第一章 §5 5.2 余弦函数的图象与性质再认识-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（北师大版2019）

第一章 <<< 5.2　余弦函数的图象 与性质再认识 1.会用“五点(画图)法”“图象变换法”作余弦函数的图象. 2.理解余弦函数的性质，会求y=Acos x+B的单调区间及最值. 3.会利用余弦函数的单调性比较三角函数值的大小，能根据图象解简单的三角不等式. 学习目标 在上节课中，我们知道正弦函数y=sin x的图象是通过等分单位圆，平移正弦线而得到的.在精确度要求不高时，可以采用“五点法”画图，那么对于余弦函数y=cos x的图象，是不是也可以用同样的方法得到呢？有没有更好的方法呢？这节课我们来学习余弦函数的图象与性质. 导 语 一、余弦函数的图象 二、余弦函数的性质 课时对点练 三、余弦函数单调性的应用 随堂演练 内容索引 一 余弦函数的图象 类比正弦曲线的作法，作出余弦函数y=cos x的图象. 问题1 提示　在区间[0，2π]上取一系列的x值，例如0…，2π列表(如表). x 0 cos x 1 0 - - x π 2π cos x -1 - - 0 1 利用表中的数据，先在平面直角坐标系内描点，结 合对函数y=cos x性质的了解，用光滑曲线将它们顺 次连接起来，就可以得到区间[0，2π]上y=cos x的图 象(如图). 由周期性可知，函数y=cos x在区 间[2kπ，2(k+1)π]，k∈Z，k≠0上 与在区间[0，2π]上的函数图象形 状完全相同，只是位置不同，将函数y=cos x，x∈[0，2π]的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度)，就可以得到余弦函数y=cos x，x∈R的图象(如图). 类比正弦曲线的“五点(画图)法”，余弦函数y=cos x的图象有哪五个关键点？ 问题2 提示　(0，1)(2π，1). 1.余弦函数y=cos x，x∈R的图象称作余弦曲线. 2.要画出y=cos x，x∈[0，2π]的图象，可以通过描出__________________ ___________________________五个关键点，再用光滑曲线将它们顺次连 接起来，就可以得到余弦函数y=cos x，x∈[0，2π]的图象. (2π，1) (0，1) 知识梳理 3.根据诱导公式sin =cos x可知，只需把正弦函数y=sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度即可得到余弦函数的图象(如图). (1)y=cos x，x∈[0，2π]上的五点是指图象的最高点、最低点以及与x轴的交点. (2)y=cos x的图象可由y=sin x的图象向左平移个单位长度得到，图象仍然夹在y=±1之间. 注 意 点 <<< 12 　　　用“五点(画图)法”作函数y=1-cos x(0≤x≤2π)的简图. 例 1 列表： 描点并用光滑的曲线连接起来， 如图所示. x 0 π 2π cos x 1 0 -1 0 1 1-cos x 0 1 2 1 0 13 作形如y=acos x+b，x∈[0，2π]的图象时，可由“五点(画图)法”作出，其步骤：①列表，取x=02π；②描点；③用光滑曲线顺次连线成图. 反 思 感 悟 14 　　　　　用“五点(画图)法”作函数y=2cos x+1，x∈[0，2π]的简图. 跟踪训练 1 ∵x∈[0，2π]，∴令x=0 π2π，列表得： 描点，连线，如图所示. x 0 π 2π cos x 1 0 -1 0 1 2cos x+1 3 1 -1 1 3 15 二 余弦函数的性质 由cos(-x)=cos x，得余弦函数y=cos x是偶函数，所以余弦曲线关于y轴对称，即y轴是余弦曲线的对称轴.观察余弦曲线，探究下面的问题. 提示　y=cos x还有其他对称轴，对称轴表示为x=kπ(k∈Z). 除y轴外，余弦曲线还有其他对称轴吗？如果有，那么对称轴如何表示？ 问题3 提示　余弦函数是中心对称图形，对称中心的坐标为(k∈Z). 余弦函数是中心对称图形吗？如果是，对称中心的坐标是什么？ 问题4 函数 y=cos x 定义域 R 图象   最大(小)值和值域 当x=2kπ，k∈Z时，最大值为1； 当x=2kπ+π，k∈Z时，最小值为-1. 值域是[-1，1] 知识梳理 20 函数 y=cos x 周期性 是周期函数，2π为最小正周期 单调性 在区间[2kπ-π，2kπ](k∈Z)上单调递增； 在区间[2kπ，2kπ+π](k∈Z)上单调递减 奇偶性 偶函数 对称轴 x=kπ，k∈Z 对称中心 k∈Z 21 　　　(1)求f(x)=的定义域. 例 2 要使函数有意义，则2cos x-1≥0， ∴cos x≥ ∴-+2kπ，k∈Z， ∴函数f(x)的定义域为. 22 (2)求下列函数的值域. ①y=-cos 2x+cos x； y=-. ∵-1≤cos x≤1， ∴当cos x=； 当cos x=-1时，ymin=-2. ∴函数y=-cos 2x+cos x的值域是. 23 ②y=. y=-1. ∵-1≤cos x≤1，∴1≤2+cos x≤3， ∴≤1， ∴-1≤3， 即≤y≤3. ∴函数y=. 24 反 思 感 悟 (1)cos x的有界性. (2)cos x的单调性. (3)化为cos x=f(y)，利用|f(y)|≤1来确定. (4)通过换元转化为二次函数. 求值域或最大值、最小值问题的依据 　　　　　已知函数y=4cos x的定义域为值域为[a，b]，则b-a的值是 A.4 B.4-2 C.6 D.4+2 跟踪训练 2 √ 因为函数y=4cos x在区间 =2，即函数的最大值b=2，当x=π时，y=4cos π=-4， 即函数的最小值a=-4，则b-a=2-(-4)=6. 26 三 余弦函数单调性的应用 　　　(1)函数y=3-2cos x的单调递增区间为　　　　　　　　　. 例 3 [2kπ，π+2kπ](k∈Z) y=3-2cos x与y=cos x的单调性相反，由y=cos x的单调递减区间为[2kπ，π+2kπ](k∈Z)， 得y=3-2cos x的单调递增区间为[2kπ，π+2kπ](k∈Z). 28 (2)比较的大小. π， π， ∵π<π<2π， ∴. 29 本例(1)改为函数y=3-2cos(-x)，x∈[-4，4]的单调递增区间为　　　　　　　　. 延伸探究 [-4，-π]，[0，π] y=3-2cos(-x)=3-2cos x，y=3-2cos x与y=cos x的单调性相反， 由函数y=cos x的单调递减区间为[2kπ，2kπ+π](k∈Z)， 得y=3-2cos(-x)的单调递增区间为[2kπ，2kπ+π](k∈Z). 由[-4，4]∩[2kπ，2kπ+π](k∈Z)=[-4，-π]∪[0，π]， 得函数y=3-2cos(-x)，x∈[-4，4]的单调递增区间为[-4，-π]，[0，π]. 30 反 思 感 悟 单调性是对一个函数的某个区间而言的，不同函数，不在同一单调区间内时，应先用诱导公式进行适当转化，转化到同一单调区间内，再利用函数的单调性比较大小. 　　　　　cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是　　　　　　　　.(用“>”连接) 跟踪训练 3 cos 1>cos 2>cos 3 由于0<1<2<3<π，而y=cos x在[0，π]上单调递减，所以cos 1>cos 2> cos 3. 32 1.知识清单： (1)五点(画图)法. (2)余弦函数的性质. (3)余弦函数单调性的应用. 2.方法归纳：数形结合、换元法. 3.常见误区：单调区间漏写k∈Z，求值域时，忽视cos x本身具有的范围. 课堂小结 33 随堂演练 四 1 2 3 4 1.函数f(x)=x的最大值为 A. B.1 C. D. √ 2.函数y=-x，x∈[0，2π]的单调性是 A.在[0，π]上单调递增，在[π，2π]上单调递减 B.在上单调递减 C.在[π，2π]上单调递增，在[0，π]上单调递减 D.在上单调递减 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 函数y=-x的单调递减区间是[π+2kπ，2π+2kπ](k∈Z)，单调递增区间是[2kπ，π+2kπ](k∈Z). ∵x∈[0，2π]，∴y=-x在[0，π]上单调递增，在[π，2π]上单调递减. 3.比较大小： (1)cos 15°　　cos 35°； 1 2 3 4 ∵0°<15°<35°<90°， 且当0°≤x≤90°时，y=cos x单调递减， ∴cos 15°>cos 35°. > (2). 1 2 3 4 ∵-<0， 且y=cos x在上单调递增， ∴. < 4.函数y=的定义域为　　 　　　　　　　. 1 2 3 4 要使函数有意义，则-2cos x≥0， 即cos x≤ 余弦函数y=cos x的图象如图所示： ∴+2kπ，k∈Z， ∴函数的定义域是. 　 课时对点练 五 答案 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B A C ABC B B ∪ ∪ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 题号 8 11 12 13 　14 答案 2 B ACD A ∪∪ 题号 　15 答案 CD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. y=3cos2x-4cos x+1=3-. ∵x∈， ∴cos x∈. 从而当cos x=-，即x=时，ymax=； 当cos x=，即x=时，ymin=-. ∴函数的值域为. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)y=cos x+|cos x|= 函数图象如图所示. (2)由图象知这个函数是周期函数， 且最小正周期是2π. (3)由图象知函数的单调递增区间为 ，k∈Z. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. ①当0<A<时，cos A>0. 由f(cos A)≤0=f， f(x)在(0，+∞)上单调递增， 得0<cos A≤≤A<. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. ②当<A<π时，cos A<0. ∵f(x)为R上的奇函数，f(x)在(0，+∞)上单调递增， ∴f(x)在(-∞，0)上单调递增， f=-f=0， ∴由f(cos A)≤0=f，得cos A≤-， ∴≤A<π. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. ③当A=时，cos A=0， ∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)=0， ∴f(0)≤0成立. 综上所述，角A的取值范围是∪. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.已知x∈R，则“2cos x>”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 答案 因为2cos x>+2kπ，k∈Z， 所以“2cos x>”是“”的必要不充分条件. 2.函数y=-2cos x+3的值域为 A.[1，5] B.[-5，1] C.[-1，5] D.[-3，1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 3.在x∈(0，2π)上，满足cos x>sin x的x的取值范围是 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 作出y=sin x和y=cos x在上的函数图象， 如图所示， 根据函数图象可得满足cos x>sin x的x的取值范 围为. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选)在区间上，下列函数单调递减的是 A.y= B. C.y=-sin x D.y=-cos x √ 答案 √ √ 由正弦、余弦函数的单调性判断可知选ABC. 5.下列函数中，最小正周期为2π的是 A.y=|cos x| B.y=cos|x| C.y=|sin x| D.y=sin|x| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 由图象知y=|cos x|与y=|sin x|的最小正周期为π， y=sin |x|不是周期函数，y=cos|x|的最小正周期为2π. 6.三个数的大小关系为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为<π， 且余弦函数y=cos x在(0，π)上单调递减， 所以. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.函数f(x)=lg cos x+的定义域为___________________________　　　　　　　　　　 　　　　. 由题意，得x满足不等式组 即作出y=cos x的图象，如图所示. 由图可得-5≤x<-<x≤5. 所以定义域为. 答案 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.方程x2=cos x的实数解有　个. 作函数y=cos x与y=x2的图象，如图所示， 由图象，可知原方程有两个实数解. 答案 2 57 9.求函数y=3cos 2x-4cos x+1，x∈的值域. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y=3cos 2x-4cos x+1=3. ∵x∈. 从而当cos x=-； 当cos x=. ∴函数的值域为. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知函数y=|cos x|. (1)画出函数的图象； 答案 y=|cos x| = 函数图象如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期； 答案 由图象知这个函数是周期函数， 且最小正周期是2π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)求出这个函数的单调递增区间. 答案 由图象知函数的单调递增区间为 k∈Z. 11.已知函数y=sin x和y=cos x在区间I上都单调递减，那么区间I可以是 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A项，y=sin x在上单调递增； C项，y=cos x在上单调递增； D项，y=cos x，y=sin x在上单调递增，故选B. 答案 12.(多选)已知函数f(x)=2cos x+1，下列结论正确的为 A.函数f(x)的值域为[-1，3] B.函数y=f 为奇函数 C.函数的一条对称轴为x=π D.函数的一个对称中心为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，因为cos x∈[-1，1]，所以f(x)∈[-1，3]，故A正确； 对于B，设g(x)=f +1=-2sin x+1， 因为g+1=3， g 所以g(x)不是奇函数，即函数y=f 不是奇函数，故B不正确； 对于C，因为f(π)=2cos π+1=-1，所以函数的一条对称轴为x=π，故C正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于D，因为f  故D正确. 答案 13.已知函数f(x)=-cos2x+cos x+a+1，a∈R，若对区间上任意x，都有f(x)≤1成立，则实数a的最大值为 A.- B.0 C.2 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵f(x)≤1在上恒成立， ∴a≤cos2x-cos x=上恒成立. ∵x∈∴cos x∈[0，1]， ∴ 当且仅当cos x=即x= 则实数a的最大值为-. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.若函数f(x)=cos x，x∈[-2π，2π]，则不等式xf(x)>0的解集为 　　　　　 　　　　　　　. 当x>0时，由cos x>0，且x∈[-2π，2π]， 解得0<x<<x≤2π； 当x<0时，由cos x<0，且x∈[-2π，2π]， 解得- 故不等式xf(x)>0的解集为. 答案 　 15.(多选)对于函数f(x)=下列说法正确的是 A.该函数是以π为最小正周期的周期函数 B.当且仅当x=π+2kπ(k∈Z)时，该函数取得最小值-1 C.该函数的图象关于直线x=π+2kπ(k∈Z)对称 D.当且仅当2kπ<x<+2kπ(k∈Z)时，0<f(x)≤ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 画出f(x)在[0，2π]上的图象如图所示. 由图象知，函数f(x)的最小正周期为2π， 当x=π+2kπ(k∈Z)和x=π+2kπ(k∈Z)时， 该函数都取得最小值-1，故AB错误. 由图象知，函数图象关于直线x=π+2kπ(k∈Z)对称， 当2kπ<x<+2kπ(k∈Z)时，0<f(x)≤ 故CD正确. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知定义在R上的奇函数f(x)在区间(0，+∞)上单调递增，且f =0，△ABC的内角A满足f(cos A)≤0，求角A的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ①当0<A<时，cos A>0. 由f(cos A)≤0=ff(x)在(0，+∞)上单调递增， 得0<cos A≤. ②当<A<π时，cos A<0. ∵f(x)为R上的奇函数， f(x)在(0，+∞)上单调递增， ∴f(x)在(-∞，0)上单调递增， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f =0， ∴由f(cos A)≤0=f ∴≤A<π. ③当A=时，cos A=0， ∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)=0， ∴f(0)≤0成立. 综上所述，角A的取值范围是. 答案 第一章 <<< $$ 5.2　余弦函数的图象与性质再认识 [学习目标]　1.会用“五点(画图)法”“图象变换法”作余弦函数的图象.2.理解余弦函数的性质，会求y=Acos x +B的单调区间及最值.3.会利用余弦函数的单调性比较三角函数值的大小，能根据图象解简单的三角不等式. 导语 在上节课中，我们知道正弦函数y=sin x的图象是通过等分单位圆，平移正弦线而得到的.在精确度要求不高时，可以采用“五点法”画图，那么对于余弦函数y=cos x的图象，是不是也可以用同样的方法得到呢？有没有更好的方法呢？这节课我们来学习余弦函数的图象与性质. 一、余弦函数的图象 问题1　类比正弦曲线的作法，作出余弦函数y=cos x的图象. 提示　在区间[0，2π]上取一系列的x值，例如0…，2π列表(如表). x 0 cos x 1 0 - - x π 2π cos x -1 - - 0 1 利用表中的数据，先在平面直角坐标系内描点，结合对函数y=cos x性质的了解，用光滑曲线将它们顺次连接起来，就可以得到区间[0，2π]上y=cos x的图象(如图). 由周期性可知，函数y=cos x在区间[2kπ，2(k+1)π]，k∈Z，k≠0上与在区间[0，2π]上的函数图象形状完全相同，只是位置不同，将函数y=cos x，x∈[0，2π]的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度)，就可以得到余弦函数y=cos x，x∈R的图象(如图). 问题2　类比正弦曲线的“五点(画图)法”，余弦函数y=cos x的图象有哪五个关键点？ 提示　(0，1)(2π，1). 知识梳理 1.余弦函数y=cos x，x∈R的图象称作余弦曲线. 2.要画出y=cos x，x∈[0，2π]的图象，可以通过描出(0，1) (2π，1)五个关键点，再用光滑曲线将它们顺次连接起来，就可以得到余弦函数y=cos x，x∈[0，2π]的图象. 3.根据诱导公式sin =cos x可知，只需把正弦函数y=sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度即可得到余弦函数的图象(如图). 注意点： (1)y=cos x，x∈[0，2π]上的五点是指图象的最高点、最低点以及与x轴的交点. (2)y=cos x的图象可由y=sin x的图象向左平移个单位长度得到，图象仍然夹在y=±1之间. 例1　用“五点(画图)法”作函数y=1-cos x(0≤x≤2π)的简图. 解　列表： x 0 π 2π cos x 1 0 -1 0 1 1-cos x 0 1 2 1 0 描点并用光滑的曲线连接起来，如图所示. 反思感悟　作形如y=acos x+b，x∈[0，2π]的图象时，可由“五点(画图)法”作出，其步骤：①列表，取x=02π；②描点；③用光滑曲线顺次连线成图. 跟踪训练1　用“五点(画图)法”作函数y=2cos x+1，x∈[0，2π]的简图. 解　∵x∈[0，2π]，∴令x=0π2π，列表得： x 0 π 2π cos x 1 0 -1 0 1 2cos x+1 3 1 -1 1 3 描点，连线，如图所示. 二、余弦函数的性质 由cos(-x)=cos x，得余弦函数y=cos x是偶函数，所以余弦曲线关于y轴对称，即y轴是余弦曲线的对称轴.观察余弦曲线，探究下面的问题. 问题3　除y轴外，余弦曲线还有其他对称轴吗？如果有，那么对称轴如何表示？ 提示　y=cos x还有其他对称轴，对称轴表示为x=kπ(k∈Z). 问题4　余弦函数是中心对称图形吗？如果是，对称中心的坐标是什么？ 提示　余弦函数是中心对称图形，对称中心的坐标为(k∈Z). 知识梳理 函数 y=cos x 定义域 R 图象 最大(小)值和值域 当x=2kπ，k∈Z时，最大值为1； 当x=2kπ+π，k∈Z时，最小值为-1. 值域是[-1，1] 周期性 是周期函数，2π为最小正周期 单调性 在区间[2kπ-π，2kπ](k∈Z)上单调递增； 在区间[2kπ，2kπ+π](k∈Z)上单调递减 奇偶性 偶函数 对称轴 x=kπ，k∈Z 对称中心 k∈Z 例2　(1)求f(x)=的定义域. 解　要使函数有意义，则2cos x-1≥0， ∴cos x≥ ∴-+2kπ，k∈Z， ∴函数f(x)的定义域为. (2)求下列函数的值域. ①y=-cos 2x+cos x；②y=. 解　①y=-. ∵-1≤cos x≤1， ∴当cos x=； 当cos x=-1时，ymin=-2. ∴函数y=-cos 2x+cos x的值域是. ②y=-1. ∵-1≤cos x≤1，∴1≤2+cos x≤3， ∴≤1， ∴-1≤3， 即≤y≤3. ∴函数y=. 反思感悟　求值域或最大值、最小值问题的依据 (1)cos x的有界性. (2)cos x的单调性. (3)化为cos x=f(y)，利用|f(y)|≤1来确定. (4)通过换元转化为二次函数. 跟踪训练2　已知函数y=4cos x的定义域为值域为[a，b]，则b-a的值是(　　) A.4 B.4-2 C.6 D.4+2 答案　C 解析　因为函数y=4cos x在区间=2，即函数的最大值b=2，当x=π时，y=4cos π=-4，即函数的最小值a=-4，则b-a=2-(-4)=6. 三、余弦函数单调性的应用 例3　(1)函数y=3-2cos x的单调递增区间为　　　　　　　　　　.  答案　[2kπ，π+2kπ](k∈Z) 解析　y=3-2cos x与y=cos x的单调性相反，由y=cos x的单调递减区间为[2kπ，π+2kπ](k∈Z)， 得y=3-2cos x的单调递增区间为[2kπ，π+2kπ](k∈Z). (2)比较的大小. 解　π， π， ∵π<π<2π， ∴. 延伸探究　本例(1)改为函数y=3-2cos(-x)，x∈[-4，4]的单调递增区间为　　　　　　　　.  答案　[-4，-π]，[0，π] 解析　y=3-2cos(-x)=3-2cos x，y=3-2cos x与y=cos x的单调性相反， 由函数y=cos x的单调递减区间为[2kπ，2kπ+π](k∈Z)， 得y=3-2cos(-x)的单调递增区间为[2kπ，2kπ+π](k∈Z). 由[-4，4]∩[2kπ，2kπ+π](k∈Z)=[-4，-π]∪[0，π]， 得函数y=3-2cos(-x)，x∈[-4，4]的单调递增区间为[-4，-π]，[0，π]. 反思感悟　单调性是对一个函数的某个区间而言的，不同函数，不在同一单调区间内时，应先用诱导公式进行适当转化，转化到同一单调区间内，再利用函数的单调性比较大小. 跟踪训练3　cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是　　　　　　　　.(用“>”连接)  答案　cos 1>cos 2>cos 3 解析　由于0<1<2<3<π，而y=cos x在[0，π]上单调递减，所以cos 1>cos 2>cos 3. 1.知识清单： (1)五点(画图)法. (2)余弦函数的性质. (3)余弦函数单调性的应用. 2.方法归纳：数形结合、换元法. 3.常见误区：单调区间漏写k∈Z，求值域时，忽视cos x本身具有的范围. 1.函数f(x)=x的最大值为(　　) A. B.1 C. D. 答案　D 2.函数y=-x，x∈[0，2π]的单调性是(　　) A.在[0，π]上单调递增，在[π，2π]上单调递减 B.在上单调递减 C.在[π，2π]上单调递增，在[0，π]上单调递减 D.在上单调递减 答案　A 解析　函数y=-x的单调递减区间是[π+2kπ，2π+2kπ](k∈Z)，单调递增区间是[2kπ，π+2kπ](k∈Z). ∵x∈[0，2π]，∴y=-x在[0，π]上单调递增，在[π，2π]上单调递减. 3.比较大小： (1)cos 15°　　　　cos 35°；  (2).  答案　(1)>　(2)< 解析　(1)∵0°<15°<35°<90°， 且当0°≤x≤90°时，y=cos x单调递减， ∴cos 15°>cos 35°. (2)∵-<0， 且y=cos x在上单调递增， ∴. 4.函数y=的定义域为　　　　　　　　　.  答案　 解析　要使函数有意义，则-2cos x≥0， 即cos x≤ 余弦函数y=cos x的图象如图所示： ∴+2kπ，k∈Z，∴函数的定义域是. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.已知x∈R，则“2cos x>”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　因为2cos x>+2kπ，k∈Z， 所以“2cos x>”的必要不充分条件. 2.函数y=-2cos x+3的值域为(　　) A.[1，5] B.[-5，1] C.[-1，5] D.[-3，1] 答案　A 3.在x∈(0，2π)上，满足cos x>sin x的x的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　作出y=sin x和y=cos x在上的函数图象，如图所示， 根据函数图象可得满足cos x>sin x的x的取值范围为. 4.(多选)在区间上，下列函数单调递减的是(　　) A.y= B. C.y=-sin x D.y=-cos x 答案　ABC 解析　由正弦、余弦函数的单调性判断可知选ABC. 5.下列函数中，最小正周期为2π的是(　　) A.y=|cos x| B.y=cos|x| C.y=|sin x| D.y=sin|x| 答案　B 解析　由图象知y=|cos x|与y=|sin x|的最小正周期为π， y=sin |x|不是周期函数，y=cos|x|的最小正周期为2π. 6.三个数的大小关系为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因为<π， 且余弦函数y=cos x在(0，π)上单调递减， 所以. 7.(5分)函数f(x)=lg cos x+的定义域为　　　　　　　　　　　　　　.  答案　 解析　由题意，得x满足不等式组 即作出y=cos x的图象，如图所示. 由图可得-5≤x<-<x≤5. 所以定义域为. 8.(5分)方程x2=cos x的实数解有　　　　个.  答案　2 解析　作函数y=cos x与y=x2的图象，如图所示， 由图象，可知原方程有两个实数解. 9.(10分)求函数y=3cos 2x-4cos x+1，x∈的值域. 解　y=3cos 2x-4cos x+1=3. ∵x∈. 从而当cos x=-； 当cos x=. ∴函数的值域为. 10.(10分)已知函数y=|cos x|. (1)画出函数的图象；(4分) (2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期；(3分) (3)求出这个函数的单调递增区间.(3分) 解　(1)y=|cos x| = 函数图象如图所示. (2)由图象知这个函数是周期函数， 且最小正周期是2π. (3)由图象知函数的单调递增区间为k∈Z. 11.已知函数y=sin x和y=cos x在区间I上都单调递减，那么区间I可以是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　A项，y=sin x在上单调递增； C项，y=cos x在上单调递增； D项，y=cos x，y=sin x在上单调递增，故选B. 12.(多选)已知函数f(x)=2cos x+1，下列结论正确的为(　　) A.函数f(x)的值域为[-1，3] B.函数y=f 为奇函数 C.函数的一条对称轴为x=π D.函数的一个对称中心为 答案　ACD 解析　对于A，因为cos x∈[-1，1]，所以f(x)∈[-1，3]，故A正确； 对于B，设g(x)=f +1=-2sin x+1， 因为g+1=3， g 所以g(x)不是奇函数，即函数y=f 不是奇函数，故B不正确； 对于C，因为f(π)=2cos π+1=-1，所以函数的一条对称轴为x=π，故C正确； 对于D，因为f 故D正确. 13.已知函数f(x)=-cos2x+cos x+a+1，a∈R，若对区间上任意x，都有f(x)≤1成立，则实数a的最大值为(　　) A.- B.0 C.2 D. 答案　A 解析　∵f(x)≤1在上恒成立， ∴a≤cos2x-cos x=上恒成立. ∵x∈∴cos x∈[0，1]， ∴ 当且仅当cos x= 即x= 则实数a的最大值为-. 14.(5分)若函数f(x)=cos x，x∈[-2π，2π]，则不等式xf(x)>0的解集为　　　　　　　　　　　　.  答案　 解析　当x>0时，由cos x>0，且x∈[-2π，2π]， 解得0<x<<x≤2π； 当x<0时，由cos x<0，且x∈[-2π，2π]， 解得- 故不等式xf(x)>0的解集为. 15.(多选)对于函数f(x)=下列说法正确的是(　　) A.该函数是以π为最小正周期的周期函数 B.当且仅当x=π+2kπ(k∈Z)时，该函数取得最小值-1 C.该函数的图象关于直线x=π+2kπ(k∈Z)对称 D.当且仅当2kπ<x<+2kπ(k∈Z)时，0<f(x)≤ 答案　CD 解析　画出f(x)在[0，2π]上的图象如图所示. 由图象知，函数f(x)的最小正周期为2π， 当x=π+2kπ(k∈Z)和x=π+2kπ(k∈Z)时， 该函数都取得最小值-1，故AB错误. 由图象知，函数图象关于直线x=π+2kπ(k∈Z)对称， 当2kπ<x<+2kπ(k∈Z)时，0<f(x)≤ 故CD正确. 16.(12分)已知定义在R上的奇函数f(x)在区间(0，+∞)上单调递增，且f =0，△ABC的内角A满足f(cos A)≤0，求角A的取值范围. 解　①当0<A<时，cos A>0. 由f(cos A)≤0=ff(x)在(0，+∞)上单调递增， 得0<cos A≤. ②当<A<π时，cos A<0. ∵f(x)为R上的奇函数， f(x)在(0，+∞)上单调递增， ∴f(x)在(-∞，0)上单调递增， f =0， ∴由f(cos A)≤0=f ∴≤A<π. ③当A=时，cos A=0， ∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)=0， ∴f(0)≤0成立. 综上所述，角A的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$