第一章 §6 函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象(二)-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（北师大版2019）

[学习目标]　1.会用“五点(画图)法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图象.2.能根据y=Asin(ωx+φ)的部分图象，确定其解析式.3.了解y=Asin(ωx+φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相. 导语 在物理和工程技术的许多问题中，经常会遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函数(其中A，ω，φ为常数)，例如，在简谐振动中位移与时间的函数关系就是形如y=Asin(ωx+φ)的函数，其中振子在一段时间内的图象如图所示. 你能根据图象，求出A，ω，φ吗？这节课我们继续学习函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象. 一、“五点(画图)法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象 问题　在前面我们根据“五点(画图)法”能作出函数y=sin x的图象，我们如何利用“五点(画图)法”作出函数y=Asin(ωx+φ)的图象？ 提示　整体代换思想，令ωx+φ分别为02π，解出x，从而确定五点的坐标. 知识梳理 用“五点(画图)法”作y=Asin(ωx+φ) 的图象的步骤 第一步：列表： ωx+φ 0 π 2π x - y 0 A 0 -A 0 第二步：在同一坐标系中描出各点. 第三步：用光滑曲线顺次连接这些点，形成图象. 例1　用“五点法”画函数y=2sin在一个周期内的简图. 解　令X=3x+则x=列表如下： X 0 π 2π x - y 0 2 0 -2 0 描点连线，画图如下. 延伸探究　本例中把“一个周期内”改为“”，又如何作图？ 解　因为x∈ 列表如下： 3x+ π 2π x 0 y 1 2 0 -2 0 1 描点连线，画图如下. 反思感悟　(1)用“五点(画图)法”作图时，五点的确定，应先令ωx+φ分别为02π，解出x，从而确定这五点. (2)作给定区间上y=Asin(ωx+φ)的图象时，若x∈[m，n]，则应先求出ωx+φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x，y的值，描点、连线并作出函数的图象. 二、函数y=Asin(ωx+φ)，A>0，ω>0的性质及应用 知识梳理 函数y=Asin(ωx+φ)，A>0，ω>0的性质 名称 性质 定义域 R 值域 [-A，A] 周期性 T= 对称中心 (k∈Z) 对称轴 x=(k∈Z) 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时是奇函数； 当φ=kπ+(k∈Z)时是偶函数 单调性 通过整体代换可求出其单调区间 注意点： 在求函数y=Asin(ωx+φ)的基本性质时，应注意将ωx+φ看作一个整体，即整体代换. 例2　函数f(x)=sin(ωx+φ). (1)求f(x)的解析式； (2)将y=f(x)的图象先向右平移 上的最大值和最小值. 解　(1)由条件 ∴=1， ∴+2kπ，k∈Z， ∴φ=2kπ-k∈Z， ∵|φ|< ∴φ=- ∴f(x)的解析式为f(x)=sin. (2)将y=f(x)的图象先向右平移个单位长度， 得y=sin 再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)， 得g(x)=sin 故函数g(x)在. 反思感悟　研究函数y=Asin(ωx+φ)的单调性、最值与值域、对称性等性质时，把ωx+φ看作一个整体，借助正弦函数y=sin x的性质，可得到函数y=Asin(ωx+φ)的有关性质，在其中研究该函数的单调性时，要关注ω的符号. 跟踪训练1　设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0)，函数y=f(x)的图象的一条对称轴是直线x=. (1)求φ的值； (2)求函数y=f(x)的单调区间及最值. 解　(1)由2x+φ=kπ+k∈Z， 得x=k∈Z， 令k∈Z， 得φ=kπ+k∈Z.∵-π<φ<0， ∴φ=-. (2)由(1)知，f(x)=sin. 由2kπ-k∈Z， 得kπ+k∈Z， 故函数的单调递增区间是k∈Z， 同理可得函数的单调递减区间是k∈Z. 当2x-k∈Z，即x=kπ+k∈Z时，函数取得最大值1； 当2x-k∈Z，即x=kπ+k∈Z时，函数取得最小值-1. 三、函数y=Asin(ωx+φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义 知识梳理 1.函数y=Asin(ωx+φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义 2.由图象求解析式y=Asin(ωx+φ)，A>0，ω>0的方法. (1)由函数图象上的最大值、最小值来确定A. (2)由函数图象与x轴的交点确定T，由T=确定ω. (3)确定函数y=Asin(ωx+φ)的初相φ的值的两种方法 ①代入法：把图象上的一个最高点或最低点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解.(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上) ②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口.“五点”的ωx+φ的值具体如下： “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0； “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx+φ=； “第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx+φ=π； “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx+φ=； “第五点”为ωx+φ=2π. 例3　如图是函数y=Asin(ωx+φ)的图象，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式. 解　方法一　(逐一定参法) 由图象知振幅A=3，又T==π， ∴ω=可知， -×2+φ=2kπ，k∈Z， 又|φ|<. 方法二　(图象变换法) 由T=π，点A=3可知， 图象是由y=3sin 2x向左平移. 反思感悟　已知图象求y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的方法 方法一：如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数表达式y=Asin(ωx+φ)中的参数A和ω，再选取“第一个零点”(即五点作图法中的第一个)的数据代入“ωx+φ=0”(要注意正确判断哪一个点是“第一零点”)求得φ. 方法二：通过若干特殊点代入函数解析式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式. 方法三：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y=Asin ωx，根据图象平移规律可以确定相关的参数. 跟踪训练2　(1)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0，-π<φ≤π)的图象如图所示，则φ=　　　　.  答案　 解析　由题意得 所以T=. 又由x=时，y=-1， 得-1=sin 又- 所以. (2)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)，ω>0，|φ|<=　　　　.  答案　- 解析　由题意知(T为f(x)的最小正周期)， 所以T=π=π，即ω=2. 又点在函数f(x)的图象上， 所以2=0， 所以2×+2kπ(k∈Z). 又|φ|< 所以f(x)=2 所以f. 1.知识清单： (1)“五点(画图)法”. (2)由图象求三角函数的解析式. (3)三角函数的性质的综合问题. 2.方法归纳：特殊点法、数形结合法、整体法. 3.常见误区：求φ值时注意递增区间上的零点和递减区间上的零点的区别. 1.函数y=sin的相位和初相分别是(　　) A.-2x+ B. C.2x+ D. 答案　C 解析　y=sin 故相位和初相分别为2x+. 2.如图为函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，-π<φ<0)的图象的一部分，则函数的解析式为　　　　.  答案　y= 解析　由图象，可得A= ∴ω=2. ∵函数图象过点=0， ∴+φ=kπ，k∈Z，∴φ=kπ-k∈Z， 又∵-π<φ<0，∴φ=- 故函数的解析式为y=. 3.函数y=-2sin+1的最大值为　　　　，取得最大值时x的取值集合为　　　　.  答案　3　 解析　ymax=-2×(-1)+1=3， 令2x-+2kπ，k∈Z， 解得x=-+kπ，k∈Z. 4.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0)图象的一条对称轴是直线x=则φ的值为　　　　　　.  答案　-π 解析　由题意知2×+kπ，k∈Z， 所以φ=+kπ，k∈Z， 又-π<φ<0， 所以φ=-π. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.函数y=sin上的简图是(　　) 答案　A 解析　当x=0时，y=sin=sin 0=0，排除C. 2.(多选)若函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意x有f等于(　　) A.-3 B.-1 C.0 D.3 答案　AD 解析　由于函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意x都有f=-3或3. 3.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图，则其解析式为(　　) A.f(x)=2sin B.f(x)=sin C.f(x)=2sin D.f(x)=2sin 答案　C 解析　由图象知，A=2，T==π， 所以ω=2，又函数图象过点 所以2sin =0， 所以-+φ=kπ，k∈Z， 所以φ=+kπ，k∈Z，φ可取 所以f(x)=2sin . 4.已知函数f(x)=要得到y=f(x)的图象，只需把y=cos ωx的图象(　　) A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 答案　A 解析　由已知得故ω=2. y=cos 2x的图象向右平移个单位长度可得 y=cos 2的图象. 5.(多选)函数f(x)=cos(2x+φ)个单位长度后得到的函数是奇函数，则关于函数f(x)的图象，下列说法不正确的是(　　) A.关于点对称 B.关于直线x=-对称 C.关于点对称 D.关于直线x=对称 答案　ABC 解析　将函数f(x)=cos(2x+φ)k∈Z，又|φ|<. 令x=-故A不正确； 令x=-=0，故B不正确； 令x=求得f(x)=cos 0=1，为函数的最大值，故C不正确，D正确. 6.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG是边长为2的等边三角形，则f(1)的值为(　　) A.- B. C. D. 答案　D 解析　由函数f(x)是奇函数，且0<φ<π，可得φ= 所以f(1)=. 7.(5分)已知函数y=2sin(ωx+φ)时有最小值-2，则ω=　　　　，φ=　　　　.  答案　2　 解析　由题意知，T=2×=π， 所以ω=时有最大值2， 所以2sin =2， 所以+2kπ，k∈Z，又|φ|≤ 所以φ=. 8.(5分)已知函数f(x)=-2上单调，则f(π)=　　　　　.  答案　 解析　函数f(x)=-2=0， 即k∈Z， 得到ω=k∈Z， 因为f(x)在区间上单调， 所以 所以 而ω>0，所以k=0，ω=. 则f(π)=. 9.(10分)已知函数f(x)=. (1)求f(x)的振幅、最小正周期及单调递增区间；(4分) (2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心；(3分) (3)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合.(3分) 解　(1)函数f(x)的振幅为 最小正周期T==π， 由2kπ-(k∈Z)， 得kπ-(k∈Z)， 所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z). (2)令2x+(k∈Z)， 则x=(k∈Z)， 所以对称轴方程为x=(k∈Z)； 令2x+=kπ(k∈Z)，则x=(k∈Z)， 所以对称中心为(k∈Z). (3)当sin =-1， 即2x++2kπ(k∈Z)， 即x=-+kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值为 此时x的取值集合是. 10.(10分)已知函数f(x)=2sin . (1)请用“五点(画图)法”画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图；(3分) (2)求函数f(x)的单调递增区间；(3分) (3)试问y=f(x)的图象是由y=sin x的图象经过怎样变换得到？(4分) 解　(1)列表如下： 2x- 0 π 2π x f(x) 0 2 0 -2 0 描点连线，图象如图所示. (2)令-+2kπ，k∈Z， 解得-+kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间是k∈Z. (3)先将y=sin x的图象向右平移个单位长度)，最后将所得函数图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，即可得到y=f(x)的图象. 11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b的部分图象如图所示，若A>0，ω>0，|φ|<则(　　) A.b=4 B.φ= C.ω=1 D.A=4 答案　B 解析　由函数图象可知f(x)min=0，f(x)max=4. 所以A==2. 由周期T=知ω=2. 由f+2=4， sin. 12.把函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度，得到一个最小正周期为2π的奇函数g(x)，则ω和φ的值分别为(　　) A.1 B.2 C. D. 答案　B 解析　依题意得f(x)第一次变换得到的函数解析式为m(x)=2 则函数g(x)=2. 因为函数g(x)的最小正周期为2π，所以ω=2， 则g(x)=2. 又因为函数g(x)为奇函数，0<φ<π， 所以φ+(k∈Z)，则φ=. 13.(多选)关于函数f(x)=4sin(x∈R)，下列命题中正确的是(　　) A.由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2是π的整数倍 B.y=f(x)的表达式可改写成y=4 C.y=f(x)的图象关于点对称 D.y=f(x)的图象关于直线x=-对称 答案　BC 解析　对于A，由f(x)=0，可得2x+=kπ(k∈Z)，∴x=(k∈Z)，∴x1-x2是的整数倍，∴A错； 对于B，f(x)=4sin 利用公式，得 f(x)=4 ∴B对； 对于C，f(x)=4sin=kπ，k∈Z，∴x=k∈Z. ∴是函数y=f(x)的一个对称中心， ∴C对； 对于D，函数y=f(x)的对称轴满足2x++kπ，k∈Z，∴x=k∈Z，∴D错. 14.(5分)已知函数f(x)=1+2sin上恒成立，则实数m的取值范围为　　　　　　.  答案　(1，+∞) 解析　∵x∈ ∴sin ∴f(x)∈[2，3]. ∵不等式f(x)-m<2在x∈上恒成立， 即不等式f(x)<m+2在x∈上恒成立， ∴f(x)max<m+2，∴3<m+2，∴m>1. 15.(5分)已知函数f(x)=sin 上有最小值，无最大值，则ω=　　　　.  答案　 解析　依题意知f(x)=sin上有最小值，无最大值， ∴f(x)的图象关于直线x=对称， 即关于直线x= ∴+2kπ，k∈Z，且0<ω<12， ∴ω=. 16.(12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图所示. (1)求函数f(x)的解析式；(4分) (2)求方程f(x)-lg x=0的解的个数.(8分) 解　(1)由题图，知A=2， 由函数图象过点(0，1)，得f(0)=1， 即sin φ=. 易知点是五点作图法中的第五点， 所以=2π，所以ω=2. 因此所求函数的解析式为f(x)=2sin. (2)在同一平面直角坐标系中作函数y=f(x)和函数y=lg x的图象如图所示. 因为f(x)的最大值为2， 令lg x=2，得x=100， 令+kπ<100(k∈Z)，得k≤30(k∈Z). 而<100， 所以在区间(0，100]内有31个形如 (k∈Z，0≤k≤30)的区间. 在每个区间上y=f(x)与y=lg x的图象都有两个交点，故这两个函数的图象在上有2×31=62(个)交点. 另外，两函数的图象在上还有一个交点， 所以方程f(x)-lg x=0共有63个实数解. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 <<< §6　函数y=Asin(ωx+φ)的 性质与图象(二) 1.会用“五点(画图)法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图象. 2.能根据y=Asin(ωx+φ)的部分图象，确定其解析式. 3.了解y=Asin(ωx+φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相. 学习目标 在物理和工程技术的许多问题中，经常会遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函数(其中A，ω，φ为常数)，例如，在简谐振动中位移与时间的函数关系就是形如y=Asin(ωx+φ)的函数，其中振子在一段时间内的图象如图所示. 你能根据图象，求出A，ω，φ吗？这节课我们 继续学习函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象. 导 语 一、“五点(画图)法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象 二、函数y=Asin(ωx+φ)，A>0，ω>0的性质及应用 课时对点练 三、函数y=Asin(ωx+φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义 随堂演练 内容索引 一 “五点(画图)法”作函数y= Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象 在前面我们根据“五点(画图)法”能作出函数y=sin x的图象，我们如何利用“五点(画图)法”作出函数y=Asin(ωx+φ)的图象？ 问题 提示　整体代换思想，令ωx+φ分别为02π，解出x，从而确定五点的坐标. 用“五点(画图)法”作y=Asin(ωx+φ) 的图象的步骤 第一步：列表： ωx+φ 0 π 2π x - y 0 A 0 -A 0 第二步：在同一坐标系中描出各点. 第三步：用光滑曲线顺次连接这些点，形成图象. 知识梳理 　　　用“五点法”画函数y=2sin在一个周期内的简图. 例 1 令X=3x+则x=列表如下： X 0 π 2π x - y 0 2 0 -2 0 描点连线，画图如右. 8 本例中把“一个周期内”改为“”，又如何作图？ 因为x∈ 列表如下： 描点连线，画图如右. 延伸探究 3x+ π 2π x 0 y 1 2 0 -2 0 1 9 (1)用“五点(画图)法”作图时，五点的确定，应先令ωx+φ分别为02π，解出x，从而确定这五点. (2)作给定区间上y=Asin(ωx+φ)的图象时，若x∈[m，n]，则应先求出ωx+φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x，y的值，描点、连线并作出函数的图象. 反 思 感 悟 10 二 函数y=Asin(ωx+φ)，A>0，ω>0的性质及应用 函数y=Asin(ωx+φ)，A>0，ω>0的性质 名称 性质 定义域 ___ 值域 ________ 周期性 T=___ 对称中心 (k∈Z) 对称轴 __________________ R [-A，A] x=(k∈Z) 知识梳理 名称 性质 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时是 函数；当φ=kπ+(k∈Z)时是 函数 单调性 通过整体代换可求出其单调区间 奇 偶 在求函数y=Asin(ωx+φ)的基本性质时，应注意将ωx+φ看作一个整体，即整体代换. 注 意 点 <<< 14 　　　函数f(x)=sin(ωx+φ) . (1)求f(x)的解析式； 例 2 15 由条件 ∴=1， ∴+2kπ，k∈Z， ∴φ=2kπ-k∈Z， ∵|φ|< ∴φ=- ∴f(x)的解析式为f(x)=sin. 16 (2)将y=f(x)的图象先向右平移 上的最大值和最小值. 将y=f(x)的图象先向右平移个单位长度， 得y=sin 再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)， 得g(x)=sin 故函数g(x)在. 17 反 思 感 悟 研究函数y=Asin(ωx+φ)的单调性、最值与值域、对称性等性质时，把ωx+φ看作一个整体，借助正弦函数y=sin x的性质，可得到函数y=Asin(ωx+φ)的有关性质，在其中研究该函数的单调性时，要关注ω的符号. 　　　　　设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0)，函数y=f(x)的图象的一条对称轴是直线x=. (1)求φ的值； 跟踪训练 1 由2x+φ=kπ+k∈Z， 得x=k∈Z， 令k∈Z， 得φ=kπ+k∈Z.∵-π<φ<0， ∴φ=-. 19 由(1)知，f(x)=sin. 由2kπ-k∈Z， 得kπ+k∈Z， 故函数的单调递增区间是k∈Z， 同理可得函数的单调递减区间是k∈Z. 当2x-k∈Z，即x=kπ+k∈Z时，函数取得最大值1； 当2x-k∈Z，即x=kπ+k∈Z时，函数取得最小值-1. (2)求函数y=f(x)的单调区间及最值. 20 三 函数y=Asin(ωx+φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义 1.函数y=Asin(ωx+φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义 A 　 　 ωx+φ φ 知识梳理 2.由图象求解析式y=Asin(ωx+φ)，A>0，ω>0的方法. (1)由函数图象上的最大值、最小值来确定A. (2)由函数图象与x轴的交点确定T，由T=确定ω. (3)确定函数y=Asin(ωx+φ)的初相φ的值的两种方法 ①代入法：把图象上的一个最高点或最低点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解.(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上) ②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点 作为突破口.“五点”的ωx+φ的值具体如下： “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0； “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx+φ=； “第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx+φ=π； “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx+φ=； “第五点”为ωx+φ=2π. 　　　如图是函数y=Asin(ωx+φ)的图象，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式. 例 3 25 方法一　(逐一定参法) 由图象知振幅A=3，又T==π， ∴ω=可知， -×2+φ=2kπ，k∈Z， 又|φ|<. 26 方法二　(图象变换法) 由T=π，点A=3可知， 图象是由y=3sin 2x向左平移 . 27 反 思 感 悟 方法一：如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数表达式y=Asin(ωx+φ)中的参数A和ω，再选取“第一个零点”(即五点作图法中的第一个)的数据代入“ωx+φ=0”(要注意正确判断哪一个点是“第一零点”)求得φ. 方法二：通过若干特殊点代入函数解析式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式. 方法三：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y=Asin ωx，根据图象平移规律可以确定相关的参数. 已知图象求y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的方法 　　　　　(1)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0，-π<φ≤π)的图象如图所示，则 φ=　　. 跟踪训练 2 　 由题意得 所以T=. 又由x=时，y=-1， 得-1=sin 又- 所以. 29 (2)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)，ω>0，|φ|< =　　　. 　- 30 由题意知(T为f(x)的最小正周期)， 所以T=π=π，即ω=2. 又点在函数f(x)的图象上， 所以2=0， 所以2×+2kπ(k∈Z). 又|φ|< 所以f(x)=2 所以f. 31 1.知识清单： (1)“五点(画图)法”. (2)由图象求三角函数的解析式. (3)三角函数的性质的综合问题. 2.方法归纳：特殊点法、数形结合法、整体法. 3.常见误区：求φ值时注意递增区间上的零点和递减区间上的零点的区别. 课堂小结 32 随堂演练 四 1 2 3 4 1.函数y=sin的相位和初相分别是 A.-2x+ B. C.2x+ D. √ y=sin 故相位和初相分别为2x+. 2.如图为函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，-π<φ<0)的图象的一部分，则函数的解析式为　　　 　. 1 2 3 4 y= 1 2 3 4 由图象，可得A= ∴ω=2. ∵函数图象过点=0， ∴+φ=kπ，k∈Z，∴φ=kπ-k∈Z， 又∵-π<φ<0，∴φ=- 故函数的解析式为y=. 3.函数y=-2sin+1的最大值为　 ，取得最大值时x的取值集合为 　　　 　. 1 2 3 4 ymax=-2×(-1)+1=3， 令2x-+2kπ，k∈Z， 解得x=-+kπ，k∈Z. 3 　 4.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0)图象的一条对称轴是直线x=则φ的值为　　　. 1 2 3 4 由题意知2×+kπ，k∈Z， 所以φ=+kπ，k∈Z， 又-π<φ<0， 所以φ=-π. -π 课时对点练 五 答案 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A AD C A ABC D 2　 　 题号 11 12 13 14　 　15 答案 B B BC (1，+∞) 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (1)函数f(x)的振幅为， 最小正周期T==π， 由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z)， 得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)， 所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (2)令2x+=kπ+(k∈Z)， 则x=+(k∈Z)， 所以对称轴方程为x=+(k∈Z)； 令2x+=kπ(k∈Z)，则x=-(k∈Z)， 所以对称中心为(k∈Z). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (3)当sin=-1， 即2x+=-+2kπ(k∈Z)， 即x=-+kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值为， 此时x的取值集合是. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)列表如右： 描点连线，图象如图所示. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2x- 0 π 2π x f(x) 0 2 0 -2 0 10. (2)令-+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z， 解得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间是 ，k∈Z. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (3)先将y=sin x的图象向右平移 倍(或先将y=sin x的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 个单位长度)，最后将所得函数图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，即可得到y=f(x)的图象. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)由题图，知A=2， 由函数图象过点(0，1)，得f(0)=1， 即sin φ=，又|φ|<，所以φ=. 易知点是五点作图法中的第五点， 所以ω+=2π，所以ω=2. 因此所求函数的解析式为f(x)=2sin. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (2)在同一平面直角坐标系中作函数y=f(x)和函数y=lg x的图象如图所示. 因为f(x)的最大值为2， 令lg x=2，得x=100， 令+kπ<100(k∈Z)， 得k≤30(k∈Z). 而+31π>100， 且+30π+<100， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 所以在区间(0，100］内有31个形如 (k∈Z，0≤k≤30)的区间. 在每个区间上y=f(x)与y=lg x的图象都有两个交点， 故这两个函数的图象在上有2×31=62(个)交点. 另外，两函数的图象在上还有一个交点， 所以方程f(x)-lg x=0共有63个实数解. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.函数y=sin上的简图是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 答案 √ 当x=0时，y=sin =sin 0=0，排除C. 2.(多选)若函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意x有f等于 A.-3 B.-1 C.0 D.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由于函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意x都有f =-3或3. 答案 √ 3.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图，则其解析式为 A.f(x)=2sin B.f(x)=sin C.f(x)=2sin D.f(x)=2sin √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由图象知，A=2，T==π， 所以ω=2，又函数图象过点 所以2sin =0， 所以-+φ=kπ，k∈Z， 所以φ=+kπ，k∈Z，φ可取 所以f(x)=2sin . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知函数f(x)=要得到y=f(x)的图象，只需把y=cos ωx的图象 A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得故ω=2. y=cos 2x的图象向右平移个单位长度可得 y=cos 2的图象. 答案 5.(多选)函数f(x)=cos(2x+φ)个单位长度后得到的函数是奇函数，则关于函数f(x)的图象，下列说法不正确的是 A.关于点对称 B.关于直线x=-对称 C.关于点对称 D.关于直线x=对称 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 将函数f(x)=cos(2x+φ) k∈Z，又|φ|< . 令x=-故A不正确； 令x=-=0，故B不正确； 令x=求得f(x)=cos 0=1，为函数的最大值，故C不正确，D正确. 答案 6.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG是边长为2的等边三角形， 则f(1)的值为 A.- B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 由函数f(x)是奇函数，且0<φ<π，可得φ= 所以f(1)=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知函数y=2sin(ωx+φ) 时有最小值-2，则ω=　　，φ=　　. 由题意知，T=2×=π， 所以ω=时有最大值2， 所以2sin =2， 所以+2kπ，k∈Z，又|φ|≤ 所以φ=. 答案 2 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知函数f(x)=-2上单调，则f(π)=　　. 答案 　 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 函数f(x)=-2 =0， 即k∈Z， 得到ω=k∈Z， 因为f(x)在区间上单调， 所以 答案 61 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以 而ω>0，所以k=0，ω=. 则f(π)=. 答案 62 9.已知函数f(x)=. (1)求f(x)的振幅、最小正周期及单调递增区间； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 函数f(x)的振幅为 最小正周期T==π， 由2kπ-(k∈Z)， 得kπ-(k∈Z)， 所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z). 答案 (2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令2x+(k∈Z)， 则x=(k∈Z)， 所以对称轴方程为x=(k∈Z)； 令2x+=kπ(k∈Z)，则x=(k∈Z)， 所以对称中心为(k∈Z). 答案 (3)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当sin =-1， 即2x++2kπ(k∈Z)， 即x=-+kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值为 此时x的取值集合是. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知函数f(x)=2sin . (1)请用“五点(画图)法”画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图； 答案 列表如右： 描点连线，图象如图所示. 2x- 0 π 2π x f(x) 0 2 0 -2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求函数f(x)的单调递增区间； 答案 令-+2kπ，k∈Z， 解得-+kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间是 k∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)试问y=f(x)的图象是由y=sin x的图象经过怎样变换得到？ 答案 先将y=sin x的图象向右平移 个单位长度)，最后将所得函数图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，即可得到y=f(x)的图象. 11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b的部分图象如图所示，若A>0，ω>0， |φ|<则 A.b=4 B.φ= C.ω=1 D.A=4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由函数图象可知f(x)min=0，f(x)max=4. 所以A==2. 由周期T=知ω=2. 由f+2=4， sin. 答案 12.把函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度，得到一个最小正周期为2π的奇函数g(x)，则ω和φ的值分别为 A.1 B.2 C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意得f(x)第一次变换得到的函数解析式为m(x)=2 则函数g(x)=2. 因为函数g(x)的最小正周期为2π，所以ω=2， 则g(x)=2. 又因为函数g(x)为奇函数，0<φ<π， 所以φ+(k∈Z)，则φ=. 答案 13.(多选)关于函数f(x)=4sin(x∈R)，下列命题中正确的是 A.由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2是π的整数倍 B.y=f(x)的表达式可改写成y=4 C.y=f(x)的图象关于点对称 D.y=f(x)的图象关于直线x=-对称 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，由f(x)=0，可得2x+=kπ(k∈Z)，∴x=(k∈Z)，∴x1-x2是的整数倍，∴A错； 对于B，f(x)=4sin 利用公式，得 f(x)=4 ∴B对； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于C，f(x)=4sin=kπ，k∈Z，∴x=k∈Z. ∴是函数y=f(x)的一个对称中心， ∴C对； 对于D，函数y=f(x)的对称轴满足2x++kπ，k∈Z，∴x=k∈Z，∴D错. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知函数f(x)=1+2sin 上恒成立，则实数m的取值范围为　　　　. 答案 (1，+∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵x∈ ∴sin ∴f(x)∈[2，3]. ∵不等式f(x)-m<2在x∈上恒成立， 即不等式f(x)<m+2在x∈上恒成立， ∴f(x)max<m+2，∴3<m+2，∴m>1. 答案 15.已知函数f(x)=sin 上有最小值，无最大值，则ω=　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 答案 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意知f(x)=sin 上有最小值，无最大值， ∴f(x)的图象关于直线x=对称， 即关于直线x= ∴+2kπ，k∈Z，且0<ω<12， ∴ω=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) 在一个周期内的图象如图所示. (1)求函数f(x)的解析式； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由题图，知A=2， 由函数图象过点(0，1)，得f(0)=1， 即sin φ=. 易知点是五点作图法中的第五点， 所以=2π，所以ω=2. 因此所求函数的解析式为f(x)=2sin. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求方程f(x)-lg x=0的解的个数. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在同一平面直角坐标系中作函数y=f(x)和函数y=lg x的图象如图所示. 因为f(x)的最大值为2， 令lg x=2，得x=100， 令+kπ<100(k∈Z)，得k≤30(k∈Z). 而<100， 所以在区间(0，100]内有31个形如 (k∈Z，0≤k≤30)的区间. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在每个区间上y=f(x)与y=lg x的图象都有两个交点，故这两个函数的 图象在上有2×31=62(个)交点. 另外，两函数的图象在上还有一个交点， 所以方程f(x)-lg x=0共有63个实数解. 答案 第一章 <<< $$