第一章 §4 4.4 诱导公式与旋转-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（北师大版2019）

第一章 <<< 4.4　诱导公式与旋转 1.掌握的正弦、余弦诱导公式的推导过程. 2.对诱导公式能作综合归纳，体会出七组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力. 3.能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题. 学习目标 风车最早出现在波斯，起初是立轴翼板式 风车，后来又发明了水平轴风车.如图所示 的风车是由4个扇叶组成，相邻两个扇叶 之间的角度为直角，若将风车扇叶的最外 侧看作一个质点，那么四个质点之间存在 什么关系？在平面直角坐标系中的坐标之间有什么关系？ 导 语 一、正弦函数、余弦函数诱导公式 二、利用诱导公式求值 随堂演练 三、利用诱导公式化简 四、诱导公式的综合应用 内容索引 课时对点练 4 一 正弦函数、余弦函数诱导公式 设锐角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，将终边绕点O沿逆时针方向旋转的终边与单位圆交于点P'，求出点P'的坐标. 问题1 提示　由图可知P'(-v，u). 根据正弦函数、余弦函数的定义，角α+的正弦函数、余弦函数值分别是什么？ 问题2 提示　sin=-v. 角α与角α+的正弦函数、余弦函数具有什么样的关系？ 问题3 提示　sin=-sin α. 角α与角α-的正弦函数、余弦函数具有什么样的关系？ 问题4 提示　sin=sin α. 1.正弦函数、余弦函数诱导公式 角 正弦 余弦 α+2kπ(k∈Z) _____ _____ -α ______ _____ α+π ______ ______ α-π ______ ______ π-α _____ ______ sin α cos α -sin α cos α -sin α -cos α -sin α -cos α sin α -cos α 知识梳理 角 正弦 余弦 α+ _____ ______ -α _____ _____ cos α -sin α cos α sin α 2.正弦函数、余弦函数诱导公式的记忆方法 (1)α+2kπ(k∈Z)，-α，π-α，α±π的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上把α看作锐角时原函数值的符号，简记为“函数名不变，符号看象限”. (2)±α的函数值的符号.简记为“函数名改变，符号看象限”. 诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”.当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α看作锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”. 二 利用诱导公式求值 　　　已知求的值. 例 1 14 方法一　因为 所以sin = 所以sin =sin. 因为=π， 15 所以 =- 所以. 方法二　设 所以 =cos(π-β)sin=-cos2β =-. 16 反 思 感 悟 对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系，如 -θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题. 　　　　　(1)已知cos(π+α)=-=　　. 跟踪训练 1 ∵cos(π+α)=-cos α=- ∴cos α= 则sin. 　 18 (2)已知=　　. sin =. 　 19 三 利用诱导公式化简 　　　化简：其中k∈Z. 例 2 当k为偶数时，设k=2m(m∈Z)，则 原式= ==1. 当k为奇数时，设k=2m+1(m∈Z). 仿上化简得原式=1. 故原式=1. 21 反 思 感 悟 用诱导公式进行化简时，若遇到kπ±α的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简. 　　　　　化简：. 跟踪训练 2 原式= = = ==1. 23 四 诱导公式的综合应用 　　　已知f(x)=. (1)化简f(x)； 例 3 f(x)= = =. 25 (2)求f. f  =. 26 反 思 感 悟 解决诱导公式与函数相结合的问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再化简或求值，这样可避免公式交错使用而导致的混乱. 　　　　　已知f(α)=. (1)化简f(α)； 跟踪训练 3 f(α)==-cos α. 28 (2)若cos(α-π)=求f(α)的值. 因为cos(α-π)= 所以cos α=- 所以f(α)=-cos α=. 29 1.知识清单： (1)正弦函数、余弦函数的诱导公式. (2)利用诱导公式进行化简、求值与证明. 2.方法归纳：公式法、构造法、转化与化归. 3.常见误区：函数名称、符号的变化，角与角之间的联系与构造. 课堂小结 30 随堂演练 五 1 2 3 4 1.已知sin 25.3°=a，则cos 64.7°等于 A.a B.-a C.a2 D. √ cos 64.7°=cos(90°-25.3°)=sin 25.3°=a. 2.若cos(2π-α)=等于 A.- B. C. D. 1 2 3 4 √ ∵cos(2π-α)=cos(-α)=cos α= ∴sin. 3.若+sin(φ-π)的值为 A.- B. C. D. 1 2 3 4 √ . 4.已知sin=　　. 1 2 3 4 =sin. 　 课时对点练 六 答案 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C BD B A A - - 题号 11 12 13 14　 　15 答案 D AC B C - 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 当n为偶数时，记n=2k，k∈Z. 原式=sincos =sincos =cos=sincos =sincos=×=. 当n为奇数时，记n=2k+1，k∈Z. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 原式=sin cos =sincos =sincos=sincos=×=. 综上，sincos=，n∈Z. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 因为左边= = =-cos α=右边， 所以等式成立. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. f(α)===. (1)∵cos=， ∴cos=， ∴cos=，∴sin α=-， ∴f(α)==-5. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (2)当α=-1 860°时，f(α)= == == =-. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.已知sin那么cos α等于 A.- B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 答案 sin=cos α， 故cos α=. 2.若sin>0，则θ为 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∵sin=cos θ<0， =-sin θ>0， ∴sin θ<0，∴θ为第三象限角. 答案 3.(多选)下列与的值一定相等的是 A.sin(π-θ) B.sin(π+θ) C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为=-sin θ， sin(π-θ)=sin θ， sin(π+θ)=-sin θ， =sin θ， =-sin θ， 所以B，D项与的值相等. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若sin(180°+α)+cos(90°+α)=-则cos(270°-α)+2sin(360°-α)的值为 A.- B. C. D. √ 答案 由sin(180°+α)+cos(90°+α)=- 得sin α= 则cos(270°-α)+2sin(360°-α) =-sin α-2sin α=-3sin α=-. 5.化简：等于 A.-sin θ B.sin θ C.cos θ D.-cos θ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 原式===-sin θ. 6.如果角α的终边过点P则cos α等于 A.- B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 =- sin =sin ∴P 则点P在单位圆上， ∴cos α=-. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知sin=　　. =sin. 答案 　- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知sin α=·sin(α-π)·cos(2π-α)的值为　　. 原式=·(-sin α)·cos(-α) =·(-sin α)·cos α =·(-sin α)·cos α =-sin 2α=-. 答案 　- 52 9.化简：sin n∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n为偶数时，记n=2k，k∈Z. 原式=sin =sin= =sin . 当n为奇数时，记n=2k+1，k∈Z. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原式=sin =sin =sin =sin . 综上，sinn∈Z. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.证明：=-cos α. 答案 因为左边===-cos α=右边， 所以等式成立. 11.已知cos(75°+α)=则sin(α-15°)+cos(105°-α)的值是 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 sin(α-15°)+cos(105°-α) =sin[(75°+α)-90°]+cos[180°-(75°+α)] =-sin[90°-(75°+α)]-cos(75°+α) =-cos(75°+α)-cos(75°+α) =-2cos(75°+α)=-. 答案 12.(多选)在△ABC中，下列结论正确的是 A.sin(A+B)=sin C B.cos(A+B)=cos C C.sin D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，在△ABC中，A+B+C=π，对于选项A，sin(A+B)=sin(π-C)=sin C，故选项A正确； 对于选项B，cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C，故选项B错误； 对于选项C，sin 故选项D错误. 答案 13.若sin<0，且角α的终边经过点(3a-9，a+2)，则实数a的取值范围是 A.a<3 B.a<-2 C.-2<a<3 D.a>-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 sin=sin α<0，∴α是第三象限角， 则解得a<-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.在平面直角坐标系中，角α和角β的顶点均与原点O重合，始边均与x轴的非负半轴重合，它们的终边关于直线y=x对称，若cos α=则sin β等于 A.- B. C. D. 因为角α和角β的终边关于直线y=x对称，所以α+β=2 k∈Z. 故sin β=sin . 答案 √ 15.已知sin(α-3π)=2cos(α-4π)，则=　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 答案 　- ∵sin(α-3π)=2cos(α-4π)， ∴-sin(3π-α)=2cos(4π-α)， ∴-sin(π-α)=2cos(-α)， ∴sin α=-2cos α且cos α≠0， ∴原式==. 16.已知f(α)= . (1)若求f(α)的值； f(α)==. ∵ ∴ ∴ ∴f(α)==-5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若α=-1 860°，求f(α)的值. 当α=-1 860°时，f(α)= = =. 答案 第一章 <<< $$ 4.4　诱导公式与旋转 [学习目标]　1.掌握的正弦、余弦诱导公式的推导过程.2.对诱导公式能作综合归纳，体会出七组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题. 导语 风车最早出现在波斯，起初是立轴翼板式风车，后来又发明了水平轴风车.如图所示的风车是由4个扇叶组成，相邻两个扇叶之间的角度为直角，若将风车扇叶的最外侧看作一个质点，那么四个质点之间存在什么关系？在平面直角坐标系中的坐标之间有什么关系？ 一、正弦函数、余弦函数诱导公式 问题1　设锐角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，将终边绕点O沿逆时针方向旋转 的终边与单位圆交于点P'，求出点P'的坐标. 提示　由图可知P'(-v，u). 问题2　根据正弦函数、余弦函数的定义，角α+的正弦函数、余弦函数值分别是什么？ 提示　sin=-v. 问题3　角α与角α+的正弦函数、余弦函数具有什么样的关系？ 提示　sin=-sin α. 问题4　角α与角α-的正弦函数、余弦函数具有什么样的关系？ 提示　sin=sin α. 知识梳理 1.正弦函数、余弦函数诱导公式 角 正弦 余弦 α+2kπ(k∈Z) sin α cos α -α -sin α cos α α+π -sin α -cos α α-π -sin α -cos α π-α sin α -cos α α+ cos α -sin α -α cos α sin α 2.正弦函数、余弦函数诱导公式的记忆方法 (1)α+2kπ(k∈Z)，-α，π-α，α±π的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上把α看作锐角时原函数值的符号，简记为“函数名不变，符号看象限”. (2)±α的函数值的符号.简记为“函数名改变，符号看象限”. 诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”.当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α看作锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”. 二、利用诱导公式求值 例1　已知 求的值. 解　方法一　因为 所以sin = 所以sin =sin. 因为=π， 所以 =- 所以. 方法二　设 所以 =cos(π-β)sin=-cos2β =-. 反思感悟　对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系，如-θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题. 跟踪训练1　(1)已知cos(π+α)=-=　　　　.  答案　 解析　∵cos(π+α)=-cos α=- ∴cos α= 则sin. (2)已知=　　　　.  答案　 解析　sin =. 三、利用诱导公式化简 例2　化简：其中k∈Z. 解　当k为偶数时，设k=2m(m∈Z)，则 原式= ==1. 当k为奇数时，设k=2m+1(m∈Z). 仿上化简得原式=1. 故原式=1. 反思感悟　用诱导公式进行化简时，若遇到kπ±α的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简. 跟踪训练2　化简：. 解　原式= = = ==1. 四、诱导公式的综合应用 例3　已知f(x)=. (1)化简f(x)； (2)求f. 解　(1)f(x)= = =. (2)f  =. 反思感悟　解决诱导公式与函数相结合的问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再化简或求值，这样可避免公式交错使用而导致的混乱. 跟踪训练3　已知f(α)=. (1)化简f(α)； (2)若cos(α-π)=求f(α)的值. 解　(1)f(α)==-cos α. (2)因为cos(α-π)= 所以cos α=- 所以f(α)=-cos α=. 1.知识清单： (1)正弦函数、余弦函数的诱导公式. (2)利用诱导公式进行化简、求值与证明. 2.方法归纳：公式法、构造法、转化与化归. 3.常见误区：函数名称、符号的变化，角与角之间的联系与构造. 1.已知sin 25.3°=a，则cos 64.7°等于(　　) A.a B.-a C.a2 D. 答案　A 解析　cos 64.7°=cos(90°-25.3°)=sin 25.3°=a. 2.若cos(2π-α)=等于(　　) A.- B. C. D. 答案　A 解析　∵cos(2π-α)=cos(-α)=cos α= ∴sin. 3.若+sin(φ-π)的值为(　　) A.- B. C. D. 答案　D 解析　 . 4.已知sin=　　　　.  答案　 解析　 =sin. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.已知sin那么cos α等于(　　) A.- B. C. D. 答案　C 解析　sin=cos α， 故cos α=. 2.若sin>0，则θ为(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 答案　C 解析　∵sin=cos θ<0， =-sin θ>0， ∴sin θ<0，∴θ为第三象限角. 3.(多选)下列与的值一定相等的是(　　) A.sin(π-θ) B.sin(π+θ) C. D. 答案　BD 解析　因为=-sin θ， sin(π-θ)=sin θ， sin(π+θ)=-sin θ， =sin θ， =-sin θ， 所以B，D项与的值相等. 4.若sin(180°+α)+cos(90°+α)=-则cos(270°-α)+2sin(360°-α)的值为(　　) A.- B. C. D. 答案　B 解析　由sin(180°+α)+cos(90°+α)=- 得sin α= 则cos(270°-α)+2sin(360°-α) =-sin α-2sin α=-3sin α=-. 5.化简：等于(　　) A.-sin θ B.sin θ C.cos θ D.-cos θ 答案　A 解析　原式= ==-sin θ. 6.如果角α的终边过点P则cos α等于(　　) A.- B. C. D. 答案　A 解析　 =- sin =sin ∴P 则点P在单位圆上， ∴cos α=-. 7.(5分)已知sin=　　　　.  答案　- 解析　 =sin. 8.(5分)已知sin α=·sin(α-π)·cos(2π-α)的值为　　　　.  答案　- 解析　原式=·(-sin α)·cos(-α) =·(-sin α)·cos α =·(-sin α)·cos α =-sin 2α=-. 9.(10分)化简：sin n∈Z. 解　当n为偶数时，记n=2k，k∈Z. 原式=sin =sin = =sin . 当n为奇数时，记n=2k+1，k∈Z. 原式=sin =sin =sin =sin . 综上，sinn∈Z. 10.(11分)证明：=-cos α. 证明　因为左边= = =-cos α=右边， 所以等式成立. 11.已知cos(75°+α)=则sin(α-15°)+cos(105°-α)的值是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　sin(α-15°)+cos(105°-α) =sin[(75°+α)-90°]+cos[180°-(75°+α)] =-sin[90°-(75°+α)]-cos(75°+α) =-cos(75°+α)-cos(75°+α) =-2cos(75°+α)=-. 12.(多选)在△ABC中，下列结论正确的是(　　) A.sin(A+B)=sin C B.cos(A+B)=cos C C.sin D. 答案　AC 解析　由题意知，在△ABC中，A+B+C=π，对于选项A，sin(A+B)=sin(π-C)=sin C，故选项A正确；对于选项B，cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C，故选项B错误；对于选项C，sin 故选项D错误. 13.若sin<0，且角α的终边经过点(3a-9，a+2)，则实数a的取值范围是(　　) A.a<3 B.a<-2 C.-2<a<3 D.a>-2 答案　B 解析　sin=sin α<0，∴α是第三象限角， 则解得a<-2. 14.在平面直角坐标系中，角α和角β的顶点均与原点O重合，始边均与x轴的非负半轴重合，它们的终边关于直线y=x对称，若cos α=则sin β等于(　　) A.- B. C. D. 答案　C 解析　因为角α和角β的终边关于直线y=x对称，所以α+β=2k∈Z. 故sin β=sin . 15.(5分)已知sin(α-3π)=2cos(α-4π)，则=　　　　.  答案　- 解析　∵sin(α-3π)=2cos(α-4π)， ∴-sin(3π-α)=2cos(4π-α)， ∴-sin(π-α)=2cos(-α)， ∴sin α=-2cos α且cos α≠0， ∴原式= =. 16.(12分)已知f(α)= . (1)若求f(α)的值；(6分) (2)若α=-1 860°，求f(α)的值.(6分) 解　f(α)= =. (1)∵ ∴ ∴ ∴f(α)==-5. (2)当α=-1 860°时，f(α)= = =. 学科网（北京）股份有限公司 $$