第一章 §7 正切函数-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（北师大版2019）

第一章 <<< §7　正切函数 1.理解任意角的正切函数的定义. 2.能画出y=tan x 3.内的单调性. 4.正切函数诱导公式的推导及应用. 学习目标 在初中阶段，我们就已经知道，在一个直角三角形中，我们将一个角的正弦、余弦和正切分别定义为对边与斜边的比、邻边与斜边的比和对边与邻边的比.在前面的课程中，我们又讨论了正弦和余弦问题，给出了正弦函数和余弦函数的定义，同时也对 正弦函数和余弦函数的诱导公式进行了深入探究，那 么正切函数是如何定义的呢？正切函数的诱导公式又 是什么样的呢？本节课就让我们一起来研究吧！ 导 语 一、正切函数的定义 二、正切函数的诱导公式 课时对点练 三、正切函数的图象与性质 随堂演练 内容索引 一 正切函数的定义 设角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么何时有意义？正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系？ 问题1 提示　当a≠0时α∈R，α≠+kπ(k∈Z). 根据函数的定义，比值__________________________. 知识梳理 特殊角的正切值： 注 意 点 <<< α 0 tan α 0 1 - -1 - 8 　　　(1)若角θ的终边经过点A则m=　　. 例 1 　- 由正切函数的定义得 解得m=-. 9 (2)若tan α=利用三角函数的定义，求sin α和cos α. 10 ∵tan α=>0，∴角α是第一或第三象限角. ①若角α是第一象限角，则由tan α=知，角α的终边上必有一点P(2，1)， ∴r=|OP|=. ∴sin α=. ②若角α是第三象限角，则由tan α=知，角α的终边上必有一点P(-2，-1)， ∴r=|OP|=. ∴sin α= cos α=. 11 (1)先求出角的正弦函数、余弦函数值，再利用正切函数的定义求解. (2)已知角终边上的一点M(a，b)(a≠0)，利用结论tan α=. 反 思 感 悟 求正切函数值的两种方法 12 　　　　　(1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合， 终边在直线y=2x上，则的值为 A. B. C.3 D.-3 跟踪训练 1 √ 在直线y=2x上任取一点P(a，2a)(a≠0)， 由题意，得tan θ=2， 所以. 13 (2)(多选)已知点P(m，-2m)(m≠0)是角α终边上一点，则 A.tan α=-2 B.cos α= C.sin αcos α<0 D.sin αcos α>0 √ √ 14 因为点P(m，-2m)(m≠0)是角α终边上一点， 所以|OP|=|m|. tan α=-=-2，故A正确； cos α= 当m<0时，cos α=-故B不正确； 又sin α=<0， 故C正确，D不正确. 15 二 正切函数的诱导公式 提示　tan(π+α)==tan α， tan. 根据正切函数定义，以及正弦函数、余弦函数相应的诱导公式， 当-+α的正切值有什么关系. 问题2 正切函数的诱导公式 角 正切 x+kπ(k∈Z) tan x -x -tan x π-x -tan x x+ - -x 知识梳理 (1)诱导公式的记忆方法：函数名不变，符号看象限(把x看作锐角时原函数值的符号)； (2)公式中的x≠kπ+(k∈Z)且在tan中x≠kπ(k∈Z). (3)正切函数值的符号 注 意 点 <<< 角所在象限 一 二 三 四 正切函数值符号 正 负 正 负 19 　　　求下列各式的值. (1)7cos 270°+3sin 270°+tan 765°； 例 2 原式=7cos(180°+90°)+3sin(180°+90°)+tan(2×360°+45°)=-7cos 90° -3sin 90°+tan 45°=0-3×1+1=-2. 20 (2). 原式==. 21 反 思 感 悟 (1)熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键. (2)无条件求值，又称给角求值，关键是利用诱导公式将任意的三角函数值转化为锐角的三角函数值. 　　　　　(1)已知tan(α-π)=等于 A. B. C. D. 跟踪训练 2 √ 由tan(α-π)= ∴tan. 23 (2)tan 的值为　　. 原式=tan =tan =0. 0 24 三 正切函数的图象与性质 提示　y=tan x是周期函数，且T=π，无最大、最小值.正切函数的图象在定义域上不是连续的. 学习了y=sin x，y=cos x的图象与性质后，明确了y=sin x，y=cos x的图象是“波浪”型，连续不断的，且都是周期函数，都有最大(小)值.类比y=sin x，y=cos x的图象与性质.y=tan x是周期函数吗？有最大(小)值吗？正切函数的图象是连续的吗？ 问题3 1.正切函数的图象称作正切曲线. 2.正切函数的性质 函数 y=tan x 图象   定义域 知识梳理 函数 y=tan x 值域 ___ 周期性 最小正周期是π 奇偶性 函数 对称中心 ________________ 单调性 在每一个区间k∈Z上单调递增 R 奇 k∈Z (1)图象在x轴上方的部分下凸；在x轴下方的部分上凸. (2)图象被相互平行的直线x=+kπ，k∈Z隔开，图象无限接近 这些直线，但永不相交. (3)正切函数不是轴对称图形，没有对称轴. 注 意 点 <<< 29 　　　(1)求函数y=tan的单调区间. 例 3 ∵y=tan x在(k∈Z)上是增函数， ∴-+kπ(k∈Z)， 即-(k∈Z). ∴函数y=tan(k∈Z)， 无单调递减区间. 30 tan 又y=tan x在上单调递增， 所以tan . (2)比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空)： ①tan； < 31 tan 因为0< 且y=tan x在上单调递增， 所以tan 即tan . ②tan.  < 32 反 思 感 悟 (1)运用正切函数的单调性比较大小的方法 ①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. ②运用单调性比较大小关系. (2)求函数y=tan(ωx+φ)的单调区间的方法 y=tan(ωx+φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx+φ看成一个整体， 解-+kπ，k∈Z即可.当ω<0时，先用诱导 公式把ω化为正值再求单调区间. 　　　　　求函数y=3tan的单调递减区间. 跟踪训练 3 y=3tan可化为y=-3tan 由kπ-k∈Z， 得2kπ-k∈Z， 故函数的单调递减区间为k∈Z. 34 　　　设函数f(x)=tan. (1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心； 例 4 35 由+kπ(k∈Z)， 得x≠+2kπ(k∈Z)， 所以f(x)的定义域是. 因为ω==2π. 由-+kπ(k∈Z)， 得-+2kπ(k∈Z). 36 所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)， 无单调递减区间. 由(k∈Z)，得x=kπ+(k∈Z)， 故函数f(x)的对称中心是(k∈Z). 37 (2)求不等式-1≤f(x)≤的解集. 由-1≤tan 得-+kπ(k∈Z)， 解得+2kπ(k∈Z). 所以不等式-1≤f(x)≤. 38 反 思 感 悟 (1)对称性：正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不 存在对称轴. (2)单调性：正切函数在每一个区间(k∈Z) 上都单调递增，但不能说其在定义域内单调递增. 解答正切函数图象与性质问题的注意点 　　　　　画出函数y=|tan x|的图象，并根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性. 跟踪训练 4 40 由y=|tan x|得 y= 其图象如图. 由图象可知，函数y=|tan x|的定义域为值域 为[0，+∞)，是偶函数. 函数y=|tan x|的周期T=π， 函数y=|tan x|的单调递增区间为k∈Z，单调递减区间为k∈Z. 41 1.知识清单： (1)正切函数的概念. (2)正切函数的诱导公式. (3)正切函数的图象与性质. 2.方法归纳：整体代换、换元法. 3.常见误区：最小正周期T= (k∈Z). 课堂小结 42 随堂演练 四 1 2 3 4 1.函数y=2tan的定义域为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 函数y=2tan 令2x++kπ，k∈Z， 解得x≠k∈Z， 所以函数的定义域为. 2.若角α的终边与单位圆的交点为P则tan(α+π)等于 A. B. C. D. 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 方法一　由题意得sin α=- 所以tan(α+π)=tan α=. 方法二　因为角α的终边与单位圆的交点为P 所以tan(α+π)=tan α=. 3.函数y=-2+tan的单调递增区间是 A.k∈Z B.k∈Z C.k∈Z D.k∈Z 1 2 3 4 √ 由-+kπ，k∈Z， 解得-+2kπ，k∈Z. 4.函数y=tan的值域为　　　　. 1 2 3 4 ∵x∈ ∴x- ∴tan)， ∴值域为(-1). (-1) 课时对点练 五 答案 对一对 题号 1 2 3 4 5 　6 答案 D B C B ACD D 题号 　7 　8 答案 　 (-∞，-1)∪(1，+∞) 题号 11 12 13 14 　15 答案 A B D ［-4，4］ 　D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (1)由题意得， tan α===-. (2)原式====. 又cos α=-， 故所求式子的值为-. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)因为f(x)=3tan =-3tan， 所以T===4π. 由kπ-<-<kπ+(k∈Z)， 得4kπ-<x<4kπ+(k∈Z). 因为y=3tan(k∈Z)上单调递增， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 所以f(x)=-3tan 在区间(k∈Z)上单调递减. 故原函数的最小正周期为4π， 单调递减区间为，k∈Z. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (2)f(π)=3tan=3tan=-3tan， f=3tan=3tan=-3tan， 因为0<<<， 且y=tan x 在上单调递增， 所以tan<tan， 所以f(π)>f. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)由题意可得f(x)的周期为 T=-==， 因为ω>0，所以ω=， 得f(x)=Atan， 它的图象过点， 所以Atan=0， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 即tan=0， 所以+φ=kπ，k∈Z， 所以φ=kπ-，k∈Z， 又|φ|<，所以φ=-， 所以f(x)=Atan， 又函数f(x)的图象过点(0，-3)， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 所以Atan=-3， 得A=3. 所以f(x)=3tan. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (2)因为3tan≥， 所以tan≥， 得kπ+≤x-<kπ+，k∈Z， 解得+≤x<+，k∈Z， 所以满足f(x)≥的x的取值范围是，k∈Z. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.函数y=tan的定义域是 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 答案 由x-k∈Z，得x≠kπ+k∈Z. 2.函数f(x)=sin xtan x A.是奇函数 B.是偶函数 C.是非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ f(x)的定义域为关于原点对称， 又f(-x)=sin(-x)·tan(-x)=sin x·tan x=f(x)， ∴f(x)为偶函数. 答案 3.函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y=1所得的线段长为则ω的值是 A.1 B.2 C.4 D.8 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可得f(x)的最小正周期为又∵ω>0，∴ω=4. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若f(α)=sin(π-α)tan的值为 A.- B. C. D. √ 答案 由题意可知f(α)=sin(π-α)·tan . 5.(多选)已知函数f(x)=tan则 A.f(x)的周期为 B.f(x)的定义域为 C.f  D.f(x)在上单调递增 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 函数f(x)=tan k∈Z，得x≠k∈Z，所以函数f(x)的定义域为故B错误； f  f 所以f 故C正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x∈ 所以f(x)在上单调递增，故D正确. 答案 6.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ) 等于 A. B.1 C. D.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由图可知. 又T=所以ω=2. 又f=0， 所以Atan=0. 因为A≠0，所以tan=0， 所以+φ=kπ，k∈Z， 则φ=kπ-k∈Z，由|φ|< 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以φ==1， 即Atan 所以f =3. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.函数y=的定义域为________________________________. 令1-tan x≥0， 即tan x≤1， 由正切函数的图象知-+kπ，k∈Z. 答案 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.函数y=的值域为　 　　　　　　. 当-<x<0时，-1<tan x<0， 所以<-1； 当0<x<时，0<tan x<1， 所以>1. 即当x∈时， 函数y=的值域是(-∞，-1)∪(1，+∞). 答案 (-∞，-1)∪(1，+∞) 71 9.已知角α的终边经过点P. (1)求tan α的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得，tan α=. 答案 (2)求的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原式==. 又cos α=- 故所求式子的值为-. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知函数f(x)=3tan. (1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为f(x)=3tan =-3tan 所以T==4π. 由kπ-(k∈Z)， 得4kπ-(k∈Z). 因为y=3tan(k∈Z)上单调递增， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以f(x)=-3tan 在区间(k∈Z)上单调递减. 故原函数的最小正周期为4π， 单调递减区间为k∈Z. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)试比较f(π)与f 的大小. 答案 f(π)=3tan f  因为0< 且y=tan x 在上单调递增， 所以tan . 11.已知函数y=tan(2x+φ)的图象过点则φ可以是 A.- B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为函数的图象过点 所以tan=0， 所以+φ=kπ，k∈Z，所以φ=kπ-k∈Z. 当k=0时，φ=-故A正确. 答案 12.已知函数y=tan ωx在区间上单调递减，则 A.0<ω≤1 B.-1≤ω<0 C.ω≥1 D.ω≤-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 ∵y=tan ωx在上单调递减， ∴ω<0且T=≥π， ∴-1≤ω<0. 13.下列图形分别是①y=|tan x|；②y= tan x；③y=tan(-x)；④y=tan|x|在x∈ 内的大致图象，那么由a 到d对应的函数关系式应是 A.①②③④ B.①③④② C.③②④① D.①②④③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 y=tan(-x)=-tan x在上单调递减，只有图象d符合，即d对应③，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.函数y=-tan2x+4tan x+1，x∈的值域为　　　　. ∵-∴-1≤tan x≤1. 令tan x=t，则t∈[-1，1]， ∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5. ∴当t=-1，即x=-时，ymin=-4， 当t=1，即x=时，ymax=4. 故所求函数的值域为[-4，4]. 答案 [-4，4] 15.函数y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在区间内的图象是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当 时，tan x>sin x，y=2sin x，且-2<y<0.所以只有D选 项中的图象符合. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ) 且过点(0，-3). (1)求f(x)的解析式； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可得f(x)的周期为 T= 因为ω>0，所以ω= 得f(x)=Atan 所以Atan=0， 即tan=0， 所以+φ=kπ，k∈Z， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以φ=kπ-k∈Z， 又|φ|< 所以f(x)=Atan 又函数f(x)的图象过点(0，-3)， 所以Atan=-3， 得A=3. 所以f(x)=3tan. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求满足f(x)≥的x的取值范围. 因为3tan 所以tan 得kπ+k∈Z， 解得k∈Z， 所以满足f(x)≥的x的取值范围是k∈Z. 答案 第一章 <<< $$ [学习目标]　1.理解任意角的正切函数的定义.2.能画出y=tan x内的单调性.4.正切函数诱导公式的推导及应用. 导语 在初中阶段，我们就已经知道，在一个直角三角形中，我们将一个角的正弦、余弦和正切分别定义为对边与斜边的比、邻边与斜边的比和对边与邻边的比.在前面的课程中，我们又讨论了正弦和余弦问题，给出了正弦函数和余弦函数的定义，同时也对正弦函数和余弦函数的诱导公式进行了深入探究，那么正切函数是如何定义的呢？正切函数的诱导公式又是什么样的呢？本节课就让我们一起来研究吧！ 一、正切函数的定义 问题1　设角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么何时有意义？正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系？ 提示　当a≠0时α∈R，α≠+kπ(k∈Z). 知识梳理 根据函数的定义，比值. 注意点： 特殊角的正切值： α 0 tan α 0 1 - -1 - 例1　(1)若角θ的终边经过点A则m=　　　　.  答案　- 解析　由正切函数的定义得 解得m=-. (2)若tan α=利用三角函数的定义，求sin α和cos α. 解　∵tan α=>0，∴角α是第一或第三象限角. ①若角α是第一象限角，则由tan α=知，角α的终边上必有一点P(2，1)， ∴r=|OP|=. ∴sin α=. ②若角α是第三象限角，则由tan α=知，角α的终边上必有一点P(-2，-1)， ∴r=|OP|=. ∴sin α= cos α=. 反思感悟　求正切函数值的两种方法 (1)先求出角的正弦函数、余弦函数值，再利用正切函数的定义求解. (2)已知角终边上的一点M(a，b)(a≠0)，利用结论tan α=. 跟踪训练1　(1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y=2x上，则的值为(　　) A. B. C.3 D.-3 答案　A 解析　在直线y=2x上任取一点P(a，2a)(a≠0)， 由题意，得tan θ=2， 所以. (2)(多选)已知点P(m，-2m)(m≠0)是角α终边上一点，则(　　) A.tan α=-2 B.cos α= C.sin αcos α<0 D.sin αcos α>0 答案　AC 解析　因为点P(m，-2m)(m≠0)是角α终边上一点， 所以|OP|=|m|. tan α=-=-2，故A正确； cos α= 当m<0时，cos α=-故B不正确； 又sin α=<0， 故C正确，D不正确. 二、正切函数的诱导公式 问题2　根据正切函数定义，以及正弦函数、余弦函数相应的诱导公式，当-+α的正切值有什么关系. 提示　tan(π+α)==tan α， tan. 知识梳理 正切函数的诱导公式 角 正切 x+kπ(k∈Z) tan x -x -tan x π-x -tan x x+ - -x 注意点： (1)诱导公式的记忆方法：函数名不变，符号看象限(把x看作锐角时原函数值的符号)； (2)公式中的x≠kπ+(k∈Z)且在tan中x≠kπ(k∈Z). (3)正切函数值的符号 角所在象限 一 二 三 四 正切函数值符号 正 负 正 负 例2　求下列各式的值. (1)7cos 270°+3sin 270°+tan 765°； (2). 解　(1)原式=7cos(180°+90°)+3sin(180°+90°)+tan(2×360°+45°)=-7cos 90°-3sin 90°+tan 45°=0-3×1+1=-2. (2)原式= =. 反思感悟　(1)熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键. (2)无条件求值，又称给角求值，关键是利用诱导公式将任意的三角函数值转化为锐角的三角函数值. 跟踪训练2　(1)已知tan(α-π)=等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由tan(α-π)= ∴tan. (2)tan 的值为　　　　.  答案　0 解析　原式=tan =tan =0. 三、正切函数的图象与性质 问题3　学习了y=sin x，y=cos x的图象与性质后，明确了y=sin x，y=cos x的图象是“波浪”型，连续不断的，且都是周期函数，都有最大(小)值.类比y=sin x，y=cos x的图象与性质.y=tan x是周期函数吗？有最大(小)值吗？正切函数的图象是连续的吗？ 提示　y=tan x是周期函数，且T=π，无最大、最小值.正切函数的图象在定义域上不是连续的. 知识梳理 1.正切函数的图象称作正切曲线. 2.正切函数的性质 函数 y=tan x 图象 定义域 值域 R 周期性 最小正周期是π 奇偶性 奇函数 对称中心 k∈Z 单调性 在每一个区间k∈Z上单调递增 注意点： (1)图象在x轴上方的部分下凸；在x轴下方的部分上凸. (2)图象被相互平行的直线x=+kπ，k∈Z隔开，图象无限接近这些直线，但永不相交. (3)正切函数不是轴对称图形，没有对称轴. 例3　(1)求函数y=tan的单调区间. 解　∵y=tan x在(k∈Z)上是增函数， ∴-+kπ(k∈Z)， 即-(k∈Z). ∴函数y=tan(k∈Z)，无单调递减区间. (2)比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空)： ①tan；  ②tan.  答案　①<　②< 解析　①tan 又y=tan x在上单调递增， 所以tan . ②tan 因为0< 且y=tan x在上单调递增， 所以tan 即tan . 反思感悟　(1)运用正切函数的单调性比较大小的方法 ①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. ②运用单调性比较大小关系. (2)求函数y=tan(ωx+φ)的单调区间的方法 y=tan(ωx+φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx+φ看成一个整体，解-+kπ，k∈Z即可.当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间. 跟踪训练3　求函数y=3tan的单调递减区间. 解　y=3tan可化为y=-3tan 由kπ-k∈Z， 得2kπ-k∈Z， 故函数的单调递减区间为k∈Z. 例4　设函数f(x)=tan. (1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心； (2)求不等式-1≤f(x)≤的解集. 解　(1)由+kπ(k∈Z)， 得x≠+2kπ(k∈Z)， 所以f(x)的定义域是. 因为ω==2π. 由-+kπ(k∈Z)， 得-+2kπ(k∈Z). 所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)，无单调递减区间. 由(k∈Z)，得x=kπ+(k∈Z)， 故函数f(x)的对称中心是(k∈Z). (2)由-1≤tan 得-+kπ(k∈Z)， 解得+2kπ(k∈Z). 所以不等式-1≤f(x)≤的解集是. 反思感悟　解答正切函数图象与性质问题的注意点 (1)对称性：正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴. (2)单调性：正切函数在每一个区间(k∈Z)上都单调递增，但不能说其在定义域内单调递增. 跟踪训练4　画出函数y=|tan x|的图象，并根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性. 解　由y=|tan x|得 y= 其图象如图. 由图象可知，函数y=|tan x|的定义域为值域为[0，+∞)，是偶函数. 函数y=|tan x|的周期T=π， 函数y=|tan x|的单调递增区间为k∈Z，单调递减区间为k∈Z. 1.知识清单： (1)正切函数的概念. (2)正切函数的诱导公式. (3)正切函数的图象与性质. 2.方法归纳：整体代换、换元法. 3.常见误区：最小正周期T=(k∈Z). 1.函数y=2tan的定义域为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　函数y=2tan 令2x++kπ，k∈Z， 解得x≠k∈Z， 所以函数的定义域为. 2.若角α的终边与单位圆的交点为P则tan(α+π)等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　方法一　由题意得sin α=- 所以tan(α+π)=tan α=. 方法二　因为角α的终边与单位圆的交点为P 所以tan(α+π)=tan α=. 3.函数y=-2+tan的单调递增区间是(　　) A.k∈Z B.k∈Z C.k∈Z D.k∈Z 答案　A 解析　由-+kπ，k∈Z， 解得-+2kπ，k∈Z. 4.函数y=tan的值域为　　　　.  答案　(-1) 解析　∵x∈ ∴x- ∴tan)， ∴值域为(-1). 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1.函数y=tan的定义域是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由x-k∈Z，得x≠kπ+k∈Z. 2.函数f(x)=sin xtan x(　　) A.是奇函数 B.是偶函数 C.是非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案　B 解析　f(x)的定义域为关于原点对称， 又f(-x)=sin(-x)·tan(-x)=sin x·tan x=f(x)， ∴f(x)为偶函数. 3.函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y=1所得的线段长为则ω的值是(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 答案　C 解析　由题意可得f(x)的最小正周期为又∵ω>0，∴ω=4. 4.若f(α)=sin(π-α)tan的值为(　　) A.- B. C. D. 答案　B 解析　由题意可知f(α)=sin(π-α)·tan. 5.(多选)已知函数f(x)=tan则(　　) A.f(x)的周期为 B.f(x)的定义域为 C.f  D.f(x)在上单调递增 答案　ACD 解析　函数f(x)=tank∈Z，得x≠k∈Z，所以函数f(x)的定义域为故B错误； f  f 所以f 故C正确； x∈ 所以f(x)在上单调递增，故D正确. 6.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)等于(　　) A. B.1 C. D.3 答案　D 解析　由图可知. 又T=所以ω=2. 又f=0， 所以Atan=0. 因为A≠0，所以tan=0， 所以+φ=kπ，k∈Z， 则φ=kπ-k∈Z，由|φ|< 所以φ==1， 即Atan 所以f =3. 7.(5分)函数y=的定义域为_________. 答案　 解析　令1-tan x≥0， 即tan x≤1， 由正切函数的图象知-+kπ，k∈Z. 8.(5分)函数y=的值域为　　　　　　　.  答案　(-∞，-1)∪(1，+∞) 解析　当-<x<0时，-1<tan x<0， 所以<-1； 当0<x<时，0<tan x<1， 所以>1. 即当x∈时， 函数y=的值域是(-∞，-1)∪(1，+∞). 9.(10分)已知角α的终边经过点P. (1)求tan α的值；(4分) (2)求的值.(6分) 解　(1)由题意得，tan α=. (2)原式= =. 又cos α=- 故所求式子的值为-. 10.(12分)已知函数f(x)=3tan. (1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；(6分) (2)试比较f(π)与f 的大小.(6分) 解　(1)因为f(x)=3tan =-3tan 所以T==4π. 由kπ-(k∈Z)， 得4kπ-(k∈Z). 因为y=3tan(k∈Z)上单调递增， 所以f(x)=-3tan 在区间(k∈Z)上单调递减. 故原函数的最小正周期为4π， 单调递减区间为k∈Z. (2)f(π)=3tan f  因为0< 且y=tan x 在上单调递增， 所以tan . 11.已知函数y=tan(2x+φ)的图象过点则φ可以是(　　) A.- B. C. D. 答案　A 解析　因为函数的图象过点 所以tan=0， 所以+φ=kπ，k∈Z，所以φ=kπ-k∈Z. 当k=0时，φ=-故A正确. 12.已知函数y=tan ωx在区间上单调递减，则(　　) A.0<ω≤1 B.-1≤ω<0 C.ω≥1 D.ω≤-1 答案　B 解析　∵y=tan ωx在上单调递减， ∴ω<0且T=≥π， ∴-1≤ω<0. 13.下列图形分别是①y=|tan x|；②y=tan x；③y=tan(-x)；④y=tan|x|在x∈内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是(　　) A.①②③④ B.①③④② C.③②④① D.①②④③ 答案　D 解析　y=tan(-x)=-tan x在上单调递减，只有图象d符合，即d对应③，故选D. 14.(5分)函数y=-tan2x+4tan x+1，x∈的值域为　　　　.  答案　[-4，4] 解析　∵-∴-1≤tan x≤1. 令tan x=t，则t∈[-1，1]， ∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5. ∴当t=-1，即x=-时，ymin=-4， 当t=1，即x=时，ymax=4. 故所求函数的值域为[-4，4]. 15.函数y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在区间内的图象是(　　) 答案　D 解析　当时，tan x>sin x，y=2sin x，且-2<y<0.所以只有D选项中的图象符合. 16.(12分)已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)且过点(0，-3). (1)求f(x)的解析式；(6分) (2)求满足f(x)≥的x的取值范围.(6分) 解　(1)由题意可得f(x)的周期为 T= 因为ω>0，所以ω= 得f(x)=Atan 所以Atan=0， 即tan=0， 所以+φ=kπ，k∈Z， 所以φ=kπ-k∈Z， 又|φ|< 所以f(x)=Atan 又函数f(x)的图象过点(0，-3)， 所以Atan=-3， 得A=3. 所以f(x)=3tan. (2)因为3tan 所以tan 得kπ+k∈Z， 解得k∈Z， 所以满足f(x)≥的x的取值范围是k∈Z. 学科网（北京）股份有限公司 $$