c)=. 所以(a+b)+c=a+(b+c). 实数的加法运算满足结合律，即对任意a，b，c∈R，都有(a+b)+c=a+(b+c).那么向量的加法也满足结合律吗？如何检验？ 问题4 提示　满足.如图，检验如右： a+b=； b+a=. 所以a+b=b+a. 实数的加法运算满足交换律，即对任意a，b∈R，都有a+b=b+a，那么向量的加法也满足交换律吗？如何检验？ 问题5 交换律 a+b=_____ 结合律 (a+b)+c=________ b+a a+(b+c) 知识梳理 (1)当向量共线时，向量加法的交换律和结合律也成立. (2)多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行. 注 意 点 <<< 32 　　　化简： (1)； 例 3 . (2)； =(=0. 33 (3). = = = ==0. 34 反 思 感 悟 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的. (2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序. 向量加法运算律的意义和应用原则 　　　　　已知正方形ABCD的边长等于1，则||= 　 . 跟踪训练 3 　2 | . 36 四 向量加法的实际应用 　　　河水自西向东流动的速度为10 km/h，小船在静水中的速度为10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，求小船的实际航行速度. 例 4 38 设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内任意一点O作 =a，=b，以OA，OB为邻边作矩形OACB，连接OC，如图， 则=a+b，并且即为小船的实际航行速度. ∴|==20(km/h)， ∵tan∠AOC=， ∴∠AOC=60°， ∴小船的实际航行速度为20 km/h，沿北偏东30°的方向航行. 39 反 思 感 悟 (1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题. (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题. (3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题. 应用向量解决实际问题的基本步骤 　　　　　如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW=150°，∠BCW=120°，求A和B处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计) 跟踪训练 4 41 如图所示，设表示， 则. 由题意可得∠ECG=180°-150°=30°， ∠FCG=180°-120°=60°. ∴|(N)， |=5(N). ∴A处所受的力为5 N，B处所受的力为5 N. 42 1.知识清单： (1)向量加法的平行四边形法则. (2)向量加法的三角形法则. (3)向量加法的运算律. (4)向量加法的实际应用. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量移到共同起点. 课堂小结 43 随堂演练 五 1 2 3 4 1.化简等于 A. B. C. D. √ 根据平面向量加法的运算律，得 =. 2.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H， 则等于 A. B. C. D. 1 2 3 4 √ 以OP，OQ为邻边作平行四边形OPFQ(图略)，则对角线OF对应的向量是即为所求的向量. 3.如图所示，在四边形ABCD中，， 则四边形ABCD为 A.矩形 B.正方形 C.平行四边形 D.菱形 1 2 3 4 √ ∵， ∴.∴DC=AB且DC∥AB，∴四边形ABCD为平行四边形. 4.若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，则|a+b|=　　km；向量a+b的方向为　　. 1 2 3 4 8 东北 如图所示，作=a，=b， 则a+b=， 所以|a+b|=|=8(km). 因为∠AOB=45°，所以a+b的方向是东北. 课时对点练 六 答案 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B D A ABD 　 1　 题号 11 12 13 14　 　15 答案 ACD 8 　 0 120° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (1)++=+=. (2)++=(+)+ =+=. (3)++=++ =+=. (4)++=++=0. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 作出图形，如图所示. 设船行进的方向与岸成α角， 由图可知v水+v船=v实际， 结合已知条件，得四边形ABCD为平行四边形， 在Rt△ACD中， ||=||=|v水|=10(m/min)， ||=|v船|=20(m/min)， 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴cos α===， ∴α=60°，从而船行进的方向与水流方向成120°角. ∴船沿与水流方向成120°角的方向行进. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 连接DE，EF，FD，如图， ∵D，E，F分别是△ABC三边的中点， ∴EF∥AD，DE∥AF， ∴四边形ADEF为平行四边形， 由向量加法的平行四边形法则， 得+=， ① 同理在平行四边形BEFD中， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 +=， ② 在平行四边形CFDE中， +=， ③ 将①②③相加， 得++=+++++=(+)+(+)+(+ )=0. 1.化简的结果等于 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 答案 根据向量的三角形法则，可得. 2.等于 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ .故选C. 答案 3.若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a+b表示 A.向东北方向航行2 km B.向北偏东30°方向航行2 km C.向北偏东60°方向航行2 km D.向东北方向航行(1+)km √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 如图，易知tan α=， 所以α=30°. 故a+b的方向是北偏东30°， |a+b|=2 km，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若在△ABC中，=a，=b，且|a|=|b|=1，|a+b|=，则△ABC的形状是 A.正三角形 B.锐角三角形 C.斜三角形 D.等腰直角三角形 √ 答案 由于||=|a|=1，||=|b|=1， ||=|a+b|=， 所以△ABC为等腰直角三角形.故选D. 5.向量“a，b不共线”是“|a+b|<|a|+|b|”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当向量“a，b不共线”时，由向量三角形的性质可得“|a+b|<|a|+|b|”成立，即充分性成立，当“a，b方向相反”时，满足“|a+b|<|a|+|b|”，但此时两个向量共线，即必要性不成立，故向量“a，b不共线”是“|a+b|<|a|+|b|”的充分不必要条件. 答案 6.(多选)在▱ABCD中，设=a，=b，=c，=d，则下列等式中成立的是 A.a+b=c B.a+d=b C.b+d=a D.|a+b|=|c| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 √ 由向量加法的平行四边形法则，知a+b=c成立，故|a+b|=|c|也成立；由向量加法的三角形法则，知a+d=b成立，b+d=a不成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.如图，在正六边形ABCDEF中，=　　. . 答案 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.在边长为1的等边三角形ABC中，||=　　. 易知||=1， 以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC(图略)， 则||×sin 60° =2×1×. 答案 1 　 65 9.如图所示，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列各式： (1)； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 . 答案 (2)；   =. (3)； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16    =. 答案 (4).  =0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 作出图形，如图所示. 设船行进的方向与岸成α角， 由图可知v水+v船=v实际， 结合已知条件，得四边形ABCD为平行四边形， 在Rt△ACD中， ||=|v水|=10(m/min)， ||=|v船|=20(m/min)， ∴cos α=， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ∴α=60°，从而船行进的方向与水流方向成120°角. ∴船沿与水流方向成120°角的方向行进. 11.(多选)下列说法错误的有 A.如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a+b的方向必与a或b的 方向相同 B.若向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a+b的方向与向量a的方向相同 C.若=0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点 D.若a，b均为非零向量，则|a+b|=|a|+|b| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 答案 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A错，若a+b=0，则a+b的方向是任意的； B正确，若a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同，若它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向仍与a的方向相同； C错，当A，B，C三点共线时，也满足=0； D错，|a+b|≤|a|+|b|. 答案 12.已知|a|=3，|b|=5，则向量a+b模长的最大值是　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 8 ∵|a+b|≤|a|+|b|=3+5=8， ∴|a+b|的最大值为8. 13.已知||=　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 　 以为邻边作▱OACB(图略)， ∵||， ∴▱OACB为菱形， ∴||， ∵∠AOB=120°，∴△OAC为正三角形， ∴|. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知点G是△ABC的重心，则=　　. 答案 0 如图所示，连接AG并延长交BC于点E， 则点E为BC的中点，延长AE到点D，使GE=ED， 则=0， ∴=0. 15.若点P为△ABC的外心，且，则∠ACB=　　 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 答案 120° 由知四边形ACBP为平行四边形. 又因为点P为△ABC的外心， 所以PA=PB=PC，四边形ACBP为菱形， 所以PA=PC=AC， 所以∠ACP=60°， 易得∠ACB=120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图，已知点D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，CA的中点，求证：=0. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 连接DE，EF，FD，如图， ∵D，E，F分别是△ABC三边的中点， ∴EF∥AD，DE∥AF， ∴四边形ADEF为平行四边形， 由向量加法的平行四边形法则， 得， ① 同理在平行四边形BEFD中， ， ② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 在平行四边形CFDE中，，③ 将①②③相加， 得 )=0. 第一章 <<< $$