第一章 §8 三角函数的简单应用-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（北师大版2019）

第一章 <<< §8　三角函数的简单应用 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题. 2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 学习目标 温州市区著名景点——江心屿，江心屿上面有座寺庙——江心寺，在江心寺中题了一副非常知名的对联.上联是：云朝朝　朝朝朝　朝朝朝散；下联是：潮长长　长长长　长长长消.该对联巧妙地运用了叠字诗展现了瓯江潮水涨落的壮阔画面.如表是瓯江江心屿码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表： 导 语 时间 0 1 3 6 8 9 12 15 18 21 24 水深 6 6.25 7.5 5 2.84 2.5 5 7.5 5 2.5 5 仔细观察表格中的数据，你能从中得到一些什么信息？ 问题1 提示　水深随时间的变化呈周期变化. 时间 0 1 3 6 8 9 12 15 18 21 24 水深 6 6.25 7.5 5 2.84 2.5 5 7.5 5 2.5 5 以时间为横坐标，水深为纵坐标建立平面直角坐标系，将上面表格中的数据对应点描在直角坐标系中，你能得到什么结论？ 问题2 提示　若用平滑的曲线顺次连接各点，则大致呈正弦曲线. 时间 0 1 3 6 8 9 12 15 18 21 24 水深 6 6.25 7.5 5 2.84 2.5 5 7.5 5 2.5 5 1.利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤： 第一步：阅读理解，审清题意. 读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题. 第二步：收集、整理数据，建立数学模型. 根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化. 第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答. 第四步：将所得结论转译成实际问题的答案. 知识梳理 2.三角函数模型的建立程序 如图所示： 一、三角函数模型在生活中的应用 二、三角函数模型在物理中的应用 课时对点练 随堂演练 内容索引 8 一 三角函数模型在生活中的应用 　　　如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题： 例 1 10 (1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式； 由已知可设y=40.5-40cos ωt，t≥0， 由周期为12分钟可知=12， 即ω= 所以y=40.5-40t(t≥0). 11 (2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？ 设转第1圈时，第t0分钟时距离地面60.5米. 由60.5=40.5-40t0， 得 所以 解得t0=4或t0=8， 所以t=8(分钟)时，第2次距地面60.5米， 故第4次距离地面60.5米时，用了12+8=20(分钟). 12 解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行：(1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论；(2)建立三角函数模型，将实际问题数学化；(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解；(4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解；(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案. 反 思 感 悟 13 　　　　　如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在距离地面2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每300 s转一圈， 且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度 相同)时开始计时. (1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式； 跟踪训练 1 设在t s时，摩天轮上某人在高h m处. 这时此人所转过的角为 t+12(t≥0). 14 (2)在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m. 由10sin 则25≤t≤125. 故此人有100 s相对于地面的高度不小于17 m. 15 二 三角函数模型在物理中的应用 　　　一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是S= 6sin . (1)画出它的图象； 例 2 17 周期T==1(s). 列表： 描点画图. 2πt+ π 2π t 0 1 6sin 3 6 0 -6 0 3 18 (2)回答以下问题： ①小球开始摆动(即t=0)时，离开平衡位置的位移是多少？ 小球开始摆动(即t=0)时， 离开平衡位置的位移为3 cm. 19 ②小球摆动时，离开平衡位置的最大位移是多少？ 小球摆动时离开平衡位置的最大位移是6 cm. ③小球来回摆动一次需要多少时间？ 小球来回摆动一次需要1 s(即周期). 20 反 思 感 悟 此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径. 　　　　　已知电流I与时间t的关系为I=Asin(ωt+φ). (1)如图所示的是I=Asin(ωt+φ)在一个周期内的图象，根 据图中数据求I=Asin(ωt+φ)的解析式； 跟踪训练 2 22 由题图可知A=300， 设t1=- 则周期T=2(t2-t1)=2. ∴ω==150π. 又当t==0， 而|φ|<. 故所求的解析式为I=300sin . 23 依题意知，周期T≤(ω>0)， ∴ω≥300π>300×3.14=942，又ω∈N+， 故所求最小正整数ω=943. (2)如果t在任意一段的时间内，电流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ 24 1.知识清单： (1)三角函数模型在生活中的应用. (2)三角函数模型在物理中的应用. 2.方法归纳：数学建模、数形结合. 3.常见误区： (1)注意函数的定义域，尤其是实际意义. (2)注意作结论时应回到实际问题中. 课堂小结 25 随堂演练 三 1 2 3 4 1.电流I(A)随时间t(s)变化的关系式为I=2sin 100πt，t∈(0，+∞)，则电流I变化的周期是 A. B.100 C. D.50 √ T=. 2.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+b，据此函数可知，这段时间水深(单位： m)的最大值为 A.5 B.6 C.8 D.10 1 2 3 4 √ 由图象知ymin=2. 因为ymin=-3+b，所以-3+b=2， 解得b=5，所以这段时间水深的最大值是 ymax=3+b=3+5=8. 3.右图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(m)在某天0~24时的变化情况，则水面高 度h关于时间t的函数解析式为______________ 　　　　. 1 2 3 4 h=-6sin t，t∈ [0，24] 1 2 3 4 根据题图设h=Asin(ωt+φ)， 则A=6，T=. 点(6，0)为“五点(画图)法”中的第一点， ∴×6+φ=0，∴φ=-π， ∴h=6sint，t∈[0，24]. 4.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 y=a+A(x=1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的平均气 温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温为　　　℃. 1 2 3 4 由题意可知A==5，a==23， 从而y=5+23. 故10月份的平均气温为 y=5+23=20.5. 　20.5 课时对点练 四 答案 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A ABD C C C B 80 13 题号 11 12 13 14　 　15 答案 B A C ACD 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (1)因为函数为y=f(x) =Asin(ωx+φ)+b(A>0，ω>0，0<|φ|<π)， 由①，周期T==12，所以ω=； 由②，f最小，f最大， 且f-f=400， 故A=200； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 由③，f(x)在［2，8］上单调递增， 且f(2)=100， 所以f(8)=500， 所以 又f(2)最小，f(8)最大， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 所以 由于0<<π，所以φ=-， 所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f(x)=200sin +300(x∈N+，且1≤x≤12). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (2)由条件可知，200sin+300≥400， 化简得sin≥， 所以2kπ+≤x-≤2kπ+(k∈Z)， 解得12k+6≤x≤12k+10(k∈Z). 因为x∈N+，且1≤x≤12， 故x=6，7，8，9，10. 即只有6，7，8，9，10五个月份要准备400份以上的食物. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)当x=14时函数取最大值，此时最高温度为30 ℃， 当x=6时函数取最小值，此时最低温度为10 ℃， 所以最大温差为30 ℃-10 ℃=20 ℃. (2)令10sin+20=15，得sin=-， 而x∈［4，16］，所以x=. 令10sin+20=25，得sin=， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 而x∈［4，16］，所以x=. 当x∈时， x-∈， 所以函数y在上单调递增. 故该细菌能存活的最长时间为-=(小时). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)如图，过点B作BD垂直于地面于点D，过点O作OC⊥BD于点C， 由于∠BOA=θ， 则∠BOC=θ-， 根据三角函数的定义， 可得BC=OBsin∠BOC =4.8sin=-4.8cos θ， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 而CD=4.8+0.8=5.6， 于是h=f(θ)=CD+BC =5.6-4.8cos θ(0≤θ<2π). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (2)由(1)知h=f(θ)=5.6-4.8cos θ(0≤θ<2π)， 易得f=5.6-4.8cos=8， 即点M到地面的距离是8 m. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.如图所示的是一个单摆，以平衡位置OA为始边、OB为终边的角θ(-π <θ<π)与时间t(单位：s)满足函数解析式θ= 则当t=0时，角θ的大小及单摆的频率是 A. B. C.π D.2，π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 答案 当t=0时，θ= . 2.(多选)如图所示是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是 A.该质点的运动周期为0.8 s B.该质点的振幅为5 cm C.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大 D.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由题图可知=0.7-0.3=0.4，所以T=0.8；最小值为-5，所以振幅为5 cm；在0.1 s和0.5 s时，质点到达运动的端点，所以速度为0. 答案 √ √ 3.如图表示电流I与时间t的关系I=Asin(ωt+φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象，则该函数解析式可以是 A.I=300sin B.I=300sin C.I=300sin D.I=300sin √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A=300，T=2 ω==100π，I=300sin(100πt+φ). 代入点+φ=0， 取φ=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)=50+4sin (t≥0)，则下列时间段内人流量是增加的是 A.[0，5] B.[5，10] C.[10，15] D.[15，20] √ 答案 由2kπ-k∈Z，知函数F(t)的单调递增区间为[4kπ-π，4kπ+π]，k∈Z.当k=1时，t∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故选C. 5.某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同，当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移fp=其中v为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，φ为两束探测光线夹 角的一半.如图，若测速仪安装在距离高铁1 m处，发出的 激光波长为1 600 nm(1 nm=10-9 m)，测得某时刻频移为8.5 ×109(1/h)，则该时刻高铁的速度约等于 A.320 km/h B.330 km/h C.340 km/h D.350 km/h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 sin φ= 故8.5×109= 即8.5= 故v=÷1 000≈340(km/h). 答案 6.如图，摩天轮上一点P在t时刻距离地面的高度满足y=Asin(ωt+φ)+b，A>0，ω>0，φ∈[-π，π]，已知某摩天轮的半径为50米，点O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速运动，每10分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点，则y(米)关于t(分钟)的解析式为 A.y=60-50sin t(t>0) B.y=60-50t(t>0) C.y=60-50t(t>0) D.y=60-50sin t(t>0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为函数y=Asin(ωt+φ)+b的最大值为110， 最小值为10，因此有 解得A=50，b=60，而函数y=Asin(ωt+φ)+ b的周期为10， 即T=10，则ω=又当t=0时，ymin=10， 则sin φ=-1，而φ∈[-π，π]，解得φ=- 所以y=50sin t(t>0). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.设某人的血压满足函数式p(t)=115+25sin 160πt，其中p(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳的次数是　　. T==80(次/分). 答案 80 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0，ω>0)，则8时的温度大约为　　℃(精确到1 ℃，取≈1.414). 答案 13 53 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由图象可得b=20，A=10T=14-6=8， ∴T=16=+20. ∵最低点坐标为(6，10)， ∴10sin +20=10， 得sin =-1， 于是+2kπ(k∈Z)， ∴φ=+2kπ(k∈Z)， 答案 54 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 取φ= ∴y=10sin +20. 当x=8时，y=10sin ≈13. 答案 55 9.某景区客栈的工作人员为了控制经营成本，减少浪费，合理安排入住游客的用餐，他们通过统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律： ①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同； ②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人； ③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多. (1)若入住客栈的游客人数y与月份x之间的关系可用函数y=Asin(ωx+φ)+ b(A>0，ω>0，0<|φ|<π)近似描述，求该函数解析式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为函数为y=f(x)=Asin(ωx+φ)+b(A>0，ω>0，0<|φ|<π)， 由①，周期T==12， 所以ω=； 由②，f=400， 故A=200； 由③，f(x)在[2，8]上单调递增，且f(2)=100， 所以f(8)=500， 所以 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又f(2)最小，f(8)最大， 所以 由于0< 所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为 f(x)=200sin +300(x∈N+，且1≤x≤12). 答案 (2)请问哪几个月份要准备不少于400人的用餐？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由条件可知，200sin +300≥400， 化简得sin 所以2kπ+(k∈Z)， 解得12k+6≤x≤12k+10(k∈Z). 因为x∈N+，且1≤x≤12， 故x=6，7，8，9，10. 即只有6，7，8，9，10五个月份要准备400份以上的食物. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知某地一天从4~16时的温度变化曲线近似满足函数y=10sin+20，x∈[4，16]. (1)求该地这一段时间内的最大温差； 答案 当x=14时函数取最大值，此时最高温度为30 ℃， 当x=6时函数取最小值，此时最低温度为10 ℃， 所以最大温差为30 ℃-10 ℃=20 ℃. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令10sin+20=15， 得sin 而x∈[4，16]，所以x=. 令10sin+20=25， 得sin 而x∈[4，16]，所以x=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x∈ 所以函数y在上单调递增. 故该细菌能存活的最长时间为(小时). 答案 11.如图是一个半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间t(秒)满足关系式y=Asin(ωt+φ)+2，则 A.ω= B.A=3 C.ω= D.A=5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 答案 由题意知A=3，ω=. 12.设y=f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系： 经长期观察，函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asin(ωt+φ)的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据对应关系的函数是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1 A.y=12+3sin t，t∈[0，24] B.y=12+3sint∈[0，24] C.y=12+3sin t，t∈[0，24] D.y=12+3sint∈[0，24] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由图表可得函数y=k+Asin(ωt+φ)的最大值为15，最小值为9， 故k==3， 由于当函数取得最大值时，相邻的两个t值分别为t=3和t=15， 故函数的周期等于15-3=12= 解得ω= 故函数的解析式为y=12+3sin 由当t=0时，函数值等于12， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 可得12+3sin φ=12，∴sin φ=0， ∴φ=kπ，k∈Z，故可取φ=0， 故函数的解析式为y=12+3sin t，t∈[0，24]. 答案 13.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针位 置P(t，y).若初始位置为P0当秒针从P0(注：此时t=0)开始走时， 点P的纵坐标y与时间t的函数解析式为 A.y=sint∈[0，+∞) B.y=sint∈[0，+∞) C.y=sint∈[0，+∞) D.y=sint∈[0，+∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可得函数初相为排除B，D. 又T=60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T==60， 所以|ω|=.故选C. 答案 14.(多选)筒车亦称为“水转筒车”，是一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1 000多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心O距离水面BC的高度为1.5米，设筒车上的某个盛水筒P的初始位置为点D(水面与筒车右侧的交点)， 从此处开始计时，下列结论正确的是 A.t分钟时，以射线OA为始边，OP为终 边的角为 B.t分钟时，该盛水筒距水面的距离为米 C.1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面的距离相等 D.1个小时内有20分钟该盛水筒距水面的距离不小于3米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以O为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)， 设t分钟时，盛水筒与水面的距离为y米， 函数解析式为y=Asin(ωt+φ)+b，因为半径为3，所以A=3， O距水面的距离为1.5， 所以b=1.5，每6分钟转一圈， 所以T=6， 所以ω=+1.5， 当t=0时，y=0，所以3sin φ+1.5=0， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即sin φ=- 取φ=-+1.5， 所以t分钟时，以射线OA为始边，OP 为终边的角为 该盛水筒距水面的距离为米， 故A正确，B错误； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当t=1时，y=3sin+1.5=3； 当t=3时，y=3sin+1.5=3； 故C正确； 令y=3sin+1.5≥3， 即sin解得1≤t≤3， 即筒车旋转一周 ，有2分钟该盛水筒距水面距离不小于3米， 1个小时内有10个周期，所以有2×10=20(分钟)该盛水筒距水面的距离不小于3米，故D正确. 答案 15.国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin+60(美元)(A>0，ω>0)，现采集到下列信息：最高油价为80美元，当t=150(天)时 达到最低油价，则ω的最小值为　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 答案 　 因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin +60，最高油价为80美元， 所以A=20. 当t=150(天)时达到最低油价， 即sin=-1， 此时150ωπ+k∈Z， 因为ω>0，所以令k=1， 得150ωπ+. 故ω的最小值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图为一个观览车示意图，该观览车的巨轮的半径OB=4.8 m，巨轮上最低点A与地面之间的距离为0.8 m，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ(0≤θ<2π)角到OB，设点B与地面之间的距离为h. (1)求h=f(θ)的解析式； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，过点B作BD垂直于地面于点D，过点O作OC⊥BD于点C， 由于∠BOA=θ， 则∠BOC=θ- 根据三角函数的定义， 可得BC=OBsin∠BOC=4. 8sin=-4.8cos θ，而CD=4.8+0.8=5.6， 于是h=f(θ)=CD+BC=5.6-4.8cos θ(0≤θ<2π). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若当θ=时对应巨轮边沿上一点M，求点M到地面 的距离. 由(1)知h=f(θ)=5.6-4.8cos θ(0≤θ<2π)， 易得f=8， 即点M到地面的距离是8 m. 答案 第一章 <<< $$ [学习目标]　1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 导语 温州市区著名景点——江心屿，江心屿上面有座寺庙——江心寺，在江心寺中题了一副非常知名的对联.上联是：云朝朝　朝朝朝　朝朝朝散；下联是：潮长长　长长长　长长长消.该对联巧妙地运用了叠字诗展现了瓯江潮水涨落的壮阔画面.如表是瓯江江心屿码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表： 时间 0 1 3 6 8 9 12 15 18 21 24 水深 6 6.25 7.5 5 2.84 2.5 5 7.5 5 2.5 5 问题1　仔细观察表格中的数据，你能从中得到一些什么信息？ 提示　水深随时间的变化呈周期变化. 问题2　以时间为横坐标，水深为纵坐标建立平面直角坐标系，将上面表格中的数据对应点描在直角坐标系中，你能得到什么结论？ 提示　若用平滑的曲线顺次连接各点，则大致呈正弦曲线. 知识梳理 1.利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤： 第一步：阅读理解，审清题意. 读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题. 第二步：收集、整理数据，建立数学模型. 根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化. 第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答. 第四步：将所得结论转译成实际问题的答案. 2.三角函数模型的建立程序 如图所示： 一、三角函数模型在生活中的应用 例1　如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题： (1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式； (2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？ 解　(1)由已知可设y=40.5-40cos ωt，t≥0， 由周期为12分钟可知=12， 即ω= 所以y=40.5-40t(t≥0). (2)设转第1圈时，第t0分钟时距离地面60.5米. 由60.5=40.5-40t0， 得 所以 解得t0=4或t0=8， 所以t=8(分钟)时，第2次距地面60.5米， 故第4次距离地面60.5米时，用了12+8=20(分钟). 反思感悟　解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行：(1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论；(2)建立三角函数模型，将实际问题数学化；(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解；(4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解；(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案. 跟踪训练1　如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在距离地面2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每300 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时. (1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式； (2)在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m. 解　(1)设在t s时，摩天轮上某人在高h m处.这时此人所转过的角为 t+12(t≥0). (2)由10sin 则25≤t≤125. 故此人有100 s相对于地面的高度不小于17 m. 二、三角函数模型在物理中的应用 例2　一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是S=6sin . (1)画出它的图象； (2)回答以下问题： ①小球开始摆动(即t=0)时，离开平衡位置的位移是多少？ ②小球摆动时，离开平衡位置的最大位移是多少？ ③小球来回摆动一次需要多少时间？ 解　(1)周期T==1(s). 列表： 2πt+ π 2π t 0 1 6sin 3 6 0 -6 0 3 描点画图. (2)①小球开始摆动(即t=0)时， 离开平衡位置的位移为3 cm. ②小球摆动时离开平衡位置的最大位移是6 cm. ③小球来回摆动一次需要1 s(即周期). 反思感悟　此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径. 跟踪训练2　已知电流I与时间t的关系为I=Asin(ωt+φ). (1)如图所示的是I=Asin(ωt+φ)在一个周期内的图象，根据图中数据求I=Asin(ωt+φ)的解析式； (2)如果t在任意一段的时间内，电流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ 解　(1)由题图可知A=300， 设t1=- 则周期T=2(t2-t1)=2. ∴ω==150π. 又当t==0， 而|φ|<. 故所求的解析式为I=300sin . (2)依题意知，周期T≤(ω>0)， ∴ω≥300π>300×3.14=942，又ω∈N+， 故所求最小正整数ω=943. 1.知识清单： (1)三角函数模型在生活中的应用. (2)三角函数模型在物理中的应用. 2.方法归纳：数学建模、数形结合. 3.常见误区： (1)注意函数的定义域，尤其是实际意义. (2)注意作结论时应回到实际问题中. 1.电流I(A)随时间t(s)变化的关系式为I=2sin 100πt，t∈(0，+∞)，则电流I变化的周期是(　　) A. B.100 C. D.50 答案　C 解析　T=. 2.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+b，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　) A.5 B.6 C.8 D.10 答案　C 解析　由图象知ymin=2. 因为ymin=-3+b，所以-3+b=2， 解得b=5，所以这段时间水深的最大值是 ymax=3+b=3+5=8. 3.下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(m)在某天0~24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数解析式为　　　　　　　　　　.  答案　h=-6sin t，t∈[0，24] 解析　根据题图设h=Asin(ωt+φ)， 则A=6，T=. 点(6，0)为“五点(画图)法”中的第一点， ∴×6+φ=0，∴φ=-π， ∴h=6sint，t∈[0，24]. 4.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+A(x=1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温为　　　　℃.  答案　20.5 解析　由题意可知A==5， a==23， 从而y=5+23. 故10月份的平均气温为 y=5+23=20.5. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.如图所示的是一个单摆，以平衡位置OA为始边、OB为终边的角θ(-π<θ<π)与时间t(单位：s)满足函数解析式θ=则当t=0时，角θ的大小及单摆的频率是(　　) A. B. C.π D.2，π 答案　A 解析　当t=0时，θ=. 2.(多选)如图所示是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是(　　) A.该质点的运动周期为0.8 s B.该质点的振幅为5 cm C.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大 D.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零 答案　ABD 解析　由题图可知=0.7-0.3=0.4，所以T=0.8；最小值为-5，所以振幅为5 cm；在0.1 s和0.5 s时，质点到达运动的端点，所以速度为0. 3.如图表示电流I与时间t的关系I=Asin(ωt+φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象，则该函数解析式可以是(　　) A.I=300sin B.I=300sin C.I=300sin D.I=300sin 答案　C 解析　A=300，T=2 ω==100π，I=300sin(100πt+φ). 代入点+φ=0， 取φ=. 4.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)=50+4sin (t≥0)，则下列时间段内人流量是增加的是(　　) A.[0，5] B.[5，10] C.[10，15] D.[15，20] 答案　C 解析　由2kπ-k∈Z，知函数F(t)的单调递增区间为[4kπ-π，4kπ+π]，k∈Z.当k=1时，t∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故选C. 5.某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同，当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移fp=其中v为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，φ为两束探测光线夹角的一半.如图，若测速仪安装在距离高铁1 m处，发出的激光波长为1 600 nm(1 nm=10-9 m)，测得某时刻频移为8.5×109(1/h)，则该时刻高铁的速度约等于(　　) A.320 km/h B.330 km/h C.340 km/h D.350 km/h 答案　C 解析　sin φ= 故8.5×109= 即8.5= 故v=÷1 000≈340(km/h). 6.如图，摩天轮上一点P在t时刻距离地面的高度满足y=Asin(ωt+φ)+b，A>0，ω>0，φ∈[-π，π]，已知某摩天轮的半径为50米，点O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速运动，每10分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点，则y(米)关于t(分钟)的解析式为(　　) A.y=60-50sin t(t>0) B.y=60-50t(t>0) C.y=60-50t(t>0) D.y=60-50sin t(t>0) 答案　B 解析　因为函数y=Asin(ωt+φ)+b的最大值为110，最小值为10，因此有解得A=50，b=60，而函数y=Asin(ωt+φ)+b的周期为10， 即T=10，则ω=又当t=0时，ymin=10， 则sin φ=-1，而φ∈[-π，π]，解得φ=- 所以y=50sin t(t>0). 7.(5分)设某人的血压满足函数式p(t)=115+25sin 160πt，其中p(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳的次数是　　　　.  答案　80 解析　T==80(次/分). 8.(5分)如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0，ω>0)，则8时的温度大约为　　　　　℃(精确到1 ℃，取≈1.414).  答案　13 解析　由图象可得b=20，A=10T=14-6=8， ∴T=16=+20. ∵最低点坐标为(6，10)， ∴10sin +20=10， 得sin =-1， 于是+2kπ(k∈Z)， ∴φ=+2kπ(k∈Z)， 取φ= ∴y=10sin +20. 当x=8时，y=10sin ≈13. 9.(10分)某景区客栈的工作人员为了控制经营成本，减少浪费，合理安排入住游客的用餐，他们通过统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律： ①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同； ②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人； ③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多. (1)若入住客栈的游客人数y与月份x之间的关系可用函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0，ω>0，0<|φ|<π)近似描述，求该函数解析式；(5分) (2)请问哪几个月份要准备不少于400人的用餐？(5分) 解　(1)因为函数为y=f(x)=Asin(ωx+φ)+b(A>0，ω>0，0<|φ|<π)， 由①，周期T==12， 所以ω=； 由②，f=400， 故A=200； 由③，f(x)在[2，8]上单调递增，且f(2)=100， 所以f(8)=500， 所以 又f(2)最小，f(8)最大， 所以 由于0< 所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为 f(x)=200sin +300(x∈N+，且1≤x≤12). (2)由条件可知，200sin +300≥400， 化简得sin 所以2kπ+(k∈Z)， 解得12k+6≤x≤12k+10(k∈Z). 因为x∈N+，且1≤x≤12， 故x=6，7，8，9，10. 即只有6，7，8，9，10五个月份要准备400份以上的食物. 10.(11分)已知某地一天从4~16时的温度变化曲线近似满足函数y=10sin+20，x∈[4，16]. (1)求该地这一段时间内的最大温差；(4分) (2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？(7分) 解　(1)当x=14时函数取最大值，此时最高温度为30 ℃， 当x=6时函数取最小值，此时最低温度为10 ℃， 所以最大温差为30 ℃-10 ℃=20 ℃. (2)令10sin+20=15， 得sin 而x∈[4，16]，所以x=. 令10sin+20=25， 得sin 而x∈[4，16]，所以x=. 当x∈ 所以函数y在上单调递增. 故该细菌能存活的最长时间为(小时). 11.如图是一个半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间t(秒)满足关系式y=Asin(ωt+φ)+2，则(　　) A.ω= B.A=3 C.ω= D.A=5 答案　B 解析　由题意知A=3，ω=. 12.设y=f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系： t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1 经长期观察，函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asin(ωt+φ)的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据对应关系的函数是(　　) A.y=12+3sin t，t∈[0，24] B.y=12+3sint∈[0，24] C.y=12+3sin t，t∈[0，24] D.y=12+3sint∈[0，24] 答案　A 解析　由图表可得函数y=k+Asin(ωt+φ)的最大值为15，最小值为9， 故k==3， 由于当函数取得最大值时，相邻的两个t值分别为t=3和t=15， 故函数的周期等于15-3=12= 解得ω= 故函数的解析式为y=12+3sin 由当t=0时，函数值等于12， 可得12+3sin φ=12，∴sin φ=0， ∴φ=kπ，k∈Z，故可取φ=0， 故函数的解析式为y=12+3sin t，t∈[0，24]. 13.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针位置P(t，y).若初始位置为P0当秒针从P0(注：此时t=0)开始走时，点P的纵坐标y与时间t的函数解析式为(　　) A.y=sint∈[0，+∞) B.y=sint∈[0，+∞) C.y=sint∈[0，+∞) D.y=sint∈[0，+∞) 答案　C 解析　由题意可得函数初相为排除B，D. 又T=60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T==60， 所以|ω|=.故选C. 14.(多选)筒车亦称为“水转筒车”，是一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1 000多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心O距离水面BC的高度为1.5米，设筒车上的某个盛水筒P的初始位置为点D(水面与筒车右侧的交点)，从此处开始计时，下列结论正确的是(　　) A.t分钟时，以射线OA为始边，OP为终边的角为 B.t分钟时，该盛水筒距水面的距离为米 C.1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面的距离相等 D.1个小时内有20分钟该盛水筒距水面的距离不小于3米 答案　ACD 解析　以O为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)， 设t分钟时，盛水筒与水面的距离为y米， 函数解析式为y=Asin(ωt+φ)+b，因为半径为3，所以A=3， O距水面的距离为1.5， 所以b=1.5，每6分钟转一圈， 所以T=6， 所以ω=+1.5， 当t=0时，y=0，所以3sin φ+1.5=0， 即sin φ=- 取φ=-+1.5， 所以t分钟时，以射线OA为始边，OP为终边的角为 该盛水筒距水面的距离为米， 故A正确，B错误； 当t=1时，y=3sin+1.5=3； 当t=3时，y=3sin+1.5=3；故C正确； 令y=3sin+1.5≥3， 即sin解得1≤t≤3，即筒车旋转一周 ，有2分钟该盛水筒距水面距离不小于3米， 1个小时内有10个周期，所以有2×10=20(分钟)该盛水筒距水面的距离不小于3米，故D正确. 15.(5分)国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin+60(美元)(A>0，ω>0)，现采集到下列信息：最高油价为80美元，当t=150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为　　　　.  答案　 解析　因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin+60，最高油价为80美元， 所以A=20. 当t=150(天)时达到最低油价， 即sin=-1， 此时150ωπ+k∈Z， 因为ω>0，所以令k=1， 得150ωπ+. 故ω的最小值为. 16.(12分)如图为一个观览车示意图，该观览车的巨轮的半径OB=4.8 m，巨轮上最低点A与地面之间的距离为0.8 m，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ(0≤θ<2π)角到OB，设点B与地面之间的距离为h. (1)求h=f(θ)的解析式；(6分) (2)若当θ=时对应巨轮边沿上一点M，求点M到地面的距离.(6分) 解　(1)如图，过点B作BD垂直于地面于点D，过点O作OC⊥BD于点C， 由于∠BOA=θ， 则∠BOC=θ- 根据三角函数的定义， 可得BC=OBsin∠BOC=4.8sin=-4.8cos θ， 而CD=4.8+0.8=5.6， 于是h=f(θ)=CD+BC=5.6-4.8cos θ(0≤θ<2π). (2)由(1)知h=f(θ)=5.6-4.8cos θ(0≤θ<2π)， 易得f=8， 即点M到地面的距离是8 m. 学科网（北京）股份有限公司 $$