第一章 §4 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（北师大版2019）

4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 [学习目标]　1.理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义.2.会求角的正弦、余弦的值.3.会判断正弦、余弦函数值的符号. 导语 在初中，为了便于理解锐角三角函数的概念，我们以锐角为其中一个角构造一个直角三角形，利用不同边的比值定义了该锐角的三角函数(正弦函数、余弦函数、正切函数)，但这种定义显然不适用于任意角的三角函数的定义.这节课就让我们一起探寻任意角的三角函数的本质，并对任意角的三角函数给出一个科学合理的定义吧. 一、任意角的正弦函数和余弦函数 问题1　在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，当α分别为时， (1)写出对应的点P1，P2，P3的坐标； (2)P1，P2，P3的坐标与角的正、余弦的值有什么关系. 提示　(1)P1. (2)每个角的正弦值都等于角的终边与单位圆交点的纵坐标，每个角的余弦值都等于角的终边与单位圆交点的横坐标. 知识梳理 1.对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，把点P的纵坐标v定义为角α的正弦值，记作v=sin α；把点P的横坐标u定义为角α的余弦值，记作u=cos α.  2.对于给定的角α，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以v=sin α，u=cos α分别是以角α为自变量，以单位圆上的点的纵坐标、横坐标为函数值的正弦、余弦函数. 例1　在单位圆中，α=-. (1)画出角α； (2)求角α的终边与单位圆的交点P的坐标； (3)求角α的正弦函数值和余弦函数值. 解　(1)如图，以原点为角的顶点，以x轴的非负半轴为始边，顺时针旋转 即为所作的角. (2)设点P(u，v)，则u= 即点P的坐标为. (3)由任意角正弦函数、余弦函数的定义， 得sin . 反思感悟　利用定义求角的正弦、余弦函数值关键在于确定角的终边与单位圆的交点坐标. 二、利用角α的终边上任意一点的坐标求三角函数值 问题2　已知Q(x，y)是角α终边上除原点外的一点，如何求sin α与cos α？ 提示　如图所示，根据相似三角形可得，sin α=. 知识梳理 设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则sin α=. 注意点： (1)r的值恒大于零. (2)角α的正弦、余弦函数值的大小与在终边上的点的位置无关. 例2　已知角θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ=x，求sin θ的值. 解　由题意知r=|OP|= 由三角函数定义得cos θ=. 又∵cos θ=x. ∵x≠0，∴x=±1.当x=1时，P(1，3)， 此时sin θ=. 当x=-1时，P(-1，3)， 此时sin θ=. 综上，sin θ的值为. 延伸探究　在本例中，将“cos θ=”，求x的值. 解　∵|OP|= ∴sin θ= 解得x2=1，∴x=±1. 反思感悟　(1)已知角α终边上除原点外的任意一点的坐标求三角函数值的方法 ①先利用角α的终边与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应的三角函数值. ②在角α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α=.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便. (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 跟踪训练1　已知角α的终边过点P(-3a，4a)(a≠0)，求2sin α+cos α的值. 解　r==5|a|. (1)若a>0，则r=5a，角α是第二象限角， sin α= ∴2sin α+cos α==1； (2)若a<0，则r=-5a，角α是第四象限有， sin α= ∴2sin α+cos α=-=-1. 综上所述，2sin α+cos α的值为1或-1. 三、已知角的终边落在某一直线上，求其三角函数值 例3　已知角α的终边在直线y=-3x上，求10sin α+的值. 解　由题意知，cos α≠0. 设角α的终边上除原点外的任一点为P(k，-3k)(k≠0)， 则x=k，y=-3k， r=|k|. (1)当k>0时，r=k，α是第四象限角， sin α= ∴10sin α+ =-3=0； (2)当k<0时，r=-k，α是第二象限角， sin α= ∴10sin α+) =3=0. 综上所述，10sin α+=0. 反思感悟　在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标为(a，b)，则角α的正弦函数值与余弦函数值分别为sin α= . 跟踪训练2　已知角α的终边在直线3x+4y=0上，求2sin α+cos α的值. 解　在直线3x+4y=0上任取一点P(4a，-3a)(a≠0)， 则r==5|a|. (1)当a>0时，r=5a，故sin α= cos α= 所以2sin α+cos α=2×； (2)当a<0时，r=-5a，故sin α= cos α= 所以2sin α+cos α=2×. 故2sin α+cos α的值为. 四、正弦、余弦函数值符号的判断 问题3　借助单位圆以及正弦、余弦函数的定义，大家探究一下三角函数值的符号与什么有关？ 提示　正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号，余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号. 知识梳理 正弦、余弦函数值在各象限的符号 象限 三角函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 sin α + + - - cos α + - - + 注意点： (1)口诀：“一全正、二正弦、三全负、四余弦.” (2)易忽略正弦、余弦函数在坐标轴上的符号. 例4　(1)若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　D 解析　∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴点P在第四象限. (2)判断下列各式的符号： ①sin 145°cos(-210°)；②sin 3·cos 4. 解　①∵145°是第二象限角， ∴sin 145°>0， ∵-210°=150°-360°， ∴-210°是第二象限角， ∴cos(-210°)<0， ∴sin 145°cos(-210°)<0. ②∵ ∴sin 3>0，cos 4<0， ∴sin 3·cos 4<0. 反思感悟　准确确定正弦函数、余弦函数中角所在象限是基础，准确记忆正弦函数、余弦函数值在各象限的符号是解决正弦、余弦函数值符号判断问题的关键. 跟踪训练3　如果点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 答案　B 解析　因为点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θcos θ<0，且2cos θ<0， 则所以角θ是第二象限角. 1.知识清单： (1)任意角的正弦函数和余弦函数. (2)利用角α的终边上除原点外的任意一点的坐标求三角函数值. (3)已知角的终边落在某一直线上，求其三角函数值. (4)正弦、余弦函数值符号的判断. 2.方法归纳：转化与化归、分类讨论. 3.常见误区：正弦、余弦函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点的位置无关. 1.已知sin α=则角α的终边与单位圆的交点坐标是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设交点坐标为P(x，y)， 则y=sin α= 所以点P. 2.(多选)若角α的终边上一点的坐标为P(3，4)，则下列结论正确的有(　　) A.sin α= B. C.cos α= D. 答案　BC 解析　点P到坐标原点的距离r==5， 所以sin α=. 3.点P(sin 216°，cos 216°)位于第　　　　象限.  答案　三 解析　∵216°是第三象限角，∴sin 216°<0，cos 216°<0，∴点P位于第三象限. 4.已知角α的终边在直线y=x上，则sin α+cos α=　　　.  答案　± 解析　在直线y=(x≠0)， 则r=|x|. ①若x>0，则r=x， 从而sin α= cos α= ∴sin α+cos α=. ②若x<0，则r=-x， 从而sin α= cos α= ∴sin α+cos α=-. 综上，sin α+cos α=±. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.若角α的终边过点(5，12)，则cos α-sin α等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意知r==13， 所以cos α=. 2.若cos α=-且角α的终边经过点P(x，2)，则点P的横坐标x等于(　　) A.2 B. C. D. 答案　D 解析　因为cos α=-<0，所以x<0， 又r= 所以x=-2. 3.点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由题意知α=. 4.已知角α的终边上一点的坐标为则角α的最小正值为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　∵sin ∴角α的终边在第四象限， ∴角α的最小正值为2π-. 5.(多选)下列三角函数值的符号判断正确的是(　　) A.cos(-280°)<0 B.sin 500°>0 C.sin D.>0 答案　BCD 解析　∵-280°=80°-360°，∴-280°是第一象限角，∴cos(-280°)>0； ∵500°=140°+360°， ∴500°是第二象限角，∴sin 500°>0； ∵-是第三象限角， ∴sin<0； ∵是第一象限角， ∴>0. 6.已知sin θcos θ<0，且|cos θ|=cos θ，则角θ是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 答案　D 解析　∵sin θcos θ<0，∴sin θ，cos θ一正一负， 又|cos θ|=cos θ，∴cos θ>0， 综上有sin θ<0，cos θ>0， 即θ为第四象限角. 7.(5分)已知角α的终边与单位圆交于点P则cos α=　　　　，sin α=　　　　.  答案　- 解析　∵点P在单位圆上， 则 ∴cos α=-. 8.(5分)已知角α的终边经过点(3a-9，a+2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　(-2，3] 解析　由cos α≤0，sin α>0可知 解得-2<a≤3. 9.(10分)已知角α的终边落在直线y=2x上，求sin α，cos α的值. 解　当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P(1，2)， 由r=OP= 得sin α=. 当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点Q(-1，-2)， 由r=OQ= 得sin α=. 10.(11分)已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边落在x轴的非负半轴上，终边经过点A(4，y0)，其中y0≠0. (1)若cos α=求y0的值；(5分) (2)若y0=-4，求的值.(6分) 解　(1)由题意知 因为cos α=. 解得y0=±2. (2)当y0=-4时，sin α=- 所以. 11.已知角α的终边经过点(2a+1，a-2)，且cos α=-则实数a的值是(　　) A.-2 B. C.-2或 D.-1 答案　A 解析　∵r= cos α= ∴9(a2+1)=5(2a+1)2且2a+1<0，解得a=-2. 12.(多选)若角α为第二象限角，则下列函数值可能是负值的是(　　) A.sin α B.cos α C.sin D. 答案　BCD 解析　由题意，若α为第二象限角，则cos α<0，sin α>0<0. 13.(15分)若角α的终边与直线y=3x重合且sin α<0，点P(m，n)是α终边上一点，且|OP|=则m-n=　　　　.  答案　2 解析　∵y=3x且sin α<0， ∴点P(m，n)位于y=3x在第三象限的图象上， 且m<0，n<0，n=3m. ∴|OP|= ∴m=-1，n=-3， ∴m-n=2. 14.(5分)若300°角的终边所在直线上一点为(-4，a)，则a的值为　　　　.  答案　4 解析　∵-4<0，∴点(-4，a)在120°角的终边上， sin 120°=. 15.函数y=的值的集合是(　　) A.{-4，0，2} B.{4，0，2} C.{-4，0，-2} D.{2，0} 答案　A 解析　由sin x≠0，cos x≠0知，x的终边不能落在坐标轴上， 当x为第一象限角时，sin x>0，cos x>0， sin xcos x>0，y=0； 当x为第二象限角时，sin x>0，cos x<0， sin xcos x<0，y=2； 当x为第三象限角时，sin x<0，cos x<0， sin xcos x>0，y=-4； 当x为第四象限角时，sin x<0，cos x>0， sin xcos x<0，y=2. 故函数y=的值的集合为{-4，0，2}. 16.(12分)已知且lg(cos α)有意义. (1)试判断角α的终边所在的象限；(5分) (2)若角α的终边与单位圆相交于点M求m的值及sin α的值.(7分) 解　(1)∵ ∴sin α<0. ① ∵lg(cos α)有意义，∴cos α>0. ② 由①②得，角α的终边在第四象限. (2)∵点M在单位圆上， ∴+m2=1， 解得m=±. 又α是第四象限角， ∴m<0，∴m=-. 由三角函数定义知，sin α=-. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 <<< 4.1　单位圆与任意角的正弦 函数、余弦函数定义 1.理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义. 2.会求角的正弦、余弦的值. 3.会判断正弦、余弦函数值的符号. 学习目标 在初中，为了便于理解锐角三角函数的概念，我们以锐角为其中一个角构造一个直角三角形，利用不同边的比值定义了该锐角的三角函数(正弦函数、余弦函数、正切函数)，但这种定义显然不适用于任意角的三角函数的定义.这节课就让我们一起探寻任意角的三角函数的本质，并对任意角的三角函数给出一个科学合理的定义吧. 导 语 一、任意角的正弦函数和余弦函数 二、利用角α的终边上任意一点的坐标求三角函数值 随堂演练 三、已知角的终边落在某一直线上，求其三角函数值 四、正弦、余弦函数值符号的判断 内容索引 课时对点练 4 一 任意角的正弦函数和余弦函数 在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，当α分别为时， (1)写出对应的点P1，P2，P3的坐标； 问题1 提示　P1. (2)P1，P2，P3的坐标与角的正、余弦的值有什么关系. 问题1 提示　每个角的正弦值都等于角的终边与单位圆交点的纵坐标，每个角的余弦值都等于角的终边与单位圆交点的横坐标. 1.对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，把点P的 定义为角α的正弦值，记作 ；把点P的 定义为角α的余弦值，记作 .  2.对于给定的角α，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以v=sin α，u=cos α分别是以角α为自变量，以单位圆上的点的纵坐标、横坐标为函数值的正弦、余弦函数. 纵坐标v v=sin α 横坐标u u=cos α 知识梳理 　　　在单位圆中，α=-. (1)画出角α； 例 1 如图，以原点为角的顶点，以x轴的非负半轴为始边，顺时针旋转 即为所作的角. 9 (2)求角α的终边与单位圆的交点P的坐标； 设点P(u，v)，则u= 即点P的坐标为. 10 (3)求角α的正弦函数值和余弦函数值. 由任意角正弦函数、余弦函数的定义， 得sin . 11 利用定义求角的正弦、余弦函数值关键在于确定角的终边与单位圆的交点坐标. 反 思 感 悟 12 二 利用角α的终边上任意一点的坐标求三角函数值 提示　如图所示，根据相似三角形可得，sin α=. 已知Q(x，y)是角α终边上除原点外的一点，如何求sin α与cos α？ 问题2 设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则sin α=. 知识梳理 (1)r的值恒大于零. (2)角α的正弦、余弦函数值的大小与在终边上的点的位置无关. 注 意 点 <<< 16 　　　已知角θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ=x，求sin θ的值. 例 2 17 由题意知r=|OP|= 由三角函数定义得cos θ=. 又∵cos θ=x. ∵x≠0，∴x=±1.当x=1时，P(1，3)， 此时sin θ=. 当x=-1时，P(-1，3)，此时sin θ=. 综上，sin θ的值为. 18 在本例中，将“cos θ=”，求x的值. ∵|OP|= ∴sin θ= 解得x2=1，∴x=±1. 延伸探究 19 反 思 感 悟 (1)已知角α终边上除原点外的任意一点的坐标求三角函数值的方法 ①先利用角α的终边与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应的三角函数值. ②在角α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r> 0)，则sin α=.当已知α的终边上一点求α的三角 函数值时，用该方法更方便. 反 思 感 悟 (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 　　　　　已知角α的终边过点P(-3a，4a)(a≠0)，求2sin α+cos α的值. 跟踪训练 1 22 r==5|a|. (1)若a>0，则r=5a，角α是第二象限角， sin α= ∴2sin α+cos α==1； (2)若a<0，则r=-5a，角α是第四象限有， sin α= ∴2sin α+cos α=-=-1. 综上所述，2sin α+cos α的值为1或-1. 23 三 已知角的终边落在某一直线上，求其三角函数值 　　　已知角α的终边在直线y=-3x上，求10sin α+的值. 例 3 25 由题意知，cos α≠0. 设角α的终边上除原点外的任一点为P(k，-3k)(k≠0)， 则x=k，y=-3k， r=|k|. (1)当k>0时，r=k，α是第四象限角， sin α= ∴10sin α+ =-3=0； 26 (2)当k<0时，r=-k，α是第二象限角， sin α= ∴10sin α+) =3=0. 综上所述，10sin α+=0. 27 反 思 感 悟 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标为(a，b)，则角α的正弦函数值与余弦函数值分别 为sin α= . 　　　　　已知角α的终边在直线3x+4y=0上，求2sin α+cos α的值. 跟踪训练 2 29 在直线3x+4y=0上任取一点P(4a，-3a)(a≠0)， 则r==5|a|. (1)当a>0时，r=5a，故sin α= cos α= 所以2sin α+cos α=2×； 30 (2)当a<0时，r=-5a，故sin α= cos α= 所以2sin α+cos α=2×. 故2sin α+cos α的值为. 31 四 正弦、余弦函数值符号的判断 借助单位圆以及正弦、余弦函数的定义，大家探究一下三角函数值的符号与什么有关？ 问题3 提示　正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号，余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号. 正弦、余弦函数值在各象限的符号 象限 三角函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 sin α + + - - cos α + - - + 知识梳理 (1)口诀：“一全正、二正弦、三全负、四余弦.” (2)易忽略正弦、余弦函数在坐标轴上的符号. 注 意 点 <<< 35 　　　(1)若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 例 4 √ ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴点P在第四象限. 36 (2)判断下列各式的符号： ①sin 145°cos(-210°)； ∵145°是第二象限角， ∴sin 145°>0， ∵-210°=150°-360°， ∴-210°是第二象限角， ∴cos(-210°)<0， ∴sin 145°cos(-210°)<0. 37 ②sin 3·cos 4. ∵ ∴sin 3>0，cos 4<0， ∴sin 3·cos 4<0. 38 反 思 感 悟 准确确定正弦函数、余弦函数中角所在象限是基础，准确记忆正弦函数、余弦函数值在各象限的符号是解决正弦、余弦函数值符号判断问题的关键. 　　　　　如果点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 跟踪训练 3 √ 因为点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θcos θ<0， 且2cos θ<0， 则所以角θ是第二象限角. 40 1.知识清单： (1)任意角的正弦函数和余弦函数. (2)利用角α的终边上除原点外的任意一点的坐标求三角函数值. (3)已知角的终边落在某一直线上，求其三角函数值. (4)正弦、余弦函数值符号的判断. 2.方法归纳：转化与化归、分类讨论. 3.常见误区：正弦、余弦函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点的位置无关. 课堂小结 41 随堂演练 五 1 2 3 4 1.已知sin α=则角α的终边与单位圆的交点坐标是 A. B. C. D. √ 设交点坐标为P(x，y)， 则y=sin α= 所以点P. 2.(多选)若角α的终边上一点的坐标为P(3，4)，则下列结论正确的有 A.sin α= B. C.cos α= D. 1 2 3 4 √ √ 点P到坐标原点的距离r==5， 所以sin α=. 3.点P(sin 216°，cos 216°)位于第　　　象限. 1 2 3 4 ∵216°是第三象限角，∴sin 216°<0，cos 216°<0，∴点P位于第三象限. 三 4.已知角α的终边在直线y=x上，则sin α+cos α=　　　. 1 2 3 4 　± 1 2 3 4 在直线y=(x≠0)， 则r=|x|. ①若x>0，则r=x， 从而sin α= cos α= ∴sin α+cos α=. 1 2 3 4 ②若x<0，则r=-x， 从而sin α= cos α= ∴sin α+cos α=-. 综上，sin α+cos α=±. 课时对点练 六 答案 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D A D BCD D -　± (-2，3］ 题号 11 12 13 14　 　15 答案 A BCD 2 4 　A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P(1，2)， 由r=OP==， 得sin α==，cos α==. 当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点Q(-1，-2)， 由r=OQ==， 得sin α==-，cos α==-. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)由题意知，=， 因为cos α=，所以=. 解得y0=±2. (2)当y0=-4时，sin α=-，cos α=， 所以==. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)∵=-， ∴sin α<0. ① ∵lg(cos α)有意义，∴cos α>0. ② 由①②得，角α的终边在第四象限. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (2)∵点M在单位圆上， ∴+m2=1， 解得m=±. 又α是第四象限角， ∴m<0，∴m=-. 由三角函数定义知，sin α=-. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.若角α的终边过点(5，12)，则cos α-sin α等于 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 答案 由题意知r==13， 所以cos α=. 2.若cos α=-且角α的终边经过点P(x，2)，则点P的横坐标x等于 A.2 B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 因为cos α=-<0，所以x<0， 又r= 所以x=-2. 答案 3.点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知α=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知角α的终边上一点的坐标为则角α的最小正值为 A. B. C. D. √ 答案 ∵sin ∴角α的终边在第四象限， ∴角α的最小正值为2π-. 5.(多选)下列三角函数值的符号判断正确的是 A.cos(-280°)<0 B.sin 500°>0 C.sin D.>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵-280°=80°-360°，∴-280°是第一象限角，∴cos(-280°)>0； ∵500°=140°+360°， ∴500°是第二象限角，∴sin 500°>0； ∵-是第三象限角， ∴sin<0； ∵是第一象限角， ∴>0. 答案 6.已知sin θcos θ<0，且|cos θ|=cos θ，则角θ是 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 ∵sin θcos θ<0，∴sin θ，cos θ一正一负， 又|cos θ|=cos θ，∴cos θ>0， 综上有sin θ<0，cos θ>0， 即θ为第四象限角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知角α的终边与单位圆交于点P则cos α=　　，sin α=　　. ∵点P在单位圆上， 则 ∴cos α=-. 答案 　- 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知角α的终边经过点(3a-9，a+2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是　　　　. 由cos α≤0，sin α>0可知 解得-2<a≤3. 答案 (-2，3] 63 9.已知角α的终边落在直线y=2x上，求sin α，cos α的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P(1，2)， 由r=OP= 得sin α=. 当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点Q(-1，-2)， 由r=OQ= 得sin α=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边落在x轴的非负半轴上，终边经过点A(4，y0)，其中y0≠0. (1)若cos α=求y0的值； 答案 由题意知 因为cos α=. 解得y0=±2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若y0=-4，求的值. 答案 当y0=-4时，sin α=- 所以. 11.已知角α的终边经过点(2a+1，a-2)，且cos α=-则实数a的值是 A.-2 B. C.-2或 D.-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 答案 ∵r= cos α= ∴9(a2+1)=5(2a+1)2且2a+1<0，解得a=-2. 12.(多选)若角α为第二象限角，则下列函数值可能是负值的是 A.sin α B.cos α C.sin D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 √ √ 由题意，若α为第二象限角，则cos α<0，sin α>0为第一象限角或第三象限角，当为第一象限角时，为第三象限角时，<0. 13.若角α的终边与直线y=3x重合且sin α<0，点P(m，n)是α终边上一点，且|OP|=则m-n=　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 2 ∵y=3x且sin α<0， ∴点P(m，n)位于y=3x在第三象限的图象上， 且m<0，n<0，n=3m. ∴|OP|= ∴m=-1，n=-3， ∴m-n=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.若300°角的终边所在直线上一点为(-4，a)，则a的值为　 　. ∵-4<0，∴点(-4，a)在120°角的终边上， sin 120°=. 答案 4 15.函数y=的值的集合是 A.{-4，0，2} B.{4，0，2} C.{-4，0，-2} D.{2，0} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由sin x≠0，cos x≠0知，x的终边不能落在坐标轴上， 当x为第一象限角时，sin x>0，cos x>0， sin xcos x>0，y=0； 当x为第二象限角时，sin x>0，cos x<0， sin xcos x<0，y=2； 当x为第三象限角时，sin x<0，cos x<0， sin xcos x>0，y=-4； 当x为第四象限角时，sin x<0，cos x>0， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 sin xcos x<0，y=2. 故函数y=的值的集合为{-4，0，2}. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知且lg(cos α)有意义. (1)试判断角α的终边所在的象限； 答案 ∵ ∴sin α<0. ① ∵lg(cos α)有意义，∴cos α>0. ② 由①②得，角α的终边在第四象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵点M在单位圆上， ∴+m2=1， 解得m=±. 又α是第四象限角， ∴m<0，∴m=-. 由三角函数定义知，sin α=-. 答案 (2)若角α的终边与单位圆相交于点M求m的值及sin α的值. 第一章 <<< $$