第一章 §5 5.1 第2课时 正弦函数的性质-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（北师大版2019）

第2课时　正弦函数的性质 [学习目标]　1.理解、掌握正弦函数的性质.2.会求简单函数的值域.3.能利用单调性比较三角函数值的大小. 导语 当我们遇到一个新函数时，它总具有许多基本性质，要直观、全面地了解基本特性，自然是从它的图象入手，画出它的图象，观察图象的形状，看它的特殊点，并借助它的图象研究它的性质，如值域、单调性、奇偶性、最值等.今天我们就一起来学习正弦函数的性质吧. 一、正弦函数的性质 问题1　请大家认真观察正弦曲线，简单地说出正弦函数的定义域、值域、奇偶性. 提示　定义域：R；值域：[-1，1]；奇偶性：图象关于原点对称，为奇函数. 问题2　请大家认真观察正弦曲线，探索正弦函数图象的对称性，它有对称轴吗？有对称中心吗？ 提示　正弦函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形. 对称轴为x=+kπ，k∈Z；对称中心为(kπ，0)，k∈Z. 问题3　观察正弦曲线，正弦函数是不是单调函数？ 提示　正弦函数不是单调函数，但有多个单调区间. 知识梳理 函数 正弦函数y=sin x，x∈R 图象 定义域 R 最大(小)值和值域 当x=+2kπ，k∈Z时，ymax=1； 当x=+2kπ，k∈Z时，ymin=-1. 值域是[-1，1] 周期性 是周期函数，2π是它的最小正周期 单调性 在区间k∈Z上单调递增； 在区间k∈Z上单调递减 奇偶性 奇函数，图象关于原点对称 对称轴 x=+kπ，k∈Z 对称中心 (kπ，0)，k∈Z 注意点： (1)y=sin x的图象夹在y=±1之间. (2)正弦函数的对称中心是正弦曲线与x轴的交点，对称中心的横坐标即为函数的零点，对称轴方程为x=kπ+k∈Z. 二、与正弦函数有关的周期性与奇偶性 例1　判断下列函数的奇偶性，并求函数的最小正周期. (1)f(x)=7sin x； (2)f(x)=sin x(x∈R)； (3)f(x)=|sin x|. 解　(1)∵x∈R，∴函数定义域关于原点对称， ∵f(-x)=7·sin(-x)=-7sin x=-f(x)， ∴f(x)是奇函数，最小正周期为2π. (2)∵x∈R， ∵f(-x)=sin x=-f(x)， ∴f(x)=sin x是奇函数. ∵sin x， ∴f(x)=sin x的最小正周期是4π. (3)作出f(x)=|sin x|的图象，如图. 由图象易知f(x)=|sin x|是偶函数.最小正周期为π. 反思感悟　(1)求与正弦函数有关的周期的常用方法：①定义法；②公式法；③图象法. (2)函数y=sin x，x∈[a，b]为奇函数时其定义域必须关于原点对称，否则不具有奇偶性.如y=sin x，x∈[0，2π]是非奇非偶函数. 跟踪训练1　(1)f(x)=xsin x是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数，又是偶函数 答案　B 解析　∵x∈R，∴定义域关于原点对称， 又f(-x)=-xsin(-x)=xsin x=f(x)， ∴f(x)为偶函数. (2)判断等式sin 是函数y=sin x的周期？ 解　sin =sin 而sin 所以上述等式成立， 但不能说明是函数y=sin x的周期， 理由如下，若是函数y=sin x的周期， 则对任意的实数x，都有sin =sin x， 但当x=0时，sin ≠sin x， 所以不是函数y=sin x的周期. 三、正弦函数的单调区间 例2　(1)y=sin x+1的单调递减区间为　　　　　　　　.  答案　k∈Z 解析　y=sin x+1的单调递减区间为k∈Z. (2)求函数y=log3sin x的单调递减区间. 解　由sin x>0，得2kπ<x<2kπ+π(k∈Z). 令u=sin x，则y=log3u. 因为y=log3u在(0，+∞)上单调递增， 且u=sin x的单调递减区间为(k∈Z)， 所以函数y=log3sin x的单调递减区间为(k∈Z). 反思感悟　(1)结合y=sin x的图象，熟记正弦函数的单调递增区间和单调递减区间. (2)对形如y=asin x+b的形式的函数.当a>0时，其单调性与y=sin x的单调性相同；当a<0时，其单调性与y=sin x的单调性相反. 跟踪训练2　(1)y=-3sin x+1的单调递减区间为　　　　　　　　　　　；  (2)若x∈[0，π]，则y=-3sin x+1的单调递减区间为　　　.  答案　(1)(k∈Z) (2) 解析　(1)当-+2kπ，k∈Z时， y=-3sin x+1单调递减，∴y=-3sin x+1的单调递减区间为(k∈Z). (2)若x∈[0，π].∵(k∈Z)∩[0，π]=. 四、利用正弦函数单调性比较大小 例3　比较下列三角函数值的大小： (1)sin； (2)sin 196°与cos 156°. 解　(1)∵sin sin 由于 且y=sin x在上是单调递减的， ∴sin ∴-sin 即sin. (2)sin 196°=sin(180°+16°)=-sin 16°， cos 156°=cos(180°-24°)=-cos 24°=-sin 66°， ∵0°<16°<66°<90°，且y=sin x在0°≤x≤90°上是单调递增的， ∴sin 16°<sin 66°， ∴-sin 16°>-sin 66°， 即sin 196°>cos 156°. 反思感悟　(1)比较sin α与sin β的大小时，可利用诱导公式把sin α与sin β转化为同一单调区间上的正弦值，再借助于正弦函数的单调性来进行比较. (2)比较sin α与cos β的大小，常把cos β转化为sin后，再依据单调性来进行比较. (3)当不能将两角转化到同一单调区间上时，还可以借助于图象或值的符号来进行比较. 跟踪训练3　比较sin 1，sin 2，sin 3的大小. 解　因为1<<2<3<π，sin(π-2)=sin 2， sin(π-3)=sin 3， 又0<π-3<1<π-2<上单调递增，所以sin(π-3)<sin 1<sin(π-2)， 即sin 3<sin 1<sin 2. 五、利用正弦函数的有界性求函数的值域或最值 例4　(1)求使函数y=-2sin x+1取得最大值和最小值的自变量x的集合，并写出其值域； (2)求使函数y=-sin2x+取得最大值和最小值的自变量x的集合，并求出函数的最值； (3)求使函数y=取得最大值和最小值的自变量x的集合，并求出函数的最值. 解　(1)当x∈时， ymax=-2×(-1)+1=3， 当x∈时， ymin=-2×1+1=-1， ∴函数y=-2sin x+1的值域为[-1，3]. (2)令t=sin x，则-1≤t≤1， y=-t2++2. ∴当t= 即x∈. 当t=-1时，ymin= 此时sin x=-1，即x∈. (3)y=. ∵-1≤sin x≤1，∴1≤2-sin x≤3，∴≤y≤6， ∴当sin x=1，即x∈时，ymax=6； 当sin x=-1，即x∈. 反思感悟　求正弦函数的值域一般有以下两种方法 (1)将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域，例如转化为y=a(sin x+b)2+c型的值域问题. (2)利用sin x的有界性求值域，如y=asin x+b，-|a|+b≤y≤|a|+b. 跟踪训练4　已知函数f(x)=2asin x+b的定义域为函数的最大值为1，最小值为-5，求a和b的值. 解　∵-≤sin x≤1. 若a>0，则 解得 若a<0，则 当a=0时，不符合题意. 故a=12-6 b=19-12. 1.知识清单： (1)正弦函数的性质. (2)正弦函数的周期性与奇偶性. (3)正弦函数的单调区间. (4)比较三角函数值的大小. (5)正弦函数的最值(值域). 2.方法归纳：转化与化归、换元法. 3.常见误区：单调区间漏写k∈Z；求值域时忽视sin x本身具有的范围. 1.y=2sin x-3，x∈R的单调递减区间为(　　) A. B. C.k∈Z D.k∈Z 答案　D 2.(多选)正弦函数y=sin x，x∈R的图象的一条对称轴是(　　) A.y轴 B.直线x=- C.直线x= D.直线x=π 答案　BC 解析　当x=时，y取最大值， ∴直线x=是一条对称轴， 当x=-时y取最小值， ∴直线x=-是一条对称轴. 3.已知函数y=-3sin x+2，当x=　　　　　　时，y有最大值，最大值为　　　　.  答案　-+2kπ，k∈Z　5 解析　当x=-+2kπ，k∈Z时，(sin x)min=-1，此时ymax=5. 4.sin的大小关系为　　　　　　　　　　　　　.(用“>”连接)  答案　sin 解析　sin =sin sin 因为0<上单调递增， 所以sin . 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.函数y=sin(x+π)是(　　) A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数 C.周期为2π的奇函数 D.周期为2π的偶函数 答案　C 解析　令f(x)=y=sin(x+π)=-sin x，因为f(-x)=-sin(-x)=sin x=-f(x)，f(x+2π)=f(x)，所以该函数是周期为2π的奇函数. 2.当x∈[-π，π]时，函数y=3的单调递减区间为(　　) A.[-π，0] B.[0，π] C. D. 答案　C 解析　由题意可知y=3k∈Z，结合x∈[-π，π]，当k=0时，符合题意.则当x∈[-π，π]时，函数y=3. 3.函数y=2sin x+1的值域是(　　) A.[1+ B.3] C.[1-] D.[-1，3] 答案　B 解析　画出函数y=2sin x+1时，最大值为3. 故所求值域为[1+3]. 4.已知a∈R，函数f(x)=sin x-|a|(x∈R)为奇函数，则a等于(　　) A.0 B.1 C.-1 D.±1 答案　A 解析　因为f(x)为奇函数， 所以f(-x)=sin(-x)-|a|=-f(x)=-sin x+|a|，所以|a|=0，从而a=0. 5.下列关系式中正确的是(　　) A.sin 11°<cos 10°<sin 168° B.sin 168°<sin 11°<cos 10° C.sin 11°<sin 168°<cos 10° D.sin 168°<cos 10°<sin 11° 答案　C 解析　∵sin 168°=sin(180°-12°)=sin 12°， cos 10°=sin(90°-10°)=sin 80°. ∴由正弦函数的单调性， 得sin 11°<sin 12°<sin 80°， 即sin 11°<sin 168°<cos 10°. 6.若sin x=2m+3，且x∈则m的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为x∈ 因为sin x=2m+3，所以- 解得-. 7.(5分)函数y=的定义域是　　　　　　　　　　　　　　　，单调递减区间是　　　　　.  答案　[2kπ-π，2kπ]，k∈Z k∈Z 解析　∵-2sin x≥0，∴sin x≤0， ∴2kπ-π≤x≤2kπ，k∈Z， 即函数的定义域是[2kπ-π，2kπ]，k∈Z. ∵y=与y=sin x的单调性相反， ∴函数的单调递减区间为k∈Z. 8.(5分)若y=asin x+b的最大值为3，最小值为1，则ab=　　　.  答案　±2 解析　当a>0时 所以ab=2. 当a<0时 所以ab=-2，综上所述，ab=±2. 9.(10分)求函数f(x)=sin 2x-4sin x+5的值域. 解　设t=sin x，则-1≤t≤1， f(x)=g(t)=t2-4t+5(-1≤t≤1)， g(t)=t2-4t+5的对称轴为t=2. 因为g(t)的图象开口向上， 对称轴t=2在区间[-1，1]右侧. 所以g(t)在[-1，1]上是单调递减的， 所以g(t)max=g(-1)=(-1)2-4×(-1)+5=10， g(t)min=g(1)=12-4×1+5=2， 即g(t)∈[2，10]. 所以函数f(x)的值域为[2，10]. 10.(12分)函数y=asin x+1的最大值为1-a，最小值为-3. (1)求实数a的值；(3分) (2)求该函数的单调递增区间；(4分) (3)若x∈[-π，π]，求该函数的单调递增区间.(5分) 解　(1)∵ymax=1-a， ∴a<0， 故ymin=1+a=-3，∴a=-4. (2)由(1)知，y=-4sin x+1， 当+2kπ，k∈Z时， 函数y=-4sin x+1单调递增， ∴y=-4sin x+1的单调递增区间为k∈Z. (3)∵x∈[-π，π](k∈Z)∩[-π，π]=. ∴当x∈[-π，π]时，y=-4sin x+1的单调递增区间为. 11.设f(x)是定义域为R，最小正周期为的值等于(　　) A.1 B. C.0 D.- 答案　B 解析　f  =f . 12.(多选)设函数f(x)=sin |x|，则f(x)(　　) A.是偶函数 B.是周期为2π的周期函数 C.在区间上单调递减 D.在区间上单调递增 答案　AC 解析　 f(-x)=sin |-x|=sin |x|=f(x)，f(x)为偶函数；由图可知，f(x)在上单调递减，故A，C正确. 13.已知函数f(x)=sin x+则(　　) A.f(x)的最小值为2 B.f(x)的图象关于y轴对称 C.f(x)的图象关于直线x=π对称 D.f(x)的图象关于直线x=对称 答案　D 解析　∵当x∈时，sin x<0，f(x)<0， ∴f(x)min<0，A错误； ∵f(x)=sin x+的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称， 又f(-x)=sin(-x)+=-f(x)， ∴f(x)为奇函数，不是偶函数，f(x)的图象不关于y轴对称，B错误； ∵f(π-x)=sin x+ ∴f(π-x)≠f(π+x)，∴f(x)的图象不关于直线x=π对称，C错误； ∵f ∴f  ∴f(x)的图象关于直线x=对称，D正确. 14.(5分)函数y=3sin 2x-4sin x+1，x∈当x=　　　时，y取最小值，最小值为　　　.  答案　 解析　令t=sin x，x∈ y=3t2-4t+1=3. ∵y=3上单调递减， ∴当t=时， ymin=3×. 15.(5分)函数y=sin x的定义域为[a，b]，值域为则b-a的最大值与最小值之和为________. 答案　2π 解析　作出函数y=sin x的图象，如图所示. 由图可知，b-a的最大值为 b-a的最小值为. 所以最大值与最小值之和为=2π. 16.(12分)设sin x+sin y=求M=sin x+sin2y-1的最大值与最小值. 解　∵sin x+sin y= ∴sin x=-sin y. ∵-1≤sin x≤1， ∴ 解得-≤sin y≤1. 又∵M=sin2y-sin y- ∴当sin y=； 当sin y=-. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 <<< 第2课时 正弦函数的性质 1.理解、掌握正弦函数的性质. 2.会求简单函数的值域. 3.能利用单调性比较三角函数值的大小. 学习目标 当我们遇到一个新函数时，它总具有许多基本性质，要直观、全面地了解基本特性，自然是从它的图象入手，画出它的图象，观察图象的形状，看它的特殊点，并借助它的图象研究它的性质，如值域、单调性、奇偶性、最值等.今天我们就一起来学习正弦函数的性质吧. 导 语 一、正弦函数的性质 二、与正弦函数有关的周期性与奇偶性 随堂演练 三、正弦函数的单调区间 四、利用正弦函数单调性比较大小 内容索引 课时对点练 五、利用正弦函数的有界性求函数的值域或最值 4 一 正弦函数的性质 请大家认真观察正弦曲线，简单地说出正弦函数的定义域、值域、奇偶性. 问题1 提示　定义域：R；值域：[-1，1]；奇偶性：图象关于原点对称，为奇函数. 请大家认真观察正弦曲线，探索正弦函数图象的对称性，它有对称轴吗？有对称中心吗？ 问题2 提示　正弦函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形. 对称轴为x=+kπ，k∈Z；对称中心为(kπ，0)，k∈Z. 观察正弦曲线，正弦函数是不是单调函数？ 问题3 提示　正弦函数不是单调函数，但有多个单调区间. 函数 正弦函数y=sin x，x∈R 图象   定义域 R 最大(小)值和值域 当______________时，ymax=1；当______________时，ymin=-1. 值域是[-1，1] x=+2kπ，k∈Z x=+2kπ，k∈Z 知识梳理 函数 正弦函数y=sin x，x∈R 周期性 是周期函数，2π是它的最小正周期 单调性 在区间___________________________上单调递增； 在区间__________________________上单调递减 奇偶性 奇函数，图象关于 对称 对称轴 ______________ 对称中心 _____________ k∈Z k∈Z 原点 x=+kπ，k∈Z (kπ，0)，k∈Z (1)y=sin x的图象夹在y=±1之间. (2)正弦函数的对称中心是正弦曲线与x轴的交点，对称中心的横坐标即为函数的零点，对称轴方程为x=kπ+k∈Z. 注 意 点 <<< 11 二 与正弦函数有关的周期性与奇偶性 　　　判断下列函数的奇偶性，并求函数的最小正周期. (1)f(x)=7sin x； 例 1 ∵x∈R，∴函数定义域关于原点对称， ∵f(-x)=7·sin(-x)=-7sin x=-f(x)， ∴f(x)是奇函数，最小正周期为2π. 13 (2)f(x)=sin x(x∈R)； ∵x∈R， ∵f(-x)=sin x=-f(x)， ∴f(x)=sin x是奇函数. ∵sin x， ∴f(x)=sin x的最小正周期是4π. 14 (3)f(x)=|sin x|. 作出f(x)=|sin x|的图象，如图. 由图象易知f(x)=|sin x|是偶函数. 最小正周期为π. 15 反 思 感 悟 (1)求与正弦函数有关的周期的常用方法：①定义法；②公式法；③图象法. (2)函数y=sin x，x∈[a，b]为奇函数时其定义域必须关于原点对称，否则不具有奇偶性.如y=sin x，x∈[0，2π]是非奇非偶函数. 　　　　　(1)f(x)=xsin x是 A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数，又是偶函数 跟踪训练 1 √ ∵x∈R，∴定义域关于原点对称， 又f(-x)=-xsin(-x)=xsin x=f(x)， ∴f(x)为偶函数. 17 (2)判断等式sin 是函数y=sin x的周期？ 18 sin =sin 而sin 所以上述等式成立， 但不能说明是函数y=sin x的周期， 理由如下，若是函数y=sin x的周期， 则对任意的实数x，都有sin =sin x， 19 但当x=0时，sin ≠sin x， 所以不是函数y=sin x的周期. 20 三 正弦函数的单调区间 　　　(1)y=sin x+1的单调递减区间为　 　　　　　　　. 例 2 　k∈Z y=sin x+1的单调递减区间为k∈Z. 22 由sin x>0，得2kπ<x<2kπ+π(k∈Z). 令u=sin x，则y=log3u. 因为y=log3u在(0，+∞)上单调递增， 且u=sin x的单调递减区间为(k∈Z)， 所以函数y=log3sin x的单调递减区间为(k∈Z). (2)求函数y=log3sin x的单调递减区间. 23 反 思 感 悟 (1)结合y=sin x的图象，熟记正弦函数的单调递增区间和单调递减区间. (2)对形如y=asin x+b的形式的函数.当a>0时，其单调性与y=sin x的单调性相同；当a<0时，其单调性与y=sin x的单调性相反. 　　　　　(1)y=-3sin x+1的单调递减区间为　　 　　　　　　　　　； 跟踪训练 2 (k∈Z) 当-+2kπ，k∈Z时， y=-3sin x+1单调递减， ∴y=-3sin x+1的单调递减区间为(k∈Z). 25 (2)若x∈[0，π]，则y=-3sin x+1的单调递减区间为　　　. 若x∈[0，π].∵(k∈Z)∩[0，π]= . 26 四 利用正弦函数单调性比较大小 　　　比较下列三角函数值的大小： (1)sin； 例 3 28 ∵sin sin 由于 且y=sin x在上是单调递减的， ∴sin ∴-sin 即sin. 29 (2)sin 196°与cos 156°. sin 196°=sin(180°+16°)=-sin 16°， cos 156°=cos(180°-24°)=-cos 24°=-sin 66°， ∵0°<16°<66°<90°，且y=sin x在0°≤x≤90°上是单调递增的， ∴sin 16°<sin 66°， ∴-sin 16°>-sin 66°， 即sin 196°>cos 156°. 30 反 思 感 悟 (1)比较sin α与sin β的大小时，可利用诱导公式把sin α与sin β转化为同一单调区间上的正弦值，再借助于正弦函数的单调性来进行比较. (2)比较sin α与cos β的大小，常把cos β转化为sin后， 再依据单调性来进行比较. (3)当不能将两角转化到同一单调区间上时，还可以借助于图象或值的符号来进行比较. 　　　　　比较sin 1，sin 2，sin 3的大小. 跟踪训练 3 因为1<<2<3<π，sin(π-2)=sin 2， sin(π-3)=sin 3， 又0<π-3<1<π-2<上单调递增，所以sin(π-3) <sin 1<sin(π-2)， 即sin 3<sin 1<sin 2. 32 五 利用正弦函数的有界性求函数的值域或最值 　　　(1)求使函数y=-2sin x+1取得最大值和最小值的自变量x的集合，并写出其值域； 例 4 当x∈时， ymax=-2×(-1)+1=3， 当x∈时， ymin=-2×1+1=-1， ∴函数y=-2sin x+1的值域为[-1，3]. 34 (2)求使函数y=-sin2x+取得最大值和最小值的自变量x的集合，并求出函数的最值； 令t=sin x，则-1≤t≤1， y=-t2++2. ∴当t= 即x∈. 当t=-1时，ymin= 此时sin x=-1，即x∈. 35 (3)求使函数y=取得最大值和最小值的自变量x的集合，并求出函数的最值. y=. ∵-1≤sin x≤1，∴1≤2-sin x≤3，∴≤y≤6， ∴当sin x=1，即x∈时，ymax=6； 当sin x=-1，即x∈. 36 反 思 感 悟 (1)将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域，例如转化为y=a(sin x+b)2+c型的值域问题. (2)利用sin x的有界性求值域，如y=asin x+b，-|a|+b≤y≤|a|+b. 求正弦函数的值域一般有以下两种方法 　　　　　已知函数f(x)=2asin x+b的定义域为函数的最大值为1，最小值为-5，求a和b的值. 跟踪训练 4 38 ∵-≤sin x≤1. 若a>0，则 解得 若a<0，则 当a=0时，不符合题意. 故a=12-6 b=19-12. 39 1.知识清单： (1)正弦函数的性质. (2)正弦函数的周期性与奇偶性. (3)正弦函数的单调区间. (4)比较三角函数值的大小. (5)正弦函数的最值(值域). 2.方法归纳：转化与化归、换元法. 3.常见误区：单调区间漏写k∈Z；求值域时忽视sin x本身具有的范围. 课堂小结 40 随堂演练 六 1 2 3 4 1.y=2sin x-3，x∈R的单调递减区间为 A. B. C.k∈Z D.k∈Z √ 2.(多选)正弦函数y=sin x，x∈R的图象的一条对称轴是 A.y轴 B.直线x=- C.直线x= D.直线x=π 1 2 3 4 √ √ 当x=时，y取最大值， ∴直线x=是一条对称轴， 当x=-时y取最小值， ∴直线x=-是一条对称轴. 3.已知函数y=-3sin x+2，当x=　　　 　　　时，y有最大值，最大值为　. 1 2 3 4 当x=-+2kπ，k∈Z时，(sin x)min=-1，此时ymax=5. -+2kπ，k∈Z 5 4.sin的大小关系为　　　　　　　　　　　.(用“>”连接)  1 2 3 4 sin =sin sin 因为0<上单调递增， 所以sin . sin 课时对点练 七 答案 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 　7 答案 C C B A C C ［2kπ-π，2kπ］，k∈Z ，k∈Z 题号 8 11 12 13　 14 　15 答案 ±2 B AC D 　- 　2π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 设t=sin x，则-1≤t≤1， f(x)=g(t)=t2-4t+5(-1≤t≤1)， g(t)=t2-4t+5的对称轴为t=2. 因为g(t)的图象开口向上， 对称轴t=2在区间［-1，1］右侧. 所以g(t)在［-1，1］上是单调递减的， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 所以g(t)max=g(-1)=(-1)2-4×(-1)+5=10， g(t)min=g(1)=12-4×1+5=2， 即g(t)∈［2，10］. 所以函数f(x)的值域为［2，10］. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)∵ymax=1-a， ∴a<0， 故ymin=1+a=-3，∴a=-4. (2)由(1)知，y=-4sin x+1， 当+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z时， 函数y=-4sin x+1单调递增， ∴y=-4sin x+1的单调递增区间为，k∈Z. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (3)∵x∈［-π，π］， (k∈Z)∩［-π，π］=∪. ∴当x∈［-π，π］时，y=-4sin x+1的单调递增区间为. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. ∵sin x+sin y=， ∴sin x=-sin y. ∵-1≤sin x≤1， ∴ 解得-≤sin y≤1. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 又∵M=sin2y-sin y-=-， ∴当sin y=时，sin x=-， Mmin=-； 当sin y=-时，sin x=1，Mmax=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.函数y=sin(x+π)是 A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数 C.周期为2π的奇函数 D.周期为2π的偶函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 答案 令f(x)=y=sin(x+π)=-sin x，因为f(-x)=-sin(-x)=sin x=-f(x)，f(x+2π)=f(x)，所以该函数是周期为2π的奇函数. 2.当x∈[-π，π]时，函数y=3的单调递减区间为 A.[-π，0] B.[0，π] C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由题意可知y=3 k∈Z，结合x∈[-π，π]，当k=0时，符合题意.则当x∈[-π，π]时，函数y=3. 答案 3.函数y=2sin x+1的值域是 A.[1+ B.3] C.[1-] D.[-1，3] √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 画出函数y=2sin x+1 时， 最大值为3. 故所求值域为[1+3]. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知a∈R，函数f(x)=sin x-|a|(x∈R)为奇函数，则a等于 A.0 B.1 C.-1 D.±1 √ 答案 因为f(x)为奇函数， 所以f(-x)=sin(-x)-|a|=-f(x)=-sin x+|a|，所以|a|=0，从而a=0. 5.下列关系式中正确的是 A.sin 11°<cos 10°<sin 168° B.sin 168°<sin 11°<cos 10° C.sin 11°<sin 168°<cos 10° D.sin 168°<cos 10°<sin 11° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵sin 168°=sin(180°-12°)=sin 12°， cos 10°=sin(90°-10°)=sin 80°. ∴由正弦函数的单调性， 得sin 11°<sin 12°<sin 80°， 即sin 11°<sin 168°<cos 10°. 答案 6.若sin x=2m+3，且x∈则m的取值范围为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 因为x∈ 因为sin x=2m+3，所以- 解得-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.函数y=的定义域是　 　　　　　　，单调递减区间是 　　　　 　. ∵-2sin x≥0，∴sin x≤0， ∴2kπ-π≤x≤2kπ，k∈Z， 即函数的定义域是[2kπ-π，2kπ]，k∈Z. ∵y=与y=sin x的单调性相反， ∴函数的单调递减区间为k∈Z. 答案 [2kπ-π，2kπ]，k∈Z k∈Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若y=asin x+b的最大值为3，最小值为1，则ab=　　. 当a>0时 所以ab=2. 当a<0时 所以ab=-2，综上所述，ab=±2. 答案 　±2 62 9.求函数f(x)=sin 2x-4sin x+5的值域. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设t=sin x，则-1≤t≤1， f(x)=g(t)=t2-4t+5(-1≤t≤1)， g(t)=t2-4t+5的对称轴为t=2. 因为g(t)的图象开口向上，对称轴t=2在区间[-1，1]右侧. 所以g(t)在[-1，1]上是单调递减的， 所以g(t)max=g(-1)=(-1)2-4×(-1)+5=10， g(t)min=g(1)=12-4×1+5=2，即g(t)∈[2，10]. 所以函数f(x)的值域为[2，10]. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.函数y=asin x+1的最大值为1-a，最小值为-3. (1)求实数a的值； 答案 ∵ymax=1-a， ∴a<0， 故ymin=1+a=-3，∴a=-4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求该函数的单调递增区间； 答案 由(1)知，y=-4sin x+1， 当+2kπ，k∈Z时， 函数y=-4sin x+1单调递增， ∴y=-4sin x+1的单调递增区间为k∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)若x∈[-π，π]，求该函数的单调递增区间. 答案 ∵x∈[-π，π](k∈Z)∩[-π，π]= . ∴当x∈[-π，π]时，y=-4sin x+1的单调递增区间为 . 11.设f(x)是定义域为R，最小正周期为 的值等于 A.1 B. C.0 D.- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 答案 f =f . 12.(多选)设函数f(x)=sin |x|，则f(x) A.是偶函数 B.是周期为2π的周期函数 C.在区间上单调递减 D.在区间上单调递增 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f(-x)=sin |-x|=sin |x|=f(x)，f(x)为偶函数；由图可知，f(x)在上单调递减，故A，C正确. 答案 13.已知函数f(x)=sin x+则 A.f(x)的最小值为2 B.f(x)的图象关于y轴对称 C.f(x)的图象关于直线x=π对称 D.f(x)的图象关于直线x=对称 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵当x∈时，sin x<0，f(x)<0， ∴f(x)min<0，A错误； ∵f(x)=sin x+的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称， 又f(-x)=sin(-x)+=-f(x)， ∴f(x)为奇函数，不是偶函数，f(x)的图象不关于y轴对称，B错误； ∵f(π-x)=sin x+ ∴f(π-x)≠f(π+x)，∴f(x)的图象不关于直线x=π对称，C错误； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵f ∴f  ∴f(x)的图象关于直线x=对称，D正确. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.函数y=3sin 2x-4sin x+1，x∈当x=　　时，y取最小值，最小值为　　. 答案 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令t=sin x，x∈ y=3t2-4t+1=3. ∵y=3上单调递减， ∴当t=时， ymin=3×. 答案 15.函数y=sin x的定义域为[a，b]，值域为则b-a的最大值与最小值之和为_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 答案 　2π 作出函数y=sin x的图象，如图所示. 由图可知，b-a的最大值为 b-a的最小值为. 所以最大值与最小值之和为=2π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.设sin x+sin y=求M=sin x+sin2y-1的最大值与最小值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵sin x+sin y= ∴sin x=-sin y. ∵-1≤sin x≤1， ∴ 解得-≤sin y≤1. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又∵M=sin2y-sin y- ∴当sin y=； 当sin y=-. 答案 第一章 <<< $$