第一章 §5 5.1 第1课时 正弦函数的图象-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（北师大版2019）

第一章 <<< 第1课时 正弦函数的图象 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法. 2.掌握“五点(画图)法”画正弦曲线的步骤和方法，能用“五点(画图)法”作出简单的正弦曲线. 3.会利用正弦函数图象求定义域. 学习目标 将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏 斗，再挂在架子上，就做成了一个简 易单摆(如图(1)所示).在漏斗下方放一 块纸板，板的中间画一条直线作为坐 标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板.这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫作“正弦曲线”或“余弦曲线”.它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况.图(2)就是某个简谐运动的图象. 导 语 一、正弦函数的图象 二、利用正弦函数图象求定义域 课时对点练 三、“五点(画图)法”作正弦函数的图象 随堂演练 内容索引 一 正弦函数的图象 我们根据正弦函数的定义，求出x=0…，2π对应的函数值，借助单位圆，可以画出正弦函数在区间[0，2π]上的图象吗？ 问题1 提示　在区间[0，2π]上取一系列的x值，例如0…，2π，并借助单位圆获得对应的正弦函数值(如图(1))，列表. x 0 sin x 0 1 利用表中的数据，先在平面直角坐标系内描点，结合对函数y=sin x性质的了解，用光滑曲线顺次连接，就可以得到函数y=sin x在区间[0，2π]上的图象(如图(2)). x π 2π sin x 0 - - -1 - - 0 由诱导公式sin(x+2kπ)=sin x，k∈Z，把函数y=sin x，x∈[0，2π]上的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度)，能不能得到正弦函数在定义域R上的图象？ 问题2 提示　将函数y=sin x，x∈[0，2π]的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y=sin x，x∈R的图象(如图(3)). 1.定义 正弦函数的图象称作 ，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线. 2.图象 正弦曲线 知识梳理 二 利用正弦函数图象求定义域 　　　求函数f(x)=lg sin x+的定义域. 例 1 由题意，得x满足不等式组 即作出y=sin x，-4≤x≤4的图象， 如图所示. 结合图象可得x∈[-4，-π)∪(0，π). 即f(x)的定义域为[-4，-π)∪(0，π). 12 本例条件改为求函数y=lg的定义域. 要使函数式有意义，自变量x应满足sin x->0， 即sin x> 在同一直角坐标系下，作出函数y=sin x，x∈[0，2π]以及直线y=的图象. 由函数的图象知，sin . 所以根据图象可知sin x>. 又x∈R，故该函数的定义域为. 延伸探究 13 反 思 感 悟 (1)利用正弦函数图象解决与正弦函数有关的定义域问题，先根据定义域的求法列出不等式(组)，再求解；涉及解三角不等式时，一般需借助图象求解. (2)利用正弦函数图象解形如sin x>a(或<a)的步骤： ①画出直线y=a，y=sin x的图象； ②确定sin x=a时x的值； ③确定sin x>a(或<a)的解集. 利用正弦函数图象求定义域 　　　　　函数y=的定义域为 ___________________________________________________. 跟踪训练 1 为使函数有意义， 需满足. 由正弦函数的图象或单位圆(如图所示)， 可得函数的定义域为 . 　 15 三 “五点(画图)法”作正弦函数的图象 提示　有，利用特殊角的三角函数值. (0，0)(2π，0). 借助单位圆作图虽然精确，但太麻烦，有没有快捷画y=sin x，x∈[0，2π]图象的方法？你认为图象上哪些点是关键点？ 问题3 “五点(画图)法”作正弦函数y=sin x，x∈[0，2π]图象的步骤 (1)列表 x 0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 (2)描点 画正弦函数y=sin x，x∈[0，2π]的图象，五个关键点是________________ ___________________________. (0，0) (2π，0) 知识梳理 (3)连线 用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦曲线的简图. 　　　利用“五点(画图)法”作出函数y=1-sin x(0≤x≤2π)的简图. 例 2 取值列表： 描点连线，如图所示. x 0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 1-sin x 1 0 1 2 1 20 反 思 感 悟 作正弦曲线要理解几何法作图，掌握“五点(画图)法”作图.“五点”即y=sin x的图象在[0，2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点.“五点(画图)法”是作简图的常用方法. 　　　　　用“五点(画图)法”画出函数y=+sin x，x∈[0，2π]的简图. 跟踪训练 2 (1)取值列表如下： x 0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 +sin x - (2)描点、连线，如图所示. 22 1.知识清单： (1)正弦函数的图象. (2)函数图象的应用. (3)“五点(画图)法”作图. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：五点的选取. 课堂小结 23 随堂演练 四 1 2 3 4 1.函数y=sin(-x)，x∈[0，2π]的简图是 y=sin(-x)=-sin x，y=-sin x与y=sin x的图象关于x轴对称，故选B. √ 2.用“五点(画图)法”画函数y=1+sin x的图象时，首先应描出五点的横坐标是 A.0 B.2π C.0，π，2π，3π，4π D.0 1 2 3 4 √ 所描出的五点的横坐标与函数y=sin x的五点的横坐标相同， 即02π，故选B. 3.在同一平面直角坐标系内，函数y=sin x，x∈[0，2π]与y=sin x，x∈[2π，4π]的图象 A.重合 B.形状相同，位置不同 C.关于y轴对称 D.形状不同，位置不同 1 2 3 4 √ 根据正弦曲线的作法可知函数y=sin x，x∈[0，2π]与y=sin x，x∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同. 4.函数y=的定义域为　 . 1 2 3 4 由题意知，自变量x应满足2sin x-1≥0， 即sin x≥ 又x∈R， 故y= 　 课时对点练 五 答案 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 　 7 答案 AD B AD C A C ［-1，0］ 题号 　8 答案 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 11 12 　13 答案 BD C 　C 题号 　14 　15 答案 　4π 9. 列表： 描点、连线得出y=1+2sin x， x∈［0，2π］的图象如图所示. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x 0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 1+2sin x 1 3 1 -1 1 10. 首先作出y=sin x在［0，2π］上的图象，如图所示， 作直线y=，根据特殊角的正弦值， 可知该直线与y=sin x，x∈［0，2π］的图象的交点横坐标为； 作直线y=，该直线与y=sin x，x∈ ［0，2π］的图象的交点横坐标为. 观察图象可知，在［0，2π］上， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 当<x≤≤x<时， 不等式<sin x≤成立. 所以<sin x≤ . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 在同一直角坐标系中作出y=sin x，x∈的图象与y=的图象， 由图象可知，当≤<1， 即-1<a≤1-时，y=sin x，x∈的图象与y= 的图象有两个交点，即若方程sin x=上有两个实数根， 则a的取值范围为(-1，1-］. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.(多选)用“五点(画图)法”画y=3sin x，x∈[0，2π]的图象时，下列哪个点不是关键点 A. B. C.(π，0) D.(2π，3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 答案 √ 五个关键点的横坐标依次是02π.代入计算得B，C是关键点. 2.若点M在函数y=sin x-2的图象上，则m等于 A.-2 B.1 C.-1 D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由题意知，-m=sin -2， ∴-m=1-2=-1，∴m=1. 答案 3.(多选)对于正弦函数的图象，下列四个说法中正确的是 A.关于原点对称 B.关于x轴对称 C.关于y轴对称 D.有无数条对称轴 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由正弦曲线知，A，D正确. 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.在[0，2π]上，不等式sin x<-的解集是 A.(0，π) B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 画出y=sin x，x∈[0，2π]的图象大致 如图所示. 当sin x=- 可知不等式sin x<-. 答案 5.函数y=2-sin x，x∈[0，2π]的简图是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 列表： 观察各图象发现A项 符合. 答案 x 0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 y=2-sin x 2 1 2 3 2 6.函数y=1+sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y=交点的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 由函数y=1+sin x，x∈[0，2π]的图象(如图所示)， 可知其与直线y=有2个交点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.若存在m，使得sin x=2m+1，x∈R，则m的取值范围是　　　　. 因为sin x∈[-1，1]，所以-1≤2m+1≤1， 故-1≤m≤0. 答案 [-1，0] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知函数f(x)=2sin x+1，若f(x)的图象过点则m=　；若f(x)<0， 则x的取值集合为　　　　　　 　　　　　　. 当x=+1=3，∴m=3. f(x)<0，即sin x<- 作出y=sin x在[0，2π]上的图象，如图所示. 由图知x的取值集合为. 答案 3 　 45 9.用“五点(画图)法”作出函数y=1+2sin x，x∈[0，2π]的图象. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 列表： 描点、连线得出y=1+2sin x，x ∈[0，2π]的图象如图所示. 答案 x 0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 1+2sin x 1 3 1 -1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.利用正弦曲线，求满足的x的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 首先作出y=sin x在[0，2π]上的图象， 如图所示， 作直线y=根据特殊角的正弦值， 可知该直线与y=sin x，x∈[0，2π]的图象的交点横坐标为； 作直线y=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 观察图象可知，在[0，2π]上， 当时， 不等式成立. 所以 . 答案 11.(多选)函数y=sin x-1，x∈[0，2π]的图象与直线y=a有一个交点，则a的值为 A.-1 B.0 C.1 D.-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 答案 √ 画出y=sin x-1的图象.如图. 依题意a=0或a=-2. 12.与图中曲线(部分)对应的函数解析式是 A.y=|sin x| B.y=sin |x| C.y=-sin |x| D.y=-|sin x| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 注意图象所对的函数值的正负，可排除选项A，D. 当x∈(0，π)时，sin |x|>0，而图中显然小于零，因此排除选项B.故选C. 13.(2024·新课标全国Ⅰ)当x∈[0，2π]时，曲线y=sin x与y=2sin 的交点个数为 A.3 B.4 C.6 D.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为函数y=sin x的最小正周期为T=2π， 函数y=2sin 所以在x∈[0，2π]上函数y=2sin 有三 个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示， 由图可知，两函数图象有6个交点. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知函数f(x)=的解集是 　　　　 　　　　　　　　. 在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和y= . 答案 　 15.已知函数y=2sin x的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积为 　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 答案 4π 数形结合，如图所示，y=2sin x，x∈ y=0，y=2围成的 矩形面积，即S=×2=4π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.若方程sin x=上有两个实数根，求a的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在同一直角坐标系中作出y=sin x，x∈ 的图象， 由图象可知，当<1， 即-1<a≤1-的图象有两 个交点， 即若方程sin x=上有两个实数根， 则a的取值范围为(-1，1-]. 答案 第一章 <<< $$ 5.1　正弦函数的图象与性质再认识 第1课时　正弦函数的图象 [学习目标]　1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点(画图)法”画正弦曲线的步骤和方法，能用“五点(画图)法”作出简单的正弦曲线.3.会利用正弦函数图象求定义域. 导语 将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆(如图(1)所示).在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板.这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫作“正弦曲线”或“余弦曲线”.它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况.图(2)就是某个简谐运动的图象. 一、正弦函数的图象 问题1　我们根据正弦函数的定义，求出x=0…，2π对应的函数值，借助单位圆，可以画出正弦函数在区间[0，2π]上的图象吗？ 提示　在区间[0，2π]上取一系列的x值，例如0…，2π，并借助单位圆获得对应的正弦函数值(如图(1))，列表. x 0 sin x 0 1 x π 2π sin x 0 - - -1 - - 0 利用表中的数据，先在平面直角坐标系内描点，结合对函数y=sin x性质的了解，用光滑曲线顺次连接，就可以得到函数y=sin x在区间[0，2π]上的图象(如图(2)). 问题2　由诱导公式sin(x+2kπ)=sin x，k∈Z，把函数y=sin x，x∈[0，2π]上的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度)，能不能得到正弦函数在定义域R上的图象？ 提示　将函数y=sin x，x∈[0，2π]的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y=sin x，x∈R的图象(如图(3)). 知识梳理 1.定义 正弦函数的图象称作正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线. 2.图象 二、利用正弦函数图象求定义域 例1　求函数f(x)=lg sin x+的定义域. 解　由题意，得x满足不等式组 即作出y=sin x，-4≤x≤4的图象， 如图所示. 结合图象可得x∈[-4，-π)∪(0，π). 即f(x)的定义域为[-4，-π)∪(0，π). 延伸探究　本例条件改为求函数y=lg的定义域. 解　要使函数式有意义，自变量x应满足sin x->0， 即sin x> 在同一直角坐标系下，作出函数y=sin x，x∈[0，2π]以及直线y=的图象. 由函数的图象知，sin . 所以根据图象可知sin x>. 又x∈R，故该函数的定义域为. 反思感悟　利用正弦函数图象求定义域 (1)利用正弦函数图象解决与正弦函数有关的定义域问题，先根据定义域的求法列出不等式(组)，再求解；涉及解三角不等式时，一般需借助图象求解. (2)利用正弦函数图象解形如sin x>a(或<a)的步骤： ①画出直线y=a，y=sin x的图象； ②确定sin x=a时x的值； ③确定sin x>a(或<a)的解集. 跟踪训练1　函数y=的定义域为　　　　　　　　　　　　　　　　　.  答案　 解析　为使函数有意义， 需满足. 由正弦函数的图象或单位圆(如图所示)，可得函数的定义域为 . 三、“五点(画图)法”作正弦函数的图象 问题3　借助单位圆作图虽然精确，但太麻烦，有没有快捷画y=sin x，x∈[0，2π]图象的方法？你认为图象上哪些点是关键点？ 提示　有，利用特殊角的三角函数值. (0，0)(2π，0). 知识梳理 “五点(画图)法”作正弦函数y=sin x，x∈[0，2π]图象的步骤 (1)列表 x 0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 (2)描点 画正弦函数y=sin x，x∈[0，2π]的图象，五个关键点是(0，0) (2π，0). (3)连线 用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦曲线的简图. 例2　利用“五点(画图)法”作出函数y=1-sin x(0≤x≤2π)的简图. 解　取值列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 1-sin x 1 0 1 2 1 描点连线，如图所示. 反思感悟　作正弦曲线要理解几何法作图，掌握“五点(画图)法”作图.“五点”即y=sin x的图象在[0，2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点.“五点(画图)法”是作简图的常用方法. 跟踪训练2　用“五点(画图)法”画出函数y=+sin x，x∈[0，2π]的简图. 解　(1)取值列表如下： x 0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 +sin x - (2)描点、连线，如图所示. 1.知识清单： (1)正弦函数的图象. (2)函数图象的应用. (3)“五点(画图)法”作图. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：五点的选取. 1.函数y=sin(-x)，x∈[0，2π]的简图是(　　) 答案　B 解析　y=sin(-x)=-sin x，y=-sin x与y=sin x的图象关于x轴对称，故选B. 2.用“五点(画图)法”画函数y=1+sin x的图象时，首先应描出五点的横坐标是(　　) A.0 B.2π C.0，π，2π，3π，4π D.0 答案　B 解析　所描出的五点的横坐标与函数y=sin x的五点的横坐标相同，即02π，故选B. 3.在同一平面直角坐标系内，函数y=sin x，x∈[0，2π]与y=sin x，x∈[2π，4π]的图象(　　) A.重合 B.形状相同，位置不同 C.关于y轴对称 D.形状不同，位置不同 答案　B 解析　根据正弦曲线的作法可知函数y=sin x，x∈[0，2π]与y=sin x，x∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同. 4.函数y=的定义域为 　. 答案　 解析　由题意知，自变量x应满足2sin x-1≥0， 即sin x≥ 又x∈R， 故y= 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.(多选)用“五点(画图)法”画y=3sin x，x∈[0，2π]的图象时，下列哪个点不是关键点(　　) A. B. C.(π，0) D.(2π，3) 答案　AD 解析　五个关键点的横坐标依次是02π.代入计算得B，C是关键点. 2.若点M在函数y=sin x-2的图象上，则m等于(　　) A.-2 B.1 C.-1 D.2 答案　B 解析　由题意知，-m=sin -2， ∴-m=1-2=-1，∴m=1. 3.(多选)对于正弦函数的图象，下列四个说法中正确的是(　　) A.关于原点对称 B.关于x轴对称 C.关于y轴对称 D.有无数条对称轴 答案　AD 解析　由正弦曲线知，A，D正确. 4.在[0，2π]上，不等式sin x<-的解集是(　　) A.(0，π) B. C. D. 答案　C 解析　画出y=sin x，x∈[0，2π]的图象大致如图所示. 当sin x=- 可知不等式sin x<-. 5.函数y=2-sin x，x∈[0，2π]的简图是(　　) 答案　A 解析　列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 y=2-sin x 2 1 2 3 2 观察各图象发现A项符合. 6.函数y=1+sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y=交点的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　C 解析　由函数y=1+sin x，x∈[0，2π]的图象(如图所示)， 可知其与直线y=有2个交点. 7.(5分)若存在m，使得sin x=2m+1，x∈R，则m的取值范围是　　　　.  答案　[-1，0] 解析　因为sin x∈[-1，1]，所以-1≤2m+1≤1， 故-1≤m≤0. 8.(5分)已知函数f(x)=2sin x+1，若f(x)的图象过点则m=　　　　；若f(x)<0，则x的取值集合为　　　　　　　　　　　　.  答案　3　 解析　当x=+1=3，∴m=3. f(x)<0，即sin x<- 作出y=sin x在[0，2π]上的图象，如图所示. 由图知x的取值集合为. 9.(10分)用“五点(画图)法”作出函数y=1+2sin x，x∈[0，2π]的图象. 解　列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 1+2sin x 1 3 1 -1 1 描点、连线得出y=1+2sin x，x∈[0，2π]的图象如图所示. 10.(10分)利用正弦曲线，求满足的x的取值范围. 解　首先作出y=sin x在[0，2π]上的图象，如图所示， 作直线y=根据特殊角的正弦值， 可知该直线与y=sin x，x∈[0，2π]的图象的交点横坐标为； 作直线y=. 观察图象可知，在[0，2π]上， 当时， 不等式成立. 所以. 11.(多选)函数y=sin x-1，x∈[0，2π]的图象与直线y=a有一个交点，则a的值为(　　) A.-1 B.0 C.1 D.-2 答案　BD 解析　画出y=sin x-1的图象.如图. 依题意a=0或a=-2. 12.与图中曲线(部分)对应的函数解析式是(　　) A.y=|sin x| B.y=sin |x| C.y=-sin |x| D.y=-|sin x| 答案　C 解析　注意图象所对的函数值的正负，可排除选项A，D.当x∈(0，π)时，sin |x|>0，而图中显然小于零，因此排除选项B.故选C. 13.(2024·新课标全国Ⅰ)当x∈[0，2π]时，曲线y=sin x与y=2sin 的交点个数为(　　) A.3 B.4 C.6 D.8 答案　C 解析　因为函数y=sin x的最小正周期为T=2π， 函数y=2sin 所以在x∈[0，2π]上函数y=2sin 有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示， 由图可知，两函数图象有6个交点. 14.(5分)已知函数f(x)=的解集是　　　　　　　　　　　　.  答案　 解析　在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和y=. 15.(5分)已知函数y=2sin x的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积为　　　.  答案　4π 解析　数形结合，如图所示，y=2sin x，x∈ y=0，y=2围成的矩形面积， 即S=×2=4π. 16.(12分)若方程sin x=上有两个实数根，求a的取值范围. 解　在同一直角坐标系中作出y=sin x，x∈的图象， 由图象可知，当<1， 即-1<a≤1-的图象有两个交点， 即若方程sin x=上有两个实数根， 则a的取值范围为(-1，1-]. 学科网（北京）股份有限公司 $$