第一章 §4 4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（北师大版2019）

第一章 <<< 4.2　单位圆与正弦函数、 余弦函数的基本性质 1.会利用单位圆研究正弦、余弦函数的基本性质. 2.能利用正弦、余弦函数的基本性质解决相关的问题. 学习目标 根据三角函数的定义可知，“单位圆上点的坐标就是三角函数”.因此，单位圆的性质与三角函数的性质有天然的联系，单位圆是研究三角函数性质的好工具.这节课，我们就利用单位圆研究正弦、余弦函数的基本性质. 导 语 一、正弦、余弦函数的性质 二、正弦、余弦函数的定义域 随堂演练 三、正弦、余弦函数的单调性 四、正弦、余弦函数的值域与最值 内容索引 课时对点练 4 一 正弦、余弦函数的性质   正弦函数(y=sin x) 余弦函数(y=cos x) 定义域 R 值域 _______ 最小值 当x=k∈Z时，ymin=-1 当x= ，k∈Z时，ymin=-1 最大值 当x=k∈Z时，ymax=1 当x= ，k∈Z时，ymax=1 周期性 周期函数，最小正周期为____ [-1，1] 2kπ- (2k+1)π 2kπ+ 2kπ 2π 知识梳理   正弦函数(y=sin x) 余弦函数(y=cos x) 单调性 在区间k∈Z上 单调递增； 在区间k∈Z上 单调递减 在区间[2kπ，2kπ+π]，k∈Z上单调递减； 在区间[2kπ-π，2kπ]，k∈Z上单调递增 (1)终边相同的角的正弦、余弦函数值相等，即sin(α+2kπ)= sin α，cos(α+2kπ)=cos α，k∈Z，α∈R. (2)正弦函数、余弦函数都不是单调函数，但它们都有无数个单调区间. 注 意 点 <<< 8 二 正弦、余弦函数的定义域 　　　求下列函数的定义域. (1)y=； 例 1 自变量x应满足2sin x-≥0， 即sin x≥. 图中阴影部分就是满足条件的角x的取值范围， 即. 10 (2)y=lg. 由题意知，自变量x应满足不等式组 即 则不等式组的解集如图(阴影部分)所示， ∴. 11 将本例(1)改为求y=的定义域. 自变量x应满足 图中阴影部分就是满足条件的角x的取值范围， 即. 延伸探究 12 反 思 感 悟 (1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制. (2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集. 　　　　　求函数y=的定义域. 跟踪训练 1 要使有意义， 则必须满足1-sin x≠0， 即sin x≠1， 则函数的定义域是. 14 三 正弦、余弦函数的单调性 　　　函数y=cos x的一个单调递增区间为 A. B.(0，π) C. D.(π，2π) 例 2 √ ∵y=cos x的单调递增区间为k∈Z， 令k=1得x∈ 故选D. 16 反 思 感 悟 利用单位圆有助于理解记忆正弦、余弦函数的单调区间，特别注意不连贯的单调区间不能使用“∪”连接. 　　　　　求下列函数的单调区间. (1)y=sin x，x∈[-π，π]； 跟踪训练 2 y=sin x在x∈[-π，π]上的单调递增区间为 . 18 (2)y=cos x，x∈[-π，π]. y=cos x在x∈[-π，π]上的单调递增区间为[-π，0]，单调递减区间为[0，π]. 19 四 正弦、余弦函数的值域与最值 　　　(1)求函数y=cos x的值域. 例 3 ∵y=cos x在区间上单调递减， ∴当x=0时，ymax=1， 当x= ∴y=cos x. 21 (2)已知函数y=asin x+1的最大值为3，求它的最小值. 当a>0时，ymax=a×1+1=3，得a=2， ∴当sin x=-1时，ymin=2×(-1)+1=-1； 当a<0时，ymax=a×(-1)+1=3，得a=-2， ∴当sin x=1时，ymin=-2×1+1=-1. ∴它的最小值为-1. 22 反 思 感 悟 (1)求正弦、余弦函数的值域或最值时应注意定义域，解题时可借助图象结合正弦、余弦函数的单调性进行分析. (2)对于含有参数的值域或最值，应注意对参数分类讨论. 　　　　　求函数y=2+cos x，x∈的值域. 跟踪训练 3 由单位圆，可知当x∈时， cos x∈ . 24 1.知识清单： (1)正弦、余弦函数的定义域. (2)正弦、余弦函数的值域与最值. (3)正弦、余弦函数的单调性. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：单调区间漏写k∈Z，特殊角函数值记忆错误造成三角不等式解集有误. 课堂小结 25 随堂演练 五 1 2 3 4 1.sin 390°的值为 A. B. C. D. √ sin 390°=sin(30°+360°)=sin 30°=. 2.函数y=cos x，x∈的单调递减区间为　　　　. 1 2 3 4 [0，π] 3.函数y=的定义域为　　 　　　　　　　　　　. 1 2 3 4 要使函数有意义， 则 如图所示，角α的终边须落在阴影部分(包括边界)， 所以函数的定义域为. 4.函数y=-2sin x，x∈的值域为　　　　. 1 2 3 4 由x∈ ∴y∈[-2，1]， ∴y=-2sin x，x∈的值域为[-2，1]. [-2，1] 课时对点练 六 答案 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A A C B AC D 题号 　8 答案 题号 11 12 13 14 　15 答案 A AC A ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 当a>0时， 当a<0时， 解得 ∴a=2，b=-2或a=b=-2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)∵f(x)=-sin x， 根据正弦函数y=sin x的单调性可知， f(x)的单调递减区间为(k∈Z)， 单调递增区间为(k∈Z). (2)∵f(x)在上单调递减，∴⊆， 即-<a≤.∴a的取值范围是. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)函数f(x)的定义域是R. 因为f(x+2π)= ==f(x)， 所以f(x)是周期函数. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (2)由正弦函数的基本性质， 可知在区间(k∈Z)上， 函数y=sin x单调递增， 而此时函数h(x)=2-sin x单调递减， 从而可知此时函数f(x)单调递增， 故可知函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (3)设t=sin x， 则t∈， 所以1≤2-t<<≤1. 故f(x)的值域为. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.函数f(x)=2sin x的最小正周期为 A.2π B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 答案 ∵sin(x+2π)=sin x， ∴f(x+2π)=f(x)， ∴函数f(x)=2sin x的最小正周期为2π. 2.函数y=2sin x的单调递减区间是 A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 3.函数y=2-sin x的最大值及取最大值时x的值为 A.ymax=3，x= B.ymax=1，x=2kπ+(k∈Z) C.ymax=3，x=2kπ-(k∈Z) D.ymax=3，x=2kπ+(k∈Z) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由函数性质得ymax=3，此时sin x=-1，即x=2kπ-k∈Z. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.在[0，2π]上，函数y=的定义域是 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意得2sin x- . 答案 5.(多选)函数y=sin x在区间上的单调递增区间和最大值分别为 A. B. C.1 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 由单位圆中作出角 且最大值为1， 故选AC. 6.已知函数f(x)=loga(x+5)+3(a>0且a≠1)的图象过定点A，以原点为顶点，x轴的非负半轴为始边的角α的终边过点A，则cos(-6π+α)等于 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 在f(x)=loga(x+5)+3中令x+5=1，得x=-4，得f(-4)=3，所以定点A的坐标为(-4，3). 因为角α的终边过点A， 所以cos(-6π+α)=cos α=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.y=3sin x，x∈的值域为　　　　　　. 借助单位圆可知，函数f(x)=sin x，x∈ ≤3sin x≤3. 答案 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.满足sin α-cos α>0的α的取值范围是　 　　　　　　　　. 由图可解. 答案 　 46 9.已知函数y=acos x+b的最大值是0，最小值是-4，求a，b的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当a>0时， 当a<0时解得 ∴a=2，b=-2或a=b=-2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知f(x)=-sin x. (1)试写出f(x)的单调区间； 答案 ∵f(x)=-sin x， 根据正弦函数y=sin x的单调性可知， f(x)的单调递减区间为(k∈Z)， 单调递增区间为(k∈Z). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若f(x)在上单调递减，求实数a的取值范围. 答案 ∵f(x)在上单调递减， ∴ 即-. ∴a的取值范围是. 11.已知a=c=0.3-2，则 A.c>a>b B.b>c>a C.a>c>b D.c>b>a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 答案 因为1>a=>1，所以c>a>b. 12.(多选)下列说法正确的是 A.y=|sin x|的定义域为R B.y=3sin x+1的最小值为1 C.y=-sin x为周期函数 D.y=sin x-1的单调递增区间为(k∈Z) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 √ 对于B，y=3sin x+1的最小值为-3+1=-2； 对于D，y=sin x-1的单调递增区间为k∈Z， 故BD错误，AC正确. 13.已知f(x)=x∈Z，则f(x)的值域为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.若则函数y=sin 2x-sin x+1的最小值为　 　. 令t=sin x， ∵x∈ ∴y=t2-t+1= ∴当t=. 答案 　 15.(多选)定义域f(x)=cos(sin x)为“正余弦”函数，则下列说法中正确的是 A.f(x)的定义域为R B.2π是f(x)的一个周期 C.f(x)在上单调递减 D.f(x)的最小值为-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 答案 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，令t=sin x.∵x∈R，则t∈[-1，1]， ∴y=cos t有意义，即f(x)的定义域为R，故A正确； 对于B，f(x+2π)=cos[sin(x+2π)]=cos(sin x)=f(x)，即2π是f(x)的一个周期，故B正确； 对于C，t=sin x在 上单调递减，故C正确； 对于D，由t=sin x∈[-1，1]，而y=cos t在[-1，0]上为增函数，[0，1]上为减函数，所以f(x)的最小值为cos 1(或cos(-1))不是-1，故D错误. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知函数f(x)=. (1)判定函数f(x)是否为周期函数； 答案 函数f(x)的定义域是R. 因为f(x+2π)===f(x)， 所以f(x)是周期函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求函数f(x)的单调递增区间； 答案 由正弦函数的基本性质， 可知在区间(k∈Z)上， 函数y=sin x单调递增， 而此时函数h(x)=2-sin x单调递减， 从而可知此时函数f(x)单调递增， 故可知函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)当x∈时，求f(x)的值域. 答案 设t=sin x 则t∈ 所以1≤2-t<≤1. 故f(x)的值域为. 第一章 <<< $$ 4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 [学习目标]　1.会利用单位圆研究正弦、余弦函数的基本性质.2.能利用正弦、余弦函数的基本性质解决相关的问题. 导语 根据三角函数的定义可知，“单位圆上点的坐标就是三角函数”.因此，单位圆的性质与三角函数的性质有天然的联系，单位圆是研究三角函数性质的好工具.这节课，我们就利用单位圆研究正弦、余弦函数的基本性质. 一、正弦、余弦函数的性质 知识梳理 正弦函数(y=sin x) 余弦函数(y=cos x) 定义域 R 值域 [-1，1] 最小值 当x=2kπ-k∈Z时，ymin=-1 当x=(2k+1)π，k∈Z时，ymin=-1 最大值 当x=2kπ+k∈Z时，ymax=1 当x=2kπ，k∈Z时，ymax=1 周期性 周期函数，最小正周期为2π 单调性 在区间k∈Z上单调递增； 在区间k∈Z上单调递减 在区间[2kπ，2kπ+π]，k∈Z上单调递减； 在区间[2kπ-π，2kπ]，k∈Z上单调递增 注意点： (1)终边相同的角的正弦、余弦函数值相等，即sin(α+2kπ)=sin α，cos(α+2kπ)=cos α，k∈Z，α∈R. (2)正弦函数、余弦函数都不是单调函数，但它们都有无数个单调区间. 二、正弦、余弦函数的定义域 例1　求下列函数的定义域. (1)y=； (2)y=lg. 解　(1)自变量x应满足2sin x-≥0， 即sin x≥. 图中阴影部分就是满足条件的角x的取值范围， 即. (2)由题意知，自变量x应满足不等式组 即 则不等式组的解集如图(阴影部分)所示， ∴. 延伸探究　将本例(1)改为求y=的定义域. 解　自变量x应满足 图中阴影部分就是满足条件的角x的取值范围， 即. 反思感悟　(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制. (2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集. 跟踪训练1　求函数y=的定义域. 解　要使有意义， 则必须满足1-sin x≠0， 即sin x≠1， 则函数的定义域是. 三、正弦、余弦函数的单调性 例2　函数y=cos x的一个单调递增区间为(　　) A. B.(0，π) C. D.(π，2π) 答案　D 解析　∵y=cos x的单调递增区间为k∈Z， 令k=1得x∈故选D. 反思感悟　利用单位圆有助于理解记忆正弦、余弦函数的单调区间，特别注意不连贯的单调区间不能使用“∪”连接. 跟踪训练2　求下列函数的单调区间. (1)y=sin x，x∈[-π，π]； (2)y=cos x，x∈[-π，π]. 解　(1)y=sin x在x∈[-π，π]上的单调递增区间为. (2)y=cos x在x∈[-π，π]上的单调递增区间为[-π，0]，单调递减区间为[0，π]. 四、正弦、余弦函数的值域与最值 例3　(1)求函数y=cos x的值域. 解　∵y=cos x在区间上单调递减， ∴当x=0时，ymax=1， 当x= ∴y=cos x. (2)已知函数y=asin x+1的最大值为3，求它的最小值. 解　当a>0时，ymax=a×1+1=3，得a=2， ∴当sin x=-1时，ymin=2×(-1)+1=-1； 当a<0时，ymax=a×(-1)+1=3，得a=-2， ∴当sin x=1时，ymin=-2×1+1=-1. ∴它的最小值为-1. 反思感悟　(1)求正弦、余弦函数的值域或最值时应注意定义域，解题时可借助图象结合正弦、余弦函数的单调性进行分析. (2)对于含有参数的值域或最值，应注意对参数分类讨论. 跟踪训练3　求函数y=2+cos x，x∈的值域. 解　由单位圆，可知当x∈时， cos x∈. 1.知识清单： (1)正弦、余弦函数的定义域. (2)正弦、余弦函数的值域与最值. (3)正弦、余弦函数的单调性. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：单调区间漏写k∈Z，特殊角函数值记忆错误造成三角不等式解集有误. 1.sin 390°的值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　sin 390°=sin(30°+360°)=sin 30°=. 2.函数y=cos x，x∈的单调递减区间为　　　　　　.  答案　[0，π] 3.函数y=的定义域为　　　　　　　　　　　　.  答案　 解析　要使函数有意义， 则 如图所示，角α的终边须落在阴影部分(包括边界)， 所以函数的定义域为. 4.函数y=-2sin x，x∈的值域为　　　　　.  答案　[-2，1] 解析　由x∈ ∴y∈[-2，1]， ∴y=-2sin x，x∈的值域为[-2，1]. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.函数f(x)=2sin x的最小正周期为(　　) A.2π B. C. D. 答案　A 解析　∵sin(x+2π)=sin x， ∴f(x+2π)=f(x)， ∴函数f(x)=2sin x的最小正周期为2π. 2.函数y=2sin x的单调递减区间是(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 答案　A 3.函数y=2-sin x的最大值及取最大值时x的值为(　　) A.ymax=3，x= B.ymax=1，x=2kπ+(k∈Z) C.ymax=3，x=2kπ-(k∈Z) D.ymax=3，x=2kπ+(k∈Z) 答案　C 解析　由函数性质得ymax=3，此时sin x=-1，即x=2kπ-k∈Z. 4.在[0，2π]上，函数y=的定义域是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　依题意得2sin x-. 5.(多选)函数y=sin x在区间上的单调递增区间和最大值分别为(　　) A. B. C.1 D. 答案　AC 解析　由单位圆中作出角且最大值为1，故选AC. 6.已知函数f(x)=loga(x+5)+3(a>0且a≠1)的图象过定点A，以原点为顶点，x轴的非负半轴为始边的角α的终边过点A，则cos(-6π+α)等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　在f(x)=loga(x+5)+3中令x+5=1，得x=-4，得f(-4)=3，所以定点A的坐标为(-4，3). 因为角α的终边过点A， 所以cos(-6π+α)=cos α=-. 7.(5分)y=3sin x，x∈的值域为　　　　　　.  答案　 解析　借助单位圆可知，函数f(x)=sin x，x∈≤3sin x≤3. 8.(5分)满足sin α-cos α>0的α的取值范围是　　　　　　　　　.  答案　 解析　由图可解. 9.(10分)已知函数y=acos x+b的最大值是0，最小值是-4，求a，b的值. 解　当a>0时， 当a<0时 解得 ∴a=2，b=-2或a=b=-2. 10.(10分)已知f(x)=-sin x. (1)试写出f(x)的单调区间；(4分) (2)若f(x)在上单调递减，求实数a的取值范围.(6分) 解　(1)∵f(x)=-sin x， 根据正弦函数y=sin x的单调性可知，f(x)的单调递减区间为(k∈Z)， 单调递增区间为(k∈Z). (2)∵f(x)在上单调递减， ∴ 即-. ∴a的取值范围是. 11.已知a=c=0.3-2，则(　　) A.c>a>b B.b>c>a C.a>c>b D.c>b>a 答案　A 解析　因为1>a=>1，所以c>a>b. 12.(多选)下列说法正确的是(　　) A.y=|sin x|的定义域为R B.y=3sin x+1的最小值为1 C.y=-sin x为周期函数 D.y=sin x-1的单调递增区间为(k∈Z) 答案　AC 解析　对于B，y=3sin x+1的最小值为-3+1=-2；对于D，y=sin x-1的单调递增区间为 k∈Z，故BD错误，AC正确. 13.已知f(x)=x∈Z，则f(x)的值域为(　　) A. B. C. D. 答案　A 14.(5分)若则函数y=sin 2x-sin x+1的最小值为　　　　.  答案　 解析　令t=sin x， ∵x∈ ∴y=t2-t+1= ∴当t=. 15.(多选)定义域f(x)=cos(sin x)为“正余弦”函数，则下列说法中正确的是(　　) A.f(x)的定义域为R B.2π是f(x)的一个周期 C.f(x)在上单调递减 D.f(x)的最小值为-1 答案　ABC 解析　对于A，令t=sin x.∵x∈R，则t∈[-1，1]， ∴y=cos t有意义，即f(x)的定义域为R，故A正确； 对于B，f(x+2π)=cos[sin(x+2π)]=cos(sin x)=f(x)，即2π是f(x)的一个周期，故B正确； 对于C，t=sin x在上单调递减，故C正确； 对于D，由t=sin x∈[-1，1]，而y=cos t在[-1，0]上为增函数，[0，1]上为减函数，所以f(x)的最小值为cos 1(或cos(-1))不是-1，故D错误. 16.(12分)已知函数f(x)=. (1)判定函数f(x)是否为周期函数；(3分) (2)求函数f(x)的单调递增区间；(4分) (3)当x∈时，求f(x)的值域.(5分) 解　(1)函数f(x)的定义域是R. 因为f(x+2π)= ==f(x)， 所以f(x)是周期函数. (2)由正弦函数的基本性质， 可知在区间(k∈Z)上， 函数y=sin x单调递增， 而此时函数h(x)=2-sin x单调递减， 从而可知此时函数f(x)单调递增， 故可知函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z). (3)设t=sin x 则t∈ 所以1≤2-t<≤1. 故f(x)的值域为. 学科网（北京）股份有限公司 $$