第一章 §1 周期变化 §2 任意角-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（北师大版2019）

[学习目标]　1.理解周期与周期函数的概念.2.了解任意角的概念，能判定正角、负角和零角.3.理解象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法.　 导语 东升西落照苍穹， 影短影长角不同. 昼夜循环潮起伏， 冬春更替草枯荣. 不难发现，这首诗中描绘了大量的自然界重复出现的现象，太阳东升西落、昼夜循环、潮涨潮落、冬去春来(四季更替)、草枯草荣等都说明了周期变化.数学中也存在着周期变化这种现象，这节课我们就研究数学中的周期性. 一、函数周期性的应用 问题1　游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中圆心O距离地面40.5米，半径40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题： (1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？ (2)转四圈需要多少时间？ 提示　(1)是周期现象.(2)48分钟. 知识梳理 1.周期函数与周期的概念 一般地，对于函数y=f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x+T∈D且满足f(x+T)=f(x)，那么函数y=f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期. 2.最小正周期：如果在周期函数y=f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y=f(x)的最小正周期.若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期. 注意点： (1)周期函数的三个条件：存在不为0的常数T；x必须是定义域内的任意值；f(x+T)=f(x). (2)周期函数的周期不止一个. 例1　已知函数y=f(x)的图象如图所示，试回答下列问题. (1)求函数的周期； (2)画出函数y=f(x+1)的图象； (3)你能写出函数y=f(x)的解析式吗？ 解　(1)可直接由函数y=f(x)的图象得到其周期T=2. (2)将函数y=f(x)的图象向左平移1个单位长度，就得到函数y=f(x+1)的图象，y=f(x+1)的图象如图所示. (3)可先求出定义域为一个周期的函数y=f(x)，x∈[-1，1]的解析式，为y=1-|x|，x∈[-1，1]，再根据函数y=f(x)的图象和周期性，得到函数y=f(x)的解析式y=1-|x-2k|，x∈[2k-1，2k+1]，k∈Z. 反思感悟　(1)应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”“化无限为有限”的目的. (2)只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”，就可以把问题转化到一个周期内来解决. 跟踪训练1　已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数有f(x+1)=f(1-x)成立. (1)证明：f(x)是周期为4的函数； (2)若f(x)=(0<x≤1)，求x∈[-5，-4]时，函数f(x)的解析式. (1)证明　由f(x+1)=f(1-x)可得f(-x)=f(x+2). 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数， 有f(-x)=-f(x)，故f(x+2)=-f(x)， 从而f(x+4)=-f(x+2)=f(x)， 所以f(x)是周期为4的函数. (2)解　由f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)=0， 当x∈[-1，0)时，-x∈(0，1]，f(x)=-f(-x)=- 故当x∈[-1，0]时，f(x)=-. 当x∈[-5，-4]时，x+4∈[-1，0]， f(x)=f(x+4)=- 所以当x∈[-5，-4]时， 函数f(x)的解析式为f(x)=-. 二、角的概念推广 问题2　周日早晨，小明起床后，发现自己的闹钟停在5∶00这一刻，他立即更换了电池，调整到了正常时间6∶30，并开始正常的学习.小明在调整闹钟时间时，按照顺时针的方向旋转，时针与分针各转过了多少度？ 提示　时针转了-45°，分针转了-540°. 知识梳理 1.角的概念：如图，平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB，形成角α. 其中点O是角α的顶点，射线OA是角α的始边，射线OB是角α的终边. 2.角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类： 类型 定义 图示 正角 按逆时针方向旋转形成的角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角 注意点： (1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”. (2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，即箭头代表着角的正负. 例2　写出图(1)，(2)中的角α，β，γ的度数. 解　图(1)中，α=360°-30°=330°； 图(2)中，β=-360°+60°+150°=-150°； γ=360°+60°+(-β)=360°+60°+150°=570°. 反思感悟　在写出图中角的度数时要注意角的始边和旋转的方向. 跟踪训练2　如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β=　　　　.  答案　-40° 解析　两次旋转后形成的角为60°+(-820°)=-760°，β=-760°+720°=-40°. 三、终边相同的角 问题3　-32°，328°，-392°这些角有什么内在联系？ 提示　由图可知，角的终边相同. 知识梳理 终边相同的角的表示 一般地，给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和. 例3　(1)已知α=-1 845°，在与α终边相同的角中，求-360°~720°之间的角. 解　因为-1 845°=-45°+(-5)×360°， 所以-1 845°角与-45°角的终边相同， 所以与角α终边相同的角的集合是{β|β=-45°+k·360°，k∈Z}， -360°~720°之间的角分别是-45°，315°，675°. (2)写出终边在平面直角坐标系x轴上的角的集合. 解　因为与α终边相同的角的集合为{β|β=α+k·360°，k∈Z}， 所以终边在x轴非负半轴的角的集合为A={β|β=0°+k·360°，k∈Z}， 终边在x轴非正半轴的角的集合为B={β|β=180°+k·360°，k∈Z}， 所以终边在x轴上的角的集合为A∪B={β|β=0°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=180°+k·360°，k∈Z}={β|β=k·180°，k∈Z}. (3)如图所示. ①分别写出终边在射线OA，OB上的角的集合； ②写出终边在阴影部分(包括边界)的角的集合. 解　①终边在射线OA上的角的集合是{α|α=k·360°+210°，k∈Z}. 终边在射线OB上的角的集合是{α|α=k·360°+300°，k∈Z}. ②终边在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°+210°≤α≤k·360°+300°，k∈Z}. 反思感悟　(1)终边相同的角的表示 ①与角α终边相同的角都可以表示成α+k·360°(k∈Z)的形式. ②终边相同的角相差360°的整数倍. (2)区域角的表示方法 要先找到区域角的边界对应的角，再根据旋转方向写出一个周期内的区域角，最后再加上周期即可. 跟踪训练3　(1)若角2α与240°角的终边相同，则α等于(　　) A.120°+k·360°，k∈Z B.120°+k·180°，k∈Z C.240°+k·360°，k∈Z D.240°+k·180°，k∈Z 答案　B 解析　角2α与240°角的终边相同， 则2α=240°+k·360°，k∈Z， 则α=120°+k·180°，k∈Z. (2)下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是(　　) A.-37° B.143° C.379° D.-143° 答案　D 解析　与37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°+k·180°，k∈Z， 当k=-1时，37°-180°=-143°. (3)已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围. 解　终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1={α|α=30°+k·180°，k∈Z}，终边在180°-75°=105°角的终边所在直线上的角的集合为S2={α|α=105°+k·180°，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°+k·180°≤α<105°+k·180°，k∈Z}. 四、象限角 问题4　把角放到平面直角坐标系中，使角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，角的终边可能落在哪里？ 提示　象限内或坐标轴上. 知识梳理 将角放在一个平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，以角的终边(除端点外)在平面直角坐标系的位置对角分类： 角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，这个角就不属于任何象限. 注意点： (1)象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小. (2)象限角不能比较大小. 例4　(1)(多选)下列四个角为第二象限角的是(　　) A.-200° B.100° C.220° D.420° 答案　AB 解析　-200°=-360°+160°，在0°~360°范围内，与-200°终边相同的角为160°，它是第二象限角，同理100°为第二象限角，220°为第三象限角，420°为第一象限角. (2)若α是第二象限角，试分别确定2α的终边所在位置. 解　∵α是第二象限角， ∴90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z). ∴180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°(k∈Z)， ∴2α的终边位于第三或第四象限，或在y轴的非正半轴上. 方法一　∵45°+k·180°<<90°+k·180°(k∈Z)， 当k=2n(n∈Z)时， 45°+n·360°<<90°+n·360°(n∈Z)； 当k=2n+1(n∈Z)时， 225°+n·360°<<270°+n·360°(n∈Z)， ∴的终边位于第一或第三象限. 方法二　将坐标系的每个象限二等分，得到8个区域.自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图所示. ∵α是第二象限角，标号与角α所在象限一致的区域，即为的终边所在的象限， ∴Ⅱ号区域所在象限为的终边所在象限. ∴的终边位于第一或第三象限. 反思感悟　(1)象限角的判定方法 ①当0°≤α<360°时，直接写出结果. ②当α<0°或α≥360°时，将α化为β+k·360°，k∈Z(0°≤β<360°)，转化为判断角β所属的象限. (2)由α所在的象限求角 所在的象限与α所在象限的标号相同. 跟踪训练4　(1)1 112°角是第　　　　象限角.  答案　一 解析　∵1 112°=32°+3×360°，∴1 112°角的终边与32°角的终边相同，均为第一象限角. (2)已知α是第二象限角，则180°-α是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 答案　A 解析　由α是第二象限角可得，90°+k·360°<α<180°+k·360°，k∈Z. 所以180°-(180°+k·360°)<180°-α<180°-(90°+k·360°)，k∈Z， 即-k·360°<180°-α<90°-k·360°，k∈Z. 所以180°-α为第一象限角. 1.知识清单： (1)函数的周期. (2)角的概念. (3)终边相同的角. (4)象限角. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 3.常见误区：锐角与小于90°角的区别，终边相同的角的表示中漏掉k∈Z. 1.与-30°角终边相同的角是(　　) A.-330° B.150° C.30° D.330° 答案　D 解析　因为所有与-30°角终边相同的角都可以表示为α=-30°+k·360°，k∈Z，取k=1，得α=330°. 2.2 025°角是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 答案　C 解析　2 025°=225°+5×360°， 所以2 025°角的终边与225°角的终边相同，为第三象限角. 3.已知f(x)满足对∀x∈R，f(x+2)=f(x)，且当x∈[1，3)时，f(x)=log2x+1，则f(2 025)的值为(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 答案　C 解析　根据题意，f(x)满足对∀x∈R，f(x+2)=f(x)，则f(x)是周期为2的周期函数，则f(2 025)=f(1+2×1 012)=f(1)=log21+1=1. 4.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是　　　　　　　　　　　　.  答案　{α|45°+k·360°<α<150°+k·360°，k∈Z} 解析　观察图形可知，角α的集合是 {α|45°+k·360°<α<150°+k·360°，k∈Z}. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.下列函数图象中，不具有周期性的是(　　) 答案　C 解析　C中x∈(-2，2)之间的图象在前后都没有重复出现. 2.(多选)下列四个结论正确的是(　　) A.-15°角是第四象限角 B.-180°角是第三象限角 C.-350°角是第一象限角 D.475°角是第三象限角 答案　AC 解析　-15°角是第四象限角；-180°角不是象限角；因为-350°=10°+(-360°)，所以-350°角是第一象限角；因为475°=115°+360°，90°<115°<180°，所以475°角是第二象限角，故选AC. 3.与-468°角的终边相同的角的集合是(　　) A.{α|α=456°+k·360°，k∈Z} B.{α|α=252°+k·360°，k∈Z} C.{α|α=96°+k·360°，k∈Z} D.{α|α=-252°+k·360°，k∈Z} 答案　B 解析　因为-468°=252°+(-2)×360°，所以252°角与-468°角的终边相同，所以与-468°角的终边相同的角为252°+k·360°，k∈Z. 4.已知α是锐角，那么2α是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.小于180°的正角 D.第一或第二象限角 答案　C 解析　∵0°<α<90°，∴0°<2α<180°，∴2α是小于180°的正角. 5.如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是(　　) A.{α|-45°≤α≤120°} B.{α|120°≤α≤315°} C.{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°，k∈Z} D.{α|120°+k·360°≤α≤315°+k·360°，k∈Z} 答案　C 解析　如题图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°，k∈Z}. 6.角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为(　　) A.α+β=k·360°，k∈Z B.α+β=180°+k·360°，k∈Z C.α-β=180°+k·360°，k∈Z D.α-β=k·360°，k∈Z 答案　B 解析　方法一　(特值法)令α=30°，β=150°，代入选项得只有B符合题意. 方法二　(直接法)因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以β=180°-α+k·360°，k∈Z， 即α+β=180°+k·360°，k∈Z. 7.(5分)函数f(n)=9+(-1)n(n∈N)的周期为　　　　.  答案　2 解析　当n∈N时，该函数的取值为10，8，10，8，…，故周期为2. 8.(5分)在0°~360°范围内，与-60°角的终边在同一条直线上的角为　　　　.  答案　120°，300° 解析　与-60°角的终边在同一条直线上的角可表示为β=-60°+k·180°，k∈Z. ∵所求角在0°~360°范围内， ∴0°≤-60°+k·180°≤360°， 解得k∈Z， ∴k=1或2， 当k=1时，β=120°，当k=2时，β=300°. 9.(10分)已知α=-1 910°. (1)把α写成β+k·360°(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；(4分) (2)求θ，使θ与α的终边相同，且-720°≤θ<0°.(6分) 解　(1)α=-1 910°=250°+(-6)×360°， 它是第三象限角. (2)令θ=250°+n·360°(n∈Z)， 取n=-1，-2就得到符合-720°≤θ<0°的角. 250°-360°=-110°，250°-720°=-470°. 故θ=-110°或θ=-470°. 10.(10分)写出终边在直线y=-x上的角的集合. 解　终边在y=-x(x<0)上的角的集合是S1={α|α=120°+k1·360°，k1∈Z}； 终边在y=-x(x≥0)上的角的集合是S2={α|α=300°+k2·360°，k2∈Z}. 因此，终边在直线y=-x上的角的集合是S=S1∪S2={α|α=120°+k1·360°，k1∈Z}∪{α|α=300°+k2·360°，k2∈Z} ={α|α=120°+2k1·180°，k1∈Z}∪{α|α=120°+(2k2+1)·180°，k2∈Z} ={α|α=120°+n·180°，n∈Z}. 故终边在直线y=-x上的角的集合是S={α|α=120°+n·180°，n∈Z}. 11.(多选)角α=45°+k·180°(k∈Z)的终边在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　AC 解析　当k=2m+1(m∈Z)时， α=225°+2m·180°=225°+m·360°，m∈Z， 故α为第三象限角； 当k=2m(m∈Z)时，α=45°+m·360°，m∈Z， 故α为第一象限角. 故α的终边在第一或第三象限. 12.已知α为第三象限角，则终边所在的象限是(　　) A.第一或第二象限 B.第二或第三象限 C.第一或第三象限 D.第二或第四象限 答案　D 解析　方法一　∵180°+k·360°<α<270°+k·360°，k∈Z， ∴90°+k·180°<<135°+k·180°，k∈Z， 当k=2n(n∈Z)时，90°+n·360°<<135°+n·360°，n∈Z； 当k=2n+1(n∈Z)时，270°+n·360°<<315°+n·360°，n∈Z，∴为第二或第四象限角. 方法二　如图所示，将每个象限二等分，标号Ⅲ所在的区域即为终边所在的区域. 所以终边所在的象限是第二或第四象限. 13.(多选)已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么下列表示的A，B，C之间的关系正确的是(　　) A.B⊆A B.B=A∩C C.B∪C=C D.AC 答案　AC 解析　A={第一象限角}={θ|k·360°<θ<k·360°+90°，k∈Z}，B={锐角}={θ|0°<θ<90°}，C={小于90°的角}={θ|θ<90°}，∴A，C正确. 14.(5分)已知f(x)是定义在R上的周期为4的偶函数，当x∈[-2，0]时，f(x)=-2x，则f(5)=　　　　.  答案　- 解析　∵f(x)是定义在R上的周期为4的偶函数， 当x∈[-2，0]时，f(x)=-2x， ∴f(5)=f(1)=f(-1)=-2-1=-. 15.设集合M=则(　　) A.M=N B.N⊆M C.M⊆N D.M∩N=∅ 答案　C 解析　由题意得M= = 即M是由45°的奇数倍构成的集合， 又N= ={x|x=(k+1)·45°，k∈Z}， 即N是由45°的整数倍构成的集合，∴M⊆N. 16.(12分)如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1，0)出发，以逆时针方向匀速沿单位圆周旋转，已知点P在1 s内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2 s到达第三象限，经过14 s后又回到了出发点A处，求θ. 解　因为0°<θ<180°，且k·360°+180°<2θ<k·360°+270°，k∈Z，所以k=0，所以90°<θ<135°. 又因为14θ=n·360°，n∈Z， 所以θ=<135°， 所以所以n=4或5. 当n=4时，θ=. 所以θ=. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 <<< §1　周期变化　 §2　任意角 1.理解周期与周期函数的概念. 2.了解任意角的概念，能判定正角、负角和零角. 3.理解象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法. 学习目标 东升西落照苍穹， 影短影长角不同. 昼夜循环潮起伏， 冬春更替草枯荣. 不难发现，这首诗中描绘了大量的自然界重复出现的现象，太阳东升西落、昼夜循环、潮涨潮落、冬去春来(四季更替)、草枯草荣等都说明了周期变化.数学中也存在着周期变化这种现象，这节课我们就研究数学中的周期性. 导 语 一、函数周期性的应用 二、角的概念推广 随堂演练 三、终边相同的角 四、象限角 内容索引 课时对点练 4 一 函数周期性的应用 游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中圆心O距离地面40.5米，半径40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题： 问题1 提示　是周期现象. (1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？ (2)转四圈需要多少时间？ 问题1 提示　48分钟. 1.周期函数与周期的概念 一般地，对于函数y=f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x+T∈D且满足 ，那么函数y=f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的 . 2.最小正周期：如果在周期函数y=f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个 就称作函数y=f(x)的 .若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期. f(x+T)=f(x) 周期 最小 最小正数 最小正周期 知识梳理 (1)周期函数的三个条件：存在不为0的常数T；x必须是定义域内的任意值；f(x+T)=f(x). (2)周期函数的周期不止一个. 注 意 点 <<< 9 　　　已知函数y=f(x)的图象如图所示，试回答下列问题. (1)求函数的周期； 例 1 可直接由函数y=f(x)的图象得到其周期T=2. (2)画出函数y=f(x+1)的图象； 将函数y=f(x)的图象向左平移1个单位长度，就得到函数y=f(x+1)的图象，y=f(x+1)的图象如图所示. 10 (3)你能写出函数y=f(x)的解析式吗？ 可先求出定义域为一个周期的函数y=f(x)，x∈[-1，1]的解析式，为y=1-|x|，x∈[-1，1]，再根据函数y=f(x)的图象和周期性，得到函数y=f(x)的解析式y=1-|x-2k|，x∈[2k-1，2k+1]，k∈Z. 11 (1)应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”“化无限为有限”的目的. (2)只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”，就可以把问题转化到一个周期内来解决. 反 思 感 悟 12 　　　　　已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数有f(x+1)=f(1-x)成立. (1)证明：f(x)是周期为4的函数； 跟踪训练 1 由f(x+1)=f(1-x)可得f(-x)=f(x+2). 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数， 有f(-x)=-f(x)，故f(x+2)=-f(x)， 从而f(x+4)=-f(x+2)=f(x)， 所以f(x)是周期为4的函数. 13 (2)若f(x)=(0<x≤1)，求x∈[-5，-4]时，函数f(x)的解析式. 由f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)=0， 当x∈[-1，0)时，-x∈(0，1]，f(x)=-f(-x)=- 故当x∈[-1，0]时，f(x)=-. 当x∈[-5，-4]时，x+4∈[-1，0]， f(x)=f(x+4)=- 所以当x∈[-5，-4]时， 函数f(x)的解析式为f(x)=-. 14 二 角的概念推广 提示　时针转了-45°，分针转了-540°. 周日早晨，小明起床后，发现自己的闹钟停在5∶00这一刻，他立即更换了电池，调整到了正常时间6∶30，并开始正常的学习.小明在调整闹钟时间时，按照顺时针的方向旋转，时针与分针各转过了多少度？ 问题2 1.角的概念：如图，平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB，形成角α. 其中点O是角α的顶点，射线OA是角α的 ，射线OB是角α的 . 始边 终边 知识梳理 2.角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类： 类型 定义 图示 正角 按 形成的角   负角 按 形成的角   零角 一条射线 ，称它形成了一个零角   逆时针方向旋转 顺时针方向旋转 没有作任何旋转 18 (1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”. (2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，即箭头代表着角的正负. 注 意 点 <<< 19 　　　写出图(1)，(2)中的角α，β，γ的度数. 例 2 图(1)中，α=360°-30°=330°； 图(2)中，β=-360°+60°+150°=-150°； γ=360°+60°+(-β)=360°+60°+150°=570°. 20 反 思 感 悟 在写出图中角的度数时要注意角的始边和旋转的方向. 　　　　　如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β=　 　.  跟踪训练 2 两次旋转后形成的角为60°+(-820°)=-760°，β=-760°+720°=-40°. -40° 22 三 终边相同的角 提示　由图可知，角的终边相同. -32°，328°，-392°这些角有什么内在联系？ 问题3 终边相同的角的表示 一般地，给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的 的和. 整数倍 知识梳理 　　　(1)已知α=-1 845°，在与α终边相同的角中，求-360°~720°之间的角. 例 3 因为-1 845°=-45°+(-5)×360°， 所以-1 845°角与-45°角的终边相同， 所以与角α终边相同的角的集合是{β|β=-45°+k·360°，k∈Z}， -360°~720°之间的角分别是-45°，315°，675°. 26 因为与α终边相同的角的集合为{β|β=α+k·360°，k∈Z}， 所以终边在x轴非负半轴的角的集合为A={β|β=0°+k·360°，k∈Z}， 终边在x轴非正半轴的角的集合为B={β|β=180°+k·360°，k∈Z}， 所以终边在x轴上的角的集合为A∪B={β|β=0°+k·360°，k∈Z}∪ {β|β=180°+k·360°，k∈Z}={β|β=k·180°，k∈Z}. (2)写出终边在平面直角坐标系x轴上的角的集合. 27 终边在射线OA上的角的集合是{α|α=k·360°+210°，k∈Z}. 终边在射线OB上的角的集合是{α|α=k·360°+300°，k∈Z}. (3)如图所示. ①分别写出终边在射线OA，OB上的角的集合； 终边在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°+210°≤α≤k·360° +300°，k∈Z}. ②写出终边在阴影部分(包括边界)的角的集合. 28 反 思 感 悟 (1)终边相同的角的表示 ①与角α终边相同的角都可以表示成α+k·360°(k∈Z)的形式. ②终边相同的角相差360°的整数倍. (2)区域角的表示方法 要先找到区域角的边界对应的角，再根据旋转方向写出一个周期内的区域角，最后再加上周期即可. 　　　　　(1)若角2α与240°角的终边相同，则α等于 A.120°+k·360°，k∈Z B.120°+k·180°，k∈Z C.240°+k·360°，k∈Z D.240°+k·180°，k∈Z 跟踪训练 3 √ 角2α与240°角的终边相同， 则2α=240°+k·360°，k∈Z， 则α=120°+k·180°，k∈Z. 30 (2)下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是 A.-37° B.143° C.379° D.-143° √ 与37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°+k·180°，k∈Z， 当k=-1时，37°-180°=-143°. 31 (3)已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值 范围. 终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1={α|α=30°+k·180°，k∈Z}，终边在180°-75°=105°角的终边所在直线上的角的集合为S2={α|α=105°+k·180°，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°+k·180°≤α<105°+k·180°，k∈Z}. 32 四 象限角 提示　象限内或坐标轴上. 把角放到平面直角坐标系中，使角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，角的终边可能落在哪里？ 问题4 将角放在一个平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，以角的终边(除端点外)在平面直角坐标系的位置对角分类： 角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，这个角就不属于任何象限. 知识梳理 (1)象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小. (2)象限角不能比较大小. 注 意 点 <<< 36 　　　(1)(多选)下列四个角为第二象限角的是 A.-200° B.100° C.220° D.420° 例 4 √ -200°=-360°+160°，在0°~360°范围内，与-200°终边相同的角为160°，它是第二象限角，同理100°为第二象限角，220°为第三象限角，420°为第一象限角. √ 37 (2)若α是第二象限角，试分别确定2α的终边所在位置. 38 ∵α是第二象限角， ∴90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z). ∴180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°(k∈Z)， ∴2α的终边位于第三或第四象限，或在y轴的非正半轴上. 方法一　∵45°+k·180°<<90°+k·180°(k∈Z)， 当k=2n(n∈Z)时， 45°+n·360°<<90°+n·360°(n∈Z)； 39 当k=2n+1(n∈Z)时， 225°+n·360°<<270°+n·360°(n∈Z)， ∴的终边位于第一或第三象限. 40 方法二　将坐标系的每个象限二等分，得到8个区域.自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图所示. ∵α是第二象限角，标号与角α所在象限一致的区域，即为的终边所在的象限， ∴Ⅱ号区域所在象限为的终边所在象限. ∴的终边位于第一或第三象限. 41 反 思 感 悟 (1)象限角的判定方法 ①当0°≤α<360°时，直接写出结果. ②当α<0°或α≥360°时，将α化为β+k·360°，k∈Z(0°≤ β<360°)，转化为判断角β所属的象限. (2)由α所在的象限求角所在象限时，𝑛是几，就把每个象限等分成几份，再在每个区域内依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，角 所在的象限与α所在象限的标号相同. 　　　　　 (1)1 112°角是第　　象限角. 跟踪训练 4 一 ∵1 112°=32°+3×360°，∴1 112°角的终边与32°角的终边相同，均为第一象限角. 43 (2)已知α是第二象限角，则180°-α是 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 由α是第二象限角可得，90°+k·360°<α<180°+k·360°，k∈Z. 所以180°-(180°+k·360°)<180°-α<180°-(90°+k·360°)，k∈Z， 即-k·360°<180°-α<90°-k·360°，k∈Z. 所以180°-α为第一象限角. √ 44 1.知识清单： (1)函数的周期. (2)角的概念. (3)终边相同的角. (4)象限角. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 3.常见误区：锐角与小于90°角的区别，终边相同的角的表示中漏掉k∈Z. 课堂小结 45 随堂演练 五 1 2 3 4 1.与-30°角终边相同的角是 A.-330° B.150° C.30° D.330° √ 因为所有与-30°角终边相同的角都可以表示为α=-30°+k·360°，k ∈Z，取k=1，得α=330°. 2.2 025°角是 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 1 2 3 4 √ 2 025°=225°+5×360°， 所以2 025°角的终边与225°角的终边相同，为第三象限角. 3.已知f(x)满足对∀x∈R，f(x+2)=f(x)，且当x∈[1，3)时，f(x)=log2x+1，则f(2 025)的值为 A.-1 B.0 C.1 D.2 1 2 3 4 √ 根据题意，f(x)满足对∀x∈R，f(x+2)=f(x)，则f(x)是周期为2的周期函数，则f(2 025)=f(1+2×1 012)=f(1)=log21+1=1. 4.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是　　　　　　　　 　　　　. 1 2 3 4 观察图形可知，角α的集合是 {α|45°+k·360°<α<150°+k·360°，k∈Z}. {α|45°+k·360°<α<150°+k·360°，k∈Z} 课时对点练 六 答案 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C AC B C C B 2 120°，300° 题号 11 12 13 14　 　15 答案 AC D AC - 　C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (1)α=-1 910°=250°+(-6)×360°， 它是第三象限角. (2)令θ=250°+n·360°(n∈Z)， 取n=-1，-2就得到符合-720°≤θ<0°的角. 250°-360°=-110°，250°-720°=-470°. 故θ=-110°或θ=-470°. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 终边在y=-x(x<0)上的角的集合是S1=｛α|α=120°+k1·360°，k1∈Z｝； 终边在y=-x(x≥0)上的角的集合是S2=｛α|α=300°+k2·360°，k2∈Z｝. 因此，终边在直线y=-x上的角的集合是S=S1∪S2=｛α|α=120°+k1·360°，k1∈Z｝∪｛α|α=300°+k2·360°，k2∈Z｝ =｛α|α=120°+2k1·180°，k1∈Z｝∪｛α|α=120°+(2k2+1)·180°，k2∈Z｝ =｛α|α=120°+n·180°，n∈Z｝. 故终边在直线y=-x上的角的集合是S=｛α|α=120°+n·180°，n∈Z｝. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 因为0°<θ<180°，且k·360°+180°<2θ<k·360°+270°，k∈Z，所以k=0，所以90°<θ<135°. 又因为14θ=n·360°，n∈Z， 所以θ=， 从而90°<<135°， 所以<n<，所以n=4或5. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 当n=4时，θ=； 当n=5时，θ=. 所以θ=或. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.下列函数图象中，不具有周期性的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 答案 √ C中x∈(-2，2)之间的图象在前后都没有重复出现. 2.(多选)下列四个结论正确的是 A.-15°角是第四象限角 B.-180°角是第三象限角 C.-350°角是第一象限角 D.475°角是第三象限角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ -15°角是第四象限角；-180°角不是象限角；因为-350°=10°+ (-360°)，所以-350°角是第一象限角；因为475°=115°+360°，90°<115°<180°，所以475°角是第二象限角，故选AC. 答案 √ 3.与-468°角的终边相同的角的集合是 A.{α|α=456°+k·360°，k∈Z} B.{α|α=252°+k·360°，k∈Z} C.{α|α=96°+k·360°，k∈Z} D.{α|α=-252°+k·360°，k∈Z} √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为-468°=252°+(-2)×360°，所以252°角与-468°角的终边相同，所以与-468°角的终边相同的角为252°+k·360°，k∈Z. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知α是锐角，那么2α是 A.第一象限角 B.第二象限角 C.小于180°的正角 D.第一或第二象限角 √ 答案 ∵0°<α<90°，∴0°<2α<180°，∴2α是小于180°的正角. 5.如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是 A.{α|-45°≤α≤120°} B.{α|120°≤α≤315°} C.{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°，k∈Z} D.{α|120°+k·360°≤α≤315°+k·360°，k∈Z} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 如题图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|-45°+k·360° ≤α≤120°+k·360°，k∈Z}. 6.角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为 A.α+β=k·360°，k∈Z B.α+β=180°+k·360°，k∈Z C.α-β=180°+k·360°，k∈Z D.α-β=k·360°，k∈Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　(特值法)令α=30°，β=150°，代入选项得只有B符合题意. 方法二　(直接法)因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以β=180°-α +k·360°，k∈Z， 即α+β=180°+k·360°，k∈Z. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.函数f(n)=9+(-1)n(n∈N)的周期为　　. 当n∈N时，该函数的取值为10，8，10，8，…，故周期为2. 答案 2 8.在0°~360°范围内，与-60°角的终边在同一条直线上的角为 　　　 　. 与-60°角的终边在同一条直线上的角可表示为β=-60°+k·180°，k∈Z. ∵所求角在0°~360°范围内， ∴0°≤-60°+k·180°≤360°， 解得k∈Z， ∴k=1或2， 当k=1时，β=120°，当k=2时，β=300°. 120°，300° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 65 9.已知α=-1 910°. (1)把α写成β+k·360°(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 α=-1 910°=250°+(-6)×360°， 它是第三象限角. 答案 (2)求θ，使θ与α的终边相同，且-720°≤θ<0°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令θ=250°+n·360°(n∈Z)， 取n=-1，-2就得到符合-720°≤θ<0°的角. 250°-360°=-110°，250°-720°=-470°. 故θ=-110°或θ=-470°. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.写出终边在直线y=-x上的角的集合. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 终边在y=-x(x<0)上的角的集合是S1={α|α=120°+k1·360°，k1∈Z}； 终边在y=-x(x≥0)上的角的集合是S2={α|α=300°+k2·360°，k2∈Z}. 因此，终边在直线y=-x上的角的集合是S=S1∪S2={α|α=120°+k1· 360°，k1∈Z}∪{α|α=300°+k2·360°，k2∈Z} ={α|α=120°+2k1·180°，k1∈Z}∪{α|α=120°+(2k2+1)·180°，k2∈Z} ={α|α=120°+n·180°，n∈Z}. 故终边在直线y=-x上的角的集合是S={α|α=120°+n·180°，n∈Z}. 答案 11.(多选)角α=45°+k·180°(k∈Z)的终边在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当k=2m+1(m∈Z)时， α=225°+2m·180°=225°+m·360°，m∈Z， 故α为第三象限角； 当k=2m(m∈Z)时，α=45°+m·360°，m∈Z， 故α为第一象限角. 故α的终边在第一或第三象限. 答案 12.已知α为第三象限角，则终边所在的象限是 A.第一或第二象限 B.第二或第三象限 C.第一或第三象限 D.第二或第四象限 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　∵180°+k·360°<α<270°+k·360°，k∈Z， ∴90°+k·180°<<135°+k·180°，k∈Z， 当k=2n(n∈Z)时，90°+n·360°<<135°+n·360°，n∈Z； 当k=2n+1(n∈Z)时，270°+n·360°<<315°+n·360°，n∈Z， ∴为第二或第四象限角. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　如图所示，将每个象限二等分，标号Ⅲ 所在的区域即为终边所在的区域. 所以终边所在的象限是第二或第四象限. 答案 13.(多选)已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么下列表示的A，B，C之间的关系正确的是 A.B⊆A B.B=A∩C C.B∪C=C D.A C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 √ A={第一象限角}={θ|k·360°<θ<k·360°+90°，k∈Z}，B={锐角}= {θ|0°<θ<90°}，C={小于90°的角}={θ|θ<90°}，∴A，C正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知f(x)是定义在R上的周期为4的偶函数，当x∈[-2，0]时，f(x)=-2x，则f(5)=　 . ∵f(x)是定义在R上的周期为4的偶函数， 当x∈[-2，0]时，f(x)=-2x， ∴f(5)=f(1)=f(-1)=-2-1=-. 答案 - 15.设集合M=则 A.M=N B.N⊆M C.M⊆N D.M∩N=∅ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得M= = 即M是由45°的奇数倍构成的集合， 又N= ={x|x=(k+1)·45°，k∈Z}， 即N是由45°的整数倍构成的集合，∴M⊆N. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1，0)出发，以逆时针方向匀速沿单位圆周旋转，已知点P在1 s内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2 s到达第三象限，经过14 s后又回到了出发点A处，求θ. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为0°<θ<180°，且k·360°+180°<2θ<k·360°+270°，k∈Z，所以k=0，所以90°<θ<135°. 又因为14θ=n·360°，n∈Z， 所以θ=<135°， 所以所以n=4或5. 当n=4时，θ=. 所以θ=. 答案 第一章 <<< $$