第一章 §3 弧度制-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（北师大版2019）

[学习目标]　1.了解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集之间的一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式. 导语 生活中在度量时，会用到不同的单位制，比如，度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制.角的度量是否也可以用不同的单位制呢？ 一、角度制与弧度制 问题1　角度是怎么定义的？ 提示　把圆周等分成360份，称其中每一份所对的圆心角为1度，这种用度做单位来度量角的制度称为角度制. 问题2　观察图(1)，图(2)，弧AB与弧A'B'都与什么有关？ 提示　与圆心角和半径有关. 问题3　弧长与半径的比值有什么关系呢？ 提示　弧长与半径的比值等于圆心角. 知识梳理 1.角度制和弧度制 角度制 以度作为单位来度量角的方法，称作角度制，用周角的作为一个单位，称为1度角 弧度制 在单位圆中，把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角.其单位用符号rad表示，读作弧度.以弧度作为单位来度量角的方法，称作弧度制 2.弧度数的计算 注意点： (1)弧度制是十进制，角度制是六十进制. (2)无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值. (3)在单位圆中，每一段弧的长度就是它所对圆心的正角的弧度数. 例1　下列各命题中，真命题是(　　) A.1弧度就是1°的圆心角所对的弧 B.1弧度是长度等于半径的弧 C.1弧度是1°的弧与1°的角之和 D.1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小 答案　D 解析　根据弧度制和角度制的规定可知A，B，C均错误，D正确. 反思感悟　(1)圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的. (2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系. 跟踪训练1　下列说法正确的是(　　) A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D.用弧度表示的角都是正角 答案　A 解析　对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以是负角或零角，故D错误. 二、角度制与弧度制的换算 知识梳理 1.角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°=2π rad 2π rad=360° 180°=π rad π rad=180° 1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad=≈57°18' 2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 弧度 0 度 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 π 2π 注意点： (1)牢记180°=π rad，充分利用1°=进行换算. (2)角度化弧度时，将分、秒化成度，再化成弧度. 例2　把下列角度化成弧度或弧度化成角度. (1)72°；(2)-300°；(3)2；(4)-. 解　(1)72°=72× rad. (2)-300°=-300× rad. (3)2 rad=2×. (4)-=-40°. 反思感悟　(1)角度与弧度互化技巧 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad=180°是关键，由它可以得到：度数×=度数. (2)通常“弧度”或“rad”省略不写. 跟踪训练2　已知α=15°，β=试比较α，β，γ，θ，φ的大小. 解　α=15°=15× θ=105°=105× ∵ ∴α<β<γ<θ=φ. 三、用弧度制表示有关的角 例3　将-1 125°写成α+2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π.并判断它是第几象限角. 解　-1 125°=-1 125× =--8π. 其中<2π， 所以是第四象限角， 所以-1 125°是第四象限角. 延伸探究　在本例的条件下，在[-4π，4π]范围内找出与α终边相同的角的集合. 解　依题意，与α终边相同的角为+2kπ，k∈Z， 由-4π≤+2kπ≤4π，k∈Z， 得-k∈Z， 知k=-2，-1，0，1， 所以所求角的集合为. 反思感悟　用弧度制表示终边相同的角的两个关键点 (1)用弧度制表示终边相同的角2kπ+α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍. (2)注意角度制与弧度制不能混用，保持单位的统一性. 跟踪训练3　(1)用弧度制表示与150°角终边相同的角的集合为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　150°=150×. (2)用弧度制表示终边在如图所示阴影部分内的角θ的集合. 解　终边在射线OA上的角为θ=135°+k·360°，k∈Z， 即θ=+2kπ，k∈Z. 终边在射线OB上的角为θ=-30°+k·360°，k∈Z， 即θ=-+2kπ，k∈Z， 故终边落在阴影部分内的角θ的集合为. 四、扇形的弧长与面积公式 问题4　在初中所学习的角度制下，扇形的弧长和面积公式分别是什么？ 提示　l=. 知识梳理 n为度数 α为弧度数 扇形的弧长 l= l=αr 扇形的面积 S= S=αr2 例4　(1)已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积. 解　设扇形弧长为l， 因为圆心角72°=72× rad， 所以扇形的弧长l=αr=×20=8π， 所以扇形的面积S=×8π×20=80π. (2)已知扇形AOB的圆心角为α，周长为14. ①若这个扇形的面积为10，且α为锐角，求α的大小； ②求这个扇形的面积取得最大值时圆心角α的大小. 解　①设扇形的半径为r，弧长为l， 则 因为0<α<(rad). ②根据l+2r=14，得到l=14-2r，0<r<7. 设扇形的面积为S， 则S= 当r= 此时l=7，因为0<α<2π，则α==2(rad). 反思感悟　扇形的弧长和面积的求解策略 (1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S=αR2(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π). (2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解. 跟踪训练4　若扇形的圆心角为216°，弧长为30π，求扇形的半径及面积. 解　设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S， ∵216°=216× ∴l=αr=r=30π，解得r=25， ∴S=×30π×25=375π. 1.知识清单： (1)弧度制的概念. (2)弧度与角度的相互转化. (3)扇形的弧长与面积的计算. 2.方法归纳：消元法. 3.常见误区：弧度与角度混用. 　　　　　　　　　　　 　　　　　 1.下列说法中，错误的是(　　) A.半圆所对的圆心角的大小是π rad B.周角的大小等于2π C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 答案　D 解析　根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误. 2.与60°终边相同的角可表示为(　　) A.+k·360°(k∈Z) B.60°+2kπ(k∈Z) C.60°+2k·360°(k∈Z) D.+2kπ(k∈Z) 答案　D 3.若α=-2 rad，则α的终边在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　C 4.周长为9 cm，圆心角为1 rad的扇形面积为　　　cm2.  答案　 解析　设扇形的半径为r cm，弧长为l cm， 由题意可知 所以S=(cm2). 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.下列命题中，假命题是(　　) A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B.1°的角是周角的 C.1 rad的角比1°的角要大 D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 答案　D 解析　根据1度、1弧度的定义可知只有D为假命题. 2.已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为(　　) A.3 B.6 C.9 D.12 答案　B 解析　设扇形的半径为R，由题意可得=3， 则R=2，扇形的面积S=×6×2=6. 3.(多选)下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是(　　) A.45°+2kπ(k∈Z) B.+k·360°(k∈Z) C.-315°+k·360°(k∈Z) D.+2kπ(k∈Z) 答案　CD 解析　A，B中弧度与角度混用，不正确； 终边相同. 4.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　) 答案　C 解析　k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y=x左上部分(包含边界)，k为奇数时集合对应的区域为第三象限内直线y=x的右下部分(包含边界). 5.如果2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为(　　) A.sin 2 B. C.2sin 1 D.tan 1 答案　B 解析　由图可知，弦长AB=2，所以半径为. 6.若一个扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也变为原来的2倍，则(　　) A.扇形的面积不变 B.扇形的圆心角不变 C.扇形的面积增大到原来的2倍 D.扇形的圆心角增大到原来的2倍 答案　B 解析　∵l=αR，∴α=. 当R，l均变为原来的2倍时，α不变. 扇形的面积S=αR2， ∵α不变，∴S变为原来的4倍. 7.(5分)-135°化为弧度为　　　　 rad化为角度为　　　　.  答案　-　660° 解析　-135°=-135× rad； =660°. 8.(5分)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积= 半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是　　　　m2.(精确到1 m2)  答案　9 解析　=120°，根据题意得 弦=2×4sin (m)，矢=4-2=2(m)， 因此弧田面积=+2≈9(m2). 9.(10分)已知角α=1 200°. (1)将α改写成β+2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；(4分) (2)在区间[-4π，0]上找出与α终边相同的角.(6分) 解　(1)因为α=1 200°=1 200×的终边相同， 又<π， 所以角α是第二象限角. (2)因为与角α终边相同的角为+2kπ，k∈Z， 所以由-4π≤+2kπ≤0，k∈Z， 得-k∈Z. 因为k∈Z，所以k=-2或k=-1. 故在区间[-4π，0]上与角α终边相同的角是-. 10.(11分)圆中一条弦的长度等于半径r，求： (1)这条弦所对的劣弧长；(5分) (2)这条弦和劣弧组成的弓形的面积.(6分) 解　(1)如图，由题意得△OAB为等边三角形，所以∠AOB=. (2)过点B作BD⊥OA于点D，则BD=r·sin 所以S弓形=S扇形AOB-S△AOB=r2， 故这条弦和劣弧组成的弓形的面积为r2. 11.(多选)下列表示中正确的是(　　) A.终边在x轴上的角的集合是{α|α=kπ，k∈Z} B.终边在第二象限的角的集合为 C.终边在坐标轴上的角的集合是 D.终边在直线y=x上的角的集合是 答案　ABC 解析　A，B显然正确. 对于C，终边在x轴上的角的集合为{α|α=kπ，k∈Z}，终边在y轴上的角的集合为故C正确； 对于D，终边在直线y=x上的角的集合为故D不正确. 12.自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过1周时，小链轮转过的弧度是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意，当大链轮逆时针转过1周时，小链轮逆时针转过. 13.一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如图，设圆的半径为R， 则正方形边长为R， ∴弧长l=R， ∴α=. 14.(5分)扇形圆心角为半径为a，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为　　　　.  答案　2∶3 解析　如图，设内切圆半径为r， 则r= 所以S圆=π× S扇= 所以S圆∶S扇=2∶3. 15.若角α与角x+有相同的终边，那么α与β间的关系为(　　) A.α+β=0 B.α-β=0 C.α+β=2kπ(k∈Z) D.α-β=+2kπ(k∈Z) 答案　D 解析　由题可知α=x++2k1π(k1∈Z)， β=x-+2k2π(k2∈Z)， 所以α-β=+2(k1-k2)π(k1∈Z，k2∈Z). 因为k1∈Z，k2∈Z，所以k1-k2∈Z. 所以α-β=+2kπ(k∈Z). 16.(12分)如图，动点P，Q从点A(4，0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转 弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及点P，Q各自走过的弧长. 解　如图，设P，Q第一次相遇时所用的时间是t 秒， 则t·=2π， 所以t=4， 即P，Q第一次相遇时所用的时间为4秒. 点P走过的弧长为 点Q走过的弧长为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 <<< §3　弧度制 1.了解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换. 2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集之间的一一对应关系. 3.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式. 学习目标 生活中在度量时，会用到不同的单位制，比如，度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制.角的度量是否也可以用不同的单位制呢？ 导 语 一、角度制与弧度制 二、角度制与弧度制的换算 随堂演练 三、用弧度制表示有关的角 四、扇形的弧长与面积公式 内容索引 课时对点练 4 一 角度制与弧度制 角度是怎么定义的？ 问题1 提示　把圆周等分成360份，称其中每一份所对的圆心角为1度，这种用度做单位来度量角的制度称为角度制. 观察图(1)，图(2)，弧AB与弧A'B'都与什么有关？ 问题2 提示　与圆心角和半径有关. 弧长与半径的比值有什么关系呢？ 问题3 提示　弧长与半径的比值等于圆心角. 1.角度制和弧度制 角度制 以 作为单位来度量角的方法，称作角度制，用周角的____ 作为一个单位，称为1度角 弧度制 在单位圆中，把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角.其单位用符号rad表示，读作 .以 作为单位来度量角的方法，称作弧度制 度 弧度 弧度 知识梳理 2.弧度数的计算 正 负 0 　 (1)弧度制是十进制，角度制是六十进制. (2)无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值. (3)在单位圆中，每一段弧的长度就是它所对圆心的正角的弧度数. 注 意 点 <<< 11 　　　下列各命题中，真命题是 A.1弧度就是1°的圆心角所对的弧 B.1弧度是长度等于半径的弧 C.1弧度是1°的弧与1°的角之和 D.1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小 例 1 √ 根据弧度制和角度制的规定可知A，B，C均错误，D正确. 12 (1)圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的. (2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系. 反 思 感 悟 13 　　　　　下列说法正确的是 A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D.用弧度表示的角都是正角 跟踪训练 1 √ 14 对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确； 对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误； 对于C，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，故C错误； 对于D，用弧度表示的角也可以是负角或零角，故D错误. 15 二 角度制与弧度制的换算 1.角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°= rad 2π rad=_____ 180°= rad π rad=_____ 1°= rad≈ rad 1 rad=≈_________ 2π 360° π 180° 0.017 45 57°18' 知识梳理 2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 1° 30° _____ 60° _____ 弧度 ___ ____ ___ 度 120° _____ 150° 180° _____ 360° 弧度 ___ ___ π 2π 45° 90° 0 135° 270° (1)牢记180°=π rad，充分利用1°=进行换算. (2)角度化弧度时，将分、秒化成度，再化成弧度. 注 意 点 <<< 19 　　　把下列角度化成弧度或弧度化成角度. (1)72°； 例 2 72°=72× rad. (2)-300°； -300°=-300× rad. 20 (3)2； 2 rad=2×. (4)-. -=-40°. 21 反 思 感 悟 (1)角度与弧度互化技巧 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad=180°是关键，由它可以得到：度数×=弧度数，弧度数×=度数. (2)通常“弧度”或“rad”省略不写. 　　　　　已知α=15°，β=试比较α，β，γ，θ，φ的大小. 跟踪训练 2 α=15°=15× θ=105°=105× ∵ ∴α<β<γ<θ=φ. 23 三 用弧度制表示有关的角 　　　将-1 125°写成α+2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π.并判断它是第几象限角. 例 3 -1 125°=-1 125× =--8π. 其中<2π， 所以是第四象限角， 所以-1 125°是第四象限角. 25 在本例的条件下，在[-4π，4π]范围内找出与α终边相同的角的集合. 依题意，与α终边相同的角为+2kπ，k∈Z， 由-4π≤+2kπ≤4π，k∈Z， 得-k∈Z， 知k=-2，-1，0，1， 所以所求角的集合为. 延伸探究 26 反 思 感 悟 (1)用弧度制表示终边相同的角2kπ+α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍. (2)注意角度制与弧度制不能混用，保持单位的统一性. 用弧度制表示终边相同的角的两个关键点 　　　　　(1)用弧度制表示与150°角终边相同的角的集合为 A. B. C. D. 跟踪训练 3 √ 150°=150×故用弧度制表示与150°角终边相同的角的集合为. 28 (2)用弧度制表示终边在如图所示阴影部分内的 角θ的集合. 终边在射线OA上的角为θ=135°+k·360°，k∈Z， 即θ=+2kπ，k∈Z. 终边在射线OB上的角为θ=-30°+k·360°，k∈Z， 即θ=-+2kπ，k∈Z， 故终边落在阴影部分内的角θ的集合为 . 29 四 扇形的弧长与面积公式 在初中所学习的角度制下，扇形的弧长和面积公式分别是什么？ 问题4 提示　l=.   n为度数 α为弧度数 扇形的弧长 l= l=αr  扇形的面积 S= S=αr2 知识梳理 　　　(1)已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积. 例 4 设扇形弧长为l， 因为圆心角72°=72× rad， 所以扇形的弧长l=αr=×20=8π， 所以扇形的面积S=×8π×20=80π. 33 (2)已知扇形AOB的圆心角为α，周长为14. ①若这个扇形的面积为10，且α为锐角，求α的大小； 设扇形的半径为r，弧长为l， 则 因为0<α<所以圆心角(rad). 34 ②求这个扇形的面积取得最大值时圆心角α的大小. 根据l+2r=14，得到l=14-2r，0<r<7. 设扇形的面积为S， 则S= 当r= 此时l=7，因为0<α<2π，则α==2(rad). 35 反 思 感 悟 (1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S=αR2(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π). (2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解. 扇形的弧长和面积的求解策略 　　　　　若扇形的圆心角为216°，弧长为30π，求扇形的半径及面积. 跟踪训练 4 设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S， ∵216°=216× ∴l=αr=r=30π，解得r=25， ∴S=×30π×25=375π. 37 1.知识清单： (1)弧度制的概念. (2)弧度与角度的相互转化. (3)扇形的弧长与面积的计算. 2.方法归纳：消元法. 3.常见误区：弧度与角度混用. 课堂小结 38 随堂演练 五 1 2 3 4 1.下列说法中，错误的是 A.半圆所对的圆心角的大小是π rad B.周角的大小等于2π C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 √ 根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误. 2.与60°终边相同的角可表示为 A.+k·360°(k∈Z) B.60°+2kπ(k∈Z) C.60°+2k·360°(k∈Z) D.+2kπ(k∈Z) 1 2 3 4 √ 3.若α=-2 rad，则α的终边在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1 2 3 4 √ 4.周长为9 cm，圆心角为1 rad的扇形面积为　　cm2. 1 2 3 4 设扇形的半径为r cm，弧长为l cm， 由题意可知 所以S=(cm2). 　 课时对点练 六 答案 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B CD C B B -　660° 9 题号 11 12 13 14　 　15 答案 ABC B C 2∶3 　D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (1)因为α=1 200°=1 200×==+3×2π，所以角α与的终边相同， 又<<π， 所以角α是第二象限角. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (2)因为与角α终边相同的角为 +2kπ，k∈Z， 所以由-4π≤+2kπ≤0，k∈Z， 得-≤k≤-，k∈Z. 因为k∈Z，所以k=-2或k=-1. 故在区间［-4π，0］上与角α终边相同的角是-，-. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)如图，由题意得△OAB为等边三角形，所以∠AOB=， 则弦AB所对的劣弧长为. (2)过点B作BD⊥OA于点D， 则BD=r·sin =r， 则S△AOB=·OA·BD=r2， S扇形AOB=|α|r2=，所以S弓形=S扇形AOB-S△AOB=r2， 故这条弦和劣弧组成的弓形的面积为r2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 如图，设P，Q第一次相遇时所用的时间是t 秒， 则t·+t·=2π， 所以t=4， 即P，Q第一次相遇时所用的时间为4秒. 点P走过的弧长为×4=， 点Q走过的弧长为×4=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.下列命题中，假命题是 A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B.1°的角是周角的 C.1 rad的角比1°的角要大 D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 答案 根据1度、1弧度的定义可知只有D为假命题. 2.已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为 A.3 B.6 C.9 D.12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 设扇形的半径为R，由题意可得=3， 则R=2，扇形的面积S=×6×2=6. 答案 3.(多选)下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是 A.45°+2kπ(k∈Z) B.+k·360°(k∈Z) C.-315°+k·360°(k∈Z) D.+2kπ(k∈Z) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A，B中弧度与角度混用，不正确； 的终边相同.-315°=45°-360°， 所以-315°也与45°终边相同，即与终边相同. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是 答案 √ k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y=x左上部分(包含边界)，k为奇数时集合对应的区域为第三象限内直线y=x的右下部分(包含边界). 5.如果2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为 A.sin 2 B. C.2sin 1 D.tan 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 由图可知，弦长AB=2，所以半径为 由弧长公式可得lAB=αr=. 6.若一个扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也变为原来的2倍，则 A.扇形的面积不变 B.扇形的圆心角不变 C.扇形的面积增大到原来的2倍 D.扇形的圆心角增大到原来的2倍 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵l=αR，∴α=. 当R，l均变为原来的2倍时，α不变. 扇形的面积S=αR2， ∵α不变，∴S变为原来的4倍. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.-135°化为弧度为　　 rad化为角度为　 　.  -135°=-135× rad； =660°. 答案 　- 660° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=(弦×矢+矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是　　m2.(精确到1 m2)  答案 9 59 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 =120°，根据题意得 弦=2×4sin (m)，矢=4-2=2(m)， 因此弧田面积=+2≈9(m2). 答案 60 9.已知角α=1 200°. (1)将α改写成β+2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为α=1 200°=1 200×的终边相同， 又<π， 所以角α是第二象限角. 答案 (2)在区间[-4π，0]上找出与α终边相同的角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为与角α终边相同的角为+2kπ，k∈Z， 所以由-4π≤+2kπ≤0，k∈Z， 得-k∈Z. 因为k∈Z，所以k=-2或k=-1. 故在区间[-4π，0]上与角α终边相同的角是-. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.圆中一条弦的长度等于半径r，求： (1)这条弦所对的劣弧长； 答案 如图，由题意得△OAB为等边三角形，所以∠AOB= 则弦𝐴𝐵所对的劣弧长为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)这条弦和劣弧组成的弓形的面积. 答案 过点B作BD⊥OA于点D，则BD=r·sin 所以S弓形=S扇形AOB-S△AOB=r2， 故这条弦和劣弧组成的弓形的面积为r2. 11.(多选)下列表示中正确的是 A.终边在x轴上的角的集合是{α|α=kπ，k∈Z} B.终边在第二象限的角的集合为 C.终边在坐标轴上的角的集合是 D.终边在直线y=x上的角的集合是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 答案 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A，B显然正确. 对于C，终边在x轴上的角的集合为{α|α=kπ，k∈Z}，终边在y轴上的 角的集合为 故C正确； 对于D，终边在直线y=x上的角的集合为故D 不正确. 答案 12.自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过1周时，小链轮转过的弧度是 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 由题意，当大链轮逆时针转过1周时，小链轮逆时针转过 . 13.一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 如图，设圆的半径为R， 则正方形边长为R， ∴弧长l=R， ∴α=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.扇形圆心角为半径为a，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为 　 . 如图，设内切圆半径为r， 则r= 所以S圆=π× S扇= 所以S圆∶S扇=2∶3. 答案 2∶3 15.若角α与角x+有相同的终边，那么α与β间的关系为 A.α+β=0 B.α-β=0 C.α+β=2kπ(k∈Z) D.α-β=+2kπ(k∈Z) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题可知α=x++2k1π(k1∈Z)， β=x-+2k2π(k2∈Z)， 所以α-β=+2(k1-k2)π(k1∈Z，k2∈Z). 因为k1∈Z，k2∈Z，所以k1-k2∈Z. 所以α-β=+2kπ(k∈Z). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图，动点P，Q从点A(4，0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及点P，Q各自走过的弧长. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，设P，Q第一次相遇时所用的时间是t 秒， 则t·=2π， 所以t=4， 即P，Q第一次相遇时所用的时间为4秒. 点P走过的弧长为 点Q走过的弧长为. 答案 第一章 <<< $$