第一章 §4 4.3 诱导公式与对称-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（北师大版2019）

4.3　诱导公式与对称 [学习目标]　1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题. 导语 南京眼和辽宁的生命之环均利用对称完美地展现了自己的和谐之美.而三角函数与(单位)圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示，例如，正弦函数、余弦函数的定义表明了圆中某些线段之间的关系.圆有很好的对称性：以圆心为对称中心的中心对称图形；以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形. 南京眼的桥身　　　　　　辽宁生命之环 的完美对称　　　　　　　的完美对称 你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨论任意角α的终边与π±α，-α有什么样的对称关系？ 一、诱导公式 问题1　知道角的终边与单位圆的交点坐标，你能根据三角函数的定义探究角α与-α的正弦函数、余弦函数的关系吗？能不能推导正弦函数、余弦函数的奇偶性？ 提示　sin(-α)=-sin α，cos(-α)=cos α. 正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数. 问题2　类比问题1的推导过程，你能探究角α与α+π，α-π，π-α的正弦函数、余弦函数的关系吗？ 提示　sin(α+π)=-sin α，cos(α+π)=-cos α，sin(α-π)=-sin α，cos(α-π)=-cos α，sin(π-α)=sin α，cos(π-α)=-cos α. 知识梳理 终边关系 角-α与角α的终边关于x轴对称 角α±π与角α的终边关于原点对称 角π-α与角α的终边关于y轴对称 图示 公式 sin(-α)=-sin α， cos(-α)=cos α sin(α+π)=-sin α， cos(α+π)=-cos α， sin(α-π)=-sin α， cos(α-π)=-cos α sin(π-α)=sin α， cos(π-α)=-cos α 特点 (1)公式两边的函数名称一致. (2)将α看作锐角时，原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号，即为等号右边的符号 注意点： (1)公式的角为任意角. (2)口诀：“函数名不变，符号看象限”. 二、给角求值 例1　求下列各三角函数式的值. (1)cos 210°；(2)sin ； (3)sin ；(4)cos(-1 920°). 解　(1)cos 210°=cos(30°+180°) =-cos 30°=-. (2)sin =sin =sin . (3)sin =-sin . (4)cos(-1 920°)=cos 1 920° =cos(120°+5×360°)=cos 120° =cos(180°-60°)=-cos 60° =-. 反思感悟　利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”——用sin(-α)=-sin α，cos(-α)=cos α转化. (2)“大化小”——用终边相同的角的三角函数值相等化为0到2π之间的角. (3)“小化锐”——用α±π与π-α相应的公式将大于的角转化为锐角. (4)“锐求值”——得锐角三角函数后求值. 跟踪训练1　(1)cos 750°=　　　　；sin(-2 040°)=　　　　；  (2)计算：sin=　　　　.  答案　(1)　(2)1 解析　(1)cos 750°=cos(2×360°+30°)=cos 30°=； sin(-2 040°)=-sin 2 040° =-sin(5×360°+240°)=-sin 240° =-sin(180°+60°)=sin 60°=. (2)原式=-sin =-sin =sin =1. 三、给值(式)求值问题 例2　(1)已知sin(α+π)=-0.3，则sin(2π-α)=　　　　；  (2)已知=　　　　　.  答案　(1)-0.3　(2)- 解析　(1)∵sin(α+π)=-sin α=-0.3， ∴sin α=0.3， ∴sin(2π-α)=-sin α=-0.3. (2) =-. 延伸探究　若本例(2)中的条件不变，如何求？ 解　 = =. 反思感悟　解决给值(式)求值问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系，从而灵活选择诱导公式求解，一般可从两角的和、差的关系入手分析，解题时注意整体思想的运用. 跟踪训练2　已知sin β=cos(α+β)=-1，则sin(α+2β)的值为(　　) A.1 B.-1 C. D. 答案　D 解析　由cos(α+β)=-1，得α+β=2kπ+π(k∈Z)， 则α+2β=(α+β)+β=2kπ+π+β(k∈Z)， sin(α+2β)=sin(2kπ+π+β)=sin(β+π) =-sin β=-. 四、利用诱导公式化简 例3　化简：. 解　原式= ==1. 反思感悟　利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值. 跟踪训练3　化简：. 解　原式= ==1. 1.知识清单： (1)特殊关系角的终边对称性. (2)三组诱导公式. (3)给角求值、给值(式)求值问题. (4)利用诱导公式化简. 2.方法归纳：公式法、构造法、转化与化归. 3.常见误区：符号的确定. 1.如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P则cos(π-θ)的值为(　　) A.- B. C. D. 答案　C 2.的值为(　　) A.- B. C. D. 答案　C 解析　原式= =-. 3.化简：=　　　　.  答案　-1 解析　原式= ==-1. 4.已知=　　　　.  答案　- 解析　 =-. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共24分 1.sin 240°+cos(-150°)的值为(　　) A.- B.-1 C.1 D. 答案　A 解析　原式=sin(180°+60°)+cos 150° =-sin 60°+cos(180°-30°) =-sin 60°-cos 30° =-. 2.(多选)下列三角函数中，与sin 的值相同的是(　　) A.sin B. C. D. 答案　CD 解析　sin . 对于A，sin ； 对于B； 对于C，sin ； 对于D，-. 3.已知200°角的终边上有一点(-1，a)，则sin 160°等于(　　) A.-a B. C.- D 答案　C 解析　由题意知sin 200°= 所以sin 160°=sin(-200°+360°) =-sin 200°=-. 4.已知角α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是(　　) A.sin α=sin β B.sin(α-2π)=sin β C.cos α=cos β D.cos(2π-α)=-cos β 答案　C 解析　由角α和β的终边关于x轴对称，可知β=-α+2kπ(k∈Z)，故cos α=cos β. 5.(多选)已知函数f(α)=sin 则以下结论恒成立的是(　　) A.f(-α)=-f(α) B.f(-α)=f(α) C.f(2π-α)=f(α) D.f(2π-α)=-f(α) 答案　AC 解析　对于A，B，f(-α)=sin=-f(α)，所以A正确，B错误； 对于C，D，f(2π-α)=sin =f(α)，所以C正确，D错误. 6.已知sin 的值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　sin =sin. 7.(5分)计算：=　　　　.  答案　0 解析　原式= ==0. 8.(5分)已知cos(π+α)=-则cos(α+3π)+cos(α-π)=　　　　.  答案　- 解析　∵cos(π+α)=-cos α=- ∴cos(α+3π)+cos(α-π)=cos(α+π)-cos α =-2cos α=-. 9.(10分)化简：(1)；(4分) (2)已知sin(5π+α)= 求的值.(6分) 解　(1)原式= ==-cos α. (2)∵sin(5π+α)=. ∴ = ==3. 10.(10分)已知角α终边上一点P(-4，3)， 求的值. 解　点P到原点O的距离 |OP|==5. 根据三角函数的定义得sin α= = =. 11.已知cos(508°-α)=则cos(212°+α)等于(　　) A.- B. C. D. 答案　B 解析　因为cos(508°-α) =cos(360°+148°-α) =cos(148°-α)= 所以cos(212°+α)=cos(360°+α-148°) =cos(α-148°)=cos(148°-α)=. 12.(多选)已知A=(k∈Z)，则A的值是(　　) A.-1 B.-2 C.1 D.2 答案　BD 解析　当k=2n，n∈Z时， A==2， 当k=2n+1，n∈Z时， A= ==-2. 13.(多选)在△ABC中，下列四个式子的值为常数的是(　　) A.sin(A+B)+sin C B.cos(A+B)+cos C C.sin(2A+2B)+sin 2C D.cos(2A+2B)+cos 2C 答案　BC 解析　对于A，sin(A+B)+sin C=sin C+sin C=2sin C； 对于B，cos(A+B)+cos C=-cos C+cos C=0； 对于C，sin(2A+2B)+sin 2C =sin[2(A+B)]+sin 2C =sin[2(π-C)]+sin 2C =sin(2π-2C)+sin 2C =-sin 2C+sin 2C=0； 对于D，cos(2A+2B)+cos 2C =cos[2(A+B)]+cos 2C =cos[2(π-C)]+cos 2C =cos(2π-2C)+cos 2C =cos 2C+cos 2C =2cos 2C. 14.(5分)已知f(x)=的值为　　　　.  答案　-2 解析　因为 f =sin ； f-2 =sin. 所以f=-2. 15.(5分)设函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2 024)=-1，则 f(2 025)=　　　　.  答案　1 解析　∵f(2 024)=asin(2 024π+α)+bcos(2 024π+β)=-1， ∴f(2 025)=asin(2 025π+α)+bcos(2 025π+β) =asin[π+(2 024π+α)]+bcos[π+(2 024π+β)] =-[asin(2 024π+α)+bcos(2 024π+β)]=1. 16.(11分)已知f(α)=. (1)化简f(α)；(5分) (2)若α=-求f(α)的值.(6分) 解　(1)f(α)==cos α. (2)∵α=-+(-6)×2π， ∴f(α)=f =. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 <<< 4.3　诱导公式与对称 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用. 2.理解诱导公式的推导过程. 3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题. 学习目标 南京眼和辽宁的生命之环均利用对称完美地展现了自己的和谐之美.而三角函数与(单位)圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示，例如，正弦函数、余弦函数的定义表明了圆中某些线段之间的关系.圆有很好的对称 导 语 南京眼的桥身的完美对称 辽宁生命之环的完美对称 性：以圆心为对称中心的中心对称图形；以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形. 你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨论任意角α的终边与π±α，-α有什么样的对称关系？ 一、诱导公式 二、给角求值 随堂演练 三、给值(式)求值问题 四、利用诱导公式化简 内容索引 课时对点练 4 一 诱导公式 知道角的终边与单位圆的交点坐标，你能根据三角函数的定义探究角α与-α的正弦函数、余弦函数的关系吗？能不能推导正弦函数、余弦函数的奇偶性？ 问题1 提示　sin(-α)=-sin α，cos(-α)=cos α. 正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数. 类比问题1的推导过程，你能探究角α与α+π，α-π，π-α的正弦函数、余弦函数的关系吗？ 问题2 提示　sin(α+π)=-sin α，cos(α+π)=-cos α，sin(α-π)=-sin α，cos(α-π)= -cos α，sin(π-α)=sin α，cos(π-α)=-cos α. 终边关系 角-α与角α的终边关于x轴对称 角α±π与角α的终边关于原点对称 角π-α与角α的终边关于y轴对称 图示       公式 sin(-α)= ， cos(-α)=_____ sin(α+π)= ， cos(α+π)= ， sin(α-π)= ， cos(α-π)=______ sin(π-α)= ， cos(π-α)=______ -sin α cos α -sin α -cos α -sin α -cos α sin α -cos α 知识梳理 终边关系 角-α与角α的终边关于x轴对称 角α±π与角α的终边关于原点对称 角π-α与角α的终边关于y轴对称 特点 (1)公式两边的函数名称一致. (2)将α看作锐角时，原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号，即为等号右边的符号 (1)公式的角为任意角. (2)口诀：“函数名不变，符号看象限”. 注 意 点 <<< 10 二 给角求值 　　　求下列各三角函数式的值. (1)cos 210°； 例 1 cos 210°=cos(30°+180°)=-cos 30°=-. 12 (2)sin ； sin =sin =sin . 13 (3)sin ； sin =-sin . 14 (4)cos(-1 920°). cos(-1 920°)=cos 1 920° =cos(120°+5×360°)=cos 120° =cos(180°-60°)=-cos 60° =-. 15 反 思 感 悟 (1)“负化正”——用sin(-α)=-sin α，cos(-α)=cos α转化. (2)“大化小”——用终边相同的角的三角函数值相等化为0到2π之间的角. (3)“小化锐”——用α±π与π-α相应的公式将大于的角转 化为锐角. (4)“锐求值”——得锐角三角函数后求值. 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 　　　　　(1)cos 750°=　　；sin(-2 040°)=　　； 跟踪训练 1 cos 750°=cos(2×360°+30°)=cos 30°=； sin(-2 040°)=-sin 2 040° =-sin(5×360°+240°)=-sin 240° =-sin(180°+60°)=sin 60°=. 　 17 (2)计算：sin=　　. 原式=-sin =-sin =sin =1. 1 18 三 给值(式)求值问题 　　　(1)已知sin(α+π)=-0.3，则sin(2π-α)=　　　； 例 2 -0.3 ∵sin(α+π)=-sin α=-0.3， ∴sin α=0.3， ∴sin(2π-α)=-sin α=-0.3. 20 (2)已知=　　　. =-. - 21 若本例(2)中的条件不变，如何求？ = =. 延伸探究 22 反 思 感 悟 解决给值(式)求值问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系，从而灵活选择诱导公式求解，一般可从两角的和、差的关系入手分析，解题时注意整体思想的运用. 　　　　　已知sin β=cos(α+β)=-1，则sin(α+2β)的值为 A.1 B.-1 C. D. 跟踪训练 2 √ 由cos(α+β)=-1，得α+β=2kπ+π(k∈Z)， 则α+2β=(α+β)+β=2kπ+π+β(k∈Z)， sin(α+2β)=sin(2kπ+π+β)=sin(β+π) =-sin β=-. 24 四 利用诱导公式化简 　　　化简：. 例 3 原式===1. 26 反 思 感 悟 利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值. 　　　　　化简：. 跟踪训练 3 原式===1. 28 1.知识清单： (1)特殊关系角的终边对称性. (2)三组诱导公式. (3)给角求值、给值(式)求值问题. (4)利用诱导公式化简. 2.方法归纳：公式法、构造法、转化与化归. 3.常见误区：符号的确定. 课堂小结 29 随堂演练 五 1 2 3 4 1.如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P 则cos(π-θ)的值为 A.- B. C. D. √ 2.的值为 A.- B. C. D. 1 2 3 4 √ 原式= =-. 3.化简：=　　. 1 2 3 4 原式===-1. -1 4.已知=　　. 1 2 3 4 =-. 　- 课时对点练 六 答案 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A CD C C AC C 0 - 题号 11 12 13 14　 　15 答案 B BD BC -2 　 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (1)原式===-cos α. (2)∵sin(5π+α)=，∴sin α=-. ∴ = ==-=3. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 点P到原点O的距离 |OP|==5. 根据三角函数的定义得sin α=，cos α=-， = ===×=-. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)f(α)==cos α. (2)∵α=-=+(-6)×2π， ∴f(α)=f=cos =cos =cos =. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.sin 240°+cos(-150°)的值为 A.- B.-1 C.1 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 答案 原式=sin(180°+60°)+cos 150° =-sin 60°+cos(180°-30°) =-sin 60°-cos 30° =-. 2.(多选)下列三角函数中，与sin 的值相同的是 A.sin B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 sin . 对于A，sin ； 对于B； 对于C，sin ； 对于D，-. 答案 3.已知200°角的终边上有一点(-1，a)，则sin 160°等于 A.-a B. C.- D √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知sin 200°= 所以sin 160°=sin(-200°+360°) =-sin 200°=-. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知角α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是 A.sin α=sin β B.sin(α-2π)=sin β C.cos α=cos β D.cos(2π-α)=-cos β √ 答案 由角α和β的终边关于x轴对称，可知β=-α+2kπ(k∈Z)，故cos α=cos β. 5.(多选)已知函数f(α)=sin 则以下结论恒成立的是 A.f(-α)=-f(α) B.f(-α)=f(α) C.f(2π-α)=f(α) D.f(2π-α)=-f(α) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 对于A，B，f(-α)=sin=-f(α)，所以A正确，B错误； 对于C，D，f(2π-α)=sin =f(α)，所以C正确， D错误. 6.已知sin 的值为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 sin =sin. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.计算：=　　. 原式= ==0. 答案 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知cos(π+α)=-则cos(α+3π)+cos(α-π)=　　. ∵cos(π+α)=-cos α=- ∴cos(α+3π)+cos(α-π)=cos(α+π)-cos α =-2cos α=-. 答案 　- 48 9.化简：(1)； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原式===-cos α. 答案 (2)已知sin(5π+α)=求的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ∵sin(5π+α)=. ∴ = ==3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知角α终边上一点P(-4，3)，求的值. 答案 点P到原点O的距离 |OP|==5. 根据三角函数的定义得sin α= == . 11.已知cos(508°-α)=则cos(212°+α)等于 A.- B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为cos(508°-α) =cos(360°+148°-α) =cos(148°-α)= 所以cos(212°+α)=cos(360°+α-148°) =cos(α-148°)=cos(148°-α)=. 12.(多选)已知A=(k∈Z)，则A的值是 A.-1 B.-2 C.1 D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当k=2n，n∈Z时， A==2， 当k=2n+1，n∈Z时， A= ==-2. 答案 13.(多选)在△ABC中，下列四个式子的值为常数的是 A.sin(A+B)+sin C B.cos(A+B)+cos C C.sin(2A+2B)+sin 2C D.cos(2A+2B)+cos 2C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，sin(A+B)+sin C=sin C+sin C=2sin C； 对于B，cos(A+B)+cos C=-cos C+cos C=0； 对于C，sin(2A+2B)+sin 2C =sin[2(A+B)]+sin 2C =sin[2(π-C)]+sin 2C =sin(2π-2C)+sin 2C =-sin 2C+sin 2C=0； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于D，cos(2A+2B)+cos 2C =cos[2(A+B)]+cos 2C =cos[2(π-C)]+cos 2C =cos(2π-2C)+cos 2C =cos 2C+cos 2C =2cos 2C. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知f(x)=的值为　　. 因为 f =sin ； f-2 =sin. 所以f=-2. 答案 -2 15.设函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2 024)=-1，则f(2 025)=　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 答案 1 ∵f(2 024)=asin(2 024π+α)+bcos(2 024π+β)=-1， ∴f(2 025)=asin(2 025π+α)+bcos(2 025π+β) =asin[π+(2 024π+α)]+bcos[π+(2 024π+β)] =-[asin(2 024π+α)+bcos(2 024π+β)]=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知f(α)=. (1)化简f(α)； 答案 f(α)==cos α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若α=-求f(α)的值. ∵α=-+(-6)×2π， ∴f(α)=f =. 答案 第一章 <<< $$